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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ECUACIONES DIFERENCIALES 

Cod. 100412 

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior 

Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas

con coecientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas yresuélvalas.

A3   y'' +2 y ' −8 y=0

Respuesta

No45re estud!ante 6ue rea2!7a e2 e8er9!9!o: Ra!ner Da!d Bue2as Es9o5arPROPOSICION ENUNCIADO OE;PRESI/N MATEM,TICA

RA0ON O E;PLICACION

 y

' ' +2

 y

' −8

 y=0 Es una ecuación diferencial lineal homogénea

con coeficientes constantes de la forma

ay' ' +by

' −cy=0

 y' ' +2 y

' −8 y=0 Resolvemos por el método de coeficientes

indeterminados

m2+2m−8=0 Resolvemos por factorización

(m−2 ) (m+4 )=0 Factorizando

m1=2 ;m

2=−4 Las soluciones son

 y=c1 e2 x+c2e−4 x Solución de la ecuación diferencial

2. Demostrar que  X 3

 y| x|3

son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación

diferencial

 x2 y

' ' −4 x

 dy

dx+6 y=0   En el intervalo −∞

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 x2 y

' ' −4 x y

' +6 y=0 Realizamos el proceso de derivación

 y' =3 x2

 y' ' =6 x

Luego entonces  y= x3

 x2 (6 x )−4 x (3 x2 )+6 ( x3 )=0 Reemplazamos

6 x3−12 x

3+6 x

3=0 Resolviendo tenemos

si & '(La derivada de | x|

3

  no e&iste

!hora compro%amos que | x|3

  es una solución de

 x2

 y' ' 

−4 x dy

dx +6 y=0  

| x|={  x s i x>0o si x=0

− x si x0

Comprobada anteriormente

0 y '' −4 (0 ) dydx+6 y=0 a* )ara | x|3

= x3

si x=0

Se tiene

6 y=0 Se cumple para  y=0

 y' =−3 x

2

 y'' =−6 x

 %* )ara | x|3

=− x3si x

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

Pr!4era A9t!!dad

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte pulgadas al llegar al reposo en equilibrioy se le aplica una velocidad de !" pies#seg dirigida hacia aba$o. %espreciando todas

las fuer&as de amortiguaci'n o e(ternas que puedan estar presentes, determine laecuaci'n de movimiento de la masa $unto con su amplitud, periodo y frecuencianatural. Cuánto tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa porla posici'n de equilibrio)

PROPOSICION ENUNCIADO O E;PRESIONMATEMATICA

RA0ON O E;PLICACION

d2 x

d2t + k 

m x=0

Ecuación diferencial, para movimiento si

amortiguación

r2+

 k 

m=0

)resentación de la ecuación caracter-stica

r2=

−k m

Despeamos r2

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r=√−k 

m

Sacamos ra-z cuadrada en am%os lados de l

e&presión

 x (t )=t 1cos

(√

 k 

m t 

)+C 

2sin

(√

 k 

m t 

)

La ecuación del movimiento es de la forma

mg=4

l=3 pulgadas=0.25 pies

+omamos lo valores del enunciado

 F =kl Empleamos la le/ de 0oo1e

4=k (0.25) Remplazando en la ecuación tenemos

k =16 lib/ pie Despeamos 1 / resolvemos

g=32 pie /seg2

  y mg=4 +am%ién tenemos que

m=4

32=

1

8

Despeamos m / resolvemos la ecuación

√ k 

m=

√16

1

8

=8√ 2Luego tenemos que

 x (t )=C 1cos (8√ 2 t )+C 2 sin (8√ 2 t )  

y

 x' =−(8√ 2) C 1 sin (8√ 2t )+(8√ 2 )C 2 cos (8√ 2t )

La ecuación de movimiento es

 x (0 )=6 pulgadas=0.5 pies

 x

' 

(0)=√ 

2

 pies

seg

+eniendo en cuanta que las condicione

iniciales son

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0.5= x (0 )=C 1cos (0 t )+C 

2sin (0 t )

C 1=0.5=

1

2   y

√ 2= x' (0 )=−(8√ 2 ) C 1sin (0 t )+(8√ 2 ) C 2cos (0 t )

√ 2=(8√ 2)C 2

C 2=

1

8

Resolviendo tenemos

 x (t )=1

2cos (8 √ 2 t )+

1

8sin (8√ 2 t ) Luego reemplazando los valores en la ecuació

del movimiento

 A=√ C 1+C 2

 A=√1

22+

1

82=√

17

8

tan∅=C 

1

C 2

=

1

2

1

8

=8

2=4

E&presamos la solución de forma senoidal

 x (t )=√ 17

8sin (8√ 2t +∅)  

∅=arc tan (4 )=1,326

0allamos el valor para  x (t )   / el valor d

∅

 A=√ 17

8  T =

  2π 

8√ 2=

  π 

4 √ 2  f =

4√ 2

π 

Definimos el valor de la amplitud el periodo / l

frecuencia natural

8√ 2t +∅=π 

t =π −θ

8 √ 2=0.16042  

Finalmente el tiempo que transcurre desde qu

se suelta la masa hasta que pasa por la posicióde equili%rio es

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