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1.1 Importancia de la ingeniera econmica. Un buen gestor se preocupa por las decisiones que toma diariamente porque afectan el futuro; por lo que debe contar con las herramientas que le proporciona la Ingeniera Econmica ya que es la disciplina que

estudia los aspectos econmicos de la ingeniera; implica la evaluacin sistemtica de los costos y beneficios de los proyectos presupuestos por la empresa.

1.1.1 La ingeniera econmica en la toma de decisiones.

En el mundo globalizado en el que vivimos en la actualidad, la toma de

decisiones es primordial para la competitividad de las empresas; por lo que la Ingeniera Econmica es necesaria por dos razones fundamentales, segn lo expresa el Autor Gabriel Baca Urbina en su

libro Fundamentos de Ingeniera Econmica:

Proporciona las herramientas analticas para tomar mejores

decisiones econmicas.

Esto se logra al comparar las cantidades de dinero que se tienen en

diferentes periodos de tiempo, a su valor equivalente en un solo instante de tiempo, es decir, toda su teora est basada en la consideracin de que el valor del dinero cambia a travs del tiempo.

1.1.2 Tasa de inters y tasa de rendimiento. Tasa de inters.

La tasa de inters podra definirse de manera concisa y efectiva como el precio que debo pagar por el dinero.

Dicho de otro modo: si pido dinero prestado para llevar adelante una compra o

una operacin financiera, la entidad bancaria o la empresa que me lo preste me cobrar un adicional por el simple hecho de haberme prestado el dinero que necesitaba. Este adicional es lo que conocemos como tasa de inters.

La tasa de inters se expresa en puntos porcentuales por un motivo evidente,

y es que cuanto ms dinero me presten ms deber pagar por el prstamo. En

economa, la tasa de inters cumple un rol fundamental. Si las tasas de

inters son bajas porque hay ms demanda o mayor liquidez, habr ms

consumo y ms crecimiento econmico. Sin embargo, las tasas de inters

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bajas favorecen la inflacin, por lo que muchas veces se mantienen altas a

propsito para favorecer el ahorro y evitar que se disparen los precios.

En cuanto a la TIIE (TASA DE INTERES INTERBANCARIA DE EQUILIBRIO),

esta tasa de inters es muy importante porque refleja de manera diaria la

Tasa Base de Financiamiento. De este modo, los bancos la utilizan como

parmetro para establecer las tasas de inters que cobrarn por los crditos

que otorgan.

Tasa de rendimiento. Tasa esperada para una inversin determinada.

Porcentaje de beneficio del capital invertido en una determinada operacin

1.1.3 Introduccin a las soluciones por computadora.

Laboratorio

Es indudable que la automatizacin por computador no puede remplazar un

conocimiento firme de los principios de la ingeniera econmica.

La eficiencia de los computadores para optimizar anlisis econmicos

complejos representa ahorros de tiempo para el analista y dinero para la

empresa.

1.1.4 Flujos de efectivo: su estimacin y diagramacin.

Uno de los elementos fundamentales de la Ingeniera Econmica son los flujos de efectivo, pues constituyen la base para evaluar proyectos, equipo y alternativas de inversin. El flujo de efectivo es la diferencia entre el total de efectivo que se recibe (ingresos) y el total de desembolsos (egresos) para un periodo dado (generalmente un ao). La manera ms usual de representar el flujo de efectivo es mediante un diagrama de flujo de efectivo, en el que cada flujo individual se representa con una flecha vertical a lo largo de una escala de tiempo horizontal.

http://tiie.com.mx/

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Los flujos positivos (ingresos netos), se representa convencionalmente con flechas hacia arriba y los flujos negativos (egresos netos) con flechas

hacia abajo. La longitud de una flecha es proporcional a la magnitud del flujo correspondiente.

Se supone que cada flujo de efectivo ocurre al final del periodo respectivo.

Esquemas de flujos de efectivo.

Para evaluar las alternativas de gastos de capital, se deben

determinar las entradas y salidas de efectivo.

