1-Probailidad Para Ingenieria(Clr)

Cecilia Larraín R. PROBABILIDAD Página 1

PROBABILIDAD

Significado de cálculo de probabilidades: "En el fondo, la teoría de probabilidades es

sólo sentido común expresado con números".

"Es notable que una ciencia que comenzó con las consideraciones de juegos de azar había

de llegar a ser el objeto más importante del conocimiento humano. Las cuestiones más

importantes de la vida constituyen en su mayor parte, en realidad, solamente problemas

de probabilidad". Pierre Simon de Laplace ( 1749 - 1827 )

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/09-01-b-LaplaceObra.htm

El objetivo fundamental de la Estadística es utilizar los datos de una muestra para inferir sobre las características de una población a la que no podemos acceder de manera completa. Es decir, a partir de la muestra inferir sobre la población. Por lo que se debe elegir al azar algunos elementos de la población.

Ejemplo: Para conocer la intención de voto en un país se debe seleccionar aleatoriamente algunos componentes (ciudadanos) de ese universo (población) y se registra su voto. Esto constituye un experimento aleatorio.

Experimentos aleatorios (ε)

Los aspectos más importante que distinguen a los experimentos aleatorios son: - Todos los posibles resultados del experimento son conocidos con

anterioridad a su realización. - No se puede predecir el resultado del experimento. - El experimento puede repetirse en condiciones idénticas, pero no siempre

proporciona los mismos resultados (depende del azar).

El conjunto o colección de posibles resultados del experimento aleatorio se denomina espacio muestral (o universo) y se denota por Ω

Ejemplos de experimentos aleatorios Espacio Muestral (Ω)

1. Se lanza una moneda dos veces, se observan los resultados.

Ω1 = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)} C ≡ cara S ≡ sello

2. Se lanza un dado y se observa el número que aparece en la cara superior

Ω2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. Después de fabricado, un tubo de rayos catódicos se somete a una prueba de duración, y se deja en funcionamiento hasta que falla. Se registra el tiempo t (en horas) de funcionamiento hasta el momento de la falla.

Ω3 = {t/ t > 0}

4. Tiempo en años de duración de un procesador Ω4 = R+ = [0 , ∞)

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/09-01-b-LaplaceObra.htm


A los resultados de un experimento y los subconjuntos de posibles resultados de un experimento aleatorio se les llama sucesos o eventos y se les denota con letras mayúsculas.

Suceso elemental: Todo resultado que puede ocurrir al realizar una sola vez el experimento aleatorio

Ejercicios I

Ejercicio I-1

Una caja contiene 6 ampolletas incandescentes de las cuales dos están defectuosas (D), describa Ω de los siguientes ε:

i) Las ampolletas son probadas (sin reposición) hasta encontrar una defectuosa Ω = ii) Las ampolletas son probadas (con reposición) hasta encontrar una defectuosa Ω = iii) Se extraen al azar una muestra de dos ampolletas de la caja.

Ω =

Ejercicio I-2

El experimento aleatorio “ε: lanzar dos monedas al aire”. Espacio muestral Ω = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}; C ≡ cara S ≡ sello

Se definen los sucesos: A = { salga una cara} = {(C,S), (S,C) }

B = {salga al menos una cara}= {(C,C), (C,S), (S,C) } Determine: A U B = A ∩ B =

AC = B ∩ AC =

Ejercicio I-3

Sean tres sucesos cualesquiera A, B, C de un experimento aleatorio. Exprese los siguientes sucesos en función de A, B, C:

a) Solamente ocurre A ≡ b) Ocurre A y B pero no C ≡

c) Ocurren los tres sucesos ≡ d) Ocurre por lo menos uno ≡ (A U B U C) e) Por lo menos dos ocurren ≡ (A ∩ B) U (A ∩ C) U (B ∩ C)

f) Ocurre sólo un suceso ≡ (A ∩ BC ∩ CC) U (AC ∩ B ∩ CC) U (AC ∩ BC ∩ C)

g) Ocurren solamente dos de los sucesos ≡

h) Ninguno de los sucesos ocurren ≡

2 D

4 DC

≡ B


DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

Aunque el concepto de probabilidad parece simple, ya que se encuentra con

bastante frecuencia en la comunicación entre personas.

Ejemplo: Existe un 80% de posibilidades de que llueva

Enfoques de definición

Subjetiva o personalista

Enfoques = Clásica o apriori Objetiva Frecuencia relativa o posteriori

Probabilidad subjetiva o personalista

(Savage 1950). La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene

sobre la certeza de una proposición determinada.

Ejemplo: Basado en su experiencia, un salubrista puede afirmar que este verano tendremos una epidemia de cólera con una probabilidad de 0,0001 (0,01%).

