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Introducción a la Metalúrgica Mecánica

Jorge Luis González Velázquez

Desde tiempos remotos, el desarrollo de la sociedad ha estado íntimamente ligado al desarrollo de los materiales y en especial de los metales. Basta recordar que algunas de las eras más importantes de la civilización se identifican por el metal que sirvió de base para la fabricación de objetos de trabajo y armamentos para la guerra; así tenemos a la Edad del Bronce, la Edad del Hierro y la época actual, que bien podría llamarse la Edad del Acero, el Concreto, el Plástico y los Semiconductores.

El descubrimiento y dominio en el trabajo de los metales ha sido la pauta para el éxito de muchas empresas del ser humano y a lo largo de la historia se destacan hazañas metalúrgicas como la Espada de Damasco del conquistador Alejandro el Grande, considerada irrompible y que investigaciones de la Arqueometalurgia, han demostrado que estaba hecha de un acero alto carbono, con un tratamiento termomecánico muy similar al ausformado moderno. Otro ejemplo lo constituyen las espadas de los Samurais japoneses, cuyo proceso de forjado conduce a la formación de microestructuras laminares, que la metalurgia moderna ha descubierto que aportan una elevada resistencia.

Muchos de estos materiales antiguos eran considerados mágicos o divinos y eran producidos de manera artesanal; pero los secretos de su fabricación fueron celosamente guardados a través de generaciones hasta desaparecer en el olvido; algunos otros, se volvieron del dominio público y fueron perfeccionándose con el tiempo. Estos últimos materiales fueron los que precisamente se convertirían en los materiales de ingeniería y con la Revolución Industrial serían producidos en escala masiva para acelerar el progreso de la humanidad hasta los niveles actuales.

En el contexto moderno, la Ingeniería Metalúrgica es la encargada de aplicar la física, la química, la matemática, y la economía para proveer a la sociedad de los metales que demanda para su desarrollo. Para llevar a cabo su actividad, el ingeniero metalúrgico se apoya en los conocimientos desarrollados por los científicos, para mejorar los procesos de producción existentes, producir nuevas aleaciones y optimizar las aplicaciones para los metales que produce, haciendo de la ingeniería una Ciencia Aplicada. Sin embargo, en la práctica, el ingeniero es más bien visto como un resolvedor de problemas y para ello no sólo se basa en la ciencia, sino que también hace uso de su experiencia, intuición y sentido común, tal y como lo hacían sus colegas hace dos mil años.

Dentro de la Ingeniería Metalúrgica, la Metalurgia Mecánica es una disciplina fundamental, pues tiene que ver principalmente con las operaciones que dan forma y propiedades en la fabricación de piezas metálicas y con la evaluación de su desempeño en servicio. En su aspecto teórico; básicamente es una ciencia que se dedica al estudio de los

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mecanismos de deformación y fractura y a su vez estudia las características estructurales y microestructurales que aportan las propiedades mecánicas de los metales. El resultado de estos estudios es el establecimiento de teorías y leyes, muchas veces expresadas en forma matemática, que determinan las relaciones entre las características intrínsecas de los metales y el comportamiento observado bajo la acción de fuerzas externas. Muchos de los principios y teorías de la Metalurgia Mecánica son empleados para el diseño y procesamiento de metales y por lo mismo están íntimamente ligadas con la práctica de la ingeniería. Para el ingeniero metalúrgico, la Metalurgia Mecánica es una herramienta que le proporciona las bases para analizar y comprender el comportamiento de las piezas metálicas que fabrica, cuando éstas son sometidas a cargas.

La Metalurgia Mecánica y la Ingeniería

El ingeniero metalúrgico es quien normalmente estudia la Metalurgia Mecánica, sin embargo, otras ingenierías como la Mecánica y la Civil, tienen que ver muy de cerca con esta materia. En el campo científico, los metalúrgicos y los físicos dedicados a la Ciencia de Materiales, son quienes se abocan al estudio de los tópicos de la Metalurgia Mecánica. Esta cualidad interdisciplinaria de la Metalurgia Mecánica se debe al hecho de que la utilidad y calidad de un componente están íntimamente ligados a la resistencia del material de fabricación; así, es lógico que al ingeniero civil le interese si el acero con que construirá un edificio resistirá las cargas al que estará sometido y al ingeniero mecánico le preocupe que la maquinaria que ha diseñado, no falle por causa de la deformación o fractura de una de sus partes metálicas. Los ingenieros metalúrgicos y los profesionistas dedicados a la ciencia de materiales son, básicamente proveedores de materiales para las otras ingenierías y por lo tanto su función es buscar aquellos materiales que tengan las propiedades que los ingenieros reclaman o de lo contrario, informarlos acerca de la resistencia máxima del material.

