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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAECUACIONES DIFERENCIALES

Cod. 100412

ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE TRES

Presentado a:

ALVARO ALBERTO HUERTAS CABRERA

Tutor

Entregado por:Luis Alberto Sánchez – Cód.: 16.786.134

Carlos Andrés Gonzales – Cód.:Javier Mauricio Muñoz – Cód.:Gonzalo Andrés Nino – Cód.:

Grupo: 100412_97

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNADIngeniería Electrónica

Mayo, 2016Colombia

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INTRODUCCION

.

,

.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD INDIVIDUAL

Ecuación Estudiantes que

realizaron laactividad

1. Resolver el problema de valor inicial a través del método de series deTaylor:

=1 + + 1 , 0 = 0 r/Intercambia numerador y el denominador: = + +1 Expresa x como serie de potencias de “y” ;

=

Calcula derivada de x respecto y

= Sustituye en ecuación diferencial

= 1+ + − = 1+ Extrae dos primeros de cada suma

+2 − − + − = 1+

Luis Sanchez

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Se igualan las ecuaciones − = 1 = 1+ 2 − =

=

− = 0∀ > 2 Se dice inicialmente que :0 = 0 → 0 = 0 0 = → = 0 Se resuelve

= 1+ → = 1

= 1+ 2 → = 1 Y para mayores de 2 − = 0 → = = 13 = 23! = 13∗ 4

= 24!

= ∗ ∗ = ! = ! Para n=2 la formula

= + 2! = +2! Los términos de n=0 y 1 = +2 −1 − ! Esa serie la conocemos = +2−1− + = −2−2 +2 = 2 − −2

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Ahora invirtiendo la ecuación original se obtiene la serie de Taylor.

− + − + − + − + 8+19 − 9+110 +10+111 +11+112 2. Determinar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de :

−2 +1 − 3

= 1 +1, = 1 +2 ! lim→ lim

→ = lim

→

= lim→

+1 +2 ≅ 1 =

−2 −3 = −2 −3 = 6−2 = 6 − 2, = 6 − 2+1 lim→

lim→ = lim→6−26−2 = lim→|6−2| = | 6 −2| < 1

Luis SanchezJavier Mauricio

Muñoz

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| 3 −| < | 3− | < 3+ 12 > > 3 −

12

72 > > 52 = 52,72

= ,

1 +1 Diverge por ser la a = ,

−1 +1 Convergearm nica alterad La serie converge para los puntos x ∈ Ι , su suma al variar x en Ι ,será una función s(x) que se llama suma de la serie en Ι Conjunto de convergencia de la serie es:

−2 +1 − 3 Como = Tenemos

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lim→ = lim→−2 +1−2 +2

lim→2 +1 +2 = 2 =λ

52 < ≤ 72 = 52, −2 +1 72 −3: −2 +1 72−3 −1 +1

lim→ = , 0 < , = 0: , 0 < < ∞: = ∞ , 1:

52 < ≤ 72

3. Calcule el radio y el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia:

100! + 7

= 1!, = 1 +1 !

Luis Sanchez

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lim→ lim

→ = lim

→

!! = lim

→ !

+1! = 1

+1 =

Por ley de potencias se tiene en el numerador:

100 +7 = 100 +7 = 700+100

= 700+100, = 700+100

lim→ lim→ = lim→700+100700+100 = lim→|700+100| =

lim→ 700+100+1 ≅0 lim→ 700+100+1 =700+100 100! +7 = 700+100! = =

La serie converge para toda x, por lo tanto el radio es igual

= ∞

4. Hallar la solución general de la siguiente ecuación como una serie de potencial alrededor del punto x=0

2 " + ′ + R/Carlos Andrés

Gonzales

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= ,

′ = " = −1 En la ecuación original se reemplaza:2 " + ′ + 2 −1 + + = 0

2 −1 + + = 0 4 2 +6 3 −1 + 1 + 0 = 0

2 −1 + + = 0

2 +2 +1 + + = 0 4 2+ 0+ 2 +2 +1 + + = 0 ,

4 2+ 0 = 0 = >= 1 0 1 ,

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= −12. 0 >= 1 = −121.3.5.. 2 +11 >= 1

1 = −12. 2 = −121.3.5.. 2 +1

= 1+ 2

5. Resolver por series la ecuación diferencial" + = 0 = ,

′ = " = −1

,

−1 + = 0

Estructura de la serie:

