100408_Fase 1_Gupo92

PRIMERA FASE TRABAJO COLABORATIVO

ALGEBRA LINEAL

PRESENTADO POR:

JONATHAN ROBERTO ORTEGA

JUAN CAMILO GIL

LEIDI JUDITH MOSQUERA

C.C 1039087538

YEAN ALEXANDER PATERNOSTRO

YULY MARICELA VASQUEZ

C.C 1044100419

GRUPO:

100408_92

PRESENTADO A:

JUAN PABLO VARGAS

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIA BASICAS E INGENERIA

DE SEPTIEMBRE DE 2014.

INTRODUCCION.

El lgebra lineal es una rama de las matemticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera ms formal, espacios y sus transformaciones lineales.

En el primer trabajo colaborativo de algebra lineal se dar a conocer los procedimientos para la correcta solucin de problemas planteados correspondientes a la ubicacin en el plano cartesiano vectores en forma polar, forma rectangular, operaciones en el plano cartesiano con escala de medicin apropiada estableciendo su magnitud, el ngulo de vectores, utilizacin del mtodo Gauss Jordn y determinantes e inversas de matrices.

La magnitud de un vector es encontrar el tamao de un vector utilizando el teorema de Pitgoras, las matrices son tomadas como un arreglo de nmeros representadas en un orden de cantidad de filas por cantidad de columnas, el mtodo de Gauss Jordn consiste en invertir A por medio de operaciones en las filas de [a/] para obtener [/A-1].

La construccin de cada uno de estos ejercicios son la base para afianzar los conocimientos presentados en la primera unidad del curso de algebra lineal.

OBJETIVOS.

Representar de manera correcta y siguiendo el debido procedimiento vectores dados en forma polar al igual que de forma rectangular.

Fijar de manera clara y establecer la magnitud de las componentes rectangulares en cada uno de los vectores involucrados.

Emplear el mtodo de Gauss Jordn de manera apropiada donde se identifique todos y cada uno de los pasos necesarios para su desarrollo.

Identificar los productos indicados en las matrices propuestas y justificar las razones en caso de no ser posibles.

Encontrar de manera efectiva la matriz inversa empleando determinantes.

Interactuar con el grupo colaborativo cada uno de los puntos planteados para la correcta solucin de cada uno de ellos.

1. Utilizando el plano cartesiano represente los siguientes vectores dados en forma polar:

1.1. 030;3 u

| |

| |

Y

X

| |

| |

| |

Y

y

0240;1 w

| |

| |

| |

| |

| |

2

y

0120;2 t

| |

| |

y

2. Utilizando el plano cartesiano represente los siguientes vectores

dados en forma rectangular:

2.1. )3,2( u

2.2. )3,1(v

2.3. )4,1( w

2.4. )2,3( t

2.5 2,2

3s

3. Realice las operaciones indicadas de manera grfica y analtica. Para esto emplee el plano cartesiano y una escala de medicin apropiada (fijada por el estudiante) de manera, que se pueda establecer la magnitud (de las componentes rectangulares) de cada uno de los vectores involucrados.

Siendo jiu 2

, jiv 43

y jiw 34

3.1. vu

2

Aplicando la propiedad del producto de un vector por un escalar a ,

obtenemos:

( )

( ) ( )

Ahora realizamos la adicin de dichos vectores, aplicando la propiedad de suma de vectores, en la cual se suman componente a componente, teniendo en cuenta que estos deben pertenecer al mismo espacio vectorial (igual nmero de componentes), ntese que todos los vectores para este problema

se encuentran en , por tanto se pueden aplicar las propiedades descritas anteriormente.

Mtodo analtico

( ) ( )

Mtodo grafico

3.2. wv

Mtodo analtico

( ) ( )

Mtodo Grafico

4. Encuentre el ngulo entre los siguientes vectores:

Por definicin:

( )

( )( )

Donde y son dos vectores del mismo espacio vectorial y es el ngulo menor entre ellos.

Siendo ( ) y ( )

Aplicando estos conceptos a cada inciso obtenemos:

4.1. jiu 2

y jiv 43

( ) y ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

(

)

4.2. jiw 34

y jiu 2

( ) y ( ) ;

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

(

)

4.3. jiv 43

y jiw 34

( ) y ( ) ;

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

(Perpendiculares)

5. Dada la siguiente matriz, encuentre 1A empleando para ello el mtodo

de Gauss Jordn. (Describa el proceso paso por paso)

0565

1324

1553

10702

A

Si tenemos una matriz A y deseamos hallar su forma inversa A-1, podemos utilizar la eliminacin de Gauss-Jordn.

Para utilizar este mtodo se arma una matriz aumentada [A I ], la cual tendr a nuestra matriz A al costado derecho y la matriz identidad de igual dimensin al costado izquierdo, se procede a llevar la matriz A a su forma escalonada reducida, al terminar obtendremos en el lado derecho una nueva matriz identidad y al lado izquierdo la matriz inversa (A-1), de nuestra matriz A.

