1-1

Capítulo cincoUn panorama de conceptos probabilísticos

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

UNODefinir lo que es probabilidad.

DOS Describir los enfoques clásico, empírico y subjetivo para la probabilidad.

TRESEntender los conceptos: experimento, evento, resultado, permutaciones y combinaciones.

CUATRODefinir los conceptos: probabilidad condicional y probabilidad conjunta.

1-1

Capítulo cinco continuación

Un panorama de conceptos probabilísticos

OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:

CINCO Calcular probabilidades aplicando las reglas de adición y multiplicación.

SEISUtilizar un diagrama de árbol para organizar y calcular probabilidades.

SIETE Calcular una probabilidad utilizando el teorema de Bayes.

OCHODetermine el número de permutaciones y el número de combinaciones.

DefinicionesDefiniciones

Probabilidad:Probabilidad: valor entre cero y uno, inclusive, valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento.ocurra un evento.

Experimento:Experimento: proceso que conduce a la proceso que conduce a la ocurrencia de una de varias observaciones ocurrencia de una de varias observaciones posibles.posibles.

Resultado:Resultado: lo que resulta en particular de un lo que resulta en particular de un experimento.experimento.

Evento:Evento: conjunto de uno o más resultados de conjunto de uno o más resultados de un experimento.un experimento.

5-3

Enfoques de la probabilidadEnfoques de la probabilidad

Probabilidad clásica Probabilidad clásica se basa en la se basa en la consideración de que los resultados consideración de que los resultados de un experimento son igualmente de un experimento son igualmente posibles.posibles.

Utilizando el punto de vista clásico,Utilizando el punto de vista clásico,

posibles resultados de totalnúmero

favorables resultados de número= eventoun de adProbabilid

5-4

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Considere el experimento de lanzar Considere el experimento de lanzar dos monedas al mismo tiempo.dos monedas al mismo tiempo.

El espacio muestral S = {CC, CS, SC, El espacio muestral S = {CC, CS, SC, SS}SS}

Considere el evento de Considere el evento de una una cara.cara. Probabilidad de una cara = 2/4 = Probabilidad de una cara = 2/4 =

1/2.1/2.

5-5

Eventos mutuamente Eventos mutuamente excluyentesexcluyentes

Eventos mutuamente excluyentes:Eventos mutuamente excluyentes: la ocurrencia de cualquier evento la ocurrencia de cualquier evento implica que ningún otro puede implica que ningún otro puede ocurrir al mismo tiempo.ocurrir al mismo tiempo.

En el En el EJEMPLO 1EJEMPLO 1, los cuatro , los cuatro resultados posibles son mutuamente resultados posibles son mutuamente excluyentes. excluyentes.

5-6

Eventos colectivamente Eventos colectivamente exhaustivosexhaustivos

Colectivamente exhaustivos:Colectivamente exhaustivos: por lo por lo menos uno de los eventos debe ocurrir menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se realiza un experimento.cuando se realiza un experimento.

En el En el EJEMPLO 1EJEMPLO 1, los cuatro resultados , los cuatro resultados posibles son colectivamente posibles son colectivamente exhaustivos. En otras palabras, la exhaustivos. En otras palabras, la suma de las probabilidades es = 1 suma de las probabilidades es = 1 (.25 + .25 + .25 + .25).(.25 + .25 + .25 + .25).

5-7

Concepto de frecuencias Concepto de frecuencias relativasrelativas

Probabilidad EmpíricaProbabilidad Empírica La probabilidad de que un evento La probabilidad de que un evento

ocurra a largo plazo se determina ocurra a largo plazo se determina observando en qué fracción de observando en qué fracción de tiempo sucedieron eventos tiempo sucedieron eventos semejantes en el pasado:semejantes en el pasado:

nesobservacio de totalnúmeroevento el ocurrió que vecesde número

= evento del adProbabilid

5-8

EJEMPLO EJEMPLO 22

A lo largo de su carrera, la profesora A lo largo de su carrera, la profesora Jones ha otorgado 186 calificaciones de A Jones ha otorgado 186 calificaciones de A entre sus 1200 estudiantes. ¿Cuál es la entre sus 1200 estudiantes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de su probabilidad de que un estudiante de su clase en este semestre reciba una A?clase en este semestre reciba una A?

Aplicando el concepto de frecuencias Aplicando el concepto de frecuencias relativas, la probabilidad de una A es relativas, la probabilidad de una A es

186 /1200 = 0.155 186 /1200 = 0.155

5-9

Probabilidad subjetivaProbabilidad subjetiva Probabilidad subjetiva:Probabilidad subjetiva: la posibilidad la posibilidad

(probabilidad) de que suceda un evento (probabilidad) de que suceda un evento específico que asigna una persona con específico que asigna una persona con base en cualquier información disponible.base en cualquier información disponible.

