Capitulo 1 Introduccion[1] Mecanica Materiales

Mecnica Estructural CAP. 1. Introduccin

Escuela de Graduados PUCP

CAPITULO 1: INTRODUCCION 1.1 Conceptos BsicosPartcula.- cantidad de materia (o masa) de tamao despreciable, ocupa el lugar de un punto en el espacio. Cuerpo.- coleccin de partculas que pueden tratarse como un solo objeto. Estructura.- Conjunto de cuerpos conectados entre s y apoyados de tal manera que puedan resistir y transmitir solicitaciones (cargas) hasta sus apoyos.

Las Figuras 1.1 y 1.2, muestran los conceptos de partcula, cuerpo y estructura sobre una presa en arco de concreto, apoyada sobre un macizo rocoso.

Figura 1.1. Presa en arco de concreto, que muestra una partcula

Figura 1.2. Presa en arco de concreto, que muestra una cuerpo

1.2 Objetivo de la Mecnica EstructuralObjetivo de la mecnica.- describir y predecir el comportamiento de partculas y cuerpos bajo la accin de solicitaciones externas. El comportamiento se refiere a la respuesta estructural: desplazamientos (,), deformaciones (,) y fuerzas internas (N, V, M, T) que pueden relacionarse con los esfuerzos (,). Las solicitaciones externas o del medio ambiente por ejemplo: cargas, cambios de temperatura, sismos, movimientos de apoyos, etc.

Profesor del curso: Jos Acero Martnez

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1.3 Clasificacin de la MecnicaClasificacin de la mecnica.1) Mecnica de slidos - Mecnica de slidos rgidos -Esttica -Dinmica -Teora Clsica Teora de Elasticidad Teora de Plasticidad

- Mecnica de slidos deformables 2) Mecnica de fluidos

1.4 Breve Enfoque Histrico de la Mecnica o Resistencia de MaterialesEn Egipto.- Se conoce al primer ingeniero cuyo nombre es: IMHOTEP, quien fue el constructor de la pirmide escalonada o con gradas de Sakkara alrededor de 3000 A.C. (Figura 1.3). Se construyeron monumentos, templos, pirmides y otras obras civiles.

Figura 1.3. Pirmide escalonada de Sakkara (3000 A.C.) En Babilonia.- se da a conocer el Cdigo Hamurrabi (1750 A.C), que incluye alrededor de 282 penalidades para aquellos constructores que provocaban el colapso de una casa. En Grecia.- se desarroll el estudio de la Esttica, como ciencia. Su mximo representante fue ARQUMEDES (287-212 A.C.), quien estudi las condiciones de equilibrio de la palanca, la ubicacin de los centros de gravedad, el empuje, la flotacin y construy dispositivos de izaje. Arqumedes desarroll la relacin entre la superficie y volumen de esfera y cilindro (Ver Figura 1.4).


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Figura 1.4. Relacin entre la superficie y volumen de esfera y cilindro (Arqumedes) En Roma.- se construyeron grandes templos, caminos, puentes y fortificaciones. Inventaron los arcos pero por falta de conocimientos tericos, no siempre usaron la forma ms eficiente. Marcus Vitrovius Pollio (70?-25 A.C.), es el autor de De Architecture, son 10 libros sobre construcciones de edificios y mquinas. Una de las notables construcciones romanas es el Pantheon, una edificacin de concreto y albailera, cuyo dimetro de la cpula es de 43 m (Figura 1.5) y posee una abertura en el centro de la misma (Figura 1.6). El Pantheon fue construido inicialmente por Agrippa (30 A.C. aproximadamente) y culminado por Adriano (Entre 118 y 128 D.C.)

Figura 1.5. Vista area del Pantheon

Figura 1.6. Abertura en la cpula

En la Edad Media.- El conocimiento acumulado por griegos y romanos se pierde en este perodo (o se dedica a aplicaciones militares), este periodo es denominado el periodo oscuro. Se construyen edificaciones con muros de menor espesor de mampostera como la Hagia Sophia (Figura 1.7)


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Figura 1.7. Hagia Sophia (construido entre los aos de 532 a 537) En el Renacimiento.- Muchos artistas se dedican a la arquitectura y la ingeniera. LEONARDO DA VINCI (1452-1519) es el ms notable. Aplic el principio de trabajos virtuales, hizo estudios experimentales sobre la resistencia de materiales estructurales. Hasta el siglo XVI, los ingenieros solamente se basaban en la experimentacin y su buen juicio para disear. En el Siglo XVII, GALILEO GALILEI (1564-1642) se interes en los trabajos de Euclides y Arqumedes, luego apoy las teoras de Coprnico sobre el sistema planetario. Recluido por la Inquisicin, escribi el libro que constituye la primera publicacin sobre resistencia de materiales, llamado Dos Ciencias Nuevas; entre los que habla sobre la flexin en vigas. Contribucin de cientficos en la Historia de la Resistencia de Materiales segn S. Timoshenko GALILEO (1564-1642) Escribi el libro Dos Nuevas Ciencias, que trata sobre las propiedades de los materiales estructurales y la resistencia de vigas, es la primera publicacin en el campo de la mecnica de materiales, y marca el inicio de la historia de la mecnica de slidos deformables. Estudio el caso de traccin simple y flexin: Galileo asevera que la resistencia de la barra es proporcional al rea de la seccin transversal y es independiente de su longitud. A esta resistencia de la barra la llama la resistencia absoluta de rotura. La carga de rotura en traccin segn Galileo, aplicada a una barra (Figura 1.8), se determina con la ecuacin: PROTURA ROTURA A


