04_Respuesta_1_GL_Fza_Cte_Duhamel

8/18/2019 04_Respuesta_1_GL_Fza_Cte_Duhamel

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Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Dinámica de Estructuras (CIV –235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Respuesta de Sistemas de 1

Grado de Libertad Sometidos a

Fuerzas Generales – Parte 1


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Introducción

• Hasta este punto se ha estudiado la solución de la ecuación demovimiento para sistemas de 1 grado de libertad para 2 situaciones

particulares

– Caso de vibraciones libres

– Caso de vibraciones debido a fuerzas armónicas

• El objetivo de este capítulo es estudiar la solución de la ecuación de

movimiento de sistemas de 1 grado de libertad para casos más

generales de fuerzas

USM – Dinámica de Estructuras (CIV –235) 2

Objetivos


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Introducción

• Casos a estudiar en este capítulo – Sistema sometido a la acción de una fuerza constante

– Sistema sometido a una fuerza arbitraria


Objetivos


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Caso de Fuerza Constante

• Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado delibertad

• En una primera etapa, se asume amortiguamiento nulo ( = 0)

• Se asume sistema inicialmente en reposo. Es decir , 0 = 0 = 0

• Súbitamente, una fuerza constante de magnitud se aplica sobre la

estructura


Formulación – Caso sin amortiguamiento

k

m


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• La ecuación diferencial de movimiento de este sistema es la siguiente(para >0)

• La solución de esta ecuación diferencial () puede ser expresada en

como la suma de las soluciones homogénea () y particular ()

• Luego, la ecuación que describe el movimiento de la estructura es:


Solución – Caso sin amortiguamiento


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• Al imponer las condiciones iniciales, es posible determinar el valor delas constantes y de la solución de la ecuación de movimiento. En

particular, para condiciones 0 = 0 = 0, es posible demostrar que:




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• Gráfico (adimensional) de la función de desplazamiento ()

• Note que la respuesta dinámica máxima de la estructura es el doble de

la respuesta estática asociada



0

0.5

1

1.5

2

2.5

T 2T


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• La ecuación diferencial de movimiento para tiempo menor que es:

• Y su respectiva solución es:

• Para > 0, la ecuación diferencial de movimiento es:

• Claramente, la solución de la ecuación de movimiento para tiemposmayores que tiene la forma:


Solución – Caso = 0 y duración de la carga

Caso de vibraciones libres


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• Para determinar las constantes y de la solución para ≥ , seimpone con t inuidad de desplazamiento y velocidad entre la solución

para < y ≥ . Dichas condiciones son:

• Considerando estas condiciones, se puede demostrar que la solución

de la ecuación de movimiento para tiempos mayores que es:



Condiciones para

determinar y


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• Caso particular 1 – Asuma que la

duración de aplicación

de la fuerza constante

es igual al período

natural de laestructura. Es decir,

= 2/ =

– Se puede verificar

fácilmente que en

este caso



Tiempo

– Esto implica que la solución para tiempo mayor que es nula

( = 0, > )

2


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Tiem o

Forzado

Libre


• Caso particular 2 – Asuma que la

duración de aplicación

de la fuerza constante

es igual a la mitad del

período natural de laestructura. Es decir,

= / = /2

– Se puede verificar

fácilmente que en

este caso



– Esto implica que la solución para tiempo mayor que posee una

amplitud de oscilación igual a 2/

2


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• Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado delibertad, sub –amortiguado (0 < < 1) e inicialmente en reposo. Es

decir , 0 = 0 = 0

• Súbitamente, una fuerza constante de magnitud se aplica sobre la

estructura

• La ecuación diferencial de movimiento del sistema es:


Formulación – Caso ≠ 0


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• Tomando en cuenta las condiciones iniciales, es posible demostrar quela solución de la ecuación de movimiento es:


Solución – Caso ≠ 0

Donde


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• Al graficar lasolución, se puede

apreciar que

función de

desplazamiento

tiende al valor de larespuesta estática

para tiempos muy

grandes. O sea,

lim→

() = /

(solución estática)


