100412_70_TRABAJO_FASE_3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de ciencias básicas tecnologías e Ingeniería

ECUCACIONES DIFERENCIALES2015

ActividadFase 3 Unidad 3

Grupo:100412_70

Presentado Por:

Sonia Patricia Rojas AreroCód.: 1.077.083.048

Elber Rodrigo Garzón PrietoCód.: 1.077.083.951

Jhon Edward Benavides RamírezCód.:12.265.815

Tutor:

William De Jesús Montoya Henao

Universidad Nacional Abierta Y A Distancia UNAD

Mayo 16 De 2015



INTRODUCCIÓN

Con la elaboración del presente trabajo se pretende dar evidencia de los conocimientos adquiridos, por medio del estudio de la unidad 3, del curso de ecuaciones diferenciales, mediante la solución de los ejercicios, planteados en la guía de actividades.

Dentro de los temas que abarcamos en esta unidad tenemos: técnicas para resolver ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas, solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias, funciones especiales y series matemáticas, series de Taylor, solución de ecuaciones diferenciales mediante series de Taylor.



OBJETIVOS

Objetivo General

Desarrollar serie de ejercicio demostrando los conocimientos adquiridos por medio del estudio de la unidad tres, del curso de ecuaciones diferenciales, mostrando habilidades en los temas de Estudio de series u funciones espéciales y generalidades del estudio de series.

Objetivos específicos

Dar solución a ecuaciones diferenciales mediante series de potencias Utilizar funciones especiales y series matemáticas, para el desarrollo de ejercicios

planteados.



Escoger del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada temática y desarrollarlo de forma individual.

Temática: ecuaciones diferenciales y solución por series de potencias

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series de Taylor (SONIA ROJAS)

dydx

=e−x2

, y (0 )=1

y ( x )=1+∫0

x

e−t2

dt (1)

Debemos calcular las derivadas sucesivas y evaluarlas en x=0,

y II (x )=−2xe− x2

; y II (0 )=0

y III ( x )=(4 x2−2e−x2 ) ; yIII (0 )=−2

y IV ( x )=(−8 x3+12x e−x2 ) ; y IV (0 )=0

yV ( x )=(16 x4−48 x2+12e−x2 ) ; yV (0 )=12

Notando que y (0 )= y0(0)=1 y y I (0 )=1 y remplazamos en a ecuación se obtiene la

solución.

y ( x )=1+x− x3

3+ x5

10−∝ (2)

Suponiendo que la ecuación dydx

=e−x2

, y (0 )=1, Tiene una solución en serie de Potencias

y ( x )=∑n=0

∞

an xn (3)

Haciendo x=0 en la anterior ecuación, e imponiendo la condición inicial se obtiene y (0 )=1=ao, diferenciando en la ecuación anterior obtenemos:

y I ( x )=∑n=1

∞

nan xn−1=∑n=0

∞

(n+1 ) an+1 xn(4)



Ya que

ex=∑n=0

∞

xn/n! ,

e− x2

=∑n=0

∞ (−1)n x2n

n! (5)

Remplazamos 4 y 5 en 1, encontramos

y I ( X )=∑n=1

∞

nan xn−1=∑n=0

∞ (−1)n x2n

n!

En forma equivalente

a1+2a2 x+3a3 x2+4a4 x3+5a5 x4+∝=1−x2+ x4

2+ x6

6+∝

Igualando los coeficientes de potencias iguales, encontramos

a1=1 , a2=0 , a3=−13

, a4=0 , a5=1

10, a6=o ,∝

En general, se tiene

a2n=0

a2n−1=¿¿

Se tiene la solución:

y ( x )=1+∑n=0

∞ (−1)n x2n+1

(2n+1 ) n !



y II (x )=−2xe− x2

; y II (0 )=0

y III ( x )=(4 x2−2e−x2 ) ; yIII (0 )=−2=−2 !1 !

y IV ( x )=(−8 x3+12x e−x2 ) ; y IV (0 )=0

yV ( x )=(16 x4−48 x2+12e−x2 ) ; yV (0 )=12=12∗22

=4 !2!

yVI ( x )=(−120 x+160 x3−32x5 e−x2 ) ; yVI (0 )=0

yVII ( x )=(−120+720x2−480 x4+64 x6 e−x2 ) ; yVII (0 )=−120=12∗66

=−6 !3 !

Se observa la siguiente ley de formación:

y(2n)=0 ,

y(2n−1)=(−1)n−1 (2 (n−1 ))!(n−1)

n=1,2,3 ,∝

En consecuencia, se tiene los coeficientes

a2n=y(2n)

(2n)!=0 ,

a2n−1=y(2n−1)

(2n−1)!=(−1)n−1 (2 (n−1 ))!

(2n−1)!(n−1)!n=1,2,3 ,∝

O bien,

a2n=0 ,

a2n−1=(−1)n−1 (2 (n−1 ))!(2n−1)!(n−1)!

=¿

¿(−1)n−1 1(2n−1)! (n−1)!



y ( x )=1+∑n=0

∞ (−1)n x2n+1

(2n+1 ) n !