= = + + + +⋯

Carlos AndrésGonzales

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′ = = +2 +3 +⋯ ′′ = −1 = 2 +6 +12 +⋯

Remplazo en la ecuación:

−1 + = 0 −1 + = 0

2 +6 + −1 + = 0

2 +6 + −1 + = 0

(1) K=n-2; k=2; n=k+2(2) K=n+2; k=2; n=k-2

Entonces:

2 +6 + +2 +2 −1 + = 0 2 +6 + +2 +1 + = 0 2 +6 + +3 +2 + = 0

Para la fórmula de recurrencia, decimos que: = = 0 +3 +2 + = 0 Despejamos :

= − +3 +2 Le damos valores a k:

Para k=2:

= −2 +3 2 +2 = −12

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Para k=3:

= −3 +3 3 +2 = −20 Para k=4: = −4 +3 4 +2 = 030 = 0

Para k=5:

= −5 +3 5 +2 = −42 = 0 Para k=6: = −6 +3 6 +2 = −56 = 672 Para k=7: = −7 +3 7 +2 = −72 = 1440

Recordemos la estructura de la serie: = = + + + + + + ++ +⋯ Eliminando o quitando de la serie los elementos que nos dan cero quedara: = = + + + + + +⋯

Remplazando lo datos ya hallados, nuestra Ecuación General será:

= + − 112 −

120 +

1672 +

11440 +⋯

6. Determine todos los puntos singulares de:" + 1−′ + = R/Por definición : P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0

Sea la ecuación de segundo orden linear diferencial. Entonces x 0 esllamado un punto regular singular si:

lim→ − y

lim→ − Ambos son finitos.De la ecuación: = , = , = lim→ − = = =

Luis SanchezCarlos Andres

Gonzalez

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lim→ − = 1 −1 = −1

lim→ − = = IndeterminadoSolución seria:

" +′1− + = − " = ′ + 1− s

xy − + sin− sin −1 = 0" +′1− + 12 . +12 . = 0 +0 = +01 − = 1− −0 = −0 ∗ =

En el punto singular x=0 muestra que es regular debido a que se cumplen lasdos condiciones y se remueve la indeterminación para cuando ¨x¨ toma dichovalor.X=1

+1 = +11 − No se cumple. Este punto es singular irregular por lo que no se remueve laindeterminación cuando x=1.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA

Primera Actividad

Plantear con el grupo colaborativo una situación problema que pueda ser desarrollado a través de

los métodos vistos, realizando la caracterización de la ecuación diferencial, método de solución y

solución de la situación.

Situación problema:

El momento de la muerte de una persona asesinada se puede determinar con la ayuda de

modelado a través de la ecuación diferencial. Un personal de la policía descubre el cuerpo de

una persona muerta, presumiblemente asesinada y el problema consiste en estimar el momento

de la muerte.

El cuerpo se encuentra en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de

70 grados F. Durante algún tiempo después de la muerte, el cuerpo irradiará calor en la cámara

de refrigeración, provocando que la temperatura del cuerpo para disminuir el supuesto de que la

temperatura de la víctima fue 98.6F normal en el momento de la muerte.

Experto forense intentará estimar esta vez de la temperatura actual del cuerpo y calcularcuánto tiempo habría tenido que perder calor para llegar a este punto.

Solución situación problema:De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, el cuerpo va a irradiar energía de calor en el

ambiente a una velocidad proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el

ambiente. Si T ( t) es la temperatura del cuerpo en el tiempo t , a continuación, para alguna

constante de proporcionalidad k. T'(t)=k[T(t) - 70]Esta es una ecuación diferencial separable y se escribe como

kdtdT70T

1 =−

Tras la integración de ambos lados, se obtiene ln|T-70|=kt+c

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Tomando exponencial, se tiene

|T-70|=e kt+C =Ae kt

Donde A = e C. Entonces: T-70= ± Ae kt= Be kt T(t)=70 + Be kt

Constantes k y B pueden determinarse proporcionó la siguiente información está disponible:Hora de llegada de los agentes de policía, la temperatura del cuerpo justo después de su llegada,la temperatura del cuerpo después de cierto intervalo de tiempo. Dejar que el oficial llegó a 22:40y la temperatura corporal era de 94,4 grados. Esto significa que si el oficial considera 22:40cuando t = 0, entonces:

T (0 ) = 94,4 = 70 + B y así B = 24,4 donaciones y T (t ) = 70 + 24,4 EKT .