Para la informacin financiera se prefiere utilizar los flujos de efectivo en lugar de las cifras contables, debido a que estos son los que

reflejan la capacidad de la empresa para pagar cuentas o comprar activos.

Los esquemas de flujo de efectivo se clasifican en:

Ordinarios

No ordinarios

Anualidad

Flujo mixto

FLUJOS DE EFECTIVO ORDINARIOS: Consiste en una salida seguida por

una serie de entradas de efectivo: Grfica:

FLUJOS DE EFECTIVO NO ORDINARIOS: Se dan entradas y salidas

alternadas. Por ejemplo la compra de un activo genera un desembolso inicial y

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una serie de entradas, se repara y vuelve a generar flujos de efectivo positivos durante varios aos.

Grfica:

ANUALIDAD (A): Es una serie de flujos de efectivo iguales de fin de periodo

(generalmente al final de cada ao). Se da en los flujos de tipo ordinario.

FLUJO MIXTO: Serie de flujos de efectivos no iguales cada ao, y pueden ser

del tipo ordinario o no ordinario.

1.2 El valor del dinero a travs del tiempo.

El valor del dinero en el tiempo (en ingls, Time Value of Money, abreviado usualmente como TVM) es un concepto basado en la premisa de que un inversionista prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo monto en una fecha futura. En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener inters sobre ese dinero.

Adicionalmente, debido al efecto de inflacin (si esta es positiva), en el futuro esa misma suma de dinero perder poder de compra.

Todas las frmulas relacionadas con este concepto estn basadas en la misma

frmula bsica, el valor presente de una suma futura de dinero, descontada al presente. Por ejemplo, una suma FV a ser recibida dentro de un ao debe ser descontada (a una tasa apropiada i) para obtener el valor presente, PV.

Algunos de los clculos comunes basados en el valor tiempo del dinero son:

Valor presente (PV) de una suma de dinero que ser recibida en el futuro.

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Valor presente de una anualidad (PVA) es el valor presente de un flujo de pagos futuros iguales, como los pagos que se hacen sobre una

hipoteca. Valor presente de una perpetuidad es el valor de un flujo de pagos

perpetuos, o que se estima no sern interrumpidos ni modificados nunca.

Valor futuro (FV) de un monto invertido (por ejemplo, en una cuenta de

depsito) a una cierta tasa de inters. Valor futuro de una anualidad (FVA) es el valor futuro de un flujo de

pagos (anualidades), donde se asume que los pagos se reinvierten a una

determinada tasa de inters.

1.2.1 Inters simple e inters compuesto.

Conceptos bsicos para el estudio del Valor del Dinero en el

Tiempo

Existen dos entes que intervienen en toda transaccin econmica

a) PRESTADOR. Es el propietario del dinero b) PRESTATARIO. Es el que pide el dinero

INTERES. Es la cuota ( $ ) que se carga por el uso del dinero de otra

persona, tomando en cuenta el monto, el tiempo y la tasa de inters.

PROBLEMA CON INTERES ($)

Suponga que usted desea pedir prestados $20,000.00 para comenzar su propio

negocio. Un Banco puede prestarle el dinero siempre y cuando Ud. est de

acuerdo en pagarle $920.00 mensuales durante dos aos.

Cunto le estn cobrando de inters?

La cantidad total que pagar al Banco es de ($920.00) (24) = $22,080.00

Como el prstamo original era de $ 20,000.00, el inters es:

($22.080.00 - $20,000.00) = $ 2,080.00

7

TASA DE INTERES. Es el porcentaje ( % ) que se cobra por el

prstamo de una cantidad de dinero (principal), durante un periodo

especfico. (Generalmente un ao).

PROBLEMA CON TASA DE INTERES (%)

Suponga que usted hace un prstamo a su vecino por $ 5,000.00 que deber

pagarle en una sola suma despus de un ao.

Qu tasa de inters anual corresponde a un pago nico de $ 5,425.00?

