Parámetro estadístico 1

Parámetro estadístico

La media aritmética como resumen de la vejez de un país

En estadística se llama valorrepresentativo de la poblaciónparámetro estadístico, medidaestadística o parámetro poblacionala un valor representativo de unapoblación,[1] como la media aritmética,la proporción de individuos quepresentan determinada característica, ola desviación típica.[2]

Un parámetro es un número queresume la ingente cantidad de datosque pueden derivarse del estudio de una variable estadística.[3] El cálculo de este número está bien definido,usualmente mediante una fórmula aritmética obtenida a partir de datos de la población.[4] [5]

Los parámetros estadísticos son una consecuencia inevitable del propósito esencial de la estadística: modelizar larealidad.[6]

El estudio de una gran cantidad de datos individuales de una población puede ser farragoso e inoperativo, por lo quese hace necesario realizar un resumen que permita tener una idea global de la población, compararla con otras,comprobar su ajuste a un modelo ideal, realizar estimaciones sobre datos desconocidos de la misma y, en definitiva,tomar decisiones. A estas tareas contribuyen de modo esencial los parámetros estadísticos.Por ejemplo, suele ofrecerse como resumen de la "juventud" de una población la media aritmética de las edades desus miembros, esto es, la suma de todas ellas, dividida por el total de individuos que componen tal población.

Enfoque descriptivo

Gráficas de distribuciones normales para distintosvalores de sus dos parámetros

Un parámetro estadístico es, como se ha dicho, un número queresume una cantidad de datos. Este enfoque es el tradicional de laEstadística descriptiva.[7] [8] [9] En este sentido, su acepción seacerca a la de medida o valor que se compara con otros, tomandouna unidad de una determinada magnitud como referencia.

Por su parte, la facción más formal de la Estadística, la Estadísticamatemática y también la Inferencia estadística utilizan el conceptode parámetro en su acepción matemática más pura, esto es, comovariable que define una familia de objetos matemáticos endeterminados modelos. Así se habla, por ejemplo, de unadistribución Normal de parámetros μ y σ como de una determinadafamilia de distribuciones con una distribución de probabilidad deexpresión conocida, en la que tales parámetros definen aspectos concretos como la esperanza, la varianza, la curtosis,etc. Otro ejemplo común en este sentido es el de la distribución de Poisson, determinada por un parámetro, λ; o laDistribución binomial, determinada por dos parámetros, n y p. Para los ojos de la Estadística matemática el hecho deque estas distribuciones describan situaciones reales y los citados parámetros signifiquen un resumen de determinadoconjunto de datos es indiferente.

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ControversiaComo se ha dicho, los parámetros estadísticos, en el enfoque descriptivo que aquí se adopta, substituyen grandescantidades de datos por unos pocos valores extraídos de aquellos a través de operaciones simples. Durante esteproceso se pierde parte de la información ofrecida originalmente por todos los datos. Es por esta pérdida de datos porlo que la estadística ha sido tildada en ocasiones de una falacia. Por ejemplo, si en un grupo de tres personas una deellas ingiere tres helados, el parámetro que con más frecuencia se utiliza para resumir datos estadísticos, la mediaaritmética (del número de helados ingeridos por el grupo), sería igual a 1 ( ), valor que no parece

resumir fielmente la información. Ninguna de las personas se sentiría identificada con la frase resumen "he ingeridoun helado de media".[10]

Un ejemplo menos conocido, pero igual de ilustrativo acerca de la claridad de un parámetro es la distribuciónexponencial, que suele regir los tiempos medios entre determinados tipos de sucesos. Por ejemplo, si la vida mediade una bombilla es de 8.000 horas, más del 50% de las veces no llegará a esa media. Igualmente, si un autobús pasacada 10 minutos de media, hay una probabilidad mayor del 50% de que pase menos de 10 minutos entre un autobúsy el siguiente.Otro ejemplo que suele ofrecerse con frecuencia para argumentar en contra de la estadística y sus parámetros es que,estadísticamente hablando, la temperatura media de una persona con los pies en un horno y la cabeza en una neveraes ideal.

Benjamín Disraeli, un descreído de las estadísticas.

Quizás por situaciones como estas, que en general muestran unprofundo desconocimiento de lo que los parámetros representan enrealidad y de su uso conjunto con otras medidas de centralizacióno dispersión, el primer ministro británico Benjamín Disraelisentenció[11] primero y Mark Twain popularizó más tarde[12] lasiguiente afirmación:

Hay mentiras, grandes mentiras y estadísticas.Benjamín Disraeli

Hay otros personajes que también han advertido sobre lasimplificación que supone la estadística, como el profesor AaronLevenstein, quien afirmaba:

Las estadísticas son como los bikinis, lo que muestran essugerente, pero lo que esconden es vital.