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En el campo científico, la Metalurgia Mecánica estudia el comportamiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas.(Campo de esfuerzos visto por fotoelasticidad)

En la época actual, la industria reclama con intensidad cada vez mayor, materiales que se desempeñen satisfactoriamente en condiciones adversas, a costos accesibles y con menor impacto al ambiente, lo cual requiere del esfuerzo coordinado de grupos de personas con funciones específicas. Estos grupos los constituyen precisamente los científicos, los ingenieros y los técnicos y sus funciones son:

Científicos:

Estudian el comportamiento de los materiales y tratan de explicar el por qué de las propiedades mecánicas de, los materiales en función de su estructura, defectos, interacciones con el ambiente, efecto de la temperatura, etc. También exploran la obtención de nuevos materiales a partir de procesos novedosos y caracterizan sus propiedades. Un número cada vez mayor de científicos en materiales y metalurgia trabajan en laboratorios y plantas industriales resolviendo problemas prácticos, sin embargo, todavía se considera que el principal papel de un científico es el de generar conocimientos, lo que ha llevado a que otra proporción importante de científicos hagan solamente una carrera para realizar y publicar investigaciones, cuya aplicación práctica no es inmediata u obvia.

Una de las aplicaciones prácticas más importantes de la Metalurgia Mecánica, es en la evolución y análisis de falta de componentes en servicio.

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Ingenieros:

Aplican el conocimiento obtenido por los científicos para producir los objetos, estructuras y máquinas que demandan la industria y la sociedad en general. Los ingenieros metalúrgicos, desarrollan los procesos para la producción de los materiales y se aseguran que los materiales se desempeñen adecuadamente en el servicio. Aunque su herramienta principal de trabajo es el conocimiento científico, los ingenieros con frecuencia recurren al criterio ingenieril, que es una combinación de experiencia c intuición, para cubrir los huecos en el conocimiento. Cuando ni el conocimiento científico ni el criterio ingenieril son suficientes para garantizar un diseño, los ingenieros hacen uso de los famosos factores de seguridad, que son un exceso en las dimensiones, resistencia del material o una disminución de las cargas permitidas, que permiten tener cierta confianza en el desempeño de los materiales cuando se sospecha la existencia de defectos y sobrecargas.

Técnicos:

Supervisados por los científicos e ingenieros, llevan a cabo las tareas prácticas tales como pruebas de laboratorio, operación de equipos industriales y la inspección en la producción y en el servicio. Generalmente no requieren de mayores conocimientos acerca del comportamiento y propiedades de los materiales, pero su contacto continuo con estos los lleva a aportar con no poca frecuencia ideas para el mejoramiento de los materiales.

La Metalurgia Mecánica, en el sentido en que es trata en las aulas y libros de texto, es una ciencia, pero en el sentido de su aplicación práctica es una rama de la ingeniería y consecuentemente abarca una serie de técnicas. En el contexto científico, la Metalurgia Mecánica busca comprender y ampliar el conocimiento acerca de la respuesta de los materiales metálicos a la acción, de las fuerzas que actúan dentro y fuera de él. En la ingeniería, la Metalurgia Mecánica se aplica en el desarrollo y control de los procesos de producción que modifican la forma física y las propiedades mecánicas durante la fabricación de partes metálicas, y también se aplica en la evaluación del desempeño de componentes estructurales y mecánicos en servicio, desde su puesta en operación y hasta el fin de su vida útil. Desde el punto de vista técnico, quizá la aportación más importante de la Metalurgia Mecánica es el desarrollo de las diferentes pruebas de evaluación de propiedades mecánicas, destacando entre otras: el ensayo de dureza, el ensayo de tensión y las pruebas de la Mecánica de Fractura.