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Figura 1.8. Carga en traccin de una barra Si la misma barra trabajara como viga en voladizo (Figura 1.9 y 1.10a) con una carga en el extremo, Galileo asume que cuando ocurre la rotura, la resistencia est uniformemente distribuida en la seccin AB (1.10b). Pero si aceptamos la ley de Hooke, la distribucin de esfuerzos es la que se muestra en la figura 1.10c. Y se concluy que: P (mxima, segn Galileo) = 3 P (mxima, si el material es elstico)

Figura 1.9. Barra en voladizo de Galileo

Figura 1.10. Distribucin de esfuerzos

Los materiales reales no siguen la ley de Hooke hasta la rotura. La distribucin de esfuerzos en rotura es diferente a la figura 1.10c, por lo que no hay tanta diferencia entre la suposicin de Galileo y la realidad. Ejemplo 1.1. Demostrar que la carga mxima segn Galileo es 3 veces la carga mxima segn Hooke. Si se tiene una viga en voladizo con una carga P en su extremo (Figura 1.11) y usando la distribucin de esfuerzos elstico lineal (Ley de Hooke)

Figura 1.11. Viga en voladizo de longitud L, con esfuerzos elstico lineal


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Se obtiene las fuerzas resultantes en compresin y traccin (Figura 1.12), Fc y Ft, respectivamente.

Figura 1.12. Fuerzas resultantes, con distribucin de esfuerzos lineal La fuerza de traccin y de compresin son las mismas, teniendo un valor de: h bh Ft = Fc = mx b = mx 2 2 4 El momento resistente ser: 2h mx bh 2 = M RESISTENTE = ( Ft Fc ) 3 6 Si el momento mximo es igual al momento resistente se tendr: mx bh 2 Pmx L = 6 Despejando la carga mxima se tiene: bh 2 HOOKE Pmx = mx 6L Ahora, si se tiene una viga en voladizo con una carga P en su extremo (Figura 1.13) y usando la distribucin de esfuerzos uniforme (Galileo)

Figura 1.13. Fuerza resultante, con distribucin de esfuerzos uniforme Se obtiene la fuerza resultante mx bh (Figura 13), realizando equilibrio alrededor del punto O se obtiene: bh 2 Pmx L = mx 2 bh 2 GALILEO Pmx = mx 2L Si comparamos la carga de Galileo con la carga de Hooke se tiene que la carga de Galileo es tres veces la carga de Hooke.GALILEO HOOKE Pmx = 3Pmx


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Robert HOOKE (1635-1703) sus experimentos con resortes (Figura 1.14) dieron lugar en 1678, mediante el documento De Potentia Restitutiva a la ley de Hooke, donde indic que las deformaciones son proporcionales a las fuerzas, base de la mecnica de slidos.

Figura 1.14. Dispositivo experimental utilizado por Hooke MARIOTTE (1620-1684) trabaj en la teora y experimentacin de la resistencia a flexin de vigas considerando propiedades elsticas del material. Los hermanos Jacob BERNOULLI (1654-1705) y John BERNOULLI (1667-1748) desarrollaron herramientas matemticas para la curva elstica de deflexiones en vigas a flexin. Daniel BERNOULLI (1700-1782) y Leonard EULER (1707-1783) continuaron los estudios de deformacin en vigas. Euler al estudiar diferentes formas de la elstica con cargas inclinadas lleg al caso de carga en compresin y el pandeo. Las Academias de Ciencias reunan a los investigadores. Alrededor del Siglo XVIII, se establecen las primeras Facultades de Ingeniera. En 1747 se funda en Pars la Ecole des Ponts et Chausses (Escuela de Puentes y Canales) para la formacin de ingenieros especializados en la construccin de caminos, canales y puertos. GERARD en 1798 publica Trait Analytique de la Rsistance des Solids. Sobre la flexin en vigas, da a entender que las teoras de Galileo y de Mariotte se aplicaban segn el tipo de material: Frgil: Aplicar teora de Galileo, con distribucin uniforme de esfuerzos Elsticos madera: Aplicar teora de Mariotte, con distribucin triangular de esfuerzos.


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PARENT, siguiendo el trabajo de Mariotte investig la flexin de vigas con secciones circulares. Corrige la distribucin de esfuerzos por flexin, en el rango elstico y en la rotura. COULOMB (1756-1806) es el de mayor contribucin del siglo XVIII, abarcando: a) flexin y fuerza cortante en vigas; b) Estabilidad de muros de sostenimiento; c) Torsin y Pandeo; y d) Ley de la gravitacin universal La figura 1.15, muestra el modelo de la balanza de torsin para evaluar la ley de gravitacin universal, este modelo se basa en fuerzas de torsin sobre una barra.

