10 Figuras planas. Semejanza 10 FIGURAS PLANAS. SEMEJANZA · Pitágoras de Samos (ca. 580-500...

10 Figuras planas. Semejanza

314Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

La unidad está claramente dividida en dos partes. Por un lado se trabaja el cálculo de áreas y longitudes en figuras planas, y por otro, la semejanza de figuras y sus aplicaciones.

La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y la adquisición de la competencia matemática, y también del resto de compe-tencias clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.

Comunicación lingüística (CL)Es la protagonista de toda la unidad teniendo especial importancia en los epígrafes Aplicaciones del teorema de Pitágoras, Escalas y Aplicación del teorema de Tales, y en la sección Matemáticas vivas.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-der determinados contenidos relacionados con las figuras planas.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como es el estudio de diferentes escalas para modelismo ferroviario, los alumnos profundizarán en las aplicaciones de la escala.

Competencias sociales y cívicas (CSC)La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, por-que se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Hallar el área de polígonos y de figuras compuestas por polígonos de área conocida.

❚❚ Obtener el área y la longitud de una figura circular.

❚❚ Reconocer y relacionar la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo. Aplicar el teorema de Pitágoras.

❚❚ Identificar figuras semejantes y calcular su razón de semejanza. Hallar ángulos y longitudes de lados de figuras semejantes.

❚❚ Reconocer el uso de las escalas para realizar mapas y planos.

❚❚ Identificar las condiciones necesarias para que se cumpla el teorema de Tales.

❚❚ Obtener la longitud de segmentos proporcionales utilizando el teorema de Tales.

❚❚ Reconocer triángulos semejantes aplicando los criterios de semejanza. Reconocer triángulos en posición de Tales.

❚❚ Utilizar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes proporcionales, hallar distancias o alturas inaccesibles.

FIGURAS PLANAS. SEMEJANZA10

315

10Figuras planas. Semejanza

Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas las figuras planas. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre las figuras planas, y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las figuras planas pueden acceder a las lecciones 1083, 1084, 1099, 1103, 1108, 1112, 1117, 1118, 1119, 1128 y 1129 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

PolígonosPolígonos regulares

1. Resolver problemas de áreas de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado y expresar el procedimiento seguido en la resolución.

1.1. Resuelve problemas relacionados con superficies de figuras planas, en contextos de la vida real, utilizando las herramientas técnicas geométricas más apropiadas.1.2. Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo, y las aplica para resolver problemas geométricos.1.3. Calcula la longitud de un arco y el área de un sector circular, y las aplica para resolver problemas geométricos.

1-873, 84

9-15, 18, 1973

15-1874, 75

CMCTCLCSCCAACSIEE

Figuras circulares

Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras

2. Reconocer el significado aritmético del teorema de Pitágoras (cuadrados de números, ternas pitagóricas) y el significado geométrico (áreas de cuadrados construidos sobre los lados).

2.1. Identifica los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo.2.2. Comprende los significados aritmético y geométrico del teorema de Pitágoras y los utiliza para la búsqueda de ternas pitagóricas o la comprobación del teorema.

76

23-2578, 87, 88

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Aplicaciones del teorema de Pitágoras

3. Emplear el teorema de Pitágoras para resolver problemas geométricos.

3.1. Aplica el teorema de Pitágoras para calcular longitudes desconocidas en la resolución de triángulos y áreas de polígonos regulares, en contextos geométricos o en contextos reales.

20-2226-3377, 79-86

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Figuras semejantes. Razón de semejanza

4. Analizar e identificar figuras semejantes calculando la razón de semejanza o la escala.

4.1. Reconoce figuras semejantes y calcula la razón de semejanza.4.2. Halla ángulos y longitudes de lados de figuras semejantes.4.3. Utiliza la escala para resolver problemas sobre planos, mapas y contextos de semejanza.

34-37, 40, 418936, 38, 3990, 9142-5092, 93Matemáticas vivas

CMCTCLCSCCAACSIEE

EscalasPlanos y mapas

Teorema de Tales 5. Identificar condiciones necesarias para que se cumpla el teorema de Tales.

5.1. Obtiene longitudes de segmentos proporcionales.5.2. Reconoce y calcula medidas de segmentos en triángulos colocados en posición de Tales.

51, 95

52-5560, 94, 96, 97

CMCTCLCSCCAACSIEE

Semejanza de triángulos. CriteriosTriángulos en posición de Tales

6. Reconocer dos triángulos semejantes.

7. Conocer los criterios de semejanza de triángulos.

6.1. Identifica triángulos semejantes y su razón de semejanza.7.1. Aplica los criterios de semejanza de triángulos y establece relaciones entre elementos homólogos de figuras semejantes.

56, 579958-6198, 100, 101

CMCTCDCLCSCCAACSIEE

Aplicaciones del teorema de TalesDivisión de un segmento en partes igualesCálculo de alturas

8. Utilizar el teorema de Tales para realizar medidas indirectas de elementos inaccesibles.

8.1. Divide un segmento en partes proporcionales.8.2. Calcula longitudes en diversos contextos.

63-66, 72

67-71102

CMCTCDCLCSCCAACSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

1. Polígonos • Polígonos regulares

2. Figuras circulares

7. Teorema de Tales

5. Figuras semejantes. Razón de semejanza

6. Escalas • Planos y mapas

8. Semejanza de triángulos. Criterios • Triángulos en posición de Tales

9. Aplicaciones del teorema de Tales • División de un segmento en partes

iguales • Cálculo de alturas

AvanzaTeorema de Pitágoras en el espacio

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Pitágoras de Samos

4. Aplicaciones del teorema de Pitágoras Vídeo. Área del hexágono

GeoGebra. Criterios de semejanza

3. Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras GeoGebra. Teorema de Pitágoras

Vídeo. División de un segmento en partes iguales

MisMates.esLecciones 1083, 1084, 1099, 1103, 1108, 1112, 1117, 1118, 1119, 1128 y 1129 de la web mismates.es

Practica+

Adaptación curricular

Comprende y resuelve problemas

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

316


¿Qué tienes que saber? • Teorema de Pitágoras • Teorema de Tales • Triángulos semejantes. Criterios de

semejanza

Actividades interactivasActividades finales

Matemáticas vivasModelismo ferroviario • Estudio de diferentes escalas para

modelismo ferroviario

Trabajo cooperativoTarea cuya estrategia cooperativa es Situación problema, adaptación del laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié

Geometría en el artePuentes con paralelas

317



Sugerencias didácticas

Una de las aplicaciones de la semejanza se encuentra en el campo de la arquitectura.

Casi todas las personas interpretamos los planos de una vivienda para hacernos una idea de la casa en la que vamos a vivir; para realizar una buena interpretación del plano ne-cesitamos conocer la escala con el que está hecho.

Otra de las aplicaciones de la semejanza en la arquitectura es la realización de maquetas en la que se muestra el pro-yecto arquitectónico que se va a desarrollar. En estas ma-quetas se utiliza cierta escala que tiene que ser respetada en todos los elementos que se incorporen: personas, coches, árboles, etc.

Contenido WEB. PITÁGORAS DE SAMOS

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se introduce la figura de Pitágoras y su escuela, donde un grupo de discípulos suyos seguían sus ense-ñanzas sobre matemáticas y filosofía, además de acatar unas es-trictas reglas de vida. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad, situando históricamente el estudio de la geometría desde la Grecia clásica, o como am-pliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

REPASA LO QUE SABES1. Clasifica estos datos como medidas de longitud o de superficie.

a) 10 cm b) 0,75 dm2 c) 15 m2 d) 3 dam

2. Expresa cada medida en la unidad indicada.

a) 30 m2 en decámetros cuadrados b) 0,4 hm en metros

3. Halla la razón entre los siguientes números.

a) 4 y 6 b) 10 y 2 c) 12 y 18 d) 3 y 6

4. ¿Qué valor falta en estas proporciones?

a) 3

5=

a

1,25 b)

b

1,75=

1,2

4,2 c)

c

0,75=4

3 d)

3,5

2,5=8,75

d

197

10Cualquier proyecto arquitectónico comienza utilizando conceptos matemáticos como el de semejanza. En efecto: por un lado, se realizan planos a escala que sirven a los constructores de guía para llevar a cabo la obra y, por otro lado, se construyen maquetas del proyecto a fin de observar las características más importantes y la relación del proyecto con su entorno.

A la hora de construir la maqueta, es necesario representar el entorno utilizando la misma escala empleada en la obra arquitectónica.

Es importante que en la maqueta aparezcan árboles, personas, coches…, de modo que sea posible imaginar el aspecto real que tendrá la obra una vez concluida.

FIGURAS PLANAS. SEMEJANZA

IDEAS PREVIAS

❚ Medidas de longitud

y de superficie.

❚ Razón y proporción.

ma2e37

Pitágoras de Samos (ca. 580-500 a.C.), filósofo y matemático griego, fundó una sociedad con sus alumnos más afines conocida como Orden de los pitagóricos o Escuela pitágorica.

Matemáticas en el día a día ][Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Clasifica estos datos como medidas de longitud o de superficie.

a) 10 cm b) 0,75 dm2 c) 15 m2 d) 3 dam

a) Longitud b) Superficie c) Superficie d) Longitud

2. Expresa cada medida en la unidad indicada.

a) 30 m2 en decámetros cuadrados b) 0,4 hm en metros

a) 30 : 100 = 0,3 dam2 b) 0,4 ⋅ 100 = 40 m

3. Halla la razón entre los siguientes números.

a) 4 y 6 b) 10 y 2 c) 12 y 18 d) 3 y 6

a) 4

6 b) 10

2 c) 12

18 d) 3

6

4. ¿Qué valor falta en estas proporciones?

a) 3

5=

a

1,25 b)

b

1,75=

1,2

4,2 c)

c

0,75=

4

3 d)

3,5

2,5=

8,75

d

a) a =3 ⋅1,25

5= 0,75 b) b =

1,2 ⋅1,75

4,2= 0,5 c) c =

4 ⋅0,75

3= 1 d) d =

8,75 ⋅2,5

3,5= 6,25



1. Polígonos

199

10Actividades10 Figuras planas. Semejanza

198

1. POLÍGONOS

El Ayuntamiento ha cedido a un grupo de grafiteros una pared para que realicen allí sus grafitis. Tienen que inscribirse en un registro en el que han de incluir la forma poligonal que han elegido y el área de la superficie que van a ocupar.

Aprenderás a… ● Hallar el área de polígonos.

● Calcular el área de figuras compuestas por polígonos de área conocida.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados.

Recuerda

Utiliza instrumentos de medida para calcular el área de estos triángulos.a) b)

¿Cuál es el área de estos triángulos rectángulos?a)

10 cm7 cm

b)

12 cm6 cm

Halla el área de las siguientes figuras.a)

16 cm

6 cm

5 cm d) 3 cm

12 cm

b)

15 cm

5 cm

e) 3 cm

8 cm

c)

3 cm

4 cm

f)

6 cm

Calcula el área de estos polígonos regulares.a) Un pentágono de 5 cm de lado y 3,44 cm

de apotema.b) Un hexágono de 4 cm de lado y 4,47 cm

de apotema.c) Un octógono de 3 cm de lado y 3,62 cm

de apotema. d) Un dodecágono de 1 cm de lado y 1,87 cm

de apotema.

1

2

3

4

Mide y calcula el área de este pentágono regular.

•

5

Piensa y calcula el área de esta figura.

4 cm

3 cm

6 cm

2 cm2 cm

1,5 cm

Halla el área de la zona coloreada.

4 cm

2 cm

1,37 cm

2,75 cm

6

7

DESAFÍO

Utiliza la opción de GeoGebra para calcular el área de diferentes polígonos.8

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula el área de esta figura.

15 cm 5 cm 5 cm

15 cm

15 cm

30 cm

SoluciónPara calcular el área de la figura, hallamos el área del rectángulo cuyos lados miden 15 cm y 30 cm, respectivamente. A ese cálculo le restamos el área de las dos zonas blancas triangulares, cuyas bases miden 15 cm y que tienen alturas de 5 cm.

A = 15 ⋅ 30 − 2 ⋅ 15 ⋅5

2 = 450 − 75 = 375 cm2

Polígonos regulares

El grupo de grafiteros quiere realizar su composición en un polígono que tenga todos sus lados y todos sus ángulos iguales. Tienen diferentes opciones.

Todos los polígonos regulares están inscritos en una circunferencia de radio r. La distancia desde el centro a un lado es la apotema del polígono.

En un polígono regular de n lados aparecen n triángulos como el de la figura.

Para calcular el área del polígono regular, hallamos el área de uno de estos triángulos y multiplicamos el resultado por el número de lados del polígono.

A = n ⋅l ⋅ ap

2=n ⋅ l ⋅ ap

2

Como el perímetro del polígono es el número de lados por la medida del lado, también podemos escribir:

A =P ⋅ ap

2

ap

l

Presta atención

En un hexágono regular, la longitud del radio de la circunferencia circunscrita coincide con la del lado del hexágono.

l

ll

apr ap

r apr ap

r

Triángulo equilátero

Cuadrado Pentágonoregular

Hexágonoregular

Soluciones de las actividades1 Utiliza instrumentos de medida para calcular el área de estos triángulos.

a) b)

En los dos triángulos la base y la altura miden 3 cm.

a) A =b ⋅h

2=

3 ⋅3

2=

9

2= 4,5 cm2

b) A =b ⋅h

2=

3 ⋅3

2=

9

2= 4,5 cm2


Con este epígrafe se pretende que los alumnos recuerden todas las fórmulas necesarias para calcular el área de los po-lígonos. Estas fórmulas ya se han dado en cursos anteriores.

Puede ser útil construir polígonos de cartulina y escribir sobre ellos la fórmula necesaria para calcular su área que después hallarán ayudándose de instrumentos de medida.

El cálculo del área de los polígonos regulares suele generar algo más de dificultad en los alumnos. Primero, por la apa-rición de un concepto nuevo en su fórmula, la apotema, y segundo, por los cálculos que tienen que realizar, pues la apotema o el lado suelen ser datos con decimales. El uso de la calculadora para estos cálculos puede ayudar y así resultar menos tedioso.

319



2 ¿Cuál es el área de estos triángulos rectángulos?

a)

10 cm7 cm

b)

12 cm6 cm

a) A =b ⋅h

2=

7 ⋅10

2= 35 cm2 b) A =

b ⋅h

2=

12 ⋅6

2= 36 cm2

3 Halla el área de las siguientes figuras.

a)

16 cm

6 cm

5 cm c)

3 cm

4 cm

e) 3 cm

8 cm

b)

15 cm

5 cm

d) 3 cm

12 cm

f)

6 cm

a) A =(B + b ) ⋅h

2=

(5 + 16) ⋅6

2= 63 cm2 d) A = b ⋅ h = 12 ⋅ 3 = 36 cm2

b) A =D ⋅d

2=

5 ⋅15

2= 37,5 cm2 e) A = b ⋅ h = 8 ⋅ 3 = 24 cm2

c) A =b ⋅h

2=

3 ⋅ 4

2= 6 cm2 f) A = l2 = 62 = 36 cm2

4 Calcula el área de estos polígonos regulares.

a) Un pentágono de 5 cm de lado y 3,44 cm de apotema.

b) Un hexágono de 4 cm de lado y 4,47 cm de apotema.

c) Un octógono de 3 cm de lado y 3,62 cm de apotema.

d) Un dodecágono de 1 cm de lado y 1,87 cm de apotema.

a) A =P ⋅ ap

2=

5 ⋅5 ⋅3,44

2= 43 cm2

b) A =P ⋅ ap

2=

6 ⋅ 4 ⋅ 4,47

2= 53,64 cm2

c) A =P ⋅ ap

2=

8 ⋅3 ⋅3,62

2= 43,44 cm2

d) A =P ⋅ ap

2=

12 ⋅1⋅1,87

2= 11,22 cm2



5 Mide y calcula el área del siguiente pentágono regular.

•

El lado del pentágono mide 2 cm y la apotema 1,4 cm.

