11..-- Estudi de funcions 1.1.- Creixement i decreixement de funcions

1.2.- Extrems relatius i absoluts 1.3.- Derivabilitat de funcions

22..-- Representació gràfica de funcions 2.1.- Introducció

2.2.- Domini de funcions 2.3.- Discontinuïtats

2.4.- Derivades successives 2.5.- Punts de tall

2.6.- Creixement i decreixement 2.7.- Màxims, mínims i punts d’inflexió

2.8.- Concavitat i convexitat 2.9.- Representació gràfica

33..-- AAltres aplicacions 3.1.- Optimització

3.2.- Altres qüestions

1 / 22

11..-- Estudi de funcions

1.1.- Creixement i decreixement de funcions Teorema 1

Teorema 2

Per extrapolació dels dos teoremes, es pot aplicar el mateix concepte per a un interval tancat [a, b on la funció sigui derivable.

Interpretació geomètrica:

Si la funció f(x) és derivable en xo i és creixent en aquest punt f '(xo) > 0. Recordant que la derivada en un punt és el pendent de la recta tangent a f(x) en xo tenim:

f '(xo) = tg > 0 2

0

i això implica que la recta, que és tangent, també sigui creixent

(pendent positiu).

Si f(x) és decreixent f '(x1) = tg < 0

2

i això implica que la recta, que és tangent,

també sigui decreixent (pendent negatiu)

Si la funció f(x), derivable en xo, és tal que f '(xo) > 0 la funció és estrictament creixent en aquest punt.

Si la funció f(x), derivable en xo, és tal que f '(xo) < 0 la funció és estrictament decreixent en aquest punt.

X

Y

x0 x1

2 / 22

exemple: Determina els intervals de monotonia (creix/decreixement) de la funció y = x3 12x.

derivem: 2·2·34·3123' 22 xxxxy determinem els signes de la derivada.

3 + + +

x - 2 - - +

x+2 - + +

f'(x) +

-

+

- 2 2

La y' > 0 si x > 2 Creix. (2, + )

La y' 0 si 2 < x < 2 Decreix (2, 2)

La y' > 0 si x < 2 Creix en (, 2)

exercici: En quins intervals la funció 21

1

xy

creix? I en quins decreix?

Sol: (, 0) i (0, +)

1.2.- Extrems relatius i absoluts

Teorema 1

Observació: La condició que f '(xo) = 0 es compleixi per ser un màxim o un mínim és necessària, però no suficient,

és a dir, els únics punts on pot existir un M (màxim) o un m (mínim) són aquells en els quals f '(xo) = 0, però pot passar que un punt f '(xo) = 0 i no existeixi un extrem relatiu.

exemple:

a) La funció xxxf 33 és derivable en (, +). La seva gràfica ens mostra un màxim i un mínim? Comprova-ho.

y' = 3x2 3 = 0 3x

2 = 3 x = 1

x = 1 mínim ( segons la gràfica )

x = 1 màxim ( " " " )

Si una funció y = f(x), derivable en un interval I, admet en xo I un màxim o un mínim relatius, llavors, f '(xo) s’anul·la per a x = xo.

3 / 22

b) La funció y = x3 no té en x = 0 ni un màxim ni un mínim, en canvi la derivada s’anul·la: f '(x) = 3x

2 =

0 x = 0

exemple: Podries dir en quins punts la funció f(x) = x3 3x

2 9x + 5 té extrems relatius; és a dir,

màxims o mínims?

f '(x) = 0 3x2 6x 9 = 0 x

2 2x 3 = 0 x1 = 3 i x2 = 1

NOTA:

Teorema 2

si xo és M (màxim) o m (mínim) f '(xo) = 0.

si f '(xo) = 0 no implica que xo sigui un M o un m

Si la funció y = f(x), derivable en I, on xoI i f '(xo) = 0 tenim que:

en xo hi ha un màxim relatiu ( M ) si f ''(xo) < 0

en xo hi ha un mínim relatiu ( m ) si f ''(xo) > 0 en xo NO se sap si hi ha un extrem relatiu si f ''(xo) = 0

X

Yy=x3-4x

X

Y

y=x3

4 / 22

En cas de dubte, s'ha de recórrer a les derivades successives parelles que siguin diferents de zero, és a dir,

si: màxim0xf 0n2 i immín0xf 0

n2

Imaginem-nos un cas senzill com és el cas de la funció f(x) = x2 + x 2.