Ejemplos de la probabilidad subjetiva son Ejemplos de la probabilidad subjetiva son estimar la probabilidad de que los estimar la probabilidad de que los Redskins de Washington ganen el Super Redskins de Washington ganen el Super Bowl el próximo año y estimar la Bowl el próximo año y estimar la probabilidad de que ocurra un terremoto probabilidad de que ocurra un terremoto en Los Ángeles este año.en Los Ángeles este año.

5-10

Reglas básicas de Reglas básicas de probabilidadprobabilidad

Si los eventos son mutuamente Si los eventos son mutuamente excluyentes, la ocurrencia de cualquier excluyentes, la ocurrencia de cualquier evento impide que otro eventos ocurra.evento impide que otro eventos ocurra.

Reglas de adición:Reglas de adición: si dos eventos A y B si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, la regla son mutuamente excluyentes, la regla especial de adición indica que la especial de adición indica que la probabilidad de que ocurra A o B es probabilidad de que ocurra A o B es igual a la suma de sus probabilidades igual a la suma de sus probabilidades respectivas:respectivas:P(A o B) = P(A) + P(B) P(A o B) = P(A) + P(B)

5-11

EJEMPLO 3EJEMPLO 3 American Airlanes acaba de American Airlanes acaba de

proporcionar la siguiente proporcionar la siguiente información de sus vuelos de información de sus vuelos de Boston a Nueva York:Boston a Nueva York:Llegada Frecuencia

Antes de tiempo 100

A tiempo 800

Demorado 75

Cancelado 25

Total 1000

5-12

EJEMPLO 3 EJEMPLO 3 continuacióncontinuación

Si A es el evento de que un vuelo llegue Si A es el evento de que un vuelo llegue antes de tiempo, entoncesantes de tiempo, entonces

P(A) = 100 /1000 = 0.1.P(A) = 100 /1000 = 0.1. Si B es el evento de que un vuelo llegue Si B es el evento de que un vuelo llegue

demorado, entonces demorado, entonces

P(B) = 75 /1000 = 0.075.P(B) = 75 /1000 = 0.075. La probabilidad de que un vuelo llegue La probabilidad de que un vuelo llegue

antes de tiempo o demorado esantes de tiempo o demorado es

P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.P(A o B) = P(A) + P(B) = .1 + .075 = 0.175.

5-13

Regla del complementoRegla del complemento

La La regla del complemento regla del complemento se utiliza se utiliza para determinar la probabilidad de para determinar la probabilidad de que ocurra un evento restando del que ocurra un evento restando del número 1 la probabilidad de que un número 1 la probabilidad de que un evento evento nono ocurra. Si P(A) es la ocurra. Si P(A) es la probabilidad del evento A y P(~A) probabilidad del evento A y P(~A) es el complemento de A, es el complemento de A, P(A) + P(A) + P(~A) = 1P(~A) = 1 o o P(A) = 1 - P(~A).P(A) = 1 - P(~A).

5-14

Regla del complemento Regla del complemento continuacióncontinuación

Diagrama de Venn que ilustra la Diagrama de Venn que ilustra la regla del complementoregla del complemento

A ~A

5-15

EJEMPLO 4EJEMPLO 4 Recuerde el Recuerde el EJEMPLO 3EJEMPLO 3.. Si C es el evento de que un vuelo llegue a Si C es el evento de que un vuelo llegue a

tiempo, entonces P(C) = 800 /1000 = 0.8.tiempo, entonces P(C) = 800 /1000 = 0.8. Si D es el evento de que un vuelo sea Si D es el evento de que un vuelo sea

cancelado, entonces cancelado, entonces

P(D) = 25 /1000 = 0.025.P(D) = 25 /1000 = 0.025. Utilice la regla del complemento para mostrar Utilice la regla del complemento para mostrar

que la probabilidad de que el vuelo llegue que la probabilidad de que el vuelo llegue antes de tiempo (A) o demorado (B) es 0.175.antes de tiempo (A) o demorado (B) es 0.175.

