05 reduccion de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par

MECÁNICA VECTORIAL

(ESTÁTICA). CAPÍTULO 2: CUERPOS RÍGIDOS.

SISTEMAS EQUIVALENTES DE

FUERZAS.

REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE

FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 2. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.

Mecánica Vectorial. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 121

1.5.- REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR.

Cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser reducido a un

sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O.

El sistema equivalente fuerza-par está definido por las ecuaciones

FR (11)

)( FrMM O

R

O (12)

las cuales expresan que la fuerza R se obtiene sumando todas las fuerzas del sistema,

mientras que el momento del vector de par resultante R

OM , denominado momento

resultante del sistema, se obtiene sumando los momentos de todas las fuerzas del sistema

con respecto a O.

Una vez que un sistema de fuerzas dado se ha reducido a una fuerza y un par que actúa en

el punto O, dicho sistema puede reducirse a una fuerza y un par actuando en cualquier otro

punto O´. Mientras que la fuerza resultante permanecerá inalterada, el nuevo momento

resultante R

OM ´ será igual a la suma de R

OM y el momento con respecto a O´de la fuerza R

unida a O. Entonces se tiene

RsMM RR

O 0` (13)

Sistemas equivalente de fuerzas.

Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza-

par en un punto dado O.

Dos sistemas de fuerzas F1, F2, F3,… y F1´, F2´, F3´,… que actúan sobre el mismo cuerpo

rígido son equivalentes si, y sólo si, respectivamente, las sumas de las fuerzas y las sumas

de los momentos con respecto a un punto dado O de las fuerzas de los dos sistemas son

iguales.

´FF (14)

OO MM ´ (15)

Ejemplo 2.45. Ejemplo 3.8 del Beer-Johnston. Novena Edición.



Una viga de 4.80 m de longitud está sujeta a las

fuerzas mostradas en la figura. Redúzcase el sistema

de fuerzas dado a: a) un sistema equivalente fuerza-

par en A, b) un sistema equivalente fuerza-par en B y

c) una sola fuerza o resultante.

Solución.

Sistema equivalente fuerza-par en A.

Fuerzas individuales (N):

jF 1501 jF 6002 jF 1003 jF 2504

Fuerza resultante:

4321 FFFFFR

)250()100()600()150( jjjjFR

jFR 600

a) Suma de momentos en el punto A.

)8.4(250)8.2(001(1.6)600)0(150 ARM

N.m 1880ARM

b) Suma de momentos en el punto B.

)0(250)2(001(3.2)600)8.4(150 BRM

N.m 1000BRM

Este resultante también puede obtenerse mediante:

RRR FrMMAB

N 600m 8.4N.m 1880 BRM

N.m 1000BRM



c) Una sola fuerza o resultante.

jFR 600

Punto de ubicación de la fuerza resultante.

xFM RRA

x6001880

m 13.3x medidos desde el punto A.

En este caso para el cálculo del punto de aplicación de la resultante se tomó como

referencia el punto A, pero también puede realizarse este cálculo tomando como referencia

el punto B.

Ejemplo 2.46. Ejemplo 4.3 del Hibbeler. Décima Edición. Página 117.

Determine el momento resultante de las cuatro

fuerzas que actúan sobre la barra mostrada en la

figura.

Solución.

Enfoque escalar.

)º30cos34(40)30ºsen 3(20)0(60)2(50 OM

N.m 92.333OM




Tres fuerzas actúan sobre la barra mostrada

en la figura. Determine el momento

resultante que generan con respecto a O y

calcule los ángulos coordenados de

dirección del eje de momento.

Solución.

El momento resultante en el punto O está dado por:

332211 FrFrFrMOR

Vector posición.

Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los

puntos A y B:

)0.5,0(A )2,5,4( B

El vector de posición para cada fuerza es:

jr 51 jr 52 kj ir 2543

Fuerzas individuales (lb):

kj iF 2040601

jF 502

kjiF 3040803

Par resultante en A (Suma de momentos en el punto A).



304080

254

0500

050

204060

050

kjikjikji

MOR

)2404070()0()300100( kjikiMOR

lb.ft )604030( kjiMOR

Módulo del momento resultante: lb.ft 10.78ORM

Dirección del momento resultante: º41.67 º80.120 º80.39


Reemplace las fuerzas que actúan sobre la pieza

mostrada en la figura por una fuerza resultante y un

momento de par equivalentes actuando en el punto A.

Solución.

Las fuerzas se han designado como en la figura (a). Se descompuso la fuerza F2 de 400 N

en sus componentes rectangulares.

a) b)


iF 1001



jijiF 84.28284.28245ºsen 400º45cos4002

jF 6003

Fuerza resultante:

321 FFFFR

)600()84.28284.282()100( jjiiFR

N )84.88284.382( jiFR

Módulo de la fuerza resultante: N 28.962RF

Dirección de la fuerza resultante: º56.66

Suma de momentos en el punto A.

)4.0(600)3.0(º45cos400(0.8)45ºsen 400)0(100 ARM

N.m 13.551ARM

En la figura b) se muestra la fuerza resultante actuando en el punto A y el momento

resultante en el punto A.

Ejemplo 2.49. Problema 2/9 del Meriam.

Determinar la resultante de las cuatro

fuerzas y un par que actúan sobre la placa

mostrada.

Ejemplo 2.50. Problema 4.5 del Bedford.



Dos fuerzas de igual magnitud F se aplican

a la llave como se muestra. Si se requiere un

momento de 50 N.m para aflojar la tuerca,

cual es el valor necesario de F?

Solución.

Respuesta: 81.1 N.


Tres cables están unidos a una ménsula,

como se muestra en la figura. Reemplace

las fuerzas que ejercen los cables por un

sistema equivalente fuerza-par en A.

Solución.

Las fuerzas se han designado como en la figura. También se ilustran los vectores posición

para la determinación del momento de cada fuerza.



Vector posición.


puntos A, B, C y D. Adicionalmente, para definir la fuerza F3 se requiere conocer las

coordenadas del punto E.

)0,1.0,0(A )05.0,1.0,075.0(B )05.0,1.0,075.0( C )0,0,1.0(D

)1.0,05.0,15.0( E


k ir 05.0075.01 j ir 1.01.02 k ir 05.0075.03


kik iF 11.70711.70745ºsen 1000º45cos10001

jijiF 23.103960060ºsen 1200º60cos12002

BEuFF 33 uBE: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Vector BE: kjiBE 05.015.0075.0 Módulo del vector BE: 175.0BE

kjikji

FBE 200600300175.0

05.015.0075.0700

Fuerza resultante:



321 FFFFR

)200600300()23.1039600()11.70711.707( kjijikiFR

N )11.50723.43911.1607( kjiFR


Dirección de la fuerza resultante: º66.22 º39.75 º93.106

Par resultante en A (Suma de momentos en el punto A).

332211 FrFrFrMAR

200600300

05.00075.0

023.1039600

01.01.0

11.707011.707

05.00075.0

kjikjikji

MAR

)4530()92.163()68.17( kikjMAR

N.m )92.11868.1730( kjiMAR

Módulo del par resultante: N.m 91.123ARM

Dirección del par resultante: º99.75 º80.81 º32.16


Un miembro estructural está sometido al momento de

un par M y a las fuerzas F1 y F2. Reemplace este

sistema por una fuerza resultante equivalente y el

momento de un par actuando en su base, en el punto

O.

Solución.

Momento resultante en el punto O.

2211 FrFrMM CRO



Momento en el punto C.

k jMC )(500)(50053

54

k jMC 300400

Momento debido a las fuerzas individuales.

Vector posición.


puntos B y C.

)1,1.0,15.0(B )1,0,0(C


kj irB 1.015.0 krC


kF 8001

CBuFF 22 uCB: vector unitario de la dirección de la fuerza.

Vector CB: jiCB 1.015.0 Módulo del vector CB: 1802.0CB

jiji

F 48.16672.2491802.0

1.015.03002

Fuerza resultante:

21 FFFR

)48.16672.249()800( jikFR

N )80048.16672.249( kjiFR


Dirección de la fuerza resultante: º99.106 º76.78 º44.159

Par resultante en O (Suma de momentos en el punto O).

80000

100

048.16672.249

11.015.0300400

kjikji

k jMOR



)0()72.24948.166(300400 jik jMOR

N.m )30072.64948.166( k jiMOR

Módulo del par resultante: N.m 75.734ARM

Dirección del par resultante: º10.103 º16.152 º90.65

Ejercicios propuestos.

95. Una viga de 4 m de longitud se somete a una variedad de cargas. a) Reemplace cada

tipo de carga por un sistema equivalente fuerza-par en el extremo A de la viga. b) ¿Cuáles

de las cargas son equivalentes?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)



(g)

(h)

Respuesta: a) FR = 600 N ↓, M = 1000 N.m; b) FR = 600 N ↓, M = –900 N.m; c) FR = 600 N

↓, M = 900 N.m; d) FR = 400 N ↑, M = 900 N.m; e) FR = 600 N ↓, M = –200 N.m; f) FR =

600 N ↓, M = 800 N.m; g) FR = 1000 N ↓, M = 1000 N.m; FR = 600 N ↓, M = 900 N.m; b)

Cargas c y h.

96. Una viga de 4 m de longitud se carga de la forma

mostrada en la figura. Determine qué carga del

problema 64 es equivalente a esta carga.

Respuesta: Carga f.

97. Determine la fuerza sencilla equivalente y la distancia desde el punto A hasta su línea

de acción para la viga y la carga de a) del problema 95b, b) del problema 95d, c) del

problema 95e.

98. Cinco sistemas fuerza-par diferentes

actúan en las esquinas de la placa de metal,

que se ha moldeado en la forma que se

muestra en la figura. Determine cuál de

estos sistemas es equivalente a una fuerza

iF lb) 10( y a un par de momento

kjM lb.ft) 15(lb.ft) 15( ubicado en el

origen.

Respuesta: Sistema fuerza-par en D.



99. Los pesos de dos niños sentados en los extremos A

y B de un balancín son 84 lb y 64 lb, respectivamente.

Determine dónde debe sentarse un tercer niño si la

resultante de las fuerzas de los pesos de los tres niños

debe pasar por C, y si se sabe que el peso del tercer

niño es a) 60 lb, b) 52 lb.

Respuesta: a) 2.00 ft a la derecha de C; b) 2.31 ft a la

derecha de C.

100. Tres lámparas de escenario se colocan

sobre el tubo mostrado en la figura. El peso

de las lámparas en A y B es de 4.1 lb,

mientras que la lámpara en C pesa 3.5 lb. a)

Si in 25d ., determine la distancia desde

D hasta la línea de acción de la resultante de

los pesos de las tres lámparas. b) Determine

el valor de d si la resultante de los pesos

debe pasar por el punto medio del tubo.

Respuesta: a) 39.6 in a la derecha de D; b)

33.1 in.

101. Una viga soporta tres cargas de

magnitud dada y una cuarta carga cuya

magnitud está en función de la posición. Si

b = 1.5 m y las cargas se deben reemplazar

por una sola fuerza equivalente, determine

a) el valor de a tal que la distancia desde el

soporte A hasta la línea de acción de la

fuerza equivalente sea máxima, b) la

magnitud de la fuerza equivalente y su

punto de aplicación sobre la viga.



102. El engrane C está rígidamente unido al brazo AB.

Si las fuerzas y los pares mostrados se pueden reducir a

una sola fuerza equivalente en A, determine dicha

fuerza equivalente y la magnitud del par M.

Respuesta: FR = 72.4 lb, 81.9º, M = 206 lb.ft.

Otras reducciones de un sistema de fuerzas.

Cuando R = 0, el sistema fuerza-par se reduce a un vector de par R

OM . Entonces, el sistema

de fuerzas dado puede ser reducido a un solo par, que recibe el nombre de par resultante

del sistema.

Un sistema fuerza-par en O puede ser reemplazado por una sola fuerza R que actúa a lo

largo de una nueva línea de acción si R y R

OM son mutuamente perpendiculares. Por tanto,

los sistemas de fuerzas que pueden ser reducidos a una sola fuerza o resultante, son

aquellos sistemas para los cuales la fuerza R y el vector de par R

OM son mutuamente

perpendiculares. Aunque, en general, esta condición no se cumplirá para sistemas de

fuerzas en el espacio, si se cumplirá para sistemas constituidos por 1) fuerzas concurrentes,

2) fuerzas coplanares o 3) fuerzas paralelas. Estos tres casos se estudiarán en forma

separada.

1) Fuerzas concurrentes.

Las fuerzas concurrentes están aplicadas en el mismo punto y, por tanto, pueden ser

sumadas directamente para obtener su resultante R. Por consiguiente, éstas siempre se

reducen a una sola fuerza.

2) Las fuerzas coplanares actúan en el mismo plano, el cual se puede suponer que es el

plano de la figura. La suma R de las fuerzas del sistema también estará en el plano de la

figura, mientras que el momento de cada fuerza con respecto a O y, por consiguiente, el

momento resultante R

OM , serán perpendiculares a dicho plano. De esta forma, el sistema

fuerza-par en O está constituido por una fuerza R y por un vector de par R

OM que son



mutuamente perpendiculares. Estas fuerzas pueden reducirse a una sola fuerza R, moviendo

R en el plano de la figura hasta que su momento con respecto a O sea igual a R

OM . La

distancia desde O hasta la línea de acción de R es

RMd R

O / (16)

Punto de aplicación de la fuerza resultante.

Para reducir el sistema de fuerzas a una sola fuerza R, se expresa que el momento de R con

respecto a O debe ser igual a R

OM . Representando con x y y las coordenadas del punto de

aplicación de la resultante, se escribe

R

Oxy MRyRx (17)

la cual representa la ecuación de la línea de acción de R.

3) Las fuerzas paralelas tienen líneas de acción paralelas y pueden o no tener el mismo

sentido.


Se usan cuatro remolcadores para llevar un

transatlántico a su muelle. Cada remolcador

ejerce una fuerza de 5000 lb en la dirección

mostrada en la figura. Determine: a) el

sistema equivalente fuerza-par en el mástil

mayor O y b) el punto sobre el casco donde

un solo remolcador más potente debería

empujar al barco para producir el mismo

efecto que los cuatro remolcadores

originales.

Solución.




La viga AE que se muestra en la figura está

sometida a un sistema de fuerzas coplanares.

Determine la magnitud, la dirección y la

ubicación sobre la viga de una fuerza

resultante que sea equivalente al sistema

dado de fuerzas medido desde E.

Solución.

Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descompuso la fuerza F1 de 500 N en

sus componentes rectangulares.


jij iF 0.433250 60ºsen 500º60cos5001

jF 2002

iF 1003

Fuerza resultante: 321 FFFFR

)100()200()0.433250( ijjiFR

N )0.233350( jiFR



Suma de momentos en el punto E.

)5.0(100(2.5)200)4(60ºsen 500 ERM

N.m 05.1182ERM

Punto de acción de la resultante.



El momento resultante en E es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un

punto (x) de la viga.

05.1182233 d

m 07.5d

La fuerza resultante del sistema de fuerzas actúa a 5.07 m del punto E.

Comentario: El punto de aplicación de la fuerza resultante se puede determinar también

considerando la suman de momentos con respecto al punto A.


La grúa mostrada en la figura está sometida

a tres fuerzas coplanares. Reemplace esta

carga por una fuerza resultante equivalente y

especifique en qué punto la línea de acción

de la resultante intersecta la columna AB y

el pescante BC.

Solución.

Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descompuso la fuerza F2 de 400 N en

sus componentes rectangulares.




iF 1751

jF 602

jijiF 200150)(250)(25054

53

3


)200150()60()175( jijiFR

lb )260325( jiFR

Módulo de la fuerza resultante: lb 20.416RF



)8(200)11(150(3)60)5(175 ARM

lb.ft 745ARM

Línea de acción de la resultante.

El momento resultante en A es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un

punto (x,y) del plano.



xy 260325745

Intersección entre la línea de acción de la resultante y la columna AB ( 0x )

)0(260325745 y

ft 29.2y

Intersección entre la línea de acción de la resultante y el pescante BC ( 11y )

x260)11(325745

ft 88.10x

Ejemplo 2.56. Problema 4.121 del Hibbeler. Décima Edición. Página 177.

Reemplace la carga sobre la estructura por

una sola fuerza resultante. Especifique

dónde intersecta su línea de acción al

miembro CD, medida esta intersección

desde el extremo C.



Solución.

Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descomponen las fuerzas F1 de 500 N y

F3 de 250 N en sus componentes rectangulares.


jijiF 01.43325060ºsen 500º60cos5001

jF 3002

jijiF 150200)(250)(25053

54

3


)150200()300()01.433250( jijjiFR

N.m )01.883450( jiFR



Suma de momentos en el punto C.

Obsérvese que se está aplicando un momento de 400 N.m en sentido antihorario (+) en el

punto C. Este momento se debe sumar a los momentos de las fuerzas individuales sobre

este mismo punto.

)6(150)0(200)3(300(1)01.433)2(250400 CRM

N.m 01.2333CRM




El momento resultante en C es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un

punto (x,y) del plano considerando como el origen del sistema de coordenadas el punto C.

xy 01.88345001.2333

Intersección entre la línea de acción de la resultante y el miembro CD ( 0y )

x01.883)0(45001.2333

m 64.2y

Intersección entre la línea de acción de la resultante y el miembro AB ( 1x )

)1(01.88345001.2333 y

m 22.3y

Ejemplo 2.57. Problema 4.140 del Bedford.

El soporte se somete a tres fuerzas y un par.

Si Ud representa este sistema por una fuerza

F, cual es F?, y dónde su línea de acción se

intersecta con el eje x?

Solución.



Se designan los puntos correspondientes a cada aplicación de la fuerza.

Fuerzas individuales.

iFB 200 iFC 400 jFD 180


)180()400()200( jiiFR

N )180200( jiFR




Obsérvese que se está aplicando un momento de 180 N.m en sentido antihorario (+) en el

punto D. Este momento se debe sumar a los momentos de las fuerzas individuales sobre

este mismo punto.

65.01806.04002.0200140 ARM

N.m 57ARM


El momento resultante en A es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un

punto (x,y) del plano considerando como el origen del sistema de coordenadas el punto A.



xy 18020057

Intersección entre la línea de acción de la resultante y el eje x ( 0y )

x180)0(20057

m 317.0y

Ejemplo 2.58. Problema 3.114 del Beer-Johnston. Octava Edición.

Cuando el seguidor AB rueda a lo largo de

la superficie del elemento C, ejerce una

fuerza F constante y perpendicular a la

superficie. a) Reemplace F con un sistema

equivalente fuerza-par en el punto D. b)

Para b = 1 ft, h = 2 ft, determine el valor de

x para el cual el momento del sistema

equivalente fuerza-par en D es máximo.

Respuesta: FR = F,

xh

b

2tan

21 ,

Fxhb

xbhxbhM

224

3222

4

)/(2)2(

; b) 0.354

ft.

Solución.




103. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre

la estructura por una fuerza y un momento de par

resultante equivalentes que actúen en el punto A.

104. Un par de magnitud M = 54 lb.in y las tres

fuerzas mostradas en la figura se aplican a una

ménsula angular. a) Encuentre la resultante de este

sistema de fuerzas. b) Localice los puntos donde la

línea de acción de la resultante interseca a la línea

AB y a la línea BC.

Respuesta: a) 34 lb, 28.0º; b) AB: 11.64 in a la

izquierda de B, BC: 6.20 in debajo de B.

Figura Problemas 104 y 105.

105. Un par M y las tres fuerzas mostradas en la figura se aplican a una ménsula angular.

Encuentre el momento del par si la línea de acción de la resultante del sistema de fuerzas

debe pasar a través de a) del punto A, b) del punto B, c) del punto C.

Respuesta: a) 42.8 lb.in; b) 240 lb.in; c) 0.

106. Reemplace la carga sobre el marco por una sola

fuerza resultante. Especifique dónde interseca su línea

de acción, medida desde A, al miembro AB.



107. Una armadura resiste las cargas mostradas en la

figura. Determine la fuerza equivalente a las fuerzas

que actúan sobre la estructura y el punto de

intersección de su línea de acción la línea que pasa por

los puntos A y G.

Respuesta: 773 lb, 79.0º, 9.54 ft a la derecha de A.

108. Las poleas A y B se montan sobre la ménsula

CDEF. La tensión en cada lado de las dos bandas es la

que se muestra en la figura. Reemplace las cuatro

fuerzas por una sola fuerza equivalente y determine

dónde se interseca su línea de acción con el borde

inferior del soporte.

109. Cuatro cuerdas que se encuentran

atadas a una caja ejercen las fuerzas que se

muestran en la figura. Si las fuerzas deben

remplazarse por una sola fuerza equivalente

aplicada en un punto sobre la línea AB,

determine a) la fuerza equivalente y la

distancia desde A hasta el punto de

aplicación de la fuerza si º30 , b) el

valor de y tal que la fuerza equivalente

se aplique en el punto B.

Respuesta: a) 665 lb, 79.6º, 64.9 in a la

derecha de A; b) 22.9º.



110. Un arnés de alambre se fabrica al

enredar dos o tres alambres alrededor de

clavijas de 2 in. de diámetro montadas sobre

una hoja de madera. Si la fuerza en cada

alambre es de 3 lb, determine el par

resultante que se sitúa sobre la madera

cuando a = 18 cm, y b) sólo se colocan los

alambres AB y CD, b) se colocan los tres

alambres.

111. Tres cables conectados a un disco ejercen sobre

éste las fuerzas indicadas en la figura. a) Reemplace las

tres fuerzas con un sistema fuerza-par equivalente en

A. b) Determine la fuerza única que es equivalente al

sistema fuerza-par obtenido en el inciso a) y

especifique su punto de aplicación sobre la línea que

pasa por los puntos A y D.

Respuesta: a) FA = 22.0 lb, 20.0º, MA = 26.0 lb.in; b) FA

= 22.0 lb, 20.0º, 1.259 in abajo de A.

112. Un componente de máquinas se somete a las

fuerzas y pares mostrados en la figura. El componente

debe mantenerse en su lugar mediante un solo remache

que puede resistir una fuerza pero no un par. Para P =

0, determine la ubicación del orificio para el remache si

éste debe localizarse a) sobre la línea FG, b) sobre la

línea GH.

Respuesta: a) 0.365 m arriba de G; b) 0.227 m a la

derecha de G.

113. Retome el problema 112, y ahora suponga que P = 60 N.

Respuesta: a) 0.299 m arriba de G; b) 0.259 m a la derecha de G.



114. Un motor de 32 lb se monta sobre el peso.

Encuentre la resultante del peso y las fuerzas ejercidas

sobre la banda, y determine el punto donde la línea de

acción de la resultante interseca con el piso.

115. Cuando el seguidor AB rueda a lo largo de la

superficie del elemento C, ejerce una fuerza constante

y perpendicular a la superficie. a) Reemplace F por un

sistema equivalente fuerza-par en el punto D obtenido

al dibujar la perpendicular desde el punto de contacto

hasta el eje x. b) Para m 1a y m 2b , determine el

valor de x para el cual el momento del sistema

equivalente fuerza-par en D es máximo.

Respuesta: FR = F,

xb

a

2tan

21 ,

224

2

32

4

2

xba

a

xxbF

M

;

b) 0.369 m.


Una losa de cimentación cuadrada soporta

las cuatro columnas mostradas en la figura.

Determine la magnitud y el punto de

aplicación de la resultante de las cuatro

cargas.

Solución.



El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de

coordenadas O.

Fuerza resultante.

kips 20kips 8kips 12kips 40 RF

jFR kips) 80(

Momento resultante en el origen.

0200

1004

080

5010

0120

0010

kjikjikji

MOR

)80200()8040()120( kikikMOR

kips.ft )280240( kiMOR

Punto de aplicación de la resultante.

0800

0280240

zx

kji

ki

kxizki 8080280240

z80240 x80280

ft 00.3z ft 50.3x

El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ft)00.3,0,50.3(




La losa que aparece en la figura está

sometida a cuatro fuerzas paralelas.

Determine la magnitud y la dirección de una

fuerza resultante equivalente al sistema dado

de fuerzas y localice su punto de aplicación

sobre la losa.

Solución.


coordenadas O.

Fuerza resultante.

N 600N 100N 400N 500 RF

kFR N) 1400(


60000

008

10000

056

40000

0100

kjikjikji

MOR

)4800()600500()4000( jjiiMOR

N.m )42003500( jiMOR




140000

042003500

yx

kji

ji

jxiyji 1400140042003500

y14003500 x14004200

m 50.2y m 00.3x

El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en m)0,50.2,00.3(


Tres fuerzas paralelas actúan sobre el borde

de la placa circular de cubierta en la figura.

Determine la magnitud y la dirección de una

fuerza resultante equivalente al sistema dado

de fuerzas y localice su punto de aplicación,

P, sobre la placa.

Solución.


coordenadas O.

Fuerza resultante.

lb 150lb 200lb 300 RF

kFR N) 650(


15000

0º45cos845ºsen 8

20000

080

30000

008

kjikjikji

MOR



)53.84853.848()1600()2400( jiijMOR

lb.ft )47.155147.751( jiMOR


65000

047.155147.751

yx

kji

ji

jxiyji 65065047.155147.751

y65047.751 x65047.1551

ft 16.1y ft 39.2x

El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ft)0,16.1,39.2(

Ejemplo 2.62. Ejemplo 2/16 del Meriam.



Determinar la resultante de la fuerza y par

que actúan sobre el sólido rectangular.

Solución.

Ejemplo 2.63. Ejemplo 2/18 del Meriam.

Reemplace las dos fuerzas y el par por una

fuerza única R aplicada en A y el par

correspondiente.

Solución.




116. Cuatro fuerzas se aplican al componente de

máquina ABDE como se muestra en la figura.

Reemplace estas fuerzas por un sistema equivalente

fuerza-par en A.

Respuesta: N) 2500.50420( kjiFR ,

N.m) 228.30( kjM .

117. Dos poleas de 150 mm de diámetro se

montan sobre el eje en línea AD. Las

bandas de las poleas B y C están contenidas

en planos verticales paralelos al plano yz.

Reemplace las fuerzas de las bandas

mostradas por un sistema fuerza-par

equivalente en A.

Respuesta: N) 339420( kjFR ,

N.m) 9.1099.1631125( kjiM .

118. Al usar un sacapuntas manual, un

estudiante ejerce sobre éste las fuerzas y el

par que se muestran en la figura. a)

Determine las fuerzas ejercidas en B y en C

si se sabe que las fuerzas y el par son

equivalentes a un sistema fuerza-par en A

que consta de la fuerza

kjRiR y lb) 7.0(lb) 6.2( y el par

kjiMM x

R

A lb.ft) 72.0()lb.ft 0.1( . b)

Encuentre los valores correspondientes de

Ry y Mx.



Respuesta: a) lb)50.2( iB ,

lb) 700.047.21000.0( kjiC ; b)

lb 47.2yF , lb.ft360.1xM .

119. Una paleta sostenida mediante un berbiquí se

utiliza para apretar un tornillo en A. a) Determine las

fuerzas ejercidas en B y C, si se sabe que estas fuerzas

son equivalentes a un sistema fuerza-par en A que

consiste en kRjRiR zy N) 30( y

iM R

A N.m)12( . b) Encuentre los valores

correspondientes de Ry y Rz. c) Determine la

orientación de la ranura en la cabeza del tornillo para la

cual es menos probable que la paleta se resbale, si el

berbiquí se encuentra en la posición mostrada.

Respuesta: a) N) 80( kFB ,

N)0.400.30( kiFC ; b) 0yRF , N 0.40

zRF ,

c) Cuando la ranura está en la posición vertical.

120. Un mecánico usa una llave tipo pata de gallo para

aflojar un perno ubicado en C. El mecánico sostiene el

maneral por los puntos A y B, ejerciendo sobre éstos

puntos las fuerzas que se muestran en la figura. Si se

sabe que estas fuerzas son equivalentes a un sistema

fuerza-par en C que consta de la fuerza

kiC )lb 4(lb) 8( y el par iMC )lb.in 360( ,

determine las fuerzas aplicadas en A y B cuando

lb 2zA .

Respuesta: lb ) 00.20.36 600.1( kjiA ,

lb ) 00.20.36 60.9( kjiB .



121. Un puntal ajustable BC se utiliza para colocar una

pared en posición vertical. Si el sistema fuerza-par que

se ejerce sobre la pared es tal que R = 21.2 lb y M =

13.25 lb.ft, encuentre un sistema fuerza-par equivalente

en A.

122. Un mecánico reemplaza el sistema de escape de un automóvil al asegurar firmemente

el convertidor catalítico FG a sus ménsulas de montaje H e I para después ensamblar de

manera holgada los mofles y los tubos de escape. Para colocar el tubo de salida AB, lo

empuja hacia adentro y hacia arriba en A mientras lo jala hacia abajo en B. a) Reemplace el

sistema de fuerzas dado por un sistema fuerza-par equivalente en D. b) Determine si el tubo

CD tiende a rotar en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido inverso en relación

con el mofle DE, según lo observa el mecánico.




Respuesta: a) N ) 0.504.28( kjFR , N ) 13.20.24 56.8( kjiM ; b) En contra de

las manecillas del reloj.

123. Para el sistema de escape del problema 122, a) reemplace el sistema de fuerzas dado

por un sistema fuerza-par equivalente en F, donde el tubo de escape está conectado con el

convertidor catalítico, b) determine si el tubo EF tiende a rotar en el sentido de las

manecillas del reloj o en el sentido inverso, según lo observa el mecánico.

Respuesta: a) N ) 0.504.28( kjFR , N ) 13.20.24 4.42( kjiM ; b) En contra de

las manecillas del reloj.

124. El cabezal del taladro radial originalmente estaba

colocado con el brazo AB paralelo al eje z, mientras

que la broca y el portabrocas estaban colocados

paralelos al eje y. El sistema se rotó 25º respecto del eje

y y 20º alrededor de la línea de centros del brazo

horizontal AB, hasta que quedó en la posición

mostrada. El proceso de taladrado comienza al

encender el motor y rotar la manivela hasta que la

broca entra en contacto con la pieza de trabajo.

Reemplace la fuerza y el par ejercidos por el taladro

por un sistema equivalente fuerza-par en el centro O de

la base de la columna vertical.

125. Tres niños se encuentran parados en la balsa de

5×5 m. Si el peso de los niños que están parados en A,

B y C es de 375, 260 y 400 N, respectivamente,

determine la magnitud y el punto de aplicación de la

resultante de los tres pesos.

Respuesta: 1035 N, a 2.57 m de OG y 3.05 m de OE.




126. Tres niños se encuentran parados en la balsa de 5×5 m. Los pesos de los niños que

están parados en A, B y C son de 375 N, 260 N, y 400 N, respectivamente. Si un cuarto

niño que pesa 425 N se sube a la balsa, determine dónde debe estar parado si los otros niños

permanecen en la posición mostrada y si la línea de acción de la resultante del peso de los

cuatro niños debe pasar por el centro de la balsa.

Respuesta: 2.32 m de OG y 1.165 m de OE.

127. Una base de concreto que tiene forma de

hexágono regular con lados de 12 ft soporta cuatro

cargas sobre sus columnas, como se muestra en la

figura. Determine la magnitud de las cargas adicionales

que deben aplicarse en B y F si la resultante de las seis

cargas debe pasar por el centro de la base.

128. Un grupo de estudiantes carga la plataforma de un

tráiler de 2×3.3 m con dos cajas de 0.66×0.66×0.66 m

y con una caja de 0.66×0.66×1.2 m. Cada una de las

cajas se coloca en la parte posterior del tráiler, de tal

forma que quedan alineadas con la parte trasera de los

costados del tráiler. Determine la carga mínima que los

estudiantes deben colocar en una caja adicional de

0.66×0.66×1.2 m y el sitio en el tráiler donde deben

asegurarla si ninguna parte de las cajas debe salirse de

los costados. Además, suponga que cada caja está

cargada uniformemente y que la línea de acción de la

resultante del peso de las cuatro cajas pasa por el punto

de intersección de las líneas centrales y el eje del

tráiler. (Sugerencia: Tomen en cuenta que las cajas

pueden colocarse sobre sus extremos o sobre sus

costados).



BIBLIOGRAFÍA.

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ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

2007.

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ingenieros. Estática, 9a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,

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10a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México, 2013.

Hibbeler, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education de

México, S.A de C.V. México, 2004.

Hibbeler, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 11 ed., Pearson Education de

México, S.A de C.V. México, 2010.

Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados

Unidos. 2012.

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