MÓDULO 2. CONOCIMIENTO

4. LAS EXPRESIONES DEL TRANSPORTE SÓLIDO 1 - LAS FÓRMULAS DE TRANSPORTE DE SEDIMENTOS. El gasto sólido transportado por una corriente fluvial puede ser tratado separadamente como carga de fondo (qs) y como carga en suspensión (qss). La carga de fondo comprende a los sedimentos que se deslizan y arrastran por el fondo o eventualmente entran en saltación, ocupando una franja de espesor aproximadamente igual al doble del tamaño característico del sedimento, según uno de los criterios que expondrán más adelante (Einstein). El material proviene exclusivamente del lecho. La carga en suspensión, comprende a los sedimentos transportados en suspensión, en general conformado por la fracción fina de los sedimentos del lecho y por el material proveniente del lavado de suelos de la cuenca. El gasto sólido total (qt) es la suma del transporte de fondo más el transporte en suspensión. Para la resolución de cualquier problema relacionado con la corrección y/o regulación de un río será de fundamental importancia la determinación del valor del caudal sólido que el curso de agua sea capaz de trasladar. Lamentablemente, los métodos desarrollados hasta el presente no son lo ajustados que se podría desear para la mencionada evaluación. En el mejor de los casos las relaciones halladas sirven como aproximaciones al problema real, siendo indispensable la experiencia del ingeniero encargado de la resolución del problema. Será de fundamental importancia la similitud del problema por resolver con las condiciones reales que le dieron origen a las expresiones que acá se desarrollan. Las relaciones que permitirán el cálculo del caudal sólido serán denominadas “fórmulas”, aun cuando una parte de las relaciones se presenten como gráficos o sea, estrictamente hablando, no se trata de ecuaciones. La razón de su presentación como tales queda avalada por el uso que el ingeniero da a las mismas. Las expresiones que aquí se presentan son, salvo que se indique lo contrario, evaluadoras del caudal sólido del lecho, en condiciones de escurrimiento permanente y uniforme. Por otra parte, si bien se presentan aquí herramientas prácticas para evaluar el transporte de sedimentos en suspensión, éste se trata con más detenimiento en un capítulo aparte. El problema del ingeniero consistirá en seleccionar de ellas aquella que mejor se ajuste a su problema particular. Se realizará ahora un apretado resumen de las expresiones más comunes.

2 - APLICACIONES DE LA TENSIÓN DE ARRASTRE Y OTROS MÉTODOS AL ACARREO DE FONDO. En base a los principios expuestos precedentemente en 1879 P. Du Boys presentó la primera expresión que relaciona el caudal sólido con la tensión crítica de arrastre.

3 - FÓRMULAS EMPÍRICAS Surgida a partir de la verificación en Laboratorio de la anterior, la fórmula de Schoklitsch, expresa el caudal en volumen sólido absoluto del material, sin los

1

huecos intergranulares, como límite máximo de capacidad de transporte. Con el coeficiente obtenido experimentalmente resulta:

qs = ψ h J ( h J - hc Jc ) = [0,54 γ2 / (γ1 - γ)] h J (h J - hc Jc ) [m 3 /s m]

Otras interpretan el gasto sólido qs en función de variables antes definidas‚ siendo qs el acarreo sólido volumétrico por unidad de ancho. Es destacable que la mayoría tiene una estructura similar a la primera, ya que contienen un término de diferencia característica (τo - τc) o (qo - qc); alternativamente, están relacionadas con la velocidad media de la corriente, elevada a una potencia mayor de 3. qs = A/n (τo - τc)m ............................…..(Waterways Experiment Station) (1935) qs = A´ Jm (q - qc) …………………….... (Mac Dougall) qs = A´´ n τo (τo - τc )................................(Chang) qs = 10 q J γ/(γ1 - γ) γ1 d (τo - τc )............(Shields) qs = a Ub ´; a ≈ 0,5 x 10-6/d50(m) ; b ≈ 5 ....(Colby) qs = A´´´ (U3/h)m´ ....................................(O´Brien) en las cuales las A y m son constantes de ajuste, al igual que a. El exponente b puede adoptar valores entre 3 y 7 pero con frecuencia se aproxima a 5 y n el coeficiente de rugosidad de Manning y con U como velocidad media del flujo de tirante hidráulico h. Por otra parte, existen fórmulas referidas por medio de adimensionales, los que relacionan las variables implícitamente contenidas en agrupamientos a los que más modernamente se les adjudica mayor rango de interpretación.

