06_Espectros_Respuesta.pdf

Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Dinámica de Estructuras (CIV–235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Espectros de Respuesta

Espectro de Respuesta

• Espectro de respuesta

– Es una representación gráfica

– Ilustra respuesta máxima de una estructura

– Dicha respuesta puede involucrar por ejemplo desplazamientos,

velocidades, aceleraciones

– Espectro se grafica para una familia de sistemas de 1 grado de

libertad

USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 2

Definición


• Ejemplo (cualitativo)

– Considere un marco de corte excitado por una aceleración basal

– Propiedades: masa 𝑚, amortiguamiento 𝑐, rigidez 𝑘


Definición

0


d=0

d=5%

d=10%

𝑦𝑠 𝑡 :

𝑦 𝑡

• 𝑦𝑠(𝑡): aceleración basal

• 𝑦(𝑡): desplazamiento

relativo de la estructura

Espectro de

respuesta


• Espectro de respuesta

– Información sobre respuesta máxima es relevante en situaciones de

diseño. En particular, resulta muy útil para analizar respuesta

sísmica de una estructura


Definición


• Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado de

libertad

• Propiedades: masa 𝑚, amortiguamiento 𝑐 = 0, rigidez 𝑘

• Se asume sistema inicialmente en reposo. Es decir, 𝑥 0 = 𝑥 0 = 0

• Súbitamente, una fuerza constante de magnitud 𝐹0 se aplica sobre la

estructura durante un tiempo 0 < 𝑡 < 𝑡𝑑

• Objetivo: determinar espectro de respuesta respecto del

desplazamiento


Ejemplo 1

m


• La ecuación diferencial de equilibrio de este sistema es:

• La solución de la ecuación diferencial de movimiento ha sido estudiada

con anterioridad mediante distintas técnicas. En este caso:


Ejemplo 1


• Al analizar la solución de la ecuación de movimiento, es posible

determinar que el desplazamiento máximo 𝑥 𝑡 max ocurre para un

tiempo 𝑡 tal que:

– Si 𝑡𝑑 𝑇 > 0.5, el máximo ocurre para 𝑡 < 𝑡𝑑

– Si𝑡𝑑 𝑇 < 0.5, el máximo ocurre para 𝑡 > 𝑡𝑑. En este caso, se puede

demostrar que el máximo desplazamiento es

• Note que 𝑇 es el período natural 𝑇 = 2𝜋 𝜔𝑛


Ejemplo 1


• El espectro de respuesta del desplazamiento 𝑥 𝑡 max en función de

𝑡𝑑 𝑇 es el siguiente


Ejemplo 1

0 0.5 1 2 30

1

2

Espectro de Respuesta respecto del desplazamiento


• Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado de

libertad

• Propiedades: masa 𝑚, amortiguamiento 𝑐, rigidez 𝑘

• Se asume sistema inicialmente en reposo. Es decir, 𝑥 0 = 𝑥 0 = 0

• Sistema es sometido a una aceleración basal 𝑎(𝑡)

• Objetivo: determinar espectro de respuesta respecto del

desplazamiento, velocidad y aceleración


Ejemplo 2

• 𝑎(𝑡): aceleración basal

• 𝑥(𝑡): desplazamiento

relativo de la estructura

• 𝑦(𝑡): desplazamiento

absoluto de la estructura


• Aceleración basal 𝑎(𝑡) es arbitraria

• La ecuación diferencial de movimiento de este sistema es:


Ejemplo 2

0

Tiempo

a(t

)


• Se introducen las siguientes definiciones

– 𝑆𝐷 = 𝑥 𝑡 max Espectro de desplazamiento relativo

– 𝑆𝑉 = 𝑥 𝑡 max Espectro de velocidad relativa

– 𝑆𝐴 = 𝑥 𝑡 max Espectro de aceleración absoluta

• Note que de acuerdo a la integral de convolución la solución de la

ecuación de movimiento es:


Ejemplo 2


• A partir de esta solución, es posible determinar la velocidad relativa y

también la aceleración absoluta

• Se introducen las siguientes definiciones

– 𝑃𝑆𝑉 = 𝜔𝑛𝑆𝐷 Seudo-espectro de velocidad

– 𝑃𝑆𝐴 = 𝜔𝑛2𝑆𝐷 Seudo-espectro de aceleración absoluta

• Note que de acuerdo a la integral de convolución la solución de la

ecuación de movimiento es:


Ejemplo 2


• Representación gráfica de espectros de respuesta de

desplazamiento, seudo-velocidad y seudo-aceleración absoluta

– Dado que los 3 espectros se encuentran relacionados entre si, es

conveniente representarlos en un gráfico único tripartito

– Los espectros de desplazamiento y seudo-aceleración absoluta se

expresan en términos del espectro de seudo-velocidad

– Caso del espectro de desplazamiento

Se sabe que 𝑃𝑆𝑉 = 𝜔𝑛𝑆𝐷 y 𝜔𝑛 = 2𝜋/𝑇𝑛

En un gráfico donde la abscisa es log 𝑇𝑛 y la ordenada es

log𝑃𝑆𝑉, una recta con pendiente -1 corresponde al lugar

geométrico de espectro de desplazamiento constante


Ejemplo 2


• Representación gráfica de espectros de respuesta de desplazamiento,

seudo-velocidad y seudo-aceleración absoluta

– Caso del espectro de seudo-aceleración absoluta

Se sabe que 𝑃𝑆𝐴 = 𝜔𝑛2𝑆𝐷 = 𝜔𝑛𝑃𝑆𝑉 y 𝜔𝑛 = 2𝜋/𝑇𝑛

En un gráfico donde la abscisa es log 𝑇𝑛 y la ordenada es

log𝑃𝑆𝑉, una recta con pendiente 1 corresponde al lugar

geométrico de espectro de seudo-aceleración constante


Ejemplo 2


• Representación de espectros 𝑆𝐷, 𝑃𝑆𝑉 y 𝑃𝑆𝐴 en gráfico tripartito


Ejemplo 2

10-1

100

101

102

103

Periodo [s]

PS

V [m

m/s

]

PSA

[g]

SD [m

m]

0.01

g

0.1

g

1 g

100

10

1

d=3 %

d=5 %

d=10 %


• Utilización del gráfico tripartito, estructura con 𝑇𝑛=1 [s] y 𝑑=5%


Ejemplo 2

10-1

100

101

102

103

Periodo [s]

PS

V [m

m/s

]

PSA

[g]

SD [m

m]

0.01

g

0.1

g

1 g

100

10

1

d=3 %

d=5 %

d=10 %

𝑇𝑛

𝑑 𝑃𝑆𝑉


• Procedimiento

1. Obtener registro de aceleración basal 𝑎(𝑡)

2. Resolver analítica o numéricamente la ecuación de movimiento

correspondiente (modelo de 1 grado de libertad)

3. Calcular analítica o numéricamente 𝑥 𝑡 𝑚𝑎𝑥, que entrega SD

4. Definir seudo-espectros correspondientes (PSV y PSA)

5. Iterar con respecto al período del sistema y con respecto al factor

de disipación de energía


Cálculo del Espectro

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