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MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

MÉTODO DE MÜLLER.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Müller.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 125

1.12.- MÉTODO DE MÜLLER.

Consideraremos ahora un método presentado por primera vez por D. E. Müller en 1956.

Esta técnica puede ser usada para cualquier problema de búsqueda de raíces, pero es

particularmente útil para aproximar raíces de polinomios.

El método de Müller es una generalización del método de la secante. El método de

la secante empieza con dos aproximaciones iniciales 1x y 0x , y determina la siguiente

aproximación 1x como la intersección del eje x con la recta que pasa por ))(,( 11 xfx y

))(,( 00 xfx . Ver figura 1.46.

Figura 1.46. Aplicación del método de la secante.

El método de Müller usa tres aproximaciones iniciales 2x , 1x y 0x y determina la

siguiente aproximación 1x considerando la intersección del eje x con la parábola que pasa

por ))(,( 22 xfx , ))(,( 11 xfx y ))(,( 00 xfx . Ver figura 1.47.

Figura 1.47. Aplicación del método de Müller.



La derivación del método de Müller comienza considerando el polinomio cuadrático

cxxbxxaxP )()()( 0

2

02

Que pasa por ))(,( 22 xfx , ))(,( 11 xfx y ))(,( 00 xfx . Las constantes a, b, y c, pueden

determinarse de las condiciones

cxxbxxaxf )()()( 02

2

022 (1.36)

cxxbxxaxf )()()( 01

2

011 (1.37)

ccxxbxxaxf )()()( 00

2

000 (1.38)

las cuales nos dan

)()()(

)]()([)()]()([)(

120102

01020201

xxxxxx

xfxfxxxfxfxxa (1.39)

)()()(

)]()([)()]()([)(

120102

02

2

0101

2

02

xxxxxx

xfxfxxxfxfxxb (1.40)

)( 0xfc (1.41)

Forma alternativa para determinar las constantes a, b y c.

Debido a que se tienen tres ecuaciones, es posible encontrar los tres coeficientes

desconocidos a, b y c. Debido a que dos términos de la ecuación (1.38) son cero, se

encuentra inmediatamente que )( 0xfc . Así, el coeficiente c es igual al valor de la

función evaluada en el tercer valor inicial, 0x . Este resultado se sustituye en las ecuaciones

(1.36) y (1.37) para tener dos ecuaciones con dos incógnitas:

)()()()( 02

2

0202 xxbxxaxfxf (1.42)

)()()()( 01

2

0101 xxbxxaxfxf (1.43)

Una manipulación algebraica permite encontrar los coeficientes restantes a y b. La

manera de hacer esto consiste en definir las diferencias:

210 xxh 101 xxh

21

210

)()(

xx

xfxf

10

101

)()(

xx

xfxf (1.44)

Éstas se sustituyen en las ecuaciones (1.42) y (1.43) para dar



1100

2

1010 )()( hhahhbhh

11

2

11 hahbh

De donde se despejan a y b. El resultado se resume como

01

01

hha

(1.45)

11 hab (1.46)

)( 0xfc (1.47)

En cualquiera de los dos casos, para determinar 1x , la raíz de P, aplicamos la fórmula

cuadrática a P.

cabb

cxx

4

2201

(1.48)

Esto da dos posibilidades para 1x dependiendo del signo que precede al término radical en

la ecuación (1.48). En el método de Müller, el signo se elige para que coincida con el de b.

Escogido de esta manera, el denominador será el más grande en magnitud y resultará en

seleccionar a 1x como la raíz de P más cercana a 0x . Así,

cabbb

cxx

4)(signo

2201

(1.49)

Donde a, b y c están dadas en las ecuaciones (1.39), (1.40) y (1.41) ó (1.45), (1.46) y

(1.47).

Una vez que se determina 1x , el procedimiento se reinicializa usando 1x , 0x y 1x

para determinar la siguiente aproximación 2x . El método continúa hasta que se obtiene una

conclusión satisfactoria.

Requisitos para la aplicación del método de Müller.

Para la aplicación del método de Müller, debe disponerse de:

a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función 0)( xf .

b) Tres estimaciones iniciales 2x , 1x y 0x del valor de la raíz.

c) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.



Algoritmo del método de Müller.

Para encontrar una solución a 0)( xf , dadas tres aproximaciones 2x , 1x y 0x :

ENTRADA: 2x , 1x , 0x ; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.

SALIDA: Solución aproximada de p o mensaje de fracaso.

Paso 1. Tomar 1i .

Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 7.