4 - ECUACIONES EN BASE A ADIMENSIONALES. Agrupando convenientemente los elementos integrantes de las formulaciones de acarreo, se observa que todas pueden reducirse a una expresión de la forma

qs = α d3/250 g1/2 ∆1/2 ƒ (∆ d50 / µ h J)

La mayoría de las fórmulas se plantean a partir de la relación existente entre los adimensionales de mayor universalidad, el parámetro de transporte X y el parámetro de flujo Y. Se caracterizan por tres aspectos, a saber:

1) La función básica X = Φ(Y) 2) El tamaño característico del sedimento (d). 3) La corrección del parámetro de flujo con referencia a la rugosidad

de fondo. Si se define qs [m3/ms] como el caudal sólido transportado por unidad de ancho; d [m], el diámetro característico; Δ = (ρs/ρ - 1), la masa específica relativa ; g [m/s2], la aceleración de la gravedad, el parámetro de transporte es:

2

qs X = ────────── d3/2 (g Δ)1/2 El parámetro de flujo es: Δ d Y = ────────── μ h J en el cual queda implícita la tensión de corte, ya que, siendo H [m] el tirante de agua y J la pendiente energética, la expresión es igual a la inversa del parámetro adimensional de Shields θ. El parámetro μ, denominado coeficiente de rizos, es un factor de reducción que indica que sólo una parte de la tensión de corte total es relevante para el transporte sólido (aquella correspondiente a la rugosidad del grano o superficial). Se detallan separadamente algunas fórmulas de uso corriente en la ingeniería fluvial que interpretan el transporte de fondo, el transporte en suspensión y el transporte total. En todos los casos se trata de expresiones deducidas bajos condiciones de flujo uniforme y permanente, con material proveniente exclusivamente del lecho (sin carga de lavado).

4.1 - TRANSPORTE DE FONDO Meyer-Peter & Müller (1948)

X = 13,3 (Y-1 - 0,047)3/2 Con μ = [C / C']3/2 C = Coeficiente de Chezy para las condiciones de escurrimiento. C'= Coeficiente de Chezy relativo al grano (Ks = d90). d = dm Es el resultado de experiencias realizadas con sedimentos de tamaños d>0,4mm (con granulometrías uniformes y extendidas), en canales de laboratorio, con tirantes variables entre 0,10 m y 1,20 m y pendientes de fondo de 0,0004 a 0,02. Las aguas eran limpias, sin material sólido en suspensión. Se usa satisfactoriamente en ríos con lecho de gravas y arenas medianas a gruesas. Einstein (1950) Estudia la probabilidad de movimiento de una partícula simple, como función de su tamaño, forma y peso aproximado y de las características del flujo. Una partícula se moverá si la sustentación instantánea es mayor que su peso sumergido. El modelo probabilístico de Einstein considera el movimiento de partículas por trechos cuya longitud y frecuencia dependen de sus dimensiones, resultando el gasto salido del número y volumen de las mismas en movimiento. La probabilidad del traslado de las partículas puede referirse por una parte a la dimensión y el peso, el gasto sólido, y a un parámetro temporal D/ω equivalente

3

a la relación entre el diámetro y su velocidad de caída. Por otra parte también puede expresarse por la fuerza ejercida por el flujo respecto de la resistencia al desplazamiento de la partícula, considerando que la fuerza es proporcional al empuje por la velocidad del líquido a la distancia del fondo que limita la subcapa laminar. La expresión a la que arriba es: El coeficiente μ es corregido gráficamente, considerando Ks = d65 como rugosidad de grano equivalente. El tamaño característico es d = d35. El método es aplicable individualmente para cada fracción o rango de la curva granulométrica. En los gráficos 1 a 4 se incluye el procedimiento de cálculo que da solución a la expresión implícita planteada, la que se presenta en forma gráfica junto con los puntos experimentales obtenidos por dos muestras de diámetros medios 28,65 mm y 0,785 mm. Una información más detallada de esta metodología puede encontrarse en las publicaciones Sedimentation Engineering. (Vanoni,V.A. (ed.), ASCE Manual and Report of Engineering Practice No.54, 1977.); Sedimentation (Shen,S.W. Fort Collins, Colorado, 1972) e Hidráulica de Sedimentos (Aguirre Pé, J. Universidad de Los Andes, Cidiat, Mérida, 1983).

