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MECNICA RACIONAL

1.- INTRODUCCIN 1.1.- Mecnica. La Mecnica es la parte de la Ciencia Fsica que estudia el estado de movimiento o reposo de los cuerpos rgidos bajo la accin de las fuerzas. En los estudios de Ingeniera no existe ninguna materia que juegue un papel ms importante que la mecnica. Puede decirse que los primeros estudios de esta materia constituyen los primeros trabajos de ingeniera. La investigacin y desarrollo de modernos del campo de las vibraciones, de la estabilidad, de la resistencia de las estructuras y mquinas, del funcionamiento de mquinas motrices, de la circulacin de fluidos, de los aparatos y mquinas elctricas, del comportamiento de molecular, atmico y subatmico, as mismo de planetas satlites, astros, galaxias, etc. dependen en gran parte de los principios fundamentales de la Mecnica. El conocimiento completo de stos es requisito previo absoluto para trabajar en stos y muchos campos. La Mecnica se divide lgicamente en dos partes, la esttica, que trata del equilibrio de los cuerpos bajo la accin de fuerzas (en la cual la suma de estas fuerzas es igual a cero), y la dinmica que trata del movimiento de los cuerpos. La dinmica incluye, a su vez, a la cinemtica, que estudia el movimiento de los cuerpos independientemente de las fuerzas que lo originan, y la cintica, que relaciona las fuerzas con los movimientos resultantes. La Mecnica terica concierne principalmente al fsico, mientras que la Mecnica aplicada atae al ingeniero. 1.2.- Conceptos fundamentales. Existen ciertas definiciones y conceptos que son fundamentales para el estudio de este curso y deben entenderse desde un principio. Espacio. El espacio es la regin geomtrica en la cual tienen lugar los sucesos. Utilizaremos la palabra espacio para hacer referencia a una regin tridimensional. Sin embargo, no es raro hacer referencia a un movimiento en una recta o en un plano, diciendo que tiene lugar en un espacio de una o dos dimensiones respectivamente. El concepto de espacio de n-dimensiones constituye un ingenio abstracto para describir la dependencia de n cantidades independientes. Sistemas de referencia. La posicin en el espacio se determina con relacin a un cierto sistema geomtrico de referencia mediante medidas lineales y/o angulares. El sistema de referencia bsico para las leyes de la Mecnica de Newton es el sistema inercial primario o sistema astronmico de referencia, que es un sistema imaginario de ejes rectangulares que se supone no tienen traslacin ni rotacin en

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el espacio. Las mediciones ensean que las leyes de la Mecnica de Newton son vlidas para este sistema de referencia mientras que las velocidades que intervengan sean despreciables frente a la de la luz (300.000 Km/s), ya que al aproximarse a esta hay que aplicar la Teora de la Relatividad. Las mediciones realizadas respecto de este sistema de referencia reciben el nombre de absolutas y a este sistema de referencia se le considera fijo en el espacio. Un sistema de referencia solidario a la superficie terrestre tiene un movimiento complicado respecto al sistema primario, y habr que aplicar las correcciones a las ecuaciones fundamentales de la Mecnica para las medidas realizadas respecto al sistema de referencia de la Tierra. En el clculo de trayectorias de cohetes y astronaves, por ejemplo, el movimiento absoluto de la Tierra constituye un parmetro importante. En la mayora de los problemas tcnicos de mquinas y estructuras que permaneces sobre la superficie terrestre, las correcciones son pequesimas y pueden despreciarse. Para estos problemas se pueden aplicar directamente las leyes de la Mecnica con las medidas realizadas relativas a la Tierra y, desde el punto de vista prctico, dichas medidas pueden considerarse absolutas. Tiempo (Intervalo de).- Un Intervalo de Tiempo es una medida de la sucesin de acontecimientos y en la Mecnica Clsica o de Newton, se le considera una cantidad absoluta, y es una variable independiente. En la Teora de la Relatividad (Einstein), es una variable dependiente. Si bien es cierto, existen distintas medidas para cuantificar un intervalo, como la semana, el ao, el siglo, la hora, el mes, etc., el Sistema Internacional (SI) adopta como medida el segundo [s], que es una fraccin conveniente del perodo de rotacin de la Tierra. Fuerza.- La fuerza es la accin de un cuerpo sobre otro. Una fuerza puede desplazar un objeto en la direccin de su accin sobre dicho cuerpo. Materia.- La materia es la sustancia que ocupa el espacio. Un cuerpo es materia limitada por una superficie cerrada. Inercia. La inercia es una propiedad de la materia por la cual se resiste a cambiar su estado de movimiento. Una versin ms moderna surgida del desarrollo de la Mecnica Cuntica dice que la inercia es una cuantificacin de la masa. Masa.- La masa es una medida cuantitativa de la inercia. La masa es, tambin una propiedad de todo cuerpo que siempre va acompaada por la atraccin mutua con los dems cuerpos. Partcula.- Se llama partcula a un cuerpo de dimensiones despreciables. Cuando las dimensiones de un cuerpo no influyen en la descripcin de su movimiento, puede tratarse un cuerpo como si fuera una partcula. En otros casos, una partcula podr considerarse como un elemento diferencial de un cuerpo. Cuerpo Rgido.- Se conoce por cuerpo rgido al que no tiene deformacin relativa entre sus partes. Esta es una condicin ideal, ya que todos los cuerpos reales cambian de forma hasta cierto punto cuando se les somete a fuerzas. Cuando son