Este enfoque de las probabilidades dio lugar al enfoque del análisis de

datos estadísticos denominado “Estadística Bayesiana”

Probabilidad clásica de Laplace o a priori

Si un experimento aleatorio ε puede dar origen a uno de los N resultados

diferentes igualmente probables y si n de estos resultados tienen un

atributo A, la probabilidad de A es

nP(A) =

N

Ejemplo: Lanzamiento de dos veces una moneda Ω = {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}

P(obtener una cara) = 2

4 = 0,5

Las probabilidades se calculan mediante un razonamiento abstracto (no es necesario realizar el ε para determinar la probabilidad de un suceso)

ro

ro

n de casos favorables a AP(A)=

n de casos posibles


Frecuencia relativa o aposteriori o empírica (VON MISES)

Probabilidad de un suceso es aproximadamente la frecuencia relativa de

veces que ocurrirá el suceso al realizar un experimento repetidas veces

Ejemplo:

Investigador

Número de lanzamientos

de una moneda

Número de caras

Frecuencia relativa

nro de caras

nro de lanzamientos de la moneda

Buffon 4040 2048 0,5069

K. Pearson 12000 6019 0,5016

K. Pearson 24000 12012 0,5005

Cuando se utiliza la definición frecuencia relativa, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos:

i. La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real.

ii. Cuanto mayor sea el número de ensayos, tanto mejor será la estimación de la probabilidad; es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación.

iii. La probabilidad es propia de sólo un conjunto de condiciones idénticas a aquéllas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definición depende de que las condiciones en que se realizó el experimento sean repetidas idénticamente

Generalizando este proceso, la probabilidad de un suceso A, P(A), es

An

P(A)= limnn

donde nA es el número de ocurrencia de A en n ensayos del experimento

Definición axiomática de probabilidad (1933-Kolmogorov)

Se llama probabilidad a cualquier función P, que asigna

a cada suceso A un valor numérico P(A), que satisfaga

las siguientes reglas (axiomas):

i) 0 < P(A) < 1

ii) P(Ω) = 1

iii) Si A y B son sucesos que se excluyen mutuamente

P(A B) = P(A) + P(B); ≡ unión. (o)

Obs.: el ax. iii se puede ampliar a tres o más sucesos mutuamentes excluyentes

Andrei Nikolaevich

Kolmogorov

(1903-1987)


Consecuencia de los axiomas de probabilidad (teoremas):

Sea A, B, C sucesos cualesquiera del espacio muestral Ω

1) Probabilidad de un suceso imposible P( ) = 0

2) Probabilidad de que no ocurra el suceso A: P(AC) = 1 - P(A)

3) Probabilidad de que ocurra el suceso A o ocurra el suceso B

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

DIAGRAMA DE VENN

4) Probabilidad de que ocurra el suceso A y no ocurra el suceso B:

P(A BC) = P(A) – P(A B)

5) P(A U B)C = P(AC BC)

Otras propiedades:

6. De (4) se deduce: P(A ∩ B ∩ CC) = P(A ∩ B) - P(A ∩ B ∩ C)

7. De de (3), (4) y (5): P(A ∩ BC ∩ CC) = P(A) - P(A∩B) - P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Demuestre que: 8. P( AU B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Ejercicio: Sean A y B dos suceso tales que P(A) = 2

5, P(BC) =

2

3 y

P(AC ∩ BC) = 1

3. Hallar la P(A U B) y P(A B)

≡ unión ≡ o≡ al menos uno de los

dos sucesos ocurren

≡ intersección ≡ y ≡ ambos sucesos ocurren


Ejemplo: El departamento de calidad de una fábrica de elementos de

sujeción ha evaluado que cierto tipo de anclajes metálicos producidos

pueden ser defectuosos debido a las siguientes causas. Defectos de rosca,

defectos de dimensión. Se ha calculado que el 6% de los anclajes que

producen tienen defectos en las roscas, mientras que el 9% tiene defectos

en las dimensiones. Sin embargo, el 90% de los anclajes no presentan

defectos.

De la producción, se elige un anclaje al azar

¿Cuál es la probabilidad de que un anclaje tenga

a. sólo defecto de dimensión? b. sólo defecto de rosca? c. ambos defectos? d. por lo menos uno de los defectos?

Solución:

Siempre debe definir los sucesos y anotar probabilísticamente la información que entrega el enunciado del problema. R = el anclaje tiene defecto en la rosca

D = el anclaje tiene defecto en la dimensión

P(R) = 0,06 P(D) = 0,09 P(RC ∩ DC) = 0,90 Se pide

a. P(D ∩ RC) =

b. P(R ∩ DC) =

c. P(R ∩ D) =

d. P(R D) =

La información del problema también se puede representar en tabla

Tiene defecto de dimensión

D

No tiene defecto de dimensión

DC

Total

Tiene defecto de rosca

R P(R D)

P(R DC) P(R)

0,06

No tiene defecto de rosca

RC P(RC D) P(R C DC)

0,90 P(RC)

Total P(D) 0,09

P(DC) 1,00

e. Si el anclaje elegido tiene defecto de dimensión, ¿cuál es la

probabilidad de que también tenga defecto de rosca?