Paso 3 Tomar 320 ii xxh ;

211 ii xxh ;

0

320

)()(

h

xfxf ii ;

1

211

)()(

h

xfxf ii ;

01

01

hha

;

11 hab ;

)( 1 ixfc .

21

)4( 2 cabD . (Nota: puede ser aritmética compleja)

Paso 4. Si DbDb entonces tomar dbE

Si no tomar dbE

Paso 5. Tomar E

xfh i )(2 1 ;

hxx ii 1 .

Paso 6. Determinar )( ixf . Si 0)( ixf ó TOLx

xx

i

ii 1001 entonces

SALIDA (ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente).

PARAR

Paso 7. 1 ii .



Paso 8. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”); (Procedimiento

completado sin éxito).

PARAR

Ejemplo 1.21.

Determine la raíz de 02 xex usando el método de Müller con 12 x , 01 x y

20 x . Realice dos iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en

la última iteración.

Solución.

- Ecuación a resolver: 02 xex .

- Las estimaciones iniciales 2x , 1x y 0x del valor de la raíz son 12 x , 01 x y

20 x .

- Se ejecutarán 2 iteraciones.

Desarrollo del método.

i) Definimos xexxf 2)( .

ii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.

Primera iteración ( 1i ).

cabbb

cxx

4)(signo

2201

)()()(

)]()([)()]()([)(

120102

01020201

xxxxxx

xfxfxxxfxfxxa

)()()(

)]()([)()]()([)(

120102

02

2

0101

2

02

xxxxxx

xfxfxxxfxfxxb

)( 0xfc

12 x

8461.71828182)1()1()( )1(2

2

efxf

01 x

00000000000.1)0()0()( )0(2

1

efxf



20 x

68646647167.3)2()2()( )2(2

0 efxf

)01()20()21(

)68646647167.31()21()68646647167.38461.71828182()20(

a

6640.57135017a

)01()20()21(

)68646647167.367182818284.1()20()68646647167.31()21( 22

b

1663.57503271b

68646647167.3c

)68646647167.3()45713501766.0(4)65750327116.3(65750327116.3

)68646647167.3(22

21

x

0620.610364931 x

Gráficamente.

Figura 1.43. Primera iteración del método de Müller

para xexxf 2)( con 12 x , 01 x y

20 x .

Segunda iteración ( 2i ).

cabbb

cxx

4)(signo

2212

)()()(

)]()([)()]()([)(

011011

10111110

xxxxxx

xfxfxxxfxfxxa

)()()(

)]()([)()]()([)(

011011

11

2

1010

2

11

xxxxxx

xfxfxxxfxfxxb



)( 1xfc

01 x

00000000000.1)0()0()( )0(2

1

efxf

20 x

68646647167.3)2()2()( )2(2

0 efxf

0620.610364931 x

1360.17060727)0620.61036493()0620.61036493()( )0620.61036493(2

1 efxf

0560.77249423a

2141.83035067b

1360.17060727c

)1360.17060727()0560.77249423(4)2141.83035067(2141.83035067

)1360.17060727(20620.61036493

22

x

5900.700171202 x

Gráficamente.

Figura 1.44. Segunda iteración del método de Müller

para xexxf 2)( con 12 x , 01 x y

20 x .

Error relativo porcentual de aproximación.

100actualón Aproximaci

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci

a

1005900.70017120

0620.610364935900.70017120

a



%83.12a

La solución de la ecuación 02 xex es 97041685290.03 x , obtenida aplicando el

método de Müller con las estimaciones iniciales 12 x , 01 x y 20 x y dos

iteraciones. El error relativo porcentual de aproximación es 12.83%.

Ejercicios propuestos.

88. [WM] Use el método de Müller para aproximar las soluciones de las ecuaciones

siguientes con precisión de 10–5

.

a) 3

2 2xex

x 10 x b) 03 2 xex 10 x

c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).

89. [WM] Aproxime con 10–4

de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los

intervalos dados usando el método de Müller.

a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[

c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2

1



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.12.- MÉTODO DE MÜLLER.

88. a) 02 x , 5.01 x , 10 x : 5440.257530284 x ; b) 02 x , 5.01 x , 10 x :

2490.910007574 x ; c) 12 x , 5.11 x , 20 x : 1931.829383604 x ; d) 02 x ,

11 x , 20 x : 7821.968872934 x

89. a) 12 x , 5.21 x , 40 x : 8032.690647444 x ; b) 42 x , 21 x , 00 x :

4870.652703646 x ; c) 02 x , 7854.01 x , 5708.10 x : 4040.739085133 x ; d)

02 x , 7854.01 x , 5708.10 x : 7570.964333883 x .

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