METODO DE EINSTEIN PARA LA DETERMINACION DEL TRANSPORTE DE FONDO

Gráfico 1 Relación entre el factor X de Einstein (1950) y ks/δ´ en la ecuación de

fricción logarítmica.

XXdte

Y

Y

t

5,4315,4311

2

2

2143,0

143,0 +≅− ∫

−

−

+

−π

4

Gráfico 2 Resistencia de las Formas de Fondo según Einstein y Barbarossa (1952)

Gráfico 3 Factores de corrección ξ, Y en el propcedimiento de Einstein (1950)

5

Gráfico 4 Gráfico experimental de Einstein para Sedimentos Agrupados en Clases según sus tamaños (1950)

PROCEDIMIENTO DE CALCULO CORRECCIÓN POR FORMAS DE FONDO 1-. Dado el radio hidráulico Rh, se adopta un valor de Rh´< Rh 2-. Se calcula la velocidad de corte referida a la rugosidad del grano

u*´ = (g Rh´J)1/2 δ´ = 11,6 ν/u*´

3-. d65/ δ´ → X (Gráfico 1) 4-. ψ´ = ∆ d35 / Rh´J → U/u*´´ (Gráfico 2) 5-. de u*´´ = (g Rh´´J)1/2 se obtiene Rh´´ 6-. si (Rh´ + Rh´´) ≠ Rh se repite el tanteo hasta que satisfaga la igualdad

CORRECCION POR EFECTOS VISCOSOS EN LAS PARTICULAS MAS FINAS Y CAMBIOS EN LA SUSTENTACION DE MEZCLAS 7-. d65/ δ´ → Y (Gráfico 3) 8-. d1/ X´ → ξ (Gráfico 3) con: X´ = 0,77 d65 / X si (d65 / X) / δ´ > 1,8 X´ = 1,39 δ´ si (d65 / X) / δ´ < 1,8 d1 diámetro medio de la clase o fracción de sedimentos para la que se realiza el cálculo 9-. β2 / βx

2 = 1.05 / (log[10,6 X´/ (d65 / X)]2 Para material uniforme se tiene: 7-. = 8-. = 9-. = 1

TRANSPORTE DE FONDO 10-. para ψ´ = ∆ d / Rh´J ψ∗ = ξ Y β2 / βx

2 ψ → φ* (Gráfico 4) φ* = qs / (g ∆)1/2 d3/2

6

Einstein-Brown (1950)

X = 100 Y-3 con μ= { [2/3 + 36 ν2 / g d40 (γs / γ - 1)]1/2 - [36 ν2 / g d40 (γs / γ - 1) ]1/2 }3 siendo ν la viscosidad cinemática del fluido d = d50 Es una modificación efectuada por Brown a una formulación efectuada por Einstein en 1942. Se recomienda para valores de θ > 0,09. Esta fórmula se basa en datos experimentales obtenidos para granulometrías variables entre 0,3 mm y 7 mm. Dado que ha sido extensamente probada por los especialistas, se recomienda su aplicación, al menos, con fines comparativos. Kalinske (1942) Kalinske supone que el transporte de fondo se desarrolla en una capa de espesor igual al diámetro.

X = 5 Y-1 e -0,27 Y El coeficiente de rizos es igual a la unidad, por lo que esta relación es válida para escurrimientos con lecho planos. Frijlink (1961) Frijlink (Delft-Holanda), presenta la particularidad de interpretar con mayor universalidad los acarreos, con datos de origen natural y de ensayos sobre modelos referidos a una gama muy diversa de materiales, a partir de:

µ = q/h (√hJ) 18 log10 12h/d90]3/2 obtiene:

X = e (1,61 - 0,27 Y) Shields (1936) La fórmula de Shields se basa en ensayos de laboratorio efectuados en dos canales rectangulares de 0,40 m y 0,80 m de ancho, respectivamente, con cinco clases de sedimentos, de masa especifica relativa variables entre 1,06 y 4,2. Los tamaños de grano (d50) varían entre 1,5 mm y 2,5 mm. Si bien se observaron formas de fondo, estas fueron poco significativas en cuanto a sus dimensiones y efectos. En general, las condiciones de ensayo corresponden a valores reducidos de la tensión de corte, posiblemente vinculadas a los estudios de inicio de arrastre, y no se recomienda efectuar extrapolaciones. Si se adopta como parámetro de Shields crítico el valor θ = 0,05, la formulación original puede expresarse en forma simplificada:

X = 10 A Y-3/2 (Y-1 - 0,05) donde A = [C / g1/2]

7

4.2 - ECUACIÓN QUE EVALÚA EL MOVIMIENTO DE LAS FORMAS DE FONDO En escurrimientos donde el caudal sólido de fondo se manifiesta a través del desplazamiento hacia aguas abajo de formas típicas como rizos y dunas, es posible evaluar el transporte a partir del movimiento de dichas formas de fondo. Una expresión simplificada, deducida de la ecuación diferencial de continuidad del sedimento, bajo el supuesto de que las dunas adoptan una forma aproximadamente triangular, de altura máxima A, que avanza a una velocidad media de Ud , es la siguiente:

qs = (1-n) Ud (A / 2) donde "n" es la porosidad de la arena. Este método, inicialmente analizado por Exner y aplicado por especialistas (ver por ejemplo, Sediment Transport Technology. de Simons,D. & Senturk,F. Water Resources Publications, Colorado, 1977 y la publicación Bed Load Movement of Ripples and Dunes. De Simons,D., Richardson,E.V. & Nordin,C.F.Jr. U.S. Geological Survey Professional Paper 462-H, 1965), puede conducir a resultados exitosos, cuando se dispone de equipos adecuados de sondeo para obtener las geometría y la velocidad de avance de las ondas. Es especialmente útil en grandes ríos como el Paraná, ya que la aplicación de fórmulas obtenidas en laboratorio no ha sido suficientemente verificadas en corrientes de esa escala. También se han verificado buenos resultados en las experiencias de laboratorio que se desarrollaron en el marco del Laboratorio de la Cátedra de Hidráulica Fluvial (UNLP).

4.3 - TRANSPORTE EN SUSPENSIÓN El factor que gobierna la suspensión del sedimento es la turbulencia. En el movimiento turbulento las velocidades varían en el tiempo tanto en magnitud como en dirección. Si u, v y w son las componentes en los ejes x, y y z de la velocidad instantánea en un punto y u v y w

− − −, son las de la velocidad

media, se tiene: 'uuu +=

−

'vvv +=−

(1)

'www +=−

donde:

''' , wyvu : fluctuaciones de las componentes de la velocidad. Una importante propiedad de la turbulencia relacionada con el transporte de sedimentos es su escala, que está relacionada con el tamaño medio de los vórtices que conforman la turbulencia. Se han desarrollado varias expresiones:

8

l R d=∞

∫ ( )ξ ξ0

(2)

R u x u x

u

( ) ( ) ( )' 'ξ

ξ=

+− 2 (3)

con: l : una medida del tamaño del remolino que genera la turbulencia, R(ξ): coeficiente de correlación que se mide en túneles de viento, u’(x) y u’(x + ξ): valor instantáneo de la fluctuación de la turbulencia longitudinal en las posiciones x y x+ξ. En los ríos no existe la posibilidad de hacer determinaciones directas del coeficiente de correlación R (ξ) pues no se han desarrollado aparatos a tal fin y no hay información sobre medidas del tamaño del vórtice (l) que genera la turbulencia. De cualquier forma, las observaciones visuales muestran que el tamaño de los vórtices varía con el tirante en forma directa, para constancia del resto de las variables.

4.3.1 - Gasto sólido en suspensión El gasto sólido suspendido qs por unidad de ancho -para escurrimiento uniforme y bidimensional- se expresa por:

∫=H

zzss dzCUq0

γ (4)

donde: qss: gasto sólido en suspensión entre el fondo (z = 0) y la superficie libre (z = H), Uz: velocidad para la altura z, Cz: concentración de sólidos suspendidos en peso a la altura z, γ: peso especifico de la mezcla agua-sedimento, H: tirante, y z: altura. El gasto Qs en la sección transversal se obtiene integrando la ecuación (4):

−

= CQQss γ (5) con: Q: gasto líquido, y C−: concentración media del sedimento.