A =P ⋅ ap

2=

5 ⋅2 ⋅1,4

2= 7 cm2

6 Piensa y calcula el área de esta figura.

4 cm

3 cm

6 cm

2 cm2 cm

1,5 cm

Dividimos la figura en polígonos de área conocida:

A1 → área del rectángulo de 3 cm de base y 4 cm de altura, menos el cuadrado de 2 cm de lado.

A2 → área del romboide de 4 cm de base y 1,5 cm de altura.

A3 → área del triángulo de 1,5 cm de base y 4 cm de altura.

A1 = b ⋅ a − l2 = 3 ⋅ 4 − 22 = 12 − 4 = 8 cm2

A2 = b ⋅ a = 4 ⋅ 1,5 = 6 cm2

A3 =b ⋅h

2=

1,5 ⋅ 4

2= 3 cm2

Sumamos las tres áreas.

A = A1 + A2 + A3

= 8 + 6 + 3 = 17 cm2

7 Halla el área de la zona coloreada.

4 cm

2 cm

1,37 cm

2,75 cm

El área de la zona coloreada es la diferencia entre el área de un pentágono de 4 cm de lado y 2,75 cm de apotema y el área de un hexágono de 2 cm de lado y 1,37 cm de apotema.

APentágono =P ⋅ ap

2=

4 ⋅5 ⋅2,75

2= 27,5 cm2

AHexágono =P ⋅ ap

2=

2 ⋅6 ⋅1,37

2= 8,22 cm2

A = 27,5 − 8,22 = 19,28 cm2

Desafío8 Utiliza la opción de GeoGebra para calcular el área de diferentes polígonos.

Respuesta abierta.

Indicación: dibujar el polígono, elegir la opción y pinchar sobre el polígono para obtener su área.

321



2. Figuras circulares

201


200

2. FIGURAS CIRCULARES

Un ayuntamiento quiere construir un parque en una parcela circular. Antes de comenzar la obra, colocan una valla alrededor de la parcela y limpian su interior.

Aprenderás a… ● Obtener el área y la longitud de una figura circular.

❚ La longitud de la valla es la de una circunferencia de 50 m de radio.

•

50 m

L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50 = 314 m

❚ El área de la parcela es el de un círculo de 50 m de radio.

•

50 m

A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 502 = 7 850 m2

❚ La longitud de una circunferencia de radio r es: L = 2 ⋅ π ⋅ r

❚ El área de un círculo de radio r es: A = π ⋅ r2

El parque alojará una zona de césped rodeada por un seto y una zona de tierra, como muestra la figura.

El Departamento de Jardinería del ayuntamiento debe calcular la longitud del seto y el área de la superficie de césped que necesitan.

❚ Longitud del seto

Calculamos la longitud del seto sumando dos radios y la longitud del arco circular. Para hallar la longitud del arco, planteamos una proporción entre la longitud del arco y la amplitud del ángulo correspondiente.

Amplitud (º) Longitud (m)

Arco 300º L

Circunferencia 360º 2 ⋅ 3,14 ⋅ 50

Luego, se necesitan 2 ⋅ 50 + 261,7 = 361,7 m de seto.

❚ Área de la superficie de césped

Calculamos el área del sector circular. Planteamos la proporción entre el área del sector y la amplitud del ángulo correspondiente.

Amplitud (º) Área (m2)

Sector 300º A

Círculo 360º 3,14 ⋅ 502

Por consiguiente, se necesitan 6 541,7 m2 de césped.

❚ La longitud de un arco de radio r y amplitud nº es: L =nº ⋅2 ⋅ π ⋅ r

360º

❚ El área de un sector circular de radio r y amplitud nº es: A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º

300

360=

L

2 ⋅3,14 ⋅50→

→ L =300 ⋅2 ⋅3,14 ⋅50

360 = 261,7 m

300

360=

A

3,14 ⋅502→

→ A =300 ⋅3,14 ⋅502

360 = 6 541,7 m2

Calcula la longitud de estas circunferencias.a) Circunferencia de 5 cm de radio.b) Circunferencia de 10,5 dm de radio.c) Circunferencia de 8 cm de diámetro.d) Circunferencia de 7 m de diámetro.e) Circunferencia de 5 m de diámetro.

Halla el área de los siguientes círculos.a) Círculo de 7 m de radio.b) Círculo de 17 cm de diámetro.c) Círculo de 3,2 km de radio.d) Círculo de 4,2 cm de radio.e) Círculo de 6 m de diámetro.

Mide y calcula el área del círculo y la longitud de la circunferencia.a)

•

b)

•

Observa estos dibujos y calcula el área de estas coronas circulares.a)

•3 m

5 m

b)

•2 cm

12 cm

Calcula el diámetro de una circunferencia cuya longitud mide 23,55 cm.

Halla el radio de un círculo de 153,86 cm2 de área.

Halla la longitud de los siguientes arcos.a) Arco de 2 cm de radio y 30º amplitud.b) Arco de 10 m de radio y 120º amplitud.c) Arco de 7 m de diámetro y 240º amplitud.d) Arco de 5 cm de diámetro y 90º amplitud.

9

10

11

12

13

14

15

Calcula el área de estas figuras.a) Sector circular de 5 m de radio y 240º de

amplitud.b) Sector circular de 15 km de diámetro y amplitud

60º.c) Sector circular de 25 dm de diámetro y 200º

amplitud.

Mide los datos que necesites para calcular lo que se indica. a) El área del sector circular.b) La longitud del arco.

16

17

Calcula el área y el perímetro de esta figura.

120º

10 cm

10 cm

18

Investiga

Una moneda de 10 CENT gira alrededor de otra de 50 CENT, rodeándola una sola vez. ¿Cuántas vueltas aproximadamente da la moneda de 10 CENT?

Utiliza dos monedas reales para obtener los datos que necesitas.

19

EJERCICIO RESUELTO

} Halla el área de la siguiente figura.

60º 8 cm

8 cm

SoluciónPara calcular el área, tenemos, por un lado, un sector circular de 8 cm de radio y 60º de amplitud y, por otro lado, dos semicircunferencias de 4 cm de radio.

A = 2 ⋅3,14 ⋅ 42

2+

60º ⋅3,14 ⋅82

360º=

= 50,24 + 33,49 = 83,73 cm2

Soluciones de las actividades9 Calcula la longitud de estas circunferencias.

a) Circunferencia de 5 cm de radio.

b) Circunferencia de 10,5 dm de radio.

c) Circunferencia de 8 cm de diámetro.

d) Circunferencia de 7 m de diámetro.

e) Circunferencia de 5 m de diámetro.

a) L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 = 31,4 cm

b) L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10,5 = 65,94 dm

c) L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 = 25,12 cm

d) L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 3,5 = 21,98 m

e) L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2,5 = 15,7 m


Es importante recordar a los alumnos la diferencia entre un círculo y una circunferencia porque es posible que todavía algunos los confundan.

Para recordar las fórmulas del área del círculo y la longi-tud de la circunferencia, les puede ayudar identificar el área del círculo, que se mide con unidades cuadradas, con la fórmula que tiene el radio al cuadrado, y la longitud de la circunferencia con la fórmula donde el 2 está multiplicando.

También es necesario recordar la diferencia entre un arco y un sector circular con el mismo radio y el mismo ángulo.

Es importante que los alumnos no se aprendan de memoria las fórmulas para el cálculo del área de un sector y la lon-gitud de un arco. Hay que insistir en las ventajas que tiene plantear una relación de proporcionalidad directa entre el arco y la longitud de toda la circunferencia, y entre el sector y el área de todo el círculo.



10 Halla el área de los siguientes círculos.

a) Círculo de 7 m de radio.

b) Círculo de 17 cm de diámetro.

c) Círculo de 3,2 km de radio.

d) Círculo de 4,2 cm de radio.

e) Círculo de 6 m de diámetro.

a) A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 72 = 153,86 m2

b) A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 8,52 = 226,865 cm2

c) A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 3,22 = 32,153 6 km2

d) A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 4,22 = 55,389 6 cm2

e) A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 32 = 28,26 m2

11 Mide y calcula el área del círculo y la longitud de la circunferencia.

a)

•

b)

•

a) El radio mide 1,5 cm.

A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 1,52 = 7,07 cm2

L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 1,5 = 9,42 cm

b) El diámetro mide 2,5 cm.

A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 1,252 = 4,91 cm2

L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 1,25 = 7,85 cm12 Observa estos dibujos y calcula el área de estas coronas circulares.

a)

•3 m

5 m

b)

•2 cm

12 cm

a) A = π ⋅ R2 − π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 52 − 3,14 ⋅ 32 = = 3,14 ⋅ (52 − 32) = 50,24 m2

b) A = π ⋅ R2 − π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 122 − 3,14 ⋅ 22 = = 3,14 ⋅ (122 − 22) = 439,6 cm2

13 Calcula el diámetro de una circunferencia cuya longitud mide 23,55 cm.

L = π ⋅ d → 23,55 = 3,14 ⋅ d → d =23,55

3,14 = 7,5 cm

14 Halla el radio de un círculo de 153,86 cm2 de área.

A = π ⋅ r2 → 153,86 = 3,14 ⋅ r2 → r2 =153,86

3,14= 49 → r = 49 = 7 cm

15 Halla la longitud de los siguientes arcos.

a) Arco de 2 cm de radio y 30º amplitud. c) Arco de 7 m de diámetro y 240º de amplitud.

b) Arco de 10 m de radio y 120º de amplitud. d) Arco de 5 cm de diámetro y 90º de amplitud.

a) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

30 ⋅2 ⋅3,14 ⋅2

360= 1,05 cm

b) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

120 ⋅2 ⋅3,14 ⋅10

360= 20,93 m

c) L =nº ⋅ π ⋅d

360º=

240 ⋅3,14 ⋅7

360= 14,66 m

d) L =nº ⋅ π ⋅d

360º=

90 ⋅3,14 ⋅5

360= 3,93 cm

323



16 Calcula el área de estas figuras.

a) Sector circular de 5 m de radio y 240º de amplitud.

b) Sector circular de 15 km de diámetro y amplitud 60º.

c) Sector circular de 25 dm de diámetro y 200º de amplitud.

a) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

240 ⋅3,14 ⋅52

360= 52,33 m2

b) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

60 ⋅3,14 ⋅15

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

360= 29,44 km2

c) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

200 ⋅3,14 ⋅25

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

360= 272,57 dm2

17 Mide los datos que necesites para calcular lo que se indica.

a) El área del sector circular.

b) La longitud del arco.

El radio del sector circular mide 3 cm, y su amplitud, 30º.

a) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

30 ⋅3,14 ⋅32

360= 2,36 cm2

b) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

30 ⋅2 ⋅3,14 ⋅3

360= 1,57 cm

18 Calcula el área y el perímetro de esta figura.

El área es la diferencia entre las áreas de un sector circular de 10 cm de radio y 120º de amplitud, y de una semicircunferencia de 10 cm de diámetro.

A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º−

πr2

2=

120 ⋅3,14 ⋅102

360−

3,14 ⋅52

2= 104,67− 39,25 = 65,42 cm2

El perímetro es la suma de la longitud de un arco de circunferencia de radio 10 cm y amplitud 120º, la longitud de una semicircunferencia de 10 cm de diámetro y un radio de 10 cm.

L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º+

2 ⋅ π ⋅ r2

+ r =120 ⋅2 ⋅3,14 ⋅10

360+ 3,14 ⋅5 + 10 = 20,93 + 15,70 + 10 = 46,63 cm

Investiga19 Una moneda de 10 cent gira alrededor de otra de 50 cent, rodeándola una sola vez. ¿Cuántas vueltas aproximadamente

da la moneda 10 cent?

Utiliza dos monedas reales para obtener los datos que necesitas.

El diámetro de una moneda de 10 cent es de 19,75 mm, y el de una moneda de 50 cent, 24,25 mm.

Las longitudes de sus circunferencias son:

10 cent → L = π ⋅ d = 3,14 ⋅ 19,75 = 62,015 mm

50 cent → L = π ⋅ d = 3,14 ⋅ 24,25 = 76,145 mm

Dividimos estas longitudes.

76,145 : 62,015 = 1,23

La moneda da 1,23 vueltas aproximadamente.

120º

10 cm

10 cm



3. Triángulos rectángulos. Teorema de Pitágoras

203


202

3. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS. TEOREMA DE PITÁGORAS

Observa los siguientes triángulos en los que se ha marcado una característica común: todos tienen un ángulo que mide 90º. Estos triángulos se llaman triángulos rectángulos.

3 Los cuadrados grandes, de lado b + c, son iguales; por tanto, tienen la misma área. Como en cada caso hay cuatro triángulos iguales, la superficie que queda en ambos cuadrados medirá lo mismo, es decir, tendrá igual área.

En consecuencia, resulta que: a2 = b2 + c2

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2

Aprenderás a… ● Reconocer la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

● Relacionar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

1 Sobre sus lados construimos 4 triángulos rectángulos iguales que tengan por catetos b y c.

En el interior obtenemos un cuadrado de lado a, formado por las cuatro hipotenusas. Este cuadrado tiene por área a2.

2 Sobre los lados construimos dos cuadrados, uno de lado b y área b2, y otro de lado c y área c2.

Observamos que quedan los mismos 4 triángulos rectángulos que en la construcción anterior, formando dos rectángulos.

ma2e38

Halla la medida de la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos.a)

40 cmx

9 cm b)

35 cm

x

12 cm c)

9 cm

x12 cm

d)

21 cm

x20 cm

Calcula la longitud del cateto desconocido en cada caso.a)

35 cm

x

37 cm

b)

25 cmx

7 cm

c) 15 cm

x

17 cm

d)

12 cm

x

20 cm

¿Cuánto miden los lados desconocidos? Calcula.a)

41 cm

x

40 cm

b)

15 cm

x

8 cm

c)

21 cm

x29 cm

d)

24 cm

x30 cm

20

21

22

EJERCICIO RESUELTO

} Aplica el teorema de Pitágoras para calcular los datos desconocidos.

a)

•

12 cm

x5 cm

b)

10 cm

x 6 cm

Solución a) De este triángulo rectángulo conocemos los dos catetos.

Aplicamos el teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2 → x2 = 52 + 122 → x2 = 25 + 144 → x2 = 169 → x = 169 = 13La hipotenusa mide 13 cm.

b) De este otro triángulo rectángulo conocemos un cateto y la hipotenusa. Mediante el teorema de Pitágoras:

102 = 62 + x2 → 100 = 36 + x2 → x2 = 100 − 36 → x2 = 64 → x = 64 = 8El cateto desconocido mide 8 cm.

DESAFÍOUna comprobación geométrica del teorema de Pitágoras consiste en dibujar un cuadrado sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo. Constatamos que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 12 cm, respectivamente, y cuya hipotenusa vale 13 cm. Demuestra que cumple el teorema de Pitágoras.