Com que x = 0,5 és un mínim f '(0,5) = 0 [tal com es pot observar en la gràfica de la derivada f

'(x)

La segona derivada [ f ''(x) ens donarà els pendents de f '(x), en tots els punts, i com que f '(x) té

pendent > 0 en tots els punts f ''(x) > 0 i en f ''(0,5) que és un mínim també.

NOTA: Si es compleix que f '(xo) = f ''(xo) = 0, llavors pot existir en aquest punt un M o un m o pot no existir un extrem relatiu.

exemple: Havíem vist que f(x) = x3 3x

2 9x + 5 tenia dos extrems relatius en x1 = 1 i en x2 = 3, ja

que f '(1) = 0 i f '(3) = 0.

Ara tenim: f '(x) = 3x2 6x 9 f ''(x) = 6x 6

Si fem: f '' (x) = f ''(1) = 12 < 0 (1, 10) és un M

f '' (x) = f ''(3) = 12 > 0 (3, 22) és un m

( per calcular la component y dels extrems fem: f(1) = 10 i f(3) = 22 )

exercici: Determina els Max i Min relatius i les seves coordenades, de la funció y = x5 5x

3 + 10x.

Sol: M (x = 1) i m ( x= -1)

f(x)

f '(x)

5 / 22

1.3.- Concavitat i punts d’inflexió

Concavitat i convexitat

Teorema 1

exemple: La funció y = x3 3x és còncava per a x > 0 i convexa per a x < 0, ja que:

y' = 3x2 3

y'' = 6x

6x > 0 x > 0 la 2a derivada serà > 0 quan x > 0

6x < 0 x < 0 la 2a derivada serà < 0 quan x < 0

exemple: Determina en quins intervals la funció 1824 24 xxy és còncava?

xxy 484' 3

4812'' 2 xy

Perquè sigui còncava y'' > 0 12x2 48 > 0 12(x

2 4) > 0 12(x2)(x + 2) > 0

f(x) serà còncava en (2, + ) i (, 2)

f(x) serà convexa en (2, 2)

12 + + +

x - 2 - - +

x+2 - + +

f''(x) +

-

+

- 2 2

Punts d'inflexió

Sigui la funció f(x) contínua en I = [a, b

Si en un punt xo I la corba passa de ser còncava a ser convexa o a l'inrevés, aquest punt xo és un punt d'inflexió ( PI ). En els dos casos es compleix:

si f(x) és còncava en (a, b) f ''(x) > 0 on a < x < b.

si f(x) és convexa en (a, b) f ''(x) < 0 on a < x < b

si xo és PI f ''(xo) = 0

6 / 22

Observacions: 1a: en un punt pot existir un punt d'inflexió sense que f ''(x) s'anul·li, és el cas que f ''(x) no existeixi. 2a: Encara que f ''(x) = 0 pot ser que xo no sigui punt d'inflexió.

exemple: Troba els PIs de la funció 1124812 234 xxxxy .

12x96x36x4'y 23 96x72x12''y 2

2

4086·12''

2

12

x

xxxy com que 209,489,2

0

0

2

4 iy

y

són punts d'inflexió.

exemple: Ídem per a l'equació 41xy

derivades successives: 31x4y 21x12y 1x24y

De 1x01x12y 2 per saber si és un PI (punt d'inflexió) substituïm a la 3a derivada:

0y1 no podem assegurar que sigui un punt d'inflexió.

Gràficament un PI ens indica que la funció canvia de còncava a convexa o a l'inrevés, per tant analitzem la concavitat/convexitat de la funció.