Figura 1.15. Balanza de torsin de Coulomb Por el Siglo XIX, del Ecole Polytechnique salieron los investigadores Poisson, Gay Lussac, Cauchy y Navier. NAVIER (1785-1836), estudi la flexin de vigas, establece que el eje neutro debe pasar por el centroide en el rango elstico, la seccin plana antes de la deformacin permanece plana despus de la aplicacin de cargas. Fue el primero en analizar vigas hiperestticas, tomando en cuenta las condiciones de deformacin. YOUNG (1773-1829) desarroll la nocin del mdulo de elasticidad, que no pudo ser expresado por Hooke. Cuando los matemticos se interesan en la Resistencia de Materiales se inicia el desarrollo matemtico de la Teora de Elasticidad, ver los trabajos de: Cauchy (17891857), Poisson (1781-1840), Lam (1795-1870), Clapeyron (1799-1864), Lagrange (1736-1813). SAINT VENANT (1797-1886) fue ingeniero civil y matemtico. Sus contribuciones fueron: 1) examinar la validez de las suposiciones fundamentales de la flexin: secciones planas permanecen planas despus de la flexin, las fibras longitudinales


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estn sometidas nicamente a traccin o compresin, y no hay esfuerzos transversales entre ellas (prob que stas se cumplen slo en flexin pura); 2) estudiar la deformacin de la seccin transversal por el efecto de Poisson (curvatura anticlstica); 3) estudiar el alabeo o deformacin debida al esfuerzo cortante. Adems desarroll la derivacin de las ecuaciones fundamentales de la Teora de Elasticidad, y present su teora para el estudio de la torsin en barras, por el mtodo semi-inverso. Otras contribuciones notables de la poca son: Jourawski 1844 (esfuerzos cortantes en vigas de puentes), Duhamel 1834 (integral para respuesta dinmica), Clapeyron 1857 (ecuacin de los tres momentos), Kirchoff 1850 (teora sobre flexin en placas), Kelvin (experimentos en termodinmica y las deformaciones), Maxwell (uso de luz polarizada para estudios de fotoelasticidad y trayectorias de esfuerzos). En la ltima parte del siglo XIX destacan principalmente: incremento de la capacidad de los ensayos de laboratorio en materiales, Otto Mohr (mtodos grficos, lneas de influencia, teora de falla), Castigliano (teoremas de energa), Boussinesq (esfuerzos y deformaciones en medios semi-infinitos) En el siglo XX hasta 1950, la tendencia ha sido la de proponer soluciones cada vez ms sofisticadas desde el punto de vista matemtico, y por tanto ms precisas, a los problemas de la ingeniera. Algunos temas de desarrollo notable son: el comportamiento post-elstico de los materiales, las teoras de falla, la fatiga, el estudio de medios continuos, el clculo Variacional y la Dinmica de Estructuras Algunos Ingenieros Notables, que han contribuido al avance de la ingeniera: Eiffel (estructuras de acero), Freysinet (concreto postensado), Terzaghi (mecnica de suelos), Cross (distribucin de momentos), Torroja (diseo de estructuras laminares), Nervi (diseo de estructuras de grandes luces, promovi el uso del ferrocemento por 1940, ver figuras 1.15 y 1.16, reproducidas del ACI 1999 - Parte 5).

Figura 1.15. Composicin del ferrocemento

Figura 1.16. Cscara de ferrocemento


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1.5 Relaciones fuerza esfuerzoSi se conocen las cargas que actan sobre una estructura y las dimensiones de los elementos que la conforman, se pueden obtener las fuerzas internas en cada seccin transversal, y luego, las distribuciones de esfuerzos normales y cortantes en cada seccin. Asimismo, en forma equivalente, se pueden obtener las componentes de esfuerzos que actan en un punto de ese elemento. La obtencin de las relaciones entre las cargas externas y los esfuerzos dependen de tres grupos de ecuaciones bsicas: a) Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas (F = 0 y M = 0). b) Las condiciones de compatibilidad o continuidad, que requieren que los elementos deformados puedan mantenerse unidos sin traslaparse o romperse; estas son condiciones geomtricas entre los desplazamientos y las deformaciones. c) Las relaciones constitutivas del material, que en la mayora de los casos se asumir que tienen un comportamiento lineal y elstico. Para establecer las ecuaciones de las condiciones a) y b) se puede utilizar el mtodo de la Mecnica o Resistencia de Materiales y el mtodo de la Mecnica del medio continuo.Mtodo de la Mecnica o Resistencia de Materiales.-

Se basa en asumir condiciones simplificadas en la geometra de las deformaciones para as establecer la distribucin de las deformaciones unitarias en un elemento. Una suposicin bsica es que las secciones planas antes de la aplicacin de las cargas continen planas despus de dicha aplicacin (llamada hiptesis de Navier o de Bernoulli). Esta suposicin es exacta en tres casos a estudiar: Carga axial centrada en elementos de seccin uniforme Torsin en elementos rectos de seccin circular Flexin pura en vigas rectas y seccin uniforme

Examinemos el caso de un elemento sometido a carga axial de traccin pura (Figura 1.17).

