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CAPÍTULO 4. Flujo de agua

111

Capítulo cuatro

Flujo de agua Contenido 1. Ciclo hidrológico y ocurrencia de agua en el suelo. .............................................................. 115

2. Agua subterránea. ............................................................................................................................. 117

2.1. Superficie y nivel freático. .......................................................................... 117

2.1. Agua vadosa o capilar. ............................................................................... 117

2.2. Acuífero. ..................................................................................................... 118

2.3. Acuitardo. ................................................................................................... 119

2.4. Acuicludo. ................................................................................................... 119

2.5. Acuífugo. ..................................................................................................... 119

3. Capilaridad. .......................................................................................................................................... 120

3.1. Tensión superficial (T). .............................................................................. 120

3.2. Máximo ascenso capilar en tubos. ............................................................. 120

4. Concepto de carga.............................................................................................................................. 124

4.1. Pérdida de carga (h). ............................................................................... 125

4.2. Gradiente hidráulico (i). ............................................................................ 126

4.3. Presión de poros (u). .................................................................................. 127

5. Condiciones de flujo subterráneo. ............................................................................................... 128

6. Flujo en una dimensión. .................................................................................................................. 128

6.1. Presión del flujo (j). .................................................................................... 129

6.2. Gradiente hidráulico crítico (ic). ................................................................ 130

6.3. Ley de Darcy. ............................................................................................. 131

6.4. Validez de la ley de Darcy. ......................................................................... 132

6.5. Velocidad de flujo (vs). ............................................................................... 133

6.6. Conductividad hidráulica (k). .................................................................... 135

6.7. Efecto de la temperatura en la conductividad hidráulica. ......................... 136

6.8. Ensayos en laboratorio para determinar la conductividad hidráulica. ..... 137

6.8.1. Ensayo de carga constante. ................................................................. 137

6.8.2. Ensayo de carga variable. .................................................................... 139

6.9. Métodos empíricos para determinar la conductividad hidráulica. ............ 143

6.9.1. Correlación de Hazen. ......................................................................... 143

6.9.2. Método de Masch and Denny. ............................................................ 143

6.9.1. Correlación de Shepherd. .................................................................... 145

Fundamentos de mecánica de suelos. L.M. Salinas, J. Campos & G. Guardia

112

6.9.2. Ecuación de Kozeny – Carman. .......................................................... 147

6.9.3. Otras formas empíricas de hallar la conductividad hidráulica. ........... 148

Ejemplo 4.1 ........................................................................................................ 150

Ejemplo 4.2 ........................................................................................................ 152

Ejemplo 4.3 ........................................................................................................ 154

Ejemplo 4.4 ........................................................................................................ 157

Ejemplo 4.5 ........................................................................................................ 158

6.10. Ensayos en campo para determinar la conductividad hidráulica. ............. 160

6.10.1. Prueba de bombeo en estado estacionario. ...................................... 161

6.10.2. Pruebas en barrenaciones. ................................................................ 162

6.10.3. Método alternativo para determinar la conductividad hidráulica en

campo. 164

Ejemplo 4.6 ........................................................................................................ 165

Ejemplo 4.7 ........................................................................................................ 167

Ejemplo 4.8 ........................................................................................................ 169

Ejemplo 4.9 ........................................................................................................ 173

6.11. Flujo unidimensional en suelo anisotrópico. .............................................. 180

6.12. Flujo unidimensional en suelo estratificado. .............................................. 181

7. Flujo en dos dimensiones. .............................................................................................................. 184

7.1. Ecuación de Laplace. .................................................................................. 185

7.2. Redes de flujo. ............................................................................................. 188

7.2.1. Función potencial (x, z). ................................................................... 189

7.2.2. Función de flujo (x, z). ..................................................................... 190

7.2.3. Cantidad de flujo que pasa a través de un canal de flujo. .................... 191

7.2.4. Condiciones de borde. ......................................................................... 195

7.2.1. Construcción de la línea freática en presas de tierra. .......................... 195

7.2.2. Correcciones de la parábola básica en presas de tierra. ....................... 197

7.2.3. Determinación de los valores de a y apara presas de tierra. ............. 199

Ejemplo 4.10 ...................................................................................................... 207

Ejemplo 4.11 ...................................................................................................... 209

Ejemplo 4.12 ...................................................................................................... 211

Ejemplo 4.13 ...................................................................................................... 212

Ejemplo 4.14 ...................................................................................................... 214

7.2.4. Construcción de la red de flujo cuadrada. ........................................... 216

Ejemplo 4.15 ...................................................................................................... 218


113

Ejemplo 4.16 ..................................................................................................... 222

7.3. Soluciones matemáticas para presas de tierra. .......................................... 227

7.3.2. Solución de L. Casagrande para 90º. ............................................. 228

7.3.4. Solución de A. Casagrande para 30º180º. .................................... 228

7.3.5. Solución de Pavlovsky. ....................................................................... 228

7.3.6. Ecuación de Dupuit. ............................................................................ 229

7.4. Método de los fragmentos. ......................................................................... 230

7.4.2. Fragmento tipo II................................................................................. 232

7.4.3. Fragmento tipo III. .............................................................................. 233

7.4.4. Fragmento tipo IV. .............................................................................. 234

7.4.5. Fragmento tipo V. ............................................................................... 235

7.4.6. Fragmento tipo VI. .............................................................................. 235

7.4.7. Fragmento tipo VII. ............................................................................. 236

7.4.8. Fragmento tipo VIII. ........................................................................... 237

7.4.9. Fragmento tipo IX. .............................................................................. 237

7.5. Analogías y modelos físicos para resolver problemas de flujo. ................. 246

7.5.1. Modelo de la analogía eléctrica con papel conductor. ........................ 246

7.5.2. Modelos en tanque de arena. ............................................................... 248

7.6. Gradiente hidráulico de salida (ie). ............................................................ 250

7.6.1. Calculo del gradiente hidráulico de salida mediante redes de flujo. ... 251

7.6.2. Cálculo del gradiente hidráulico de salida con el método de los

fragmentos. ........................................................................................................ 251

Ejemplo 4.17 ..................................................................................................... 253

7.7. Presión ascendente de flujo. ....................................................................... 255

7.7.1. Determinación de la presión ascendente mediante redes de flujo. ...... 256

7.7.2. Determinación de la presión ascendente mediante el método de los

fragmentos. ........................................................................................................ 257

7.7.3. Método de Lane para la presión ascendente de flujo. ......................... 258

7.8. Flujo en dos dimensiones en suelo anisotrópico. ....................................... 260

7.8.1. Red de flujo en suelo anisotrópico. ..................................................... 260

7.8.2. Método de los fragmentos en suelo anisotrópico. ............................... 263

7.8.3. Flujo en dos dimensiones en suelo estratificado. ................................ 263

7.8.4. Red de flujo en suelo estratificado. ..................................................... 264

7.8.5. Abatimiento de la línea freática en presas con secciones compuestas.

265


114

7.8.6. Método de los fragmentos en suelo estratificado. ............................... 266

8. Flujo de agua en tres dimensiones ............................................................................................. 272

8.1. Uso de Pozos. .............................................................................................. 272

8.1.1. Redes de flujo. ..................................................................................... 273

8.1.2. Soluciones aproximadas. ..................................................................... 274

8.1.3. Fórmulas analíticas. ............................................................................. 274

8.1.4. Ecuaciones básicas del pozo para flujo en estado estacionario. .......... 274

8.1.4.1. Flujo estacionario. ........................................................................ 274

8.1.4.2. Flujo estacionario radial en pozos con penetración total. ............ 274

8.1.4.2.1. En acuíferos artesianos. .............................................................. 275

8.1.4.2.2. En acuíferos libres o no confinados ............................................ 278

8.1.4.3. Flujo estacionario radial en pozos con penetración parcial.......... 280

8.1.4.3.1. En acuíferos artesianos ............................................................... 280

8.1.4.3.2. En acuíferos libres o no confinados. ........................................... 282

8.2. Uso de software .......................................................................................... 282


115

CAPITULO CUATRO

Flujo de agua

La superficie del planeta está compuesta en un 70% por agua. Por esta razón, no resulta raro que

sea el agua el fluido más comúnmente encontrado durante la excavación en la construcción de

una obra de ingeniería.

El agua principalmente se encuentra en los ríos, lagos, mares, en el suelo como agua

subterránea y otros lugares. Esta proviene de diversas fuentes, pero principalmente de la lluvia y

de la fusión de la nieve.

1. Ciclo hidrológico y ocurrencia de agua en el suelo.

El ciclo hidrológico es el proceso que resulta en la circulación del agua por toda la tierra.

Básicamente el proceso empieza cuando el agua se evapora de la superficie del océano y

asciende a la atmósfera. Las corrientes de aire que se mueven constantemente en la atmósfera de

la Tierra llevan hacia los continentes el aire húmedo. Cuando el aire se enfría, el vapor se

condensa y forma gotitas de agua que por lo general se las ve en forma de nubes. Con frecuencia

las gotitas se juntan y forman gotas de lluvia. Si la atmósfera está lo suficientemente fría, en vez

de gotas de lluvia se forman copos de nieve. Sea en una forma o la otra, el agua que ha viajado

centenares o hasta miles de kilómetros desde el océano cae sobre la superficie terrestre. Allí se

junta en riachuelos o se infiltra en el suelo y empieza su viaje de regreso al mar (Compton’s

Encyclopedia).

Los procesos internos más importantes que ocurren continuamente en el ciclo hidrológico

son:

Evaporación.- La fuente de la energía necesaria para el movimiento del agua

proviene del calor del Sol. La temperatura del suelo y la radiación calórica

transforma el agua en vapor ligero que se eleva hasta la atmósfera, cada

segundo el Sol hace subir 15.000.000 de toneladas de agua de los océanos y

otras fuentes. Pero el vapor acuoso no solo se produce como resultado de la

acción de bombeo del Sol en las superficies de los cuerpos de agua.

Aproximadamente el 85 % proviene de los océanos, pero las plantas también

contribuyen vapor acuoso; embeben humedad por medio de su sistema de

raíces y luego la pasan por las hojas como vapor. Por ejemplo, un abedul puede

despedir unos 265 litros de agua diariamente y una hectárea de maíz puede

despedir unos 36.300 litros en un día (Compton’s Encyclopedia).

Condensación.- El agua que se evapora y asciende a la atmósfera, mediante las

corrientes de aire que se mueven constantemente en la atmósfera de la Tierra,

llevan hacia los continentes cada año unos 400.000 km3 de aire húmedo.

Cuando el aire se enfría, el vapor se condensa y forma gotitas de agua. Por lo

general se las ve en forma de nubes que flotan mientras están en forma de

vapor, las cuales circulan por todo el planeta gracias a la acción de los vientos.

Precipitación.- El agua en forma de nubes que ya se encuentra filtrada y

depurada, cae como lluvia, nieve y granizo a la superficie terrestre. A esta acción

se la denomina precipitación.


116

Escurrimiento.- Cuando el agua cae al suelo, una parte de esta ingresa al

interior (infiltración) de este modo se reabastecen los depósitos subterráneos

de agua. Sin embargo, el agua que no ingresa corre por encima de la superficie

terrestre y llega a formar parte de los lagos, ríos o algún tipo de corriente y con

el tiempo regresa al mar para empezar nuevamente el ciclo. La fuente de

energía que hace posible este proceso es la gravedad.

En la Figura 4.1 se define de forma gráfica y esquemática el proceso que constituye el ciclo

hidrológico.

(a)

(b) Figura 4.1. Ciclo hidrológico del agua. (a) Ciclo hidrológico (Diccionario del agua). (b) Esquema del ciclo hidrológico con todos los procesos (Blyth & de Freitas, 1989).

Nivel freático

Precipitación

Evaporación Escorrentía

Dirección del movimiento de agua

Lago

Mar

Infiltración

Evaporación Atmósfera

Traspiración de las plantas

Escurrimiento superficial

Flujo de agua subterránea

Infiltración

Evaporación del suelo

Precipitación

Sobre la tierra

Mar


117

2. Agua subterránea. Del total de agua procedente de las precipitaciones, una parte circula por la superficie terrestre, otra se evapora, y una tercera se infiltra en la tierra. Las partículas del suelo forman espacios vacíos que se intercomunican entre sí como una red complicada de conductos, por donde circula el agua.

Las partículas del suelo compuestas de minerales, absorben cierta cantidad de agua mientras el agua ingresa al interior del suelo, a este ingreso no uniforme de agua durante el humedecimiento del suelo se lo llama infiltración. A medida que el agua continua ingresando, las partículas de suelo se saturan y dejan de adsorber agua, por lo que el agua desciende cada vez más hasta llegar a una profundidad donde todos los espacios vacíos del suelo están llenos de agua. A toda esa acción del movimiento del agua hasta alcanzar la zona de saturación se la llama percolación. El agua retenida en el interior del suelo saturará los espacios vacíos del suelo donde empezará a desplazase uniformemente hacia lagos y otras fuentes de recarga. A este movimiento uniforme del agua a través del suelo saturado, se lo llama flujo de agua subterránea.