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Este esfuerzo combinado de científicos, ingenieros y técnicos dedicados a la Metalurgia Mecánica ha contribuido a avances espectaculares como son: el desarrollo de superaleaciones con estructuras monocristalinas, empleadas en la fabricación de turbinas de alta eficiencia y el desarrollo de materiales compuestos reforzados con fibras que presentan combinaciones superlativas de alta resistencia con bajo peso; desarrollos que han permitido romper marcas de velocidad en aviones supersónicos. Otros desarrollos menos espectaculares, pero quizá de mayor beneficio industrial y general, son por ejemplo , los aceros microaleados desarrollados en los años setentas. Estos aceros fueron el resultado de extensas investigaciones, que llevaron al hallazgo de que un grano muy fino, producido por la adición de pequeñas cantidades de aleantes que aportan una alta resistencia al acero pero sin sacrificar su ductilidad, lo que permitió la construcción de oleoductos gigantes en zonas muy frías donde el comportamiento frágil de los aceros tradicionales era un problema. Estos aceros son obtenidos a costos competitivos y en cantidades suficientes para satisfacer la demanda de la industria petrolera y posteriormente fueron aplicados a otras industrias como la naval y la automotriz, para la fabricación de partes de mayor ligereza y durabilidad. Los estudios de la transición al comportamiento frágil de los aceros a temperaturas moderadamente bajas (cercanas a los cero grados centígrados), realizados décadas antes, eliminaron del panorama tragedias navales como la del Titanic, cuyo hundimiento se debió a la baja resistencia a la fractura del acero con que se fabricó, lo que permitió que se formaran largas fisuras en su casco al golpear un iceberg. Un barco moderno probablemente solo hubiera resultado abollado con un impacto similar.

El campo de la Metalurgia Mecánica

La Metalurgia Mecánica es la parte de la física que se refiere al estudio de la relación entre las cargas externas que actúan en un cuerpo sólido las fuerzas internas y deformaciones que se producen como resultado de esta acción. Es mecánica, porque se refiere al análisis de las fuerzas y sus reacciones en un cuerpo, sin importar las causas que las producen y sin alterar la materia y es metalurgia, porque se enfoca al estudio de cuerpos metálicos.

El comportamiento de los sólidos metálicos cuando son sometidos a la acción de las cargas o tracciones externas es por lo tanto el campo de la Metalurgia Mecánica, dividiendo este campo para su estudio en tres partes:

Comportamiento Macroscópico

El comportamiento macroscópico es la respuesta del cuerpo como un todo, a la acción de las cargas. Para realizar el análisis se considera que el cuerpo es un sólido, continuo, homogéneo e inicialmente isotrópico. En términos simples, estas consideraciones significa que el cuerpo está hecho de una misma sustancia, que no contiene vacíos y que sus propiedades son las mismas en todas direcciones. Esto no es completamente realista, ya que como sabemos, todos los sólidos contienen huecos, cavidades, etc.; no necesariamente están hechos de una misma sustancia y sus propiedades varían según la dirección en que se evalúen, pero como la magnitud de estas desviaciones no son significativas cuando se comparan con las dimensiones reales del cuerpo, los análisis realizados son razonablemente válidos. La magnitud de la reacción del cuerpo a la acción de las cargas aplicadas es el esfuerzo; el resultado de la existencia del esfuerzo es la deformación y gracias a las

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consideraciones de continuidad, homogeneidad e isotropía, es posible establecer las relaciones entre el esfuerzo y la deformación, basándose en los principios de la mecánica clásica, que son: el equilibrio , la ley de acción, reacción y el álgebra vectorial. A esta parte de la mecánica se le llama Mecánica del Medio Continuo. Es muy común que a la mecánica del medio continuo también se le conozca como "resistencia de materiales", pero este termino es impreciso, ya que lo que encontramos en un texto de resistencia de les son más bien métodos y fórmulas para el cálculo del esfuerzo en estructuras de formas definidas, tales como vigas, columnas, tubos, etc. La resistencia de materiales se estudia precisamente en el campo de la Metalurgia Mecánica o en todo caso en la Ciencia de Materiales.

Mecanismos de Deformación y Endurecimiento

La segunda parte de la Metalurgia Mecánica, estudia la manera cómo ocurre la deformación en los sólidos y los mecanismos que originan la resistencia de los materiales. Estos tópicos se conocen como: Mecanismos de Deformación y Endurecimiento. En este caso, el análisis ya no se puede basar más en la mecánica del medio continuo, debido a que precisamente los mecanismos de deformación y endurecimiento dependen de la constitución interna del metal y el análisis necesariamente es llevado a un nivel microscópico. La deformación plástica de los materiales es resultado del movimiento de defectos, por lo que el conocimiento de la cristalografía, la micromecánica de los defectos cristalinos y de la constitución microestructural de los materiales es indispensable. El objetivo final de esta parte de la Metalurgia Mecánica, es comprender cómo ocurre la deformación plástica y cuál es el origen de la resistencia mecánica, para así desarrollar los materiales y tratamientos que aporten las propiedades buscadas en éstos. El desarrollo de la tecnología requiere de materiales que tengan la combinación de propiedades mecánicas esperadas. Para realizar este diseño de una manera más eficiente es necesario comprender el origen de la resistencia mecánica de los materiales y la manera en que se deforman y fracturan. En otras palabras, la Metalurgia Mecánica estudia el por qué de la resistencia, ductilidad o tenacidad de un metal en función de su estructura cristalina, su microestructura y la temperatura en que se encuentra, aportando las bases para el diseño de tratamientos térmicos, mecánicos y nuevos materiales.