Figura 1.17. Barra sometida a traccin El esfuerzo axial a lo largo del elemento se determina con la ecuacin de equilibrio F=0, de la figura 1.18, considerando un diferencial de rea dA, se tiene:


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Figura 1.18. Fuerza aplicada sobre un diferencial de rea dA.

dA = PA

Integrando sobre el rea, se obtiene

=

P A

La deformacin es uniforme (compatibilidad), y toma un valor de: e = L Conociendo la ley constitutiva = E , se puede correlacionar las ecuaciones anteriores, obteniendo finalmente el alargamiento e del elemento: PL e= E A En las ecuaciones anteriores: P=carga axial A=rea de la seccin transversal del elemento L=longitud del elemento E=mdulo de elasticidad del material del elemento

Restricciones: - El elemento debe ser prismtico (recto y de seccin transversal constante) - El material del elemento debe ser homogneo (propiedad del material debe ser constante en todos los puntos a lo largo del elemento) - La carga P debe ser aplicada axialmente a lo largo del eje del centro de gravedad del elemento. - Los esfuerzos y deformaciones estn restringidos a un comportamiento elstico lineal.Mtodo de la mecnica del medio continuo.-

Se utiliza cuando por las caractersticas de la estructura o de las cargas aplicadas, se tiene un estado de esfuerzos multiaxial complejo de modo que la mecnica de materiales no es aplicable. Si se considera slo deformaciones pequeas y comportamiento lineal elstico del material, el mtodo de la mecnica del medio continuo se convierte en el mtodo de la teora de la elasticidad. Para determinar las relaciones carga-esfuerzo y carga-deformacin, se utiliza un elemento volumtrico diferencial en un punto del cuerpo con las caras orientadas perpendicularmente a los ejes ordenados.


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a) Las condiciones de equilibrio involucran ecuaciones diferenciales. b) Las condiciones de compatibilidad involucran ecuaciones diferenciales c) Las relaciones esfuerzo-deformacin pueden estar basadas en resultados experimentales. Este esquema de anlisis se requiere para estudiar la torsin de elementos de secciones no circulares y elementos con deformaciones por corte. La mecnica del medio continuo puede aplicarse en la teora de elementos finitos unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales, donde se puede analizar la concentracin de esfuerzos, los cambios de temperatura, los asentamientos, los eventos de simulacin dinmica y otros que pueden ser representados mediante un modelo matemtico. Ejemplo 1.2. Obtener los desplazamientos y esfuerzos de un muro de concreto, mediante un modelo de elementos finitos, para una carga concentrada y para una distribuida en su parte superior. Supongamos un muro de concreto armado cuyas caractersticas son las siguientes: Longitud de Muro = 3.00 m Altura de Muro = 4.00 m Espesor de muro = 0.25 m Mdulo de Elasticidad = 2173700 Tn/m2 Mdulo de Poisson = 0.15 Cargas en la mitad del muro = 3.5 Tn (puede ser por la llegada de una viga transversal al muro) Hay que indicar que se ha considerado un diafragma rgido en todos los nudos de la parte superior (Figuras 1.19 y 1.20)

Figura 1.19. Geometra del muro

Figura 1.20. Deformacin del muro


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La figura 1.20, muestra el desplazamiento vertical U3=1.882x10-5m, si comparamos con la frmula de desplazamiento que especifica el Mtodo de la Resistencia de Materiales PL 3.54 e= = = 8.588 x10 6 m ; se observa que el desplazamiento no es ni E A 2173700.0.253 aproximado. Las figuras 1.21 y 1.22, muestran la concentracin de esfuerzos en la parte superior del muro.

Figura 1.21. Distribucin de esfuerzo del muro sin deformar

Figura 1.22. Distribucin de esfuerzo del muro deformado

Debido a la carga concentrada en la parte superior, se puede llegar a tener un valor de esfuerzo de 58.61 Tn/m2 (Figura 1.23), y cerca de la parte inferior se tiene un esfuerzo 3.5 promedio de = = 4.666Tn / m 2 (Figura 1.24), es decir, el esfuerzo en la parte 0.253 superior llega a ser 12.5 veces ms aproximadamente que en la parte inferior.Esfuerzos en el corte A-A0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.750.25

Esfuerzos en el corte B-B0.75 1.25 1.75 2.25 2.75

0.5

1.5

2.5

0.5

1.5

2.5

0

1

2

3

0

1

2

10 Esfuerzos axiales (Tn/m2)Esfuerzos axiales (Tn/m2)

0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 -4 -4.5 -5 Longitud de muro (m)

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 Longitud de muro (m)

Figura 1.23. Distribucin de esfuerzo en el corte A-A

Figura 1.24. Distribucin de esfuerzo en el corte B-B


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Ahora desarrollemos el anlisis considerando que la carga de 3.5Tn, se distribuye a lo largo de los nudos de la parte superior del muro (Figura 1.25), y observar sus deformaciones (Figura 1.26) y esfuerzos (Figura 1.27)

Figura 1.25. Distribucin carga en la parte superior

Figura 1.26. Desplazamiento vertical del muro

La figura 1.26, muestra el desplazamiento vertical U3=8.638x10-5m, si comparamos con la frmula de desplazamiento que especifica el Mtodo de la Resistencia de Materiales 3.54 e= = 8.588 x10 6 m ; se observa que el desplazamiento es aproximado. 2173700.0.253

Figura 1.27. Distribucin de esfuerzos


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Debido a las cargas distribuidas en la parte superior, se tiene un valor de esfuerzo promedio de = 4.67Tn / m 2 (Figuras 1.28 y 1.29), tanto en la parte superior (corte AA) como en la parte inferior (corte BB).Esfuerzos en el corte A-A0.25