Aaron LevensteinPor su parte, el escritor y comediante inglés Bernard Shaw

sentenció:[13]

La estadística es una ciencia que demuestra que si mi vecino tiene dos coches y yo ninguno, los dos tenemos uno.George Bernard Shaw;

o el personaje ficticio Homer Simpson de la popular serie de televisión Los Simpson en una entrevista acerca de lasproporciones en uno de sus capítulos:[14]

¡Oh!, la gente sale con estadísticas para probar cualquier cosa, el 14% del mundo lo sabe.Guionistas de la serie Los Simpson

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Propiedades deseables en un parámetroSegún Yule[15] un parámetro estadístico es deseable que tenga las siguientes propiedades:• Se define de manera objetiva, es decir, es posible calcularlo sin ambigüedades, generalmente mediante una

fórmula matemática. Por ejemplo, la media aritmética se define como la suma de todos los datos, dividida por elnúmero de datos. No hay ambigüedad: si se realiza ese cálculo, se obtiene la media; si se realiza otro cálculo, seobtiene otra cosa. Sin embargo, la definición de moda como el "valor más frecuente", puede dar lugar a confusióncuando la mayor frecuencia la presentan varios valores distintos.

• No desperdicia, a priori, ninguna de las observaciones. Con carácter general, un parámetro será másrepresentativo de una determinada población, cuántos más valores de la variable estén implicados en su cálculo.Por ejemplo, para medir la dispersión puede calcularse el recorrido, que sólo usa dos valores de la variable objetode estudio, los extremos; o la desviación típica, en cuyo cálculo intervienen todos los datos del eventual estudio.

• Es interpretable, significa algo. La mediana, por ejemplo, deja por debajo de su valor a la mitad de los datos, estájusto en medio de todos ellos cuando están ordenados. Esta es una interpretación clara de su significado.

• Es sencillo de calcular y se presta con facilidad a manipulaciones algebraicas. Se verá más abajo que unamedida de la dispersión es la desviación media. Sin embargo, al estar definida mediante un valor absoluto,función definida a trozos y no derivable, no es útil para gran parte de los cálculos en los que estuviera implicada,aunque su interpretación sea muy clara.

• Es poco sensible a las fluctuaciones muestrales. Si pequeñas variaciones en una muestra de datos estadísticosinfluyen en gran medida en un determinado parámetro, es porque tal parámetro no representa con fiabilidad a lapoblación. Así pues es deseable que el valor de un parámetro con esta propiedad se mantenga estable ante laspequeñas oscilaciones que con frecuencia pueden presentar las distintas muestras estadísticas. Esta propiedad esmás interesante en el caso de la estimación de parámetros. Por otra parte, los parámetros que no varían con loscambios de origen y escala o cuya variación está controlada algebraicamente, son apropiados en determinadascircunstancias como la tipificación.

Principales parámetrosHabitualmente se agrupan los parámetros en las siguientes categorías:Medidas de posición.[16]

Se trata de valores de la variable estadística que se caracterizan por la posición que ocupan dentro del rango devalores posibles de esta. Entre ellos se distinguen:• Las medidas de tendencia central: medias, moda y mediana.• Las medidas de posición no central: cuantiles (cuartiles, deciles y percentiles).Medidas de dispersión.[17]

Resumen la heterogeneidad de los datos, lo separados que estos están entre sí. Hay dos tipos, básicamente:• Medidas de dispersión absolutas, que vienen dadas en las mismas unidades en las que se mide la variable:

recorridos, desviaciones medias, varianza, desviación típica y meda.• Medidas de dispersión relativa, que informan de la dispersión en términos relativos, como un porcentaje. Se

incluyen entre estas el coeficiente de variación, el coeficiente de apertura, los recorridos relativos y el índice dedesviación respecto de la mediana.

Medidas de forma.[18]

Su valor informa sobre el aspecto que tiene la gráfica de la distribución. Entre ellas están los coeficientes deasimetría y los de curtosis.Otros parámetros.

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Además, y con propósitos más específicos, existen otros parámetros de uso en situaciones muy concretas, como sonlas proporciones, los números índice, las tasas y el coeficiente de Gini.

Medidas de posiciónLas medidas de posición son las más utilizadas para resumir los datos de una distribución estadística. Se trata devalores de la propia variable[19] que, en cierto modo, sustituyen la información provista por los datos.

