1-1 Capítulo seis Distribuciones probabilísticas discretas OBJETIVOS Al terminar este capítulo...
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1-1 Capítulo seis Distribuciones probabilísticas discretas OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá: UNO Definir los términos de distribución de probabilidad y variable aleatoria. DOS Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una continua. TRES Calcular la media, la variancia y la desviación estándar de una distribución pobabilística discreta. CUATRO Describir las características y calcular las probabilidades usando la distribución de
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1-1
Capítulo seisDistribuciones probabilísticas discretas
OBJETIVOSAl terminar este capítulo podrá:
UNODefinir los términos de distribución de probabilidad y variable aleatoria.
DOS Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una continua.
TRESCalcular la media, la variancia y la desviación estándar de una distribución pobabilística discreta.
CUATRODescribir las características y calcular las probabilidades usando la distribución de probabilidad binomial.
1-1
Capítulo seis continuación
Distribuciones probabilísticas discretas
OBJETIVOS Al terminar este capítulo podrá:
CINCO Describir las cracterísticas y calcular las probabilidades usando la dsitribución hipergeométrica.
SEISDescribir las características y calcular las probabilidades usando la distribución de Poisson.
Variables aleatoriasVariables aleatorias
Una Una variable aleatoriavariable aleatoria es un valor es un valor numérico determinado por el numérico determinado por el resultado de un experimento.resultado de un experimento.
EJEMPLO 1:EJEMPLO 1: considere un experimento considere un experimento aleatorio en el que se lanza tres veces aleatorio en el que se lanza tres veces una moneda. Sea una moneda. Sea XX el número de el número de caras. Sea H el resultado de obtener caras. Sea H el resultado de obtener una cara y T el de obtener una cruz.una cara y T el de obtener una cruz.
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EJEMPLO 1 EJEMPLO 1 continuacióncontinuación
El El espacio muestral espacio muestral para este para este experimento será: TTT, TTH, THT, experimento será: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH.THH, HTT, HTH, HHT, HHH.
Entonces, los valores posibles de Entonces, los valores posibles de XX (número de caras) son (número de caras) son xx = 0, 1, 2, 3. = 0, 1, 2, 3.
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EJEMPLO 1 EJEMPLO 1 continucióncontinución
El resultado “cero caras” ocurrió una vez.El resultado “cero caras” ocurrió una vez. El resultado “una cara” ocurrió tres veces.El resultado “una cara” ocurrió tres veces. El resultado “dos caras” ocurrió tres El resultado “dos caras” ocurrió tres
veces.veces. El resultado “tres caras” ocurrió una vez.El resultado “tres caras” ocurrió una vez. De la definición de variable aleatoria, la De la definición de variable aleatoria, la XX
definida en este experimento, es una definida en este experimento, es una variable aleatoriavariable aleatoria..
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Distribuciones Distribuciones probabilísticasprobabilísticas
Una Una distribución probabilísticadistribución probabilística es es la enumeración de todos los la enumeración de todos los resultados de un experimento resultados de un experimento junto con las probabilidades junto con las probabilidades asociadas. Para el asociadas. Para el EJEMPLO 1EJEMPLO 1,,
Número de caras Probabilidad de los resultados
0 1/8 = .125
1 3/8 = .375
2 3/8 = .375
3 1/8 = .125
Total 8/8 = 1
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Características de una Características de una distribución probabilísticadistribución probabilística
La probabilidad de un resultado La probabilidad de un resultado siempre debe estar entre 0 y 1.siempre debe estar entre 0 y 1.
La suma de todos los resultados La suma de todos los resultados mutuamente excluyentes siempre mutuamente excluyentes siempre es 1.es 1.
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Variable aleatoria discretaVariable aleatoria discreta
Una Una variable aleatoria discretavariable aleatoria discreta es una es una variable que puede tomar sólo ciertos variable que puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de de la cuenta de alguna característica de interés.interés.
EJEMPLO 2:EJEMPLO 2: sea sea XX el número de caras el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una obtenidas al lanzar 3 veces una moneda.moneda.Aquí los valores de Aquí los valores de XX son son xx = 0, 1, 2, 3. = 0, 1, 2, 3.
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Variable aleatoria continuaVariable aleatoria continua
Una Una variable aleatoria continua variable aleatoria continua es es una variable que puede tomar un una variable que puede tomar un número infinito de valores. número infinito de valores.
Ejemplos: la altura de un jugador de Ejemplos: la altura de un jugador de básquetbol o el tiempo que dura una básquetbol o el tiempo que dura una siesta.siesta.
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Media de una distribución Media de una distribución probabilística discretaprobabilística discreta
La La mediamedia: : indica la ubicación central de los datos.indica la ubicación central de los datos. es el promedio, a la larga, del valor de la es el promedio, a la larga, del valor de la
variable aleatoria.variable aleatoria. también se conoce como el valor también se conoce como el valor
esperado, E(esperado, E(xx), en una distribución de ), en una distribución de probabilidad.probabilidad.
es un promedio ponderado.es un promedio ponderado.