Esfuerzos en el corte B-B0.75 1.25 1.75 2.25

0.25

0.75

1.25

1.75

2.25

2.75

0.5

1.5

2.5

2.75

0.5

1.5

2.5

0

1

2

0

1

2

3

0 Esfuerzos axiales (Tn/m2)Esfuerzos axiales (Tn/m2)

0 -1 -2 -3 -4 -5

-1 -2 -3 -4 -5 Longitud de muro (m)

Longitud de muro (m)

Figura 1.28. Distribucin de esfuerzo en el Figura 1.29. Distribucin de esfuerzo en el corte A-A corte B-B Con este ejemplo se ha tratado de demostrar los efectos de la concentracin de esfuerzos y el principio de Saint Venant, el cual establece que tanto el esfuerzo como la deformacin unitaria en puntos del cuerpo suficientemente alejados de la zona de aplicacin de la carga sern los mismos que el esfuerzo y la deformacin unitaria producidos por otras cargas aplicadas que tengan la misma resultante estticamente equivalente y estn aplicadas al cuerpo dentro de la misma regin o rea local.

1.6 Relaciones esfuerzo y deformacin unitariaLa relacin esfuerzo deformacin unitaria de un material se determina mediante un ensayo en laboratorio, Los ensayos ms sencillos de realizar son los de traccin o compresin sobre probetas o especimenes cilndricos o cuadrados y con dimensiones Standard, como se muestra en la figura 1.30.1.6.1. Respuesta Elstica e Inelstica de un Slido

Inicialmente, revisaremos los resultados de un ensayo simple de traccin de una barra circular que esta sujeta a una carga axial de traccin P (Figura 1.31). Se asume que la carga se incrementa lenta y monotnicamente (carga que va desde un valor inicial cero a su valor final), adems la respuesta del material no slo depende de la magnitud de la carga, sino tambin de otros factores, tales como: la velocidad de carga, el tipo de carga, etc. Es costumbre en ingeniera dibujar el diagrama de esfuerzos de tensin de la barra en funcin de su deformacin . Adems, se asume que el esfuerzo es uniformemente distribuido sobre el rea de la seccin transversal de la barra y que es igual en magnitud a P/Ao (llamado esfuerzo de ingeniera), donde Ao es el rea original de la seccin transversal de la barra. Similarmente, la deformacin se asume constante a lo largo de la longitud L e igual a L/L = e/L, donde L = e es el cambio o elongacin en la medida original de la longitud L (la distancia JK en la Figura 1.31).


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Figura 1.30. Espcimen sin deformar: de Longitud L , Dimetro D

Figura 1.31. Espcimen Deformado: Longitud L + e

Para que estas suposiciones sean vlidas, los puntos J y K debern estar lo suficientemente separadas de los extremos de la barra (una distancia de uno o ms dimetros D medidos desde los extremos). Sin embargo, de acuerdo a la definicin de esfuerzo, el esfuerzo real es t = P/At, donde At es el rea real de la seccin transversal de la barra cuando acta la carga P (La barra sufre una contraccin lateral en cualquier punto si est cargada, con un cambio correspondiente en el rea de la seccin transversal). La diferencia entre = P/Ao y t = P/At ser pequea, siempre y cuando la elongacin e y, por ende, la deformacin sean lo suficientemente pequeas. Pero si la elongacin es grande, At puede diferir significativamente de Ao. Adems, la real longitud instantnea cuando acta la carga P es Lt = L+e (Figura 1.31). Por lo tanto, el rea real At y la verdadera medida de la longitud Lt cambian con la carga P. Correspondiendo a un esfuerzo real t, se puede definir la deformacin real t como sigue: En el ensayo de traccin, se asume que la carga P se incrementa desde cero (donde adems e=0) mediante infinitesimales sucesivos dP. Con cada incremento dP en la carga P, hay un incremento de dLt infinitesimal correspondiente a la medida de la longitud Lt en ese instante. Por lo tanto el incremento infinitesimal dt de la deformacin real t debido a dP es:

dt =

d Lt Lt

Integrando la ecuacin anterior desde L hasta Lt, obtenemos la deformacin real t. As tenemos:Lt

t =

Lt L + e d t = ln = ln = ln (1+) L L L

En contraste a la deformacin de ingeniera , la deformacin real t, no es lineal con relacin a la elongacin e de la medida de la longitud original L.


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Para muchos metales estructurales (en general, aleaciones de acero), la relacin esfuerzo-deformacin del espcimen en traccin toma la forma de la figura 1.32, denominndose diagrama esfuerzo-deformacin en tensin del material. El diagrama de esfuerzo-deformacin (curva OABCF en la Figura 1.32) se obtuvo dibujando una curva suave de datos de ensayo de traccin para cierta aleacin de acero de alta resistencia. Los ingenieros utilizamos estos diagramas de esfuerzo-deformacin para definir ciertas propiedades del material que son consideradas importantes para un diseo seguro de un elemento cargado estticamente.