2. Revisar la convergencia de las siguientes series (ELBER GARZÓN)

SERIE 1.

∑n=1

∞en n!nn

limn→ ∞

en+1 (n+1 ) !(n+1 )n+1

en n!nn

limn→ ∞

nn en+1 (n+1 ) n!

(n+1 )n(n+1)en n !

limn→ ∞

nne(n+1 )n

limn→ ∞

e ( nn+1 )

n

y=e∗limn→∞ ( n

n+1 )n



ln y=e∗limn→ ∞

ln( nn+1 )

n

ln y=e∗limn→ ∞

n ln( nn+1 )

y=e∗( 1e )

y=1

Se aplica la fórmula de Stirling, ya que no se ha podido concluir el criterio

∑n=1

∞en n!nn donde n! ≈√2 πn( n

e )n

∑n=1

∞ en √2 π n( ne )

n

nn

∑n=1

∞en √2 πnnn

nn en

∑n=1

∞

√2 πn=∑n=1

∞

√2π∗√n , criteriode la raiz

√2π∑n=1

∞n√√n

¿√2π∑n=1

∞

(n)12n

lny=√2π limn→∞

ln (n)1

2n

Se aplica hopital



ln y=√2 π limn→ ∞+¿ lnn

2n=F. I ∞

∞¿

¿

lny=√2π limn→∞+¿ (1/n)

2¿

¿

lny=√2π2

limn→∞+¿ 1

n,donde an=1 ,serie armonica ¿

¿

∑n=1

∞1n

,la serie esdivergente ,conclusión∑n=1

∞en n !

nn esdivergente

SERIE 2

∑n=1

∞n

(n+1)(n+2)(n+3)criterio de laintegral

∫ n(n+1)(n+2)(n+3)

dn=limb→ ∞

∫1

bx

(x+1)(x+2)(x+3)dx

x( x+1 ) ( x+2 ) (x+3 )

= A( x+1 )

+ B( x+2 )

+ C( x+3 )

x=A ( x+2 ) ( x+3 )+B ( x+1 ) ( x+3 )+C ( x+1 ) ( x+2 )

Donde A=−12

, B=2 ,C=−32

limb→ ∞ [−1

2∫1

b1

( x+1 )dx+2∫

1

b1

( x+2 )dx−3

2∫1

b1

( x+3 )dx ]



limb→ ∞ [−1

2ln ( x+1 )+2 ln ( x+2 )−3

2ln ( x+3 )]|b1=0.2287

La integral converge

∑n=1

∞n

(n+1)(n+2)(n+3)convergente

SERIE 3

∑n=1

∞1

2n+1criteriodecomparacion

∑n=1

∞1

2n+1

2n+1>2n

1

2n+1< 1

2nCOVERGENTE

SERIE 4

∑n=1

∞1n!

limn→∞

an+1

an=¿



limn→∞

1(n+1 )!1n!

=Criterio de larazon

limn→∞

n!

(n+1 ) !=¿

lim n→∞

n!(n+1 ) n!

limn→∞

1

(n+1 )=0CONVERGENTE



JHON EDWARD BENAVIDES RAMIREZ



2. Plantear con el grupo colaborativo otra situación problema que pueda ser desarrollado a través de los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y solución de la situación

Un Isotopo radiactivo torio 234 se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente del mismo. Si 100 mg de este material se reduce a 82.04 mg en una semana.¿Encontrar una expresión para la cantidad presente en cualquier instante de tiempo ; también hallar el intervalo de tiempo que debe transcurrir para que la masa de carga llegue hasta la mitad de su valor original.

Solución:

Sea Q (t), la cantidad de torro 234 presente en el tiempo t

dQdt

=−KQ (t)

dQd (t)

=−KQ (t)

ln|Q|=−Kt+C1

Q ( t )=e−kt+c1

Q ( t )=ec1 e−kt

Condición 1:

Q (0)=100

t=0 Q=100

100=ec1 e−k(0)

100=ec1

Entonces:

Q (t )=100e−kt



Condición 2:

t=7 Q=82.04

82.04=100e−7k

Q (0 )=100

Q (7 )=82.04

82,04100

=e−7 k

0,8204=e−7k

ln 0,8204=−7 k

−ln 0,82047

=k

0,02828=k



CONCLUSIONES

Se logró desarrollar la serie de ejercicio planteados en la guía, demostrando los conocimientos adquiridos por medio del estudio de la unidad tres, del curso de ecuaciones diferenciales.

Se dio solución a ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. Se Utilizaron funciones especiales y series matemáticas, para el desarrollo de

ejercicios planteados. Se dio cumplimiento con los requerimientos establecidos en la guía de trabajo.



BIBLIOGRAFÍA

EcuacionesDiferencialesconAplicacionesdeModelado,OctavaEdición. Brooks/Cole Publishing Co. ITP. QA 372.Z54 1997. En biblioteca.

Zill, D. G. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Iberoamericana,1988.

Universidad Nacional Abierta y A Distancia-UNAD, Escuela de ciencias Básicas, Tecnología Ingeniería, Contenido didáctico del curso de ecuaciones diferenciales.

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