BLOQUE 1: INTERACCIN GRAVITATORIA

1.-EL

MOVIMIEN TO DE LOS PLANETAS A TR AVS DE LA HISTORI A

La interaccin gravitatoria tiene una gran influencia en el movimiento de los cuerpos, tanto de los que se encuentran en la Tierra o en sus proximidades, como los que se hallan en el espacio (planetas, estrellas, cometas, etc). El lanzamiento de proyectiles, el movimiento de las aguas de los ros hacia el mar, la colocacin de satlites en rbita, el desplazamiento de los astros en el espacio, etc., son ejemplos en los que la interaccin gravitatoria tiene un papel fundamental. En cierto modo podramos considerar que gobierna el movimiento de toda la materia. Sin embargo, llegar a esta conclusin no ha sido un proceso fcil. La idea del movimiento de los planetas y cuerpos celestes estuvo dividida en la Antigedad en dos teoras fuertemente contrapuestas: la TEORAGEOCNTRICA

y la TEORA

HELIOCNTRICA.

2.- LOS

ORGENES DE LA TEORA DE LA GRAVITACIN UNIVERSA L

Cronolgicamente, la concepcin geocntrica del Universo fue la que prevaleci inicialmente, debido entre otras cosas a las creencias religiosas de la poca que se oponan a cualquier otra alternativa, y al apoyo de grandes cientficos como Aristteles. Se pensaba que las estrellas se encontraban todas en una gran esfera celeste que giraba alrededor de una Tierra inmvil situada en su centro. Fuera de esa gran esfera celeste estaba el Primer mvil que la haca girar con ritmo regular y dentro, haba una serie de esferas concntricas que contenan a los planetas, el Sol y la Luna, de forma que el movimiento de la esfera estrellada se transmita a las interiores .Finalmente, en el siglo XVI, Coprnico, establece su Teora Heliocntrica, avalada posteriormente por los estudios de Kepler y Galileo, lo cual supuso un verdadero punto de inflexin en el desarrollo de la ciencia. Coprnico afirmaba que el Sol ocupaba el centro del universo y los planetas (incluida la Tierra), giraban en rbitas circulares alrededor de ste al mismo tiempo que giraban sobre s mismos alrededor de su propio eje. Tan slo la Luna segua girando en torno a la Tierra. El sistema inclua tambin una esfera inmvil sobre la que se localizaban las estrellas fijas. Encontr una fuerte oposicin, tanto por parte de las autoridades religiosas como del-2-

mundo cientfico y hubo de transcurrir ms de un siglo hasta ser aceptada. Si el primer paso en este largo camino lo dio Coprnico, los siguientes correspondieron a Kepler y Galileo.

2.1- LEYES DE KEPLERKepler fue un astrnomo alemn partidario de la Teora Heliocntrica. Parte de su trabajo se bas en el anlisis de una gran cantidad de datos astronmicos sobre los movimientos de los planetas que haban sido recopilados por su maestro Tycho Brae. En el curso de sus investigaciones se encontr con que no poda ajustar los datos que tena sobre la rbita de Marte al sistema Heliocntrico. Despus de varios intentos por conseguirlo, acab por rechazar la idea de rbita circular de un planeta alrededor del Sol y sustituirla por la de rbita elptica con el Sol ocupando uno de los focos de la elipse. Analizando todos sus datos, enunci tres leyes que describan el movimiento planetario y que contribuyeron aos ms tarde, al nacimiento de la Ley de la Gravitacin Universal de Newton.

1. Todos los planetas describen rbitas elpticas planas con el Sol ocupando uno de los focos de la elipse

En la mayora de los casos las excentricidades de los planetas son muy pequeas, por lo que prcticamentepueden considerarse crculos descentrados. Aproximacin a rbitas circulares

2. Si imaginamos una recta trazada desde el Sol a uno de los planetas, podemos afirmar que el rea barrida por dicha recta en un tiempo dado es la misma, independientemente de la zona de la rbita en la que ste se encuentre. Por lo tanto la velocidad areolar de un planeta en torno al Sol, es constante.

As, un

planeta

se

mover

ms

rpido en el perihelio (punto de la rbita ms cercano al Sol) que en el afelio (punto ms alejado) porque en el primero existe un radio menor y tendr que cubrir ms distancia para barrer (en un tiempo dado) la misma rea que en el segundo.