Figura 1.32. Diagrama de Ingeniera Esfuerzo-Deformacin para un espcimen en Tensin de Aleacin de Acero Ejemplo 1.3. Comparar el esfuerzo y deformacin de ingeniera con el real de una barra circular de un metal, sometido a traccin. Los datos se muestran en la tabla 1.1 Tabla 1.1. Datos para el diagrama esfuerzo-deformacin de ingeniera y realFuerza en Traccin (klb) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 17 18 19 20 d inicial (pulg) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 d bajo carga (pulg) 0.50000 0.49999 0.49995 0.49900 0.49700 0.49400 0.48900 0.48400 0.47600 0.47200 0.46800 0.46100 0.45200 Esfuerzo Deformacin Ingenieril Esfuerzo Ingenieril Deformacin (ksi) Real (ksi) (in/in) Real (in/in) 0.00 0.00 0.0000 0.0000 10.19 10.19 0.0000 0.0000 20.37 20.38 0.0002 0.0002 30.56 30.68 0.0040 0.0040 40.74 41.24 0.0121 0.0120 50.93 52.17 0.0244 0.0241 61.12 63.90 0.0455 0.0445 71.30 76.09 0.0672 0.0650 81.49 89.91 0.1034 0.0984 86.58 97.16 0.1222 0.1153 91.67 104.64 0.1414 0.1323 96.77 113.83 0.1764 0.1624 101.86 124.64 0.2237 0.2019


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Los esfuerzos y deformaciones de la tabla 1.1, han sido graficados en la figura 1.33, mostrando que el esfuerzo real toma mayores valores que el esfuerzo de ingeniera.Diagrama Esfuerzo Deformacion Ingenieril VS Real140.00 120.00 100.00

Esfuerzo (ksi)

80.00 60.00 40.00 20.00 0.00 0.000 Ingenieril Real 0.050 0.100 0.150 0.200

Deformacin (in/in)

Figura 1.33. Diagrama Esfuerzo-Deformacin de ingeniera y real para un testigo de acero sometido a traccin. Notar que para el clculo de la deformaciones se asume que no hay cambio de volumen durante la extensin, por tanto, AoL=AtLt, relacionando se tiene que la deformacin Ao de ingeniera ser = 1 , para cada incremento de carga; por otro lado la At Ao Lt L+e deformacin real ser t = ln . La figura 1.34, muestra = ln = ln At L L diagramas esfuerzo-deformacin reales y de ingeniera.

Figura 1.34. Diagrama Esfuerzo-Deformacin de ingeniera y real para traccin y compresinProfesor del curso: Jos Acero Martnez 18



1.6.2. Propiedades de los materiales

Del diagrama esfuerzo-deformacin se obtienen algunas propiedades importantes, para el anlisis y diseo de estructuras. La figura 1.35 (adaptada de Popov), muestra un diagrama esfuerzo-deformacin para un acero dulce, donde se puede observar: una zona elstica, una meseta o plataforma de fluencia, una regin de endurecimiento por deformacin y una regin de esfuerzo post-ltimo. Adems, se puede observar una zona amplificada de la plataforma de fluencia (puntos AB).

Figura 1.35. Diagrama Esfuerzo-Deformacin para un acero dulce a. Lmite proporcional (Proportional limit): Para muchos materiales estructurales se ha encontrado que la parte inicial de la grfica esfuerzo-deformacin puede ser aproximada por la recta OA. En este intervalo, el esfuerzo y la deformacin son proporcionales entre s (Ley de Hooke), de manera que cualquier incremento en esfuerzo resultar en un aumento proporcional a la deformacin. El esfuerzo en el lmite del punto de proporcionalidad A se conoce como lmite de proporcionalidad. b. Lmite elstico (Elastic limit): Si se retira una pequea parte de la carga aplicada sobre el espcimen a prueba, el diagrama regresar a cero, indicando que la deformacin producida por la carga es elstica. Si la carga se aumenta continuamente, se alcanzar un punto en que la aguja no regresar a cero. Esto indica que ahora el material tiene una deformacin permanente; por tanto, el lmite elstico puede definirse como el esfuerzo al que ocurre la primera deformacin permanente. Para la mayora de los materiales estructurales, el lmite elstico tiene casi el mismo valor numrico que el lmite de proporcionalidad. Comnmente el lmite elstico es mayor que el lmite de proporcionalidad.


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c. Punto o lmite de fluencia o cedencia (Yield point): Conforme la carga (fuerza) en el espcimen aumenta ms all del lmite elstico, se alcanza un esfuerzo al cual el material contina deformndose sin que haya incremento de la carga. Al esfuerzo entre la lnea AB de la figura 1.35 se le conoce como esfuerzo de cedencia o fluencia y. Este fenmeno ocurre slo en ciertos materiales dctiles. El esfuerzo puede disminuir realmente por un momento, resultando en un punto de fluencia superior y en uno inferior (Ver zona amplificada en la figura 1.35). d. Resistencia a la fluencia o cedencia (Yield strenght): La mayora de los materiales no ferrosos y los aceros de alta resistencia no tienen un punto de fluencia definido (Figura 1.32). Para estos materiales, la mxima resistencia til corresponde a la resistencia de fluencia, que es el esfuerzo al cual un material exhibe una desviacin limitante especificada de la proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformacin. Por lo general, el esfuerzo de fluencia se determina por el "mtodo de la deformacin permanente especificada" (offset method). La figura 1.36, es la zona amplificada de la figura 1.32, para obtener la resistencia de fluencia y, se marca sobre el eje de la deformacin un punto K. En seguida, se traza la lnea KL paralela a OA, localizando de esta manera el punto J, interseccin de la lnea KL con el diagrama esfuerzo-deformacin.