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Media de una distribución Media de una distribución probabilística discretaprobabilística discreta
La media se calcula con la fórmula:La media se calcula con la fórmula:
donde donde representa la media y representa la media y P(P(xx)) es es la probabilidad de los diferentes la probabilidad de los diferentes resultados resultados xx..
)](*[=)(= xPxxE
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Variancia de una Variancia de una distribución probabilística distribución probabilística
discretadiscreta La La varianciavariancia mide la cantidad de mide la cantidad de
dispersión (variación) de una dispersión (variación) de una distribución.distribución.
La La varianciavariancia de una distribución de una distribución discreta se denota por la letra discreta se denota por la letra griega (sigma cuadrada).griega (sigma cuadrada).
La La desviación estándardesviación estándar se obtiene se obtiene tomando la raíz cuadrada de . tomando la raíz cuadrada de .
2
2
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Variancia de una Variancia de una distribución probabilística distribución probabilística
discretadiscreta La La varianciavariancia de una distribución de de una distribución de
probabilidad discreta se calcula a probabilidad discreta se calcula a partir de la fórmulapartir de la fórmula
2 2 [( ) * ( )]x P x
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EJEMPLO 2EJEMPLO 2 Dan Desch, Dan Desch,
propieatario de propieatario de College Painters, College Painters, estudió sus estudió sus registros de las registros de las últimas 20 últimas 20 semanas y obtuvo semanas y obtuvo los siguientes los siguientes números de casas números de casas pintadas por pintadas por semana:semana:
# de casas pintadas Semanas
10 5
11 6
12 7
13 2
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EJEMPLO 2 EJEMPLO 2 continuacióncontinuación
Distribución probabilística:Distribución probabilística:
Número de casaspintadas, X
Probabilidad, P(X)
10 .25
11 .30
12 .35
13 .10
Total 1
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EJEMPLO 2 EJEMPLO 2 continuacióncontinuación
Calcule el número medio de casas Calcule el número medio de casas pintadas por semana: pintadas por semana:
E x xP x( ) [ ( )]
( )(. ) ( )(. ) ( )(. ) ( )(. )
.
10 25 11 30 12 35 13 10
113
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EJEMPLO 2 EJEMPLO 2 continuacióncontinuación
Calcule la variancia del número de Calcule la variancia del número de casas pintadas por semana:casas pintadas por semana:
2 2
4225 0270 1715 2890
91
[( ) ( )]
. . . .
.
x P x
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Distribución probabilística Distribución probabilística binomialbinomial
La La distribución binomialdistribución binomial tiene las tiene las siguientes características:siguientes características: un resultado de un experimento se clasifica un resultado de un experimento se clasifica
en una de dos categorías mutuamente en una de dos categorías mutuamente excluyentes -éxito o fracaso.excluyentes -éxito o fracaso.
los datos recolectados son resultados de los datos recolectados son resultados de contar.contar.
la probabilidad de éxito es la misma para la probabilidad de éxito es la misma para cada ensayo.cada ensayo.
los ensayos son independientes.los ensayos son independientes.
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Distribución probabilística Distribución probabilística binomialbinomial
Para elaborar una Para elaborar una distribución distribución binomialbinomial, sea, sea nn el número de ensayos el número de ensayos xx el número de éxitos observados el número de éxitos observados la la probabilidad de éxito en cada ensayoprobabilidad de éxito en cada ensayo
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Distribución probabilística Distribución probabilística binomialbinomial
La fórmula para la distribución de La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:probabilidad binomial es:
P xn
x n xx n x( )
!
!( )!( )
1
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EJEMPLO 3EJEMPLO 3
La Secretaría del Trabajo del estado La Secretaría del Trabajo del estado de Alabama reporta que 20% de la de Alabama reporta que 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está fuerza de trabajo en Mobile está desempleada. De una muestra de 14 desempleada. De una muestra de 14 trabajadores, calcule las siguientes trabajadores, calcule las siguientes probabilidades con la fórmula de la probabilidades con la fórmula de la distribución binomial (distribución binomial (nn=14, =.2, ):=14, =.2, ): tres están desempleados: P(tres están desempleados: P(xx=3)=.250=3)=.250
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EJEMPLO 3 EJEMPLO 3 continuacióncontinuación NotaNota:: éstos también son ejemplos de éstos también son ejemplos de
distributions probabilísticas distributions probabilísticas acumulativasacumulativas:: tres o más están desempleados: tres o más están desempleados:
P(P(xx 3)=.250 +.172 +.086 +.032 3)=.250 +.172 +.086 +.032 +.009 +.002=.551 +.009 +.002=.551
al menos un trabajador está desempleado: al menos un trabajador está desempleado: P(P(xx 1) = 1 - P( 1) = 1 - P(xx=0) =1 - .044 = .956=0) =1 - .044 = .956
a lo más dos trabajadores están desem-a lo más dos trabajadores están desem-pleados: P(pleados: P(x x 2)=.044 +.154 +.2502)=.044 +.154 +.250 =.448 =.448
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Media y variancia de la Media y variancia de la distribución binomialdistribución binomial
La La mediamedia está dada por: está dada por:
La La varianciavariancia está dada por: está dada por:
n
2 1 n ( )
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EJEMPLO 4EJEMPLO 4
Del Del EJEMPLO 3EJEMPLO 3, recuerde que , recuerde que =.2 y =.2 y nn=14.=14.