23

aa²

b²

c²

C

A

B

b

c

En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, mientras que el lado opuesto a dicho ángulo recibe el nombre de hipotenusa.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras muestra la siguiente relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Construimos dos cuadrados cuyos lados son b + c y procedemos de esta forma:

•

Hipotenusa

Cateto

Cat

eto

a

c

b

Soluciones de las actividades20 Halla la medida de la hipotenusa de los siguientes triángulos rectángulos.

a)

40 cmx

9 cm b)

35 cm

x

12 cm c)

9 cm

x12 cm

d)

21 cm

x20 cm

a) x2 = 402 + 92 = 1 681 → x = 1681 = 41 cm c) x2 = 122 + 92 = 225 → x = 225 = 15 cm

b) x2 = 122 + 352 = 1 369 → x = 1369 = 37 cm d) x2 = 202 + 212 = 841 → x = 841 = 29 cm


Primero, es importante trabajar la identificación de los cate-tos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

Los alumnos suelen conocer la fórmula del teorema de Pitágoras. El problema viene a la hora de asignar los datos conocidos en la fórmula del teorema y después resolver la ecuación que les queda.

Es muy interesante utilizar material manipulativo, como las regletas Cuisenaire o papel cuadriculado, para que los alumnos comprueben geométricamente el teorema mani-pulando el material.

GeoGebra. TEOREMA DE PITÁGORAS

En este recurso puede verse una demostración del teorema. Moviendo el punto azul situado en el cuadrado de la izquierda, aparecen calculadas las áreas del cuadrado obtenido sobre la hi-potenusa, y por descomposición de la figura, de los cuadrados correspondientes a los catetos del triángulo rectángulo, en el cua-drado de la derecha.

Puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación del teorema de Pitágoras o para que los alumnos investiguen y reflexionen sobre la relación entre las áreas de los cuadrados y las longitudes de los lados del triángulo rectángulo.

325



21 Calcula la longitud del cateto desconocido en cada caso.

a)

35 cm

x

37 cm

b)

25 cmx

7 cm

c) 15 cm

x

17 cm

d)

12 cm

x

20 cm

a) x2 + 352 = 372 → x2 = 372 − 352 = 1 369 − 1 225 = 144 → x = 144 = 12 cm

b) x2 + 72 = 252 → x2 = 252 − 72 = 625 − 49 = 576 → x = 576 = 24 cm

c) x2 + 152 = 172 → x2 = 172 − 152 = 289 − 225 = 64 → x = 64 = 8 cm

d) x2 + 122 = 202 → x2 = 202 − 122 = 400 − 144 = 256 → x = 256 = 16 cm22 ¿Cuánto miden los lados desconocidos? Calcula.

a)

41 cm

x

40 cm

b)

15 cm

x

8 cm

c)

21 cm

x29 cm

d)

24 cm

x30 cm

a) x2 + 402 = 412 → x2 = 412 − 402 = 1 681 − 1 600 = 81 → x = 81 = 9 cm

b) x2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 → x = 289 = 17 cm

c) x2 + 212 = 292 → x2 = 292 − 212 = 841 − 441 = 400 → x = 400 = 20 cm

d) x2 + 242 = 302 → x2 = 302 − 242 = 900 − 576 = 324 → x = 324 = 18 cm

Desafío23 Una comprobación geométrica del teorema de Pitágoras consiste en dibujar un cuadrado sobre cada uno de los lados de

un triángulo rectángulo. Constatamos que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 12 cm, respectivamente, y cuya hipotenusa vale 13 cm. Demuestra que cumple el teorema de Pitágoras.

aa²

b²

c²

C

A

B

b

c

Comprobar que los alumnos realizan el dibujo correctamente.

Para demostrar el teorema de Pitágoras, tenemos que comprobar que la suma de las área de los cuadrados de lados 5 cm y 12 cm es igual al área del cuadrado de lado 13 cm.

AT1 + AT2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 cm2

AT3 = 132 = 169 cm2



4. Aplicaciones del teorema de Pitágoras


La primera parte del epígrafe se centra en la utilidad del teorema de Pitágoras a la hora de identificar o construir triángulos rectángulos. Se pueden llevar varillas con diferen-tes medidas para que los alumnos comprueben cómo son los triángulos resultantes.

Hay que hacerles ver que la realización de un dibujo puede ayudar a la hora de resolver algunas actividades.

Vídeo. ÁREA DEL HEXÁGONO

En el vídeo se muestra cómo calcular el área de un hexágono regular a partir de la longitud de uno de sus lados. Aplicando el teorema de Pitágoras se calcula la longitud de la apotema para hallar el área del polígono.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de la página anterior o como recurso para que los alumnos repasen el cálculo de áreas más tarde.

Soluciones de las actividades24 Los datos de cada apartado corresponden a los centímetros que miden los lados de un triángulo. Clasifica los triángulos

según sus ángulos.

a) 8, 15 y 16 c) 8, 15 y 17 e) 12, 15 y 22

b) 9, 40 y 41 d) 12, 35 y 40 f) 20, 21 y 29

a) 162 = 256; 82 + 152 = 289. Como 256 < 289 el triángulo es acutángulo.

b) 412 = 1 681; 92 + 402 = 1 681. Como 1 681 = 1 681 el triángulo es rectángulo.

c) 172 = 289; 82 + 152= 289. Como 289 = 289 el triángulo es rectángulo.

d) 402 = 1 600; 122 + 352 = 1 369. Como 1 600 > 1 369 el triángulo es obtusángulo.

e) 222 = 484; 122 + 152 = 369. Como 484 > 369 el triángulo es obtusángulo.

f) 292 = 841; 202 + 212 = 841; Como 841 = 841 el triángulo es rectángulo.

205


204

4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Un carpintero prepara el marco para un cuadro. Las dimensiones del marco son 150 cm de largo y 80 cm de ancho. Una vez construido, para comprobar si las esquinas forman ángulos rectos, el carpintero mide la diagonal.

Si el triángulo formado por la diagonal y los lados es rectángulo, cumplirá el teorema de Pitágoras. Entonces:

d2 = 1502 + 802

d2 = 22 500 + 6 400 = 28 900

d = 28900 = 170

Si la diagonal mide 170 cm, el triángulo es rectángulo y el marco estará bien construido.

Si la diagonal mide más o menos de 170 cm, el triángulo es obtusángulo o acutángulo, respectivamente, y el marco estará mal construido.

En cualquier triángulo, cuyo lado mayor sea a, se tiene que:

❚ Si a2 = b2 + c2, el triángulo es rectángulo.

❚ Si a2 > b2 + c2, el triángulo es obtusángulo.

❚ Si a2 < b2 + c2, el triángulo es acutángulo. aa

bb cc

Un pintor está trabajando en un muro de 5 m de alto y, utiliza una escalera de doble hoja. Cada hoja de la escalera tiene una longitud de 2,5 m y, abierta, la distancia entre las dos hojas por la base es de 1,4 m.

Además, el pintor llega desde el suelo hasta una altura de 2 m con sus brazos extendidos hacia arriba. ¿Podrá realizar el trabajo completo?

1 Dibujamos un esquema con las medidas de la escalera, para hallar la altura de la escalera una vez abierta.

2 Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la altura del triángulo rectángulo, que es la altura de la escalera.

h2 + 0,72 = 2,52 → h2 + 0,49 = 6,25

h2 = 6,25 − 0,49 = 5,76

→ h = 5,76 = 2,4

Así, la altura de la escalera es de 2,4 m.

3 Sumamos a la altura de la escalera los 2 m que es capaz de alcanzar el pintor con los brazos extendidos hacia arriba: 2,4 + 2 = 4,4

Comprobamos, de este modo, que el pintor puede alcanzar, en total, una altura de 4,4 m, que es menor que los 5 m que mide de alto el muro.

Por tanto, no podrá realizar el trabajo completo.

Aprenderás a… ● Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

Los datos de cada apartado corresponden a los centímetros que miden los lados de un triángulo. Clasifica los triángulos según sus ángulos.a) 8, 15 y 16 d) 12, 35 y 40b) 9, 40 y 41 e) 12, 15 y 22c) 8, 15 y 17 f) 20, 21 y 29

En una estructura de un edificio se ha formado un cuadrilátero cuyas dimensiones son 8 m de largo y 3,9 m de ancho. Si la diagonal mide 8,9 m, ¿se trata de un rectángulo o es otro cuadrilátero? Explica tu respuesta.

Julio está asomado en una ventana situada a una altura de 12 m. Lanza un cable de 37 m a su amiga Juana, que lo tensa y lo coloca a ras del suelo. ¿A qué distancia del edificio se encuentra Juana en ese momento?

Una escalera está apoyada sobre una pared. Si el pie de la escalera dista 2 m de la pared y su parte superior se apoya sobre ella a una altura de 2,1 m, ¿cuántos metros mide la escalera?

Para sujetar una antena se han apuntalado dos cables al suelo como muestra el dibujo. ¿Qué longitud tiene el cable?

35 m5 m

12 m

Calcula el área de este trapecio rectángulo.

12 m

5 m

9 m

24

25

26

27

28

29

Calcula el área de estos polígonos regulares.

a)

6 cm

6 cm

6 cm

c)

4 cm

4,62 cm

4,62

cm

b)

3 cm

3,92 cm

3,92

cm

d)

2 cm

1,7 cm

1,7

cm

Halla el área de este triángulo equilátero.

2 cm

Determina el área de un hexágono regular cuya apotema mide 4,33 cm.

30

31

32

EJERCICIO RESUELTO

} Calcula el área de un hexágono regular de 4 cm de lado.

Solución

ma2e39

DESAFÍOCalcula la longitud de la altura h de este triángulo rectángulo.33

1,4 m

2,5 m 2,5 m h 2,5 m

0,7 m

12 cm

9 cm h

327



25 En una estructura de un edificio se ha formado un cuadrilátero cuyas dimensiones son 8 m de largo y 3,9 m de ancho. Si la diagonal mide 8,9 m, ¿se trata de un rectángulo o es otro cuadrilátero? Explica tu respuesta.

Para que se trate de un rectángulo, se tiene que cumplir el teorema de Pitágoras.

8,92 = 79,21 = 82 + 3,92

Luego se trata de un rectángulo. 26 Julio está asomado en una ventana situada a una altura de 12 m. Lanza un cable de 37 m a su amiga Juana, que lo tensa

y lo coloca a ras del suelo. ¿A qué distancia del edificio se encuentra Juana en ese momento?

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del cateto del triángulo formado por el edificio, el cable y el suelo.

x2 + 122 = 372 → x2 = 372 − 122 = 1 369 − 144 = 1 225 → x = 1225 = 35 m

Juana se encuentra a 35 m.27 Una escalera está apoyada sobre una pared. Si el pie de la escalera dista 2 m de la pared y su parte superior se apoya sobre

ella a una altura de 2,1 m, ¿cuántos metros mide la escalera?

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la escalera.

x2 = 22 + 2,12 = 4 + 4,41 = 8,41 → x = 8,41 = 2,9 m

La escalera mide 2,9 m.28 Para sujetar una antena se han apuntalado dos cables al suelo como muestra el dibujo. ¿Qué longitud tiene el cable?

35 m5 m

12 m

Hay que sumar las dos hipotenusas de los triángulos rectángulos.

h12 = 52 + 122 = 169 → h1 = 169 = 13 m

h22 = 352 + 122 = 1 369 → h2 = 1369 = 37 m

La longitud del cable es 13 + 37 = 50 m.

29 Calcula el área de este trapecio rectángulo.

12 m

5 m

9 m Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcula la altura.

h2 + (12 − 9)2 = 52 → h2 + 9 = 25 → h2 = 16 → h = 16 = 4 m

Calculamos el área del trapecio.

A =(B + b ) ⋅h

2=

(12 + 9) ⋅ 4

2= 42 m2

30 Calcula el área de estos polígonos regulares.

a)

6 cm

6 cm

6 cm

b)

3 cm

3,92 cm

3,92

cm

c)

4 cm

4,62 cm

4,62

cm

d)

2 cm

1,7 cm

1,7

cm

a) Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema.

a2 + 32 = 62 → a2 = 62 − 32 = 36 − 9 = 27 → a = 27 = 5,2 cm

A =P ⋅ a

2=

6 ⋅6 ⋅5,2

2= 93,6 cm2

b) Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema.

a2 + 1,52 = 3,922 → a2 = 3,922 − 1,52 = 15,37 − 2,25 = 13,12 → a = 13,12 = 3,6 cm

A =P ⋅ a

2=

3 ⋅8 ⋅3,6

2= 43,2 cm2



c) Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema.

a2 + 22 = 4,622 → a2 = 4,622 − 22 = 21,34 − 4 = 17,34 → a = 17,34 = 4,2 cm

A =P ⋅ a

2=

4 ⋅7 ⋅ 4,2

2= 58,8 cm2

d) Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema.

a2 + 12 = 1,72 → a2 = 1,72 − 12 = 2,89 − 1 = 1,89 → a = 1,89 = 1,4 cm

A =P ⋅ a

2=

2 ⋅5 ⋅1,4

2= 7 cm2

31 Halla el área de este triángulo equilátero.

2 cm

Calculamos la altura aplicando el teorema de Pitágoras.

h2 + 1 = 22 → h2 = 22 − 1 = 3 → h = 3 = 1,7 cm

A =b ⋅h

2=

2 ⋅1,7

2= 1,7 cm2

32 Determina el área de un hexágono regular cuya apotema mide 4,33 cm.

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado del hexágono.

4,332 +l

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= l2 → 18,75 +l2

4= l2 →

3

4l2 = 18,75 → l =

18,75 ⋅ 4

3= 25 = 5 cm

Calculamos el área:

A =P ⋅ a

2=

5 ⋅6 ⋅ 4,33

2= 64,95 cm2

Desafío33 Calcula la longitud de la altura h de este triángulo rectángulo.

12 cm

9 cm h

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa del triángulo.

x2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225 → x = 225 = 15 cm

Sabemos que el área del triangulo es: A =9 ⋅12

2= 54 cm2

Si tomamos como base la hipotenusa tenemos que el área es también 54 cm2 y se tiene que:

54 =15 ⋅h

2→ h =

54 ⋅2

15= 7,2 cm

329



5. Figuras semejantes. Razón de semejanza

Soluciones de las actividades34 Comprueba si los siguientes rectángulos son semejantes. Justifica tu respuesta.

a)

3,6 cm

8,4

cm

7 cm

3 cm

b)

4,8 cm

7 cm

5 cm

4 cm

a) 7

3=

8,4

3,6= 2,3 → Son semejantes porque sus lados son

proporcionales.

b) 5

4≠

7

4,8→ No son semejantes porque sus lados no son

proporcionales.

35 Utiliza instrumentos de medida para comprobar si estos dos polígonos son semejantes. En caso afirmativo, calcula su razón de semejanza.

Las medidas de los lados del cuadrilátero pequeño son 1 cm; 2,5 cm, 3 cm y 1,5 cm, y las de los lados correspondientes del cuadrilátero grande, 1,5 cm; 3,75 cm; 4,5 cm y 2,25 cm.

Los cuadriláteros son semejantes porque sus lados son proporcionales

y su razón de semejanza es: 1

1,5=

2,5

3,75=

3

4,5=

1,5

2,25=

2

3


El principal problema que tienen los alumnos es identificar los lados correspondientes en dos figuras para comprobar si estas son semejantes. Puede ser útil llevar polígonos recor-tados en cartulina para que los puedan girar y manipular, y así comprobar si son semejantes.

En el caso de figuras semejantes, el problema puede estar a la hora de comprobar si estas lo son y calcular la razón de semejanza. Se pueden llevar figuras semejantes para que los alumnos marquen puntos de referencia para medirlas y comprobar la semejanza.