El diseño de procesos de conformado de metales, es parte del campo de la Metalurgia Mecánica. (simulador de laminación desarrollado por el Instituto Politécnico Nacional)

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Fractura

Finalmente, en la tercera parte de la Metalurgia Mecánica se estudia la fractura que es la etapa final del proceso esfuerzo-deformación y por lo tanto, significa el fin del servicio de una pieza o el límite máximo al cual se le puede deformar. La fractura para su estudio es nuevamente dividida en dos partes: La Mecánica de la Fractura, que se dedica al estudio de las condiciones de carga, tamaño de grieta y geometría del cuerpo que conducen a la fractura, y la Fractografía, que es el estudio de los mecanismos de fractura y en base a las características de las superficies de fractura. La importancia del estudio de la fractura, es que en base a ella no sólo se pueden diseñar materiales más resistentes, sino que también se puede determinar el límite de tolerancia de grietas en estructuras y predecir su vida útil cuando ésta es determinada por la rapidez de crecimiento de las grietas. Esta capacidad es por demás conveniente si consideramos que en la práctica la generación de grietas durante la fabricación o en servicio es inevitable.

Conceptos Básicos de la Metalurgia Mecánica

De acuerdo a las Leyes de Newton, que son la base de la mecánica, a toda acción corresponde una reacción, de manera que cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo sólido y este permanece estático, se produce una reacción interna que equilibra la fuerza externa; la magnitud de la reacción interna es el esfuerzo y la consecuencia inmediata de la existencia de un esfuerzo es la deformación. Analicemos en mayor detalle el concepto de esfuerzo.

La fuerza interna de reacción afecta los enlaces que mantienen unidas a las partículas del sólido, produciendo fuerzas entre ellos. La magnitud de la reacción en cada enlace depende de la magnitud de la fuerza aplicada y de la cantidad de partículas que resisten la acción de esa fuerza. La cantidad de enlaces que soporta tal fuerza esta directamente relacionada con el Area transversal a la dirección en que actúa la fuerza.

La Figura 1 muestra lo anterior. La fuerza externa F, es la misma en ambos casos, pero el área A (cantidad de partículas) que resiste la fuerza interna resultante es diferente.

Como se puede observar, la magnitud del efecto es directamente proporcional a F e inversamente proporcional a A, de manera que la magnitud del efecto interno puede ser evaluado por la relación: F/A. Si la relación F/A es grande el efecto es grande. Si la relación F/A es pequeña, el efecto es pequeño. A esta relación se le llama esfuerzo y se define usualmente con la letra griega sigma .

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Fig. 1

Por lo tanto, el esfuerzo es la magnitud de la reacción interna producida en un sólido bajo la acción de una carga externa.

Así, la base de la Metalurgia Mecánica es el análisis de los esfuerzos y deformaciones en los cuerpos sólidos metálicos. Esto tiene una importancia práctica fundamental, pues básicamente, toda pieza o estructura metálica es construida con un fin: soportar y transmitir una fuerza externamente aplicada; así por ejemplo, un tanque de gas debe ser lo suficientemente fuerte para resistir la presión interna del gas sin deformarse ni explotar; un riel, debe resistir el paso frecuente del paso de los trenes de un ferrocarril y la muelle de una suspensión de camión debe soportar un número infinito de flexiones además del peso del vehículo.

