1.1. Definición de Un Vector

Unidad 1. Álgebra de Vectores Cálculo vectorial

CÁLCULO VECTORIAL

UNIDAD I. ÁLGEBRA DE VECTORES 1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica.1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.1.3 La geometría de las operaciones vectoriales.1.4 Operaciones con vectores y sus propiedades.1.5 Descomposición vectorial en 3 dimensiones.1.6 Ecuaciones de rectas y planos.1.7 Aplicaciones físicas y geométricas.

1.1. DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN R2, R3 Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

El estudio de vectores y matrices es el corazón del algebra lineal. El estudio de vectores se inició con la idea de representar ciertos objetos en el plano y el espacio. Los vectores se pueden representar igual por matrices.Los vectores se pueden representar por matrices; una matriz esta conformada por renglones y columnas. Se le llama vector renglón de n componentes y se escribe

(x1, x2, x3,… xn), y el vector columna de n componentes:

Los componentes de todos los vectores son números reales o complejos. Se denota al conjunto de todos los números reales por R y al conjunto de los números complejos por C.Se usa el símbolo Rn para denotar al conjunto de todos los n-vectores (a1, a2, a3,…

an) o , donde cada ai es un número real.

VECTOR EN EL PLANO R2

R2 es el conjunto de vectores (x1, x2) con x1 y x2 como números reales. Como cualquier punto en el plano se puede escribir en la forma (x,y), por lo tanto cualquier punto en el plano es un vector en R2, y viceversa, así los términos en el plano y R2 con frecuencia son intercambiables, sin embargo para muchas aplicaciones físicas es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y dirección

Sean P y Q dos puntos en el plano, entonces el segmento de recta dirigido

de P a Q denotado por es el segmento de recta que va de P a Q (vea figura

1). Observe que los segmentos de recta dirigidos y son diferentes puesto que tienen direcciones opuestas.

Ing. Cintia del Carmen Hernández Crisóstomo 1


Figura 1.

El punto P en el segmento de recta dirigido se llama punto inicial del segmento y el punto Q se llama punto Terminal. Las dos propiedades más importantes de un segmento de recta dirigido son su MAGNITUD (LONGITUD) y su DIRECCIÓN.

Si dos segmentos de recta dirigido tienen la misma magnitud y dirección se dice que son equivalentes, sin importar donde se localicen. (Véase figura 2).

Figura 2. Segmentos de recta equivalentesDEFINCIÓN GEOMÉTRICA DE UN VECTOR: El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier segmento de recta en ese conjunto se llama representación del vector.

DEFINICIÓN ALGEBRAICA DE UN VECTOR: Un vector V en el plano XY es un par ordenado de números reales (a, b). Los números a y b se llaman elementos o componentes del vector V. El vector cero se representa (0, 0)

Existen dos vectores especiales en R2 que nos permite representar otros vectores en el plano de manera conveniente. Se denota el vector (1, 0) por el símbolo i y el vector (1, 0) por el símbolo j. si v = (a, b), es cualquier vector en el plano entonces V= (a, b) = ai + bj. Esto significa que el vector está descompuesto en sus componentes horizontal y vertical. Lo mismo sucede con el vector en el espacio R3

VECTOR EN EL ESPACIO R3



De manera similar al plano se representan los vectores en el espacio. R3 es el conjunto de vectores (x, y, z) con x, y y z como números reales. Se muestra geométricamente de la siguiente manera (véase figura 3)

Figura 3. Representación del plano (x, y, z)

Los siguientes puntos (-2, 5, 4), (2, -5, 3), (1, 6, 0) y (3, 3, -2) se representan gráficamente de la siguiente manera (vea figura 4):



Figura 4. Representación en un sistema de coordenadas tridimensional

Ejercicios de participación 1



Representa en un sistema tridimensional los puntos: (2, 2 -3)(0, -3, 4)(-4, 0, 2)(1, 1, 1)

1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales.INVESTIGACIÓN DE ESTE TEMA

1.3 LA GEOMETRÍA DE LAS OPERACIONES VECTORIALES.

Gráficamente, el producto de un vector v por un escalar k es un vector que tiene longitud igual a k veces la de v (veáse la siguiente figura). Si k es positivo, kv apunta en la misma dirección que v. Si k es negativo, kv apunta en la dirección opuesta a la de v.