Medidas de tendencia central o centralización

Son valores que suelen situarse hacia el centro de la distribución de datos. Los más destacados son las medias opromedios (incluyendo la media aritmética, la media geométrica y la media armónica), la mediana y la moda.

Media aritmética o promedio

La estatura media como resumen de una población homogénea (abajo) oheterogénea (arriba).

La media aritmética es, probablemente,uno de los parámetros estadísticos másextendidos.[20]

Dado un conjunto numérico de datos, x1, x2,..., xn, se define su media aritmética como

Esta definición varía, aunque no sustancialmente, cuando se trata de variables continuas.Sus propiedades son:[21]

• Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos.• Se interpreta como "punto de equilibrio" o "centro de masas" del conjunto de datos, ya que tiene la propiedad de

equilibrar las desviaciones de los datos respecto de su propio valor:

• Minimiza las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de cualquier valor prefijado, esto es, el valor de

es mínimo cuando . Este resultado se conoce como Teorema de König. Esta propiedad

permite interpretar uno de los parámetros de dispersión más importantes: la varianza.

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• Se ve afectada por transformaciones afines (cambios de origen y escala), esto es, si

entonces , donde es la media aritmética de los , para i = 1, ..., n y a y bnúmeros reales.

Este parámetro, aún teniendo múltiples propiedades que aconsejan su uso en situaciones muy diversas, tiene tambiénalgunos inconvenientes, como son:• Para datos agrupados en intervalos (variables continuas) su valor oscila en función de la cantidad y amplitud de

los intervalos que se consideren.• Es una medida a cuyo significado afecta sobremanera la dispersión, de modo que cuanto menos homogéneos son

los datos, menos información proporciona. Dicho de otro modo, poblaciones muy distintas en su composiciónpueden tener la misma media.[22] Por ejemplo, un equipo de baloncesto con cinco jugadores de igual estatura,1,95, pongamos por caso, tendría una estatura media de 1,95, evidentemente, valor que representa fielmente a estahomogénea población. Sin embargo, un equipo de estaturas más heterogéneas, 2,20, 2,15, 1,95, 1,75 y 1,70, porejemplo, tendría también, como puede comprobarse, una estatura media de 1,95, valor que no representa a casininguno de sus componentes.

• Es muy sensible a los valores extremos de la variable. Por ejemplo, en el cálculo del salario medio de un empresa,el salario de un alto directivo que gane 1.000.000 de € tiene tanto peso como el de mil empleados "normales" queganen 1.000 €, siendo la media de aproximadamente 2.000 €.

Moda

La moda es el dato más repetido, el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta.[23] En cierto sentido secorresponde su definición matemática con la locución "estar de moda", esto es, ser lo que más se lleva.Su cálculo es extremadamente sencillo, pues sólo necesita de un recuento. En variables continuas, expresadas enintervalos, existe el denominado intervalo modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de lavariable, se recurre a la interpolación.Sus principales propiedades son:• Cálculo sencillo.• Interpretación muy clara.• Al depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. Es por ello el parámetro más

utilizado cuando al resumir una población no es posible realizar otros cálculos, por ejemplo, cuando se enumeranen medios periodísticos las características más frecuentes de determinado sector social. Esto se conoceinformalmente como "retrato robot".[24]

Inconvenientes.• Su valor es independiente de la mayor parte de los datos, lo que la hace muy sensible a variaciones muestrales.

Por otra parte, en variables agrupadas en intervalos, su valor depende excesivamente del número de intervalos yde su amplitud.

• Usa muy pocas observaciones, de tal modo que grandes variaciones en los datos fuera de la moda, no afectan enmodo alguno a su valor.

• No siempre se sitúa hacia el centro de la distribución.• Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia

(distribuciones bimodales o multimodales).

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Mediana

La mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los datos, una vez que estos estánordenados de menor a mayor.[25] Por ejemplo, la mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias,cuyos respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1,1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la posición central es 2:

En caso de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la variable, por lo que seconviene en tomar como mediana el valor intermedio entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de docedatos como los anteriores:

Se toma como mediana

En este ejemplo basado en una tabla real de percentiles usada en pediatría, puedecomprobarse que una niña de 24 meses con un peso de 13 kg estaría en el

percentil 75º, esto es, su peso es superior al 75% de las niñas de su edad. Lamediana correspondería, aproximadamente, a 12 kg (intersección de la líneacurva más oscura con la línea horizontal correspondiente al valor 12 en el eje

vertical, para esa misma edad).