Figura 1.36. Diagrama Esfuerzo-Deformacin amplificado, para obtener el esfuerzo de fluencia El valor del esfuerzo en el punto J indica la resistencia de cedencia o fluencia. El valor de la deformacin permanente especificada es generalmente un 0.20% de la longitud calibrada. e. Resistencia lmite o ltima: Conforme aumenta la carga aplicada sobre espcimen, el esfuerzo y la deformacin se incrementan, como lo indica la porcin de la curva BC (figura 1.35 y figura 1.32) para un material dctil, hastaProfesor del curso: Jos Acero Martnez 20



que se alcanza el esfuerzo mximo u en el punto C; por tanto, la resistencia lmite o la resistencia ltima a la tensin es el esfuerzo mximo desarrollado por el material, basado en el rea transversal inicial Ao. Un material frgil se rompe cuando es llevado hasta la resistencia lmite, en tanto que el material dctil continuar alargndose. f. Resistencia a la ruptura: Para un material dctil, hasta el punto de resistencia lmite, la deformacin es uniforme a lo largo de la longitud de la barra. Al alcanzar el esfuerzo mximo, la muestra experimenta una deformacin localizada o formacin de cuello y la carga diminuye conforme el rea decrece. Esta elongacin en forma de cuello (Figura 1.37) es una deformacin no uniforme y ocurre rpidamente hasta el punto en que el material falla punto D (Figura 1.35). La resistencia a la ruptura se determina dividiendo la carga de ruptura entre el rea transversal original, la cual, es siempre menor que la resistencia lmite. Para un material frgil, la resistencia lmite y la resistencia de ruptura coinciden.

Figura 1.37. Espcimen en estado de ruptura, con formacin de cuello g. Mdulo de la elasticidad o mdulo de Young: Consideremos la porcin recta de la curva esfuerzo-deformacin OA de la figura 1.35 de la figura 1.36. La ecuacin de una lnea recta es y= mx + b, donde y es el eje vertical (en este caso, esfuerzo) y x el eje horizontal (en este caso, deformacin). La interseccin de la recta con el eje y es b, y en este caso es cero, ya que la recta pasa por el origen. La pendiente de la recta es m. Cuando se despeja m de la ecuacin, la pendiente es igual a y/x. De esta manera, se puede determinar la pendiente de la recta dibujando un tringulo rectngulo cualquiera y encontrando la tangente del ngulo (Figura 1.38) que es igual a y/x o esfuerzo/deformacin. La pendiente es realmente la constante de proporcionalidad entre esfuerzo y deformacin (ley de Hooke) y se conoce como mdulo de elasticidad o mdulo de Young.


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Figura 1.38. Determinacin del mdulo de elasticidad El mdulo de elasticidad se correlaciona con la rigidez, por ejemplo el mdulo de elasticidad del acero es 207 GPa aproximadamente, en tanto el del aluminio es 69 GPa. Con lo que se puede decir que el acero es 3 veces ms rgido que el aluminio. h. Ductilidad: La ductilidad de un material se determina a partir de la cantidad de deformacin que le es posible soportar hasta que se fractura. La ductilidad es importante para diseadores y fabricantes. El diseador estructural preferir un material que presente una cierta ductilidad, de manera que si el esfuerzo aplicado es demasiado alto, el elemento se deformar plsticamente antes de romperse. La figura 1.39, muestra esquemticamente los niveles de ductilidad de algunos materiales representados mediante una curva esfuerzo deformacin.

Figura 1.39. Niveles de ductilidad de materiales de acuerdo a la curva esfuerzodeformacin


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i. Porcentaje de elongacin: es una medida de la ductilidad del material y se obtiene de multiplicar la deformacin unitaria de ruptura por cien para tenerlo en tanto por ciento. Es decir, que tanto puede deformarse un material hasta llegar a la rotura. Por ejemplo para la figura 1.32, el porcentaje de elongacin ser de 23% aproximadamente y para la figura 1.35 el porcentaje de elongacin ser de 11.7% aproximadamente. j. Resiliencia: es la capacidad de un material de absorber energa sin sufrir una deformacin unitaria plstica y que libera dicha energa cuando se descarga (Figura 1.40). El rea bajo la curva del diagrama esfuerzo-deformacin en el intervalo elstico, se denomina Mdulo de Resiliencia UR (Figura 1.41).

Figura 1.40. Definicin de resiliencia

Figura 1.41. Determinacin del mdulo de resiliencia

k. Tenacidad: es la capacidad de un material para absorber energa y deformarse plsticamente antes de fracturarse. El rea bajo la curva del diagrama esfuerzodeformacin completo se denomina Mdulo de Tenacidad UT (Figura 1.42).