Para sumar dos vectores gráficamente, se colocan (sin cambiar sus longitudes y direcciones) con el punto inicial de uno coincidiendo con el punto final del otro, como en la figura 10.7. El vector u+v, llamado vector resultante, es la diagonal de un paralelogramo que tiene a u y v como lados adyacentes.La figura 10.8 ilustra la equivalencia de las definiciones geométricas y algebraica de la suma de vectores y de la multiplicación por un escalar y presenta una interpretación geométrica de u-v



1.4. OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES



Operaciones con vectores:

Ejercicios de participación 3. Resuelve:

Sea u= 2i – 3j y v = -4i + 6jCalcular los vectores:

a) u + vb) u – vc) 3ud) -7ve) 8u – 3v f) 4v – 6u



MAGNITUD DE UN VECTORComo en realidad un vector es un conjunto de segmentos de recta

equivalente s, se define la magnitud o longitud de un vector como la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección como la dirección de cualquiera de sus representaciones.



DIRECCIÓN DE UN VECTOR

Se define a la dirección del vector V(a, b) como el ángulo θ, medido en radianes, que forma el vector con el lado positivo del eje x.

, esto es en grados, y para convertirlo en radianes, 180° equivale a π

radianes

Ejemplos: Calcular la magnitud y dirección (en radianes) de los siguientes vectores:

1. v (2 , 2)

Sol.

Magnitud

θ =

shift tan 1 = 45°, Convirtiéndolo en radianes

180°-------- π radianes45° -------- X radianes

θ = dirección



Ejercicios de participación 2

Calcule magnitud y dirección de los siguientes vectores, con punto inicial en:

2. v (2, 2 )3. v (-3, -3)4. v = 6i – 6j5. v (0, 3)

.

VECTOR UNITARIO: Un vector unitario es un vector con longitud 1.

Ejemplos:

Demostrar que el vector u= es un vector unitario

La comprobación se hace de la siguiente manera:

u =

Ejercicios de participación 4.- Demuestra si el vector v = es un vector

unitario



COMO ENCONTRAR VECTORES UNITARIOS DE UN VECTOR DADO

Ejemplos: 1. Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que V=2i -3j

Solución:

Vector unitario de V (realiza la comprobación)

Ejercicios de participación 5:2. Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que V=-3i +4j3. Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que V=2i + 3j

4. Encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que y comprobar que tiene longitud 1.

1.5 DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL EN 3 DIMENSIONES.



OPERACIONES CON VECTORES EN R3

De manera similar a los vectores en R2, se trabajarán los vectores en R3. Solamente se deberá aumentar el vector k o z a las formulas ya trabajadas:Para determinar la magnitud de un vector se aplica la misma fórmula de distancia:

Ejemplo:

Ejercicios de participación 6:1. Calcule la distancia entre los puntos: P (3, -1, 6) y Q ( -2, 3, 5). Grafique 2. Calcule la longitud del vector v (-3, -2, 4)3. Determine un vector unitario al vector u= (2, 1, 2) y compruebe4. Sean P (3, -1, 6) y Q (-2, 3, 5). Realice: P+Q, Q – P y 2P



PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

OA' es la proyección escalar de sobre el vector .



Ejercicios de participación 7: Dados: u = 2i + 5j y v = 5i + 2j y w = -5i, calculara) b) c) d) e)



ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES

Orientaciones posibles de los vectores:



Ejercicios de participación 8: 1. Encuentre el ángulo entre los vectores u= 2i + 3j y v = -7i + j y grafique.

