1 Responsable MTRO. CONRADO RUIZ LUGO MATEMÁTICAS Clave: MATE4142 Período: SEP -DIC de 2012.
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1
Responsable MTRO. CONRADO RUIZ LUGO
MATEMÁTICAS Clave: MATE4142
Período: SEP -DIC de 2012.
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Valor Absoluto
0 si ,
0 si ,
xx
xxx
• |15| = 15
• |-4| = -(-4) = 4
• |0| = 0
Obs: 22(-2) , 22 xx
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Ecuaciones con Valor Absoluto
xx
xx
x
x
243 .4
331 .3
14
2 .2
31
2 .1
Utilizando las propiedades, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.
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Ecuaciones con Valor Absoluto
732 x
032 si , 32
032 si , 3232
xx
xxx
2
3
23
si , 32
si , 3232
xx
xxx
También es posible resolver las ecuaciones con valor absoluto, utilizando la definición.Por ejemplo:
Sabemos que:
Lo que equivale a decir:
Entonces:
2732
5732
23
23
xxx
xxx
C.S. = {-2;5}
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Ejercicios:
12
23
23
12 5.
3-5x 32x .4
11-x
x .3
1335 .2
74 .1
x
x
x
x
xx
x
Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto.
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Matemática
Ecuaciones en una variablede primer, segundo grado y ecuaciones con radicales
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Introduccion
La habilidad de resolver ecuaciones es esencial en las aplicaciones de las matemáticas , mediante las ecuaciones se modelan muchos fenómenos sean estos naturales, sociales o económicos.
Ilustremos un ejemplo sencillo que requiere el empleo de las ecuaciones:
“ Una persona desea invertir $20000 en dos empresas, de modo que el ingreso total por año sea de $1440. Una empresa paga el 6% anual ; la otra tiene mayor riesgo y paga 7,5 % anual.¿Cuánto debe invertir en cada una? ”
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Definiciones:
1. Ecuación: Igualdad de dos expresiones algebraicas.
2. Conjunto de valores admisibles de una ecuación (C.V.A.). Conjunto de valores reales para el cual están definidas las expresiones que intervienen en la ecuación.
3. Solución de una ecuación: valor real de la variable que verifica la ecuación. Al conjunto de todas las soluciones se le llama Conjunto Solución (C.S.)
4. Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
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Ecuación de primer grado
Ecuación lineal
Forma general:
Una ecuación de primer grado tiene una única solución.
0 , 0 abax
:x :,baincógnita constantes
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Ecuaciones lineales
Ecuaciones literales. Son aquellas ecuaciones que presentan letras como parte de sus términos constantes.
Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales.
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Ecuaciones de segundo grado
Ecuación cuadrática:
Teorema: Sean a y b números reales.
a.b = 0, si y solo si a = 0 ó b = 0
0 , 02 acbxax
:x:,ba
incógnita
constantes
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Métodos de resolución
Factorización
Fórmula General
Completando cuadrados
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APLICACIONES
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Estrategia de solución
1. Composición del problema:• Lea todo el enunciado• Trace un esquema• Identifique las cantidades conocidas y
desconocidas• Elija una variable para la cantidad
desconocida2. Planteamiento:
• Traducir el enunciado a una o varias ecuaciones
3. Resolución4. Análisis de la respuesta y la formulación de la
respuesta.
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Problemas de aplicación:
Ejercicio
Utilidad.- Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado, con un costo variable de $ 76 por tonelada. Si los costos fijos son $ 110 000 por mes y el alimento se vende en $ 126 por tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse para que la compañía tenga una utilidad mensual de $ 540 000?
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Aplicaciones:
Problema
Una persona desea invertir $ 20 000 en dos empresas, de modo que la rentabilidad total por año sea $ 1 440. Una empresa paga el 6% anual; la otra tiene mayor riesgo y paga un 7.5% anual.
¿Cuánto debe invertir en cada empresa?
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Problemas de aplicación:
Ejercicio
Retiro de bonos.- En dos años una compañía requiere $ 1 123 600 con el fin de retirar algunos bonos. Si ahora invierte $ 1 000 000 con este objetivo, ¿cuál deberá ser la tasa de interés, compuesta anualmente, que debe recibir sobre este capital para retirar los bonos?