Existen métodos de cálculo más rápidos paradatos más numerosos (véase el artículoprincipal dedicado a este parámetro). Delmismo modo, para valores agrupados enintervalos, se halla el "intervalo mediano" y,dentro de este, se obtiene un valor concretopor interpolación.

Propiedades de la mediana como parámetroestadístico:[26]

• Es menos sensible que la media aoscilaciones de los valores de la variable.Un error de transcripción en la serie delejemplo anterior en, pongamos por caso, elúltimo número, deja a la medianainalterada.

• Como se ha comentado, puede calcularsepara datos agrupados en intervalos, inclusocuando alguno de ellos no está acotado.

• No se ve afectada por la dispersión. Dehecho, es más representativa que la mediaaritmética cuando la población es bastanteheterogénea. Suele darse esta circunstanciacuando se resume la información sobre lossalarios de un país o una empresa. Hayunos pocos salarios muy altos que elevanla media aritmética haciendo que pierdarepresentatividad respecto al grueso de lapoblación. Sin embargo, alguien con elsalario "mediano" sabría que hay tanta gente que gana más dinero que él, como que gana menos.

Sus principales inconvenientes son que en el caso de datos agrupados en intervalos, su valor varía en función de laamplitud de estos. Por otra parte, no se presta a cálculos algebraicos tan bien como la media aritmética.

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Medidas de posición no central

Directamente relacionados con la anterior, se encuentran las medidas de posición no central, también conocidascomo cuantiles. Se trata de valores de la variable estadística que dejan por debajo de sí determinada cantidad de losdatos. Son, en definitiva, una generalización del concepto de la mediana. Mientras que ésta deja por debajo de sí al50% de la distribución, los cuantiles pueden hacerlo con cualquier otro porcentaje.[27] Se denominan medidas deposición porque informan, precisamente, de la posición que ocupa un valor dentro de la distribución de datos.Tradicionalmente se distingue entre cuartiles, si se divide la cantidad de datos en cuatro partes antes de proceder alcálculo de los valores que ocupan cada posición; deciles, si se divide los datos en diez partes; o percentiles, quedividen la población en cien partes.Ejemplos: si se dice que una persona, tras un test de inteligencia, ocupa el percentil 75, ello supone que el 75% de lapoblación tiene un cociente intelectual con un valor inferior al de esa persona. Este criterio se usa por lasasociaciones de superdotados, que limitan su conjunto de miembros a aquellas que alcanzan determinado percentil(igual o superior a 98 en la mayoría de los casos).El ejemplo que se muestra en la imagen de la derecha es el correspondiente al cálculo inverso, esto es, cuando sedesea conocer el percentil correspondiente a un valor de la variable, en lugar del valor que corresponde a undeterminado percentil.Otras medidas de posición central son la media geométrica y la media armónica que, aunque tienen determinadaspropiedades algebraicas que podrían hacerlas útiles en determinadas circunstancias, su interpretación no es tanintuitiva como la de los parámetros anteriores.[28]

Comentarios sobre las medidas de posición

Este tipo de parámetros no tienen por qué coincidir con un valor exacto de la variable y, por tanto, tampoco puedenusarse con carácter general para hacer pronósticos. Por ejemplo, si se dice que la media aritmética de los hijos de lasfamilias de un país es de 1,2, no es posible encontrar familias con ese valor en concreto. Un segundo ejemplo: aninguna fábrica de zapatos se le ocurriría fabricar los suyos con tallas únicamente correspondientes al valorpromedio, ni siquiera tienen por qué ser estas tallas las más fabricadas, pues en tal caso sería más apropiado atendera la moda de la distribución de tallas de los eventuales clientes.La elección de uno u otro parámetro dependerá de cada caso particular, de los valores de la variable y de lospropósitos del estudio. Su uso indiscriminado puede ser deliberadamente tendencioso o involuntariamente sesgado,convirtiéndose, de hecho, en un abuso.[10] Puede pensarse, por ejemplo, en la siguiente situación: un empresariopublica que el salario medio en su empresa es de 1.600 €. A este dato, que en determinadas circunstancias podríaconsiderarse muy bueno, podría llegarse si la empresa tuviese cuatro empleados con salarios de 1.000 € mensuales yel salario del jefe, incluido en la media, fuese de 4.000 € al mes:[29]

Con carácter general y a modo de resumen podría decirse que la media aritmética es un parámetro representativocuando la población sigue una distribución normal o es bastante homogénea; en otras situaciones de fuertedispersión, habría que decantarse por la mediana. La moda es el último recurso (y el único) cuando de describirvariables cualitativas se trata.