La infiltración, depende en gran manera de la estructura del suelo, en suelos de grano grueso como arenas y gravas la infiltración es rápida, mientras que en suelos finos como arcillas es muy lenta. La infiltración cesa una vez que los espacios vacíos del suelo se llenan de agua, de manera que si el ritmo de agua continua, se dará paso a un flujo de agua.

2.1. Superficie y nivel freático.

El agua percolante puede descender a diferentes profundidades, hasta llegar a una profundidad donde se detiene, a esta superficie que llega el agua se la denomina superficie freática. Si se perforara un pozo más profundo que la superficie freática, el agua no se retendrá al fondo del pozo sino se cumplen ciertas condiciones, sino que seguirá descendiendo. Si se sigue profundizando el pozo, el agua alcanzará nuevamente una superficie donde se detendrá y se acumulará al fondo del pozo. Al nivel de agua que se eleva por encima de su superficie freática, se lo denomina nivel freático, la condición que debe cumplirse para que el agua se detenga es que: la presión del agua en los espacios vacíos del suelo alcance un equilibrio con la presión atmosférica. Algunos geólogos estiman, que el agua puede descender hasta alcanzar 8 kilómetros al interior de la tierra (Whitlow, 1994).

El agua subterránea puede ser de dos tipos, la Figura 4.2 muestra que ambos tipos están separados por el nivel freático. El agua que se encuentra por encima del nivel freático se la llama: Agua vadosa o capilar y la que está por debajo del nivel freático se la llama: Agua freática o gravitacional.

La fuerza gravitacional, hace posible que el agua se infiltre en el suelo. Cuando el suelo no puede retener más agua en contra de la atracción de la gravedad, se dice que el suelo ha alcanzado su capacidad de campo. Cuando un suelo ha alcanzado su capacidad de campo, el resto de agua que ingrese al suelo no será ya retenida, sino que descenderá a niveles más profundos influida simplemente por la fuerza gravitacional. Esta agua continuará moviéndose hacia abajo después de la cesación dela infiltración hasta que se mantenga en equilibrio con la presión atmosférica. El agua que desciende simplemente por gravedad y se almacena entre el nivel y la superficie freática es el agua freática o gravitacional. Los espacios vacíos entre partículas del suelo en la zona freática (debajo del nivel freático) están saturados de agua, por lo tanto la presión interna del agua en ellos es mayor que la presión atmosférica. Esta agua retenida tiende a fluir lateralmente (Figura 4.2).

2.1. Agua vadosa o capilar. Mientras el agua se desplaza hacia abajo por infiltración para incorporarse al agua freática, esta es absorbida por las partículas del suelo y queda retenida en la superficie de estás. Los materiales de grano fino, como las arcillas, pueden desarrollar potenciales altos de absorción cuando se secan, los cuales solamente son satisfechos con cantidades considerables de agua. Esta demanda del suelo por agua, es el requerimiento capilar del perfil del suelo. Esta agua retenida


118

por encima del nivel freático por las fuerzas de tensión superficial es el agua vadosa o capilar. La presión del agua entre los espacios vacíos entre partículas en esta región es inferior a la atmosférica (Figura 4.2).

Figura 4.2. Aguas subterráneas (Whitlow, 1994).

2.2. Acuífero.

Un acuífero es un estrato subterráneo de suelo, generalmente compuesto de arena o grava cuya permeabilidad permite la retención de agua, dando origen a las aguas interiores o freáticas. Generalmente los acuíferos se originan cuando el agua que se encuentra ocupando los espacios vacíos entre las partículas del suelo no queda retenida en ellos, estos espacios sirven como conductos de transmisión y como depósitos de almacenamiento.

Como conductos de transmisión transportan el agua subterránea de las áreas de recarga, hacia lagos, pantanos, manantiales, pozos y otras fuentes de captación. El límite inferior de un acuífero descansa sobre un nivel o subestrato rocoso impermeable; el límite superior se denomina nivel freático. Como depósitos de almacenamiento, los acuíferos actúan suministrando agua de sus reservas para ser utilizada cuando la extracción exceda a la recarga y, a la vez, almacenando agua durante los períodos en que la recarga resulta mayor que la extracción (Diccionario del agua).

Debido a las distintas formaciones geológicas y características del suelo, existen diferentes tipos de acuíferos:

Los acuíferos libres o no confinados.- Son formaciones geológicas donde el

agua subterránea presenta una superficie libre, sujeta a la presión atmosférica como límite superior de la zona de saturación. Está formado en general por un estrato permeable parcialmente saturado de agua que yace sobre otro estrato impermeable como muestra la Figura 4.3 o relativamente impermeable (Diccionario del agua).

Acuíferos colgados.- En la mayoría de los casos existe solamente un nivel freático, pero en algunos casos, a causa de la presencia de acuitardos de pequeñas dimensiones relativas, pueden existir acuíferos que se denominan acuíferos colgados como muestra la Figura 4.3 con niveles freáticos adicionales (Diccionario del agua).

Los acuíferos confinados o artesianos.- Son formaciones geológicas permeables, completamente saturadas de agua, confinadas entre dos capas

agua superficial

Escurrimiento del

agua freática

Flujo de

Infiltración

Freática

Agua

Agua

Vadosa

Lluvia

Río o Lago

Nivel freático


119

(Figura 4.3) o estratos impermeables o prácticamente impermeables (una inferior y otra superior). En estos acuíferos, el agua está sometida, en general, a una presión mayor que la atmosférica y al perforar un pozo en ellos, el agua se eleva por encima incluso hasta el nivel del terreno natural, por lo que un pozo perforado en el lugar fluirá por sí solo, como si fuera un manantial (Diccionario del agua).

Los acuíferos semiconfinados.- Son acuíferos completamente saturados sometidos a presión que están limitados en su parte superior por una capa semipermeable (acuitardo) y en su parte inferior por una capa impermeable (acuífugo) o también por otro acuitardo. En este tipo de acuífero, la perforación de un pozo de bombeo, inducirá a un flujo vertical del agua contenida en el acuitardo, que actuará como recarga del acuífero, en este tipo de acuíferos no circula agua en sentido horizontal (Diccionario del agua).

Los acuíferos semilibres.- Representan una situación intermedia entre un acuífero libre y uno semiconfinado. En este caso, la capa confinante superior es un estrato semipermeable o acuitardo, de características que existe circulación horizontal de agua (Diccionario del agua).

Figura 4.3. Formaciones geológicas subterráneas (Coduto, 1999).

2.3. Acuitardo. Es una formación geológica semipermeable, que conteniendo apreciables cantidades de agua la transmiten muy lentamente, por lo que no son aptos para el emplazamiento de captaciones de aguas subterráneas, sin embargo bajo condiciones especiales permiten una recarga vertical de otros acuíferos.

2.4. Acuicludo.

Es una formación geológica poco permeable, que conteniendo agua en su interior incluso hasta la saturación, no la transmite, por lo tanto no es posible su explotación. Generalmente los acuicludos son depósitos subterráneos de arcilla (Figura 4.3).

2.5. Acuífugo. Un acuífugo es una formación geológica subterránea que se caracteriza por ser impermeable, por tanto, es incapaz de absorber o trasmitir agua.

Acuifero no confinado

Nivel freático

Acuicludo

Acuifero confinado

Agua subterranea colgada

Acuicludo Arcilla

Pozo artesiano


120

3. Capilaridad. La capilaridad es un fenómeno, que consiste en el ascenso de agua por un tubo delgado como un cabello, conocido como tubo capilar. Este fenómeno depende de las fuerzas creadas por la tensión superficial y el estado de la pared del tubo. La capilaridad puede ocurrir tanto en tubos como en el suelo.

3.1. Tensión superficial (T).

La tensión superficial es responsable de la resistencia que el agua presenta a la penetración de su superficie, de la tendencia a la forma esférica de las gotas de agua, del ascenso del agua por tubos capilares y de la flotación de objetos u organismos sobre la superficie del agua. En el interior del agua, alrededor de una molécula actúan fuerzas atractivas simétricas que se contrarrestan entre sí, pero en la superficie del agua es algo distinto, una molécula se encuentra sólo parcialmente rodeada por otras moléculas y en consecuencia esta es atraída hacia el interior del agua por las moléculas que la rodean. Esta fuerza de atracción, tiende a arrastrar a las moléculas de la superficie hacia el interior del agua y al hacerlo el agua se comporta como si estuviera rodeada por una membrana invisible que impide que cuerpos muy pequeños la penetren. Se ha medido el valor de la tensión superficial del agua, que es:

T = 0.073 N/m

3.2. Máximo ascenso capilar en tubos.

La Figura 4.4, muestra tres tubos capilares de diámetros diferentes colocados en posición vertical sobre una masa de agua, de tal manera que el extremo inferior está sumergido y el extremo superior queda libre a la atmósfera. Al poner el tubo en contacto con el agua, la atracción molecular entre el vidrio y el agua se combina con la tensión superficial, como resultado de esto la tensión superficial actúa en las moléculas de agua y eleva el agua hasta una altura hc, conocida como el máximo ascenso capilar. Este ascenso depende del diámetro del tubo, mientras más pequeño sea el diámetro del tubo mayor será el ascenso capilar.

Figura 4.4. Máximo ascenso capilar en tubos (Das, 1998).

La Figura 4.5a muestra que la superficie libre de la columna de agua capilar, tiene una forma

una cóncava llamada menisco. Esta forma se debe a que la tensión superficial (T), actúa perimetralmente alrededor del tubo con una inclinación respecto a la pared del tubo.

hc

hc

hc

AGUA


121

El ángulo es llamado ángulo de contacto, su valor depende de las condiciones de la pared del tubo. En tubos con pared limpia, tomará el valor de cero. Si la pared el tubo está sucia, tomará un valor comprendido entre 0 y 90º. En cambio, si la pared del tubo está cubierta de grasa de modo que impida la adherencia del agua, tomará un valor mayor a 90º.

La Figura 4.5c, muestra un diagrama de presiones hidrostáticas del sistema. El agua que ascendió capilarmente tiene una presión (uw) negativa, donde tiene un valor máximo en la superficie libre. Mientras que el agua que está por debajo del tubo capilar tiene una presión positiva que varía según a la profundidad. A esta presión negativa, se la denomina succión. El agua se elevará a una altura hc, donde el peso de la columna de agua estará en equilibrio con la tensión superficial. Como el sistema está en equilibrio, entonces se tendrá que:

Fabajo + Farriba = 0 [4.1]

Figura 4.5. Máximo ascenso capilar en tubos (Whitlow 1994; Das, 1998). (a) Detalle de la superficie libre. (b) Tubo capilar. (c) Presión hidrostática.

La única fuerza hacia arriba considerada como negativa, es la componente vertical de la tensión superficial, que será:

Varriba TF

La componente vertical Tv de la tensión superficial, ocasiona el ascenso capilar que será

cosarribaF D T [4.2]

La fuerza que actúa hacia abajo, considerada positiva es la del peso de la columna de agua

que será:

WFabajo

Donde, se tendrá que:

+

hc

ch ·w

h·w

h

Presión

T T

D

wu

W

Tubo capilar

(a) (b) (c)


122

2

4abajo C wF h D

[4.3]

Por lo tanto, reemplazando las ecuaciones [4.2] y [4.3] en la ecuación [4.1], se tiene que:

2

cos 04

c w

dh D T

Despejando hc, se tiene que:

4 cosc

w

Th

D

[4.4]

Donde: hc = Máximo ascenso capilar. T = Tensión superficial. = ángulo de contacto. D = Diámetro del tubo capilar. w = Peso unitario del agua.

Con la ecuación [4.4] se puede determinar el máximo ascenso capilar en tubos capilares de

vidrio en función al diámetro del tubo.

3.3. Ascenso capilar en suelos. Los continuos espacios vacíos del suelo pueden comportarse en conjunto como tubos capilares con secciones transversales diferentes. En contraste con lo que ocurre en los tubos, los vacíos continuos del suelo se comunican entre sí en toda dirección, constituyendo un enrejado de vacíos.

En la Figura 4.6 se ha colocado suelo en un cilindro transparente. La parte inferior ha sido protegida para evitar que el suelo salga pero permitir el contacto con el agua, mientras que el extremo superior queda expuesto a la atmósfera. Algún tiempo después de poner en contacto la parte inferior del tubo con el agua, la Figura 4.6a muestra que el agua asciende capilarmente hasta una altura máxima hc. A una altura hcs, la Figura 4.6b muestra que el suelo está completamente saturado, mientras la región de suelo comprendida entre hcs y hc según la Figura 4.6b, está parcialmente saturada de agua. La Figura 4.6c, muestra que el ascenso capilar resulta ser más rápido mientras el grado de saturación disminuya. Hazen (1930) obtuvo una ecuación que permite determinar el máximo ascenso capilar de agua en el suelo, que es:

10

c

Ch

e D

[4.5]

Donde: hc = Máximo ascenso capilar en el suelo. e = Índice de vacíos. D10 = Diámetro efectivo. C = Constante que depende de la forma de las partículas.