207


206

5. FIGURAS SEMEJANTES. RAZÓN DE SEMEJANZA

Sofía ha dibujado un cuadrilátero en una hoja y lo ha fotocopiado dos veces. La primera vez amplió la imagen, mientras que la segunda la redujo.

Sofía mide luego los ángulos y los lados de los tres cuadriláteros para compararlos.

Reducción Original Ampliación

3 cm

3,5 cm2,5 cm

1,5 cm95º 75º

70º120º

6 cm

7 cm

5 cm

3 cm95º 75º

70º

120º

12 cm

14 cm10 cm

6 cm

95º75º

70º

120º

La fotocopiadora ha conservado la amplitud de los ángulos y ha mantenido una proporción entre la longitud de los lados.

Reducción: 2,5

5=

3,5

7=

3

6=

1,5

3= 0,5 Ampliación:

10

5=

14

7=

12

6=

6

3= 2

Al reducir, se ha mantenido una constante de proporcionalidad de 0,5, y, al ampliar, una constante de proporcionalidad de 2.

Dos polígonos son semejantes cuando sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos son iguales.

A la constante de proporcionalidad se la llama razón de semejanza.

Sofía vuelve a realizar el mismo experimento, pero ahora dibuja en la hoja una figura no poligonal y vuelve a fotocopiar la imagen: una vez ampliándola y otra vez reduciéndola.

Reducción Original Ampliación

1 cm

1 cm

2 cm

2 cm

4 cm

4 cm

Reducción: 1

2= 0,5 Ampliación:

4

2= 2

Observa que, al fotocopiarlas, las figuras conservan su forma y sus dimensiones son proporcionales.

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma y sus dimensiones son proporcionales.

La razón de semejanza es la constante de proporcionalidad que mantienen sus dimensiones.

Aprenderás a… ● Identificar figuras semejantes.

● Calcular la razón de semejanza de dos figuras semejantes.

● Hallar ángulos y longitudes de lados de figuras semejantes.

Comprueba si los siguientes rectángulos son semejantes. Justifica tu respuesta.a)

3,6 cm

8,4

cm

7 cm

3 cm

b)

4,8 cm

7 cm

5 cm

4 cm

Utiliza instrumentos de medida para comprobar si estos dos polígonos son semejantes. En caso afirmativo, calcula su razón de semejanza.

34

35

Halla el valor de los lados y de los ángulos que faltan en las siguientes figuras proporcionales y calcula su razón de semejanza.

6,3 cm

9,1 cm

x

6,5 cm70ºÂ

Mónica dibuja en una hoja dos cuadrados y, sin realizar ninguna medición en absoluto, dice que los dos cuadrados son semejantes. ¿Es cierta la afirmación de Mónica? Justifica tu respuesta.

La base de un rectángulo mide 10 cm, y su altura, 4 cm. ¿Cuáles son las dimensiones de otro rectángulo semejante a este, cuya razón de semejanza es de 2,5?

El perímetro de un pentágono regular es de 15 cm. ¿Cuál es el perímetro de otro pentágono regular semejante que tiene una razón de semejanza de 2,4?

¿Cuál de las siguientes figuras es semejante al coche del modelo? Utiliza instrumentos de medida si es necesario.

a)

b)

c)

d)

36

37

38

39

40

EJERCICIO RESUELTO

} Las siguientes figuras son semejantes. Halla el valor de los lados y ángulos que se indican y la razón de semejanza.

145º100º

6 cm9 cm

x5 cm

Â

B̂

SoluciónComo las figuras son semejantes, los ángulos correspondientes son iguales:

A = 100º y B = 145ºDel mismo modo, los lados correspondientes son proporcionales:

9

6=

x

5→ x =

45

6 = 7,5 cm

La razón de semejanza es: 9

6= 1,5

DESAFÍOObserva estas figuras semejantes.a) ¿Existe alguna relación entre sus perímetros? ¿Y entre sus

áreas?b) En general, ¿existe alguna relación entre las áreas o los

perímetros de dos figuras semejantes?

41

12 cm6 cm

3 cm

2 cm6 cm

4 cm



36 Halla el valor de los lados y de los ángulos que faltan en las siguientes figuras proporcionales y calcula su razón de semejanza.

6,3 cm

9,1 cm

x

6,5 cm70ºÂ

Como las figuras son proporcionales, los ángulos correspondientes tienen que ser iguales. Entonces: Â = 70º

Como los lados son proporcionales, se tiene que:x

6,3=

6,5

9,1→ x =

6,5 ⋅6,3

9,1= 4,5 cm

Su razón de semejanza es: 9,1

6,5= 1,4

37 Mónica dibuja en una hoja dos cuadrados y, sin realizar ninguna medición en absoluto, dice que los dos cuadrados son semejantes. ¿Es cierta la afirmación de Mónica? Justifica tu respuesta.

La afirmación es cierta porque todos los cuadrados son semejantes ya que sus ángulos son iguales y sus lados son proporcionales.

38 La base de un rectángulo mide 10 cm, y su altura, 4 cm. ¿Cuáles son las dimensiones de otro rectángulo semejante a este, cuya razón de semejanza es de 2,5?

Base → 10 ⋅ 2,5 = 25 cm

Altura → 4 ⋅ 2,5 = 10 cm

Las dimensiones del rectángulo semejante son 25 cm de base y 10 cm de altura.39 El perímetro de un pentágono regular es de 15 cm. ¿Cuál es el perímetro de otro pentágono regular semejante que tiene

una razón de semejanza de 2,4?

Hay que multiplicar cada lado por la razón de semejanza.

P = 2,4 ⋅ 15 = 36 cm

El perímetro del pentágono regular semejante es 36 cm.40 ¿Cuál de las siguientes figuras es semejante al coche del modelo? Utiliza instrumentos de medida si es necesario.

a) c)

b) d)

Medimos puntos iguales en los dibujos y tenemos que el semejante es el coche del apartado c).

Desafío41 Observa estas figuras semejantes.

a) ¿Existe alguna relación entre sus perímetros? ¿Y entre sus áreas?

b) En general, ¿existe alguna relación entre las áreas o los perímetros de dos figuras semejantes?

a) La razón de semejanza de las dos figuras es 4

2=

6

3=

12

6= 2 . Luego el perímetro de la figura grande es el doble que

el de la pequeña.

El área de la figura pequeña es A =(2 + 6) ⋅3

2= 12 cm2 , y la de la grande, A =

(4 + 12) ⋅6

2= 48 cm2 . Luego el área

de la figura grande es el cuádruple de la pequeña.

b) Los perímetros son proporcionales con la misma razón de semejanza y las áreas son semejantes con la razón de seme-janza al cuadrado.

12 cm6 cm

3 cm

2 cm6 cm

4 cm

331



6. Escalas

Soluciones de las actividades42 Un plano se ha realizado a escala 1:50. Calcula las medidas en la realidad si en el plano han sido las siguientes.

a) 12 cm b) 35 mm c) 0,2 m d) 1,5 dm e) 12 mm f) 4,4 cm

a) 12 ⋅ 50 = 600 cm c) 0,2 ⋅ 50 = 10 m e) 12 ⋅ 50 = 600 mm

b) 35 ⋅ 50 = 1 750 mm d) 1,5 ⋅ 50 = 75 dm f) 4,4 ⋅ 50 = 220 cm43 Las siguientes son las distancias reales entre dos puntos A y B. Calcula cuántos centímetros medirán en un mapa realizado

a una escala 1:15 000.

a) 3 km b) 5,25 km c) 300 m d) 12 km e) 9 km f) 15 km

a) 300 000 : 15 000 = 20 cm

b) 525 000 : 15 000 = 35 cm

c) 30 000 : 15 000 = 2 cm

d) 1 200 000 : 15 000 = 80 cm

e) 900 000 : 15 000 = 60 cm

f) 1 500 000 : 15 000 = 100 cm


Para trabajar el epígrafe es muy útil llevar al aula mapas y planos con diferentes escalas para que los alumnos puedan realizar distintos cálculos de medidas sobre ellos.

También puede ayudarles dibujar el plano de alguna es-tancia del centro escolar o de su propia casa con diferentes escalas para que observen la diferencia en las representa-ciones.

209


208

6. ESCALAS

Yamil tiene que copiar en su cuaderno una obra de arte de 45 cm de largo por 30 cm de ancho. Lo intenta, pero no puede reproducir la imagen fielmente porque las dimensiones de su cuaderno son mucho más pequeñas.

Decide hacer una representación en la que reduce las dimensiones de la obra de manera proporcional. Dibuja la imagen enmarcándola en un rectángulo de 9 cm de largo por 6 cm de ancho.

Yamil ha dibujado el rectángulo a escala 1:5. Esto quiere decir que cada centímetro del dibujo equivale a 5 cm en la realidad.

Una escala es la relación de semejanza que existe entre la representación de una figura y la figura real.

Escala = distancia en la representación:distancia en la realidad

Las escalas se pueden expresar de tres formas:

Escala numérica Escala unidad por unidad Escala gráfica

1:50

Expresa la relación entre el valor de la representación y el valor real.

1 cm:5 km

Expresa la igualdad de una longitud en la representación y en la realidad.

0 1 2

kilómetros

3

Muestra la relación entre la longitud de la representación y la de la realidad.

Planos y mapas

Habitualmente, se utilizan las escalas para interpretar planos o mapas.

Aprenderás a… ● Reconocer el uso de las escalas para realizar mapas y planos.

● Usar la escala para calcular longitudes en la realidad a partir de un plano o un mapa, y viceversa.

En el plano, las dimensiones del salón son 6 cm de largo y 2 cm de ancho.

Luego, en realidad el salón mide:

❚ Largo = 6 ⋅ 200 = 1 200 cm = 12 m

❚ Ancho = 2 ⋅ 200 = 400 cm = 4 m

En el mapa, la distancia entre Sevilla y Córdoba es de 2,4 cm.

Al colocar este segmento sobre la escala gráfica, se tiene que la distancia real entre Sevilla y Córdoba es de 120 km.

Un plano se ha realizado a escala 1:50. Calcula las medidas en la realidad si en el plano han sido las siguientes.a) 12 cm c) 0,2 m e) 12 mmb) 35 mm d) 1,5 dm f) 4,4 cm

Las siguientes son las distancias reales entre dos puntos A y B. Calcula cuántos centímetros medirán en un mapa realizado a una escala 1:15 000.a) 3 km c) 300 m e) 9 kmb) 5,25 km d) 12 km f) 15 km

Un dormitorio tiene forma de rectángulo con un largo y un ancho de 4 m y 3 m, respectivamente. Se dibuja en un plano a escala 1:50. ¿Cuánto medirán los lados del rectángulo en el plano?

Dos casas se encuentran a una distancia de 4,5 km. ¿A cuántos centímetros de distancia estarán en un plano que se ha hecho a escala 1:5 000?

La distancia en línea recta entre Toledo y Murcia es de 326 km. Si en un mapa hay 8,15 cm de distancia entre las dos ciudades, ¿qué escala se ha utilizado en el mapa?

En un mapa aparece la siguiente escala gráfica.70 0 70 140 210 280metros metros350

Calcula las distancias reales a las que corresponden estas medidas en el mapa.a) 2 cm b) 3,5 cm c) 5 cm d) 6 cm

Se ha construido un plano de una habitación de 4 m de largo por 3,5 m de ancho. En el plano, la habitación mide 10 cm de largo.a) ¿Con qué escala se ha construido el plano?b) ¿Cuánto medirá de ancho la habitación en el plano?

Las maquetas son modelos tridimensionales que reproducen objetos a escala, como esculturas, edificios, ciudades, coches… En su último viaje a París, Marta compró una maqueta de la torre Eiffel cuya altura es de 16,2 cm.

¿Cuál es la escala de la maqueta si la torre real mide 324 m de alto?

42

43

44

45

46

47

48

49

Investiga

A la hora de elegir un mapa, la escala utilizada depende de qué se esté representando. Investiga cuál es la escala más apropiada en los siguientes tipos de mapas.a) Ciudades, pueblos o comarcas. b) Regiones o países no muy

extensos. c) Países grandes, continentes o

mapamundis.

50

Escala 1:200

Salón

Habitación1

Habitación2

Baño

Cocina

•

•

•

•

•

Córdoba

SevillaHuelva

Cádiz

Málaga

0 50 100

Kilómetros

150



44 Un dormitorio tiene forma de rectángulo con un largo y un ancho de 4 m y 3 m, respectivamente. Se dibuja en un plano a escala 1:50. ¿Cuánto medirán los lados del rectángulo en el plano?

4 m = 400 cm → 400 : 50 = 8 cm de largo

3 m = 300 cm → 300 : 50 = 6 cm de ancho

Los lados miden 8 cm de largo y 6 cm de ancho.45 Dos casas se encuentran a una distancia de 4,5 km. ¿A cuántos centímetros de distancia estarán en un plano que se ha

hecho a escala 1:5 000?

4,5 km = 450 000 cm → 450 000 : 5 000 = 90 cm

Estará a 90 cm de distancia.46 La distancia en línea recta entre Toledo y Murcia es de 326 km. Si en un mapa hay 8,15 cm de distancia entre las dos

ciudades, ¿qué escala se ha utilizado en el mapa?

326 km = 32 600 000 → 32 600 000 : x = 8,15 → x = 4 000 000

Se ha utilizado la escala 1:4 000 000.47 En un mapa aparece la siguiente escala gráfica.

70 0 70 140 210 280metros metros350

Calcula las distancias reales a las que corresponden estas medidas en el mapa.

a) 2 cm b) 3,5 cm c) 5 cm d) 6 cm

A cada centímetro le corresponden 70 m.

a) 2 ⋅ 70 = 140 m b) 3,5 ⋅ 70 = 245 m c) 5 ⋅ 70 = 350 m d) 6 ⋅ 70 = 420 m48 Se ha construido un plano de una habitación de 4 m de largo por 3,5 m de ancho. En el plano, la habitación mide 10 cm

de largo.

a) ¿Con qué escala se ha construido el plano?

b) ¿Cuánto medirá de ancho la habitación en el plano?

a) 4 m = 400 cm → 400 : x = 10 → x =400

10= 40

El plano se ha construido a escala 1:40.

b) 3,5 m = 350 cm → 350 : 40 = 8,75

El ancho medirá 8,75 cm.49 Las maquetas son modelos tridimensionales que reproducen objetos a escala, como esculturas, edificios, ciudades,

coches… En su último viaje a París, Marta compró una maqueta de la torre Eiffel cuya altura es de 16,2 cm.

¿Cuál es la escala de la maqueta si la torre real mide 324 m de alto?

324 m = 32 400 cm → 32 400 : x = 16,2 → x =32 400

16,2= 2 000

La escala es 1:2 000.

Investiga50 A la hora de elegir un mapa, la escala utilizada depende de qué se esté representando. Investiga cuál es la escala más

apropiada en los siguientes tipos de mapas.

a) Ciudades, pueblos o comarcas.

b) Regiones o países no muy extensos.

c) Países grandes, continentes o mapamundis.

Respuesta abierta.

333



7. Teorema de Tales

Soluciones de las actividades51 Comprueba si las razones de proporcionalidad entre la longitud de los segmentos OA y OA’ y la longitud de los segmentos

AB y A’B’ forma una proporción.

• •

•

•

•A B

A’

B’

O

Las medidas son las siguientes:

OA = 2,5 cm OA’ = 2 cm AB = 5,5 A’B’ = 4,42,5

2=

5,5

4,4 ya que 2,5 ⋅ 4,4 = 11 = 2 ⋅ 5,5 Las longitudes forman una proporción.