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Medidas de dispersión

Diagrama de caja que muestra la dispersióngráficamente, usando los cuartiles como referencia.

Entre Q1 y Q3 (rango intercuartílico) se encuentran el50% de las observaciones.

Las medidas de posición resumen la distribución de datos, peroresultan insuficientes y simplifican excesivamente la información.Estas medidas adquieren verdadero significado cuando vanacompañadas de otras que informen sobre la heterogeneidad de losdatos. Los parámetros de dispersión miden eso precisamente,generalmente, calculando en qué medida los datos se agrupanentorno a un valor central. Indican, de un modo bien definido, lohomogéneos que estos datos son. Hay medidas de dispersiónabsolutas, entre las cuales se encuentran la varianza, la desviacióntípica o la desviación media, aunque también existen otras menosutilizadas como los recorridos o la meda; y medidas dedispersión relativas, como el coeficiente de variación, elcoeficiente de apertura o los recorridos relativos. En muchasocasiones las medidas de dispersión se ofrecen acompañando a unparámetro de posición central para indicar en qué medida los datosse agrupan en torno de él.[30]

Medidas de dispersión absolutas

Recorridos

El recorrido o rango de una variable estadística es la diferencia entre el mayor y el menor valor que toma la misma.Es la medida de dispersión más sencilla de calcular, aunque es algo burda porque sólo toma en consideración un parde observaciones. Basta con que uno de estos dos datos varíe para que el parámetro también lo haga, aunque el restode la distribución siga siendo, esencialmente, la misma.

Existen otros parámetros dentro de esta categoría, como los recorridos o rangos intercuantílicos, que tienen en cuentamás datos y, por tanto, permiten afinar en la dispersión. Entre los más usados está el rango intercuartílico, que sedefine como la diferencia entre el cuartil tercero y el cuartil primero. En ese rango están, por la propia definición delos cuartiles, el 50% de las observaciones. Este tipo de medidas también se usa para determinar valores atípicos. Enel diagrama de caja que aparece a la derecha se marcan como valores atípicos todos aquellos que caen fuera delintervalo [Li, Ls] = [Q1 - 1,5·Rs, Q3 + 1,5·Rs], donde Q1 y Q3 son los cuartiles 1º y 3º, respectivamente, y Rsrepresenta la mitad del recorrido o rango intercuartílico, también conocido como recorrido semiintercuartílico.[31]

Desviaciones medias

Dada una variable estadística X y un parámetro de tendencia central, c, se llama desviación de un valor de lavariable, xi, respecto de c, al número |xi - c|. Este número mide lo lejos que está cada dato del valor central c, por loque una media de esas medidas podría resumir el conjunto de desviaciones de todos los datos.Así pues, se denomina desviación media de la variable X respecto de c a la media aritmética de las desviaciones delos valores de la variable respecto de c, esto es, si

entonces

De este modo se definen la desviación media respecto de la media (c = ) o la desviación media respecto de lamediana (c = ), cuya interpretación es sencilla en virtud del significado de la media aritmética.[30]

Sin embargo, el uso de valores absolutos impide determinados cálculos algebraicos que obligan a desechar estosparámetros, a pesar de su clara interpretación, en favor de los siguientes.

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Varianza y desviación típica

Conjunto de datos estadísticos de mediaaritmética 50 (línea azul) y desviación típica 20

(líneas rojas).

Como se vio más arriba, la suma de todas las desviaciones respecto alparámetro más utilizado, la media aritmética, es cero. Por tanto si sedesea una medida de la dispersión sin los inconvenientes para elcálculo que tienen las desviaciones medias, una solución es elevar alcuadrado tales desviaciones antes de calcular el promedio. Así, sedefine la varianza como:[32]

,

o sea, la media de las desviaciones respecto de la media, al cuadrado.La desviación típica, σ, se define como la raíz cuadrada de la varianza, esto es,

Para variables agrupadas en intervalos, se usan las marcas de clase (un valor apropiado del interior de cada intervalo)en estos cálculos.Propiedades:[32]

• Ambos parámetros no se alteran con los cambios de origen.• Si todos los valores de la variable se multiplican por una constante, b, la varianza queda multiplicada por b2.

• En el intervalo se encuentran, al menos, el de las observaciones (véase

Desigualdad de Tchebyschev).[33]

Esta última propiedad muestra la potencia del uso conjunto de la media y la desviación típica como parámetrosestadísticos, ya que para valores de k iguales a 1 y 2, respectivamente, se obtiene que:

• En el intervalo están, al menos, el 75% de los datos.• En el intervalo están, al menos, el 89% de los datos.Se cumple la siguiente relación entre los parámetros de dispersión:

donde , y son, respectivamente, la desviación media respecto de la mediana, la desviación mediarespecto de la media y la desviación típica (véase Desviación media).