La constante C, puede ser estimada según a la forma y estado de las partículas del suelo con la Tabla 4.1.

Tabla 4.1. Valores del coeficiente C, mm2 (Crespo, 2001).

Forma de las partículas

Redondeada Rugosa

C, mm2 10 20 30 40 50 60

Limpio Sucio


123

Figura 4.6. Ascenso capilar en el suelo (Terzagui & Peck; Das, 1998). (a) Columna de suelo en contacto con el agua. (b) Variación del grado de saturación en la columna de suelo. (c) Variación de la velocidad del ascenso capilar en el suelo.

La Figura 4.7 muestra dos curvas que han sido determinadas experimentalmente de la observación del ascenso capilar en diversos suelos. A la altura hcs, se la llama altura de saturación capilar y puede ser determinada con la Figura 4.7. Para lo cual, debe ingresarse a la Figura con un valor del diámetro efectivo en milímetros, luego de interceptar a la curva deseada, entonces se tendrá una aproximación del ascenso capilar correspondiente al caso.

En un perfil de suelo, el agua ascenderá capilarmente a partir del nivel freático y saturará todos los espacios vacíos hasta una altura hcs con respecto al nivel freático. El máximo ascenso capilar se registrará a una altura hc. Al igual que en los tubos, mientras más pequeñas sean las partículas del suelo, mayor será el ascenso capilar.

Figura 4.7. Relación aproximada entre el ascenso capilar y el tipo de suelo (Whitlow, 1994).

h

c d

Sec

aH

úm

eda

Sat

ura

da

cs

hc

hc

Agua

Air

e

vS %

ch

100

(a) (b) (c)

Arcilla

Limo

Arena

Grava

Asc

enci

ón c

apil

ar

m

m

Diámetro efectivo, D mm10

0

10 1

10 2

10 3

10 4

0.0020.002 0.006 0.02 0.06 0.2 0.6 2 6 20

Ascención capilar hc

Nivel de saturación hcs


124

La Tabla 4.2 muestra un rango aproximado del ascenso capilar para diversos suelos. Tabla 4.2. Rango aproximado de ascenso capilar en suelos (Das, 1998).

Tipo de suelo Ascenso capilar, mArena gruesa 0.12 - 0.18Arena fina 0.3 - 1.2Limo 0.76 - 7.6Arcilla 7.6 - 23

4. Concepto de carga. La Figura 4.8 muestra una tubería donde se han instalado un par de tubos que registran diferentes niveles de agua. El agua que asciende no lo hace por capilaridad, sino que estos tubos miden la presión y la velocidad del flujo de agua que circula. Para el punto B, el piezómetro medirá la presión, mientras que el tubo Pitot mide la velocidad del flujo. Con la línea de referencia ubicada en la parte inferior del sistema y los niveles de agua del par de tubos instalados, pueden determinarse las distintas formas de energía que existen en el punto B, que son:

Energía potencial.- Se refiere a la elevación que tiene el punto respecto a la línea de referencia.

Energía de presión.- Se debe a la presión del flujo de agua. Energía cinética.- Se debe a la velocidad con que circula el flujo de agua.

Aunque las unidades en que se expresa la energía son: Joules, BTUs y otros, conviene hacer el uso del concepto de carga para expresar la energía en términos conocidos y fácilmente cuantificables.

Figura 4.8. Tubería con un piezómetro y tubo Pitot instalados (Coduto, 1999).

Para este fin el concepto de carga permite expresar la energía en unidades de longitud, a saber la longitud de una columna de agua. Para esto, la energía es dividida entre la aceleración de la gravedad, convirtiendo así cada forma de energía al equivalente de energía potencial, expresada con una respectiva altura. Por lo tanto las tres formas de energía pueden expresarse como:

Altura potencial (hz).- Es la elevación entre la línea de referencia y el punto B como se muestra en la Figura 4.8. Describe la energía potencial del punto.

Q

h

Nivel de referencia

Piezómetro Tubo Pitot

Area (A)

Punto B

hv

hp

h z


125

Altura de presión (hp).- Es la elevación entre el punto B y el nivel de agua del piezómetro, esta describe la energía de presión. Esta altura también se conoce como altura piezométrica.

Altura de velocidad (hv).- Es la diferencia en los niveles de agua que existe entre el piezómetro y el tubo Pitot (Figura 4.8). Esta describe la energía cinética del punto.

Figura 4.9. Piezómetro instalado en un suelo.

La suma de estas tres alturas, se conoce como la altura total de carga (h) que se expresa:

h = hz + hp + hv [4.6]

La ecuación [4.6] es llamada la ecuación de Bernoulli que está expresada en términos del concepto de carga. De manera similar a una tubería, la Figura 4.9 muestra un suelo donde pasa a través de él el agua. Se ha instalado un piezómetro y se observa la elevación de un cierto nivel de agua.

El flujo de agua circula por los espacios vacíos entre partículas del suelo, el piezómetro mide la presión del flujo de agua en estos espacios vacíos o poros. Si se instala un tubo Pitot, para medir la altura de velocidad del flujo de agua, este registrará una elevación de agua casi igual al piezómetro, por lo cual la energía cinética será muy pequeña como para tomarla en cuenta en el suelo. Esto se debe a que el flujo de agua en los espacios vacíos del suelo, no tiene tanta influencia como en toda la sección transversal de una tubería. La ecuación de Bernoulli expresada en términos del concepto de carga para el suelo, será:

h = hz + hp [4.7] Donde:

h = Altura total de carga. hz = Altura potencial. hp = Altura piezométrica.

4.1. Pérdida de carga (h). El flujo de agua que circula en una tubería, irá perdiendo energía a lo largo de esta. Esta energía que se pierde, se debe a la fricción del agua con las paredes del tubo o debido a otros obstáculos que pueda tener el sistema. En la Figura 4.10 se muestra una tubería, donde se han instalado dos piezómetros en dos puntos distantes de esta.

Espacio vacío

Flujo de agua

Partículas del suelo

Piezómetro


126

Q

B

hz.A

A

L

h

hp.A

hz.B

hv.B

hp.B

Nivel de referencia

hv.A

Figura 4.10. Tubería con piezómetros instalados en los puntos A y B(Coduto, 1999)

La diferencia entre las alturas piezométricas de los puntos A y B indica la magnitud de la pérdida de carga expresada en términos del concepto de carga, a lo largo de la distancia L. Esta pérdida de carga indica la existencia de un flujo de agua, pues si no existiera significaría que el agua no se mueve. En el suelo se reproduce la misma idea, donde la pérdida de carga es medida en dos puntos.

4.2. Gradiente hidráulico (i).

El gradiente hidráulico se define como la relación entre la pérdida de carga y la distancia donde ocurre esta pérdida, es medido en dos puntos del sistema como el caso de los puntos A y B de la Figura 4.10.La altura total de carga disminuirá siempre en el sentido del flujo de agua, por lo cual el valor del gradiente hidráulico siempre será positivo, además será adimensional. Los puntos ubicados para medir el gradiente hidráulico siempre estarán alineados respecto a la dirección del flujo .La Figura 4.11 muestra la forma correcta de ubicar estos puntos en un sistema.

Figura 4.11. Ubicación correcta de los puntos para determinar el gradiente hidráulico.

El gradiente hidráulico será:

L

hi

[4.8]

Dirección

del flujo

de agua

A

Dirección del

flujo de agua

A

B

Direcc

ión del

flujo de a

gua

L

A

L

B

B

L

h A

Bh

Ah

Bh

h A

h B

hh

h


127

Un valor elevado del gradiente hidráulico refleja una fricción excesiva, y esto generalmente significa un flujo con velocidad alta. En el caso de los suelos es igual.

4.3. Presión de poros (u). Se conocerá como poro al espacio vacío formado entre partículas de suelo y la presión del agua dentro de estos espacios vacíos, es conocida como la presión de poros. La Figura 4.12 muestra el caso de un suelo saturado donde se ha instalado un piezómetro, la presión de poros originó que una cantidad apreciable de agua suba por el piezómetro hasta que el peso de esta columna esté en equilibrio con la presión de poros. Si Wp es el peso del agua contenida en el piezómetro y Ap es el área de la sección transversal del piezómetro, la presión de poros será:

p

p

A

Wu

El peso del agua (Wp) puede escribirse en función a las dimensiones del piezómetro.

p

ppw

A

Ahu

Por lo que la expresión se reduce a:

u = w·hp [4.9] Donde:

hp = Altura piezométrica. w = Peso unitario del agua. u = Presión de poros.

Figura 4.12. Presión de poros en el suelo.

Con la ecuación [4.9] puede calcularse la presión de poros en un suelo saturado. La presión de poros, también puede ser medida en suelos parcialmente saturados. En el caso de un suelo que tiene ascenso capilar, la presión de poros en la zona capilar será:

hS

u w

100 [4.10]

Donde: u = Presión de poros. S = Grado de saturación del suelo en porcentaje. h = Elevación del punto respecto al nivel freático. w = Peso unitario del agua.

h

u

p

p

pAW

Ap


128

5. Condiciones de flujo subterráneo. Para la facilidad en el análisis se debe especificar la dirección del flujo de agua como conjunto, pues el flujo de agua que circula a través de los espacios vacíos del suelo puede ir en cualquier dirección. Si se transforma el movimiento del flujo de agua a un campo vectorial, representado al flujo con vectores de velocidad, este podría clasificarse de acuerdo a la dirección en que se mueve cada uno de estos por los espacios vacíos del suelo.

Figura 4.14. Condiciones de flujo en una dos y tres dimensiones. Se dirá que es un flujo unidimensional, cuando todos los vectores de velocidad son paralelos

y de igual magnitud (Figura 4.13a). En otras palabras toda el agua se mueve paralelamente en una sección transversal de área. Será flujo bidimensional, cuando todos los vectores de velocidad estén todos confinados en un simple plano, variando en su magnitud y dirección (Figura 4.13b). El flujo en tres dimensiones es el comportamiento más general del flujo de agua en suelos. Este es cuando los vectores de velocidad varían tanto en magnitud como dirección en el espacio x, y, z (Figura 4.13c).

6. Flujo en una dimensión. La Figura 4.14 muestra la variación de la velocidad de descarga respecto al incremento del gradiente hidráulico. Mientras el gradiente hidráulico se incrementa, también lo hace la velocidad de descarga. Para rangos determinados del gradiente hidráulico, la relación entre velocidad de descarga y el gradiente hidráulico tendrá un comportamiento diferente. Este comportamiento está clasificado en tres diferentes zonas.

Zona I.- Esta zona corresponde al flujo laminar, donde la relación entre la velocidad de descarga y el gradiente hidráulico describe un comportamiento que se ajusta a una línea recta.0000000000

Zona II.- Esta zona corresponde a una etapa intermedia, donde el flujo pasa de un comportamiento laminar a turbulento. La relación entre la velocidad de descarga y el gradiente hidráulico se ajustará a una forma parabólica.

Zona III.- Corresponde a un flujo turbulento, donde no se establece un comportamiento uniforme de la velocidad para un determinado gradiente hidráulico, por lo que en esta zona se tendrá un comportamiento no lineal del flujo de agua.

La zona I es la que más se ajusta al comportamiento del suelo. Por lo general, el flujo de agua que circula por los espacios vacíos del suelo como conjunto es lento, por lo que se tienen valores bajos de la velocidad. En esta zona la velocidad de descarga es proporcional al gradiente

y

x

z y

x

x

y

(a) (b) (c)


129

hidráulico, lo cual es de importancia, pues todo el análisis que se efectúa en este capítulo tiene como base un comportamiento laminar del flujo de agua.

Figura 4.14. Variación natural de la velocidad de descarga con el gradiente hidráulico. El análisis de esta condición de flujo resulta ser la más sencilla y fácil de comprender. Generalmente tiene su aplicación en permeámetros (aparatos de laboratorio) y otros sistemas sencillos de flujo de agua a través de suelos confinados en tubos y otras secciones.

6.1. Presión del flujo (j). En el permeámetro de laboratorio que se muestra en la Figura 4.15, se ha introducido un suelo entre los niveles C-C y B-B. También se ha ubicado cuidadosamente una válvula que controla la salida del flujo de agua.

Figura 4.15. Permeámetro para la presión de flujo (Whitlow, 1994).