El concepto de esfuerzo ya había sido intuido por Leonardo Da Vinci en el Renacimiento, pero fue Cauchy quién lo introdujo o formalmente. Un principio práctico de diseño, derivado de la definición de esfuerzo es poner más material donde hay mas esfuerzos. Esto en una manera de hablar es aumentar el área para reducir el esfuerzo. Este principio lo observamos cotidianamente en muchos casos; dos ejemplos típicos son las paredes de las presas y las vigas I. En el primer caso, como muestra la Figura 2(a), los esfuerzos mayores están en la base de la pared, por tener ahí la máxima presión, por lo tanto la pared de la presa es más ancha en ese nivel y su espesor disminuye a medida que se aproxima a la superficie del agua. En el caso de la viga I, mostrado en la Figura 2(b), los esfuerzos de flexión en una viga horizontal que soporta un peso P, son máximos en los bordes de la viga, mientras que al centro se tiene un eje neutro donde los esfuerzos son nulos. Aprovechando este hecho, las secciones superior c inferior de la viga se ensanchan para soportar tales esfuerzos, mientras que el centro permanece esbelto, economizando enormemente en peso y volumen.

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Figs. 2a y 2b

Así, la Metalurgia Mecánica tiene las tareas de evaluar la magnitud de los esfuerzos y las deformaciones producidas y determinar si el metal tiene la suficiente resistencia para soportar esas fuerzas sin deformarse excesivamente o llegar a la fractura. Esta segunda tarea define lo que son las pruebas mecánicas, como las de tensión, dureza y resistencia al impacto.

La Metalurgia Mecánica se basa para su análisis en las condiciones de equilibrio que existen entre las fuerzas externas que se aplican a un sólido y las fuerzas internas que se oponen a la acción de estas y busca establecer las relaciones matemáticas entre los esfuerzos y las deformaciones. Bajo las condiciones anteriores, el primer paso es establecer qué ocurre al aplicar una fuerza en un sólido. La manera más simple de observar lo anterior es aplicar una fuerza de tensión en un cuerpo de sección transversal regular y registrar los cambios en las dimensiones del cuerpo. La Figura 3 ilustra lo anterior.

Fig. 3

Como se puede observar, al principio el cambio de dimensiones es proporcional a la magnitud de la carga aplicada; además de que es reversible, es decir, que al retirar la carga el cuerpo recupera su forma y dimensiones originales. A este comportamiento se le denomina Elasticidad. En la mayoría de los materiales y en especial en los metales, cuando

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el esfuerzo producido por la carga rebasa un valor limite, el cambio de forma se vuelve permanente, diciendo que en este caso el material esta en condiciones de plasticidad. Finalmente, Cuando el material no puede continuar deformándose, sobreviene la fractura.

La relación esfuerzo-deformación más sencilla es el Módulo Elástico o Módulo de Young, que se define como el esfuerzo aplicado dividido entre la deformación elástica producida.

Si la deformación es definida como el incremento en longitud dividido entre la longitud inicial, se puede establecer que:

Esta expresión relaciona la magnitud de la carga aplicada, con la deformación y las dimensiones de un sólido, con un módulo de elasticidad dado y es válida siempre que la deformación sea elástica. Su aplicación es muy difundida en diseño de Componentes y estructuras metálicas, en las que se desea limitar o controlar la cantidad de deformación elástica. Los casos mas frecuentes de diseño son:

* Componentes que deben tener una deformación elástica establecida dentro de ciertos límites, como es el caso de resortes y muelles. Aquí, el diseño se realiza de manera que el cuerpo se deforme elásticamente bajo la carga aplicada.

* Componentes donde una deformación excesiva es nociva; en tal caso el diseño debe limitar la magnitud de la deformación elástica, ya sea aumentando la sección transversal o seleccionando materiales de alto módulo elástico. Un ejemplo de esto puede ser un edificio muy alto, donde su oscilación por presiones de viento, sean molestas para sus ocupantes.

El límite elástico o límite de cadencia, es el esfuerzo a partir del cual un material comienza a deformarse permanentemente (deformación plástica). En muchas aplicaciones de ingeniería si una pieza se deforma plásticamente, deja de funcionar adecuadamente, por ello los diseños de ingeniería se hacen de tal manera que el esfuerzo no rebase el limite de cadencia. La relación entre la carga aplicada a un cuerpo (F), el tamaño de su sección transversal (A) y el esfuerzo producido se puede representar por una balanza de tres brazos como muestra el diagrama de la Figura 4.

Cualquier aumento o disminución en una variable debe ser compensada por el ajuste de las otras variables. En base a la definición de esfuerzo, las variables pueden ser interpretadas como:

Así, dada la carga que debe soportar un cuerpo y conociendo la resistencia del material a la deformación (el esfuerzo de cadencia) se puede calcular el Area mínima que debe tener el cuerpo para soportar los esfuerzos. Si el Area y la carga se fijan, entonces se puede

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seleccionar el material cuya resistencia sea suficiente y finalmente, si el material y el tamaño de sección transversal no pueden variarse, entonces se puede establecer la carga máxima que se puede aplicar.