El oficial hace otra medición de la temperatura decir después de 90 minutos, es decir, a las 12.10a.m. y la temperatura era de 89 grados. Esto significa que

T(90)=89=70+24.4 e90k

Entonces: ,4.24

19k90e = Además:

=

4.2419

ln90 k , Y

=

4.2419

ln901k

El oficial tiene ahora la función de la temperatura:

+= 4.2419

ln90

t

e4.2470)t(T

Con el fin de encontrar cuando la última vez que el cuerpo era de 98,6 (presumiblemente elmomento de la muerte), uno tiene que resolver la ecuación para el tiempo

+== 4.2419ln

90t

e4.24706.98)t(T

Para ello, el oficial escribe

= 4.2419

ln90

t

e4.246.28

y toma logaritmos de ambos lados para obtener

=

4.2419

ln904.24

6.28ln

t

Por lo tanto , el momento de la muerte , de acuerdo con este modelo matemático , era

)4.24/19ln()4.24/6.28ln(90t = .

Que es aproximadamente -57.0.7 minutos. La muerte ocurrió aproximadamente 57.07 minutosantes de la primera medición a 22:40, es decir, a aproximadamente 21:43.

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Segunda Actividad

Descarga de un condensador en una resistencia, supongamos un condensador que tiene unadiferencia de potencial Vo entre sus placas cuando se tiene una línea conductora R, la cargaacumulada viaja a través de un condensador desde una placa hasta la otra, estableciéndose una

corriente de intensidad i intensidad. Así la tensión v en el condensador va disminuyendogradualmente hasta llegar a ser cero también la corriente en el mismo tiempo en el circuito RC.

PROPOSICION ENUNCIADO OEXPRESION MATEMATICA

RAZON O EXPLICACION

= = − + 1 = 0

Solucionar por series de potencias la siguienteecuación diferencial.

Cuando

= 1 Ω y

= 1

Por lo cual se toma arbitrariamente,

= = + + + +⋯ entonces,

= = +2 +3 +⋯ Reemplazado en la ecuación original,

+ 2 + 3 +⋯ + + + + +⋯ = 0 Los términos semejantes se suman,

Circuito serie:

Secuencia de carga acumulación capacitor.

Secuencia de descarga del Capacitor

El voltaje atraves de la resistencia y capacitor esV = I*R (Ley de ohm)

= 1

Corriente en condensador ideal es:

Las ecuaciones de carga de un condensador son:

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+ + 2 + + 3 + + ⋯ = 0 Al igualar termino a término se encuentra,

+ = 0

2 + = 0 3 + = 0 Se resuelve el sistema de ecuaciones en términos de

= − = −2 = 2 = −3 = −3 Con los nuevos coeficientes queda

= − + 2 − 3 −⋯

Al factorizar se tiene,

= 1− +2 − 3 + ⋯

Mientras que la ecuación de descarga son:

La energía inicial del condensador es

Cuando = 1 Ω y = 1 RC = 1M * 1uF = 1 =

+ = 0 , donde : RC=1 + = 0 = −1 = Utilizando la series de Mac Lurín se obtiene:

Segunda derivada

= Reemplazamos: = 1+2 +6 + 24 +5!..

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Se comprendió en su generalidad el uso práctico de las ecuaciones diferenciales en el

ejercicio.

Se resolvio las ecuaciones diferenciales mediante diferentes métodos requeridos

Se logró determinar si las ecuaciones diferenciales homogéneas.

En la solución del presente trabajo nos apropiamos de los conceptos básicos y

terminologías de las Ecuaciones Diferenciales de segundo orden y orden superior

aplicando diferentes casos en resolución de problemas.

Las ecuaciones Diferenciales nos permiten solucionar ejercicios planteados en todos los

estudios de Ingenierías y otras áreas

Reconocer los diferentes casos de solución de las Ecuaciones Diferenciales de acuerdo a

su orden

Al finalizar podemos concluir que, las ecuaciones diferenciales son un sistema de

ecuaciones que se pueden presentar en situaciones de la vida cotidiana.

Lo fundamental es adquirir habilidad para llevar a cabo la solución de estas ecuaciones.

.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• https://youtu.be/5ubUDOcAL9I• http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923• Franquet, J. (2013). Ecuaciones diferenciales ordinarias y en diferencias

finitas• Zill, D. Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales con Problemas de

Valoresen la Frontera. Séptima Edición, México, Cengage Learning• http://matematicas.univalle.edu.co/~jarango/Books/curso/cap08.pdf• http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/

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