Zona IIFlujo de Transición

Zona I

Flujo Laminar

Zona IIIFlujo Turbulento

Gradiente Hidráulico, i

Vel

oci

dad

, v

C

Suelo

Flu

jo

A

B

Válvula

O

Área = A

C

L

hs

A

B

h

O

q


130

Por el reservorio superior, se ingresa una cantidad constante de flujo, de tal manera que ocasiona un flujo ascendente en el suelo hasta alcanzar el nivel A-A y salir por la válvula. El flujo ascendente de agua, produce una presión que actúa sobre las partículas del suelo llamada presión del flujo que depende de la altura de carga (hs), está presión ascendente levantará a las partículas del suelo haciéndolas flotar, a este estado que llega el suelo se lo denomina flotación. Si se cerrara la válvula, el agua ascenderá hasta el nivel O-O, donde el sistema se mantendrá en equilibrio y no existirá flujo de agua. La cantidad de agua comprendida en los niveles A-A y O-O, ejerce la presión necesaria que contrarresta está presión ascendente del flujo. Entonces, la presión que ejerce el agua comprendida en los niveles A-A y O-O denominada como J, será:

sw hJ

Como la velocidad de flujo es constante, la presión de flujo que actúa sobre el suelo también

será constante entre C-C y B-B. Por lo tanto la presión de flujo por unidad de volumen denominada como j, será:

L

hj sW

[4.11]

De esta expresión, se reconoce el gradiente hidráulico (i), que en el sistema mostrado en la

Figura 4.15, se expresa como:

L

hi s

Si se sustituye esta última expresión en la ecuación [4.11], se tendrá que:

Wij [4.12]

Donde: j = Presión de flujo. i = Gradiente hidráulico. w = Peso unitario del agua.

Con la ecuación [4.12], se puede calcular la presión que ejerce un flujo de agua en las

partículas del suelo por unidad de volumen.

6.2. Gradiente hidráulico crítico (ic). Se define como gradiente hidráulico crítico al máximo gradiente hidráulico que el suelo pueda tolerar antes que se produzca flotación. Considerando nuevamente el permeámetro de la Figura 4.15, la condición para tener el máximo gradiente hidráulico del suelo, será igualando el peso del suelo y agua comprendido en los niveles C-C y A-A con el peso total del agua en los niveles C-C y O-O. Por lo cual se tendrá que:

w·(L + h + hs) = sat·L + w·h

Entonces:

w·hs + w·L = sat·L

Por lo tanto:

w·hs =(sat - w)·L


131

Esta expresión puede escribirse como:

wsats

wL

h

De esta ecuación, se reconoce que:L

hi sc , además de ’= sat – w.

Reemplazando, el gradiente hidráulico crítico (ic) será:

w

ci

[4.13]

Donde: ic = Gradiente hidráulico crítico. ' = Peso unitario sumergido del suelo. w = Peso unitario del agua.

También, el gradiente hidráulico crítico puede expresarse en términos que se relacionan con

características propias del suelo, que pueden conocerse en laboratorio. Este también se expresa:

e

Gi sc

1

1 [4.14]

Donde: ic = Gradiente hidráulico crítico. Gs = Gravedad específica de los sólidos. e = Índice de vacíos.

Con las ecuaciones [4.13] y [4.14], se puede determinar el gradiente hidráulico crítico para

un suelo.

6.3. Ley de Darcy. H. Darcy (1850) realizó un experimento utilizando un permeámetro semejante al que se muestra en la Figura 4.16, para estudiar las propiedades del flujo de agua vertical a través de un filtro (suelo compuesto de arena).

Darcy, hizo variar la longitud de la muestra (L) y las alturas piezométricas en la parte superior (h3) e inferior (h4) de la muestra. Para todas las variantes, midió el caudal (q) desplazado, que era el que circulaba a través de la arena. Darcy encontró experimentalmente que el caudal era proporcional a la relación: (h3 – h4)/L. Por lo cual propuso que:

AL

hhkq

43 [4.15]

Donde: q = Caudal de descarga. k = Una constante proporcional. h3 = Altura piezométrica de la parte superior de la muestra. h4 = Altura piezométrica de la parte inferior de la muestra. L = Longitud de la muestra. A =Área de la sección transversal de la muestra.


132

entra

q sale

L

q

Línea de referencia

h 4

4

Arena

2

3

1

Figura 4.16. Permeámetro utilizado por Darcy(Lambe & Whitman, 1976).

La relación: (h3 – h4)/L, resulta ser el gradiente hidráulico del sistema. Por lo tanto la ecuación [4.15] puede escribirse como:

q = k·i·A [4.16]

La ecuación [4.16], es conocida como la ley de Darcy. Según la Figura 4.13, la variación de la velocidad de descarga respecto al gradiente hidráulico, describe una trayectoria que se ajusta a una línea recta que parte del origen. La ecuación de esta línea será:

v = k·i [4.17]

La ecuación [4.17] es otra variación de la ley de Darcy, que relaciona la velocidad de descarga con el gradiente hidráulico.

6.4. Validez de la ley de Darcy.

La ley de Darcy es aplicable a un flujo de agua a través de un medio poroso como, ser el suelo, el flujo sea laminar. En los suelos, generalmente la velocidad del flujo es lenta, por lo que en la mayoría de los casos se tendrá flujo laminar. Para una velocidad de flujo muy rápida, la ley de Darcy no es aplicable.

Para evaluar la velocidad del flujo se utiliza el número de Reynolds, que es un número adimensional que expresa la relación interna entre fuerzas viscosas durante el flujo. Generalmente este número es usado en la hidráulica, para clasificar el flujo como laminar (baja velocidad) o turbulento (alta velocidad). El número de Reynolds será:

· ·v D

R

Donde:

R = Número de Reynolds.

h3


133

v = Velocidad de descarga. D =Diámetro promedio de las partículas del suelo. = Densidad del agua. = Viscosidad del agua.

Harr (1962) determinó empíricamente los valores críticos del número de Reynolds para el

suelo, donde conociendo el tamaño de las partículas y la velocidad de descarga, se puede determinar el tipo de flujo que circula a través del suelo (flujo laminar o turbulento). Para valores inferiores a 1, se tendrá un flujo laminar en el suelo. Si el número de Reynolds está comprendido entre 1 a 12, se tendrá un flujo en transición. Para valores mayores a 12, el flujo será turbulento donde no es aplicable la ley de Darcy. La Figura 4.17, muestra los límites según al número de Reynolds donde la ley de Darcy es válida.

Figura 4.17. Valores límites del número de Reynolds (U.S. Engineers Corps, 1986).

6.5. Velocidad de flujo (vs). En el suelo como se ve en la Figura 4.18, el agua circula a través de los espacios vacíos siguiendo una trayectoria serpenteante (trazo punteado) del punto A hasta el punto B.

Esta trayectoria serpenteante es microscópica y resulta muy difícil determinar la velocidad del flujo de agua en estas condiciones, pues debe tomarse en cuenta el tamaño del poro y la ubicación del mismo en la trayectoria. Sin embargo en flujo de agua con el propósito de facilitar el análisis se estudia el problema desde un punto de vista macroscópico, se considera que el flujo recorre una trayectoria recta (trazo lleno) del punto A al B, con una misma velocidad de flujo en toda su recorrido.

Flujo turbulento

Transición

Flujo laminar

0.1 1 10 1000.01

0.1

1

10

v k·i

v k·i

Vel

oci

dad

de

des

carg

a cm

/s

Tamaño promedio de las partículas del suelo mm

R = 12

R = 1


134

Figura 4.18. Trayectoria del flujo de agua en un suelo (Lambe & Whitman, 1976).

La Figura 4.18 muestra un permeámetro que tiene confinado un suelo por el cuál hay flujo de agua. El agua que circulará por el suelo tendrá una velocidad de flujo vs, mientras que el agua que circula fuera del suelo tendrá una velocidad de descarga v.

Figura 4.19. Velocidad de descarga y de flujo.

Debido a que no sale, ni ingresa agua adicional en todo el recorrido del flujo, por el principio de continuidad se puede decir que el caudal que circula en cualquier punto del sistema es el mismo. Sea qs el caudal que circula a través del suelo y q el caudal que circula fuera del suelo, por lo tanto se tendrá que:

qs = q

La Figura 4.20a, muestra la sección transversal del permeámetro libre de suelo, mientras que la Figura 4.20b muestra la sección transversal del suelo en el permeámetro ampliada convenientemente, en ambas secciones circula el flujo de agua a diferentes velocidades.

Si A es el área de la sección transversal para la Figura 4.20a, As el área de los sólidos y Av el área de los espacios vacíos entre partículas del suelo en la Figura 4.20b, se tendrá que:

v·A = vs·Av

Despejando la velocidad de flujo, se tendrá que:

Trayectoria a escala

macroscópica.

microscópica.

vsv v


135

vA

Av

v

s

Para una misma longitud unitaria L, el área puede transformarse en volumen, por lo cual se

tendrá que:

vV

Vv

v

s

Donde: V = Volumen que circula en toda la sección transversal por unidad de longitud. Vs = Volumen que circula por los espacios vacíos del suelo por unidad de longitud.

De esta última expresión, se reconoce la porosidad que se expresa:

V

Vn v

Reemplazando la porosidad, la velocidad de flujo será:

n

vvs [4.18]

Donde: vs = Velocidad de flujo. v = Velocidad de descarga. n = Porosidad.

Con la ecuación [4.18] se puede determinar la velocidad del flujo en el suelo que será mayor a la velocidad de descarga.

Figura 4.20. Secciones transversales del permeámetro. (a) Sección transversal donde circula el agua con una velocidad de descarga v. (b) Sección transversal donde circula el agua con una velocidad de flujo vs.

6.6. Conductividad hidráulica (k). A la constante k de la ecuación [4.16] y [4.17], se la conoce como la conductividad hidráulica. Esta es usada como un parámetro para evaluar la resistencia que es ofrecida por el suelo al flujo de agua. La conductividad hidráulica depende en gran manera de la estructura del suelo, las propiedades que influyen en la conductividad hidráulica son:


136

El tamaño de partículas. La gradación del suelo. El índice de vacíos del suelo. La textura y rugosidad de las partículas. Temperatura. Viscosidad del fluido.

Claro está, que en la mayoría de los casos el agua nunca está completamente limpia, contiene

pequeñas cantidades de otras sustancias que pueden producir pequeñas variaciones en la viscosidad y densidad, aun así estas dos últimas no definen el valor de la conductividad hidráulica por lo que son descartadas.

La conductividad hidráulica es medida en unidades similares a la velocidad, su intervalo de variación para el suelo es muy amplio. Se extiende desde un valor insignificante de 10-7 cm/s para el caso de arcillas, hasta un máximo de 100 cm/s para el caso de algunas gravas. En la Tabla 4.3, se presenta rangos de valores para la conductividad hidráulica en algunos tipos de suelo. Tabla 4.3. Valores típicos de la conductividad hidráulica (Coduto, 1999).

Tipo de suelo Conductividad hidráulica

cm/s

Grava limpia 1 a 100

Arena y grava mezclada 10-2

a 10

Arena gruesa limpia 10-2

a 1

Arena fina 10-2

a 10-1

Arena limosa 10-3

a 10-2

Arena arcillosa 10-4

a 10-2

Limo 10-8

a 10-2

Arcilla 10-10

a 10-6

Según al valor de la conductividad hidráulica, puede evaluarse el grado de permeabilidad de

un suelo. La Tabla 4.4, muestra una orientación del grado de permeabilidad del suelo según a su conductividad hidráulica.

Existen diversas maneras para determinar la conductividad hidráulica de un suelo, las formas más comunes son mediante: Ensayos en laboratorio; métodos empíricos y ensayos en campo. Tabla 4.4. Grado de permeabilidad del suelo (Whitlow, 1994).

Grado de permeabilidad

Conductividad hidráulica,

cm/s

Elevada Superior a 10-1

Media 10-1

a 10-3

Baja 10-3

a 10-5

Muy baja 10-5

a 10-7

Prácticamente impermeable menor de 10-7

6.7. Efecto de la temperatura en la conductividad hidráulica. La conductividad hidráulica está en función a la viscosidad del agua, que varía considerablemente con el cambio de temperatura. Convencionalmente el valor de la conductividad hidráulica se expresa para una temperatura ambiente de 20 ºC, esta variación de la conductividad hidráulica conforme al cambio de temperatura obedece a la siguiente ecuación:


137

k20= Ct·kt [4.19] Donde:

kt = Conductividad hidráulica correspondiente a una temperatura. Ct = Coeficiente de corrección de la temperatura. k20 = Conductividad hidráulica para una temperatura de 20 ºC.

El coeficiente de corrección de temperatura Ct, es una relación entre viscosidades del agua a diferentes temperaturas. Este coeficiente puede ser obtenido de la Tabla 4.5.

La conductividad hidráulica siempre debe ser corregida por temperatura, en el caso de tenerse una conductividad donde no se especifique la temperatura en que fue determinada, se asumirá que será a 20 ºC. Tabla 4.5. Valores para Ct (Das, 1998). ºC C t ºC C t

4 1.555 24 0.910

10 1.299 25 0.889

15 1.135 26 0.869

16 1.106 27 0.850

17 1.077 28 0.832

18 1.051 29 0.814

19 1.025 30 0.797

20 1.000 40 0.670

21 0.976 50 0.550

22 0.953 60 0.468

23 0.931 70 0.410

6.8. Ensayos en laboratorio para determinar la conductividad hidráulica.

Determinar la conductividad hidráulica mediante ensayos en laboratorio es la forma más común, práctica y confiable, donde se sigue la premisa que todo ensayo en laboratorio reproduzca las mismas condiciones de campo. Para lo cual, se extraen apropiadamente muestras de suelo de tal manera que los resultados obtenidos en laboratorio sean representativos del tipo de suelo que se tiene en campo. Según al tamaño de las partículas del suelo, se han ideado dos permeámetros que se utilizan para determinar la conductividad hidráulica.

