UNAD

(Universidad Nacional Abierta y a Distancia)

CALCULO INTEGRAL

TRABAJO COLABORATIVO FASE 1

NEMESIO CASTAÑEDA

ALEJANDRO CERVANTES

CC 72.260.954

YEFERSON PRIETO

CC 1010164382

BORIS ESTIVAN PALACIOS

CC 1140819557

YISEL PAOLA PERALTA

CC 1048275306

COLOMBIA

14/09/2015

INTRODUCCION

El cálculo Integral es una rama de la matemática que tiene aplicación en múltiples campos del

saber, por tal motivo es necesario desarrollar su estudio y aprender las diferentes técnicas de

integración y sus aplicaciones.

En el desarrollo de este trabajo se evidencia la aplicabilidad de conceptos fundamentales como:

la anti derivada, la integral indefinida, definida y el teorema fundamental del cálculo a través de

la resolución de 11 ejercicios.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades de

las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.

Ejercicio no 1.

1 .∫ [( 5x )−2

3√ x2]dxFormulas

∫ f ( x )± g (x ) dx=∫ xndx±∫ g ( x )dx ;

∫ 1xdx=ln|x|;

∫ xndx= xn

n+1;

Ejercicio

∫ [( 5x )−2

3√ x2]dx ;

∫ 5xdx−∫2 x2/3 dx ;

∫ 5xdx=5 ln|x|;

∫2 x53 dx=

2 x23+1

23+1

=2 x

53

63

;

6 x53

5;

Respuesta

5 ln|x|−6 x53

5;

2 .∫ [ sec ( x ) tan (x )+sec2 (x ) ]dx ;

Formulas

∫ f ( x )± g (x ) dx=∫ f (x )±∫ g (x ) ;

∫ sec ( x ) tan (x ) dx=sec ( x )+c ;

∫ sec2 (x ) dx=tan ( x )+c ;

Ejercicio

∫ [ sec ( x ) tan (x )+sec2 ( x ) ]dx ;

∫ sec ( x ) tan (x ) dx+∫sec 2 ( x ) dx ;

sec ( x )+ tan (x ) ;

Respuesta

∫ [ sec ( x ) tan (x )+sec2 ( x ) ]dx=sec ( x )+ tan ( x );

3 .∫ x3−1x−1

dx ;

Formulas

∫ f ( x )± g (x ) dx ;

∫ f ( x )±∫ g (x ) dx ;

∫ xndx= xn+1

n+1;

Ejercicio

∫ x3−1x−1

dx=∫ x2+x+1dx ;

∫ x2+x+1=∫ x2+∫ x ; NOTA: El número 1 se elimina.

∫ x2= x2+1

2+1= x3

3;

∫ x= x1+1

1+1= x3

3;

x3

3+ x2

2;

Suma de fracciones

2x3+3 x2

6;

Respuesta

∫ x3−1x−1

dx=2 x3+3x2

6;

4.∫ [2 sec (h ( x ) ) tan (h(x))−x ]dx ;

2∫ sec (h ( x ) ) tan (h ( x ) )dx−∫ xdx ;

2 sec (h ( x ) )− x2

2;

Respuesta

∫ [ 2 sec (h ( x ) ) tan (h(x ))−x ]dx=2 sec (h ( x ) )− x2

2;

El conjunto de todas las anti-derivadas de f(X) se llama integral indefinida de f respecto a X, y se

denota por el símbolo ∫ f ( x )dx=F ( x )+C ;

Resolver las siguientes integrales indefinidas:

5.∫ (5x−4x )dx ;

¿∫(5x−4x)dx ;

¿∫5xdx−∫ 4x dx ;

¿∫5xdx ;

¿∫ax dx= dx

lna;

¿∫ 5x

ln (5);

¿∫4 xdx ;

¿∫ax dx= dx

lna;

¿∫ 4x

ln (4);

¿∫ 5x

ln (5)−∫ 4x

ln (4);

¿∫ 5x

ln (5)−∫ 4x

ln (4 )+C ;

Respuesta

∫ (5x−4x )dx=∫ 5x

ln (5)−∫ 4x

ln (4 )+C ;

6.∫ (xe+ex)dx ;

¿∫(xe−ex)dx;

¿∫ xedx−∫ exdx ;