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Meda

Se llama meda o desviación mediana a la mediana de las desviaciones respecto de la media. Es una medida dedispersión que tiene, por su propia definición, las mismas propiedades que la mediana. Por ejemplo, no se veafectada por valores extremos o atípicos.[34] No se utiliza demasiado en estadística.

Medidas de dispersión relativa

Son parámetros que miden la dispersión en términos relativos, un porcentaje o una proporción, por ejemplo, de modoque permiten una sencilla comparación entre la dispersión de distintas distribuciones.[35]

Coeficiente de variación de Pearson

Se define como , donde σ es la desviación típica y es la media aritmética.

Se interpreta como el número de veces que la media está contenida en la desviación típica. Suele darse su valor entanto por ciento, multiplicando el resultado anterior por 100. De este modo se obtiene un porcentaje de lavariabilidad.Su principal inconveniente es que en el caso de distribuciones cuya media se acerca a cero, su valor tiende a infinitoe incluso resulta imposible de calcular cuando la media es cero. Por ello no puede usarse para variables tipificadas.

Coeficiente de apertura

Se define como el cociente entre los valores extremos de la distribución de datos, esto es, dada una distribución de

datos estadísticos x1, x2, ..., xn, su coeficiente de apertura, CA es

Se usa para comparar salarios de empresas.

Recorridos relativos

Dado Re, el recorrido de una distribución de datos estadísticos, el recorrido relativo, RR es , donde

es la media aritmética de la distribución.Dada una distribución de datos estadísticos con cuartiles Q1, Q2 y Q3, el recorrido intercuartílico relativo, RIQR se

define como[36]

Por otra parte, se define el recorrido semiintercuartílico relativo, RSIR, como

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Índice de desviación respecto a la mediana

Se define como , donde DMe es la desviación media respecto de la mediana y Me es la mediana de

una distribución de datos estadísticos dada.

Medidas de forma

La campana de Gauss, curva que sirve de modelo para el estudio de la forma deuna distribución.

Las medidas de forma caracterizan la formade la gráfica de una distribución de datosestadísticos. La mayoría de estos parámetrostiene un valor que suele compararse con lacampana de Gauss, esto es, la gráfica de ladistribución normal, una de las que con másfrecuencia se ajusta a fenómenos reales.

Medidas de asimetría

Se dice que una distribución de datosestadísticos es simétrica cuando la líneavertical que pasa por su media, divide a surepresentación gráfica en dos partessimétricas. Ello equivale a decir que losvalores equidistantes de la media, a uno uotro lado, presentan la misma frecuencia.

En las distribuciones simétricas los parámetros media, mediana y moda coinciden, mientras que si una distribuciónpresenta cierta asimetría, de un tipo o de otro, los parámetros se sitúan como muestra el siguiente gráfico:

Ello puede demostrarse fácilmente si se tiene en cuenta la atracción que la media aritmética siente por los valoresextremos, que ya se ha comentado más arriba y las definiciones de mediana (justo en el centro de la distribución,tomando el eje de abscisas como referencia) y moda (valor que presenta una ordenada más alta).Por consiguiente, la posición relativa de los parámetros de centralización pueden servir como una primera medida dela simetría de una distribución.Otras medidas más precisas son el coeficiente de asimetría de Fisher, el coeficiente de asimetría de Bowley y elcoeficiente de asimetría de Pearson.

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Medidas de apuntamiento o curtosis

Tres distribuciones con distintos grados de apuntamiento.

Con estos parámetros se pretende medircómo se reparten las frecuencias relativas delos datos entre el centro y los extremos,tomando como comparación la campana deGauss.El parámetro usado con más frecuencia paraesta medida es el coeficiente de curtosis deFisher, definido como:

,

aunque hay otros como el coeficiente de curtosis de Kelley o el coeficiente de curtosis percentílico.La comparación con la distribución normal permite hablar de distribuciones platicúrticas o más aplastadas que lanormal; distribuciones mesocúrticas, con igual apuntamiento que la normal; y distribuciones leptocúrticas, esto es,más apuntadas que la normal.[37]

Por último, existen otras medidas para decidir sobre la forma de una distribución con ajuste a modelos menos usualescomo los que se muestran en las siguientes gráficas:

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Otros parámetrosSe presentan en este apartado otros parámetros que tienen aplicación en situaciones muy concretas, por lo que no seincluyen entre los grupos anteriores, aunque tienen cabida en este artículo por su frecuente uso en medios decomunicación y su facultad de resumir grandes cantidades de datos, como ocurre con las medidas tratadas hastaahora.