6.8.1. Ensayo de carga constante.

El ensayo de carga constante es un método para determinar la conductividad hidráulica de un suelo en laboratorio, capaz de medir valores hasta de: k> 10-4 m/s. El aparato usado que se muestra en la Figura 4.21 recibe el nombre de permeámetro de carga constante y generalmente es usado para suelos de grano grueso como ser gravas y arenas.

La muestra de suelo se introduce en un cilindro de plástico transparente, con filtros de piedra porosa por encima y por debajo de ella. En la parte lateral del cilindro están instalados varios piezómetros a lo largo de la muestra, para medir la altura de presión en diversos puntos. El flujo de agua que pasa a través de la muestra de suelo proviene del reservorio superior, que está diseñado para mantener una carga constante de agua. Finalmente en un lapso de tiempo, el agua que rebalsa del reservorio inferior es recolectada en un cilindro graduado. Es importante que la muestra de suelo esté completamente saturada de agua, lo que garantiza un flujo de agua, además que la presencia de burbujas de aire afectan considerablemente los resultados. Para saturar completamente la muestra de suelo, primero se debe suministrar un flujo constante de agua desairada (destilada) al reservorio superior, luego se abren las dos válvulas y se deja circular el agua controlando la velocidad del flujo con las válvulas. Cuando los niveles de agua en los piezómetros se mantengan constantes, se dirá que el suelo está completamente saturado. El ensayo consiste en hacer correr un flujo de agua controlado (por las


138

válvulas) por un tiempo (t), donde se registran las alturas piezométricas de la muestra y el volumen de agua recolectada por el recipiente o cilindro graduado. Registrados todos estos valores, se modifica la taza de flujo q (con las válvulas) y se repite el mismo procedimiento, generalmente se realizan tres ensayos donde se obtienen tres conductividades hidráulicas similares.

Figura 4.21. Permeámetro de carga constante (Coduto, 1999).

En la Figura 4.22 se ha simplificado el permeámetro de carga constante de manera que puede observarse la esencia del proceso y determinar la conductividad hidráulica.

La conductividad hidráulica real será la media aritmética de todas estas. Según la ley de

Darcy, el caudal que circula por el sistema será:

q = k·i·A

En base a esta expresión la cantidad de agua recolectada V por el cilindro graduado en un tiempo dado (t)será:

V= k·i·A·t

Reservorio

superior

Suelo

Piezómetros

Válvula

Cilindro

graduado

Reservorio

inferior

Válvula

Entrada

de agua

h

L

q

q

Q

Drenaje de rebalse


139

Figura 4.22. Simplificación del permeámetro de carga constante (Das, 1998).

El gradiente hidráulico (i) del sistema, es determinado con el dato de la longitud de la muestra (L) y la diferencia de alturas piezométricas ( ), este gradiente será:

L

hi

Reemplazando el gradiente hidráulico, se tendrá que:

hV k A t

L

Despejando la conductividad hidráulica de esta última ecuación se tendrá que:

V Lk

h A t

[4.20]

Donde: k = Conductividad hidráulica. L = Longitud de la muestra.

= Pérdida de carga. V= Volumen de agua recolectada por el cilindro graduado durante el ensayo. A = Área de la sección transversal del suelo. t = Tiempo de duración del ensayo.

Con la ecuación [4.20] se determina la conductividad hidráulica de un suelo con el permeámetro de carga constante. Luego debe hacerse una corrección por temperatura.

6.8.2. Ensayo de carga variable.

El ensayo de carga variable, es otro método para determinar la conductividad hidráulica de un suelo en laboratorio, este permeámetro que se muestra en la Figura 4.23 generalmente es usado para suelos de grano fino como ser arenas finas, limos y arcillas.

En estos suelos, el flujo de agua que circula a través de estos es demasiado lento como para poder hacer mediciones precisas con el permeámetro de carga constante, por lo que el

L

h

Recipiente

graduado

q

Q


140

permeámetro de carga variable puede medir conductividades hidráulicas comprendidas entre 10-4 <k < 10-7 m/s.

En un cilindro de unos 100 mm de diámetro se introduce la muestra representativa de suelo, donde los extremos superior e inferior están protegidos por una piedra porosa. Al igual que en el ensayo de carga constante, es importante que la muestra de suelo este completamente saturada, para lo cual se sigue un procedimiento similar de saturación al anteriormente descrito.

Figura 4.23. Permeámetro de carga variable (Coduto, 1999).

La muestra confinada en el cilindro, se la introduce en un reservorio anegado de agua que

cuenta con un vertedor de nivel constante. Luego, se conecta un tubo de carga en el extremo superior del cilindro que contiene la muestra de suelo. La prueba se lleva a cabo llenando el tubo de carga con agua, permitiendo así que el agua desairada pase a través de la muestra de suelo por un tiempo (t). Se registra el nivel de la columna de agua en el tubo de carga al empezar y al finalizar el ensayo. Luego de registrar estos datos, se repite el ensayo con un diámetro diferente del tubo de carga. Por lo general se utilizan tres diámetros diferentes del tubo de carga, la conductividad hidráulica real será la media aritmética de las conductividades correspondientes a los diferentes diámetros del tubo. Por lo general se reportan también los pesos unitarios inicial y final y el contenido de humedad de la muestra.

En algunos casos puede darse la posibilidad de no disponerse de tubos de diámetro variado, en ese caso lo que se hace es hacer variar la altura inicial de la columna de agua en el tubo ha

Cilindro

graduado

Nivel de agua al final del ensayo

Nivel de agua al empezar del ensayo

Tubo

Huecos de

drenaje

Suelo

h2

h

h1

Sección transversal area = a

L

Sección

transversal area = A


141

elevaciones diferentes. Sin embargo deben efectuarse algunas correcciones. En la Figura 4.24, se muestra el permeámetro de carga variable de forma simplificada.

Figura 4.24. Simplificación del permeámetro de carga variable (Das, 1998).

Según la ley de Darcy, el caudal que circula por el sistema será:

q = k·i·A

Para un tiempo t, el agua del tubo de carga desciende de un nivel h1 hasta un nivel h2. Puede decirse entonces que una taza de flujo q entre los niveles h1 y h2 circula por el sistema, hasta rebalsar en el reservorio inferior. Por lo tanto si el nivel en la columna se reduce un dh en un tiempo dt entonces se tendrá que:

dt

dhaq

Donde: q = Caudal de agua que circula a través del sistema. a = Área de la sección transversal del tubo de la columna de agua.

El signo negativo indica la dirección del flujo de agua respecto al sistema de coordenadas

asumido, por continuidad se sabe que la cantidad total de agua que circula por el sistema será igual a la cantidad que circulara progresivamente en un tiempo dado, por lo tanto:

dt

dhaiAk

El gradiente hidráulico (i) del sistema, se expresa como:

Piedra porosa

Muestra

de suelo

Piedra porosa

Tubo

h

h2

h1


142

L

hi

Reemplazando el gradiente, se tendrá que:

dt

dha

L

hAk

Reordenando e integrando, se tiene que:

2

1

2

11

t

t

h

h

dtLa

Ak

h

dh

Entonces:

12

1

2ln ttLa

Ak

h

h

Despejando, la conductividad hidráulica será:

12

21ln

ttA

hhLak

[4.21]

Donde: k = Conductividad hidráulica. L = Longitud de la muestra. a = Área de la sección transversal del tubo. h1= Nivel inicial del agua en el tubo al empezar el ensayo. h2= Nivel final del agua en el tubo al finalizar el ensayo. A = Área de la sección transversal de la muestra de suelo. t1= Tiempo al iniciar el ensayo, cuando el nivel de agua en el tubo esta en h1. t2= Tiempo al finalizar el ensayo, cuando el nivel de agua en el tubo esta en h2.

En el caso de disponerse de un solo tubo de carga, la cantidad de agua que pasa por la

muestra (V) será el área del tubo multiplicada por la diferencia de los niveles de agua, que será:V = a·(h1 – h2).El área del tubo de carga (a), expresado en función al volumen será:

1 2

Va

h h

[4.22]

Reemplazando en la ecuación [4.22] la ecuación [4.21], la conductividad hidráulica será:

1 2

2 1 1 2

lnV L h hk

A t t h h

[4.23]

Donde la cantidad de agua que pasa por la muestra (V), será el agua recolectada por el

cilindro graduado durante el ensayo. Con las ecuaciones [4.21] y [4.23], se determina la conductividad hidráulica del suelo con los

resultados del permeámetro de carga variable. Luego, se debe realizar una corrección por temperatura. Aunque el ensayo de carga variable es principalmente aplicado a suelos finos, también proporciona resultados aceptables en cualquier tipo de suelo.


143

6.9. Métodos empíricos para determinar la conductividad hidráulica. En base a las propiedades índice del suelo, diversos investigadores han desarrollado ecuaciones y métodos empíricos para encontrar aproximaciones aceptables de la conductividad hidráulica de un suelo. Estas ecuaciones y métodos empíricos, ayudan a encontrar con rapidez la conductividad hidráulica como un dato tentativo del suelo.

6.9.1. Correlación de Hazen.

La correlación de Hazen, es la forma empírica más conocida y rápida para determinar una aproximación de la conductividad hidráulica del suelo. Este método considera las características granulométricas de las partículas del suelo. Hazen en sus estudios observo que la conductividad hidráulica es aproximadamente proporcional al cuadrado del diámetro del poro y a su vez es proporcional al diámetro efectivo del suelo. Valiéndose de estas ideas, Hazen propuso que la conductividad hidráulica de un suelo será:

2

10k C D [4.24]

Donde: k = Conductividad hidráulica en cm/s C = Coeficiente de Hazen que depende de las partículas del suelo. D10 = Diámetro efectivo en mm

Tabla 4.6. Valores del coeficiente C (Tindall & Kunkel 1999; Whitlow, 1994).

TIPO DE SUELO C CU D10,mm

Arena muy fina, pobremente gradada 0.4 a 0.8 CU 5 0.003 a 0.6

Arena fina, con finos apreciables 0.4 a 0.8

Arena media, bien gradada 0.8 a 1.2

CU< 5 0.06 a 3.0 Arena gruesa, pobremente gradada 0.8 a 1.2

Arena gruesa limpia, bien gradada 1.2 a 1.5

El coeficiente de Hazen (C), puede ser estimado de la Tabla 4.6, para lo cual debe conocerse el nivel de gradación del suelo, el coeficiente de uniformidad y el diámetro efectivo del suelo.La British Geotechnical Society ha aplicado la correlación de Hazen a una gran variedad de suelos, los mejores resultados corresponden a suelos con las siguientes características:

El diámetro efectivo (D10) debe estar comprendido entre: 0.1 y 3 mm. El coeficiente de uniformidad (CU) debe ser menor a 5. Se asume un coeficiente de: C = 1.

6.9.2. Método de Masch and Denny. Este es un método empírico para determinar la conductividad hidráulica del suelo, es aplicable en arenas limpias, densas y uniformes o no uniformes, clasificadas como SP o SW en el sistema unificado de clasificación. Este método, relaciona las características granulométricas del suelo con la conductividad hidráulica.

La Figura 4.25, muestra la curva granulométrica de un suelo, el método de Masch and Denny consiste en transformar las unidades en que se grafica esta curva a un sistema donde el tamaño de la


144

Figura 4.25. Curva granulométrica de una muestra de suelo.

El tamaño de partículas expresado en milímetrossiguiente expresión:

= –log 2

D

Expresado de una forma más práctica, esta ecuación será:

= –3.322·log10

D [4.25]

Donde: = Tamaño de la partícula en unidades . D = Tamaño de la partícula expresado en milímetros.

Otra forma de transformar las unidades es mediante el ábaco de la Figura 4.26. Se ingresa a este con el tamaño de la partícula expresado en mm y se intercepta a la curva. La proyección en el eje vertical de la intersección será el tamaño de la partícula expresado en unidades .

Figura 4.26. Ábaco para la conversión de mm a unidades (U.S. Army Corps, 1986).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0,0010,010,11

Po

rcen

taje

qu

e p

asa

Tamaño de partículas mm

Tamaño de partícula en mm

Un

idad

es

-4

0

2

4

6

8

10

-2

0.01 0.1 1 10

= - Log D2


145

La Figura 4.27, muestra la curva granulométrica convertida a unidades .Luego de transformar la curva granulométrica a unidades , se determina la desviación inclusiva estándar (I), que es usada como una medida de la dispersión de la curva granulométrica transformada, se expresa como:

16 84 5 95

4 6.6I

D D D D

[4.26]

Donde: I = Desviación inclusiva estándar. D16 = Tamaño de partícula en unidades que corresponde al 16% que pasa. D84 = Tamaño de partícula en unidades que corresponde al 84% que pasa. D5 = Tamaño de partícula en unidades que corresponde al 5% que pasa. D95 = Tamaño de partícula en unidades que corresponde al 95% que pasa.