Puede construir el diagrama de VENN


Ejemplo: El nivel educacional de las 1000 personas que trabajan en una

Industria se distribuye de la siguiente forma:

Enseñanza Media (EM): 80 Técnica (T): 450

Universitaria (U) : 430 Post Grado: 40

La quinta parte de la persona con nivel educacional EM son mujeres, así

como la mitad de los profesionales universitarios, la tercera parte de los

técnicos y el 60% de los profesionales con post grado:

Género

N. Educa

Mujer

M

Hombre

H

Total

EM 80

T

U 215 430

G

Total 1000

Complete la tabla de contingencia

Se elige a una persona de la industria al azar, a) determine la probabilidad

de que sea

Hombre P(H) =

Titulo Técnico y mujer P(T M) =

Titulo técnico y con Post grado P(T G)

b. Si la persona elegida es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que

tenga post-grado? P(pedida) =

c. Si la persona elegida es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que no

tenga post-grado? P(pedida) =


PROBABILIDAD CONDICIONAL

Se define la probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B como:

P(A B)P(A / ) =

)B

P(B; P(B) >0

Y la probabilidad de B condicionada a A, o probabilidad de B sabiendo que

ocurre A se define como

P(B A)P(B / A) =

P(A)

Ejemplo: La probabilidad de que un sistema de comunicación tenga alta fidelidad es 0,81 y la probabilidad de que tenga alta fidelidad y alta selectividad es 0,18. ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema de comunicación con alta fidelidad tenga también alta selectividad?

Solución: Sean los sucesos F = un sistema de comunicación tenga alta fidelidad S = Un sistema de comunicación tenga alta selectividad

P(F) = 0,81 P(F S) = 0,18

( 0,222)P(F S) 0,18 2

P(S / F) = = = P(F) 0,81 9

Ejercicio: En una población, el 52% son hombres, de los cuales el 82% son aficionados al fútbol, mientras que sólo el 20% de las mujeres, son aficionadas al fútbol.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol?

b. Se elige a una persona de la población al azar y resulta aficionada al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Se definen los sucesos

M = la persona es mujer H = la persona es hombre (MC)

F = la persona es aficionada al fútbol

a. Las probabilidades que entrega el enunciado son:

P(M) = P( / ) = P(H) = 0,52 P( / ) =

Se deduce que P (A B) = P(B)P(A / B) = P(A)P(B / A)


b. Completa la tabla:

La persona es

Aficionada al football

F No aficionada al football

FC

Total

Mujer M

P( M F) 0,096

P( M FC) P(M)

Hombre H

P( H F) 0,4264

P( H FC)

P(H) 0,52

Total P(F)

P(FC)

1,00

Respuestas: a) P( ) = b) P( / ) =

La probabilidad condicional P(∙ / ∙) satisface las propiedades correspondientes a probabilidades:

i) 0 < P(A/B) < 1 ii) P(Ω/B) = 1

iii) Si A1 y A2 son sucesos que se excluyen mutuamente ( A1∩ A2) =

P((A1 A2)/B) = P(A1/B) + P(A2/B)

A la expresión P (A B) = P(A)P(B / A) se le conoce como regla de

multiplicación

Regla de multiplicación

Sea A1, A2, …,Ak sucesos cualesquiera de Ω

P ( A1∩ A2 ∩…∩ Ak ) = P(A1)∙P(A2/A1)∙P(A3/ A1∩A2)∙ … ∙P(Ak / k -1

i

i=1

A )

Ejemplo: Una caja contiene siete fichas negras y cinco rojas. Si se extraen sucesivamente (sin reposición) tres fichas de la caja:

Ni = la ficha i es negra Ri = la ficha i es roja; i = 1, 2, 3 Determine la probabilidad de extraer:

a) tres fichas rojas es

P(R1∩ R2∩ R3) = P(R1)P(R2 /R1)P(R3 /R1∩ R3) = 5 4 3

12 11 10 = 0,0455

b) Al menos una ficha negra

c) Dos fichas negras

d) Sólo la segunda ficha sea roja

Respuestas: a) 0,9545 b ) 0,4773 c) 0,1591

Ω = {(R,R,R), (R,R,N), (R,N,R), (N,R,R), (R,N,N), (N,R,N), (N,N,R), (N,N,N)}


Independencia Estadística

Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia (o no

ocurrencia) de uno no afecta la probabilidad a la ocurrencia del otro.