Proporción

La proporción de un dato estadístico es el número de veces que se presenta ese dato respecto al total de datos. Seconoce también como frecuencia relativa y es uno de los parámetros de cálculo más sencillo. Tiene la ventaja deque puede calcularse para variables cualitativas.Por ejemplo, si se estudia el color de ojos de un grupo de 20 personas, donde 7 de ellas los tienen azules, laproporción de individuos con ojos azules es del 35% (= 7/20%).El dato con mayor proporción se conoce como moda (véase, más arriba).En inferencia estadística existen intervalos de confianza para la estimación de este parámetro.

Número índice

Un número índice es una medida estadística que permite estudiar las fluctuaciones o variaciones de una magnitud ode más de una en relación al tiempo o al espacio. Los índices más habituales son los que realizan las comparacionesen el tiempo. Algunos ejemplos de uso cotidiano de este parámetro son el índice de precios o el IPC[38]

Tasa

Coeficiente de Gini en el mundo (2007-2008)

La tasa es un coeficiente que expresa larelación entre la cantidad y lafrecuencia de un fenómeno o un grupode fenómenos. Se utiliza para indicar lapresencia de una situación que nopuede ser medida en forma directa.[38]

Esta razón se utiliza en ámbitosvariados, como la demografía o laeconomía, donde se hace referencia ala tasa de interés.

Algunos de los más usados son: tasa denatalidad, tasa de mortalidad, tasa de crecimiento demográfico, tasa de fertilidad o tasa de desempleo.

Coeficiente de Gini

El índice o coeficiente de Gini es un parámetro de dispersión usado para medir desigualdades entre los datos de unavariable o la mayor o menor concentración de los mismos.Este coeficiente mide de qué forma está distribuida la suma total de los valores de la variable. Se suele usar paradescribir salarios. Los casos extremos de concentración serían aquel en los que una sola persona acapara el total deldinero disponible para salarios y aquel en el que este total está igualmente repartido entre todos los asalariados.[39]

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MomentosLos momentos son una forma de generalizar toda la teoría relativa a los parámetros estadísticos y guardan relacióncon una buena parte de ellos.Dada una distribución de datos estadísticos x1, x2, ..., xn, se define el momento central o momento centrado deorden k como

Para variables continuas la definición cambia sumas discretas por integrales (suma continua), aunque la definiciónes, esencialmente, la misma.[40]

De esta definición y las propiedades de los parámetros implicados que se han visto más arriba, se deduceinmediatamente que:

y que

Se llama momento no centrado de orden k a la siguiente expresión:

De la definición se deduce que:

Usando el Binomio de Newton puede obtenerse la siguiente relación entre los momentos centrados y no centrados:

Los momentos de una distribución estadística la caracterizan unívocamente.[41]

Parámetros bidimensionalesEn estadística se estudian en ocasiones varias características de una población para compararlas, estudiar sudependencia o correlación o realizar cualquier otro estudio conjunto. El caso más común de dos variables se conocecomo estadística bidimensional.[42]

Un ejemplo típico es el de un estudio que recoja la estatura (denotémosla por X) y el peso (sea Y) de los n individuosde una determinada población. En tal caso, fruto de la recogida de datos, se obtendría una serie de parejas de datos(xi, yi), con i = 1, ..., n, cada una de las cuales estaría compuesta por la estatura y el peso del individuo i,respectivamente.En los estudios bidimensionales, cada una de las dos variables que entran en juego, estudiadas individualmente,pueden resumirse mediante los parámetros que se han visto hasta ahora. Así, tendría sentido hablar de la media de lasestaturas ( ) o la desviación típica de los pesos (σY). Incluso para un determinado valor de la primera variable, xk,cabe hacer estudios condicionados. Por ejemplo, la mediana condicionada a la estatura xk sería la mediana de lospesos de todos los individuos que tienen esa estatura. Se denota Me/x=xk.Sin embargo existen otros parámetros que resumen características de ambas distribuciones en su conjunto. Los másdestacados son el centro de gravedad, la covarianza y el coeficiente de correlación lineal.