Figura 1.42. Determinacin del mdulo de tenacidadProfesor del curso: Jos Acero Martnez

Figura 1.43. Definicin de resiliencia hiper-elstica

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La figura 1.43, muestra la descarga y recarga de un material, donde el esfuerzo vuelve a cero, pero hay una deformacin permanente, solo la parte correspondiente al rea triangular ABC, puede recuperarse, a esta zona se le denomina resiliencia hiper-elstica. El resto de la energa gastada al deformarse el material se disipa en forma de calor.1.6.3. Diagramas esfuerzo-deformacin desarrollados en la PUCP

El Laboratorio de Estructuras de la Pontificia Universidad Catlica del Per, ha desarrollado cantidad de ensayos en traccin y compresin en distintos materiales, principalmente en acero de refuerzo ASTM 615 Grado 60 para distintos dimetros, mallas electrosoldadas ASTM A496, concreto, albailera, polmeros, etc. La figura 1.44, muestra un diagrama esfuerzo deformacin de una varilla de 5/8 Grado 60, fabricada por Aceros Arequipa. Se observa que para una deformacin aproximada de 0.0031, se ha retirado los medidores de deformacin LVDTs, por ello la recta vertical al final de la curva slo registra cargas. Se nota claramente la curva de descarga y recarga que tiende a ser paralela a la parte inicial del diagrama esfuerzo-deformacinDiagrama Esfuerzo-Deformacin7000 6000

Esfuerzo (kg/cm2)

5000 4000 3000 2000 1000 0 0 5 10 15 20 25 30 35

Deformacin (x1000)

Figura 1.44. Diagrama de Ingeniera Esfuerzo-Deformacin para una varilla de 5/8 de Aceros Arequipa. A continuacin, se muestra algunas propiedades que se obtuvieron del ensayo: fy 4340 kg/cm2 (esfuerzo de fluencia). fu 6650 kg/cm2 (esfuerzo mximo o ltimo). Es 2194000 kg/cm2 (mdulo de elasticidad). Deformacin en el inicio de la fluencia y 0.00198 Longitud de la plataforma de fluencia 5.0 y


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1.7 Ensayos complementarios1.7.1. Tenacidad y pruebas de impacto

Aunque la tenacidad de un material puede obtenerse calculando el rea bajo el diagrama esfuerzo-deformacin, la prueba de impacto indicar la tenacidad relativa. La tenacidad es una medida de la cantidad de energa que un material puede absorber antes de fracturarse, evala la habilidad de un material de soportar un impacto sin fracturarse. Esta propiedad se determina mediante una prueba sencilla en una mquina de ensayos de impacto (Figura 1.45), se utiliza una probeta o barra de seccin transversal cuadrada dentro de la cual se realiza una muesca en forma de V o de ojo de cerradura (Figura 1.46).

Figura 1.45. Mquina para realizar el ensayo de impacto

Figura 1.46. Barra con muesca utilizada en el ensayo de impacto, para determinar la tenacidad de un material

Existen dos mtodos para evaluar la tenacidad. Se denominan ensayos de Izod y ensayo de Charpy. La diferencia entre los dos radica principalmente en la forma como se posiciona la muestra a ensayar (Figura 1.47).

Figura 1.47. Se observa la posicin de la muestra en los ensayos de Izod y de Charpy, la flecha indica la direccin del impacto


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Esta probeta se sostiene mediante mordazas y se lanza un pesado pndulo desde una altura h conocida, este pndulo golpea la muestra al descender y la fractura. Si se conoce la masa del pndulo y la diferencia entre la altura final e inicial, se puede calcular la energa absorbida por la fractura (Figura 1.48)

Figura 1.48. Ensayo de Charpy sobre una probeta

Figura 1.49. Fractura de la probeta

El ensayo de impacto genera datos tiles cuantitativos en cuanto a la resistencia del material al impacto hasta la fractura (Figura 1.49). Sin embargo, no se proporcionan datos adecuados para el diseo de secciones de materiales que contengan grietas o defectos. Este tipo de datos se obtiene desde la disciplina de la Mecnica de la Fractura, en la cual se realizan estudios tericos y experimentales de la fractura de materiales estructurales que contienen grietas o defectos preexistentes.1.7.2. Fatiga

En muchas aplicaciones, tales como en puentes (gra y vehiculares), un componente o elemento se somete a la aplicacin repetida de un esfuerzo inferior al de fluencia del material. Este esfuerzo repetido puede ocurrir como resultado de cargas de rotacin, flexin, o aun de vibracin. Aunque el esfuerzo sea inferior al punto de fluencia, el metal puede fracturarse despus de numerosas aplicaciones del esfuerzo. Este tipo de falla es conocida como fatiga. Un mtodo comn para medir la resistencia a la fatiga es el ensayo de la viga en voladizo rotatoria (Figura 1.50)

Figura 1.50. Ensayo de la viga en voladizo rotativa para medir la resistencia a la fatiga


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1.8 Bibliografa consultadaTEXTO BASICO Advanced Mechanics of Materials, Boresi, Schmidt, Sidebottom TEXTOS DE CONSULTA History of Strength of Materials, Timoshenko Mecnica de Materiales, Beer y Johnston Mecnica de Materiales, Gere y Timoshenko Mecnica de Slidos, Popov Resistencia de Materiales, Feodosiev Teora de Elasticidad Timoshenko y Goodier Elasticidad, Luis Ortiz Berrocal Resistencia de Materiales, Luis Ortiz Berrocal Resistencia de Materiales, Miguel Cervera y Elena Blanco


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Capitulo 1 Introduccion[1] Mecanica Materiales

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