Consecuencia de la independencia:

P(A / B) = P(A) P(B / A) = P(B) P (A B) = P(A)P(B)

Sea A1, A2, …,Ak ; k sucesos independientes

P ( A1∩ A2 ∩…∩ Ak ) = P(A1)∙P(A2)∙P(A3)∙ … ∙P(Ak)

= k

i

i=1

P(A )

Ejemplo: Una caja contiene 10 tubos de ensayos de los cuales 6 están

buenos (B) y 4 están defectuosos (D).

Se extraen al azar dos tubos de la caja:

Sea Di = el tubo i de ensayo que se extrae es defectuoso. i = 1, 2.

a) Si el experimento se realiza con reposición, determine la probabilidad de que las dos tubos extraídos sean defectuosos:

ind

P( D 1 D2) = P(D1)P(D2)

= 4 4

·10 10

= 0,16

b) Si el experimento se realiza sin reposición, determine la probabilidad de que los dos tubos extraídos sean defectuosos:

P( D 1 D2) = P(D1)P(D2 / D1)

= 4 3

·10 9

= 0,13

Ejercicio: Dos tubos defectuosos (D) se mezclan con dos buenos (B). Los

tubos se prueban uno por uno (sin reposición), hasta encontrar los dos

defectuosos

a. Describa el espacio muestral Ω

b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar el último tubo defectuoso en la tercera

prueba? Resp.: 1/3


Ejercicios II

Ejercicio II-1

Sean A, B dos sucesos tales que P[A] = 0.30, P[B] = 0.40. Hallar la P[A U B] y la

P[“ocurra sólo uno de los dos sucesos”] en los siguientes casos: a. Si A y B son excluyentes. b. Si A y B son independientes. c. Si A B

Resp.: a) 0,70 0,70 b) 0,58 0,46 c) 0,40 0,10

Ejercicio II-2

Sean A y B sucesos con P(A) = α, P(B) = β y P(A ∩ B) = . Exprese las

probabilidades siguientes en función de α, β y .

a. P(AC U BC) = b. P(AC ∩ B) =

c. P(AC U B) = d. P(AC ∩ BC) =

Ejercicio II-3 Se sabe que P(A) = 0,3, P(B) = P(C) = 0,2 y P(A∩B) = P(A∩C) = P(B∩C) = 0,1 y P(A ∩ B ∩ C)= 0,05. Calcular la probabilidad P(A U B U C) Resp.: 0,45

Ejercicio II-4 Para evaluar a un grupo alumnos se decidió aprobar aquellos que superen al menos, una de las dos partes del examen de segunda opción; por este procedimiento aprobaron al 80%. Sabiendo que superaron el mínimo de cada una de esas partes el 60% y el 50%, respectivamente, calcule el porcentaje de los que superaron simultáneamente ambas partes. Resp.: 0,30

Ejercicio II-5 La probabilidad de resolver correctamente alguna de las dos versiones de cierta tarea es 0,45, mientras que la de resolver la primera es 0,40 y la de resolver la segunda es 0,30. ¿Cuál es la probabilidad de resolver correctamente ambas versiones? ¿La resolución de esas dos versiones es independiente? Resp.: 0,25, no

Ejercicio II-6 Un sistema electrónico consta de diez componentes que funcionan independientemente teniendo cada uno probabilidad de fallo 0,05.

a. Calcule la fiabilidad del sistema (probabilidad de que el sistema funcione correctamente, es decir, que todos los componentes funcionen) Resp.: 0,598

b. Si para aumentar la fiabilidad del sistema electrónico, le conectan en paralelo otro sistema igual (diez componentes que funcionan independientemente teniendo cada uno

probabilidad de fallo 0,05), calcule la fiabilidad del nuevo sistema. Resp.: 0,838


Ejercicio II-7

En una ciudad se estudia la cantidad de usuarios de internet según el sexo. Supongamos los siguientes datos en miles de individuos:

Hombre Mujer Total

Usa Internet 40 35 75

No usa Internet 185 240 425

Total 225 275 500

Se selecciona un sujeto al azar y sea los siguientes sucesos I: usar internet H: Ser hombre

a. Determine e interprete la probabilidad de: P(I)= P(H)= P(I ∩ H) = P(I ∩ HC)

b. Si mediante un procedimiento aleatorio se seleccionó a un sujeto varón, ¿Cuál es la probabilidad de que use internet?

Ejercicio II-7

Sean 2 sucesos A y B de los cuales se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A; que la probabilidad de la unión es el doble que la de su intersección; y que la probabilidad de su intersección es de 0,1.

a. Calcule la probabilidad de A b. ¿Qué suceso es más probable que ocurra sabiendo que ya ha

ocurrido el otro?