5-16

EJEMPLO 4 EJEMPLO 4 continuacióncontinuación

P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] P(A o B) = 1 - P(C o D) = 1 - [.8 + .025] = .175= .175

C.8

D.025

~(C o D) = (A o B) .175

5-17

Regla general de adiciónRegla general de adición

Si A y B son dos eventos que no son Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entoncesmutuamente excluyentes, entonces

P(A o B) se calcula con la siguiente P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula:fórmula:

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

5-18

Regla general de adiciónRegla general de adición

Diagrama de Venn que ilustra esta Diagrama de Venn que ilustra esta reglaregla

A y B

A

B

5-19

EJEMPLOEJEMPLO 5 5

En una muestra de 500 En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV estéreo, 175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos: y 100 dijeron tener ambos:

Estéreo 320

Ambos 100

TV175

5-20

EJEMPLO 5 EJEMPLO 5 continuacióncontinuación

Si un estudiante es seleccionado Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada estéreo, sólo una TV y uno de cada uno?uno?

P(S) = 320 /500 = .64.P(S) = 320 /500 = .64. P(T) = 175 /500 = .35.P(T) = 175 /500 = .35. P(S y T) = 100 /500 = .20.P(S y T) = 100 /500 = .20.

5-21

EJEMPLO 5 EJEMPLO 5 continuacióncontinuación

Si un estudiante es seleccionado Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación?o una TV en su habitación?

P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = .64 +.35 - .20 = .79.= .64 +.35 - .20 = .79.

5-22

Probabilidad conjuntaProbabilidad conjunta

Probabilidad conjuntaProbabilidad conjunta es una es una probabilidad que mide la posibilidad probabilidad que mide la posibilidad de que dos o más eventos ocurran de que dos o más eventos ocurran juntos. Un ejemplo sería el hecho de juntos. Un ejemplo sería el hecho de que un estudiante tenga tanto un que un estudiante tenga tanto un estéreo como una TV en su estéreo como una TV en su habitación.habitación.

5-23

Regla especial de Regla especial de multiplicaciónmultiplicación

La La regla especial de multiplicaciónregla especial de multiplicación requiere que dos eventos A y B sean requiere que dos eventos A y B sean independientes.independientes.

Dos eventos A y B son Dos eventos A y B son independientes independientes si la ocurrencia de una no afecta la si la ocurrencia de una no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.probabilidad de ocurrencia del otro.

La regla especial se escribe:La regla especial se escribe:P(A y B) = P(A) * P(B). P(A y B) = P(A) * P(B).

5-24

EJEMPLO 6EJEMPLO 6 Peter posee dos inventarios Peter posee dos inventarios

independientes uno de otro. La independientes uno de otro. La probabilidad de que el inventario A probabilidad de que el inventario A aumente su valor el próximo año es .5. La aumente su valor el próximo año es .5. La probabilidad de que el B aumente el suyo probabilidad de que el B aumente el suyo es .7.es .7.

¿Cuál es la probabilidad de que ambos ¿Cuál es la probabilidad de que ambos aumenten su valor el próximo año?aumenten su valor el próximo año?

P(A y B) = (.5)(.7) = .35.P(A y B) = (.5)(.7) = .35.

5-25

EJEMPLO 6 EJEMPLO 6 continuaciòncontinuaciòn

¿Cuál es la probabilidad de que al ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno aumente su valor el menos uno aumente su valor el próximo año (esto implica que próximo año (esto implica que cualquiera de los dos o ambos cualquiera de los dos o ambos aumenten)?aumenten)?

Así, P(al menos uno) = (.5)(.3) + (.5)Así, P(al menos uno) = (.5)(.3) + (.5)(.7) + (.7)(.5) = .85.(.7) + (.7)(.5) = .85.

5-26

Probabilidad condicionalProbabilidad condicional

Probabilidad condicionalProbabilidad condicional es la es la probabilidad de que ocurra un evento probabilidad de que ocurra un evento en particular, dado que ocurrió otro en particular, dado que ocurrió otro evento.evento.

NotaNota:: la probabilidad de que ocurra la probabilidad de que ocurra el evento A dado que ya ocurrió B se el evento A dado que ya ocurrió B se denota como denota como

P(A|B).P(A|B).

5-27

Regla general de Regla general de multiplicaciónmultiplicación

La La regla general de multiplicaciónregla general de multiplicación se se utiliza para determina la probabilidad utiliza para determina la probabilidad conjunta de que ocurran dos eventos y conjunta de que ocurran dos eventos y establece: establece: para dos eventos A y B, la para dos eventos A y B, la probabilidad conjunta que ambos probabilidad conjunta que ambos ocurran se encuentra multiplicando la ocurran se encuentra multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad probabilidad de A por la probabilidad condicional de B dado que A ocurrió.condicional de B dado que A ocurrió.