¿∫ xedx=¿∫ xadx= xa+1

a+1, a≠1 ;¿

¿ xe−1

e+1;

¿∫ex dx=∫ex dx=ex ;

¿ xe−1

e+1−ex ;

¿ xe−1

e+1−ex+C ;

Respuesta

∫ (xe+ex )dx=¿ xe−1

e+1−ex+C;¿

7.∫ [ 17

√1−x2+√( x2+1 )2]dx ;

¿∫( 17

√1−x2+√(x2+1 )2)dx;

¿∫ 17

√1−x2dx+∫√(x2+1)2 dx ;

¿∫ 17

√1−x2dx=∫a ∙ f ( x ) dx=a ∙∫ f (x )dx;

¿17∫ 1

√1−x2=∫ 1

√1−x2dx=arcsin (x );

¿17 arcsin (x ) ;

¿∫√(x¿¿2+1)2dx=√(√x2+1)2=((x2+1 )) , asumiendo que (x2+1 )≥0 ;¿

¿∫ (x2+1 )dx=∫ f ( x ) ±g ( x ) dx=∫ f (x)dx±∫ g(x )dx ;

¿∫ x2dx+∫1dx ;

¿∫ x2dx=∫ xadx= xa+1

a+1, a≠−1 ;

¿ x2+1

2+1;

¿ x3

3;

¿∫1dx=¿∫ f ( a ) dx=x ∙ f (a );¿

¿1 x ;

¿ x ;

¿17 arcsin (x )+ x3

3+x ;

¿17 arcsin (x )+ x3

3+x+C;

Respuesta

∫ [ 17

√1−x2+√(x2+1 )2]dx=17 arcsin ( x )+ x3

3+x+C ;

8.∫ [ tan ( x )se n2 (x ) sec ( x )+cos ( x )

dx];

¿∫ tan (x )sen2 ( x ) sec ( x )+cos (x)

dx=∫ uv '=uv−∫u ' v ;

¿tan (x )

sin2 (x ) sec ( x )+cosx−∫cos ( x ) xdx;

¿xtan(x )

cos ( x )+sin (x ) tan ( x)−∫ cos ( x ) xdx;

¿∫cos ( x ) xdx=¿∫ uv '=uv−∫u ' v ;¿

u=x ,u'=1 , v '=cos (x ) , v=sin ( x ) ;

¿ xsin (x )−∫ 1sin ( x ) dx ;

¿ xsin (x )−∫ sin ( x ) dx ;

¿∫sin ( x ) dx=−cos (x) ;

¿ xsin (x )−(−cos ( x ) ) ;

Simplificamos

¿ xsin (x )+cos ( x );

¿xtan(x )

cos ( x )+sin (x ) tan ( x)−(xsin (x )+cos ( x )) ;

¿−sin ( x )−cos ( x )+ xtan ( x )cos ( x )+sin ( x ) tan (x )

;

¿−sin ( x )−cos ( x )+ xtan ( x )cos ( x )+sin ( x ) tan (x )

+C;

Respuesta

∫ [ tan ( x )sen2 ( x ) sec ( x )+cos ( x )

dx ]=−sin ( x )−cos ( x )+xtan ( x )

cos ( x )+sin ( x ) tan ( x )+C;

9. Encuentre el valor promedio de la función G ( x )=|x|−1 en el intervalor [−1,1 ].

G ( x )=|x|−1 En el intervalo [−1,1];

Gprom= 1b−a

∫a

b

G ( x ) dx= 11−(−1)∫−1

1

(|x|−1 )dx=12∫−1

1

(|x|−1 )dx ;

Se resuelve la integral teniendo en cuenta que |x|={ x si x ≥0;−x si x<0 ;

¿ 12 (∫

−1

0

(−x−1 ) dx+∫0

1

( x−1 ) dx);

¿ 12 (−x2

2−x+ x2

2−x);

¿ 12 ((−(0 )2

2−0)−(−(−1 )2

2− (−1 ))+(12

2−1)−( (0 )2

2−0));

¿ 12 ( 1

2−1+ 1

2−1);

¿ 12 ( 2

2−1)=1

2(−1 )=−1

2;

Respuesta

−12

;

10. La velocidad de un objeto lanzado verticalmente al aire está dado por V ( t )=64−2 tmseg

donde t es el tiempo en segundos, calcule la velocidad promedio según sea el caso:

ddx

∫1

3

−2 t+64 dt ;

a) Durante el primer segundo.