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despreciables estos cambios de forma frente a los cambios de posicin del cuerpo en su conjunto, es permisible la hiptesis de rigidez. Un cuerpo se considera deformable cuando las relaciones entre las fuerzas aplicadas y las deformaciones resultantes constituyen al tema de estudio. 1.3.- Escalares y vectores. Las cantidades de las que se ocupa la Mecnica son de tres tipos: escalares, vectoriales y tensoriales, estas ltimas no se abordarn en este curso. Una cantidad escalar es la que tiene asociada solamente una magnitud. Son ejemplos de escalares el tiempo, el volumen, la densidad, la rapidez, etc. y cualquier magnitud en la que su orientacin espacial no tenga ninguna importancia, por ejemplo la edad de una persona no tiene que ver con norte ni sur, ni con arriba o abajo. Una cantidad vectorial es la que tiene asociadas adems de una magnitud, una direccin (lnea recta en la que acta) y un sentido (hacia qu parte de la recta acta). Son ejemplos de cantidades vectoriales el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin, la fuerza, el momento, la cantidad de movimiento, etc. y en general todas aquellas en las que la orientacin espacial tiene importancia. 4. Leyes de Newton. Sir Isaac Newton fue el primero en enunciar correctamente los principios fundamentales que rigen el movimiento de una partcula y en demostrar su validez.

Primera. Una partcula sobre la cual no acte ninguna fuerza y/o que no est equilibrada, o permanece en reposo o sigue un movimiento rectilneo uniforme.

Segunda. La aceleracin de una partcula es proporcional a la fuerza resultante que acta sobre ella, y tiene la direccin y el sentido de dicha fuerza.

Tercera. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza llamada accin, sobre otro, este a su vez, ejerce sobre el primero una fuerza llamada reaccin, de igual mdulo y direccin, pero de sentido contrario.

1.5.- Unidades. 1.6.- Precisin lmites y aproximaciones.- El nmero de cifras significativas que se consiguen en un resultado no debe ser mayor que el que corresponde al mnimo nmero de cifras significativas de los datos. As, el rea de la seccin recta de un eje cuyo dimetro es 0,25 cm se midi con la aproximacin de una centsima de centmetro, deber escribirse igual a 0,049 cm2 y no 0,0491 cm2 como resultara al multiplicar los nmeros. Cuando los clculos conduzcan a pequeas diferencias entre las cantidades grandes, deber lograrse una precisin lo mayor posible. As, ser necesario conocer los nmeros 4,2503 y 4,2391 con una precisin de cinco cifras

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significativas. En algunos clculos largos suele ser difcil saber al principio el nmero de cifras significativas que deben tener los datos originales para asegurar una cierta precisin en la respuesta. El orden de las cantidades infinitesimales suele generar confusin a los estudiantes que aplican por primera vez el clculo diferencial, los infinitsimos de orden superior se pueden siempre despreciar ante los de orden inferior. Por

ejemplo, el elemento de volumen V de un cono recto de revolucin de altura h y con radio r en la base pueden considerarse como una rebanada circular situada a

una distancia x del vrtice y de espesor x. puede verificarse que la expresin completa del volumen del elemento se puede escribir de la forma:

322

2

2

3

1rV xxxxx

h

Puede verse que al pasar al lmite de V a dV y de x a dx, los trminos en los que figuran (x)2 y (x)3 desaparecen, quedando simplemente

dxxh

d 22

2rV

que es una expresin exacta. Al emplear funciones trigonomtricas de cantidades infinitesimales conviene llamar la atencin acerca de las siguientes relaciones que son ciertas en el lmite

sen d = tg d = d cos d = 1

El ngulo d se supone medido en radianes. Al tratarse de ngulos pequeos aunque finitos suele ser conveniente sustituir el seno por la tangente o una de

dichas funciones por el propio ngulo. Estas aproximaciones, sen = y tg = , equivalen a conservar solamente el primer trmino del desarrollo de la serie del seno y de la tangente. Si se desea una aproximacin mayor habr que conservar los dos primeros trminos de la serie del seno y de la tangente, con lo que se