Ejercicio II-7 Sean los sucesos A, B y C de un espacio muestral tal que:

P(A) = 0,3, P(B) = 0,4, P(C) = 0,6, P(A ∩ B) = 0,15 P(A ∩ C)=0,17, P(B ∩ C) = 0,23 y P(A ∩ B ∩ C) = 0,05. Determine:

a) Probabilidad de que ocurra solo A y B. P(A ∩ B ∩ CC) =

b) Probabilidad de que ocurra solo el suceso A. P(A ∩ BC ∩ CC) =

c) Ninguno de los tres sucesos ocurran

d) Por lo menos uno de los suceso ocurran


PROBABILIDAD TOTAL

Supongamos que sobre el espacio muestral Ω tenemos una partición A1 , A2, …, Ak

k = 5

Esto significa que cualquier resultado de Ω necesariamente debe estar en

uno y solo uno de los sucesos Ai

Ejemplo: La elaboración de un determinado tipo de artículo puede

realizarse con tres máquinas (A1 A2 y A3) la producción de artículos diarios

de las tres máquinas están en una razón 2:2:1.

Consideremos un suceso B dentro del espacio muestral, que indica la

proporción de artículos sin defectos (buenos).

Las proporciones de artículos sin defectos fabricados por las tres

máquinas A1 A2 y A3 son 0,96 , 0,95 y 0,98 respectivamente.

La probabilidad total permite responder a la pregunta: Si se

selecciona al azar un artículo de la producción de cierto día ¿Cuál es la

probabilidad de que el artículo sea bueno (P(B))?

Solución: Sea Ai = el artículo seleccionado proviene de la máquina i. i = 1,2,3

B = el artículo seleccionado es bueno (no defectuoso)

P(A1 )= 0,4 P(B/A1) = 0,96

P(A2) = 0,4 P(B/A2) = 0,95

P(A3) = 0,2 P(B/A3) = 0,98

Ai ∩ Aj = i j ; Se conocen las probabilidades

P(Ai) , i = 1,2, …, k

P(B/Ai) , i = 1,2, …, k


Se puede presentar Ω y las probabilidades de los sucesos en la tabla siguiente:

Máquina B (bueno)

BC Total

A1 P (A1 B)

0,384

P (A1 BC)

0,016 P(A1)= 0,4

A2 P (A2 B)

0,380

P (A2 BC)

0,02 P(A2) = 0,4

A3 P (A3 B)

0,196

P (A3 BC)

0,004 P(A3) = 0,2

Total P(B)

0,96

P(BC) 0,04

1,000

Recuerde que: las probabilidades P(A1), P(A2) , P(A3) y P(B/A1), P(B/A2), P(B/A3)

son conocidas

y P(A1 B) = P(A1)∙P(B/A1) , … , P(A3 B) = P(A3)∙P(B/A3)

PROBABILIDAD TOTAL

Sea 1 2 3 kA , A , A ,........, A una partición del espacio muestral Ω y B un suceso

que pertenece a Ω, entonces la probabilidad total de B está dada por:

1 2 3 k

1 2 3

1 1 2 2 n n

k

i i

i=1

P(B)= P (B A ) (B A ) (B A ) ......... (B A )

= P(B A )+P(B A )+P(B A )+........P(B Ak)

= P(B/A ) P(A )+P(B/A ) P(A )+.........P(B/A ) P(A )

= P(B/A ) P(A )

También se puede utilizar un diagrama de árbol para resolver problemas de

probabilidad total:


TEOREMA DE BAYES

Thomas BAYES

(1702 – 17/04/1761)

Bayes permite contestar, por ejemplo: Si articulo seleccionado al azar es bueno, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido elaborado por la máquina 2?

Es decir: 22

P(A B)P(A / B) = = 0,39583

P(B)


Sea A1, A2, A3, …, Ar, … Ak una partición del espacio muestral Ω y B un suceso sobre Ω, P(B) > 0, entonces:

r r kr k

i i

i=1

P(A B) P(B/A ) P(A )P(A /B)= =

P(B)P(B/A ) P(A )

Ejercicio: Una fábrica de botellas cuenta con dos máquinas para la producción. En esa fábrica se producen 10.000 botellas al día. La máquina A produce 6.500 botellas diarias de las cuales el 2% son defectuosas. La máquina B produce 3.500 botellas cada día de las cuales el 1% son defectuosas De la producción de cierto día, el encargado de control de calidad selecciona una botella al azar y encuentra que está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A? Resp.: 0,788

Ejercicio: Para llenar de agua depósitos con superficie flexibles de forma automática, una máquina puede realizar el proceso a baja o alta velocidad. Cuando el proceso se realiza a baja velocidad, el 0,1% de los depósitos tienen un volumen de llenado incorrecto. Mientras que si el proceso se realiza a alta velocidad, el 1% de los depósitos presentan un volumen incorrecto. Se sabe que el 30% de los depósitos se llenan a alta velocidad. Si se inspecciona un depósito al azar y se encuentra que su volumen es

incorrecto.