3. Si T es el tiempo que un planeta emplea en dar una vuelta completa en torno al Sol (periodo de revolucin) y r el radio medio de la rbita, se cumple que el cuadrado del periodo de revolucin es directamente proporcional al cubo del radio medio

T 2 = K r3

K es una constante de proporcionalidad igual para cualquier planeta y cuyo significado fsico quedar claro al abordar la teora de la gravitacin de Newton.

-2-

Las leyes de Kepler son empricas y constituyen una descripcin cinemtica del sistema solar, pero en ellas no se contempla la causa que hace que estos movimientos sean as. Hubo que esperar unos 70 aos para que Newton la estableciera: LA GRAVITACIN UNIVERSAL.

2.2 IMPORTANCIA DE GALILEOEn la poca de Newton (finales del XVII) la Teora Heliocntrica se enseaba en algunas universidades. Para su consolidacin definitiva fueron fundamentales los descubrimientos de GALILEO: Con su telescopio haba observado montaas y valles en la Luna lo cual pona de manifiesto que los cuerpos celestes no eran ni muchsimo menos perfectos, tal y como se crea hasta entonces. Por otro lado, tambin comprob que el planeta Jpiter tena lunas dando vueltas a su alrededor. Es decir, la Tierra ya no era el centro alrededor del cual giraban todos los cuerpos celestes. El establecimiento de la Teora de la Gravitacin culmin el proceso y puso fin a la barrera que hasta entonces exista entre la Tierra y el Cielo, (considerados como dos mundos diferentes formados por materia distinta y cada uno gobernado por sus propias leyes).

3.- GRAVITACIN UNIVERSAL La idea de que la gravedad se extiende por todo el universo se atribuye a Isaac Newton. Segn cuenta la leyenda, concibi esta idea cuando estaba sentado bajo un rbol, sinti caer una manzana y al mirar hacia arriba vio la Luna. Parece ser que a Newton le intrigaba el hecho de que la Luna no sigue una trayectoria en lnea recta sino que describe crculos alrededor de la Tierra. 1. Entenda el concepto de inercia que Galileo haba desarrollado. Saba que en ausencia de fuerzas externas los objetos en movimiento continan movindose con rapidez constante y en lnea recta 2. Tambin saba que todo cambio en la rapidez o direccin de un objeto se debe a la accin de una fuerza, y por tanto implica la existencia de aceleracin 3. Saba que el movimiento circular es acelerado y requiere una fuerza, pero no saba cual era esta. Newton tuvo la perspicacia para comprender que la Luna caa hacia la Tierra, pero cmo?

LA LUNA

CAE SOBRE LA

T IERRA

Para dar respuesta a la pregunta anterior, Newton compar el movimiento de la Luna con el de un proyectil disparado desde una montaa elevada, imagin que la cima estaba por encima de de la atmsfera terrestre para que la resistencia del aire no influyera en su movimiento: Si la bala se dispara con poca rapidez seguira una trayectoria parablica y caera a tierra muy pronto-3-

Si su rapidez inicial fuera mayor, la curvatura de la trayectoria sera menor, y la bala caera ms lejos Si la bala se disparase con la rapidez suficiente, la curvatura de la trayectoria coincidira con la de la Tierra, de modo que su trayectoria se convertira en un crculo y la bala rodeara la Tierra indefinidamente, es decir, caera alrededor de ella.

LA FUERZA QUE TIRA DE LAS MANZANAS Y LAS HACE CAER DE LOS RBOLES ES LA MISMA QUE TIRADE LA

LUNA Y LA MANTIENE EN RBITA LA GRAVEDAD

NEWTON NO DESCUBRI LA GRAVEDAD. LO QUE DESCUBRI FUE QUE LA GRAVEDAD ES UNIVERSAL

La idea de Newton pareca correcta. No obstante faltaba la respuesta definitiva, qu fuerza era sa y como poda describirse matemticamente? Mediante rigurosos clculos matemticos lleg a las siguientes conclusiones:

LEY

DE

GRAVITACIN

U NIVER SAL

1. La interaccin gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y puede expresarse mediante una fuerza directamente proporcional a la masa de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa

Fuerza

m1 m2 r2 m1 m2 r2 r m m r F = G 1 2 2 ur r

2. La expresin anterior se transforma en una igualdad introduciendo la constante de Gravitacin Universal G y cuyo valor es el S.I es G = 6'67x10-11 Nm2/kg2

Fuerza = G

3. Vectorialmente, expresaremos esta fuerza de la siguiente manera:

donde el signo negativo indica el carcter atractivo de la fuerza y el vector unitario se emplea para dar a entender su actuacin en la direccin radial, es decir, a lo largo de la lnea que une los centros de los cuerpos.