(

|

)

(

|

)

(

||

)

(

|

|

)

(

|

|

)

610

51

6043

02

15

110

7

005

110

3

0002

1

30221

6019100

1063

52200

516

101110

52

701

191100

19112

19143

044

522

144

7

005

110

3

0002

1

191442100

4463100

516

101110

52

701

19110

445

4202455

8404555

044

522

144

7

005

110

3

0002

1

84047415000

4463100

516

101110

52

701

148388

1483191

1483182

1483111

044

522

144

7

005

110

3

0002

1

100044

63100

516

101110

52

701

148388

1483191

1483182

1483111

652525544

1483442

1483328

148377

741514080

74153056

74151429

14830897

1483440

1483955

1483910

2966373

1000

0100

010

1110

02

701

148388

1483191

1483182

1483111

652525544

1483442

1483328

148377

1483143

1483125

148375

14835

14831

1483592

1483238

148383

1000

0100

0010

0001

Por tanto se concluye que

A-1=

148388

1483191

1483182

1483111

652525544

1483442

1483328

148377

1483143

1483125

148375

14835

14831

1483592

1483238

148383

6. Dadas las siguientes matrices realice los productos indicados (en caso de ser posible). En caso de que el producto no pueda realizarse explique las razones.

581

421;

0

9

4

;810;95

71DCBA

Para ello debemos partir de que el nmero de columnas de la primera matriz,

debe ser igual a nmero de filas de la segunda:

6.1 AB

[

] [ ]

Por ende la multiplicacin NO se puede efectuar, porque el nmero de

columnas de la matriz A(2) no es igual al nmero de filas de la matriz B(1).

6.2 AC

[

] [ ]


columnas de la matriz A(2) no es igual al nmero de filas de la matriz C(3).

6.3 AD

[

] [

]

Por ende la multiplicacin entre las matrices si se puede efectuar, quedando

una matriz de la siguiente forma:

[

]

( )

( )

( )

El producto de matrices AD es:

[

]

6.4 BC

[ ] [ ]


columnas de la matriz B(2) no es igual al nmero de filas de la matriz C(3).

6.5 BD

[ ] [

]



[ ]

( ) ( )

( ) ( )

( )

El producto de matrices BD es:

[ ]

6.6 BA

[ ] [

]



[ ]

( )

( )

El producto de matrices BA es:

[ ]

6.7 CA

[ ] [

]


columnas de la matriz C(1) no es igual al nmero de filas de la matriz A(2).

6.8 CB

[ ] [ ]



[

]

( )

( )

( ) ( )

( )

El producto de matrices CB es:

[

]

6.9 CD

[ ] [

]


columnas de la matriz C(1) no es igual al nmero de filas de la matriz D(2).

6.10 DA

[

] [

]


columnas de la matriz D(3) no es igual al nmero de filas de la matriz A(2).

6.11 DB

[

] [ ]


columnas de la matriz D(3) no es igual al nmero de filas de la matriz B(1).

6.12 DC

[

] [ ]



[ ]

( )

( ) ( ) ( )

El producto de matrices DC es:

[ ]

7. Encuentre el determinante de la siguiente matriz, describiendo paso a paso la operacin que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).

11147

371115

12453

123102

06901

B

8. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello

determinantes (Recuerde: AdjADetA

A *11 )

5107

321

238

A

321

238

5107

321

238

B

8(2) (-5)+1(10) (-2)+7(-3) (-3)-(7) (2) (-2)-(8) (10) (-3)-(1) (-3) (-5) 216|| A

20)3)(10()5)(2(510

3211

A

16)3)(10()5)(1(57

3112

A

4)2)(7()10)(1(107

2113

A

35)2)(10()5)(3(510

2321

A

26)2)(7()5)(8(57

2822

A

101)3)(7()10)(8(107

3823

A

13)2)(2()3)(3(32

2331

A

22)2)(1()3)(8(31

2832

A

11)3)(1()1)(8(21

383

A

112213

1012635

21620

B

111014

222616

133520

BA

111014

222616

133520

216

11A

216/11216/10154/1

108/11108/1327/2

216/13216/3554/5

CONCLUSION.

Con el desarrollo de la actividad correspondiente al trabajo colaborativo uno, logramos comprender la importancia del algebra lineal en el mundo actual, permitiendo resolver problemas en todos los mbitos, mediante la representacin de graficas en el plano cartesiano, vectores, determinantes de matrices, y los procedimientos dados por el mtodo de Gauss Jordn.

El trabajo en equipo constituye las bases para el buen desempeo en cualquier meta propuestas, adems de afianzar los conocimientos propios y el de los compaeros, al mismo tiempo es un medio para conocernos como futuros profesionales y como personas, aspectos importantes para sacar con xitos este curso.

BIBLIOGRAFIA.

Thenacoos. (2012, Junio 12). Introduccin al Algebra lineal, concepto de vector [archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=v97BVW5yR3MVISTO 20 AGOSTO DE 2014

Thenacoos. (2012, Septiembre 12). Clculo de la magnitud de un vector [archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=m0SyPo5EnEIVISTO 25 AGOSTO DE 2014

Muriel, R. (2013). Clculo de la norma de un vector Representacin grfica [archivo de video]. Recuperado el 9 de mayo de 2014 de:https://www.youtube.com/watch?v=-Vf93SaviSA VISTO 28 DE AGOSTO DE 2014.

Tareasplus. (2012, Diciembre 17). Suma de vectores [archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=8add3R73ERMVISTO 28 DE AGOSTO DE 2014.

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealVISTO 23 SEPTIEMBRE DE 2014

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