Así, la Así, la mediamedia = = nn = 14(.2) = 2.8. = 14(.2) = 2.8. La La varianciavariancia = = nn (1 - (1 - ) ) = (14)(.2) = (14)(.2)
(.8) =2.24.(.8) =2.24.
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Población finitaPoblación finita
Una Una población finitapoblación finita es una población es una población que consiste en un número fijo de que consiste en un número fijo de individuos, objetos o medidas individuos, objetos o medidas conocidos.conocidos.
Los ejemplos incluyen: el número de Los ejemplos incluyen: el número de estudiantes en esta clase, el número estudiantes en esta clase, el número de automóviles en el de automóviles en el estacionamiento.estacionamiento.
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Distribución Distribución hipergeométricahipergeométrica
FórmulaFórmula::
donde donde NN es el tamaño de la es el tamaño de la población, población, SS es el número de éxitos es el número de éxitos en la población,en la población, xx e es el número de s el número de éxitos de interés, éxitos de interés, nn es el tamaño de es el tamaño de la muestra, y la muestra, y CC es una combinación es una combinación..
P xC C
CS x N S n x
N n
( )( )( )
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Distribución Distribución hipergeométricahipergeométrica
Use la Use la distribución hipergeométricadistribución hipergeométrica para para encontrar la probabilidad de un número encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos o fracasos si:específico de éxitos o fracasos si: la muestra se selecciona de una población la muestra se selecciona de una población
finita sin reemplazo (recuerde que un finita sin reemplazo (recuerde que un criterio para la distribución binomial es que criterio para la distribución binomial es que la probabilidad de éxito es la misma de un la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro).ensayo a otro).
el tamaño de la muestra el tamaño de la muestra nn es mayor que es mayor que 5% del tamaño de la población 5% del tamaño de la población NN..
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EJEMPLO 5EJEMPLO 5
La National Air Safety Board tiene una lista La National Air Safety Board tiene una lista de 10 violaciones a la seguridad de 10 violaciones a la seguridad reportadas por ValueJet. Suponga que sólo reportadas por ValueJet. Suponga que sólo 4 de ellas son en realidad violaciones y 4 de ellas son en realidad violaciones y que el Safety Board sólo podrá investigar que el Safety Board sólo podrá investigar cinco de las violaciones. ¿Cuál es la cinco de las violaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que tres de las cinco probabilidad de que tres de las cinco violaciones seleccionadas al azar para violaciones seleccionadas al azar para investigarlas sean en realidad violaciones?investigarlas sean en realidad violaciones?
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EJEMPLO 5 EJEMPLO 5 continuacióncontinuación
PC C
C( )
* *.3
4 15
2522384 3 6 2
10 5
N=10S=4x=3n=5
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Distribución de PoissonDistribución de Poisson
La distribución de probabilidades La distribución de probabilidades binomial se hace cada vez más sesgada binomial se hace cada vez más sesgada a la derecha conforme la probabilidad a la derecha conforme la probabilidad de éxitos disminuye.de éxitos disminuye.
La forma límite de la distribución La forma límite de la distribución binomial donde la probabilidad de éxito binomial donde la probabilidad de éxito es muy pequeña y es muy pequeña y nn es grande se es grande se llama llama distribución de probabilidades de distribución de probabilidades de PoissonPoisson..
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Distribución de PoissonDistribución de Poisson La distribución deLa distribución de PoissonPoisson se puede se puede
describir matemáticamente por la describir matemáticamente por la fórmula:fórmula:
donde donde es la media aritmética del es la media aritmética del número de ocurrencias en un intervalo número de ocurrencias en un intervalo específico de tiempo, específico de tiempo, ee es la constante es la constante 2.71828 y2.71828 y xx es el número de ocurrencias. es el número de ocurrencias.
P xe
x
x u
( )!
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Distribución de PoissonDistribución de Poisson
El número medio de éxitos El número medio de éxitos se se puede determinar en situaciones puede determinar en situaciones binomiales por binomiales por nn ,, donde donde nn es el es el número de ensayos y número de ensayos y la la probabilidad de éxito.probabilidad de éxito.
La varianza de la distribución de La varianza de la distribución de Poisson también es igual a Poisson también es igual a nn ..
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EJEMPLO 6EJEMPLO 6
La Sylvania Urgent Care se especializa La Sylvania Urgent Care se especializa en el cuidado de lesiones menores, en el cuidado de lesiones menores, resfriados y gripe. En las horas de la resfriados y gripe. En las horas de la tarde de 6-10 PM el número medio de tarde de 6-10 PM el número medio de llegadas es 4.0 por hora.llegadas es 4.0 por hora.
¿Cuál es la probabilidad de 4 llegadas ¿Cuál es la probabilidad de 4 llegadas en una hora? P(4) = (4^4)(e^-4)/4!en una hora? P(4) = (4^4)(e^-4)/4!=.1954.=.1954.
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