Con respecto a esta expresin, debemos tener en cuenta algunas consideraciones de importancia:1. Para esferas uniformes, se considera que se comportan como si toda la masa estuviera concentrada en el centro de las mismas. Por lo tanto, la distancia r representa la distancia que existe entre los centros de los cuerpos. Esta conclusin es aplicable al caso de los planetas.

2. La fuerza que acta sobre m1 es igual que la que acta sobre m2 pero dirigida en sentido contrario tal ycomo establece el principio de accin y reaccin.

r r r F12 = F21 = F

.As pues, la fuerza que la Tierra ejerce

-4-

sobre la Luna es igual en magnitud que la fuerza que la Luna ejerce sobre la Tierra. Del mismo modo, la fuerza con que la piedra atrae a la Tierra es igual a la fuerza con que la Tierra atrae a la piedra.

4.- ESTUDIO DEL MOVIMIENTO PLANETARIO Al estudiar la traslacin de un planeta o satlite consideraremos a estos cuerpos como puntos materiales dotados de la masa del cuerpo. Vamos a ver cules son las magnitudes caractersticas de este movimiento, considerando adems que la rbita que describen es circular:

4.1- MOMENTO ANGULAR ( L )Si un cuerpo o partcula de masa m se mueve con velocidad v y tiene una posicin r con respecto a un origen determinado, definimos su momento angular en relacin con ese origen como el producto vectorial de su posicin por su momento lineal. Es decir:

r

r

r

r r r r r L = r x p = r x (m v )

Esta magnitud define el estado de movimiento de un cuerpo en movimiento curvilneo, y se caracteriza por: La direccin de ( L ) es perpendicular al plano formado por r y

r

r

r p

Su sentido se determinar por la regla de la mano derecha (o tambin la de la mano izquierda) Su mdulo viene dado por L = r m v sen

m2 Las unidades del momento angular en el S.I son kg s Si consideramos un movimiento circular, aproximacin que podemos considerar para el movimiento planetario r y

r

r p son siempre perpendiculares y por lo tanto CONSERVACINDEL

sen = 1 L = m r v

MOMENTO

ANGULAR

Este producto vectorial ser cero y por tanto el momento angular se conserva en dos situaciones: 1. Cuando no acta ninguna fuerza sobre el cuerpo. 2. Cuando r y F tienen la misma direccin. Es el caso de las conocidas como fuerzas centrales. En el caso del movimiento planetario se cumple la segunda condicin, por lo tanto es constante a lo largo del movimiento (cte tanto en mdulo como en direccin), y como consecuencia: Las rbitas de los planetas son planas La fuerza responsable del movimiento planetario (fuerza gravitatoria) es una fuerza central y acta en la direccin que une el planeta y el Sol.-5-

r

r

4.2- CONSIDERACIONES EN EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO DE PLANETAS Y SATLITESNormalmente, al estudiar este movimiento consideramos que el planeta o satlite se encuentra girando con movimiento circular uniforme. Por lo tanto, deber existir una fuerza resultante dirigida hacia el centro de la rbita. Es decir, el vector fuerza resultante sobre el cuerpo que gira slo tiene componente normal:

Esa fuerza normal es la fuerza gravitatoria con la que el cuerpo de masa m es atrado por el de masa M:

DEMOSTRACIN

DE LA

3 LEY

DE

KEPLER

A PARTIR DE LAS

LEYES

DE

NEWTON

Considerando que la fuerza normal que hace girar a un cuerpo alrededor de otro no es otra que la fuerza gravitatoria, podemos escribir:

FGrav = FNormal

G

M m = m an r2

G M m v2 G 2 = m r r

M m v2 = m r2 r T2 =G r3

M m 4 2 r 2 G 2 =m r T2 r

(3 Ley de Kepler )