5-28

Regla general de Regla general de multiplicaciónmultiplicación

La probabilidad conjunta, P(A y B) La probabilidad conjunta, P(A y B) está dada por la siguiente fórmula: está dada por la siguiente fórmula: P(A y B) = P(A) * P(B|A) P(A y B) = P(A) * P(B|A)

oo P(A y B) = P(B) * P(A|B)P(A y B) = P(B) * P(A|B)

5-29

EJEMPLO 7EJEMPLO 7 La directora de la escuela de La directora de la escuela de

administración en Miami recolectó administración en Miami recolectó la siguiente información acerca de la siguiente información acerca de los estudiantes de licenciatura del los estudiantes de licenciatura del colegio:colegio:

Área Hombre Mujer Total

Contabilidad 170 110 280

Finanzas 120 100 220

Mercadotecnia 160 70 230

Administración 150 120 270

Total 600 400 1000

5-30

EJEMPLO 7 EJEMPLO 7 continuacióncontinuación

Si un estudiante se selecciona al azar, Si un estudiante se selecciona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el ¿cuál es la probabilidad de que el estudiante sea mujer del área de estudiante sea mujer del área de contabilidad? contabilidad? P(A y F) = 110 / 1000.P(A y F) = 110 / 1000.

Dado que la estudiante es mujer, ¿cuál es Dado que la estudiante es mujer, ¿cuál es la probabilidad que esté en el área de la probabilidad que esté en el área de contabilidad? P(A|F) = [P(A y F)] / [P(F)] = contabilidad? P(A|F) = [P(A y F)] / [P(F)] = [110 / 1000] /[400 / 1000] = .275.[110 / 1000] /[400 / 1000] = .275.

5-31

Diagrama de árbolDiagrama de árbol El diagrama de árbol es muy útil para El diagrama de árbol es muy útil para

visualizar las probabilidades condicional y visualizar las probabilidades condicional y conjunta y en particular para el análisis de conjunta y en particular para el análisis de decisiones administrativas que involucran decisiones administrativas que involucran varias etapas.varias etapas.

EJEMPLO 8:EJEMPLO 8: una bolsa contiene 7 fichas una bolsa contiene 7 fichas rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 rojas (R) y 5 azules (B), se escogen 2 fichas, una después de la otra sin fichas, una después de la otra sin reemplazo. Construya el diagrama de árbol reemplazo. Construya el diagrama de árbol con esta información. con esta información.

5-32

EJEMPLO 8 EJEMPLO 8 continuacióncontinuación

R1

B1

R2

B2

R2

B2

7/12

5/12

6/11

5/11

7/11

4/11

5-33

Algunos principios de Algunos principios de conteoconteo

Fórmula de la multiplicación:Fórmula de la multiplicación: si hay si hay mm modos de hacer una cosa y modos de hacer una cosa y nn formas formas de hacer otra, existen de hacer otra, existen mm xx nn formas de formas de hacer ambas.hacer ambas.

EJEMPLO 10EJEMPLO 10: el doctor Pérez tiene 10 : el doctor Pérez tiene 10 camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos camisas y 8 corbatas. ¿Cuántos conjuntos de camisas /corbatas tiene? conjuntos de camisas /corbatas tiene? (10)(8) = 80.(10)(8) = 80.

5-37

Algunos principios de Algunos principios de conteoconteo

Permutación:Permutación: un arreglo de un arreglo de rr objetos objetos seleccionados a partir de un grupo seleccionados a partir de un grupo único único de de nn objetos posibles. objetos posibles.

NotaNota:: el orden del arreglo es el orden del arreglo es importante en las permutaciones.importante en las permutaciones.

5-38

nn

n rP

!

( )r

!

Principios de conteoPrincipios de conteo

Combinación:Combinación: el número de modos el número de modos para elegir para elegir r r objetos de un grupo de objetos de un grupo de nn objetos sin considerar el orden. objetos sin considerar el orden.

n rCn

r n r

!

!( ) !

5-39

EJEMPLO 11EJEMPLO 11

El entrenador Thompson tiene que El entrenador Thompson tiene que elegir 5 jugadores entre los doce del elegir 5 jugadores entre los doce del equipo para incluirlos en alineación. equipo para incluirlos en alineación. ¿Cuántos grupos diferentes se pueden ¿Cuántos grupos diferentes se pueden formar?formar? 1212CC55 = = (12!)/[5!(12-5)!] =792(12!)/[5!(12-5)!] =792

Suponga que el entrenador Thompson Suponga que el entrenador Thompson debe clasificarlos en orden:debe clasificarlos en orden: 1212PP55 = (12!)/(12-5)! = 95,040. = (12!)/(12-5)! = 95,040.

5-40