Fig. 4

La Importancia de las Matemáticas

En Metalurgia Mecánica es muy frecuente el uso de las matemáticas; el esfuerzo y la deformación son definidos como tensores y el cálculo diferencial es la herramienta más empleada para describir el comportamiento mecánico. Las leyes físicas son generalmente expresadas en forma de fórmulas y muchas veces la solución de un problema requiere de un cálculo exacto para el cual se necesitan ecuaciones muy complejas que consideren todas las variables importantes.

En ciencias e ingeniería siempre es necesario expresar la solución de un problema como un número y no simplemente como una aproximación y para ello se usan las matemáticas. Por ejemplo, si se requiere de un cable que soporte una carga de cuatro toneladas y que su sección transversal no exceda dos centímetros cuadrados, ,se debe especificar la resistencia mínima requerida como un número, es decir 2 ton/cm², pues no bastaría con decir "un cable de alta resistencia", pues no sabríamos cuanto es "alta resistencia" para un cable. Si el cable es de acero, 2 ton/cm² es una resistencia baja, pero si el cable es de polietileno, la resistencia es muy alta.

Las relaciones matemáticas son importantes para tomar decisiones prácticas que de otra manera requerirán costosos métodos de prueba y error.

El análisis y evaluación de esfuerzos es la base de la Metalurgia Mecánica

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Otro uso fundamental de las matemáticas es el desarrollo de modelos. Los modelos son expresiones matemáticas que representan las relaciones que existen entre un fenómeno (la variable dependiente) y las causas que lo producen y afectan (las variables independientes). Su importancia radica en el hecho de que a través del modelo podemos hacer predicciones. Los modelos matemáticos pueden ser analíticos, que son aquellos desarrollados a través de relaciones matemáticas, siguiendo un razonamiento secuencial (causa efecto) y en base a leyes conocidas y los empíricos, que son los obtenidos a partir del ajuste de datos experimentales, o sea, encontrando una ecuación que siga con aproximación aceptable la tendencia de los datos. Los modelos empíricos muchas veces son explicados posteriormente por otros modelos matemáticos y los modelos analíticos también con frecuencia son corregidos con datos experimentales.

En Metalurgia Mecánica existen gran cantidad de modelos matemáticos que han servido en muchas ocasiones para el desarrollo de aleaciones; por ejemplo, al estudiar el endurecimiento por partículas en las aleaciones metálicas, se encontró que la resistencia del material esta relacionada con el inverso de la separación entre partículas. La separación entre partículas depende del número de partículas, su diámetro y la fracción volumen. Este modelo resuelve la controversia de ¿qué es mejor, pocas partículas de gran tamaño o muchas partículas pequeñas?. La respuesta , de acuerdo al modelo es que a menor espaciamiento, mayor resistencia y un menor espaciamiento es obtenido aumentando la cantidad y disminuyendo el tamaño o sea muchas partículas pequeñas y cercanas entre si. Esta conclusión llevó al desarrollo de las aleaciones endurecidas por partículas finas, de gran aplicación en la industria aeronáutica.

Las matemáticas frecuentemente representan un serio problema para los estudiantes de ingeniería, pues si bien a la altura del quinto semestre (o su equivalente) dominan el cálculo diferencial e integral, conocen el análisis tensorial y han resuelto un número importante de ecuaciones diferenciales, experimentan serias dificultades al tratar de relacionar la "matemática pura'' con el modelado del fenómeno físico. Es común escuchar de los estudiantes expresiones tales como "entiendo la matemática, pero no sé usa esa ecuación", esto significa que entiende los pasos matemáticos efectuados y puede resolver las ecuaciones mostradas, pero ignora por qué el fenómeno puede ser representado de esa manera. Los profesores con frecuencia también enfrentamos problemas para hacer entender esto a los alumnos.

La incomprensión de las matemáticas asociadas al estudio de la naturaleza provoca un rechazo natural a ellas, lo que deja al futuro profesionista sin esta poderosa herramienta. Los ingenieros no pueden ser simples "aplicadores" de fórmulas ni los investigadores

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deben ser meros generadores de datos experimentales; incluso con el uso extendido de las computadoras y los poderosos paquetes de cómputo disponibles en el mercado, el modelado matemático es y seguirá siendo el medio más eficaz para analizar y entender un fenómeno físico.