Recordem que si: 0y còncava

0y convexa

Com que 21·12 xy és sempre positiva, la funció 41xy és sempre còncava i això implica que en x = 1 no hi ha PI.

En general ha de passar que: f ''(xo) = 0 i f '''(xo) 0 perquè hi hagi un PI

En cas que f ''(xo) = f '''(xo) = 0 no es pot afirmar res.

X

Y y= f(x)

xo X

Y y= f(x)

xo

7 / 22

exercici: Comprova que 51xy té un punt d'inflexió.

exemple: La funció

12

12

2

xsix

xsixxf

1 La funció és contínua en x = 1, ja que: xfxfxx

11

límlím i iguals a f(1). (Condició

necessària per a la continuïtat)

2 La funció xf no és contínua en x = 1 ja que en aquest punt no hi ha derivada (Observa que

2lím2lím11

xfixfxx

). Es pot expressar d'una altra manera: com que la funció en x = 1 no és

derivable no es pot calcular la segona derivada en aquest punt.

3 En x = 1 no existeix xf ja que no existeix xf en x = 1. En canvi x = 1 és un punt d'inflexió ja

que passa de ser còncava a ser convexa.

exercicis complementaris: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i 11.

X

Y

8 / 22

22..-- Representació gràfica de funcions

2.1.- Introducció Una funció es diu que es troba en forma explícita quan la variable dependent (y) està completament aïllada.

exemple: 463 2 xxy és una forma explícita.

0734 yx és una forma implícita. Per a obtenir la gràfica d'una funció s'haurien d'obtenir tots els punts, com que això és impossible, el que es fa és obtenir alguns dels punts més importants: discontinuïtats, talls amb els eixos, màxims i mínims, etc. A continuació explicarem ordenadament els aspectes fonamentals que s'han d'estudiar per aconseguir una bona representació.

2.2.- Domini de funcions

Domini de definició d'una funció xfy és el conjunt de valors de x els quals fan que xf tingui un

valor perfectament determinat. NOTA: Es recorda que buscar el domini és igual que buscar els intervals de continuïtat. Algunes funcions:

Funció polinòmica:

El domini sempre és (, + ).

Funció racional:

xgxf

y

El domini sempre són tots els valors excepte els que facin que 0xg

exemple: 65

12

2

xx

xy solucionant 0652 xx sabrem els valors que s'han d'excloure del

domini. Tot plegat queda: D = ( , 2) (2, 3) (3, + )

D = R {2 , 3}

Funció irracional: n xfy

El domini és:

Tots els valors de x que fan que f(x) 0, quan l’índex de l’arrel (n) és parell).

(, + ) quan l’índex de l’arrel (n) és senar.

exemple: La funció3 3 23 xxy té per domini. El domini és (, +)

9 / 22

exemple: La funció 1

2

xx

y té per domini:

2x + +

1x - + xf - +

1

Domini: (1, +), que és on la funció és +.

exercici: Troba el domini de la funció: xxxy 32 23 Sol: D = (1, 0) (3, +)

Funció exponencial i trigonomètriques: 0aay xf

El Domini és per a tot valor de x on existeix f(x).

exemple: El domini de la funció y ex

x 2

1 és ...

El Domini és per a tot valor excepte x = 1, ja que 1xx2

exf és discontínua en aquest punt.

Funció logarítmica: 0axflogy a

El Domini és xR tal que f(x) > 0

exemple: El domini de la funció 2x3xlogy 23 és ... necessitem que: 0210232 xxxx

1x - + + 2x - - +

xf + - + 1 2

Domini: (, 1) (2, +)

NOTA: La x = 1 i la x = 2 no estan inclosos ja que 0logy 3 no existeix.

10 / 22

2.3.- Discontinuïtats En els punts de discontinuïtat d'una funció és convenient calcular els límits per la dreta i per l'esquerra de la funció considerada.

exemple: Troba els límits laterals de la discontinuïtat de la funció: 1

1xy e en x = 1.