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Problemas de aplicación:
(Prob. Club de inversión.- Un club de inversión compró un bono de una compañía petrolera por $ 5000. El bono da un rendimiento de 8% anual. El club ahora quiere comprar acciones de una compañía de suministros para hospitales. El precio de cada acción es de $ 20 y se gana un dividendo de $ 0.50 al año por acción.
¿Cuántas acciones debe comprar el club de modo que de su inversión total en acciones y bonos obtenga el 5% anual?
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Problemas de aplicación:
(Prob. Rentas.- Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un edificio con 50 oficinas. Cada una puede rentarse en $ 400 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $ 20 mensuales se quedarán dos vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. La compañía quiere obtener un total de $ 20 240 mensuales de rentas del edificio.
Se le pide determinar la renta que debe cobrarse por cada oficina.
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Problemas de aplicación:
Ejercicio
Equilibrio de mercado.- Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto y que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. En el valor de p para el cual la oferta es igual a la demanda, se dice que el mercado está en equilibrio.
Determine ese valor de p.
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Ecuaciones con Radicales
Una ecuación radical es una ecuación en la cual la variable aparece dentro del signo radical.
Por ejemplo:
Para resolver estas ecuaciones, utilizaremos la siguiente propiedad:
Si a = b → a2 = b2
65 .
92 .
x
x
La solución final debe verificarse en la ecuación Inicial.
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Ecuaciones con Radicales: Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones:423 .1 x
3235 .2 xx
343 .3 xx
123 .4 xxx
414 .5 xxx
112435 .6 xxx
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Sistema de Coordenadas Rectangulares
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Tipo de cambio de s/. con $ (evolución diaria) desde ago-2005 a mar-2006
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Sistema coordenado rectangular
origen
eje X
eje Y
0
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Sistema coordenado rectangular
P(a,b).
a: abscisa de Pb: ordenada de P
3
2
1
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
b
a
-
-
X
Y
.( + , + ).( - , + )
.( - , - )
.( + , - )
II C
III C IV C
I C
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Distancia entre dos puntos
.P1
x
y .P2
x x1 2
y
y
2
11 2|x - x |
1 2|y - y |
d(P , P ) = 1 2( ) ( )x x y y1 2
21 2
2
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Fórmula del punto medio
x
y
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x1 x2M1
M= (m1;m2) =( , )y1 + y2
2
x1 + x2
2
MM2
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Ejercicios:
1. Encontrar la distancia entre los puntos
1) P1(-3;-1), P2(9;4)
2. Hallar el valor de y si la distancia entre (7;1) y (3;y) es 5.
3. ¿Qué tipo de triángulo se forma al unir los puntos A(1;-2) , B(4;-6) y C(5;1)?
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Gráficas de ecuacionesGráficas de ecuaciones
Una solución de una ecuación en dos variables, tal como:
Es un par ordenado de números tales que la sustitución del primer número en x y el segundo en y produce un enunciado verdadero.
La gráfica es la representación geométrica de todas las soluciones.
23xy3-xy 2 ó
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Ejemplo:Ejemplo:
¿Cuáles de los siguientes puntos son soluciones de
y = - 2x2 + 3?
a. (3; -12)
b. (2; 1)
c. (-1; 1)
d. (-2; 11)
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Interceptos con los ejesInterceptos con los ejes
• Los puntos de intersección de la gráfica de una ecuación con los ejes coordenados X e Y son:
Con eje X: (a, 0)Se obtiene haciendo y = 0
Con eje Y: (0, b)Se obtiene haciendo x = 0
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Simetría con el eje Y
x
y
. .(-x,y) (x,y)
La gráfica de E(x,y) = 0 es simétrica al eje Y si al sustituir x por -x se obtiene la misma ecuación.
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Ejemplo:
Determine si la ecuación: y = - 2x2 +3 es simétrica respecto al eje Y y bosqueje la gráfica.
![Page 35: 1 Responsable MTRO. CONRADO RUIZ LUGO MATEMÁTICAS Clave: MATE4142 Período: SEP -DIC de 2012.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022081421/56a1889a1a28abe5459525f1/html5/thumbnails/35.jpg)
La gráfica de E(x,y) = 0 es simétrica al eje X si al sustituir y por -y se obtiene la misma ecuación.
Simetría con el eje X
x
y
.
.