Las dos ecuaciones precedentes son exactas y representan la base para la investigación teórica de los sólidos suspendidos y para los programas de mediciones de campo en la definición empírica del transporte en suspensión. La experiencia muestra que la distribución vertical de velocidades y de concentraciones en una sección varían con la energía del escurrimiento y con la rugosidad (Nordin y Dempster, 1963). En general, la concentración es mayor en las cercanías del fondo y se atenúa hacia la superficie libre, en tanto que la velocidad es máxima en las cercanías de la superficie libre y disminuye casi a 0

9

en el fondo. En realidad, existe una pequeña altura sobre y cerca del fondo bajo la que no hay suspensión. La estimación de este límite inferior de aplicabilidad de las ecuaciones enunciadas precedentemente es uno de los problemas aún no resueltos por la teoría de los sólidos en suspensión.

Figura1 Distribución de velocidades y concentraciones

4.3.2 - La difusión en el movimiento turbulento Los mecanismos de la difusión actúan en el transporte resultante de las fluctuaciones de velocidad debidas a la turbulencia y en la mezcla con el fluido en contacto. Cuando el lecho está compuesto por sedimentos finos, tan pronto como se inicie el movimiento de las partículas del fondo y la fluctuación de las componentes verticales de la velocidad superen el efecto de la gravedad, o sea, la velocidad de caída ω de las partículas, éstas se pondrán en suspensión.

ω>'w (6) Debido a la fluctuación turbulenta hay un intercambio continuo de partículas sólidas a través de cualquier límite arbitrario en el flujo (que le da un carácter difusivo a este escurrimiento) y la magnitud de este intercambio se caracteriza por el coeficiente de difusión o mezcla de sedimentos εs. Considerando un área unitaria paralela al fondo a una distancia z de él; el sedimento de tamaño uniforme cae con velocidad ω, de tal forma que la cantidad de sedimento que pasa hacia abajo a través del área unitaria es ω.C. Para mantener el perfil equilibrado la cantidad de sedimento depositándose deberá estar balanceada por una difusión turbulenta de sedimentos en suspensión con movimiento hacia arriba, en la dirección de la concentración decreciente.

4.3.3 - Aproximación general Para integrar la ecuación (4), Uz y Cz deben expresarse en función de z. La velocidad se aproxima con una ecuación logarítmica y la distribución de concentración relativa por una del tipo de gradiente de difusión. Keulegan (1938) halló que:

10

)(ln5,25,8* s

z

kz

UU

+= (7)

con: U* : velocidad de corte JhgU =* (8) y ks : altura de la rugosidad. En una primera aproximación, la cantidad de difusión en el sentido vertical hacia arriba está dada por el cambio de C y la ecuación de equilibrio será:

0=+dzdCC sεω (9)

Para integrar esta ecuación se debe plantear el coeficiente de difusión o mezcla de sedimentos εs como función de z. Generalmente se lo supone igual o directamente proporcional al coeficiente ε de mezclamiento turbulento o viscosidad cinemática de remolino que, para la distribución logarítmica de velocidades es:

)1(* hzzUKs −=≈ εε (10)

con: K = 0,4: constante universal de Karman. Sustituyendo (10) en (9) y separando las variables se llega a:

)1(.

*

hzz

dzUKC

dC

−−=

ω (11)

Haciendo:

αω=

*UK (12)

)1(hzz

dzCdC

−−= α (13)

2.)1( z

dz

zh

hCdC

−−=

α (14)

)1(

)1(

−=

zh

zdh

CdC α

(15)

11

)1(

)1(

−

−=

zh

zhd

CdC α

(16)

y:

)1(

)1(

−

−= ∫∫

zhzhd

CdC α (17)

α

−

=z

zhconstC . (18)

Conocida una concentración de referencia a la altura z=a, la (17) se puede escribir como:

)1(

)1(

−

−= ∫∫

zhzhd

CdC z

a

z

a

α (19)

α

−

−=

zzh

aha

CC

a

z . (20)

Combinando la (4), (7) y (20):

dzkz

zzh

ahaCUq

s

h

aass

+

−

−= ∫ 5,8ln5,2..*

α

γ se obtiene la (21).

