ECUACIONES DIFERENCIALES Y SOLUCION POR SERIE DE POTENCIAS

TRABAJO COLABORATIVO 3

PRESENTADO POR:

Erwin Yessid Acosta Rey Cod. 9479451

Eliecer Rendon

Juan Carlos Gonzalez

Jos Julin Rueda Martnez Cod 91154491

Curso Ecuaciones Diferenciales

GRUPO: 100412 -42

TUTOR

JADER ESTRADA RODRIGUEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

INTRODUCCION

Presentamos a continuacin el desarrollo de la actividad grupal con la solucin de los ejercicios planteados en la

gua de actividades teniendo presente las recomendaciones dadas, se puede ver la solucin de cada ejercicio

teniendo en cuenta los aportes de cada uno de nosotros, se presenta de forma grupal nuestros conocimientos

adquiridos durante la presente actividad y durante el presente curso de ecuaciones diferenciales.

Esperamos poder cumplir con nuestros objetivos del curso, con los objetivos de la actividad y con muchas ganas

de que podamos aplicarlo en nuestra vida cotidiana, adicionalmente nos ser de mucho agrado poder compartir

esta experiencia e interaccin grupal.

1. Resolver el problema de valor inicial a travs del mtodo de series de potencias:

)=3 y )

Debemos hallar la solucin

luego comprobamos que al aplicar el problema del valor inicial, es decir, ) y )

Nos conduce a una nica solucin y 0 a infinitas solucin

Suponemos que

.

)

Luego sustituyo en la ec. Diferencial

)

)

Se enfasan (o empatan) los exponentes y los lmites de las sumas:

)

Todos los exponentes de la x arrancan en n=1; pero el lmite es infinito de todas las sumatorias deben enfasarse o

empatarse.

Para lograrlo el exponente de la de la primera sumatoria, que es

se hace:

si (lmite inferior de la )

Entonces

) ) )

;

)

sustituyo en la ec. Diferencial

)

)

se enfasan los exponentes y los lmites de las sumas

)

Todos los exponentes de la x arrancan en ; pero el limite infinito de todas las sumatorias deben enfarse o

empatarse

para lograrlo el exponente de la x de la primera sumatoria, que es

se hace

si (lmite inferior de la )

Entonces ) ) )

;

solo se sustituye a por ;

se sustituye a por ;

Tenemos ) ) )

+8

=0

Ordenando: (8 +6 )+ [ ) ) ]

=0 debemos poner todo en funcin

Luego

)

Todos los exponentes de la x arrancan en n=1; pero el lmite inferior de todas la sumatorias deben enfasarse o

empatarse; para lograrlo el exponente de x de la primera sumatoria, que es se hace

Si lmite inferior de la

Entonces

) )

= [ ) ) ] ;

solo se sustituye a n por k;

se sustituye a n por k

Tenemos 6 ) )

Ordenando: (8 ) [ ) ) ]

Luego

debemos poner todo en funcin de

) ) K debe arrancar de 1

k=1,2,..n

) ) )

)

) ) Relacin de Recurrencia

2. Revisar la convergencia de las siguientes series

{

} {

} {

} {

}

3. Hallar la solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencial alrededor del punto X=0:

Entonces:

)

)

) )

[ ) ) ]

) )

) )

4. Resolver por series la ecuacin diferencial

(X2-1)Y+4XY+2Y=0

Solucin:

x2-1=0 x = 1 son puntos singulares y los x 1 son puntos ordinarios.

Trabajamos con el punto ordinario x = 0, los candidatos a solucin son de la forma

Y(x) = nxn

Debemos hallar las Cn; derivamos dos veces:

y(x)= Cnxn-1

y(x)= (n-1)Cnxn-2

Pasamos a sustituir y(x) Y y(x) en la ecuacin diferencial original:

x2y y +4xy +2y = 0

(n-1)Cnxn (n-1)Cnx

n-2 + nCnx

n + Cnx

n =0

Homogenizamos las potencias de x:

(n-1)Cnxn +2) (m+1)Cm+2x

m + nCnx

n + Cnx

n=0

Haciendo

Escribimos todo en trmino de K:

) kxk ) ) Ck+2x

k + Ckx

k + kx

k = 0

Ahora homogenizamos el ndice de las series:

) kxk 2C2 (3) (2)C3 x )

k+2x

k +4C1x

+ kxk + 2C0 +2C1x +

kx

k = 0

Luego

2C0 -2C2+ (6C1 -2.3C3) x+ ) k (k+2) (k+1)Ck+2+4kCk+2Ck} x

k = 0

Comparando coeficientes:

x0 : 2C0 - 2C2 = 0 C2 = C0

x1 : 6C1 6C3 = 0 C1 = C3

xk: {k (k -1) +4k +2} Ck (k+2)(k+1) Ck+2 = 0 k = 2,3,

(k2 +3k +2) Ck - (k+2) (k+1) Ck+2 = 0

(k+2) (k+1) Ck (k+2) (k+1)Ck+2 = 0

CK+2 = Ck

Ck+2 = Ck k = 2, 3

Formula de recurrencia para los coeficientes.

Iteremos la formula de recurrencia:

k = 2: C4 = C2 = C0

k = 3: C5 = C3 = C1

n 2 = m n = m + 2

n =2 m = 0

(K+2)(K+

1)

(K+2)(K+1)

k = 4: C6 = C4 = C0

k = 5: C7 = C5 = C1

Volviendo a

Y(x) = nxn = C0+C1 x + C2 x

2+C3x

3 + C4x

4 + C5x

5 + C6x

6 + = C0+ C1x + C0 x

2 + C1 x

3 +C0 x

4 +C1 x

5 +

C0 x6 +.

La solucin general:

= C0

= C0 + C1x (1+ x2 + x

4 +x

6 ++ x2n +)

= C0 + ya que = 1 + x + x2 + x

3 +

Siendo y1(x) y y2(x) dos soluciones linealmente independientes.

5. Encuentre para la ecuacin diferencial dos soluciones en serie de potencias en torno al punto Ordinario

x=0 que sean linealmente independientes.

+xy=0

Y=

)

)

)

)

(1+x2+x4+x6++x2n +..) + C1 (x+x3+x5++ x2n+1 +

y1(x) y2(x)

1

1-x2

1

1-x2

C1x

1-x2

1

1-x

2C0+6C3X+ )

2C0+6C3X+ )

( )

(2+x) 6C3X+ )

)

K=n-2 k=n+1

K=2 K=2

n=K+2 n=K-1

K=5 C6 =

(

)

K=6 C6 =

(

)

Y= C0+C1X+C2

Y=

Y= )

CONCLUSIONES

Desarrollamos la actividad grupal con la solucin de los ejercicios planteados en la gua de actividades.

Cumplimos con nuestros objetivos del curso, con los objetivos de la actividad y con las recomendaciones

dadas sobre la actividad.

Se realiz un trabajo en equipo y buena interaccin grupal.

Aprendimos temas de inters para el desarrollo de ecuaciones diferenciales.

REFERENCIAS

Vindel, P, (2009). Fundamentos Matemticos de la Ingeniera. Recuperado de:

Cuartas, R., (2011). Mdulo 4: ecuaciones diferenciales de orden superior. Videos. Disponible en

Escobar, J. (2004). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple. Leer pginas 81 a 100.

Recuperado de:

Gmez, R. (2012). Mdulo Ecuaciones Diferenciales. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Leer

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Franquet, J. (2013). Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias finitas. Leer pginas 336 a

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Zill, D. Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera. Sptima

Edicin, Mxico, Cengage Learning. Leer pginas 219 a 222.