1. Estudio de funciones - Estudi de FuncionsEjercicios de funciones /exercicis de funcions. 1....
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Ofimega acadèmies - Funcions: Estudi gràfic de funció – domini- composició de funcions 1
1. Estudio de funciones - Estudi de Funcions
1.- Dominio de una función (domini) : Todos los valores de x donde exista y
Casos: 1- Si es polinómica: todo R (números reales)
2- Si hay una fracción: todo R menos donde se anule el denominador
3- Si hay una raíz par: el radicando 0
4- Si es logarítmica: el interior > 0
5- Si es por partes o trozos: debe existir x en todo el intervalo
2.- Recorrido (recorregut): Todos los valores que puede tomar la y ó f(x)
3.- Continuidad (continuitat) : Donde exista dominio y además en las funciones por partes o trozos cuando
en los extremos de x en el intervalo, el límite sea igual por la izquierda que por la derecha.
4.- Derivabilidad/derivabilitat: Donde sea continua y además en las funciones por partes o trozos cuando
en los extremos de x en el intervalo su derivada sea igual por la izquierda que por la derecha.
5.- Puntos de corte: - Horizontal con eje OX: cuando y = 0 hallamos ¿x? ; PH (0 , x)
(Punts de tall) - Vertical con el eje OY: cuando x = 0 hallamos ¿y? ; PV (0 , y)
6.- Asíntotas: - Horizontal: cuando Límite x = nº
(asímptotes) - Vertical: Cuando Límite x nº = (se anula el denominador)
- Oblicua: y = mx + n cuando lim de f(x)/x = m ; lim f(x) – x = n
(si hay horizontal, no hay oblicua)
7.- Crecimiento/creixement: - Creciente: f’(x) >0 (∆y sube) Decreciente: f’(x) <0 (∆y -- baja)
8.- Concavidad/concavitat: - Cóncava: Cuando pase de decreciente a creciente o la f’’(x) <0
- Convexa: Cuando pase de creciente a decreciente o la f’’(x) >0
9.- Máximos y mínimos: - Absolutos: Los valores de y más altos o bajos de todo el dominio
- Relativos: Los valores de y más altos o bajos de la gráfica local, x cercanos.
- Máximo: f’(x) =0 y es convexa o f’’(x) >0
- Mínimo: f’(x) =0 y es cóncava o f’’(x) <0
10.- Punto de inflexión: - Si f'' = 0 y f''' ≠ 0
11.- Simétrica: - Respecto del eje de ordenadas: Si f (−x) = f (x)
- Respecto del origen: Si f (−x) = −f (x)
12.- Periódica/periodicitat: - Cuando f (x+T) = f (x) ; T es el periodo que se repite.
Tipos
- Función de 1er grado: Recta con ecuación: y = mx + n de pendiente 𝑚 =∆𝑦
∆𝑥=
𝑦−𝑦0
𝑥−𝑥𝑜 y n ordenada del origen
- Función de 2º grado: parábola de ecuación: cbxaxy ++= 2, ceros: 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 vértice: 𝑥𝑣 =
−𝑏
2𝑎
- Función inversa: (x en el denominador): y = 1/x Siempre decreciente, Dom: R –{0} Asíntota vertical en 0
- Función racional: Fracción con posibles asíntotas verticales, horizontales y/o oblicuas
- Función irracional: Raíces. Sin dominio si es par y el discriminante <= 0. Curva puntiaguda
- Función logarítmica: sin dominio si el discriminante < 0. Curva chata
- Función exponencial: inversa a la logarítmica
- Función trigonométrica: suele ser periódica. sin(x) y cos(x) son senoidales.
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Ejercicios de funciones /exercicis de funcions.