tendr sen = 3/6 y tg = + 3/3. Como ejemplo de primera aproximacin para el ngulo, en el caso de 1, es solamente 0,005%. Para 5 el error es de 0,13%, y para 10 el error es solamente del 0,51%. Anlogamente, para ngulos pequeos el coseno podr expresarse aproximadamente por los dos primeros trminos de su desarrollo en serie, lo que nos da cos = 2/2. 1.7.- Descripcin de los problemas de Esttica. El estudio de la Esttica est dirigido a la descripcin cuantitativa de las fuerzas que se ejercen sobre las estructuras de ingeniera. Las matemticas establecen las relaciones entre las diversas cantidades que intervienen y permiten predecir, a partir de estas relaciones, los efectos que se producen. El estudiante debe reconocer la necesidad de un proceso dual de pensamiento. Debe pensar con arreglo a la situacin fsica y tambin de acuerdo con la descripcin matemtica correspondiente. El estudio de todo problema requerir la transicin repetida del

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punto de vista fsico al punto de vista matemtico. Esta es una gran dificultad para el estudiante, la de vincular los dos procesos mentales. Al construir el modelo matemtico idealizado para un problema tcnico dado, siempre se harn ciertas aproximaciones. Algunas de estas sern de ndole matemtica y otras de ndole fsica. Por ejemplo ser necesario, a veces, despreciar distancias, ngulos o fuerzas pequeas comparadas con distancias, ngulos o fuerzas mucho mayores. El estudiante deber estar constantemente atento a las diversas hiptesis que se hagan para la formulacin de los problemas reales, segn un modelo matemtico. La habilidad de comprender y utilizar las hiptesis apropiadas en la formulacin y solucin de problemas tcnicos es, ciertamente, una de las caractersticas ms importantes de un buen ingeniero. Las grficas constituyen tambin un medio importante de descripcin en Mecnica y son tiles en tres aspectos. Primero, permite la representacin de un sistema fsico sobre un papel mediante un esquema o diagrama. La representacin geomtrica es vital para la interpretacin fsica y ayuda en gran manera a visualizar los aspectos tridimensionales de muchos problemas. Segundo, las grficas ofrecen a menudo un medio para resolver relaciones fsicas sin recurrir a una solucin algebraica. Las soluciones grficas no solo proporcionan medios prcticos para obtener los resultados, sino que ayudan mucho a realizar la transicin del pensamiento entre la situacin fsica y la expresin matemtica, pues ambas estn representadas simultneamente. Un tercer empleo de las grficas es la representacin de los resultados sobre diagramas o curvas que constituyen una ayuda incalculable para la interpretacin. Como ocurre con todos los problemas tcnicos, es esencial un mtodo de ataque eficaz para los problemas. Cada solucin deber seguir un orden lgico de pasos que llevarn de la hiptesis a la conclusin y su representacin deber incluir una exposicin clara de las partes siguientes, identificando cada una sin dejar dudas:

1. Datos conocidos 2. Resultados buscados 3. Diagramas necesarios 4. Clculos 5. Respuestas y conclusiones.

Adems conviene incorporar en el proceso de solucin los clculos intermedios necesarios y suficientes para la comprensin del desarrollo. Debe observarse constantemente la precisin, la homogeneidad dimensional y si son o no razonables las cantidades numricos en cada trmino. Tambin es importante que la distribucin y el trabajo sean limpios y ordenados. Los desarrollos y soluciones que no puedan ser ledas fcilmente, carecen de valor o poseen muy poco. A veces, los problemas que aparenten ser muy difciles, con un buen grfico y orden se simplifican mucho.

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La Esttica en particular est basada en una cantidad muy mnima de conceptos bsicos, pero implica la aplicacin de estos a una enorme diversidad de situaciones. Al aplicar los en un grfico las fuerzas que actan sobre un cuerpo, es esencial que el cuerpo est aislado de los dems cuerpos con los que interacta, con lo que se podr construir una relacin precisa de todas las fuerzas que actan sobre este cuerpo. Este diagrama que debe estar en el papel o en la pantalla del ordenador, y en la mente, se llama Diagrama de cuerpo libre (DCL). Este mtodo es clave para la comprensin de la situacin o problema que se est estudiando. El aislamiento del cuerpo separa claramente la causa del efecto. La solucin simblica tiene ventajas por sobre la solucin numrica directa de los problemas. La utilizacin de smbolos permite una comprobacin dimensional que puede hacerse paso a paso y permite en los casos de grupos de valores diversos para un mismo problema, y en caso de variantes de un problema realizar los clculos con muy poca dificultad. Se recomienda, en general, resolver los problemas desde un comienzo en forma simblica y reemplazar los valores numricos slo al final.