Por tanto, aos despus de que Kepler enunciara la Ley, Newton demuestra matemticamente su validez.-6-

5.- CAMPO GRAVITATORIO

5.1 CMO TIENE LUGAR LA INTERACCIN GRAVITATORIA? CAMPO GRAVITATORIOEl hecho de que la fuerza gravitatoria acte entre partculas que se encuentran separadas en el espacio, hace que debamos considerar algn mecanismo de propagacin de la interaccin. La Teora de Campos establece que la presencia de una partcula de masa M en una determinada regin del espacio provoca una modificacin de las propiedades de dicho espacio creando una situacin fsica que denominamos campo gravitatorio. Este campo se reconoce porque al colocar una segunda partcula de masa m en dicha regin experimenta una fuerza de atraccin gravitatoria que ser ms intensa cuanto ms prxima se site de M. Anlogamente m crea su campo gravitatorio que produce una fuerza sobre M. Es decir el campo gravitatorio es el agente intermediario de la interaccin entre las dos partculas.

5.2 INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIOPara facilitar el estudio del campo se introduce una magnitud llamada intensidad del campo gravitatorio

r (g ) en un punto, cuyo valor nos indica la fuerza que actuara sobre una masa de 1kg si la colocsemos endicho punto. Por lo tanto, es una magnitud vectorial, cuya direccin y sentido coincidir con la del vector fuerza. Es importante sealar que dicho campo existe y que su intensidad en un punto dado es independiente de que en l se coloque o no masa alguna. Si consideramos una regin del espacio donde existe un campo creado por un cuerpo de masa M, tal y como se ve en el grfico inferior: En cualquier punto situado dentro del campo gravitatorio terrestre existir un vector campo gravitatorio Si en algn punto se coloca una partcula de masa m, esta partcula se ver sometida a una fuerza de atraccin gravitatoria La fuerza con la que la Tierra atrae a un cuerpo

tambin se conoce como peso de dicho cuerpo. Habitualmente se representa con la letra P, de modo r r que: P = m g Para obtener el valor del campo gravitatorio generado por una masa M en un punto P en el que existe una masa m

r r F g = (se medir en N / kg ) m

-7-

5.3 REPRESENTACIN DEL CAMPO MEDIANTE LNEAS DE FUERZAPara visualizar un campo se recurre a lneas de fuerza que nos indican la direccin y sentido de la fuerza gravitatoria que experimentara una masa de prueba m colocada en la zona del campo gravitatorio Si nos imaginamos una masa M creadora de un campo y pensamos que leocurrira a una pequea masa de prueba m si la fusemos colocando en distintos puntos cercanos a M, veremos que las lneas de fuerza han de ser lneas rectas que llegan radialmente a la masa M En aquellos lugares donde las lneas de fuerza estn ms separadas la intensidad del campo es menor y viceversa

5.4

INTENSIDAD DEL CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE

A una altura h sobre la superficie

gh =G

M Tierra ( RTierra + h ) 2

Sobre la superficie

gO = G

(R

M TierraTierra

)

2

A una profundidad p

gp = G

4 3 r3 4 = G ( RT p ) r2 3

donde =

(

M Tierra 4 3 r3

)

es la densidad media de la Tierra.

5.5

PESO E INGRAVIDEZ

La sensacin de peso es igual a la fuerza que ejerces contra el piso que te sostiene. Cuando el piso se acelera hacia arriba o hacia abajo, tu peso parece variar. Cuando nada te sostiene (en cada libre) sientes que careces de l. Pero la gravedad no ha desaparecido. As pues ests realmente en condiciones de ingravidez? La respuesta

-8-

es lgicamente que NO.

LOS

ASTRONAUTAS EN RBITA CARECEN DE UNA FUERZA DE SOPORTE Y SE ENCUENTRAN EN UN ESTADO CONTINUO DE INGRAVIDEZ LO QUE LES PRODUCE MAREOS HASTA QUE SE ACONTUMBRAN

6.-

CONSIDERACIONES ENERGTICAS DEL CAMPO GRAVITA TORIO

6.1 FUERZAS CONSERVATIVASLa fuerza gravitatoria es una FUERZACONSERVATIVA.

CULES SON LAS CARACTERSTICAS DE LAS FUERZAS CONSERVATIVAS? Son fuerzas bajo cuya accin se conserva la energa mecnica del sistema Realizan un trabajo que slo depende de la posicin inicial y final, pero no de la trayectoria seguida. Esto implica que, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para desplazar una partcula de masa m desde una posicin (O) a otra (O) , ser funcin nicamente de las posiciones inicial y final y no depender del camino seguido. Si la trayectoria es cclica el trabajo realizado por las fuerzas

conservativas es nulo.