1+

1 11

1 1 01

01lím límxx

e e e e

1 1 11

1 1 01

01lím lím 0xx

e e e e

exemple: Ídem per a 2

2 5 4

xy

x x

12

2

15 4 0

4

xx x

x

1+

22 2

21 1 1

1 1 1lím lím lím

4 1 05 4 3·01 4 1 1x x x

x x

x xx x

1

22 2

21 1 1

1 1 1lím lím lím

4 1 05 4 3·01 4 1 1x x x

x x

x xx x

Per solucionar aquests límits s'ha de tenir en compte els signes dels termes de menor grau.

1) 4+ (Sol: + )

2) 4 (Sol: )

2.4.- Asímptotes Existeixen tres tipus fàcilment distingibles:

1. Asímptota Horitzontal (AH):

Si x és y k la recta del tipus y = k. és una asímptota horitzontal (paral·lela a l'eix X), és a dir si:

'límbéolím kxfkxfxx

Observacions :

Una funció pot tenir com a màxim dos AH.

En les funcions

xg

xfy les dues AH són una sola recta xflímxflím

xx

En les funcions irracionals (amb radicals) per cada AH hi ha una recta (y = k).

La funció pot creuar les AH (en altres punts).

El signe de f(x) k ens determina si la corba s'aproxima per sobre o per sota de l'AH (per a un valor de x gran).

11 / 22

X

Y

x = a

X

Y

y= k

xoX

Y

y= mx+n

xo

a) Si f(x) k > 0 la corba s'aproxima per sobre.

b) Si f(x) k < 0 la " " per sota.

2. Asímptota Vertical (AV):

Si quan x a (finit), y , la recta x = a és una asímptota vertical ( paral·lela a Y), és a dir si:

xflímax

Observacions :

Un funció pot tenir infinites AV. (ex: y = tg x)

Les AV mai poden ser tallades per una funció.

La situació de la corba a la dreta i a l'esquerra de l'AV es troba calculant:

a)

xflímax

límit per la dreta

b)

xflímax

límit per l'esquerra.

En les funcions del tipus

xg

xfy les AV. són aquells valors que fan que g(x) = 0.

3. Asímptota Obliqua (AO): Si una funció té AO, aquestes tenen per equació: y = mx + n (recta), es demostra que:

x

xflímmx

(on m 0 i m ) mxxflímnx

( on n )

Observacions:

Si hi ha AH no en pot haver d’obliqües o coincideixen els càlculs.

El signe de f x mx n per a valors grans de x ens indica si la corba s'acosta per sobre o per sota de l'AO.

a) Si 0f x mx n per sobre.

b) Si 0f x mx n per sota.

exemple: Troba les asímptotes de la funció 1x

xxxf

2

.

12 / 22

AH. 2 2 1

lím lím1 1

Hôpital

x x

x x x

x

No n'hi ha.

AV.

22

1

1 1 2lím

1 1 1 0x

x x

x

l'AV és en el punt x = 1.

AO.

2

2

2

2 1 21lím lím lím lím 12 1 2

Hôpital

x x x x

x xx x xxm

x xx x

2 2 2 2

lím 1 lím lím 21 1 1x x x

x x x x x x xn x

x x x

L'AO. és 2y x

exercici: Troba les asímptotes de la funció 2

2

3 4

2 8

x xf x

x

. Sol: AV. x = 2 i AH. y = 0,5

2.5.- Punts de tall

Tall de la corba amb l'eix Y:

0x

y f x

Tall de la corba amb l'eix X:

0y

y f x

és a dir: f(x) = 0

Tall de la corba amb les asímptotes:

AH.

y b

y f x

AO.

y mx n

y f x

NOTA: Recorda que una funció mai pot tallar una asímptota vertical (AV.).

exemple: Troba els punts de tall de la funció: 2

2

3 2

1

x xy

x

Els punts amb l'eix Y: 2

22

2

00 3 • 0 2

2 0,23 20 1

1

x

y Yx xy

x

13 / 22

Per a l'eix X, s'ha de fer:

122

22

02 2,0

0 3 23 21 1,0

1

yx X

x xx xx Xy

x

Sabent que té una asímptota y = 1, farem:

2 22

2

11 1

1 3 2 3 1 , 13 23 3

1

y

x x x x x Ax xy

x

2.6.- Creixement i decreixement Per a determinar els intervals de creix. i decreix. només cal estudiar el signe de la funció f '(x), de manera similar a la utilitzada per a la determinació del domini.