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Centro de gravedad

Dadas dos variables estadísticas X e Y, se define el centro de gravedad como la pareja ( , ), donde y son, respectivamente, las medias aritméticas de las variables X e Y.El nombre de este parámetro proviene de que en una representación de las parejas del estudio en una nube de puntos,en la que cada punto tuviese un peso proporcional a su frecuencia absoluta, las coordenadas ( , )corresponderían, precisamente, al centro de gravedad como concepto físico.[43]

CovarianzaLa covarianza o varianza conjunta de una distribución bidimensional se define como:

La interpretación de este parámetro tiene que ver con la eventual correlación lineal de las dos variables. Unacovarianza positiva implica una correlación directa y una negativa, una correlación inversa.[44] Por otra parte, es unparámetro imprescindible para el cálculo del coeficiente de correlación lineal o los coeficientes de regresión, comose verá más abajo.En su contra tiene que se ve excesivamente influenciada, al igual que ocurría con la media aritmética, por los valoresextremos de las distribuciones y los cambios de escala.

Coeficiente de correlación lineal

Variación del coeficiente de correlación lineal en función de la nube de puntos asociada.

Se trata de un coeficiente que permitedeterminar la bondad del ajuste de lanube de puntos por una recta.

Se define como: , donde σxy es la covarianza y σx y σy, las desviaciones típicas respectivas de las

distribuciones implicadas.El coeficiente de correlación lineal toma valores entre -1 y 1. En esa escala, mide la correlación del siguiente modo:• La correlación lineal es más fuerte cuanto más cerca esté de -1 o 1.• La correlación lineal es más débil cuanto más próximo a cero sea r.[45]

El diagrama de la derecha ilustra cómo puede variar r en función de la nube de puntos asociada:Otros parámetros bidimensionales son, el coeficiente de correlación de Spearman, los coeficientes de correlación noparamétricos, el coeficiente de determinación o los coeficientes de regresión lineal.Al igual que con distribuciones unidimensionales, existe una forma equivalente de desarrollar la teoría relativa a losparámetros estadísticos bidimensionales usando los momentos.

Parámetro estadístico 16

Los parámetros en la inferencia estadísticaEn ocasiones los parámetros de una determinada población no pueden conocerse con certeza. Generalmente estoocurre porque es imposible el estudio de la población completa por cuestiones como que el proceso sea destructivo(p. e., vida media de una bombilla) o muy caro (p.e., audiencias de televisión). En tales situaciones se recurre a lastécnicas de la inferencia estadística para realizar estimaciones de tales parámetros a partir de los valores obtenidos deuna muestra de la población.[46]

Se distingue entonces entre parámetros y estadísticos. Mientras que un parámetro es una función de los datos de lapoblación, el estadístico lo es de los datos de una muestra. De este modo pueden definirse la media muestral, lavarianza muestral o cualquier otro párametro de los vistos más arriba.

Por ejemplo, dada una muestra estadística de tamaño n, , de una variable aleatoria X condistribución de probabilidad F(x,θ), donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución, se definiría la mediamuestral n-ésima como:

En el caso concreto de la varianza muestral, suele tomarse, por sus mejores propiedades como estimador, lasiguiente:

donde se ha tomado como denominador n-1, en lugar de n. A este parámetro también se le llama cuasivarianza.[47]

Véase también• Desigualdad de Tchebyschev, teorema que muestra la cantidad de datos que resumen conjuntamente la media

aritmética y la desviación típica.• Diagrama de caja, gráfico en el que se aprecian visualmente las características de algunos de los parámetros de

centralización, posición y dispersión.• Dispersión (matemática).• Estadística descriptiva. La teoría estadística relativa a los parámetros, tal y como se han expuesto en este artículo,

pertenece a esta especialidad matemática.• Estadística robusta.• Estadístico, concepto equivalente al de parámetro cuando se trata de una muestra.• Estimación de parámetros, diversos métodos para predecir el valor real de determinados parámetros poblacionales

cuando éstos no pueden conocerse mediante experiencias.• Intervalo de confianza, método para estimar el valor aproximado de un parámetro estadístico.• Parámetro, como objeto matemático.• Parámetros más comunes:

• Parámetros de centralización:• Media aritmética, media geométrica, media armónica,• Mediana,• Moda;

• Parámetros de dispersión:• Coeficiente de variación,• Desviación media,• Desviación típica,• Rango,

Parámetro estadístico 17

• Varianza;• Medidas de posición no central:• Otros parámetros:

• Asimetría estadística,• Coeficiente de Gini,• Curtosis,• Momento estándar,• Momento centrado,• Número índice,• Proporción,• Tasa (índice);

• Parámetros bidimensionales:• Correlación:

• Coeficiente de correlación de Pearson,• Coeficiente de correlación de Spearman,

• Población, como concepto estadístico.• Regresión estadística.

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