1. Dominios: Determinar el dominio de las siguientes funciones /troba el domini de les següents funcions:
Ej. 1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1
𝑥2−9 Sol: El denominador no puede ser cero: x2 – 9 ≠0 → x≠ ±3 →Dom(f): R – {3, -3}
Ej. 2) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 5 Sol: La raíz debe ser ≥0 → x-5 ≥0 → x ≥ 5 → Dom(f): [5, +∞) ó 5 ≤ 𝑥 ≤ ∞
Ej. 3) 𝑓(𝑥) = √16−𝑥2
𝑥 Sol: a) Por la raíz par: 16 - x2 ≥ 0 → -x2 ≥ 16 → x ≤ ±4 → -4 ≤ x ≤ 4
b) Por el denominador: x≠0 → Uniendo ambas: Dom(f): [-4,4] – {0} ó [-4,0) U (0,4]
2. Funciones cuadráticas / funcions quadràtiques:
Indicar dominio, recorrido, imagen, coordenadas del vértice, sus raíces y representa:
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 4𝑥 + 12 (-6,0)(2,0)(0,12) b) 462)( 2 −+−= xxxh (1,0)(2,0) c) 2)2()( 2 ++= xxf 3. Ecuación de la recta: a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P = (1, 1) y Q = (–4, 2). Graficar. y = -1/5 x + 1/5
b) Dada la recta g(x) =1
2𝑥 – 4 , obtener la ecuación de la recta perpendicular a g que corta al eje de las
abscisas en x = 1. Graficar. Pista: Pendiente perpend. 𝑚𝑝 = −𝑚
2= −2 → y =-2x+2
4. Ecuación de la recta tangente / equació de la recta tangent a) Dada la parábola f (x) = x2 – 5x + 6. Halla la ec. de la recta tangente y pasa por el origen Sol: n=0 → y = -5x b) Encuentra la ecuación de la recta que es tangente a la parábola x2 – 5x + 6 en x=1 Pista: m=-3 c) Encuentra la ecuación de la recta paralela a la tangente a esa curva en x=1, que pasa por el punto (2,3) d) Encuentra la ecuación de la recta normal a la anterior y que pasa por el punto (2,3) e) Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola anterior y paralela a la recta: 3x + y − 2 = 0. f) Ecuación de la recta tangente a la parábola anterior, paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sol.: y=2x ; y=2x-1 ; y=-x/2 +4 ; y = −3x + 5 ; y= x - 3
g) Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX. Sol: y’ = 3x2 + 6x – 9 = 0 → x1 = 3 ; x2 = -1 → A(3, −22) B(−1, 10)
h) Determinar los valores del parámetro b, para que las tangentes a la curva de la función
f(x) = b2x3+ bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas. Sol: b = 0 b = −2/9
5. Funciones por partes / trozos: Dominio, continuidad y derivabilidad de las funciones definida a trozos:
y =
x2 si x<2
4 si x>2
x2 si x=<2
4 si x>2
x2 si x<1
4 si x>2
x2 si x=<2
4 si x>2
x2 si x<3
4 si x>3
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Ejercicios resueltos
1.- Crecimiento y decrecimiento. Halla los
intervalos de crecimiento y decrecimiento de la
función 296)( 23 ++−= xxxxf
2.- Máximos y mínimos. Halla los máximos y mínimos de la función 33)( xxxf −=
033)( 2 =−= xxf 12 =x 1=x 2ª derivada: xxf 6)( −=
Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:
06)1(6)1( =−−=−f mínimo para x = - 1
061.6)1( −=−=f máximo para x = 1
3.- Concavidad y convexidad. Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la
función 46)( 24 +−= xxxf
Primera derivada: xxxf 124)( 3 −=
Segunda derivada: 1212)( 2 −= xxf 01212 2 =−x 012 =−x 1=x
Intervalos (- ∞, -1) (-1, 1) (1, +∞) Signo de la 2ª derivada + - +
Función
4.- Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) x
xf2
)( = en x = - 1; b) 12
45)(
+
−=
x
xxf en x = 1
Solución:
a) 122
)( −== xx
xf ; 2
2 22)(
xxxf
−=−= − 02
1
2
)1(
2)1(
2−=
−=
−
−=−f decrec. en x = -1
b) 12
45)(
+
−=
x
xxf
222 )12(
13
)12(
810510
)12(
)45(2)12(5)(
+=
+
+−+=
+
−−+=
xx
xx
x
xxxf
09
13
)11.2(
13)1(
2=
+=f La función es creciente en x = 1
5.- Estudia el crecimiento de la función xxey =
Solución: )1(..1 xexeey xxx +=+= 0)1( =+ xe x
=+
=
01
0
x
ó
e x
xe es siempre mayor que cero, luego la única solución posible se obtiene de la ecuación 01 =+ x x = -1 Obtenemos los intervalos )1,( −− y ),1( +− y estudiamos el signo de la derivada en un punto
cualquiera para cada intervalo:
Para x = -2, 01
)1.(1
)21()2(22
2 −=−=−=− −
eeey (negativa)
Para x = 0, 01)01()0( 0 =+= ey (positiva)
Se obtienen así los siguientes intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos (-∞, -1) (-1, +∞)
Signo de la derivada - +
Función
Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función
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Representación y estudio de funciones. Hoja de ejercicios. Soluciones al final
Hoja 1
1.- f(x) = x 3 – 3x - 2)
2.- f(x) = 𝒙 · √𝟒 − 𝒙𝟐
3.- f(x) = 4𝑥2
𝑥2−4
4.-
5.-
6.-
Hoja 2:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.- Halla la tasa de variación media en el intervalo [1, 4] de la función:
12.- Dibuja la gráfica aproximada de f(x) sabiendo que pasa por los puntos
(-2, -2), (0, 1) y (2, 0) y la de su derivada es: →
13.- Dibuja la gráfica aproximada de f’(x) sabiendo que la de f(x) es: →
14.- Halla los valores de a y b en la función baxxxf ++= 2)( sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3
15.- Halla a, b y c en la función dcxbxaxxf +++= 23)( sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el
punto Q(2,0) un mínimo
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Hoja de soluciones 1.