Si la cantidad total de inters a pagar es de: $ 425.00 = ($ 5,425.00 - $

5,000.00), entonces la tasa de inters es:

$425.00100% 8.5%

$5,000.00 anual

INTERES SIMPLE. Es la cantidad ( $ ) que resulta de multiplicar la

cantidad de dinero prestada por la vida del prstamo y por la tasa de

inters.

FORMULA:

I = n i P

Donde:

I = Cantidad total de Inters Simple

n = Periodo del prstamo (tiempo) o (vida del prstamo)

i = Tasa de inters (expresada en decimal)

P = Principal (cantidad de dinero prestada)

NOTA:

Tanto n como i se refieren a una misma unidad de tiempo (generalmente un

ao)

Cuando se hace un prstamo con inters simple no se hace pago alguno sino

hasta el final del periodo del prstamo; en este momento se pagan tanto el

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principal como el inters acumulado; por lo que la cantidad total que se debe

puede expresarse como:

F = P + I = P ( 1 + n i )

Donde:

F = Cantidad futura, o bien: cantidad a n periodos del presente, que es

equivalente a P con una tasa de inters i

PROBLEMA CON INTERES SIMPLE

Suponga que usted pide a su vecino $3,000.00 para terminar sus estudios. Su

vecino accede a prestrselos siempre y cuando Ud. le pague un inters simple a

una tasa del 5.5% anual. Considere que podr pagarle el prstamo completo en

dos aos.

Cunto dinero tendr que pagar?

F = P + I = P (1 + ni)

F = 3,000 [( 1 + ( 2 ) (0.055)] = $ 3,330.00

NOTA:

Tanto n como i deben estar en una misma unidad de tiempo (por ejemplo

un ao)

INTERES COMPUESTO. Capitalizacin peridica del Principal ms

el Inters.

FORMULA

F = P ( 1 + i ) n

PROBLEMA CON INTERES COMPUESTO

FORMULA

F = P ( 1 + i ) n

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Suponga que usted deposita $ 1,000.00 en una cuenta de ahorros que paga

intereses a una tasa del 6% anual capitalizado anualmente. Si se deja

acumular todo el dinero, Cunto dinero tendr despus de 12 aos?

Compare esta cantidad con lo que hubiera acumulado si le hubieran pagado

inters simple.

FORMULA

F = P (1 + i ) n

F = 1,000 ( 1 + 0.06) 12 = $ 2,012.20

Si le pagaran inters simple:

FORMULA

F = P (1 + ni)

F = 1,000 [ ( 1 + (12) (0.06) ] = $ 1,720.00

1.2.2 Concepto de equivalencia. En el anlisis econmico, equivalencia significa el hecho de tener igual valor. Este concepto se aplica primordialmente a la comparacin de flujos de efectivo diferentes.

Como sabemos, el valor del dinero cambia con el tiempo; por lo tanto, uno de los factores principales al considerar la equivalencia es determinar cundo

tienen lugar las transacciones. El segundo factor lo constituyen las cantidades especficas de dinero que intervienen en la transaccin y por ltimo, tambin debe considerarse la tasa de inters a la que se evala la equivalencia.

EJEMPLO

Suponga que en el verano Ud. estuvo trabajando de tiempo parcial y por su trabajo obtuvo $1,000.00. Ud. piensa que si los ahorra, podr tener para el enganche de su iPhone.

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Su amigo Panchito le insiste en que le preste ese dinero y promete regresarle $1,060.00 (1,000*0.06+1,000) o bien, (1,000 * 1.06) dentro de un ao, pues

segn l, esto es lo que recibira si Ud. depositara ese dinero en una cuenta de ahorros que paga una tasa de inters anual efectiva del 6%. Qu hara usted. Depositara los $1,000.00 o se los prestara a su amigo Panchito?

Solucin Consideraremos que Ud. tiene nicamente esas dos alternativas, entonces las

dos son equivalentes, ya que las dos le proporcionan $1,060.00 (1,000*0.06+1,000); dentro de un ao como recompensa por no usar el dinero hoy; por lo que dada esta equivalencia, su decisin estar basada en factores

externos a la ingeniera econmica, tales como la confianza que le tenga a su amigo Panchito o la alternativa de obtener su iPhone, entre otros. Por otro lado,

si Ud. tuviera otra opcin de invertir su dinero con mayor rendimiento, por ejemplo al 9% anual, el valor equivalente de su dinero dentro de un ao, sera de $1,090.00 (1,000*0.09+1,000); por lo tanto las alternativas de prestar o ahorrar, ya no seran equivalentes.