¿Cuál es la probabilidad que se haya realizado a alta velocidad? Resp.: 0,8108

Se eligen al azar y en forma independiente depósitos llenados por la máquina, hasta encontrar uno que no ha sido llenado en forma correcta. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan tenido que revisar cinco depósitos? Resp.: 0,0036

Ejercicios III (varios)

Ejercicio III-1 El problema de Galileo. Un príncipe italiano preguntó en una ocasión al famoso físico Galileo, ¿por qué cuándo se lanzan tres dados, se obtiene con más frecuencias la suma 10 que la suma 9, aunque se puedan obtener de seis maneras distintas cada una.

Ejercicio III-2 La probabilidad de que un componente de un sistema se averíe en un periodo de tiempo dado es 0,01. Su estado (averiado, funcionando) se comprueba con un test que indica que cuando el componente funciona la probabilidad de que el test indica lo contrario es 0,05, pero si el componente está averiado el test no se equivoca. Si el test indica que el componente está averiado, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo esté?

Resp.: 0,16807


Ejercicio III-3 Unas piezas cilíndricas pueden ser defectuosas por tener una longitud inadecuada o tener un diámetro inadecuado, siendo ambos tipos de defectos independientes. Si el porcentaje de cilíndros con longitud inadeuada es de 5% y la de cilindros con diámetros inadecuados es de 3%. ¿qué porcentaje de cilindros son defectuosos?

Resp.: 7,85%

Ejercicio III-4 El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los no ingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero? Resp.: 0,4054

Ejercicio III-5 Un prefabricado de hormigón puede presentar defectos, que pueden inutilizarlo. Los defectos que puede presentar son: no cumplir con las dimensiones requeridas; no tener la resistencia adecuada o bien, otro defecto. El 7% de los prefabricados de hormigón presenta problemas en sus dimensiones, el 2% no tienen una resistencia adecuada y un 2,5% presenta otro tipo de defecto. Si los defectos ocurren en forma independiente:

a. ¿Qué porcentaje de los prefabricados de hormigón presentan alguno de estos defectos? Resp.: 11,1385%

b. Si se elige un prefabricado de hormigón para ser inspeccionado. ¿Cuál es la probabilidad que presente solo defecto de resistencia? Resp.: 0,018135

c. Se inspeccionan prefabricados de hormigón hasta encontrar uno que presente problema de dimensiones. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan inspeccionados más de 3 prefabricados? Resp.: 0,804357

Ejercicio III-6

Demuestre que si dos sucesos A y B son independientes, también lo son los sucesos complementarios de A y B.

Ejercicio III-7

Ciertas bombillas LED de neveras son producidas por tres fábricas. La fábrica 1 (F1)

produce el 25% del total de bombillas, la fábrica 2 (F2) el 40% y el resto la fábrica 3

(F3). El 2% de las bombillas fabricadas en F1 son defectuosas, mientras que el

porcentaje de defectuosas en F2 y F3 es del 6% y 4% respectivamente.

Suponga que de la producción total se encoge una bombilla al azar:

a. Determine la probabilidad de que la bombilla sea defectuosa. Resp.: 0,043

b. Si se sabe que la bombilla seleccionada funciona correctamente, determine dónde es más probable que se fabricara y con qué probabilidad.

Resp.: F2, 0,5581


Ejercicio III-8 El problema del caballero de la Meré. Se considera generalmente 1654 como el año del nacimiento de la teoría de probabilidades: el caballero de la Meré, filósofo y hombre de letra en la corte de Luis XIV, propuso dos problemas al célebre matemático Blaise Pascal;

a. ¿Qué es más probable, obtener al menos un seis en cuatro lanzamientos de un dado, u obtener al menos un doble seis al lanzar 24 veces dos dados.

b. Se lanza una moneda varias veces. Por cada cara obtenida, A recibe un punto, y por cada sello obtenido, se adjudica un punto a B. Gana la apuesta el primero que obtenga 5 puntos. Al cabo de 7 jugadas (lanzamientos de la moneda), A tiene 4 puntos y B tiene 3. En este momento se interrumpe el juego. ¿Cómo repartir la apuesta de la manera más equitativa?

Las propuestas de Meré dieron lugar a un intercambio de correspondencia entre Pascal y Fermat, de que nacieron los fundamentos de probabilidades.