La concentración Ca de referencia no ha sido evaluada, pero se han propuesto diferentes aproximaciones que permiten la integración de la ecuación (21). Para regímenes de alta turbulencia generalizada se permite aceptar que εs = ε = cte., resulta:

( )lnCC

dzz az

a s s

z

= − = − −∫ω

εωε

(22)

( )az

a

z seCC −−

= εω

(23)

con:

6*hUK

s =ε (24)

12

Introduciendo la (24) en la (23), queda:

( )azhUK

a

z eCC −−

= *

6ω

(25)

Figura 2 Distribución de la concentración como función de α Introduciendo la (12) en la (25), queda:

( )azh

a

z eCC −−

=α6

(26)

La Figura 2 muestra el gráfico realizado por Rouse de la ecuación (20), para a=0,1h en función de z/h. A partir de los resultados de Cz / Ca calculados para distintos valores de α puede establecerse el siguiente criterio interpretativo de la distribución de concentraciones en la vertical:

α=ω / K U* U*/ω Distribución en la vertical

> 1,6 1,6 0,8

0,25 0,06

< 1,5 1,5 3

10 40

No se aprecia suspensión. Se aprecia poca suspensión. Concentración significativa en superficie. Suspensión totalmente desarrollada. Concentración prácticamente uniforme.

Einstein, en 1950 integró la ecuación (21) asumiendo que a=2d (d: diámetro del grano del lecho) y que la concentración para el nivel a es igual a la concentración de material de diámetro d que se mueve como arrastre de fondo (y que se calcula con las ecuaciones ya vistas). Involucra además la modificación de la ecuación

13

(20) incluyendo un factor de corrección en la ecuación de la velocidad debido a la existencia de la subcapa laminar y una velocidad de corte efectiva U U*

'*< . El

concepto de velocidad de corte efectiva proviene de asumir que una parte de la tensión de corte total es resistida por las barras, dunas y otras formaciones de fondo y que solo la parte de la tensión de corte resistida por la rugosidad del grano es efectiva en el transporte del material del fondo. La ecuación (21) queda:

dzkz

zzhh

dhdCUq

sddss

]5,8)ln(5,2[.].2

2[*2

2+

−∫

−= αγ

y se obtiene la (27); con:

'*6,11 UUU a == δ (28)

la velocidad de corte efectiva para a=2d :

)5,212

(50

'*

log75,5dh

UU−

= (29), y

505,2 dks = (30), de acuerdo a la formula logarítmica de Chezi contenida en el denominador.

4.4 - TRANSPORTE TOTAL El transporte total puede ser determinado como suma del caudal de fondo más el de suspensión. Este tipo de procedimiento es el que se plantea en el método de Einstein.

qt = qss + qs = qs [ 2,30 I1 log (30,2 h / Λ) + I2 + 1 ]

I1 e I2 se obtienen gráficamente en función de η0 = a / h y de z = ϖ / (0,4 u*) Λ = d65 / X , en la cual X = 1 para contorno hidráulicamente rugoso Otros métodos, como el Einstein Modificado desarrollado por Colby & Hembree (1955), Colby (1957) y Toffaletti (1969), estiman el gasto sólido total a partir de datos medidos de concentraciones en la vertical. La información detallada de estas metodologías se encuentra en la publicación Sedimentation Engineering. Vanoni,V.A. (ed.), ASCE Manual and Report of Engineering Practice No.54, 1977). Por otra parte, existen expresiones empíricas que evalúan en forma directa el transporte total:

14

Engelund - Hansen (1967) A partir de los estudios de pérdidas de energía por resistencia de las formas de fondo, basándose en criterios de similitud, los autores desarrollaron la siguiente expresión:

X = 0,084 Y-5/2 con

μ = [C2/g]2/5 d = d50 Fue obtenida a partir de experiencias con arenas uniformes (d > 0,19 mm y σg < 1,6). Su uso se verificó satisfactoriamente en ríos de arenas finas (d50 < 1 mm) con material en suspensión, y fundamentalmente, cuando se cuenta con valores observados del coeficiente C. Si bien puede utilizarse tanto en escurrimientos en régimen inferior (rizos, dunas) como en régimen superior (antidunas), su mayor aplicación es en ríos en régimen inferior, especialmente en corrientes importantes y profundas (todos los datos utilizados indicaban Re* > 12), donde el caudal sólido de fondo es sólo del orden del 5 al 15 % del transporte total. En la práctica local se conocen buenas aproximaciones obtenidas en los ríos Paraná y Uruguay.

15

METODO DE EINSTEIN (1950)

Gráfico 5 Integrales I1 e I2 de Einstein (1950)

16