Seguramente sea necesario practicar cómo se trazan rectas paralelas con instrumentos de dibujo.

También es importante practicar la toma de medidas con una regla. En muchas mediciones se va necesitar una apro-ximación hasta los milímetros y puede que no resulte sen-cillo.

Si al tomar alguna medida se produce un error de tan solo un milímetro, puede hacer que en la medida del segmento proporcional se genere un error mucho mayor. Por este mo-tivo, es importante que se realicen los dibujos y se tomen las medidas con mucha precisión.

211


210

7. TEOREMA DE TALES

Sandra ha dibujado dos rectas secantes, r y s. En la recta s señala tres puntos, A, B y C, de forma que la distancia de B a C es el doble que la distancia de A a B.

Después, Sandra dibuja tres rectas paralelas que pasan por A, B y C, que cortan a la recta r en los puntos A’, B’ y C’.

Al medir la longitud entre los puntos señalados en la recta r, Sandra comprueba que se mantienen las proporciones respecto a los puntos de la recta s.

3

2=

6

4= 1,5

Teorema de Tales. Si dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes determinados sobre las rectas secantes son proporcionales.

AB

A ´B ´=

BC

B ´C ´=

AC

A ´C ´

Aprenderás a… ● Identificar las condiciones necesarias para que se cumpla el teorema de Tales.

● Obtener la longitud de segmentos proporcionales utilizando el teorema de Tales.

Comprueba si las razones de proporcionalidad entre la longitud de los segmentos OA y OA’ y la longitud de los segmentos AB y A’B’ formar una proporción.

• •

•

•

•A B

A’

B’

O

¿Cuánto miden el segmento OA’ y el segmento AB?

• •

•

•

•

• •A B CA’

B’

C’

O1,5 cm 2 cm

6,25 cm

2,5 cm

Halla la longitud del segmento AB en cada caso. a)

•

•

•

•

•

B

A’

B’

9,45 cm

1,35 cm0,75 cmO

A

b)

••

••

•

A’

B’

A

B2 cm

4,5 cm5 cm

O

Calcula las medidas desconocidas en los siguientes segmentos.

••

•

• ••

•

B

C

A’B’ C’

7 cm

6 cm

1,8 cm

1,5 cm

A

O

51

52

53

54

Dos razones, a

b y

c

d, forman

una proporción si: a

b=

c

d

Recuerda

Investiga

Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto la altura de la pirámide de Keops, y este respondió utilizando un método de lo más ingenioso para aquella época.

Investiga sobre este suceso: ¿cuál fue el método que utilizó el sabio griego, qué respondió y cuál es la altura real de la pirámide?

55

• • •A B

r

sC4 cm2 cm

• • ••

•

•

A B

r

sC

A’

B’

C’

4 cm2 cm

3 cm

6 cm

••

•

•

•

•

A

B

C

A’

B’

C’

} Calcula la longitud del segmento A’B’.

SoluciónPor el teorema de Tales tenemos que:

6,75

3=

A ´B ´

2Despejamos y obtenemos la longitud del segmento A’B’.

A ´B ´ =6,75 ⋅2

3= 4,5 cm

EJERCICIO RESUELTO

•• •

•

•

AO B

A’

B’

2 cm3 cm

6,75 cm



52 ¿Cuánto miden el segmento OA’ y el segmento AB?

• •

•

•

•

• •A B CA’

B’

C’

O1,5 cm 2 cm

6,25 cm

2,5 cm

Aplicamos el teorema de Tales.

OA’

1,5=

6,25

AB=

2,5

2→

OA’

1,5=

2,5

2→ OA’ =

2,5 ⋅1,5

2= 1,875 cm

6,25

AB=

2,5

2→ AB =

6,25 ⋅2

2,5= 5 cm

53 Halla la longitud del segmento AB en cada caso.

a)

•

•

•

•

•

B

A’

B’

9,45 cm

1,35 cm0,75 cmO

A

b)

••

••

•

A’

B’

A

B2 cm

4,5 cm5 cm

O


a) 0,75

1,35=

AB

9,45→ AB =

0,75 ⋅9,45

1,35= 5,25 cm b)

5

2=

4,5

AB→ AB =

2 ⋅ 4,5

5= 1,8 cm

54 Calcula las medidas desconocidas en los siguientes segmentos.

••

•

• ••

•

B

C

A’B’ C’

7 cm

6 cm

1,8 cm

1,5 cm

A

O


1,8

1,5=

6

BC=OA’

7→

1,8

1,5=

6

BC→ BC =

6 ⋅1,5

1,8= 5 cm

1,8

1,5=OA’

7→ OA’ =

7 ⋅1,8

1,5= 8,4 cm

Investiga55 Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le preguntó a Tales de Mileto la altura de la pirámide de Keops, y este

respondió utilizando un método de lo más ingenioso para aquella época.

Investiga sobre este suceso: ¿cuál fue el método que utilizó el sabio griego, qué respondió y cuál es la altura real de la pirámide?

Midió la sombra de un bastón clavado en el suelo y la sombra de la pirámide, y aplicó su teorema.

335



8. Semejanza de triángulos. Criterios

Soluciones de las actividades56 Los siguientes pares de triángulos son semejantes. Halla los datos que faltan y la razón de semejanza.

a)

12 cm

2,4 cm

7,2 cm9 cm y

x b)

7 cm8,4 cm

11 cm15 cm yx

a) x

9=

7,2

12=

2,4

y→

x

9=

7,2

12→ x = 5,4 cm

2,4

y=

7,2

12→ y = 4 cm

b) x

11=

8,4

7=

15

y→

x

11=

8,4

7→ x = 13,2 cm

15

y=

8,4

7→ y = 12,5 cm


Para trabajar los criterios de semejanza puede resultar útil llevar al aula triángulos semejantes para los que los alum-nos midan sus ángulos y sus lados, y observen que no es necesario comprobar todas las condiciones para saber si son semejantes.

GeoGebra. CRITERIOS DE SEMEJANZA

En este recurso pueden verse dos triángulos semejantes. Movien-do el deslizador de la parte superior se obtienen nuevos triángu-los semejantes. Aparecen señaladas las condiciones correspon-dientes al tercer criterio de semejanza pero pueden comprobarse los demás criterios sobre las figuras. Es conveniente señalar cómo las longitudes son proporcionales pero los ángulos permanecen invariantes.

213


212

8. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. CRITERIOS

Amelia aplica la definición de polígonos semejantes a estos dos triángulos.

Dos triángulos son semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Es decir, si cumplen que:

A = A´ B = B´ C = C ´

Existen varios criterios para averiguar si dos triángulos son semejantes.

Aprenderás a… ● Reconocer triángulos semejantes.

● Aplicar los criterios de semejanza para reconocer triángulos semejantes.

● Reconocer triángulos en posición de Tales.

Triángulos en posición de Tales

Dibujamos un triángulo cualquiera, ABC, y trazamos una recta paralela a un lado que corte a los otros dos en los puntos B’ y C’.

En el interior del triángulo se ha formado otro triángulo, AB’C’.

Estos dos triángulos tienen un ángulo común, el ángulo A, y, por el teorema de

Tales, sus lados son proporcionales: AB

AB ´=

AC

AC ´

Aplicando los criterios de semejanza, obtenemos que los dos triángulos son semejantes. Decimos que estos triángulos están en posición de Tales.

Dos triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común y los lados opuestos a ese vértice son paralelos.

Dos triángulos en posición de Tales siempre son semejantes.

❚ Criterio 3. Tienen dos lados proporcionales, y el ángulo que forman coincide.

ma2e40

Los siguientes pares de triángulos son semejantes. Halla los datos que faltan y la razón de semejanza.a)

12 cm

2,4 cm

7,2 cm9 cm y

x b)

7 cm8,4 cm

11 cm15 cm yx

Utiliza instrumentos de medida para comprobar si estos triángulos son semejantes. En caso afirmativo, halla la razón de semejanza.a) b)

Explica por qué estos triángulos son semejantes en cada caso.a)

32º

95º 95º

32º

b)

10 cm

6 cm

6 cm

8 cm4,8 cm

4,8

cm

c) 5 cm

6 cm

8,4 cm

7 cm

20º

20º

Aplica los criterios de semejanza para justificar si los triángulos señalados en cada apartado son semejantes.a) A

C

B

D

b) A CB

E

D

Halla el valor de los datos desconocidos en la siguiente figura.

•

•

•

•

•

•

•

a

b

c

d

5 cm2 cm

3 cm1,5 cm

4 cm

56

57

58

59

60

DESAFÍOLos criterios de semejanza reducen las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean semejantes. Establece un criterio de semejanza si los triángulos son:a) Rectángulos. b) Isósceles. c) Equiláteros.

61

Presta atención

•

••

•

•

A

O

B

B’A’

Por el teorema de Tales:

OA

OA´=

AB

A´B´

Por semejanza de triángulos:

OA

OB=OA´

OB´=

AA´

BB´

A B A’ B’

C’

C

A B A’ B’

C’

C

A B A’ B’

C’

C

A

B

B’

C’ C

❚ Criterio 1. Tienen los tres lados proporcionales.

❚ Criterio 2. Tienen dos ángulos iguales.



57 Utiliza instrumentos de medida para comprobar si estos triángulos son semejantes. En caso afirmativo, halla la razón de semejanza.

a) b)

a) 1,8

1,5=

3,6

3≠

4

3,4→ No son semejantes. b)

2,25

1,5=

4,5

3=

4,8

3,2= 1,5 → Son semejantes.

58 Explica por qué estos triángulos son semejantes en cada caso.

a)

32º

95º 95º

32º

b)

10 cm

6 cm

6 cm

8 cm

4,8 cm

4,8

cm

c) 5 cm

6 cm

8,4 cm

7 cm

20º

20º

a) Tienen dos ángulos iguales.

b) Tienen los tres lados son proporcionales: 10

8=

6

4,8=

6

4,8= 1,25

c) Tienen un ángulo igual y los lados que los forman son proporcionales: 7

5=

8,4

6= 1,4

59 Aplica los criterios de semejanza para justificar si los triángulos señalados en cada apartado son semejantes.

a) A

C

B

D

b) A CB

E

D

a) Son semejantes porque los triángu-los tienen los tres ángulos iguales.

b) Son semejantes porque los triángu-los están en posición de Tales.

60 Halla el valor de los datos desconocidos en la siguiente figura.

•

•

•

•

•

•

•

a

b

c

d

5 cm2 cm

3 cm1,5 cm

4 cm

Por el teorema de Tales: 2

3=

a

4=b

5→

2

3=

a

4→ a = 2,6

cm

2

3=b

5→ b = 3,3

cm

Por semejanza de triángulos: 3

1,5=

7

d=

5

c→

3

1,5=

7

d→ d = 3,5 cm

3

1,5=

5

c→ c = 2,5 cm

Desafío61 Los criterios de semejanza reducen las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean semejantes. Establece

un criterio de semejanza si los triángulos son:

a) Rectángulos. a) Si los catetos son proporcionales.

b) Isósceles. b) Si tienen un ángulo igual o si dos lados son proporcionales.

c) Equiláteros. c) Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

337



9. Aplicaciones del teorema de Tales

Soluciones de las actividades62 Indica en cuántas partes se han dividido los siguientes segmentos.

a)

• • • • • •AB

b)

• • • • •A B

a) En 5 partes iguales. b) En 4 partes iguales.


Es importante practicar la realización de dibujos que refle-jen el enunciado de las actividades para poder identificar los triángulos en los que se va a intentar aplicar la semejanza.

Es necesario que los alumnos justifiquen si los triángulos son semejantes porque muchas veces se limitan a plantear una igualdad entre dos razones sin establecer la semejanza.

Vídeo. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES

En el vídeo se muestra cómo dividir un segmento dado en tres partes iguales aplicando el teorema de Tales y utilizando la regla y el compás.

Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta página o como recurso para que los alumnos repasen el procedi-miento completo para dividir un segmento de forma exacta con las herramientas de dibujo más tarde.

215


214

Cálculo de alturas

Olga quiere calcular la altura del centro escolar, pero no tiene acceso a la azotea para poder medir la altura del edificio.

Se da cuenta de que el edificio y ella misma proyectan sombras, y de que estas sombras forman sendos triángulos con su propia estatura (1,80 m) y la altura del edificio.

Estos dos triángulos son semejantes, ya que tienen dos ángulos iguales: el recto y el de incidencia de los rayos de sol.

Olga puede medir la longitud de las dos sombras y su propia estatura. Así, aplicando la semejanza de triángulos, calcula la altura del edificio.

AB

BC=

A ´B ´

B Ć ´

→2,7

1,8=

8,25

B Ć ´→

→ B Ć ´ =8,25 ⋅1,8

2,7= 5,5

La altura del centro escolar de Olga es de 5,5 m.

9. APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES

División de un segmento en partes iguales

La profesora de Andrés le propone un reto: dividir un segmento en tres partes exactamente iguales, utilizando únicamente instrumentos de dibujo. En ningún caso puede medir el segmento.

Andrés piensa que no hay problema. Con el teorema de Tales lo puede lograr con solo trazar rectas paralelas.

Aprenderás a… ● Utilizar el teorema de Tales para dividir un segmento en partes proporcionales.

● Utilizar el teorema de Tales para hallar distancias o alturas inaccesibles.

Indica en cuántas partes se han dividido los siguientes segmentos.

a)

• • • • • •AB

b)

• • • • •A B

Dibuja en tu cuaderno un segmento de 5 cm de longitud y divídelo en tres partes iguales.

Averigua qué relación existe entre las medidas de los segmentos AB y BC.

• • •A B C

Dibuja en tu cuaderno un segmento de 4 cm y divídelo de tal modo que la segunda parte sea el triple que la primera.

Divide un segmento en tres partes proporcionales de forma que cada una de ellas sea el doble que la anterior.

62

63

64

65

66

Un árbol de 2 m de altura proyecta sobre el suelo una sombra de 10 m. Al mismo tiempo, una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 m. ¿Cuál es la altura de la pared del edificio?

Sabiendo que, a cierta hora del día, un edificio de 5 m proyecta una sombra de 2 m, calcula la altura de una farola y un árbol cuyas sombras a la misma hora del día son de 1 m y 0,75 m, respectivamente.

¿Cuánto mide el ancho del río? Calcula.

Halla la altura del edificio con los datos del dibujo.

Paula mide 1,64 m y, desde donde está situada, observa en la misma visual el extremo de una barra de 2 m y la esquina superior de un edificio como muestra la figura.

Paula mide la distancia a la barra y desde la barra al edificio. Con estas medidas, calcula tú la altura del edificio.

67

68

69

70

71

ma2e41

DESAFÍODibuja en tu cuaderno una barra de pan como la de la foto y divídela geométricamente en 5 partes iguales.

72

A’ B’

C’

A B

C

8,25 m

2,7 m

1,8 m



63 Dibuja en tu cuaderno un segmento de 5 cm de longitud y divídelo en tres partes iguales.

•

•

•

• •A B

Comprobar que los alumnos dibujan un segmento AB de 5 cm. Después, tra-zan una semirrecta con origen en A, toman un segmento como unidad y lo trazan tres veces sobre esta semirrecta. Unen B con el último punto marcado en la semirrecta y dibujan rectas paralelas que pasen por el resto de puntos señalados en la semirrecta.

64 Averigua qué relación existe entre las medidas de los segmentos AB y BC.

• • •A B C

El segmento AB mide el doble que el segmento BC.65 Dibuja en tu cuaderno un segmento de 4 cm y divídelo de tal modo que la segunda parte sea el triple que la primera.