No siempre se puede distinguir la equivalencia de manera directa, ya que flujos de efectivo con estructuras muy distintas, tales como transacciones por

diferentes cantidades efectuadas en diferentes momentos, pueden ser equivalentes a cierta tasa de inters.

1.2.3 Factores de pago nico: Factor de cantidad compuesta de un Pago nico

F/P = ( 1 + i )

n ( F/P, i%, n )

EJEMPLO

Suponga que Ud. deposita $1,000.00 en una cuenta de ahorros que paga

inters de 6% anual, capitalizada cada ao. Si Ud. deja que el dinero se

acumule, qu cantidad tendr despus de 12 aos?

Datos:

P = $1,000.00

i = 6% anual, capitalizada cada ao

11

n = 12 aos

F = ?

FORMULA

Factor de Valor Presente de un Pago nico

P/F = (F/P)

1

= (1 + i )n ( P/F, i%, n)

EJEMPLO

Suponga que Ud. depositar cierta suma de dinero en una cuenta de

ahorros que paga inters anual a la tasa de 6% anual, capitalizado

anualmente. Si permite que todo el dinero se acumule, cunto deber

depositar en un principio para disponer de $5,000.00 despus de 10

aos?

Datos:

F = $5,000.00 i = 6% anual, capitalizado anualmente

n = 10 aos

P = ?

FORMULA

1.2.4 Factores de Valor Presente y Recuperacin de Capital. Factor de Valor Presente de una Serie Uniforme

P/A = (A/P)1 =

i

i n )1(1=

(1 ) 1

(1 )

n

n

i

i i

(P/A, i%, n)

EJEMPLO

Suponga que su pap, que tambin es Ingeniero en Gestin

Empresarial, est planeando su retiro y piensa que podr

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sostenerse con $10,000.00 cada ao, cantidad que piensa

retirar de su cuenta de ahorros.

Cunto dinero deber tener en el banco al principio de su

retiro si el banco le ofrece un rendimiento del 6% anual,

capitalizado cada ao y est planeando un retiro de 12 aos?

Datos:

A = $10,000.00

i = 6% anual, capitalizado anualmente

n = 12 aos

P = ?

FORMULA

Factor de Recuperacin de Capital de una Serie Uniforme

A/P = ni

i )1(1

= (1 )

(1 ) 1

n

n

i i

i

( A/P, i%, n)

EJEMPLO

Suponga que su pap, que tambin es Ing. en Gestin

Empresarial, est a punto de retirarse y ha reunido

$50,000.00 en su cuenta de ahorros que le ofrece un

rendimiento de 6% anual, capitalizado cada ao. Le pide su

asesora para que le diga qu cantidad mxima podr retirar

de manera fija al final de cada ao, durante 10 aos.

Datos:

FORMULA

1.2.5 Factor de fondo de amortizacin y cantidad compuesta. Factor de Fondo de Amortizacin de una Serie Uniforme

13

A/F = (F/A)1 =

1)1( ni

i ( A/F, i%, n)

EJEMPLO

Suponga que Ud. deposita una cantidad fija de dinero, (A),

en una cuenta de ahorros al final de cada ao durante 20

aos.

Si el banco le paga el 6% anual, capitalizado cada ao,

encuentre esa cantidad fija de dinero (A) tal que al final de

los 20 aos se hayan acumulado $50,000.00.

Datos:

FORMULA

Factor de Cantidad Compuesta de Una Serie Uniforme

F/A = i

i n 1)1( ( F/A, i%, n)

EJEMPLO

Suponga que Ud. planea depositar $600.00 cada ao en una cuenta de ahorros durante un periodo de 10 aos y quiere

saber cunto dinero habr acumulado al final de los diez aos, sabiendo que el banco le paga 6% anual, capitalizado cada ao.