Los diferentes diámetros que requiere la ecuación [4.26], son interpolados de la curva

granulométrica convertida en unidades (Figura 4.27). Con el valor de: D50 expresado en unidades y con la desviación inclusiva estándar I), se ingresa al ábaco de la Figura4.28 y se determina la conductividad hidráulica.

En el caso de que el diámetro mediano (D50) expresado en unidades sea negativo o exceda

el valor de 4, se considerará que el método no es aplicable a ese tipo de suelo.

Figura 4.27. Curva granulométrica de una muestra de suelo en unidades .

6.9.1. Correlación de Shepherd.

G. Shepherd (1970) en base a las investigaciones de Hazen, propuso una relación empírica semejante a la de Hazen pero mejorada, para determinar la conductividad hidráulica.

Esta es:

50

jk c D [4.27]

Donde: k = Conductividad hidráulica expresada en ft/día. c = Coeficiente de Shepherd determinado empíricamente. D50 = Diámetro mediano de las partículas del suelo expresado en mm. j = Valor exponencial determinado empíricamente.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0246810

Po

rcen

taje

qu

e p

asa

Tamaño de partículas en unidades Φ.


146

Figura 4.28. Ábaco para la conductividad hidráulica (U.S. Army Corps, 1986).

Figura 4.29. Ábaco preparado por Shepherd (Tindall & Kunkel, 1999).

10

1

0.1

4 3 2 1 0

FINO GRUESOD (unidades )

50

k c

m/m

in

= 0

.0

I

= 0

.5

I

= 1

.0

I

= 2.0

= 1.5


147

Shepherd determinó empíricamente el valor de los coeficientes c y j para distintos tipos de suelo y los represento gráficamente en la Figura 4.29. Ingresando con un valor de D50 en la Figura 4.29 y conociendo la procedencia del suelo, se determina la conductividad hidráulica.

La correlación de Shepherd generalmente tiene aplicación en el campo de la hidrogeología, sin embargo da una aproximación aceptable de la conductividad hidráulica del suelo cuando se disponga poca información de las propiedades índice del suelo.

6.9.2. Ecuación de Kozeny – Carman. Mediante la ecuación de Kozeny – Carman, se puede determinar la conductividad hidráulica de un suelo empíricamente. Esta ecuación relaciona las características del flujo de agua con las granulométricas y de textura de las partículas del suelo, es aplicable en arenas limpias densas, uniformes sueltas, clasificadas como SP en el sistema unificado de clasificación. Esta ecuación es:

e

e

STCk w

SoS

1

1 3

22

[4.28]

Donde:

w = Peso unitario del agua.

k = Conductividad hidráulica. e = Índice de vacíos. CS = Factor de textura. To = Factor de tortuosidad. SS = Superficie específica. = Viscosidad.

El U.S. Army Corps, recomienda que para partículas de arena y tamaños de limo más finos

que 0.074 mm y más gruesos que 0.005 mm, se asuma que:

CS·To2 = 5 [4.29]

Caso contrario estos factores deben ser determinados en algún laboratorio especializado con

equipo apropiado para ello. El factor de angularidad (A), es estimado de la Tabla 4.7 en base a la procedencia y rugosidad. Tabla 4.7. Factor de angularidad (U.S. Army Corps, 1986).

TIPO DE MATERIAL DESCRIPCIÓN A

Esfera de cristal Bien redondeada 1,0

Arena natural Redondeada 1,1

Sub-redondeada 1,2

Sub-angular 1,3

Angular 1,4

Roca machacada Cuarcita 1,5

Roca machacada Basalto 1,6

Para determinar la superficie específica (SS) de la muestra de suelo, deben encontrarse las superficies específicas de cada fracción de suelo retenida en cada tamiz, utilizando:

SS = A·(X1·S1 + X2·S2 + … + Xn·Sn [4.30] Donde:

SS = Superficie específica. A = Factor de angularidad. Xi = Porcentaje de muestra de suelo retenida por un tamiz, expresado como decimal. Si = Superficie específica de la fracción de suelo retenida en el tamiz.


148

La superficie específica (Si), de las partículas asemejadas a esferas retenidas por un tamiz, se calcula con la expresión:

6i

x y

SD D

[4.31]

Donde: Si = Superficie específica. Dx = Es la abertura del tamiz anterior al tamiz que retiene la fracción de suelo. DY = Es la abertura del tamiz que retiene la fracción de suelo.

Otra forma más sencilla de calcular la superficie específica (Si) para las medidas de tamices

del tipo: U.S. Standart Sieves, es mediante la Tabla 4.8. Para esto, el tamiz que retenga la fracción de suelo debe estar comprendido en el rango de mayor abertura de tamiz. Tabla 4.8. Valores de Si para USCS (U.S. Army Corps, 1986). Tamices adyacentes

Superficie específica

U.S. Standad sieves Si, 1/cm

4 hasta 6 382

6 hasta 8 538

8 hasta 10 696

10 hasta 16 985

16 hasta 20 1524

20 hasta 30 2178

30 hasta 40 3080

40 hasta 50 4318

50 hasta 70 6089

70 hasta 100 8574

100 hasta 140 12199

140 hasta 200 17400 Se adjunta al final de este capítulo dos artículos que permiten entrar en mayor detalle en el análisis de las ecuaciones estudiadas.

6.9.3. Otras formas empíricas de hallar la conductividad hidráulica.

El U.S. Departament of Navy (1971) ha propuesto el ábaco mostrado en la Figura 4.30, para determinar la conductividad hidráulica. Este ábaco es válido para suelos gruesos, donde: La relación entre el diámetro efectivo y el diámetro del cinco por ciento que pasa (D10/D5) debe ser menor a 1.4 y el coeficiente de uniformidad (CU) debe estar comprendido entre 2 a 12.

Casagrande, propuso una relación empírica bastante útil para suelos gruesos que es:

k = 1.4·e2·k0.85 [4.32]

Donde: k = Conductividad hidráulica. e = Índice de vacíos. k0.85 = Conductividad hidráulica para un índice de vacíos de 0.85.

Mediante la ecuación [4.32], se puede conocer la conductividad hidráulica de un suelo

cuando el índice de vacíos es 0.85, en base a una conductividad hidráulica para otro índice de vacíos.


149

Kozeny determinó que la conductividad hidráulica es proporcional a una razón de índice de vacíos, que es:

e

eCk

1

3

1 [4.33]

El valor de C1 de la ecuación [4.33], es determinado empíricamente en base a la variación de

la conductividad hidráulica en función al índice de vacíos. Puede interactuarse la ecuación [4.32] con la ecuación [4.33], para obtener estimaciones de la conductividad hidráulica.

Para el caso de los suelos finos, Huang & Drnevich (1982), obtuvieron en base a experimentos la siguiente relación empírica:

e

eCk

n

12 [4.34]

Donde: C2 y n son constantes que se determinan empíricamente cuando se tienen datos

acerca de la variación de la conductividad hidráulica respecto al índice de vacíos. Con las ecuaciones [4.33] y [4.34], pueden hacerse estimaciones de la conductividad hidráulica para diferentes variaciones del índice de vacíos, tanto para suelos gruesos como finos.

Figura 4.30. Ábaco para la conductividad hidráulica en suelos granulares (Das, 1998).

Las ecuaciones [4.32]y[4.33] son válidas para suelos de grano grueso como arenas y gravas. Para suelos finos, la ecuación [4.32] es aplicable incluso para suelos gruesos. Otras relaciones empíricas útiles para la conductividad hidráulica se muestran en la Tabla 4.9.

0.01

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

4

6

8

10

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 4 6 8 10

D10 mm

Co

nd

uct

ivid

ad h

idrá

uli

ca, k

ft/

min

Índi

ce d

e va

cios

, e

= 0

.7

0.6

0.5

0.4

0.3

D10

D5< 1.4

Cu = 2 a 12


150

Tabla 4.9. Relaciones empíricas para determinar k (Das, 1998).

Tipo de suelo Autor Relación

Arena Amer and awad (1974)

Arena mediana a fina Shahabi, Das and Tarquin (1984)

Arcilla

Mesri and Olson (1971)

Taylor (1984)

Donde: e0 y k0, respectivamente son: el índice de vacíos y la conductividad hidráulica insitu.

Ck es el índice de cambio de conductividad hidráulica, tomado de la Figura 4.31. Una buena aproximación para determinar el valor de Ck es:

Ck = 0.5·e0 [4.33]

Debe tenerse especial cuidado de aplicar las relaciones empíricas y métodos a los tipos de suelo apropiados, caso contrario por lo general se tendrá incoherencia e incompatibilidad.

Figura 4.31. Variación de Cken función a e0 (Das, 1998).

Ejemplo 4.1 Se desea realizar un ensayo de permeabilidad con carga constante en una muestra de arena. Para esto se dispone de 5000 g de muestra con un contenido de humedad de 3% y una gravedad específica de los sólidos de 2,65. Se coloca en el permeámetro de carga constante un peso total de arena de 2154 g en un volumen de 1150 cm3 con una longitud de 35 cm y se realiza el ensayo. En dos puntos de la muestra, distanciados 0,30 m se ha observado que la diferencia de altura

1.75

1.50

1.25

1.00

0.75

0.50

0.25

00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

Ck

e0

32.32 0.5

2 101

u

ek C D C

e

30.735 0.89

2 101.21

ek C D

e

'log'log BeAk

kC

eekk

0

0loglog


151

total es de 0,18 m. Además, en un tiempo de 5 min se ha podido captar un volumen de agua de 150 cm3. Se pide determinar:

a) El coeficiente de conductividad hidráulica de la arena ensayada

b) El peso unitario de la muestra concluido el ensayo (suponga que todo vacío ha sido llenado con agua)

c) El coeficiente de conductividad hidráulica de la misma muestra si el índice de vacíos fuese 0,457

Solución: a)

v=k*i → Q=v*A=K*i*A=V

t

K=V

i*A*t

V=150 cm3

t=5 min*60 seg

1min=300 seg

i=∆h

L=0.18

0.30=0.60

h*A=1150 cm3 → A=1150

35=32.86 cm2

k=150 cm3

0.6*32.86cm2*300seg → k=2.59*10-2 cm seg⁄

b)

γ=2154 g

1150 cm3=1.873

gcm3⁄

γ=(1+w)*Gs*γw

1+e → e=

(1+w)*Gs*γwγ

-1

e=(1+

3

100) *2.65*1

1.873-1=0.457

γd=γ

1+w=1.873

1+3

100

=1.818g

cm3

Para S=100% → γsat=γ

d+

e

1+e*γ

w

γsat=1.818+0.457

1+0.457*1=2.132

g

cm3

γsat=2.132

g

cm3=20.91

KN

m3∎

c)

K=C1*e3

1-e → C1=

k(1-e)

e3


152

C1=2.59*10-2 cm

seg⁄ *(1-0.457

0.4573=0.1473

k=0.1473*0.4573

1-0.457 → k=2.59*10-2 cm/seg ∎

Ejemplo 4.2 La Tabla 1 muestra el resultado de un ensayo mecánico por tamizado y la Tabla 2 muestra el resultado de la hidrometría en el mismo suelo. El análisis de límites de consistencia de la parte fina del mismo arroja los siguientes resultados: límite líquido igual a 38%, índice de plasticidad igual a 12%. Se pide estimar el coeficiente de conductividad hidráulica del suelo utilizando el método de Masch & Denny Tabla 1. Resultado del ensayo mecánico por tamizado Abertura, mm 4,75 2,00 0,85 0,425 0,250 0,180 0,150 0,075 Porcentaje que pasa

100 94 87 80 60 38 20 15

Tabla 2. Resultado del ensayo mecánico por hidrómetro Abertura, mm 0,075 0,060 0,050 0,040 0,030 0,020 0,015 0,010 Porcentaje que pasa

100 94 87 80 54 33 11 9

Solución: De los ensayos por tamizado y por hidrómetro tenemos que:

x-x1x1-x2

=y-y

1

y-y2

→ x=y-y

1

y-y2

(x1-x2)+x1 → D=x

Estimación

σI=D16-D84

4+D5-D95

6.6 =

3.537-0.663

4+5.635+1.208

6.6 =1.7712 → k=0.30

cm

min

%Pasa D, mm I Y1-100 4.75 -2.248→x1 y-95 →x → 𝐷95 = −1.208 Y2-94 2.00 -1.000→x2 Y1-87 0.85 0.234→x1 y-84 →x → 𝐷84 = 0.663 Y2-80 0.425 1.234→x2 Y1-60 0.250 2.000→x1 y-50 →x → 𝐷50 = 2.215 Y2-38 0.180 2.474→x2 Y1-20 0.150 2.737→x1 y-16 →x → 𝐷16 = 3.537 Y2-15 0.075 3.737→x2 14.1 0.060 4.060 13.05 0.050 4.322 12 0.040 4.644 Y1-8.1 0.030 5.059→x1 y-5 →x → 𝐷5 = 5.635 Y2-4.95 0.020 5.644→x2 1.65 0.015 6.059 1.35 0.010 6.644


153


154

Ejemplo 4.3 La Tabla 1 muestra el resultado de ensayos de granulometría en 4 muestras, se pide estimar el coeficiente de conductividad hidráulica utilizando los métodos arriba descritos.