1.- Representa y estudia la función: f(x) = x 3 – 3x - 2
Dom R - Cortes (-1,0) y (2,0)
2.- Representa y estudia la función: f(x) = x 4-x2
Dom intersección de R con [-2,2] Dom (fx)= [-2,2]
Cortes: (0,0) ; (-2,0) y (2,0)
3.- Representa y estudia la función: f(x) = 4x2 / ( x2 – 4 )
Dom= R – {-2,2} ; Corte: (0,0) ;
Asíntotas: AVert: en x=2 y x=-2 AHoriz: y=4
4.- Representa y estudia la función:
P corte: (0,2) y (-4,0) ;
Asíntotas AV: x=1 ; AH: y =- ½
No tiene extremos
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5.- Representa y estudia la función:
Dom: R – {-1,1} ; P corte: (0,0) ;
6.- Representa y estudia la función:
Dom R-{5}
Asíndota oblícua: y = x
P corte: PH: (1,0) y (4,0) PV (0, -4/5)
Extremos:
f’(x) = 0 x1=3 y en x2= 7
Concavidad, máximos y mínimos:
Crecimiento:
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Hoja de Soluciones 2.
1.-
f’(x)=3x2-6;
si f’(x)=0 x=0 y x=2
Crecimiento: (-, 0)U(2, )
Decrecimiento: (0, 2)
Máximo en (0,2)
Mínimo en (2,-2)
Asíntotas: No
2.-
f’(x)=4x3-6x2
Asíntotas: No
(no es racional)
Min. en: (3/2,-27/16)
f’’(x)=12x2-12x
Punt. Inf: (0,0)
3.-
4.-
Dominio: R
Recorrido: [0,)
(Siempres es
positiva)
5.-
6.-
7.-
8.-
9.-
10.-
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11.- Halla la tasa de variación media en el intervalo [1, 4] de la
función:
12.- Dibuja la gráfica aproximada de f(x) sabiendo que pasa por los puntos (22, 22), (0, 1) y (2, 0) y la de su
derivada es:
13.- Dibuja la gráfica aproximada de f’(x) sabiendo que la de f(x) es:
14.- Las pérdidas o ganancias de una empresa, expresadas en centenas de miles de euros cuando han
transcurrido t años, sigue la función:
a) Determinar el año en que la empresa deja de tener pérdidas.
b) ¿Es creciente la ganancia? ¿En qué año la ganancia supera los 100000 €?
c) ¿Existe límite para la ganancia? En caso afirmativo, ¿cuál es ese límite?
Res:
a) Dejará de tener pérdidas cuando f(t)=0:
Deja de tener pérdidas a partir del segundo año. (Después de dos años.)
b) La ganancia siempre es creciente.
Para una ganancia sup a 100.000:
A partir del sexto año.
a) La ganancia tiene un límite, que es de 200000 €.
15.- Halla los valores de a y b en la función baxxxf ++= 2)( sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y
tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = -3
Si pasa por el punto (-2, 1), para x = -2 la función vale 1, es decir, 1)2()2( 2 =−−+− ba 3−=−− ba
Como tiene un extremo para x = -3 su derivada se anula en dicho punto, es decir, axxf += 2)(
0)3(2 =+− a a = 6 Y sustituyendo en la ecuación –a –b = -3 se obtiene el valor de b: 36 −=−− b b = -3
16.- Halla a, b y c en la función dcxbxaxxf +++= 23)( sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el
punto Q(2,0) un mínimo.
La función pasa por (0,4), por tanto, 40.0.0. 23 =+++ dcba d = 4
La función pasa por (2,0), por tanto, 02.2.2. 23 =+++ dcba Luego 0248 =+++ dcba
P(0, 4) es un máximo: cbxaxxf ++= 23)( 2; 00.20.3)0( 2 =++= cbaf c = 0
Como el punto Q(2,0) es un mínimo, su derivada se anula para x = 2: 0412 =++ cba
=++
=
=+++
=
0412
0
0248
4
cba
c
dcba
d
=+
−=+
0412
448
ba
ba
=+
−=+
03
12
ba
ba
=+
=−−
03
12
ba
ba a = 1; b = 3
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2. Composición de funciones y función inversa
Composición de funciones:
Es una nueva función que asocia a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]
Ejemplo: (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1 (g o f) (1) = 6· 1 + 1 = 7
El elemento neutro es la función compuesta es la función identidad, i(x) = x.
Ejemplo: Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥+3
2𝑥+1
Función inversa o recíproca:
Hay que distinguir entre la función inversa, f-1(x) , y la inversa de una función: 1/f(x) .
La inversa de la función f(x)=x+4 es 1/(x+4) .
La función inversa o recíproca de (x)=x+4 es f-1(x)=x-4 porque la composición de las dos funciones es la función
identidad: 𝑆𝑖: 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 4 y 𝑔 (𝑥) = 𝑥 − 4 → 𝑓 ∘ 𝑔 = (𝑥 − 4) + 4 = 𝑥
En valor: 𝑔 ∘ 𝑓(5) = (5 + 4) − 4 = 5
Para construir la función inversa seguir los siguientes pasos:
1º Se escribe la función con x e y . 2º - Se despeja la variable x. 3º - Se intercambian las variables.
Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 2𝑥+3
𝑥−1
Cambiamos f(x) por y, y despejamos x: 𝑦 = 2𝑥+3
𝑥−1 → 𝑥 =
𝑦+3
𝑦−2 Intercambiamos: 𝑓−1(𝑥) = 𝑦 =
𝑥+3
𝑦−2