••

•

• ••

A B

Comprobar que los alumnos dibujan un segmento AB de 4 cm. Después, trazan una semirrecta con origen en A, toman un segmento como unidad y lo trazan cuatro veces sobre esta semirrecta. Unen B con el último punto marcado en la semirrecta y dibujan una recta paralela que pase por primer punto señalado en la semirrecta.

66 Divide un segmento en tres partes proporcionales de forma que cada una de ellas sea el doble que la anterior.

•

••

••

••

••A B

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7Comprobar que los alumnos dibujan un segmento AB. Después, trazan una semirrecta con origen en A, toman un segmento como unidad y lo trazan siete veces sobre esta semirrecta. Unen B con el último punto marcado en la semirrecta y dibujan rectas paralelas que pasen por primer y tercer punto señalado en la semirrecta.

67 Un árbol de 2 m de altura proyecta sobre el suelo una sombra de 10 m. Al mismo tiempo, una pared de un edificio proyecta una sombra de 80 m. ¿Cuál es la altura de la pared del edificio?

Se trata de dos triángulos semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el recto y el de incidencia de los rayos del sol. 2

10=

x

80→ x =

2 ⋅80

10= 16

La altura de la pared del edificio es 16 m.

339



68 Sabiendo que, a cierta hora del día, un edificio de 5 m proyecta una sombra de 2 m, calcula la altura de una farola y un árbol cuyas sombras a la misma hora del día son de 1 m y 0,75 m, respectivamente.

Se trata de dos triángulos semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el recto y el de incidencia de los rayos del sol.

Llamamos x a la altura de la farola. Entonces:5

2=

x

1→ x =

5 ⋅1

2= 2,5

Llamamos y a la altura del árbol. Entonces:5

2=

y

0,75→ y =

5 ⋅0,75

2= 1,875

La farola mide 2,5 m, y el árbol, 1,875 m.69 ¿Cuánto mide el ancho del río? Calcula.

Los dos triángulos que se forman son semejantes porque son rectángulos y tienen un ángulo común.

Llamamos x al ancho del río. x

18=

80

30→ x =

80 ⋅18

30= 48

El ancho del río mide 48 m.

70 Halla la altura del edificio con los datos del dibujo.

Se trata de dos triángulos semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el recto y el de incidencia de los rayos del sol.

Llamamos h a la altura del edificio.h

1,65=

10,8

1,44→ x =

10,8 ⋅1,65

1,44= 12,375

La altura del edificio es 12,375 m.

71 Paula mide 1,64 m y, desde donde está situada, observa en la misma visual el extremo de una barra de 2 m y la esquina superior de un edificio como muestra la figura. Paula mide la distancia a la barra y desde la barra al edificio. Con estas medidas, calcula tú la altura del edificio.

Tenemos dos triángulos en posición de Tales, luego son semejantes. Entonces:

0,75

0,75 + 3,25=

2−1,64

x→

0,75

4=

0,36

x→ x =

4 ⋅0,36

0,75= 1,92

1,92 + 1,64 = 3,56

La altura del edificio es 3,56 m.

Desafío72 Dibuja en tu cuaderno una barra de pan como la de la foto y divídela geométricamente en 5 partes iguales.

Comprobar que los alumnos dibujan una barra de pan como la del dibujo. Después, trazan una semirrecta con origen uno de los extremos de la barra, toman un segmento como unidad y lo trazan cinco veces sobre esta semirrecta. Unen el otro extremo con el último punto marcado en la semirrecta y dibujan rectas paralelas que pasen por el resto de puntos señalados en la semirrecta.




En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Aplicar el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

❚❚ Obtener la longitud de segmentos proporcionales utilizando el teorema de Tales.

❚❚ Reconocer triángulos semejantes aplicando los criterios de semejanza.

Actividades finalesSoluciones de las actividades73 Determina el área de las siguientes figuras.

a)

6 cm

12 cm

b)

4 cm

15 cm

c)

3,46

cm

2 cm

a) A = ARectángulo + ASemicírculo = b ⋅h +π ⋅ r2

2= 12 ⋅6 +

3,14 ⋅32

2= 72 + 14,13 = 86,13 cm2

b) A = ATriángulo + ASemicírculo =b ⋅h

2+π ⋅ r2

2=

8 ⋅15

2+

3,14 ⋅ 42

2= 60 + 25,12 = 85,12 cm2

c) A = AHexágono + 6 ⋅ ASemicírculo =P ⋅ ap

2+ 6 ⋅

π ⋅ r2

2=

6 ⋅2 ⋅1,73

2+ 6 ⋅

3,14 ⋅12

2= 10,38 + 9,42 = 19,8 cm2

¿Qué tienes que saber?

216 217

¿QUÉ10 tienes que saber? Actividades Finales 10

Teorema de TalesTen en cuenta

Teorema de Tales. Si dos rectas secantes son cortadas por varias rectas paralelas, los segmentos correspondientes determinados sobre las rectas secantes son proporcionales.

• • •

•

•

A

A’

B

B’O

OA

OA´=

AB

A´B´

Calcula la longitud del segmento x.

••

•

•

••

A r

s

x

B

B’

C

C’

A’

1 cm

4 cm

3 cm

Como las rectas r y s son secantes, aplicamos el teorema de Tales y obtenemos que: AB

A ´B ´=

BC

B ´C ´

AB

A ´B ´=

BC

B ´C ´→

4

3=

1

x→ x =

3 ⋅1

4→ x = 0,75 cm

Triángulos semejantes. Criterios de semejanzaTen en cuenta

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados son proporcionales.

Criterios de semejanzaDos triángulos son semejantes si cumplen uno de estos criterios:

❚ Tienen los tres lados proporcionales.

❚ Tienen dos ángulos iguales.

❚ Tienen dos lados proporcionales, y el ángulo que forman coincide.

Explica por qué si los siguientes triángulos son semejantes.a)

3 cm

3 cm

1,8

cm

5 cm50º

50º

b) 20º

60º

60º20º

c)

7 cm

6 cm

3 cm

5,25 cm

4 cm

8 cm

a) Tienen dos lados proporcionales: 3

1,8=

5

3El ángulo que forman los lados proporcionales mide 50º, igual en los dos triángulos.

b) Tienen dos ángulos iguales: 60º y 20º

c) Tienen los tres lados proporcionales: 8

6=

7

5,25=

4

3

Polígonos y figuras circulares

Determina el área de las siguientes figuras.

a)

6 cm

12 cm

b)

4 cm

15 cm

c)

3,46

cm

2 cm

Calcula el área de estos sectores circulares.

a)

12 cm

65º

b)

200º

8 cm

Halla la longitud de los siguientes arcos.

a)

7 cm

230º

b) 6 cm

50º

Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

Identifica el valor de la hipotenusa y de los catetos de los siguientes triángulos rectángulos.

a)

61 cm60 cm

11 cm c)

x

z

y

b) a

bc

d)

2,8 km

4,5 km

3,3 km

73

74

75

76

Halla la medida del lado que falta en los triángulos rectángulos propuestos.a)

8,5 cm

8,4 cm

a

c) c

2,4 dm

2,6 dm

b)

b

21 dm

29 dm

d) d

4,1 km

4 km

Calcula el área del cuadrado que falta en cada caso. ¿Cuánto miden los lados de cada triángulo?a)

25 u²

9 u²

?

b)

144 u²

169 u²

?

¿Qué distancia recorre Antonio aproximadamente al deslizarse por un tobogán que mide 3,6 m de altura sabiendo que la distancia entre la base del tobogán y el punto donde toca el suelo es de 1,5 m?

Un GPS indica que, para ir desde un punto a otro, hay que desplazarse 18 km hacia el norte y 9 km hacia el oeste. Si Carmen quiere ir de punto a punto en línea recta, ¿cuántos kilómetros tendrá que recorrer aproximadamente?

Ismael necesita superar con un carrito un escalón de 16 cm de altura con un tablón de 34 cm de largo. ¿A qué distancia del escalón tiene que colocar el tablón?

16 cm34 cm

Una empresa de pintores establece como medida de seguridad que hay que colocar la escalera a 0,75 m de la pared por cada metro de altura que alcance en ella. ¿Cuál es la longitud de una escalera que se ha situado a 3 m de la pared?

77

78

79

80

81

82

Teorema de PitágorasTen en cuenta

Teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

ab

c

a2 = b2 + c2

Una plaza rectangular mide 24 m de largo y 10 m de ancho. ¿Cuánto mide su diagonal?

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo formado por la diagonal y el largo y el ancho del rectángulo.

d2 = 242 + 102 → d2 = 576 + 100

→ d2 = 676 → d = 676 = 26

La diagonal mide 26 m.

d

24 m

10 m

341



74 Calcula el área de estos sectores circulares.

a)

12 cm

65º

b)

200º

8 cm

a) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

65 ⋅3,14 ⋅122

360= 81,64 cm2

b) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

200 ⋅3,14 ⋅82

360= 111,64 cm2

75 Halla la longitud de los siguientes arcos.

a)

7 cm

230º

b) 6 cm

50º

a) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

230 ⋅2 ⋅3,14 ⋅7

360= 28,09 cm

b) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

50 ⋅2 ⋅3,14 ⋅6

360= 5,23 cm

76 Identifica el valor de la hipotenusa y de los catetos de los siguientes triángulos rectángulos.

a)

61 cm60 cm

11 cm b) a

bc

c)

x

z

y d)

2,8 km

4,5 km

3,3 km

a) Catetos: 11 cm y 60 cm; hipotenusa: 61 cm

b) Catetos: b y c; hipotenusa: a

c) Catetos: x e y; hipotenusa: z

d) Catetos: 3,3 km y 2,8 km; hipotenusa: 4,5 km77 Halla la medida del lado que falta en los triángulos rectángulos propuestos.

a)

8,5 cm

8,4 cm

a

b)

b

21 dm

29 dm

c) c

2,4 dm

2,6 dm

d) d

4,1 km

4 km

a) a2 + 8,42 = 8,52 → a2 = 8,52 − 8,42 = 72,25 − 70,56 = 1,69 → a = 1,69 = 1,3 cm

b) 212 + b2 = 292 → b2 = 292 − 212 = 841 − 441 = 400 → b = 400 = 20 dm

c) c2 + 2,42 = 2,62 → c2 = 2,62 − 2,42 = 6,76 − 5,76 = 1 → c = 1 = 1 dm

d) d2 + 42 = 4,12 → d2 = 4,12 − 42 = 16,81 − 16 = 0,81 → d = 0,81 = 0,9 km



78 Calcula el área del cuadrado que falta en cada caso. ¿Cuánto miden los lados de cada triángulo?

a)

25 u²

9 u²

?

b)

144 u²

169 u²

?

a) A + 9 = 25 → A = 25 − 9 = 16 u2

Los catetos miden 16 = 4 u y 9 = 3 u, y la hipotenusa 25 = 5 u.

b) A + 144 = 169 → A = 169 − 144 = 25 u2

Los catetos miden 25 = 5 u y 144 = 12 u, y la hipotenusa 169 = 13 u.79 ¿Qué distancia recorre Antonio aproximadamente al deslizarse por un tobogán que mide 3,6 m de altura sabiendo que

la distancia entre la base del tobogán y el punto donde toca el suelo es de 1,5 m?

Calculamos la hipotenusa del triángulo aplicando el teorema de Pitágoras.

d2 = 3,62 + 1,52 = 12,96 + 2,25 = 15,21 → d = 15,21 = 3,9

Antonio recorre 3,9 m aproximadamente. 80 Un GPS indica que, para ir desde un punto a otro, hay que desplazarse 18 km hacia el norte y 9 km hacia el oeste. Si

Carmen quiere ir de punto a punto en línea recta, ¿cuántos kilómetros tendrá que recorrer aproximadamente?

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la distancia.

d2 = 182 + 92 = 324 + 81 = 405 → d = 405 = 20,12

Tendrá que recorrer 20 km aproximadamente.81 Ismael necesita superar con un carrito un escalón de 16 cm de altura con un tablón de 34 cm de largo. ¿A qué distancia

del escalón tiene que colocar el tablón?

16 cm34 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la distancia.

d2 + 162 = 342 → d2 = 342 − 162 = 1 156 − 256 = 900 → d = 900 = 30

Tiene que colocar el tablón a 30 cm de distancia.82 Una empresa de pintores establece como medida de seguridad que hay que colocar la escalera a 0,75 m de la pared por

cada metro de altura que alcance en ella. ¿Cuál es la longitud de una escalera que se ha situado a 3 m de la pared?

Si se ha colocado a 3 m de la pared es porque la escalera alcanza una altura de 3 : 0,75 = 4 m.

Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la escalera.

l2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 → I = 25 = 5

La longitud de la escalera es 5 m.

343



83 Mario y Laura están volando una cometa. Laura sostiene la cometa y ha soltado 10 m de cuerda. Mario está parado a 8 m de Laura, justamente en la vertical de la cometa. ¿A qué distancia del suelo se encuentra la cometa? Ten en cuenta que Laura sostiene la cometa 1 m por encima del suelo.

Aplicamos el teorema de Pitágoras.

h2 + 82 = 102 → h2 = 102 − 82 =100 − 64 = 36 → h = 36 = 6 m

A esta altura hay que sumarle el metro de altura a la que Laura sostiene la cometa.

Entonces la cometa se encuentra a 7 m de altura.

84 Calcula el área de los siguientes polígonos.

a)

18 cm

23 cm

12 cm

b)

16 cm

17 cm

c) 12 cm

15 cm

d)

30 cm

34 cm

219

Actividades Finales 10

218


Mario y Laura están volando una cometa. Laura sostiene la cometa y ha soltado 10 m de cuerda. Mario está parado a 8 m de Laura, justamente en la vertical de la cometa. ¿A qué distancia del suelo se encuentra la cometa? Ten en cuenta que Laura sostiene la cometa 1 m por encima del suelo.

Calcula el área de los siguientes polígonos.

a)

18 cm

23 cm

12 cm

c) 12 cm

15 cm

b)

16 cm

17 cm

d)

30 cm

34 cm

Calcula el área de un hexágono regular de 6 cm de lado.

Halla el área de un pentágono regular de 3 cm de lado y 25,5 mm de radio.

Estas son las medidas, en centímetros, de los tres lados de un triángulo. Clasifícalos según sus ángulos.

a) 8, 15 y 17 c) 10, 12 y 15

b) 7, 12 y 15 d) 20, 21 y 29

Jaime e Iván están construyendo una cerca y quieren asegurase de que el poste que han colocado forma un ángulo de 90º con el suelo. Iván sostiene una cuerda de 130 cm en un punto del poste que está a 50 cm del suelo. Jaime estira la cuerda y coloca el otro extremo en un punto del suelo que está a 1,2 m de la base del poste. ¿Está el poste formando realmente un ángulo de 90º?

83

84

85

86

87

88

Figuras semejantes

Utiliza instrumentos de medida y comprueba si los siguientes cuadriláteros son semejantes.

Estos dos cuadriláteros son semejantes con razón

de semejanza 3

4. Completa las medidas de los lados

y los ángulos que faltan.

2,25 cm

6 cm

6,4 cm4 cm

Estas figuras son semejantes. Averigua cuánto miden los lados y los ángulos indicados.

4 cm

5,75 cm2 cm

x

146º

120º

AB

ˆˆ

Escalas

Averigua la distancia entre los tres pueblos.

Fíjate en los puntos y responde, teniendo en cuenta que la distancia del punto A al punto B representa 45 m en la realidad.

•

•

A

B

a) ¿Cuál es la escala a la que está representada la distancia entre los dos puntos?

b) ¿Qué distancia deberían tener dos puntos que en la realidad distan 60 km?