155


156


157

Ejemplo 4.4


158

Ejemplo 4.5


159


160

6.10. Ensayos en campo para determinar la conductividad hidráulica.

Al extraer una muestra de suelo en campo y transportarla al laboratorio, esta puede sufrir alteraciones en su estructura (índice de vacíos) o simplemente debido a que es pequeña no puede representar a todo el volumen del suelo en estudio. Debido a estos factores los ensayos en laboratorio no siempre son infalibles, en el sentido de proporcionar resultados reales de la conductividad hidráulica del suelo, la experiencia y buen juicio del operador hará que se interpreten correctamente los resultados. En el caso de las ecuaciones y métodos empíricos estos ofrecen una aproximación importante de la conductividad hidráulica.Sin embargo, estos métodos suelen presentar deficiencias para algunas características particulares de algunos suelos. Para disponer de valores precisos y reales de la conductividad hidráulica se recurren a los ensayos en campo. A diferencia de los ensayos en laboratorio, las ecuaciones y métodos


161

empíricos, estos se realizan en el mismo sitio de estudio con las condiciones reales de la zona. Algunos de los métodos desarrollados para este fin son las:

Pruebas de bombeo estacionarias. Pruebas en barrenaciones.

Es importante evaluar la importancia que tiene el dato de la conductividad hidráulica en el

proyecto, pues generalmente las pruebas de bombeo estacionarias y las pruebas en barrenaciones consisten en perforaciones hechas en el suelo las cuales suelen demorar tiempo, requiere que el operador y el personal tengan experiencia y por supuesto son costosas.

Generalmente, las perforaciones se realizan con taladros de percusión y de rotación. En la perforación percusiva la barrena tiene la forma de un cincel que golpea contra la roca hasta formar un agujero, donde la roca triturada forma material fino que pueden ser extraídos mediante la circulación de un fluido a presión. En la perforación rotaria el suelo se corta o tritura por cuchillas o puntas las cuales se hacen girar gravitando sobre ellas una carga. Durante las perforaciones se utiliza bentonita para impermeabilizar y estabilizar las paredes del pozo. (Blyth & de Freitas, 1989)

6.10.1. Prueba de bombeo en estado estacionario. La prueba de bombeo en estado estacionario implica la perforación de un pozo y el bombeo del agua de este. La Figura 4.32, muestra que el objetivo de la perforación es interceptar un acuífero donde el nivel freático del perfil de suelo se abatirá igualándose al nivel de agua del pozo. Al iniciar el bombeo, la cantidad de agua que se demanda inicialmente es absorbida del acuífero, si se sigue con el bombeo el radio de influencia crecerá hasta encontrar un equilibrio entre el bombeo y la recarga del acuífero, generalmente el acuífero buscará fuentes de recarga como la de ríos, lagos o otras fuentes de recarga cercanas que estarán dentro del radio de influencia de tal manera que se satisfaga la demanda de la tasa de bombeo.

En algunos casos existe una recarga vertical proveniente de la precipitación pluvial encima del área de influencia, lo suficientemente grande que pueda cubrir esa demanda.

Si el pozo es bombeado a una tasa constante hasta que la descarga se estabilice, la conductividad hidráulica del acuífero puede ser calculada a partir de formulas de equilibrio que están en función a la posición del nivel freático. Para conocer la forma del abatimiento del nivel freático, por lo general se perforan pozos de menor diámetro adyacentes al pozo principal, llamados pozos de observación.

Sin embargo, dependiendo al tipo de acuífero y a las condiciones reinantes se pueden realizar perforaciones que atraviesen todo el acuífero o perforaciones parciales en él. Dependiendo al caso el caudal de bombeo variará, por lo que debe tenerse cuidado en cuanto a este detalle al determinar la conductividad hidráulica mediante un pozo de bombeo.

Se denomina barrenación a una perforación de diámetro pequeño y de profundidad variable en el suelo. Para esto se emplean piezas giratorias, de percusión o de uso manual llamados barrenadores que perforan el suelo.

El U.S. Bureau of Reclamation (1974), ha ideado métodos con objeto de obtener la conductividad hidráulica en campo con el uso de una barrenación. Se cree generalmente que estos métodos dan los resultados más precisos, siempre y cuando predomine la experiencia del operador y su personal.


162

Figura 4.32. Abatimiento del nivel freático (U.S. Army Corps, 1986 ).

6.10.2. Pruebas en barrenaciones.

Estas pruebas implican realizar una perforación utilizando un barreno, luego instalar un tubo con un sistema a fin de ingresar un flujo constante de agua a presión en el agujero y luego medir la altura de presión para determinar la conductividad hidráulica mediante una ecuación empírica. Es importante conocer la profundidad del nivel freático y del acuífero que está en estudio.

Para el caso de acuíferos confinados como se muestra en la Figura 4.33, se emplea un método denominado: ensayo del extremo inferior abierto. Este método consiste en realizar una perforación para ubicar el acuífero, esta no ha de ser muy profunda, debe perforarse hasta ingresar en el acuífero una distancia de diez veces el radio de la perforación. Una vez terminada la perforación, se inserta un tubo con un sistema de tal manera que el extremo inferior quede abierto, mientras que el extremo superior esta cerrado mediante un sello, donde se instala un tubo que está conectado a una bomba (M) y un manómetro. Una vez instalado el tubo, se procede a llenar de agua el agujero a una tasa constante de flujo, el agua progresivamente se irá escurriendo por la parte inferior del tubo, mientras que en la parte superior debe suministrarse suficiente agua hasta conseguir que el nivel de agua permanezca constante, cuando se logra estabilizar este nivel de agua se determina la altura de presión (hp) con la lectura del manómetro. La altura total de carga del sistema será:

h = hz + hp

Para determinar la altura potencial (hz) es importante conocer la ubicación del nivel freático, es decir verificar si la perforación intercepta o no al nivel freático. La Figura 4.33 muestra el valor de esta altura según a la posición del nivel freático. La conductividad hidráulica es:

hr

qk

5.5 [4.34]

Donde: k = Conductividad hidráulica. q = Tasa constante de abastecimiento de agua al agujero. r = Radio interno del tubo. h = Altura total de carga del sistema.

Arena gruesa

Arcilla

Arcilla confinada

Río

Arcilla confinada

Pozo

Arena fina


163

Figura 4.33. Ensayo del extremo inferior abierto (Das, 1999). (a) Nivel freático interceptado. (b) Nivel freático no interceptado.

Para el caso de un acuífero no confinado como se muestra en la Figura 4.34, se emplea un método denominado: ensayo de la empaquetadura. En este método, se introduce parcialmente el tubo al agujero perforado, dejando una distancia L entre el extremo inferior del tubo y el fondo. El extremo inferior del tubo está sellado herméticamente con una empaquetadura donde está instalada una tubería que está conectada a una bomba y un manómetro. El ensayo consiste en introducir agua a presión al suelo, controlada por una válvula de tal manera que se suministre suficiente cantidad de agua para mantener una presión constante. Una vez que se logra estabilizar la presión del agua, se determina la altura de presión (hp) de la lectura del manómetro. La altura total de carga del sistema será:

h = hz + hp

La Figura 4.34 muestra el valor de la altura potencial (hz) según a la posición del nivel freático en la perforación.La conductividad hidráulica está en función a la distancia L,esta será:

r

L

hL

qk ln

2 (Para L10·r) [4.35]

r

L

hL

qk

2sinh

2

1

(Para 10·r>Lr) [4.36]

Donde: k = Conductividad hidráulica. q = Tasa constante de abastecimiento de agua al agujero. L = Distancia entre el extremo inferior y el fondo de la perforación. r = Radio de la perforación. h = Altura total de carga del sistema.

a)

2·r

10·r

Nivel freático

b)

Acuífero

2·r

Sello

Superficie terrestre

M

h

M

p ph

zh

hz

Nivel freático


164

Figura 4.34. Ensayo de la empaquetadura (Das, 1999). (a) Nivel freático interceptado. (b) Nivel freático no interceptado.

6.10.3. Método alternativo para determinar la conductividad hidráulica en campo.

Con el equipo que se muestra en la Figura 4.35 se puede realizar un ensayo rápido simulando el permeámetro de carga variable en campo en suelos arenosos, llamado: ensayo de la caída rápida de carga. El sistema consiste en un tubo de vidrio de 50 mm de diámetro y 500 mm de longitud u otras dimensiones similares a estas, y un recipiente para agua que puede ser una cubeta grande o balde. En la parte superior del tubo se marcan dos graduaciones separadas por 200 a250 mm, y el extremo inferior se cubre con una malla de alambre ceñida para evitar que el suelo se disgregue durante el ensayo (Whitlow, 1994).

El ensayo es tal como se muestra en la Figura 4.35, se sostiene el tubo en el recipiente con agua y se deposita con cuidado una capa de 50 a100 mm de suelo en el interior del tubo, utilizando un embudo con una extensión de hule. Al extraer el tubo del recipiente, el nivel de agua comienza a descender. Se registra el tiempo necesario para que el nivel de agua descienda de la graduación superior a la inferior. El promedio de varios ensayos puede considerarse una buena aproximación del coeficiente de permeabilidad k. Cuando se extrae el tubo del recipiente existe un descenso de altura (h1 – h2) en un tiempo t (Whitlow, 1994).

Este método simplificado puede realizarse en campo cuando no se disponga de equipo para realizar ensayos en laboratorio o perforaciones en campo. Este ensayo proporciona una muy buena aproximación de la conductividad hidráulica, sin embargo hay que tomar en cuenta que los ensayos de bombeo, las pruebas en barrenaciones y los ensayos en laboratorio dan resultados más exactos y confiables.

Se propone que la conductividad hidráulica será:

t

hhLk 21ln [4.37]

hz

z

hphp

qq

h

Superficie terrestre

2

2·r

b)

Nivel freático

2·r

a)

LL

Nivel freático

Empaquetadura

Válvula


165

Figura 4.35. Ensayo de caída rápida de carga (Whitlow, 1994).

La Tabla 4.10 muestra un resumen de las diversas implicaciones que tiene la conductividad hidráulica en un suelo, como ser: propiedades del drenado, tipo de obra, tipo de suelo, ensayos apropiados y la experiencia que requiere del operador.

Ejemplo 4.6 Para la Figura, se pide determinar la presión de poros en los puntos A y B

L

1h

h2

Graduaciones

Malla de

almabre

Tubo de

vídrio

Suelo


166

CO

ND

UC

TIV

IDA

D H

IDR

ÁU

LIC

A

Secc

ion

es p

erm

eable

s d

e d

iqu

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sas

Are

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Su

elo

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les

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ón;

fisu

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illa

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arcil

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das

OC

.

Se r

eq

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ren

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say

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reali

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barr

enas)

Tie

nen

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bie

n,

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eri

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.

Co

nfi

anza

Se r

eq

uie

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oca

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erie

ncia

En

say

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ori

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l:

Para

la

cual

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xp

eri

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Det

erm

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ón i

ndir

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a c

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du

ctiv

idad

hid

ráuli

ca

10

2

Dete

rmin

ació

n d

irec

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du

ctiv

idad

hid

ráuli

ca

Co

mp

uta

ció

n:

Para

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ícula

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Solo

ap

licab

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ara

are

na l

impia

,

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co

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ón

are

nas

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rav

as

10

11

.010

-110

-2

Perm

eám

etro

de

car

ga

con

stan

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uie

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xp

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ncia

Tip

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de s

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10

2

Are

na l

imp

ias

Gra

va

lim

pia

10

11

.0

Bu

en d

renage

10

-110

-2

Pru

eba d

e c

arg

a c

onst

ante

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celd

a t

riax

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Req

uie

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n f

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nes

Bas

tan

te c

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anza

Se

requ

iere

co

nsi

dera

ble

exp

erie

ncia

(no

en

celd

a t

riaxia

l)

10

-310

-4-5

10

-610

Per

meá

metr

o d

e c

arg

a v

ari

ab

leR

ang

o d

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erm

eabil

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in

esta

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nece

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much

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encia

par

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orr

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Co

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De p

rueb

as

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rio

y m

ucha e

xp

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10

-710

-810

-9

Pra

cti

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perm

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Sec

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En

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qu

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co

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ble

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ien

cia

Dre

nage p

ob

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10

-310

-4-5

10

-610

Su

elo

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per

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10

-710

-810

-9

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Pro

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T

ab

la 4

.10

Im

pli

caci

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co

nd

uct

ivid

ad h

idrá

uli

ca (

Holt

z& K

ovac

s,1981).

