11.- Hallar los elementos invertibles de Z6, Z7 y Z8.

•Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

En Z6 un elemento es invertible si es coprimo con 6, es decir, si no es divisible ni por 2 ni por 3

Vamos a marcar los divisibles por 2

Ahora marcamos los divisibles por 3

Los que quedan son los invertibles.

Los elementos invertibles de Z6 son 1 y 5

•Z7 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

Como 7 primo, todos los elementos no nulos en Z7 son invertibles.

11.- Hallar los elementos invertibles de Z6, Z7 y Z8.

Los que quedan son los invertibles.

Los elementos invertibles de Z8 son 1, 3, 5 y 7

•Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

En Z8 un elemento es invertible si es coprimo con 8, es decir, si no es divisible por 2.

Veamos los divisibles por 2

11.- Hallar los elementos invertibles de Z6, Z7 y Z8.

12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.

• 6 en Z11:Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

11=6·1+5 6 = 5·1 +1

yendo al revés

1 = 6 - 5·1 = 6 - (11-6·1) = 6·2 - 11

1 = 6·2 mod 11

(6)-1 = 2 en Z11

• 6 en Z17:Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

17 = 6·2+5 6 = 5·1 +1

yendo al revés

1 = 6 - 5·1 = 6 - (17 - 6·2) = 6·3 - 17

1 = 6·3 mod 17

(6)-1 = 3 en Z17

12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.

• 3 en Z10:Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

10=3·3+1

entonces

1 = 10 - 3·3

1 = -3·3 mod 10

(3)-1 = -3 = 7 en Z10

12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.

• 5 en Z12:Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

12 = 5 ·2+2 5 = 2 ·2 +1

yendo al revés

1 = 5 - 2·2 = 5 - (12 - 5·2)2 = 5.5 - 12·2

1 = 5·5 mod 12

(5)-1 = 5 en Z12

12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.

• 7 en Z16:Utilizando el algoritmo de Euclides Extendido:

16 = 7·2+2 7 = 2·3 +1

yendo al revés

1 = 7 - 2·3 = 7 - (16 - 7·2) ·3 = 7·7 - 16·3

1 = 7·7 mod 16

(7)-1 = 7 en Z16

12.- Hallar los inversos de Z6, Z7 y Z8.

13.- Probar que 3 | (n3- n) para todo n.

• Si n es múltiplo de 3 3| n2 3| n2(n-1)

• Si n no es múltiplo de 3

(3) = 2 n2=1 mod 3 n3=n mod 3

14.- Demostrar que el cuadrado de todo número entero es de la forma 4k o 4k + 1.

Tenemos dos opciones:

n = 2m n2 = 4m2 =4k con k=m2

• n es impar:

n = 2m +1

n2 = 4m2+1+4m = 4(m2+m)+1 = 4k+1, con k= (m2+m)

•n es par:

15.- Si a no es múltiplo de 2 ni de 3, entonces 24 divide a a2- 1.

Como 24=8·3,

veamos primero que 3 | a2-1 y después que 8 | a2-1

• (3) = 2 y mcd(a,3) =1 a2 = 1 mod 3 3 | a2 -1

• a = 2k-1 a-1=2k , a+1 = 2(k+1)

a2-1 = (a+1)(a-1) = 4k(k+1)

Y como 2| k(k+1), entonces 8 | a2-1

16.- Si 5 no divide a n, entonces 5 divide a n8-1

(5) = 4 y n invertible en Z5, entonces

n8 = n4.2 = 12 = 1 mod 5

n8-1=0 mod 5 5 divide a n8-1

17.- Demostrar que todo número primo p mayor que 3 se puede escribir en la forma 6n + 1 ó 6n + 5.

Como p no es ni 2 ni 3, p es coprimo con 3·2 = 6

p es invertible en Z6

Los únicos invertibles en Z6 son 1 y 5

p = 1 mod 6 ó p = 5 mod 6

Hay que demostrar que p = 1 mod 6 ó p = 5 mod 6

18.- Si p es un primo distinto de 2 y 5, entonces p2-1 o p2+1 ha de ser divisible por 10.

p es primo , p≠2,

p impar

p2 + 1 es par y p2-1 es par

Falta ver que 5 divide a p2 + 1 ó p2 - 1

(5) = 4 , p≠5

p4-1 = 0 mod 5 5| (p2-1)(p2+1)

5| (p2-1) ó 5 | (p2+1)

18.- Si p es un primo distinto de 2 y 5, entonces p2-1 o p2+1 ha de ser divisible por 10.

Otra manera de hacer el ejercicio:

Como p≠2 y p≠5 , tenemos que mcd(p,10)=1.

Así, p es invertible en Z10 .

Invertibles en Z10 = {1,3,7,9}

p=1 o p=3 o p=7 o p=9 (mod 10)

p2=1 o p2=9=-1 o p2=49=-1 o p2=81=1 (mod 10)

19.- ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras sean 16 ?

Hay que buscar a, b tal que: 28a = 16+ 100b, a,b0,

Por el algoritmo de Euclides Extendido, obtenemos:

mcd(100,28) = 4 ,

Solución general : b = -8+7k; a = -28+25k , k en Z, tal que

-100 (-8+7k) + 28 (-28+25k) =16

28a - 100b = 16 7a - 25b = 4

7(-7) - 25(-2)=1 7(-28) - 25(-8)=4

19.- ¿Existe algún múltiplo de 28 cuyas dos últimas cifras sean 16 ?

Entonces,

Buscamos que -8+7k sea mayor o igual que 0

-8+7k 0 k 2

Así, por ejemplo, si k=2,

28 (-28+25·2 ) = 28·22 = 616

20.- Calcular el resto de la división de 24k entre 5, k >0.

(5) = 4 y mcd (2,5)=1

24=1 mod 5

24k = 1k = 1 mod 5

Con lo cual, el resto será 1.