ANALISIS DE SENSIBILIDADIntroduccin grfica al anlisis de sensibilidadEl anlisis de sensibilidad se relaciona con la manera en que los cambios en los parmetros del PL afectan la solucin ptima.EjemploUna empresa fabrica dos tipos de juguetes, soldados y trenes. Por cada soldado obtiene una utilidad de $3 y por cada tren una utilidad de $2. La fabricacin de ambos productos requiere carpintera y acabados. Un soldado requiere 2 horas de acabados y una hora de carpintera. Un tren requiere una hora de acabados y una hora de carpintera. La empresa dispone de 100 horas de acabados y 80 horas de carpintera. La demanda de trenes es ilimitada pero no se venden ms de 40 soldados por semana.Planteamiento del problema:X1 = Cantidad de soldados fabricados por semanaX2 = Cantidad de trenes fabricados por semana

Recordemos que:Max/Min Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn

s.a.a11x1 + a12x2 + + a1nxn < b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn < b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn < bmyx1 > 0, x2 > 0, ., xn > 0a) Cambio en un coeficiente en la F.O.La funcin objetivo puede reescribirse como: 3X1 + 2X2 = k por tanto X2 = (-3/2)X1 + k/2

Si queremos evaluar el coeficiente de X1 (soldados fabricados)C1X1 + 2X2 = k por tanto X2 = (-C1/2)X1 + k/2

Para que la base siga siendo ptima, la pendiente debe encontrarse entre las pendientes de las restricciones activas, en este caso, las restricciones 1 y 2. De tal forma que:-C1/2 > -2 por tanto -C1 > -4 Esto equivale a C1 < 4-C1/2 < -1 por tanto -C1 < -2 Esto equivale a C1 > 2

Esto quiere decir que mientras la utilidad de los soldados se encuentre entre $2 y $4, la base ptima del PL seguir siendo la misma.

Si C1 < 2, entonces el nuevo punto ptimo sera X1 = 0, X2 = 80Si C1 > 4, entonces el nuevo punto ptimo sera X1 = 40, X2 = 20

b) Cambio en el lado derecho de una restriccin.Primero se evala el cambio en las restricciones activas, en este caso las restricciones 1 y 2.La base sigue siendo ptima siempre y cuando 1 y 2 sigan siendo restricciones activas.Al analizar la restriccin 1:X1 + X2 < 80 Para evaluar esta restriccin cambiamos 80 por un valor variableX1 + X2 < b1 Y se analizan los desplazamientos de la restriccin hacia los puntos adyacentes

Si la restriccin 1 se desplaza del punto E al punto G X1 = 40, X2 = 20b1 = 40 + 20 = 60Si la restriccin 1 se desplaza del punto E al punto G X1 = 0, X2 = 100b1 = 0 + 100 = 100Mientras 60 < b1 < 100, la base (X1, X2) sigue siendo ptima.Analizando la restriccin 2 de la misma forma nos queda:2X1 + X2 < 100 Para evaluar esta restriccin cambiamos 100 por un valor variable2X1 + X2 < b2 Y se analizan los desplazamientos de la restriccin hacia los puntos adyacentes

Si la restriccin 2 se desplaza del punto E al punto B X1 = 0, X2 = 80b2 = 2(0) + 80 = 80Si la restriccin 2 se desplaza del punto E al punto F X1 = 40, X2 = 40b2 = 2(40) + 40 = 120Mientras 80 < b2 < 120, la base (X1, X2) sigue siendo ptima.

Si la restriccin 2 pasa de 120, deja de ser activa y ya se sale de la regin factible, por lo tanto, la base cambia tal como se observa en la siguiente grfica.

Si la restriccin de carpintera se modifica de esta formaX1 + X2 < 80 + Entonces, la solucin ptima del problema es la solucin de:X1 + X2 < 80 + y 2X1 + X2 < 100

El resultado est dado por: X1 = 20 - y X2 = 60 + 2Esto quiere decir que al aumentar las horas de carpintera, disminuye el nmero de soldados (x1) y aumenta el nmero de trenes (X2) a fabricar.

Precio Sombra: Cantidad que el valor Z mejora (aumenta en problemas de maximizacin y disminuye en problemas de minimizacin) si el lado derecho de la isima restriccin aumenta una unidad.Una restriccin > tiene precio sombra no positivo, una restriccin < tiene precio sombra no negativo y una restriccin = tiene precio sombra positivo, negativo o cero.

Por ejemplo, un cambio en las horas de acabado 2X1 + X2 < 100 + X1 = 20 + y X2 = 60 - Z = 3(20 + ) + 2(60 - ) = 180 +

El precio sombra de esta restriccin es 1 dlar, que indica que cada hora adicional de acabado, contribuye con un dlar a la utilidad total.

c) Cuando una restriccin es no activaX1 < b3Un lado de la restriccin es no acotado y el otro lado s, como se observa en la grfica:

Mientras b3 > 20, la base sigue siendo ptima

Para la restriccin de demanda el precio sombra es cero, siempre y cuando b3 > 20.

Costo reducido: Es lo que debe mejorar el coeficiente de la funcin objetivo de una VNB antes de que esta se convierta en una VB en alguna solucin ptima del problema.Anlisis de sensibilidad en problemas de ms de dos variables

Un PL puede expresarse como:Max/Min Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn

s.a.a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm

Recordando el problema de Dakota: X1 = # de Escritorios, X2 = # de Mesas y X3 = # de Sillas

0Z - 60X1 + 30X2 + 20X3= 0Ingresos

1 8X1 + 6X2 + X3 + S1= 48Recurso de madera (pies)

2 4X1 + 2X2 + 1.5X3 + S2= 20Recurso de carpintera (hrs)

3 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + S3 = 8Recurso de acabados (hrs)

X1, X2, X3, S1, S2, S3 > 0

La tabla ptima del problema est dada por:

ZX1X2X3S1S2S3S4LD

01050010100280

100-2012-8024S1

200-2102-408X3

3011.2500-0.51.502X1

Sea el conjunto de variables bsicas VB = {VBR1, VBR2, VBR3} Por tanto VB = {S1, X3, X1}

El vector m x 1 de variables bsicas XVB = XVB = En el orden de la tabla ptima

El vector (n-m) x 1 de variables no bsicas XVNB = No importa el orden

El vector 1 x m de coeficientes de variables bsicas en la F.O. est dado por: CVB = [0 20 60] El vector 1 x (n-m) de coeficientes de variables no bsicas en la F.O. est dado por: CVNB = [30 0 0]La matriz m x m de coeficientes de las VB en las restricciones originales:

B =

La matriz m x (n-m) de coeficientes de las VNB en las restricciones originales (en el orden de las VNB)

N =

aj = Columna en las restricciones para la VNB

a1 =

El vector m x 1 de los lados derechos de las restricciones originales est dado por:b =

El problema se puede expresar como:Z = CVBXVB + CVNBXVNBs.a. BXVB + NXVNB = bXVB, XVNB > 0

El ejercicio del ejemplo se escribira

Expresin de las restricciones en trminos de B-1

B-1 = Coeficientes de las variables de holgura en la solucin ptima

Al multiplicar las restricciones por B-1 se obtiene:

B-1 BXVB + B-1 NXVNB = B-1 b XVB + B-1 NXVNB = B-1 b

Determinacin del rengln cero de la tabla ptima

Z - CVB XVB - CVNB XVNB = 0 CVB XVB + CVB B-1 NXVNB = CVB B-1 b

Z + (CVB B-1 N - CVNB) XVNB = CVB B-1 b

En el ejemplo:

Z + 5X2 + 10S2 + 10S3 = 280Los coeficientes de las VNB en el rengln cero de la solucin ptima se pueden reescribir como:

Cj = CVB B-1 aj Cjaj = columna de coeficientes de la variable no bsica j en las restricciones originales.

Anlisis de sensibilidad: Estudio de la manera en que la solucin ptima de un PL depende de sus parmetros.

Una tabla simplex en problemas de maximizacin es ptima cuando cada variable tiene un coeficiente no negativo en el rengln cero y el LD de cada restriccin es no negativo. Si ya se resolvi un PL y se encontr que VB base ptima, se puede determinar si al haber un cambio, la solucin sigue siendo ptima.

Al utilizar las frmulas vistas se pueden determinar los cambios en el lado derecho y en el rengln cero. Si todas las variables del rengln cero son no negativas, y cada restriccin tiene un LD no negativo, entonces VB sigue siendo ptima.

Si la VB ya no es ptima: Una de las variables en el rengln cero tiene coeficiente negativo - Hay una solucin mejor Una restriccin tiene LD negativo La VB ya no genera una sfb

Tipos de cambios: Cambio 1: Modificacin del coeficiente de una VNB de la F.O. Cambio 2: Modificacin del coeficiente de una VB de la F.O. Cambio 3: Modificacin del LD de una restriccin Cambio 4: Modificacin de la columna de una VNB Cambio 5: Suma de una nueva actividad Cambio 6: Suma de una nueva restriccin

Modificacin del coeficiente de una VNB de la F.O.

VB = {S1, X3, X1} y VNB = { X2, S2, S3} La SFB ptima Z = 280 S1 = 24, X3 = 8, X1 = 2, X2 = S2 = S3 = 0

La nica variable de decisin no bsica es X2 con C2 = 30C2 = 30 +

Como B-1 y b no cambian, el LD de las restricciones permanece igual y BV es factible.CVB no cambia y al evaluar los coeficientes de las VNB en el rengln cero el nico que cambia es el de X2.

C2 =

Para que VB siga siendo ptima, C2 > 0, 5 > 0, < 5

Para C2 < 35, VB sigue siendo ptimaSi C2 = 40: = 40 30 = 10C2 = 5 = 5 10 = -5

Entonces la solucin deja de ser ptima y la tabla se transforma en:

ZX1X2X3S1S2S3LDPCVB

010-5001010280

100-2012-824-12S1

200-2102-48-4X3

3011.2500-0.51.521.6X1

Eso quiere decir que X2 debe entrar a la base y X1 debe salir y la nueva solucin ptima est dada por:

ZX1X2X3S1S2S3LDPCVB

014000816288

101.60011.2-5.627.2S1

201.60101.2-1.611.2X3

300.8100-0.41.21.6X2

Modificacin del coeficiente de una VB de la F.O.

Como B y b permanecen iguales (por tanto B-1), el lado derecho de cada restriccin en la tabla ptima se mantiene.

Se modifica el vector CVB, por tanto CVBB-1. Esto quiere decir que posiblemente ms de un coeficiente cambia en el rengln cero.

Si cambiamos el coeficiente de X1.C1 = 60 +

El intervalo que cumple con todas las restricciones es: -4 < < 20Por lo tanto: 60 4 < C1 < 60 + 20

Si = 40, la base deja de ser ptima, por lo tanto:C2 = 5 + 1.25= 5 + 1.25x40 = 55S2 = 10 0.5= 10 0.5x40 = -10S3 = 10 + 1.5= 10 + 1.5x40 = 70

La nueva solucin est dada por:ZX1X2X3S1S2S3LDPCVB

0105500-1070360

100-2012-82412S1

200-2102-484X3

3011.2500-0.51.52-4X1

S2 entra a la base y sale X3. Por tanto la nueva solucin ptima es:ZX1X2X3S1S2S3LDPCVB

0104550050400

1000-110-416S1

200-10.501-24S2

3010.750.25000.54X2

Modificacin del LD de una restriccin

Si se modifica la cantidad total disponible de horas de acabados: b2 = 20 +

El intervalo para el cual la base sigue siendo ptima est dado por -4 < D < 4, por tanto 16 < b2 < 24.Si b2 = 22

El nuevo valor de Z est dado por:

Modificacin de la columna de una VNB

Para la fabricacin de una mesa (X2):ActualNuevo

Precio de venta$30$43

Recurso madera6 pies5 pies

Recurso carpintera1,5 hrs2 hrs

Recurso acabados2 hrs2 hrs

Los nuevos vectores de VNB y la columna de la matriz N correspondiente a X2 quedaran as:

Se mantiene:

El coeficiente de X2 en la tabla ptima cambiara as:

Como se trata de un valor negativo y estamos resolviendo un problema de maximizacin, la base deja de ser ptima y debemos encontrar una mejor solucin. Dado que N cambia, B-1N est dado por:

El valor de Z que est dado por CVBB-1b no cambia.

La nueva tabla subptima quedara as:ZX1X2X3S1S2S3LDPCVB

010-3001010280

100-7012-824-3.43S1

200-4102-48-2X3

301200-0.51.521X1

Al entrar X2 a la base, sale X1 dando como nueva solucin ptima:ZX1X2X3S1S2S3LDPCVB

011.50009.2512.25283

103.50010.25-2.7531S1

2020101-112X3

300.5100-0.250.751X2

Suma de una nueva actividad

Suponiendo que la empresa desea comenzar a fabricar taburetes y quiere saber si le conviene o no.

Precio de venta$15

Recurso madera1 pies

Recurso carpintera1 hrs

Recurso acabados1 hrs

La nueva tabla inicial estara dada por:

0Z - 60X1 + 30X2 + 20X3 + 15X4= 0Ingresos

1 8X1 + 6X2 + X3 + X4 + S1< 48Recurso de madera (pies)

2 4X1 + 2X2 + 1.5X3 + X4 + S2< 20Recurso de carpintera (hrs)

3 2X1 + 1.5X2 + 0.5X3 + X4 + S3 < 8Recurso de acabados (hrs)

X1, X2, X3, X4, S1, S2, S3 > 0

X4 ingresa como una VNB al sistema.C4 = 15

Como el coeficiente de X4 en el rengln cero es positivo, la base sigue siendo ptima y no es conveniente para la empresa fabricar taburetes.

Suma de una nueva restriccin

Se debe verificar si esta nueva restriccin se cumple. Si se cumple la base actual sigue siendo ptima, de lo contrario, se utiliza el mtodo simplex para el dual para encontrar la nueva solucin ptima.

Caso 1: Se cumple la restriccinSi se agrega la restriccin: X1 + X2 + X3 < 11Z280

S124

X38

X12

La nueva restriccin se cumple

Caso 2: No se cumple la restriccinEjemplo 1: Si se agrega al problema la siguiente restriccin: 3X1 + X2 + X3 < 12En este caso se debe agregar la nueva restriccin a la tabla ptima y se resuelve el problemaLa tabla inicial quedara de la siguiente forma:ZX1X2X3S1S2S3S4LDVB

01050010100280

100-2012-8024S1

200-2102-408X3

3011.2500-0.51.502X1

40311000112S4

Como mis VB X1 y X3 deben tener coeficiente cero en el rengln cero, debo primero aplicar OER para arreglar el rengln. Esto se hace multiplicando R3 x -3 y se multiplica R2 x -1 y se suma a R4.La tabla resultante es la siguiente:ZX1X2X3S1S2S3S4LDVB

01050010100280

100-2012-8024S1

200-2102-408X3

3011.2500-0.51.502X1

400-0.7500-0.5-0.51-2S4

Pasos para resolver la nueva tabla:1. Si todos los LD de la restriccin son no negativos, la solucin es ptima. De lo contrario, se escoge primero la variable de salida evaluando el LD de las restricciones y se selecciona la ms negativa.2. Se aplica la prueba del cociente dividiendo los coeficientes del rengln cero entre los coeficientes negativos del rengln pivote.3. Se aplican OER para encontrar una nueva solucin. Si todos los LD son positivos y los coeficientes de las VNB en el rengln cero son no negativos, la solucin es ptima.

ZX1X2X3S1S2S3S4LDVB

01050010100280

100-2012-8024S1

200-2102-408X3

3011.2500-0.51.502X1

400-0.7500-0.5-0.51-2S4

-6.67-20-20PC

Al aplicar la prueba del cociente se ve que el valor absoluto ms pequeo es el de X2, por tanto esta variable entra a la base para que salga S4.ZX1X2X3S1S2S3S4LDVB

0100006.6676.6676.667266.7

1000013.333-6.67-2.6729.33S1

2000103.333-2.67-2.6713.33X3

301000-1.330.6671.667-1.33X1

4001000.6670.667-1.332.667X2

-5PC

Como an hay un LD negativo, la solucin no es ptima y se evala de nuevo. En este caso sale de la base X1 e ingresa a la base S2 que es la nica con PC negativo. ZX1X2X3S1S2S3S4LDVB

01500001015260

102.50010-51.526S1

202.50100-11.510X3

30-0.750001-0.5-1.251S2

400.510001-0.52X2

Esta tabla es la nueva solucin ptima del problema.

Ejemplo 2: Si se agrega al problema la siguiente restriccin: X2 > 1En este caso se debe agregar la nueva restriccin a la tabla ptima y se resuelve el problemaPara evitar el uso de variables artificiales:-X2 < -1 que en su forma estndar queda -X2 + S4 = -1

Por lo tanto, la nueva tabla ptima quedara as:ZX1X2X3S1S2S3S4LDVB

01050010100280

100-2012-8024S1

200-2102-408X3

3011.2500-0.51.502X1

400-100001-1S4

-5PC

Se utiliza el mismo procedimiento del ejemplo anterior para encontrar la solucin ptima..

ZX1X2X3S1S2S3S4LDVB

01000010105275

1000012-8-226S1

2000102-4-210X3

301000-0.51.51.250.75X1

40010000-11X2

Para resolver problemas de minimizacin, se multiplica el rengln cero por -1 y se contina resolviendo como si fuera un problema de maximizacin.

Cambio en el PL inicialEfecto en la tabla ptimaLa base actual sigue siendo ptima si:

Modificacin del coeficiente de una VNB en la FOVara el coeficiente de la VNB en el rengln ptimo ceroEl coeficiente de la VNB en el rengln cero todava es no negativo

Modificacin del coeficiente de una VB en la FOPodra cambiar todo el rengln ceroCada variable (bsica o no bsica) tiene todava un coeficiente no negativo en el rengln cero

Modificacin del LD de una restriccinCambian el LD y el rengln ceroEl LD de cada restriccin todava es no negativo

Modificacin de la columna de una VNB o adicin de una nueva variableCambia el coeficiente de la VNB en el rengln cero y la columna de la VNB en las restriccionesEl coeficiente de la VNB en el rengln cero todava es no negativo

Anlisis de sensibilidad cuando cambia ms de un parmetro - Regla del 100%

Regla del 100% para cambio de coeficientes de la F.O.Caso 1: El cambio ocurre en dos o ms VNBLa base sigue siendo ptima si el coeficiente de cada variable se conserva dentro del intervalo permisible

Caso 2: Por lo menos una de las variables cuyo coeficiente cambia, es bsica.Ci = Coeficiente original para Xi en la F.O.Ci = Cambio en CiIi = mximo incremento permisible en Ci para el cual la base sigue siendo ptimaDi = mximo decremento permisible en Ci para el cual la base sigue siendo ptima

Si Ci > 0 ri = Ci / IiSi Ci < 0 ri = - Ci / DiSi ri < 1

Regla del 100% para el LD de las restriccionesCaso 1: Todas las restricciones cuyo LD se modifica son restricciones inactivas.La base sigue siendo ptima si cada LD se mantiene dentro de su intervalo admisible.Caso 2: Por lo menos una de las restricciones cuyo LD cambia es una restriccin activa.bj = Lado derecho actual de la j sima restriccinbj = Cambio en bjIj = mximo incremento permisible en bj para el cual la base sigue siendo ptimaDj = mximo decremento permisible en bj para el cual la base sigue siendo ptima

Sj bj > 0 rj = bj / JjSj bj < 0 rj = - bj / DjSj rj < 1