W A = WB = WC

Teniendo en cuenta que la realizacin de un trabajo equivale a una variacin de energa, se define un tipo de energa asociada a la posicin y que se denomina energa potencial de modo que, el trabajo realizado por fuerzas conservativas equivale a la variacin negativa de la energa potencial del sistema

Wconservativas = E p = E p ( posicion inicial ) E p ( posicion final )

En el caso de la fuerza gravitatoria hablamos de Energa potencial gravitatoria

Ep = m g r6.2 ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIASi definimos la energa potencial en trminos de trabajo, est claro que necesitamos dos puntos. Por este motivo, hay que establecer una referencia, un origen de Energa potencial. Fijaremos como valor cero de Ep aquel en el que la fuerza gravitatoria es cero, lo cual sucede en el infinito. Por lo tanto, para averiguar el valor de la energa potencial de la masa m en el punto P (situado a una distancia r de la masa m1) calcularemos el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para trasladar a m desde el infinito hasta el punto P:

M M m WP = E p ( ) E p (r ) = m G 2 r = G r r -9-

La energa potencial de una partcula de masa m situada a una distancia r de la masa creadora de ese campo es:

Ep = G

M m r

(Julios)

La Energa potencial de una partcula en un punto es una magnitud escalar que indica el trabajo que realizara la fuerza gravitatoria para llevarla desde el infinito (Ep=0) hasta dicho punto6.3POTENCIAL GRAVITATORIO

Una vez definida la Energa potencial en un punto, definimos otra magnitud a la que llamaremos Potencial gravitatorio (V) en un punto, cuyo valor coincide con el que tendra la energa potencial gravitatoria de una masa de 1 kg si la colocsemos en dicho punto. Conviene darse cuenta de que no es una magnitud vectorial y se mide en J/kg. Por otra parte, en cada punto del campo existe un potencial independientemente de que en l se coloque o no masa alguna, es decir, el potencial gravitatorio es una caracterstica propia del campo. Para conocer su valor en un punto determinamos la energa potencial de cualquier partcula, y despus la dividimos entre su masa:

V =

Ep m

= G

M r

V = G

M r

(J

kg )

El potencial gravitatorio representa la energa potencial adquirida por la unidad de masa en un punto del campo donde, evidentemente, hemos considerado como origen de potenciales

V ( ) = 0

6.4 REPRESENTACIN GRFICAPor otra parte, un campo escalar como el campo de potenciales se representa mediante lasSUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

que son aquellos lugares geomtricos en los que el

potencial (V) toma el mismo valor. En este caso son esferas concntricas en el punto donde est situada la partcula creadora del campo.

6.5

VELOCIDAD DE ESCAPE

Supongamos que deseamos que un cuerpo de masa (m) abandone el campo gravitatorio terrestre y no vuelva a l. En trminos fsicos significa que el cuerpo ha de llegar hasta una distancia infinita donde la Ep=0). Para conseguirlo, tendremos que comunicarle una energa en forma de energa cintica que haga que-10-

el cuerpo adquiera la velocidad suficiente para escapar de la accin del campo gravitatorio terrestre y a la que denominamos velocidad de escape. Esta definicin es aplicable a cualquier otro planeta o satlite

CMO

PODEMOS AVERIGUAR SU VALOR?

Puesto que la fuerza gravitatoria es conservativa, la energa mecnica se conserva en todos los sistemas en los que se ve implicada, y aplicando esta condicin podremos averiguar el valor de ve (velocidad de escape):

6.6

ENERGA Y RBITAS

La constancia de las rbitas planetarias permite suponer que la energa mecnica de los planetas y satlites de nuestro sistema solar se mantiene constante. Supongamos un cuerpo de masa (m) que describe una rbita circular a una distancia (r) del centro terrestre (r = rT + h) y que m