Recordem que: si f '(x) > 0 creix.

si f '(x) < 0 decreix.

exemple: Estudia els intervals de monotonia (creix / decreix.) de la funció 3 26 15 20y x x x .

2 2' 3 12 15 3 4 5 2 1 5y x x x x x x

x + 1 - + +

x - 5 - - +

f'(x) +

-

+

-1 +5

Creixement: (, 1) (5, +) i Decreix. (1, 5)

exemple: Ídem per a la funció 2 4

xy

x

.

2

22

4'

4

xy

x

Com es pot observar f '(x) és sempre < 0 en el numerador i > 0 en el denominador, per tant: f '(x) < 0

per a qualsevol valor. decreixent en (, +)

exercici: Estudia els intervals de creix / decreix. de la funció 4 22y x x .

Sol: (, 1) (0, 1) i (1, 0) (1, +)

14 / 22

2.7.- Màxims, mínims i punts d’inflexió Els extrems relatius han de complir f '(a) = 0, que després substituïts a f ''(x) surten:

f ''(a) < 0 M (màxim)

f ''(a) = 0 dubte, pot ser M, m o PI.

f ''(a) > 0 m (mínim)

exemple: 3 212 45 34y x x x

12 2

2

3' 3 24 45 3 24 45 0

5

xy x x x x

x

'' 6 24y x 02456y5 mínim (5, 16)

02436y3 màxim (3, 20)

Quan les derivades són complexes, llavors es pot observar el creixement o decreixement de la funció al voltant de x = a.

2.8.- Concavitat i convexitat Per estudiar la concavitat/convexita. d'f(x), només cal determinar els signes d'f ''(x), de manera similar a com ho hem fet a l'hora d'estudiar el creix / decreix. en f '(x).

exemple: Estudia la funció: 4 3 212 48 27y x x x

3 24 36 96y x x x

2 212 72 96 12 72 96 0 12 4 2y x x x x x x

12 + + +

x - 4 - - +

x - 2 - + +

f''(x) +

-

+

2 4

Còncava: (, 2) (4, +) i Convexa: (2, 4)

exercicis complementaris: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i 11.

15 / 22

-4

2-2

2.9.- Representació gràfica Ens limitarem a seguir els punts explicats anteriorment amb el mateix ordre. Per a cada gràfica hi haurà alguns aspectes més importants que d'altres, l'exclusió d'un o altre dependrà del tipus de gràfica, del temps disponible i en últim terme del criteri personal de l'alumne.

exemple: 4 23 4y x x

Domini: (, +) (per definició, ja que és una funció polinòmica)

Discontinuïtats: No n'hi ha.

Asímptotes: No n'hi ha.

Punts de tall: 4 2

4 2

00 3 0 4 4 0, 4

3 4

xy Y

y x x

14 2

4 2

2

4 2,000 3 4

3 4 4 2,0

x Xyx x

y x x x X

Creix / Decreix: 3' 4 6y x x

3 26 6

' 0 4 6 0 2 2 3 24 4

y x x x x x x x

2x - - + +

x - 1,22 - - - +

x + 1,22 - + + +

f'(x) -

+

-

+

- 1,22 0 1,22

Creix: (1,22, 0) (1,22, +) i Decreix (, 1,22) (0, 1,22)