2. Encuentre el ángulo entre los vectores u= -5i y v = 18j y grafique.



Los vectores unitarios se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:

PRODUCTO VECTORIALNota: El producto vectorial en el plano no esta definido, esto solo aplica a vectores en tres dimensiones.

Una manera conveniente de calcular el producto vectorial u x v es utilizando determinantes (Esta forma de determinante 3 x 3 se usa solo como ayuda para memorizar la fórmula del producto vectorial)



Ejemplos:

Ejercicios de participación 9: Resuelve: inciso b) y c)



PRODUCTOS TRIPLES (ESCALAR Y VECTORIAL)

Si los vectores u, v y w no son coplanarios, su producto mixto da el volumen del paralelepípedo (poliedro cuyas caras son paralelogramos) que tiene a u, v y w como caras adyacentes. Véase la siguiente figura:

Ejemplo:



Ejercicios de participación 10: Producto escalar triple o producto mixto



Ejercicio de participación 11. Grafique el 37 y 38

1.6 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS.

En el plano se puede encontrar la ecuación de una recta si se conocen dos puntos sobre la recta, o bien un punto y la pendiente de la misma.

En el espacio, la intuición dice que las ideas básicas son las mismas.



En caso de no tener el vector paralelo y se tienen dos puntos dados P(x1, y1, z1) y

Q(x2, y2, z2), entonces se busca el vector paralelo, haciendo un vector = < x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 >, para poder obtener así el vector v = < a, b, c >

Ejemplo:

Solución:



Ejercicios de participación 12:1. Determinar las ecuaciones paramétricas y simétricas para la recta L que pasa

por el punto (-2, 0, 3), paralela al vector

2. Determinar las ecuaciones paramétricas y simétricas para la recta que pasa por

los dos puntos



Ejemplos: Encuentre la ecuación del plano que pase por el punto (2, 4, -1) con vector normal n=<2, 3, 4>, determine las intersecciones y dibuje el plano



1.7. APLICACIONES FÍSICAS Y GEOMÉTRICAS

Ejercicios de participación 13:



Ejercicios de participación 14. Calcular el área de un triángulo cuyos vértices se muestran a continuación, el área del triángulo con u x v y como lados adyacentes es ½ |(u x v)|

Aplicaciones de fuerzas como vectores:

Los vectores son muy útiles en muchos aspectos de la física e ingeniería. Una fuerza se representa mediante un vector porque siempre tiene una magnitud (media en libras o en Newtons9 y una dirección. Si sobre un objeto actual actúan varias fuerzas. La fuerza resultante que experimenta el objeto es la suma vectorial de esas fuerzas.

Ejemplo: Una pesa de200 lb cuelga de dos alambres como se muestra en la figura 1 siguiente, determine las tensiones (fuerzas) T1 y T2 en ambos alambres y sus magnitudes



Figura 1.

Solución: Primeramente se tienen que descomponer las fuerzas en sus componentes x e y

La resultante T1

y T2

de las tensiones contrarrestan al peso W, por lo tanto



T1

+ T2

= -w = 100 j

Entonces

Reacomodando tenemos:

Igualando los componentes se tiene:

Al despejar T1

de la primera ecuación y sustituirla en la segunda se obtiene:



Sustituyendo en las tensiones T1

y T2

, se tiene:

Encuentre la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forme con el eje X.



Ejercicios de participación15

1. Si un niño jala un trineo por la nieve con una fuerza de 50N ejercida a un ángulo de 38° arriba de la horizontal, encuentre las componentes horizontal y vertical de la fuerza.

2. Un mariscal de campo lanza un balón con ángulo de elevación de 40° y una velocidad de 60 ft/s. Encuentre las componentes horizontal y vertical de la fuerza.

3. Sea el vector v = 5i + 3 j + 15k. Determinar:a) Los cosenos directores de v.b) El vector u que forme un ángulo de πradianes con v.c) Las componentes escalar y vectorial de v en las direcciones de los vectores unitarios i, j y k.


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