Solución – Caso ≠ 0

0Tiempo


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Caso de Fuerza Arbitraria

• Considere un sistemaestructural caracterizado

mediante un grado de

libertad, sub –

amortiguado (0 < < 1)

• El sistema es sometido a

la acción de una fuerza

completamente arbitraria

• El objetivo es determinar

la función de

desplazamiento ()


Formulación

k

c

m

0

tiempo


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• Ciertamente, el tratamiento de una cargaarbitraria es complejo

• Simplificación

– En primera instancia, se analiza la

carga arbitraria en un período muy

breve entre y (note que = + Δ)

– Durante dicho período tan corto, la

carga es constante e igual a (es

decir, la carga corresponde a un

pulso ) – Para el instante de tiempo , se

asume desplazamiento y velocidades

nulas ( = = 0)


Solución – Paso 1: Simplificación

El objetivo es resolver

la ecuación de

movimiento para >

tiempo


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• De acuerdo a la segunda ley de Newton, si una carga actúa sobreuna masa , la razón de cambio del momentum es:

• Integrando dicha ecuación entre y (donde t < < ), es posible

determinar el valor de la velocidad de la masa en un instante

•En particular, es posible evaluar la velocidad en el instante



(): velocidad

0


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• Adicionalmente, es posible integrar la expresión de la velocidad paradeterminar la posición

• En particular, es posible evaluar la posición en el instante

• Note que el problema de determinar la solución de la ecuación de

movimiento para > se reduce a:



0

Ecuación diferencialde movimiento

Condiciones iniciales


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• Considerando laúltima definición, la

solución de la

ecuación de

movimiento es:

• Note la forma

cualitativa de dicha

solución



0

t1

()

tiempo

Solución de la ecuación

de movimiento para una

excitación tipo pulso


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• Asuma que en vez deexistir un único pulso

actuando sobre la

estructura, existe una

familia de pulsos

actuando sobre laestructura, cada uno en

un tiempo , , … , , con

magnitud , , … , y de

duración Δ, Δ, … , Δ ,

respectivamente


Solución – Paso 2: Superposición

tiempo


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• Dado que el sistema en análisis es lineal, el principio de superposiciónpuede ser aplicado

• Por lo tanto, la solución de la ecuación de movimiento es:


Solución – Paso 2: Superposición


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• El caso continuo(fuerza arbitraria

aplicada en el

tiempo) puede ser

interpretado como

la aplicación deuna serie de

infinitos pulsos.

Es decir, el

número de pulsos

es tal que → ∞,

cada uno de

duración Δ → 0


Solución – Paso 3: Caso Continuo

F ( t )

Tiempo

Caso Continuo


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•En este caso límite, la respuesta del sistema se calcula mediante unaintegral (superposic ión )

• O alternativamente:

• Otra manera más de representar la respuesta es mediante la expresión:


Solución – Paso 3: Caso Continuo

Integral de convolución o

integral de Duhamel

Indica convolución


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•Considere un sistema estructuralcaracterizado mediante un grado de libertad,

sin amortiguamiento ( = 0) e inicialmente

en reposo. Es decir , 0 = 0 = 0

• Súbitamente, una fuerza constante de

magnitud se aplica sobre la estructura• Solución mediante integral de convolución


Ejemplo 1

Esta solución es

idéntica a la obtenida

con anterioridad


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magnitud se aplica sobre la estructuradurante un tiempo 0 < <

• Solución mediante integral de convolución

– Para <


Ejemplo 2


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magnitud se aplica sobre la estructuradurante un tiempo 0 < <

• Solución mediante integral de convolución

– Para ≥


Ejemplo 2

Esta solución es

idéntica a la obtenida

con anterioridad


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•La solución de la ecuación de movimiento deducida anteriormente pormedio de la integral de convolución supone condiciones iniciales nulas

0 = 0 = 0

• En caso que dichas condiciones no sean nulas , la solución de la

ecuación de movimiento mediante la integral de convolución para

0 = y 0 = es:

USM Dinámica de Estructuras (CIV 235) 29

Caso de Condiciones Iniciales Diferentes de Cero

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