Màx / mínim i PI: 212 6y x

2

0 12 0 6 6 0 0, 4y M

2

1,22 12 1,22 6 0 1,22, 6,25y m

2

1,22 12 1,22 6 0 1,22, 6,25y m

Concav / convex: 212 6y x / 24y x

20 12 6 0 0,5y x x 0,5 24 0,5 0 0,5, 4,25y PI

0,5 24 0,5 0 0,5, 4,25y PI

Representació:

16 / 22

exemple: 3

2 1

xy

x

Domini: (, 1) (1, 1) (1, +)

Discontinuïtat: x = 1 x = 1

1+

33 3 2

2 2 21 0 0

1 3 3 1 1lím lím lím

21 2 1 11 1x

x

x

1

33 3 2

2 2 21 0 0

1 3 3 1 1lím lím lím

21 2 1 11 1x

x

x

1+

33 3 2

2 2 21 0 0

1 3 3 1 1lím lím lím

21 2 1 11 1x

x

x

1

33 3 2

2 2 21 0 0

1 3 3 1 1lím lím lím

21 2 1 11 1x

x

x

Asímptotes:

AV: 3

21lím

1x

x

x

x = 1

3

21lím

1x

x

x

x = 1

AH: 3

2lím

1x

x

x

no hi ha AH.

AO:

3

32

3

3 3 3

3 3 2

1lím lím 10

1lím lím lím 0

1

x x

x x x

xxxm

y xx x x

x x x xn x

x x x x x

NOTA: Es pot calcular si l'aproximació a l'AO és per sobre o per sota (mira punt 6.54).

Punts de tall: Tant en l'eix X com en l'Y és: Y(0, 0) amb l'AV: no poden existir.

amb l'AO: 3

3 332

2

01

1

y xx

x x x x xxxy

x

(0, 0)

Creix / Decreix:

4 2

22

3

1

x xy

x

4 24 2 2 2

22

30 0 3 0 3 0

1

x xy x x x x

x

x2

+ + + +

x + 1,73 - + + +

x - 1,73 - - - +

(x2 - 1)

2 + + + +

f'(x) +

-

-

+

-1,73 0 +1,73

Creix: (, 1,73) (1,73, +) i Decreix: (1,73, 1,73)

17 / 22

M, m i PI:

5 3

42

18 20 6

1

x x xy

x

1,73 0y màxim (1,73, 2,6).

1,73 0y mínim (1,73, 2,6).

0 0y haurem d'esperar a la 3a derivada o com que és bastant complicada podem recórrer a

l'apartat anterior. (0,0) és un PI ( ja que f(x) sempre decreix).

Concav / convex.

Representació:

exemple: 3 3 3 2y x x

Domini: (, +)

Discont: no n’hi ha.

Asímptotes: AV: no n’hi ha.

AH: 3 3lím 3 2x

x x

no n'hi ha.

AO:

3 333

2 3

3 3

3 2 3 2lím lím 1 1 1

0

lím 3 2 0

x x

x

x xm

x x x y x

n x x x

Punts de tall:

a l'eix Y 33 3

02 1,26

3 2

xy y

y x x

Y(0, 1,26)

a l'eix X

13

3 32

0 1 1, 00 3 2

2 2, 03 2

y x Xx x

x Xy x x

(-1’73, -2’56)

(1’73, 2’56)

-1 1

18 / 22

a l'AO 3 33 3

2 2 23 2 3 2 ,

3 3 33 2

y xx x x x x

y x x

Creix / Decreix:

2

3

1'

1 2

xy

x x

x - 1 - - +

x + 1 - + +

f'(x) +

-

+

- 1 + 1

Creix (, 1) (1, +) i Decreix (1, 1)

Màx. / mín. i PI:

1 12

2 1

1 0 1, 1,58' 0 1 0

1 0 ? 1, 0

x y My x

x y

Convex/Concav: La 2a derivada és massa complexa per analitzar-la formalment.

Pendents: Calcularem algunes rectes que són tangents de punts importants.

2 32

3

2 1 1 3' 2

03·02 1 2 2

y x

, és una recta vertical.