89

90

91

92

93

Teorema de Tales. Aplicaciones

Averigua los datos que faltan en los siguientes dibujos.

a)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• a3,2 cm

b4,2 cm

2,5 cm

3 cm

2,24 cm2 cm

b)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• a3,2 cm

b4,2 cm

2,5 cm

3 cm

2,24 cm2 cm

Si las rectas r y s son paralelas, ¿se puede afirmar que también lo es la recta t?

•

•

•

•• •

3 cm

2 cm

5 cm

7,5 cm

r s

t

Una señal de tráfico de 2 m de altura proyecta una sombra de 1,2 m. A esa misma hora, un árbol proyecta una sombra de 2 m. ¿Qué altura tiene el árbol?

Lola observa un árbol de 2,5 m de altura y la parte superior de una estatua en la misma visual, tal y como muestra el dibujo. ¿Cuánto mide de alto la estatua?

Marina está viendo la parte más alta de un edificio reflejada en el charco como muestra el dibujo. ¿Cuál es la altura del edificio?

94

95

96

97

98

Triángulos semejantes. Aplicaciones

Averigua los datos que faltan en estos triángulos semejantes y la razón de semejanza entre cada par de triángulos.

10 cm

7 cm

2,4 cm

4 cm

1,75 cm a

bx

y

1

2

3

Aplica los criterios de semejanza para encontrar parejas de triángulos semejantes.

6 cm

10 cm

2 cm

3 cm

8 cm

7,5 cm

5 cm

2 cm

1,5

cm

2,5 cm

30º

50º

50º

20º

20º

30º

1 2

3

4

5 6

De dos triángulos rectángulos sabemos los siguientes datos:

❚ Triángulo ABC: un ángulo mide 37º, y los catetos miden 5,2 cm y 6,9 cm, respectivamente.

❚ Triángulo DEF: un ángulo mide 53º, y la hipotenusa mide 17,28 cm.

Averigua si son semejantes y, en caso de que lo sean, calcula los ángulos y lados desconocidos.

Aplica la semejanza para encontrar las medidas que faltan en la siguiente figura.

y

x

1,5 cm2 cm

2,5 cm

3 cm

99

100

101

102



a) A =(B + b ) ⋅h

2=

(23 + 18) ⋅12

2= 246 cm2

b) Calculamos la mitad de la diagonal mayor aplicando el teorema de Pitágoras.

d2 + 82 = 172 → d2 = 172 − 82 = 289 − 64 = 225 → d = 225 = 15 cm

A =D ⋅d

2=

16 ⋅30

2= 240 cm2

c) Calculamos la altura del rectángulo aplicando el teorema de Pitágoras.

h2 + 122 = 152 → h2 = 152 − 122 = 225 − 144 = 81 → h = 81 = 9 cm

A = b ⋅ h = 12 ⋅ 9 = 108 cm2

d) Calculamos la altura del triángulo aplicando el teorema de Pitágoras.

h2 + 302 = 342 → h2 = 342 − 302 = 1 156 − 900 = 256 → h = 256 = 16 cm

A =b ⋅h

2=

30 ⋅16

2= 240 cm2

85 Calcula el área de un hexágono regular de 6 cm de lado.

Calculamos la apotema del hexágono.

ap2 + 32 = 62 → ap

2 = 62 − 32 = 36 − 9 = 27 → ap = 27 = 5,2 cm

A =P ⋅ ap

2=

6 ⋅6 ⋅5,2

2= 93,6 cm2

86 Halla el área de un pentágono regular de 3 cm de lado y 25,5 mm de radio.

Calculamos la apotema del pentágono.

ap2 + 1,52 = 2,552 → ap

2 = 2,552 − 1,52 = 6,5 − 2,25 = 4,25 → ap = 4,25 = 2,1 cm

A =P ⋅ ap

2=

5 ⋅3 ⋅2,1

2= 15,75 cm2

87 Estas son las medidas, en centímetros, de los tres lados de un triángulo. Clasifícalos según sus ángulos.

a) 8, 15 y 17 b) 7, 12 y 15 c) 10, 12 y 15 d) 20, 21 y 29

a) 172 = 289 = 152 + 82 → Triángulo rectángulo

b) 152 = 225 > 193 = 72 + 122 → Triángulo obtusángulo

c) 152 = 225 < 244 = 102 + 122 → Triángulo acutángulo

d) 292 = 841 = 202 + 212 → Triángulo rectángulo88 Jaime e Iván están construyendo una cerca y quieren asegurase de que el poste que han colocado forma un ángulo de 90º

con el suelo. Iván sostiene una cuerda de 130 cm en un punto del poste que está a 50 cm del suelo. Jaime estira la cuerda y coloca el otro extremo en un punto del suelo que está a 1,2 m de la base del poste. ¿Está el poste formando realmente un ángulo de 90º?

La cuerda, el poste y el suelo forman un triángulo.

Por un lado 1302 = 16 900, y por otro, 502 + 1202 = 16 900.

Como los resultados son iguales, el triángulo es rectángulo y el poste forma un ángulo de 90º con el suelo.89 Utiliza instrumentos de medida y comprueba si los siguientes cuadriláteros son semejantes.

Las medidas del cuadrilátero de la izquierda son 2,25 cm, 2 cm, 3,9 cm y 2,1 cm. Las medidas de los lados correspondientes del cuadrilátero de la derecha son 1,8 cm, 1,6 cm, 3,12 cm y 1,68 cm.1,8

2,25=

1,6

2=

3,12

3,9=

1,68

2,1= 0,8

Son proporcionales con razón de semejanza 0,8.

345



90 Estos dos cuadriláteros son semejantes con razón de semejanza 3

4. Completa las medidas de los lados y los ángulos que

faltan.

2,25 cm

6 cm

6,4 cm4 cm

Cuadrilátero de la izquierda:

2,25 : 3

4 = 3 cm; 6 :

3

4 = 8 cm

Cuadrilátero de la derecha:

4 ⋅ 3

4 = 3 cm; 6,4 ⋅

3

4 = 4,8 cm

Todos los ángulos del primer cuadrilátero son iguales a los ángulos del segundo cuadrilátero.91 Estas figuras son semejantes. Averigua cuánto miden los lados y los ángulos indicados.

4 cm

5,75 cm2 cm

x

146º

120º

AB

ˆˆ

A = 120º; B = 146ºx

5,75=

2

4→ x =

2 ⋅5,75

4= 2,875 cm

92 Averigua la distancia entre los tres pueblos.

La distancia entre A y B en el plano es de 1 cm que son 5 km en la realidad.

La distancia entre A y C en el plano es de 1,5 cm que son 7,5 km en la realidad.

La distancia entre B y C en el plano es de 2 cm que son 10 km en la realidad.

93 Fíjate en los puntos y responde, teniendo en cuenta que la distancia del punto A al punto B representa 45 m en la realidad.

•

•

A

B

a) ¿Cuál es la escala a la que está representada la distancia entre los dos puntos?

b) ¿Qué distancia deberían tener dos puntos que en la realidad distan 60 km?

La distancia entre los puntos A y B es de 3 cm.

a) Se tiene que 3 cm son 4 500 cm. b) 60 km = 6 000 000 cm

4 500 : 3 = 1 500 6 000 000 : 1 500 = 4 000

Luego la escala es 1:1 500. Deberían tener una distancia de 4 000 cm.94 Averigua los datos que faltan en los siguientes dibujos.

a)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• a3,2 cm

b4,2 cm

2,5 cm

3 cm

2,24 cm2 cm

b)

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• a3,2 cm

b4,2 cm

2,5 cm

3 cm

2,24 cm2 cm


a) a

2,5=

4,2

3→ a =

4,2 ⋅2,5

3= 3,5 cm

b) b

2,24=

2

3,2→ b =

2 ⋅2,24

3,2= 1,4



95 Si las rectas r y s son paralelas, ¿se puede afirmar que también lo es la recta t?

•

•

•

•• •

3 cm

2 cm

5 cm

7,5 cm

r s

t

Sí, porque los segmentos son proporcionales.3

2=

7,5

5= 1,5

96 Una señal de tráfico de 2 m de altura proyecta una sombra de 1,2 m. A esa misma hora, un árbol proyecta una sombra de 2 m. ¿Qué altura tiene el árbol?

El ángulo con el que inciden los rayos del sol al suelo es el mismo, luego los triángulos que se forman son semejantes.2

1,2=h

2→ h =

2 ⋅2

1,2= 3,3

El árbol mide 3,3 m.97 Lola observa un árbol de 2,5 m de altura y la parte superior de una estatua en la misma visual, tal y como muestra el

dibujo. ¿Cuánto mide de alto la estatua?

Los triángulos que se forman son semejantes porque están en posición de Tales.

2

2,5−1,7=

2 + 6

h→

2

0,8=

8

h→ h =

0,8 ⋅8

2= 3,2

Sumamos la altura de Lola: 3,2 + 1,7 = 4,9

La estatua mide 4,9 m.

98 Marina está viendo la parte más alta de un edificio reflejada en el charco como muestra el dibujo. ¿Cuál es la altura del edificio?

Los dos triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.1,65

1,5=h

4→ h =

1,65 ⋅ 4

1,5= 4,4

El edificio mide 4,4 m.

99 Averigua los datos que faltan en estos triángulos semejantes y la razón de semejanza entre cada par de triángulos.

10 cm

7 cm

2,4 cm

4 cm

1,75 cm a

bx

y

1

2

3

❚❚ Como los triángulos 1 y 3 son semejantes se tiene que:

1,75

4=a

7=

b

10→

1,75

4=a

7→ a =

1,75 ⋅7

4= 3,0625 cm

1,75

4=

b

10→ b =

1,75 ⋅10

4= 4,375 cm

Razón de semejanza entre 1 y 3: 1,75

4= 0,44

❚❚ Como también los triángulos 2 y 3 son semejantes se tiene que:

2,4

7=

x

4=

y

10→

2,4

7=

x

4→ x =

2,4 ⋅ 4

7= 1,37 cm

2,4

7=

y

10→ y =

2,4 ⋅10

7= 3,43 cm

La razón de semejanza entre 2 y 3: 2,4

7= 0,34 La razón de semejanza entre 1 y 2:

1,75

1,37= 1,28

347



100 Aplica los criterios de semejanza para encontrar parejas de triángulos semejantes.

6 cm

10 cm

2 cm

3 cm

8 cm

7,5 cm

5 cm

2 cm

1,5

cm

2,5 cm

30º

50º

50º

20º

20º

30º

1 2

3

4

5 6

– Los triángulos 1 y 3 son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

– Los triángulos 4 y 5 son semejantes porque tiene un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales: 2

5=

3

7,5= 0,4

– Los triángulos 2 y 6 son semejantes porque tienen los lados proporcionales.10

2,5=

8

2=

6

1,5= 4

101 De dos triángulos rectángulos sabemos los siguientes datos:

❚❚ Triángulo ABC: un ángulo mide 37º, y los catetos miden 5,2 cm y 6,9 cm, respectivamente.

❚❚ Triángulo DEF: un ángulo mide 53º, y la hipotenusa mide 17,28 cm.

Averigua si son semejantes y, en caso de que lo sean, calcula los ángulos y lados desconocidos.

Los dos triángulos tienen los ángulos iguales ya que si uno mide 37º el otro tiene que medir 90º − 37º = 53º.

Luego los triángulos son semejantes.

Calculamos la hipotenusa del triángulo ABC:

h2 = 5,22 + 6,92 → h2 = 27,04 + 47,61 = 74,65 → h = 8,64 cm

Por ser semejantes, se tiene que los catetos del triángulo DEF miden:17,28

8,64=

x

5,2→ x =

17,28 ⋅5,2

8,64= 10,4 cm

17,28

8,64=

y

6,9→ y =

17,28 ⋅6,9

8,64= 13,8 cm

102 Aplica la semejanza para encontrar las medidas que faltan en la siguiente figura.

y

x

1,5 cm2 cm

2,5 cm

3 cm

Aplicamos la semejanza de triángulos.

2

5=

2,5

y=

1,5

1,5 + x→

2

5=

2,5

y→ y =

5 ⋅2,5

2= 6,25 cm

2

5=

1,5

1,5 + x→ 1,5 + x =

1,5 ⋅5

2→ 1,5 + x = 3,75 → x = 2,25 cm



Matemáticas vivas. Modelismo ferroviario


En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática. Se presenta una situación cotidiana, el estudio de diferentes escalas para modelismo ferroviario, en la que intervienen las escalas.

En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las com-petencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Resuelve, Argumenta, Piensa y Razona, Modeliza, Representa, Utiliza el lenguaje matemático o Comunica.

Para finalizar la sección se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Situación problema, Adaptación del Laboratorio de Innovación Educativa del colegio Ártica a partir de Ferreiro Gravié.

Los alumnos calcularán las medidas reales de un avión según los datos propuestos por el profesor. Además, investigarán sobre las escalas utilizadas para realizar modelos de este tipo de avión.

¿Cómo se realizará la tarea? Cada alumno dedicará unos minutos a buscar una posible solución. A continuación, discutirán en pequeños grupos las distintas soluciones y buscarán una respuesta común. Un alumno de cada grupo explicará su respuesta a petición del profesor.

Soluciones de las actividades

El modelismo es una afición que consiste en construir reproducciones en miniatura de vehículos, edificios, personas… Existen diferentes tipos, pero uno de los más extendidos es el modelismo ferroviario, en el que se reproduce una instalación ferroviaria, incluyendo el paisaje, por la que circulan trenes en miniatura que son fieles copias de los reales.

10 MATEMÁTICAS VIVAS 10Modelismo ferroviario

220 221

El modelismo es una afición que consiste en construir reproducciones en miniatura de vehículos, edificios, personas… Existen diferentes tipos, pero uno de los más extendidos es el modelismo ferroviario, en el que se reproduce una instalación ferroviaria, incluyendo el paisaje, por la que circulan trenes en miniatura que son fieles copias de los reales.

RELACIONA

Otra elección a la hora de realizar la maqueta es la que se refiere al ancho de vía. En los ferrocarriles reales existen diferentes anchos de vía. El más normal en Europa es el denominado UIC, que mide 1 425 mm. Calcula los anchos de vía para cada una de estas maquetas.

RESUELVE

Existen otros ferrocarriles, llamados en general de «vía estrecha», que tiene una separación menor entre carriles. Los anchos de vía más habituales son de 750 mm. ¿Cuál sería la anchura de los raíles necesaria para construir un tren de vía estrecha a escala HO?

PIENSA Y RAZONA

2

3

COMPRENDE

Cuando un aficionado decide dar el paso para introducirse en el mundo del modelismo ferroviario, la primera cuestión es qué escala elige para su maqueta. Las escalas más utilizadas en Europa son las siguientes.

1 HO N Z

1:32 1:87 1:160 1:220

a. Si quieres construir una maqueta que refleje la realidad de una estación de trenes que mide 125 m de largo, ¿qué medida tendrá el largo de la estación en la maqueta con cada escala?

RESUELVE

b. Si construyes una maqueta y el espacio que tienes es de 3 m de largo y 2 m de ancho, ¿qué superficie de la realidad puedes representar con cada una de las escalas?

c. Si compras un tren de cercanías a escala HO y mide en total 98 cm, ¿cuál es su medida en la realidad?

ARGUMENTA

1

A la hora de construir las vías de un tren, los radios mínimos de las curvas suelen medir de 200 m a 300 m.

a. Averigua, para cada una de las escalas, cuál sería el radio en una maqueta de una curva que en la realidad tiene 350 m. maqueta de una curva que en la realidad tiene 350 m.