Con el primer teorema del cálculo obtenemos

Recordemos el primer teorema del cálculo ddx [∫

a

x

f (t ) dt ]=f (x ) ; .

Resolvemos:

ddx

∫1

3

−2 t+64 dt=−2.3+64=−6+64= 58m3 seg

=19,3mseg

; NOTA: Recordemos que acabamos de

resolver el primer segundo.

b) Entre t = 1 y t = 3 segundos.

Recordemos el segundo teorema fundamental del cálculo ∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a ) ;

Primero integramos

∫1

3

−2 t+64dt=¿∫−2 t+64dt=∫−2 tdt+∫64dt=−t2+64 t+C;

Segundo resolvemos límites

∫1

3

−2 t+64dt=[−32+64.3 ]−[−12+64.1 ]= [201 ]− [65 ]=136 ;

La velocidad promedio es, recordando que el promedio es fpromedio ( x )= 1b−a

∫a

b

f (x ) dx :

13−1

∫1

3

−2 t+64dt= 13−1

136= 1363−1

=1362

=68 ;

11. Dado P ( x )=∫1

x2

sen (t ) . dt. Utilice el primer teorema fundamental del cálculo para encontrar la

derivada de P (x ).

P ( x )=∫1

x2

sen (t ) . dt

P' (x)=sen (x2 ) .2x

Respuesta

P' ( x )=2x sen (x2 )

12. Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver ∫−π

π

( sen ( x )+cos ( x ) )2 dx.

El segundo teorema fundamental del cálculo nos dice:

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a ) ;

Empezamos:

Resolución de

∫−π

π

( sen ( x )+cos ( x ) )2 dx ;

Tomamos primero

( sen ( x )+cos ( x ) )2;

Propiedad algebraica

(a+b )2=a2+2ab+b2;

Resolvemos

( sen ( x )+cos ( x ) )2=sen2 ( x )+2 sen ( x ) cos ( x )+cos2 ( x );

Esto es igual a

∫−π

π

sen2 ( x )+2 sen ( x )cos ( x )+cos2 ( x )dx ;

Propiedad integral

∫ f ( x )± g (x ) dx=∫ f (x )dx ±∫ g ( x ) dx ;

Procedemos

∫ se n2 ( x ) dx+∫ 2 sen ( x ) cos ( x )dx+∫c os2 ( x ) dx ;

Resolvemos

∫ se n2 ( x ) dx=

x−sin (2 x )

22

;

∫2cos ( x ) sin ( x )dx=sin2 (x ) ;

∫cos2 (x ) dx=

x+sin (2 x )

22

;

Lo que queda como

x−sin (2 x )

22

+sin2 ( x )+¿

x+sin (2 x )

22

+C;¿

Seguimos, recordando el segundo teorema fundamental del cálculo ∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a ) ; ,

con:

¿

Simplificamos lo más posible

π−(−π )=2π ;

Respuesta, usando el segundo teorema del cálculo tenemos:

∫−π

π

( sen ( x )+cos ( x ) )2 dx=2π ;

CONCLUSIONES

Calculo integral se dedica a obtener el área bajo la curva de una función y es complementaria

con el cálculo diferencial que se encarga de tomar la pendiente de la curva. Hasta el momento

solo hemos dado las integrales básicas indefinidas, definidas, el primer teorema y el segundo

teorema fundamental del cálculo. Según he estudiado el cálculo se usa en la ingeniería

aeroespacial, ingeniería avanzada, tecnologías computaciones y todo lo que requiera de manejos

de curvas funcionales.

Referencias

Bravo, A. (23 de 02 de 2013). BlogSpot. Obtenido de BlogSpot:

http://numerosyalgo.blogspot.com.co/

Diez, D. D. (03 de 11 de 2013). SlideShare. Obtenido de In.SlideShare:

http://es.slideshare.net/naniddd/tabla-de-integrales-inmediatas-27860967

Rios, J. (Dirección). (2012). Teoremafundamentaldelcalculo [Película]. Recuperado el 14 de

09 de 2015, de https://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss