05 EF Bidimensionales

105 Problemas de elasticidad bidimensional

Diego Andrs Alvarez MarnProfesor Asociado

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

2Convencin para los esfuerzos positivos

3Deformaciones

4Ley de Hooke(relacin esfuerzos deformaciones)

5Ley de Hooke para materiales anisotrpicos

(relacin esfuerzos-deformaciones)

D

1=x, 2=y, 3=z

6Tensin plana

7Deformacin plana

8Ley de Hooke para tensin plana

9Ley de Hooke para deformacin plana

10

Deformaciones iniciales

11

Deformaciones iniciales

12

Coeficiente de dilatacin trmica lineal

13

Esfuerzos iniciales

14

Esfuerzos iniciales

15

Esfuerzos iniciales

16

Malla de elementos finitos

17

Numeracin local vs numeracin global de los nodos de la malla

18

Esta es la matriz xnod en nuestros cdigos de MATLAB.

19

Esta es la matriz LaG en nuestros cdigos de MATLAB.

20

Reglas para la creacin de la malla de elementos finitos

Es importante reconocer que la malla de elementos finitos representa una idealizacin de la geometra real. Por consiguiente, el anlisis por elementos finitos reproduce el comportamiento de la malla escogida, y no el de la estructura real.

Solamente comprobando la convergencia de la solucin podemos estimar el grado de aproximacin de la solucin de elementos finitos a la exacta.

23

Cmo crear una buena malla

24

Seleccin del tipo de elemento En caso que se tenga una cierta idea de la

forma polinmica de la solucin, conviene utilizar elementos con funciones de forma del mismo grado que la solucin conocida (rara vez ocurre en la prctica)

En zonas donde se intuya que pueden existir gradientes de esfuerzos elevados es ms adecuado utilizar elementos de mayor orden (mtodo p) o mallas ms tupidas (mtodo h).

25

Seleccin del tipo de elemento

Debe evitarse colocar un elemento pequeo contiguo a uno grande. La transicin en tamao debe ser gradual

Se recomienda utilizar elementos finitos de pocos nodos (pero no tan pocos!)

En el caso de elementos Lagrangianos, tener cuidado con el problema de Runge. Por lo tanto no es bueno escojer tantos nodos.

27

Convergencia de la solucin

En lo posible, se deben hacer anlisis con mallas cada vez ms tupidas, de modo que podamos observar si la solucin ha convergido.

29

Funciones de forma globales

30

Funciones de forma locales

3 1

31

Elemento triangular de tres nodos

32

13

34

Discretizacin del campo de deformaciones

36

Discretizacin del campo de deformaciones

37

Discretizacin del campo de tensiones

38

Fuerzas sobre un elemento triangular de tres nodos

Px1

Py1

39

Las fuerzas de superficie pueden ser de dos tipos:a) Debidas a fuerzas exteriores que actuan sobre los lados del elemento que forman parte del contorno exterior de la estructurab) Debidas a las fuerzas de interaccin entre elementos que se transmiten a travs de lados comunes. Estas ltimas se ignoran desde un principio pues se anulan en el ensamblaje (ya que tienen igual magnitud y direccin, pero sentidos opuestos).

40

PTV aplicado a un elemento

43

Hay que destacar que estas expresiones son totalmente generales y, por consiguiente, aplicables a cualquier elemento bidimensional

44

Matriz de rigidez para un elemento triangular de tres nodos

46

Vectores de fuerzas nodales equivalentes para un elemento triangular de tres nodos

49

Fuerzas superficiales a fuerzas nodales equivalentes para el tringulo de 3 nodos

50

Anlisis sobre el lado 31

52

Fuerzas superficiales a

fuerzas nodales equivalentes para el tringulo de 3

nodos

56

Ejercicio de programacinConsidere la viga mostrada, suponiendo que la densidad del materiales 7850 kg/m3, E = 200GPa, el coeficiente de Poisson es 0.30 y elespesor de la viga es 10 cm. Calcule los campos de esfuerzos,desplazamientos y deformaciones de la viga

57

Elemento rectangular de 4 nodos

58


59


60


La matriz de rigidez que aparece en el libro de Oate est mala. Esta es la correcta:

62


Este elemento es muy bueno para problemas de traccin/compresin pura, pero es malo para problemas de flexin debido a su incapacidad natural de adoptar formas curvas. Por esta razn se necesitan mallas muy tupidas para obtener resultados mnimamente aceptables.

63

Ejercicio de programacin

64

El tringulo de Pascal

65

Tringulo de Pascal

3

66

Funciones de forma de un elemento rectangular de clase C

0 y lados rectos

Estos elementos estn expresados en las llamadas coordenadas naturales o intrnsecas

67

Elemento rectangularserendpito

Elemento rectangular lagrangiano vs

68

Polinomios de Lagrange

69

Funciones de forma 1D (2 nodos)

70

Funciones de forma 1D(3 nodos)

71

Funciones de forma 1D(4 nodos)

72

Elemento rectangular lagrangiano de 4 nodos

74


76


77Mostrar programa de MATLAB

78

Elemento rectangular curtico lagrangiano

79

Otros elementos rectangulares de la familia de Lagrange

80

Intercontinuidad elemental

Despus de la deformacin:

Esto implica que si se hace una transicin en el orden de los elementos finitos, se deben utilizar elementos finitos con diferente nmero de nodos en cada lado para hacer la transicin.

83

Serendipia (chiripa)

Una serendipia es un descubrimiento o un hallazgo afortunado e inesperado. Se puede denominar as tambin a la casualidad, coincidencia o accidente.

El trmino serendipia deriva del ingls serendipity, neologismo acuado por Horace Walpole en 1754 a partir de un cuento persa del siglo XVIII llamado Los tres prncipes de Serendip, en el que los protagonistas, unos prncipes de la isla Serendip (que era el nombre rabe de la isla de Ceiln, la actual Sri Lanka), solucionaban sus problemas a travs de increbles casualidades.

NOTA: chiripa si est en el diccionario, serendipia no lo est. Serendipity si existe en el diccionario ingls.

86

Elementos serendpitos rectangulares

Se obtienen de la siguiente manera: Se selecciona el nmero de nodos de cada

lado para definir una variacin lineal, cuadrtica, cbica, etc., sobre dichos lados que garantice la continuidad interelemental.

Se escoge el mnimo nmero de nodos en su interior de modo que se obtenga una variacin polinmica de xi y eta completa y simtrica, del mismo grado que la variacin sobre los lados.

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Elemento rectangular serendpito de 4 nodos

Este elemento pertenece a ambas familias: Lagrangiana y Serendpita

88


90


91


92

Elemento rectangularserendpito

(GANADORES!)

Elemento rectangular lagrangiano vs

93

Funciones de forma de elementos triangulares de lados rectos

Estas funciones de forma se caracterizan porque sus funciones de forma contienen exactamente todos los trminos de un polinomio completo de un determinado grado.

1 trmino

3 trminos (lineal)

6 trminos (cuadrtico)

10 trminos (cbico)

94

Coordenadas de rea

95

Coordenadas de rea

Interpolacin paramtricade la geometra

Al despejar de este sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas se obtiene:

96

Expresin general de la funcin de forma de un elemento triangular

IEJEMPLO: para el elemento triangular de diez nodos:

EJEMPLO: para el elemento triangular de seis nodos:

I

97

Elemento triangular de 3 nodos

98

Elemento triangular de 6

nodos

99

Elemento triangular de 10 nodos

Mostrar programa de MATLAB

100

Coordenadas naturales del tringulo

101

Cul elemento finito tiene ms precisin?Los elementos rectangulares son ms precisos que los triangulares para el mismo orden de aproximacin polinomial. No obstante, los elementos triangulares son mucho ms verstiles que los rectangulares en la discretizacin de geometras complejas.

Los elementos de bajo orden son ms sencillos de utilizar aunque en problemas con altos gradientes de esfuerzos la precisin slo se alcanza a cambio de introducir un gran nmero de elementos sencillos, lo que puede hacer obligatorio, e incluso ms rentable en ocasiones, el utilizar elementos de orden ms elevado.

102

La matriz Jacobiana

104

El teorema de la funcin inversa

105

El Jacobiano (determinante de la matriz Jacobiana)

El Jacobiano se puede entender como la cantidad de estiramiento que impone una transformacin de variables.

108

Ver: http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Cambio_de_variables_en_integrales_mltiples

Cambios de variable en integrales mltiples

109

T

110

La transformacin de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el rea de la regin polar es distinta que la de la regin rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano.

111

Elementos isoparamtricos bidimensionales

112

Elementos cuadrilteros isoparamtricos bidimensionales

114

Si se utilizan funciones de forma lineales ningn ngulo interior entre dos lados del elemento sea mayor de 180o.

Si las funciones de forma son cuadrticas es necesario adems que los nodos sobre los lados se encuentre en el tercio central de la distancia entre los nodos esquina adyacentes.

Para funciones de forma de rdenes superiores es necesario comprobar el signo del Jacobiano.

x

x

x

y

y

y

115

Nota 1

Muchos preprocesadores en los paquetes de elementos finitos incorporan herramientas especializadas que verifican la distorsin de la malla de EFs. Todo lo que debe hacer el usuario es invocar esta herramienta despus de crear la malla y antes de hacer el anlisis. La herramienta deber generar un reporte con las tasas de distorsin de los EFs. Dicha informacin deber ser analizada por el ingeniero.

116

Nota 2

Desde el punto de vista anteriormente, el consejo de muchos libros en cuanto a que el elemento triangular se puede obtener a partir de la deformacin del elemento rectangular (uniendo nodos) es completamente errneo, ya que este tipo de elemento tiene zonas donde el Jacobiano vale cero.

117

Los elementos superparamtricos se utilizan por ejemplo cuando las fronteras son muy curvas, pero el gradiente de esfuerzos no es alto.

Los elementos subparamtricos se utilizan por ejemplo cuando las fronteras son simples, pero los grandientes de esfuerzo son altos.

118

Inversin de matrices

120

NOTA: esta es en verdad la matriz Jacobiana transpuesta

Recuerde que:det(J) = det(JT)

122El integrando es una funcin racional por loque debe hacerse uso de la integracin numrica

123

Elementos triangulares isoparamtricos bidimensionales

125

Integracin numrica utilizando las cuadraturas de Gauss Legendre

sobre dominios cuadrilteros

126

Cuadraturas de Gauss Legendre

127


Recuerde que una cuadratura de orden n en cada direccin natural integra exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor en la correspondiente coordenada natural

128

Integracin numrica utilizando las cuadraturas de Gauss Legendre

sobre dominios triangulares David Dunavant, High Degree Efficient Symmetrical

Gaussian Quadrature Rules for the Triangle, International Journal for Numerical Methods in Engineering,Volume 21, 1985, pages 1129-1148.

http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/dunavant/dunavant.html

129

En la tabla la precisin indica el grado del polinomio que se integra exactamente.

En los artculos cientficos usualmente se tabulan los Wi de modo que sumen 1. Sin embargo en la frmula se requiere dividir por 1/2. Aqu los pesos ya se han dividido por 1/2.

130

Seleccin del orden de integracin

En nuestro caso las integrales son funciones racionales y la integracin exacta no es posible. Escoja un nmero de puntos de integracin que integre exactamente los trminos de K correspondientes al polinomio completo contenido en las funciones de forma esta estrategia se llama la cuadratura mnima para obtener la convergencia.

132

Espacio nulo de una matriz

133

Si se escojen menos puntos de integracin (se utiliza integracin reducida) podran aparecer mecanismos internos, los llamados modos de energa nula.

134

Mecanismos propagables

Elementosrectangularesde 4 nodos

135

Los modos de energa nula

136

Los modos de energa nula

137

Modos de desplazamiento y rotacin rgida y de energa nula para el elemento

rectangular de 4 nodos (de K integrada)

Cualquier combinacin lineal de estos vectorestambien es un modo de energa nula o de rotacinrgida y desplazamiento

138


rectangular de 4 nodos (de K integrada)

Cualquier combinacin lineal de estos vectorestambien es un de rotacin rgida y desplazamiento

139


rectangular de cuatro nodos (de K exacta)

Cualquier combinacin lineal de estos vectorestambien es un de rotacin rgida y desplazamiento

140

Modos de desplazamiento y rotacin rgida y de energa nula para el

elemento rectangular de 8 nodos

Se muestran a continuacin

Lo que se est variando es el nmero de puntos de integracin

La combinacin lineal de dos modos de energa nula tambin es un modo de energa nula.

145

Energa de deformacin

146

Energa de deformacin

147

Repaso de mnimos cuadrados

148

Puntos ptimos para el clculo de esfuerzos y deformaciones

149

Propiedad de las races del polinomio de Legendre

Suponga que tenemos un polinomio de grado n y otro de grado n-1 obtenido por medio de un ajuste por mnimos cuadrados del anterior.

Ambos polinomios se intersectan en la ubicacin de las races del polinomio de Legendre de orden n

151


155

Este criterio para el clculo de esfuerzos es tambin vlido en ms dimensiones

158

Puntos ptimos para el clculo de esfuerzos y deformaciones

flectores

159

Extrapolacin de los esfuerzos a los nodos del elemento finito

Obtencin de los esfuerzos nodales en un elemento de barra cuadrtico por interpolacin lineal de los valores en los puntos de Gauss de la cuadratura de orden 2.

164

Alisado de los esfuerzosSoluciones discontinuas y alisadas de los

esfuerzos en los nodos

Se alisa con uno de los siguientes tres criterios: Promedio entre nodos aferentes Mximo de nodos aferentes (conservativo tracciones) Mnimo de nodos aferentes (conservativo compresiones)

165

Integracin numrica de la matriz de rigidez del elemento

Elemento rectangular:

Elemento triangular:

166

Integracin numrica del vector de fuerzas msicas

169

ds

174

Clculo de los esfuerzos principales

175

Teoras de fallaEn el mbito de la teora de la elasticidad la falla se produce cuando se produce fluencia en el material. Los criterios siguientes generalizan el criterio de falla de un material que es ensayado unidimensionalmente. Para calcular el esfuerzo de fluencia las dos teoras de falla ms populares son:

Criterio de falla de Tresca (teora del mximo esfuerzo cortante)

Criterio de falla de Von Mises (teora de la mxima energa de deformacin)

176

Tresca

177

Von Mises

178

Comparacin de las superficies de fluencia para los criterios de Von Mises y Tresca en usando las tensiones principales como coordenadas. Observe que el criterio de Tresca es ms conservador

179

Criterio de Mohr-Coulomb

El criterio de Mohr-Coulomb describe la respuesta de materiales quebradizos tales como el suelo, rocas, materiales granulares, concreto o los materiales cermicos a la accin combinada del esfuerzo cortante y el esfuerzo normal. Se aplica generalmente a aquellos materiales para los cuales la resistencia a compresin es muy superior a la resistencia a traccin. La teora explica que el corte de un material se produce para una combinacin entre tensin normal y tensin tangencial, y que cuanto mayor sea la tensin normal, mayor ser la tensin tangencial necesaria para cortar el material.

181

Criterio de Mohr-CoulombTenga en cuenta que los esfuerzos normales sigma_n, se estnasumiento positivos a compresin

182

Superficies de fluencia de Mohr-Coulomb vs Drucker Prager

184

Modelo de Rankine

185

Pgina 1Pgina 2Pgina 3Pgina 4Pgina 5Pgina 6Pgina 7Pgina 8Pgina 9Pgina 10Pgina 11Pgina 12Pgina 13Pgina 14Pgina 15Pgina 16Pgina 17Pgina 18Pgina 19Pgina 20Pgina 21Pgina 22Pgina 23Pgina 24Pgina 25Pgina 26Pgina 27Pgina 28Pgina 29Pgina 30Pgina 31Pgina 32Pgina 33Pgina 34Pgina 35Pgina 36Pgina 37Pgina 38Pgina 39Pgina 40Pgina 41Pgina 42Pgina 43Pgina 44Pgina 45Pgina 46Pgina 47Pgina 48Pgina 49Pgina 50Pgina 51Pgina 52Pgina 53Pgina 54Pgina 55Pgina 56Pgina 57Pgina 58Pgina 59Pgina 60Pgina 61Pgina 62Pgina 63Pgina 64Pgina 65Pgina 66Pgina 67Pgina 68Pgina 69Pgina 70Pgina 71Pgina 72Pgina 73Pgina 74Pgina 75Pgina 76Pgina 77Pgina 78Pgina 79Pgina 80Pgina 81Pgina 82Pgina 83Pgina 84Pgina 85Pgina 86Pgina 87Pgina 88Pgina 89Pgina 90Pgina 91Pgina 92Pgina 93Pgina 94Pgina 95Pgina 96Pgina 97Pgina 98Pgina 99Pgina 100Pgina 101Pgina 102Pgina 103Pgina 104Pgina 105Pgina 106Pgina 107Pgina 108Pgina 109Pgina 110Pgina 111Pgina 112Pgina 113Pgina 114Pgina 115Pgina 116Pgina 117Pgina 118Pgina 119Pgina 120Pgina 121Pgina 122Pgina 123Pgina 124Pgina 125Pgina 126Pgina 127Pgina 128Pgina 129Pgina 130Pgina 131Pgina 132Pgina 133Pgina 134Pgina 135Pgina 136Pgina 137Pgina 138Pgina 139Pgina 140Pgina 141Pgina 142Pgina 143Pgina 144Pgina 145Pgina 146Pgina 147Pgina 148Pgina 149Pgina 150Pgina 151Pgina 152Pgina 153Pgina 154Pgina 155Pgina 156Pgina 157Pgina 158Pgina 159Pgina 160Pgina 161Pgina 162Pgina 163Pgina 164Pgina 165Pgina 166Pgina 167Pgina 168Pgina 169Pgina 170Pgina 171Pgina 172Pgina 173Pgina 174Pgina 175Pgina 176Pgina 177Pgina 178Pgina 179Pgina 180Pgina 181Pgina 182Pgina 183Pgina 184Pgina 185

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