Ejercicio III-8 La información de un fabricante de automóviles indica que, de todos los autos reparados bajo garantía ofrecida, el 57% necesita reparaciones en el motor (M), el 47% solicita reparación en el interior (I) y el 30% en la carrocería (C), el 23% necesita reparación tanto en el motor como en el interior, el 64% necesita reparación en el interior o en la carrocería y la probabilidad de que un automóvil requiera tres tipos de reparación es 0.05. Se sabe además que de 60 autos que solicitaron reparación en la carrocería, 14 necesitan reparación en el motor. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto reparado bajo garantía, sólo requiera

reparación en el motor? Resp : 0,32 b. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto reparado bajo garantía, requiera

reparación solamente en el interior y en carrocería. Resp: 0,09

Ejercicio III-9 Un servidor gestiona el correo electrónico de una institución. El 10% de los mensajes que se reciben son SPAM, y se desea detectarlos y eliminarlos. Se posee un algoritmo de detección de correo SPAM que cuando es realmente SPAM lo identifica con probabilidad 0,95. Sin embargo, cuando el mensaje no es SPAM lo identifica el 3% de las veces como SPAM. Encuentre la probabilidad de que habiendo identificado un mensaje como SPAM, éste no lo sea. Resp.: 0,22131

Ejercicio III-10 Una empresa de sofware que diseña juegos para PC somete los diseños preliminares de sus productos a la evualuación previa de un grupo seleccionados de clientes. Según muestra la experiencia, el 95% de los productos que tuvieron un gran éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60% de los de éxito moderado recibieron buenas evaluaciones y el 10% de los que tuvieron escaso éxito fueron evaluados favorablemente. Además, globalmente el 40% de los productos de las empresas ha tenido gran éxito, el 35% un éxito moderado y el 25% una baja aceptación. ¿Cuál es la probabilidad de que un producto elegido al azar entre la producción de la fábrica obtenga una buena evaluación previa? Resp.: 0,615 a. Si un nuevo producto obtiene una buena evaluación, ¿cuál es la probabilidad de

que se convierta en un producto de gran éxito? Resp.: 0,618


Ejercicio III-11 Las fábricas A, B y C pueden proveer un repuesto necesario para reparar una máquina. Las probabilidades de que lo hagan están en una razón 5:3:2 respectivamente. La fábrica A revisa los repuestos antes de entregarlos y puede descartarse la probabilidad de que entregue uno defectuoso. La fábrica B trabaja con un 20% de defectuosos y la C además tiene repuestos de segunda calidad. De los repuestos de C, el 5% son de segunda calidad y defectuosos, el 2% es de segunda pero no es defectuoso y la probabilidad de que no sea defectuoso ni de segunda es 0,9. Si se recibe un repuesto y resulta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que no sea de segunda calidad? Resp.: 0,868421

Ejercicio III-12 Una empresa dispone de dos plantas de fabricación A1 y A2 que producen el 60% y 40% de la pieza respectivamente. En la A1 el 80% de las piezas funcionan bien, el 5% se desechan y el 15% restante necesitan una reparación después de la cual el 60% funcionan correctamente el resto se desecha. En la segunda planta A2 los porcentajes anteriores son 85%, 5% y 10% respectivamente y entre las piezas que deben ser reparadas únicamente el 50% funciona bien.

a. Calcule la probabilidad de que una pieza funcione bien. Resp.: 0,894 b. Sabiendo que la pieza fue desechada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda

de A1? Resp.: 0,62264 c. Estudie si el suceso “funcionar bien una pieza” es independiente del lugar donde

fue fabricado.

Ejercicio III-13 Una caja contiene 250 chips, de los cuales 120 han sido fabricados por la compañía A, 80 por la compañía B y el resto por la compañía C. El 10% de los chips fabricados por A son defectuosos, de los fabricados por B son defectuosos el 7% y un 5% de los fabricados por C son defectuosos.

a. Se elige un chip aleatoriamente y se encuentra que es defectuosos. Calcular la probabilidad de que no haya sido fabricado por la compañía B. Resp.: 0,7214

b. Se seleccionan aleatoriamente (sin reposición) una muestra de 20 chips de la caja. Determine la probabilidad de que en la muestra contenga a lo más dos chips de la compañía C. Resp.: 0,1946

Ejercicio III-14 Los informes de inspección final de defectos de cierto artículo que salen de una línea de armado indican que existen tres defectos principales, Manchado (M), Rayado (R) y Astillado (A). La probabilidad de que un artículo salga manchado es 0,58; rayado 0,335; manchado y astillado 0,105; astillado y rayado 0,095. De los productos con defecto manchado, un 25% están rayados. Un 15% de los artículos sólo presentan defecto de astillado. La probabilidad de que un artículo salga con los tres defectos principales es 0,07. ¿Qué porcentaje de artículos salen con al menos un defecto principal? Resp.: 0,92