(x,y)
(x,-y)
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Ejemplo:
Determine si la ecuación: x - y2 +2 = 0 es simétrica al eje x y bosqueje la gráfica.
![Page 37: 1 Responsable MTRO. CONRADO RUIZ LUGO MATEMÁTICAS Clave: MATE4142 Período: SEP -DIC de 2012.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022081421/56a1889a1a28abe5459525f1/html5/thumbnails/37.jpg)
La gráfica de E(x,y) = 0 es simétrica al orígensi al sustituir x por -x e y por -y se obtiene la misma ecuación.
Simetría con el orígen
x
y
..(x,y)
(-x,-y)
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Ejemplo:
Determine si la ecuación xy =1 es simétrica al origen y bosqueje la gráfica.
![Page 39: 1 Responsable MTRO. CONRADO RUIZ LUGO MATEMÁTICAS Clave: MATE4142 Período: SEP -DIC de 2012.](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022081421/56a1889a1a28abe5459525f1/html5/thumbnails/39.jpg)
22
2
x4yc)
x4yb)
23xya)
216
9
4
xyf)
364ye)
yd)
2
22
x
x
Ejemplo:Ejemplo:
Bosqueje las gráficas de las siguientes ecuaciones dando los interceptos con los ejes y analizando las simetrías.
Bosqueje las gráficas de las siguientes ecuaciones dando los interceptos con los ejes y analizando las simetrías.
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La Ecuación de la Recta
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20 40 60 80
P. E.
La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme
cantidad de aplicaciones que presenta y por estar
vinculada a una ecuación de primer grado o
lineal, dentro de sus aplicaciones se tienen:
problemas de costos-ingresos y ganancia, la
oferta y demanda, la valoración de un activo a lo
largo del tiempo, etc.
Introducción:
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L1
L2
0 x
y
Pendiente de una recta l
• ¿Cuál de las rectas está más inclinada?
• ¿Cómo medimos esa inclinación?
recorrido
elevaciónm
La pendiente m de la recta l es:La pendiente m de la recta l es:
x
yencambio
recorrido
elevaciónm
en x cambio
y
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y2 - y1
x2 - x1
Cálculo de la pendiente de una recta
0 x
y
P1(x1;y1)
P2(x2; y2)
x=x2 - x1
y=y2 - y1
m =
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
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Ejemplos
Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos:
1. A(-6; 1) y B(1; 2)
2. C(-1; 4) y D(3; 1)
3. E(3; 2) y F(8; 2)
4. G(2; 1) y H(2; -3)
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mAB = 1/7
mCD = -3/4
mEF = 0
mGH = ¿?
x
y
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Conclusiones
1. Si m>0 la recta l es creciente
2. Si m<0 la recta l es decreciente
3. Toda recta horizontal tiene m = 0
4. Las rectas verticales no tienen
pendiente definida.
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Ejemplo:
Un doctor compro un automóvil nuevo en
1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un
amigo en $26 000.Dibuje una recta que
muestre la relación entre el precio de venta
del automóvil y el año en que se vendió.
Determine e interprete la pendiente.
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La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x1, y1) es:
(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)
X
Y
Ecuación de la recta 1.
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La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:
by = mx + b
X
Y
Ecuación de la recta 2.
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Ecuación de la recta 3.
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
La gráfica de una ecuación lineal:Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.
Ax + By + C = 0
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Ejercicios:
1. (Prob 10) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. (Prob 13) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).
3. (Prob 30) Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5y+3.
4. (Prob 15) Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).
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recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b
recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a
b
a
y = b
x = a
RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL
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En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)
• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen
• Forma general Ax + By + C = 0
• Recta vertical x = a
• Recta horizontal y = b
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m1 = m2
Rectas paralelas
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son
m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y sólo si
tienen la misma pendiente o si ambas
son verticales .
Es decir:
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Rectas perpendiculares
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Es decir:
Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.
m1 . m2 = -1
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Ejercicios:
Determine la ecuación de la recta que satisfaga:
1. (Prob. 54) pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x.
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Ejercicios:
Problemas de la pag.
Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-3;4) y esperpendicular a la recta que une los puntos B(2;4) y C(6;9) ¿cuál de las distancias es mayor de A a B o de A a C?
¿Los puntos P(-1;7), Q(2;-2) y R(5;2) están en una misma línea recta.?