1.3 Frecuencia de capitalizacin de inters. Las transacciones financieras generalmente requieren que el inters se

capitalice con ms frecuencia que una vez al ao (por ejemplo, semestral, trimestral, bimestral, mensual, diariamente, etc. Por ello se tienen dos expresiones para la tasa de inters: Tasa de inters nominal y tasa de inters efectiva.

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1.3.1 Tasa de inters nominal y efectiva. Tasa de inters nominal ( r ), se expresa sobre una base anual. Es la

tasa que generalmente se cita al describir transacciones que

involucran un inters

Tasa de inters efectiva ( i ) es la tasa que corresponde al periodo real de inters . Se obtiene dividiendo la tasa nominal ( r ) entre ( m ) que representa el nmero de perodos de inters por ao:

ri

m

Suponga que un Banco sostiene que paga a sus depositantes una

tasa de inters de 6% anual, capitalizada trimestralmente. Cules es la tasa de inters nominal y cul la tasa de inters efectiva? Solucin: La tasa de inters nominal ( r ) es la tasa que el Banco menciona: r =

6% anual Ya que hay cuatro periodos de inters por ao, la tasa de inters

efectiva ( i ) es:

ri

m

6%1.5%

4i por trimestre

1.3.2 Cuando los periodos de inters coinciden con los periodos de pago.

Cuando los periodos de inters y los periodos de pago coinciden, es posible usar en forma directa tanto las frmulas de inters compuesto desarrolladas

anteriormente, as como las tablas de inters compuesto que se encuentran en todos los libros de Ingeniera Econmica, siempre que la tasa de inters i se tome como la tasa de inters efectiva para ese periodo de inters. An ms, el nmero de aos n debe reemplazarse por el nmero total de periodos de inters mn

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Ejemplo Suponga que Ud. necesita pedir un prstamo de $3,000.00. Deber pagarlo en 24 pagos mensuales iguales. La tasa que tiene que pagar es del 1% mensual sobre saldos insolutos. Cunto dinero deber pagar cada mes? Este problema se puede resolver mediante la aplicacin directa de la siguiente ecuacin, ya que los cargos de inters y los pagos uniformes tienen ambos una base mensual. Datos:

P = $3,000.00 n = 24 pagos mensuales i = 1% mensual sobre saldos insolutos A = ? mensual FORMULA

A/P = ni

i )1(1

= (1 )

(1 ) 1

n

n

i i

i

(A/P, i%, n)

24

24

0.01(1 0.01)3000 $141.22

(1 0.01) 1A

Por lo tanto, Ud. debe pagar $141.22 cada fin de mes

durante 24 meses.

De manera alternativa, lo puede resolver calculando el factor (A/P, i%, n)

( / ,1%,24) 3000(0.04707) $141.21A P A P

OTRO EJEMPLO

Suponga que un Ingeniero desea comprar una casa cuyo precio es de $80,000.00 dando un enganche de $20,000.00 y

por los $60,000.00 restantes, pide un prstamo que pagar mensualmente a lo largo de 30 aos. Calcule el monto de los pagos mensuales si el banco le cobra un inters del 9.5%

anual, capitalizado cada ao.

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Nota: En este caso se sustituye i por r/m y n por mn

1.3.3 Cuando los periodos de inters son menores que los

Periodos de pago.

Cuando los periodos de inters son menores que los periodos de pago, entonces el inters puede capitalizarse varias veces entre los pagos. Una manera de resolver problemas de este tipo es determinar la tasa de inters

efectiva para los periodos de inters dados y despus analizar los pagos por separado.

EJEMPLO Suponga que Ud. deposita $1,000.00 al fin de cada ao en una cuenta de ahorros. Si el banco le paga un inters del 6% anual, capitalizado trimestralmente, cunto dinero tendr en su cuenta despus de cinco aos?