1 32

3

1 1 2 2' 1

00·91 1 1 2

y x

, és una recta paral·lela a l'eix Y

exercicis complementaris: 12.

(-1, 1’58)

(1, 0)

19 / 22

33..-- AAltres aplicacions

3.1.- Optimització Molts problemes que es plantegen en moltes ciències (economia, biologia, física, etc.) tracten d’optimitzar alguna variable: beneficis, resistències, temps, etc. Per resoldre aquests tipus de problemes s’apliquen els criteris de màxims i mínims estudiats en aquest tema de derivades i, si voleu, seguirem els passos següents:

Escriurem totes les dades i farem un dibuix del problema, si és possible. Escriurem la funció que s’ha d’optimitzar (maximitzar o minimitzar).

Escriurem totes les altres equacions que ens serviran perquè així ... Deixarem la funció principal amb una sola incògnita o variable. Torbarem per a quins valors la funció assoleix màxims i/o mínims. Interpretarem quins valors són els màxims i els mínims i quins ens interessen.

exemple: Descompon el número 25 en dos sumands de manera que el doble de quadrat del primer més el triple del quadrat del segon sigui mínim.

x 1er sumand

25 x 2on sumand

La funció que hem de minimitzar és: 22 x253x2y 150x10'y Si anul·lem y' obtindrem el valor màxim o mínim de y.

15x150x100150x10

Per tant els dos sumands són 15 i (2515) = 10.

exemple: Troba el rectangle de perímetre 28 m. que tingui l'àrea màxima.

La superfície és: ·S x y

El perímetre: 2 2 28 14x y y x

Substituint en la funció, queda: 2· 14 14S x x x x . El màxim l'obtindrem derivant:

' 14 2 0 2 14 7S x x x

D'aquí resulta que com que l'altura i la base són iguals, l'àrea màxima correspon a un rectangle de

costat 7m.

Observa que S'' = 2 < 0

exemple: Calcula el cilindre de volum màxim inscrit en una esfera de radi igual a 10 cm.

Sabem que el volum del cilindre és: 2· ·V r h .

Segons Pitàgores tenim: 2 2 210 x r

Per una altra part observem que: 2h x

x

r

h

x

y

20 / 22

Tot plegat ens quedarà: 2 3· 100 ·2 2 · 100V x x x x

Derivant: 2x3100•2'V i igualant a zero: 100 10 3 5,773 3

x

Les dimensions del cilindre: 2 2 2 22

10 100 103

x r r x

20 3

23

h x h

exemple: Determina les dimensions d'un dipòsit cilíndric sense tapadora, de volum 8 m3, sabent que

ha de tenir la mínima superfície.

La funció que s'ha de minimitzar és: 2· 2 · ·S r r h .

Però el problema ens diu que: 22

8· · 8r h h

r

Llavors: 22 2

8 16 83 2 ' 2 2derivantS r S r r

r r r

A l'igualar S' a zero obtenim r = 2, que correspon a un mínim, ja que S'' > 0.

Com que r = 2 2

8 82

4h

r El cilindre té igual el radi que l'altura.

exemple: Busqueu els punts de la corba x4y2 , la distància dels quals al punt (4, 0) sigui mínima.

Segons la distància entre dos punts (en V

2) tenim:

2 2

1 2 2 1 2 1,d p p x x y y

Substituïm les dades:

22 2 24 0 2 16 8 4 4 16x x x x x x x

Derivant i igualant a zero obtindrem el mínim: 2

2 4' 0

2 4 16

xd

x x

2x04x2 . Obtindrem la y: 12

2

2 24

2 2

yy x y

y

Els punts demanats són: 2, 2 2 i 2, 2 2

exercicis complementaris: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i 11.

21 / 22

3.2.- Altres qüestions Consisteix en resoldre problemes i qüestions tenint en compte les propietats i aplicacions de la derivada. Per exemple: exercici complementari 1.

exercicis complementaris: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 i 11.