MODELIZA

b. Analiza los problemas de construir una maqueta para este radio de curva en una habitación. Analiza los problemas de construir una maqueta para este radio de curva en una habitación.

ARGUMENTA

Otro problema al construir las curvas ferroviarias es la longitud de la locomotora o de los vagones.

a. ¿Por qué motivo crees que puede haber problemas al elegir la longitud máxima de cada elemento del tren? Justifícalo dibujando una curva y algunos vagones.tren? Justifícalo dibujando una curva y algunos vagones.

REPRESENTA

b. Los tamaños máximos recomendados por un fabricante para cada escala son los siguientes:

❚ Escala Z: 12 cm aproximadamente.

❚ Escala N: 17 cm aproximadamente.

❚ Escala HO: 27 cm aproximadamente.

¿Cuál es la medida máxima de cada elemento del tren en la realidad?

Para completar las maquetas de tren, se suelen colocar edificios y personas a fin de tener una visión más real del conjunto.

a. ¿Qué estatura debe tener aproximadamente una persona en una maqueta con cada una de las escalas?una maqueta con cada una de las escalas?

RESUELVE

b. ¿Qué altura debe tener en una maqueta un edificio de 9 m de altura para cada una de las diferentes escalas? altura para cada una de las diferentes escalas?

COMUNICA

4

5

6

REFLEXIONA

TAREAExiste un gran número de aficionados al modelismo aéreo. El Airbus A380 es el avión de pasajeros más grande del mundo. Hemos encontrado la siguiente información en relación con un modelo a escala:

❚ Escala 1:288

❚ Longitud del modelo: 252 mm

❚ Envergadura del modelo: 278 mm

❚ Altura del modelo: 86 mm

Averiguad las medidas reales del avión.

Buscad información sobre otras escalas utilizadas para este modelo.

TRABAJO

COOPERATIVO

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

Z

N

HO

349



Comprende1 Cuando un aficionado decide dar el paso para introducirse en el mundo del modelismo ferroviario, la primera cuestión es

qué escala elige para su maqueta. Las escalas más utilizadas en Europa son las siguientes.

1 HO N Z

1:32 1:87 1:160 1:220

a) Si quieres construir una maqueta que refleje la realidad de una estación de trenes que mide 125 m de largo, ¿qué medida tendrá el largo de la estación en la maqueta con cada escala?

b) Si construyes una maqueta y el espacio que tienes es de 3 m de largo y 2 m de ancho, ¿qué superficie de la realidad puedes representar con cada una de las escalas?

c) Si compras un tren de cercanías a escala HO y mide en total 98 cm, ¿cuál es su medida en la realidad?

a) Escala 1 → 125 : 32 = 3,91 m

Escala H0 → 125 : 87 = 1,44 m

Escala N → 125 : 160 = 0,78 m

Escala Z → 125 : 220 = 0,57 m

b) Escala 1 → 3 ⋅ 32 = 96 m de largo y 2 ⋅ 32 = 64 m de ancho

Escala H0 → 3 ⋅ 87 = 261 m de largo y 2 ⋅ 87 = 174 m de ancho

Escala N → 3 ⋅ 160 = 480 m de largo y 2 ⋅ 160 = 320 m de ancho

Escala Z → 3 ⋅ 220 = 660 m de largo y 2 ⋅ 220 = 440 de ancho

c) Escala H0 → 98 ⋅ 87 = 8 526 cm = 85,26 m

Relaciona2 Otra elección a la hora de realizar la maqueta es la que se refiere al ancho de vía. En los ferrocarriles reales existen

diferentes anchos de vía. El más normal en Europa es el denominado UIC, que mide 1 425 mm. Calcula los anchos de vía para cada una de estas maquetas.

Escala 1 → 1 425 : 32 = 44,5 mm

Escala H0 → 1 425 : 87 = 16,4 mm

Escala N → 1 425 : 160 = 8,9 mm

Escala Z → 1 425 : 220 = 6,5 mm3 Existen otros ferrocarriles, llamados en general de «vía estrecha», que tiene una separación menor entre carriles. Los

anchos de vía más habituales son de 750 mm. ¿Cuál sería la anchura de los raíles necesaria para construir un tren de vía estrecha a escala HO?

Escala H0 → 750 : 87 = 8,6 mm

Reflexiona4 A la hora de construir las vías de un tren, los radios mínimos de las curvas suelen medir de 200 m a 300 m.

a) Averigua, para cada una de las escalas, cuál sería el radio en una maqueta de una curva que en la realidad tiene 350 m.

b) Analiza los problemas de construir una maqueta para este radio de curva en una habitación.

Z

N

HO



a) Escala 1 → 350 : 32 = 10,94 m

Escala H0 → 350 : 87 = 4,02 m

Escala N → 350 : 160 = 2,19 m

Escala Z → 350 : 220 = 1,59 m

b) El problema para las escalas grandes es que ocuparía demasiado espacio y se necesitaría una habitación muy grande.5 Otro problema al construir las curvas ferroviarias es la longitud de la locomotora o de los vagones.

a) ¿Por qué motivo crees que puede haber problemas al elegir la longitud máxima de cada elemento del tren?

Justifícalo dibujando una curva y algunos vagones.

b) Los tamaños máximos recomendados por un fabricante para cada escala son los siguientes:

❚❚ Escala Z: 12 cm aproximadamente.

❚❚ Escala N: 17 cm aproximadamente.

❚❚ Escala HO: 27 cm aproximadamente.

¿Cuál es la medida máxima de cada elemento del tren en la realidad?

a) Porque los vagones no podrían hacer la curva.

Comprobar que los alumnos dibujan una curva y algunos vagones rectos sobre ella.

b) Escala Z → 12 ⋅ 220 = 2 640 cm = 26,40 m

Escala N → 17 ⋅ 160 = 2 720 cm = 27,20 m

Escala H0 → 27 ⋅ 87 = 2 349 cm = 23,49 m6 Para completar las maquetas de tren, se suelen colocar edificios y personas a fin de tener una visión más real del conjunto.

a) ¿Qué estatura debe tener aproximadamente una persona en una maqueta con cada una de las escalas?

b) ¿Qué altura debe tener en una maqueta un edificio de 9 m de altura para cada una de las diferentes escalas?

a) Tomamos como estatura media de una persona 1,70 m = 1 700 mm.

Escala 1 → 1 700 : 32 = 53 mm

Escala H0 → 1 700 : 87 = 20 mm

Escala N → 1 700 : 160 = 11 m

Escala Z → 1 700 : 220 = 8 mm

b) El edificio mide 900 cm

Escala 1 → 900 : 32 = 28,1 cm

Escala H0 → 900 : 87 = 10,3 cm

Escala N → 900 : 160 = 5,6 cm

Escala Z → 900 : 220 = 4,1 cm

Trabajo cooperativo

TAREAExiste un gran número de aficionados al modelismo aéreo. El Airbus A380 es el avión de pasajeros más grande del mundo. Hemos encontrado la siguiente información en relación con un modelo a escala:

❚❚ Escala 1:288

❚❚ Longitud del modelo: 252 mm

❚❚ Envergadura del modelo: 278 mm

❚❚ Altura del modelo: 86 mm

Averiguad las medidas reales del avión.

Buscad información sobre otras escalas utilizadas para este modelo.

Tiene una envergadura 80 m y una longitud de 73 m.

351



222


Se puede calcular la longitud de la diagonal interior de una caja de zapatos aplicando dos veces el teorema de Pitágoras.

12 cm

9 cm

8 cmd

d

x

12 cm

9 cm

8 cm

12 cm

15 cm

8 cmd

9 cm

Tenemos una caja cuyas dimensiones son 12 × 9 × 8 cm y queremos calcular la diagonal, d.

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo marcado en la base.

x2 = 122 + 92 → x2 = 144 + 81

→ x2 = 225 → x = 225 = 15 cm

Aplicamos el teorema al triángulo marcado y obtenemos la diagonal.

d2 = 152 + 82 → d2 = 225 + 64

→ d2 = 289 → d = 289 = 17 cm

Si aplicamos el proceso en orden inverso, tenemos que:

d2 = 152 + 82 = 122 + 92( ) + 82 = 122 + 92 + 82 → d = 122 + 92 + 82

El proceso se puede simplifi car aplicando el teorema de Pitágoras en el espacio.

d2 = a2 + b2 + c2→ d = a2 + b2 + c2

AVANZA

A1. Calcula la distancia entre los puntos A y B.•

•

A

B18 cm24 cm

40 cm

A2. ¿Cuál es la longitud máxima de una varilla de acero que podemos introducir en una caja con las siguientes dimensiones?

25 cm8 cm

10 cm

Teorema de Pitágoras en el espacio

GEOMETRÍA EN EL ARTE Puentes con paralelas

Existen puentes que recuerdan a la aplicación del teorema de Tales. En efecto, la sujeción de estas estructuras se realiza mediante una serie de cables o vigas que dan la sensación de rectas paralelas que cortan a una recta secante.

d

ab

c

G1. Investiga dónde están situados los puentes de las fotos y busca otros ejemplos similares a estos.


En la sección Avanza de esta unidad se introduce el teo-rema Pitágoras en el espacio. Mediante este teorema los alumnos pueden calcular la longitud de la diagonal de al-gunos prismas.


A1. Calcula la distancia entre los puntos A y B.

•

•

A

B18 cm24 cm

40 cm

Hallamos la diagonal del prisma.

d2 = a2 + b2 + c2

d2 = 182 + 242 + 402

d2 = 324 + 576 + 1 600 = 2 500

d = 50

La distancia es 50 cm.

A2. ¿Cuál es la longitud máxima de una varilla de acero que podemos introducir en una caja con las siguientes dimensiones?

25 cm8 cm

10 cm

La longitud máxima es la diagonal de la caja.

d2 = a2 + b2 + c2 = 252 + 82 + 102 = 625 + 64 + 100 = 789

d = 28,09

La longitud máxima es 28,09 cm.

Geometría en el arte. Puentes con paralelasSugerencias didácticas

Para finalizar la unidad se trabaja la presencia de la geometría en el arte.

En este caso en la arquitectura con su utilización en los puentes con paralelas que cortan a rectas secantes.

Esta situación se asemeja a la aplicación del teorema de Tales.


G1. Investiga dónde están situados los puentes de las fotos y busca otros ejemplos similares a estos.

Respuesta abierta.

Avanza. Teorema de Pitágoras en el espacio



1. Halla el área de los siguientes polígonos.

a) Un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 7 cm.

b) Un trapecio cuyas bases miden 18 cm y 8 cm, respectivamente, y su altura es 4,5 cm.

c) Un hexágono regular de 4 cm de lado y 3,46 cm de apotema.

a) A =D ⋅d

2=

12 ⋅7

2= 42 cm2

b) A =(B + b ) ⋅h

2=

(18 + 8) ⋅ 4,5

2= 58,5 cm2

c) A =P ⋅ ap

2=

6 ⋅ 4 ⋅3,46

2= 41,52 cm2

2. Calcula.

a) El área de un círculo de 5 cm de radio.

b) El área de un sector circular de 3 cm de radio y 120º de amplitud.

c) La longitud de una circunferencia de 2 cm de radio.

d) La longitud de un arco de 4 cm de radio y 60º de amplitud.

a) A = π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 52 = 78,5 cm2

b) A =nº ⋅ π ⋅ r2

360º=

120 ⋅3,14 ⋅32

360= 9,42 cm2

c) L = 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 = 12,56 cm

d) L =nº ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r

360º=

60 ⋅2 ⋅3,14 ⋅ 4

360= 4,19 cm

3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12,5 cm, y uno de los catetos, 7,5 cm. ¿Qué longitud tiene el otro cateto?

Llamamos x a la longitud del otro cateto y aplicamos el teorema de Pitágoras.

x2 + 7,52 = 12,52 → x2 = 12,52 − 7,52 = 156,25 − 56,25 = 100 → x = 100 = 10

El otro cateto mide 10 cm.

4. Dos rectángulos son semejantes con razón de semejanza 2,4. Si el más pequeño mide 7 cm de largo y 4 cm de alto, ¿cuáles son las medidas del rectángulo semejante?

Calculamos las medidas del rectángulo semejante multiplicando cada lado por la razón de semejanza.

7 ⋅ 2,4 = 16,8 cm

4 ⋅ 2,4 = 9,6 cm

Luego el rectángulo semejante mide 16,8 de largo y 9,6 de alto.

5. En un momento del día un poste de 1,5 m proyecta una sombra de 3,6 m. ¿Qué altura tiene otro poste que proyecta una sombra de 4,8 m?

Los dos triángulos que se forman son semejantes porque el ángulo con el que inciden los rayos del sol con el suelo se puede considerar que mide lo mismo.

Aplicamos la proporcionalidad de los lados del triángulo.

1,5

3,6=

x

4,8→ x =

1,5 ⋅ 4,8

3,6= 2

La altura del poste es de 2 m.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

353



1. Calcula el área de esta figura.

4 cm

4 cm

10 cm

La figura está compuesta por un trapecio isósceles y dos cuadrados.

Para calcula la longitud del lado del cuadrado tenemos que hallar la longitud del lado inclinado del trapecio.

l2 = 42 + 32 = 25 → l = 5 cm

Hallamos el área de la figura.

A =(B + b ) ⋅h

2+ 2 ⋅ l2 =

(4 + 10) ⋅ 4

2+ 2 ⋅52 = 28 + 50 = 78 cm2

2. Halla el área y la longitud de una corona circular de radios 10 cm y 8 cm, respectivamente.

El área coincide con la diferencia entre las áreas de los círculos de 10 cm y 8 cm de radio.

A = π ⋅ R2 − π ⋅ r2 = 3,14 ⋅ 102 − 3,14 ⋅ 82 = 3,14 ⋅ (100 − 64) = 3,14 ⋅ 36 = 113,04 cm2

La longitud coincide con la suma de las longitudes de las circunferencias de 10 cm y 8 cm de radio.

L = 2 ⋅ π ⋅ R + 2 ⋅ π ⋅ r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ (10 + 8) = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 18 = 113,04 cm

3. Un árbol de 4 m de altura se ha partido y ha caído al suelo formando un triángulo rectángulo como el de la figura. ¿A qué altura del suelo se ha partido el árbol?

Como el árbol tiene una longitud total de 4 m, llamamos x a la parte del árbol que no cae al suelo y 4 − x a la que se parte.

Aplicamos Pitágoras y tenemos que:

(4 − x)2 = x2 + 22 → 16 + x2 − 8x = x2 + 4 → −8x = −12 → x = 12

8 = 1,5

El árbol se parte a 1,5 m del suelo.

4. La maqueta de un edificio mide 8 cm de altura. En la realidad, la altura del edificio es 12 m.

a) ¿Con qué escala se ha construido la maqueta?

b) ¿Cuál es la altura real de un edificio que a esta escala mide 10 cm?

a) 12 m = 1 200 cm. Luego la escala es 8:1 200, es decir 1:150.

b) 10 ⋅ 150 = 1 500 cm = 15 m

La altura real del edificio es 15 m.

5. Calcula el valor de los datos desconocidos en la siguiente figura.

1,6 cm

2 cm

2,5 cm3 cm

a

b

Aplicamos el teorema de Tales para calcular a.

a

3=

1,6

2→ a =

3 ⋅1,6

2= 2,4 cm

Aplicamos la semejanza de triángulos para calcular b.

b

2,5=

3

3 + 2→ b =

3 ⋅2,5

5= 1,5 cm

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

2 m

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