Datos:

FORMULA

Este problema tambin se puede resolver calculando la tasa efectiva de inters para el periodo de pago dado y despus proceder como cuando los periodos de pago y los de inters coinciden. Esta tasa de inters efectiva puede determinarse como:

i = 1 1r

En donde: = Nmero de periodos de inters por periodo de pago r = Inters nominal para ese periodo de pago = m (Cuando el periodo de pago es un ao); por lo tanto se obtiene la siguiente ecuacin para determinar la tasa efectiva de inters anual:

i = 1 1

mr

m

Resolviendo el problema anterior utilizando ahora la tasa efectiva de inters anual:

17

Tenermos que: r = 6% = m= 4 Por lo tanto:

i =

40.06

1 14

= 0.06136

Resolviendo:

F=A(F/A, 6.136%,5) = 1,0005(1 0.06136) 1

0.06136

= $5,652.40

1.3.4 Cuando los periodos de inters son mayores que los

periodos de pago.

Si los periodos de inters son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir

que algunos pagos no hayan quedado en depsito durante un periodo de inters completo. Estos pagos no ganan inters durante ese periodo. En otras palabras, slo ganan inters aquellos pagos que han sido depositados

o invertidos durante un periodo de inters completo. Las situaciones de este Tipo pueden manejarse segn el siguiente algoritmo:

1. Considrense todos los depsitos hechos durante el periodo de inters

como si se hubieran hecho al final del periodo (por lo tanto no habrn ganado inters en ese periodo)

2. Considrese que los retiros hechos durante el periodo de inters se hicieron al principio del periodo (de nuevo sin ganar inters)

3. Despus procdase como si los periodos de pago y de inters

coincidieran.

EJEMPLO

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Suponga que Ud. tiene $4,000.00 en una cuenta de ahorros al principio de un ao calendrico. El banco paga 6% anual

capitalizado trimestralmente, segn se muestra en la tabla siguiente en donde se muestran las transacciones realizadas

durante el ao, la segunda columna muestra las fechas efectivas que debemos considerar de acuerdo a los pasos 1 y 2 del algoritmo.

Para determinar el balance en la cuenta al final del ao calendrico, debemos calcular la tasa de inters efectiva 6%/4 = 1.5% por trimestre. Posteriormente se suman las cantidades en las fechas efectivas.

Datos: P = $4,000.00 y ver tabla i = 6% anual capitalizado trimestralmente = 6%/4 = 1.5% trimestral F = ?

1.3.5 Tasa de inters efectiva para capitalizacin contina. Podemos definir que la capitalizacin continua es el caso lmite de la situacin de capitalizacin mltiple de cuando los periodos de inters son

menores que los periodos de pago. Al fijar la tasa de inters nominal anual como r y haciendo que el nmero de periodos de inters tienda a infinito,

mientras que la duracin de cada periodo de inters se vuelve infinitamente pequea.

De la ecuacin

i = 1 1

mr

m

Se obtiene la tasa de inters efectiva anual con capitalizacin continua

i= lim (1 ) 1 1m rm

re

m

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EJEMPLO Un banco vende certificados de ahorro a largo plazo que pagan inters a una tasa de 7.5% anual con capitalizacin continua. El banco sostiene que el rendimiento real anual de estos certificados es 7.79%. Qu significa esto? La tasa de inters nominal anual es 7.5%. Como el inters se capitaliza continuamente, la tasa de inters anual efectiva es:

i = 0.075 1e = 0.077884 7.79%

PAGOS DISCRETOS Si los pagos se hacen anualmente, aun cuando el inters se capitalice de manera continua, se pueden utilizar las siguientes frmulas:

F/P = rne / , %,F P r n

P/F = rne / , %,P F r n

F/A = 1

1

rn

r

e

e

/ , %,F A r n

A/F = 1

1

r

rn

e

e

/ , %,A F r n

A/P = 1

1

r

rn

e

e

/ , %,A P r n

P/A = 1

1

rn

r

e

e

/ , %, )P A r n

A/G = 1

1 1r rnn

e e

/ , %,A G r n

Donde n representa el nmero de aos

Nota: Recuerde que un lmite importante en clculo es:

1/

lim 1 2.71828x

xx e