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¿Qué es una ¿Qué es una demostración?demostración?¿Qué es una ¿Qué es una

demostración?demostración?

12 variaciones sobre un mismo 12 variaciones sobre un mismo tema.tema.

Francisco Rivero Mendoza

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¿Para qué sirven las demostraciones?

• Los matemáticos son muy metódicos, analíticos e inflexibles en cuanto a la verificación de los resultados

• La formalidad es un ingrediente fundamental en el trabajo.

• Todo debe estar suficientemente justificado.

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La búsqueda de la verdad.

El camino agustiniano.

Creer saber aprehender

verdad

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Tautologías

• Diremos que P Q es una proposición simbólica.

• Una Tautología es una proposición simbólica, la cual es verdadera en todos los casos posibles de sustitución de las variables.

• Por ejemplo [ P Λ (P Q)] Q es una tautología. ( Modus Ponens).

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Demostraciones a la carta

• Teorema fundamental del Algebra.• Ley de reciprocidad cuadrática.• Teorema de Sylow.

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Problema:• Demostrar que el producto de tres

enteros consecutivos:• n (n + 1)(n + 2)

• es divisible entre 6.

• Más simbología: A(n) = n ( n+1)(n+2)

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Prueba 1..

• Reducción al absurdo.• Profundamente Eleática• Probaremos que hay infinitos A( n)

divisibles entre 6.• Relación fundamental en esta charla• A( k +1) = A (k) + 3 ( k +1 )( k +2 )

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Prueba 2.

• Demostración por negación.• (Negación de la tesis) Existe un n tal

que A( n) no es divisible entre 6.• A( k +1) = A (k) + 3 ( k +1 )( k +2 )¿Qué pasa con el siguiente?• ¿ Y el siguiente del siguiente?....

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Prueba 3.

• Visualización. • A la manera

china.• A( n) = n( n+1)

(n+2)

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Prueba 4 .

• Geométrica. • Maravillosamente

Pitagórica• T (n) número

triangular n-ésimo.

• T( n ) = n ( n+1)/2

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Prueba 5.• Algorítmica• Definitivamente

árabe.• ¿Cómo se

construyen los números 1, 4, 10,….?

n A(n) 6.bn bn

1 6 6.1 1

2 24 6.4 4

3 60 6.10

10

4 120 6.20

20

5 210 6.35

35

6 336 6.56

56

7 504 6.84

84

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Prueba 6. • Constructiva.• Poderosamente Newtoniana.• A (n) = 6 ( T( n+1) + T( n) + … +

T(0)).• ¿Será original mi fórmula?

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Prueba 7.

• Descenso al infinito.• Misteriosamente Fermatiana.• A( k +1) = A (k) + 3 ( k +1 )( k

+2 ).• A (k) = A( k-1) + 3 ( k )( k +1)…..• 1 < ····· <A( k-1) < A(k) < A( k +1)

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Prueba 8.

• Directa• Majestuosamente gaussiana.• A (n) = n3 + 3 n2 + 2n.• A (n) 0 mod 2.• A (n) n3 + 2n 3 n 0 mod 3.• Congruencias en Wikipedia.

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Prueba 9.

• Combinatoria.• A la manera de Paul Erdos.• ¿ Qué significado tiene el cocienten( n+1)( n+2) / 6 ?• Erdos en Wikipedia.

1913-1996

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Prueba 10.• Inducción matemática.• Infinitamente cantoriana.• Proposición P(k)• A (k ) es divisible entre 6.• A( k +1) = A (k) + 3 ( k +1 )( k +2 ).• Cantor en Wikipedia.

1845-1918

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Prueba 11.• Exhaustiva.• Teorema de los cua

tro colores.

• N = 6k + p.• P = 0, 1, 2, 3, 4, 5.• A( n) = n ( n+1)

( n+2) = 6t + A( p).

p P+1

P+2

A (p)

0 1 2 0

1 2 3 6

2 3 4 24

3 4 5 60

4 5 6 120

5 6 7 210

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Prueba 12.• Principio de los palomares• Formalista Dirichlet – Hilbert.• Si p es un primo cualquiera, 2s p

divide al producto :• n ( n+1)(n+2)…..( n+p-1),• Para cualquier n, natural

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1 2

3

4

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Principio del palomar• Si A tiene n elementos y B tiene

n+1 elementos, no existe una función inyectiva de A en B.

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Conclusión.

• ¿ Cuál de todas las pruebas es la más bonita?

• El libro de Dios.

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Muchas gracias.• Profesor Francisco Rivero.• http:// webdelprofesor.ula.ve

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