Ejercicio III-15 Una compañía petrolera está adelantando labores de exploración en una región determinada. De acuerdo con las estimaciones del jefe del equipo de exploración, la probabilidad de encontrar petróleo en dicha región es de 0,35. Con el fin de disponer de información más precisa, se realizó una prueba sísmica para determinar la posible existencia de petróleo. En un 80% de los casos, esta prueba confirma la existencia de petróleo cuando este realmente existe, y en un 90% de los casos se descarta la existencia de petróleo cuando este no está presente.

a. Si el resultado de la prueba fue positivo (+), ¿cuál es la probabilidad de que exista petróleo en dicha región? Resp. 0,812

b. Determine la probabilidad de que realmente exista petróleo, dado que en la prueba sísmica se ha obtenido el resultado “Descartado (-)”. Resp. 0,107

Ejercicio III-16 Determine la fiabilidad del sistema representado en el dibujo, sabiendo que las probabilidades de fallo de las componentes A, B, C, D y E son 0,10, 0,20, 0,20, 0,10, y 0,05, y que estas funcionan en forma independiente. Resp.. 0,78

Ejercicio III-17 Al fabricar un producto, una empresa prueba uno de entre tres tipos de procedimientos, el utilizado depende básicamente de las exigencias del mercado. El 20% de la producción se realiza con el procedimiento A, el 40% con el procedimiento B, y el resto con el procedimiento C. El 2% de la pieza fabricadas con el procedimiento A presentan defectos, mientras que este porcentaje es de 3% y del 4% para las piezas producidas por los procedimientos B y C respectivamente. De la producción total, se decide seleccionar al azar y en forma independiente piezas hasta encontrar una defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad que la cuarta pieza seleccionada sea defectuosa? Resp.: 0,02903

Ejercicio III-18 Una empresa fabrica distintos tipos de transistores bipolares NPN, que pueden

clasificarse según su tensión base-emisor (VBE), que puede ser 5, 6 o 7 v, y según

su disipación de energía total (Ptot), que puede ser 300 (mW) o 37 (W).

Se sabe que, de cada 1000 unidades, 300 se fabrican con VBE= 5, y 320 con VBE=7. Por otro lado, las probabilidades de que la disipación de energía de un transistor sea 300 (mW) cuando VBE es 5, 6 o 7 v, son respectivamente 0,44, 0,53, y 0,03. Se escoge un transistor al azar: Si el transistor tiene una disipación de energía de 300 (mW), ¿Cuál es la probabilidad de que su VBE= 6.

Resp.: 0,587


Ejercicio III-19 Una máquina consta de tres componentes en serie, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de fallo de 0,01. Por motivos de seguridad se decide colocar otros tres componentes, en paralelo con los primeros, para reducir el riesgo de avería de la máquina. Suponiendo que todos componentes actúan independientemente, ¿cuál de las dos alternativas presentadas en la figura es preferible, teniendo en cuenta que, por motivos económicos, los componentes de seguridad son de inferior calidad y tienen probabilidad de averiarse de 0,05.

Resp. P(funcione la máquina con alternativa a) = 0,99576 P(funciones la máquina con alternativa b) = 0,99850. por lo tanto es preferible la alternativa b) a la a)

Ejercicio III-20 Un cargamento de 50 lavadoras contiene 4 defectuosas. Con el fin de verificar la calidad del cargamento se elige al azar una muestra de 5 lavadores. a. Especifique al menos dos elementos del espacio muestral asociado la

experimento aleatorio. b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una lavadora defectuosa en la muestra?

Resp.: 0,308076

c. Si se considera el siguiente plan de aceptación del cargamento:

Se rechaza el cargamento si se encuentra más de una lavadora defectuosa en la muestra.

¿Cuál es la probabilidad de aceptación del cargamento? Resp.: 0,95504

Ejercicio III-21 Un cierto artículo es manufacturado por 3 fabricantes distintos, fabricante A, B y C. Se sabe que el fabricante A produce el doble de artículos que el fabricante B, y que éstos en conjunto producen el mismo número de artículos que el fabricante C. Se sabe también que el porcentaje de artículos defectuosos es del 2% tanto para el fabricante A como para el fabricante B y el porcentaje de artículos manufacturados por el fabricante C y son defectuosos es 2%.

a. Si se elige un artículo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Resp: 0,03

b. Si el artículo está en perfecto estado, ¿de qué fabricante es más probable que provenga y cuál es dicha probabilidad? Resp.: C, 0,4948

c. Si el artículo es defectuoso, ¿de qué fabricante es más probable que provenga y cuál es dicha probabilidad? Resp.: C, 0,6667

1-Probailidad Para Ingenieria(Clr)

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