CAPITULO 4Flujo de agua

167

Solución:

σ=13.734 KPa= γw*hp → hp=13.734

9.81=1.40m

Q1=Q2=Q3; h1=180 cm; h4=110 cm

Q1=k1A1i1 ; Q2=k2A2i2 ; Q3=k3A3i3

Q1= Q2 → 2KA∆h14L

=K(2.25A)∆h25L

∴ ∆h1=0.90∆h2 (1)

Q1= Q3 → 2KA∆h14L

=3K(0.25A)∆h33L

∴ ∆h1=0.5 ∆h3 (2)

∆h1= h1-hA ; ∆h2= hA-hB ; ∆h3= hB-h4

de (1)h1-hA=0.9hA-0.9hB → hB=19

9hA-

10

9h1 (3)

de (2)h1-hA=0.5hB-0.5h4 → hB=2 h1-2hA+h4 (4)

rv⁄ de (3) en (4) →

19

9hA-

10

9h1=2 h1-2hA+h4

hA=28

37h1+

9

37h4=

28

37*180+

9

37*110

hA=162.97 cm

→ hB=19

9*162.97-

10

9*180=144.05 cm

hpA=hA-hzA=162.97-70=92.97 cm ≈ 0.93 m

uA=γwhpA=9.81*0.93 → uA=9.12 KPa ∎

hpB=hB-hzB=144.05-70=74.05 cm ≈ 0.74 m

uA=γwhpA=9.81*0.74 → uA=7.26 KPa ∎

Ejemplo 4.7 Para la Figura, se pide determinar la presión de poros en el punto A


168

Solución:

Q1=Q2=Q3 ; Q=KAi

Q1=k1A1

∆h1L1

; Q2=k2A2

∆h2L2

; Q3=k3A3

∆h3L3

Q1= Q2 → K(9A)∆h15L

=2K(A)∆h24L

∴ ∆h1=5

18∆h2 (1)

Q1= Q3 → K(9A)∆h15L

=0.5K(9A)∆h33L

∴ ∆h1=5

6∆h3 (2)

∆h1= h1-h2 ; ∆h2= h2-h3 ; ∆h3= h3-h4

h1= 100cm ; h4= 30cm ; h2∧h3= incognitas

de (1)h1-h2=5

18h2-

5

18h3→ h2=

18

23h1+

5

23h3 (3)

de (2)h1-h2=5

6h3-

5

6h4 → h2=

5

6h4-

5

6h3+h1 (4)

rv⁄ de (3) en (4) →

18

23h1+

5

23h3 =

5

6h4-

5

6h3+h1

h3=6

29h1+

23

29h4=

6

29*100+

23

29*30

h3=44.48cm

h2=18

23*100+

5

23*44.48=87.93 cm

Q1= Q1A → K1A1

∆h1L1

=K1A1

∆hALA

∆hA=LA*∆h1L1

=2.5L

5L∆h1=0.5 ∆h1


169

∆hA=0.5*(100-87.93)=6.04 cm

hA=h1-∆hA=100-6.04cm=93.96 cm

hpA=hA-hzA=93.96-55=38.96 cm

u=hpA*γw=0.3896*9.81

u=3.82 KPa ∎

Ejemplo 4.8 El aparato de laboratorio que se muestra en la Figura 4.29 mantiene una carga constante en ambos reservorios. Se pide determinar:

a) La altura total de carga en el punto 2.

b) La altura total de carga en el punto 3.

c) El caudal que pasa por el suelo 2, en cm3/s.

d) La presión de poros en el punto A.

Figura 4.29. Permeámetro con tres capas de suelo Estrategia: Mediante conceptos de pérdida de carga y de continuidad se determinan algunas alturas de carga y se encuentran ecuaciones que relacionan los gradientes hidráulicos y alturas de carga. Con las relaciones que puedan encontrarse, se forma un sistema de ecuaciones donde al resolverlo se determinan las alturas totales de carga h1, h2, h3 y h4. Halladas estas alturas, se determinan los gradientes hidráulicos, de donde se halla el caudal que circula en el sistema. Altura total de carga en el punto 2.

PASO 1 Determinación de las alturas totales, mediante relaciones de pérdida de carga. Se toma como línea de referencia, el nivel 100 de la Figura 4.29La altura total de carga para el punto 1 será:

100

90

80

4

50

70

60

40

30

3

A

2

0

20

10

1

2

1

3

Suelo 1:

A1 = 400 cm2

k1= 1x10-7

cm/s.

Suelo 2:

A2 = 50 cm2

k2= 1x10-6

cm/s.

Suelo 3:

A3 = 900 cm2

k3 = 1x10-8

cm/s.


170

h1 = hz1 + hp1

Reemplazando los valores de: hz1 = 80 cm. hp1 = 10 cm. Se tiene que:

h1= 80 + 10

La altura total de carga h1, será:

h1 = 90 cm.

La pérdida total de carga (hT) del sistema, será:

hT = 80 – 10

hT = 70 cm.

La perdida total de carga puede expresarse:

h1 – h4 = 70

Reemplazando el valor de h1 en esta expresión, la altura de carga h4, será:

h4= 20 cm.

PASO 2 Determinación de las alturas totales, mediante relaciones de caudal. Por continuidad, el caudal que circula por los tres tipos de suelo es el mismo, por lo cual:

q1 = q2 = q3

Reemplazando el caudal, se tiene que:

q1 = k1·i1·A1 q2 = k2·i2·A2 q3 = k3·i3·A3

Los gradientes hidráulicos serán:

1

211

L

hhi

2

322

L

hhi

3

433

L

hhi

De las ecuaciones dadas, se tiene como incógnitas las alturas: h2 y h3. Igualando caudales para los suelos 1 y 2, además de los suelos 3 y 2, se tendrá que:

q1 = q2 q3 = q2

Reemplazando los caudales, se tiene que:

k1·i1·A1 = k2·i2·A2 k3·i3·A3 = k2·i2·A2


171

Reemplazando los gradientes hidráulicos i1 e i2 en esta expresión, se tiene que:

2

3222

1

2111

L

hhAk

L

hhAk

2

3222

3

4333

L

hhAk

L

hhAk

Reemplazando los valores de: L1= 10 cm. L2= 30 cm. L3= 40 cm. A1= 400 cm2

A2= 50 cm2 A3= 900 cm2 k1= 1x10-7 cm/s. k2= 1x10-6 cm/s. k3= 1x10-8 cm/s. h1= 90 cm. h4= 20 cm. Se tendrá que:

h2= 0.29·h3+ 63.52 [13.1]

h3 = 0.88·h2 + 2.37 [13.2]

Resolviendo las ecuaciones [13.1] y [13.2], se tendrán las alturas de carga, que son:

h2 = 86.69 cm. h3 = 78.76 cm. a) Altura total de carga en el punto 3.

La altura de carga para el punto 3, será:

h3 = 78.76 cm.

b) Caudal que pasa por el suelo 2, en cm3/s. PASO 1 Determinación de los gradientes hidráulicos. Reemplazando lo valores, de: h1= 90 cm. h2 = 86.69 cm. h3 = 78.76 cm. h4= 20 cm. L1= 10 cm. L2= 30 cm. L3= 40 cm. En las ecuaciones de los gradientes hidráulicos, se tendrá que:

10

69.86901

i

30

76.7869.862

i

40

2076.783

i


172

Los gradientes hidráulicos serán:

i1 = 0.33 i2 = 0.26 i3 = 1.46 PASO 2 Determinación del caudal. El caudal será:

q2 = k2·i2·A2 Reemplazando valores de: k2 = 1x10-6 cm/s. i2 = 0.26 A2 = 50 cm2 Se tiene que:

q2 = 1x10-6·0.26·50 El caudal será:

q2 = 1.3x10–5 cm3/s.

c) La presión de poros en el punto A. PASO 1 Determinación de la altura piezométrica. El gradiente hidráulico medido en los puntos 2 y A del suelo 2, será el mismo gradiente del suelo 2, por lo cual:

i2-A = i2 El gradiente hidráulico (i1-A), será:

A

AA

L

hhi

2

22

Reemplazando los valores de: h2 = 86.69 cm. L2-A = 10 cm. i2-A = 0.26 Se tiene que:

10

69.8626.0 Ah

La altura total de carga en el punto A, será:

hA = 84.1 cm. La altura piezométrica será:


173

hPA = hA– hzA

Reemplazando los valores de: hPA = 84.1 cm. hzA = 40 cm. Se tiene que:

hPA = 84.1 – 40 la altura piezométrica en el punto A será:

hPA = 44.1 cm. PASO 2 Determinación de la presión de poros. La presión de poros será: uA = hpA·w Reemplazando los valores de: hpA = 0.44 m. (convertido a metros) w = 9.81 KN/m3 Se tiene que: uA = 0.44·9.81 La presión de poros en le punto A, será:

uA = 4.32 KPa.

Comentario: El gradiente hidráulico, se mantendrá constante en cualquier fracción de un mismo suelo. La pérdida de carga total del sistema, puede ser medida con respecto a la primera y última altura de carga o es la suma de todas las pérdidas de carga del sistema.

Ejemplo 4.9 Se dispone en laboratorio el permeámetro que se muestra en la Figura 4.30. Se pide:

a) Dibujar en función de la distancia, la altura total de carga.

b) Dibujar en función de la distancia, la altura piezométrica.

c) Dibujar en función de la distancia, la velocidad de flujo en cm/s.

d) Determinar el caudal del sistema en l/s. Estrategia: Para dibujar la variación de la altura total de carga, altura piezométrica y la velocidad de flujo en función de la distancia, deben determinarse todos estos valores para los puntos A, B, C y D. Mediante el concepto de alturas de carga, pueden encontrarse algunas alturas. Por el concepto de continuidad al igualar caudales entre suelos, pueden encontrarse ecuaciones que relacionen los gradientes hidráulicos y alturas de carga. La idea consiste en formar un sistema de ecuaciones que al solucionarlo, se determinan las alturas de carga, piezométricas, gradientes hidráulicos y como consecuencia las velocidades de flujo y el caudal. a) Variación de la altura total de carga.

PASO 1 Determinación de alturas totales mediante el conceptos de altura de carga.


174

La altura piezométrica del punto A, será:

hPA = 36. – 2.4

hPA = 1.2 m.

Figura 4.30. Permeámetro con tres diferentes suelos

Se toma como nivel de referencia la elevación 0.0, en la Figura 4.30. Por lo cual, para el punto A, la altura total de carga será:

hA = hzA + hpA Reemplazando los valores de: hzA = 2.4 m. hpA = 1.2 m. Se tiene que:

hA = 2.4 + 1.2 La altura total de carga en el punto A, será:

hA = 3.6 m. PASO 2 Determinación de alturas totales mediante concepto de pérdida de carga. La pérdida total de carga (hT) del sistema será:

hT = 3.6 – 0.0

C

0.6

0.0

1.2

3D

1.8

2.4

3.6

3.0

1

2

B

A

Suelo 1:

A1 = 0.37 m2

k1 = 1 cm/s.

n1 = 1/2

Suelo 2:

A2 = 0.37 m2

k2 = 0.75 cm/s.

n2 = 1/2

Suelo 3:

A3 = 0.18 m2

k3 = 0.5 cm/s.

n3 = 1/3


175

hT = 3.6 m. La pérdida total de carga, también se mide el los puntos A y D, por lo cual se tiene que:

hA – hD = 3.6 Reemplazando el valor de hA = 3.6, la altura total de carga para el punto D es:

hD = 0 m. PASO 3 Determinación de relaciones mediante concepto de continuidad. Por continuidad, el caudal en los tres tipos de suelo es el mismo, por lo tanto:

q1 = q2 = q3 Igualando los caudales de los suelos 1 y 2, además de los suelos 1 y 3, se tendrá que:

21 qq 31 qq

Reemplazando el caudal, se tiene que:

k1·i1·A1 = k2·i2·A2 k1·i1·A1 = k3·i3·A3 Reemplazando los valores de: k1 = 1x10-2 m/s. (convertido a m/s) k2 = 7.5x10-3 m/s. (convertido a m/s) k3 = 5x10-3 m/s. (convertido a m/s) A1 = 0.37 m2

A2 = 0.37 m2

A3 = 0.18 m2

Se tendrá que:

1x10-2·i1·0.37 = 7.5x10-3·i2·0.37 1x10-2·i1·0.37 = 5x10-3·i3·0.18 Las relaciones entre gradientes hidráulicos serán:

i1 = 0.75·i2 [14.1]

i1 = 0.25·i3 [14.2] PASO 4 Determinación de relaciones mediante concepto de gradiente hidráulico. El gradiente hidráulico, es determinado con la ecuación:

L

hi

De la Figura 4.30, se obtienen las dimensiones de: L y las alturas de carga que corresponden a cada caso. Por lo cual, el gradiente hidráulico para cada uno de los suelos, será:


176

8.14.21

BA hh

i 2.18.1

2

CB hh

i 6.02.1

3

DC hh

i

Reemplazando los valores de: hA= 3.6 m. hD= 0 m. Se tendrá que:

6.0

6.31

Bhi

[14.3]

6.0

2CB hh

i

[14.4]

6.0

3Ch

i [14.5]

PASO 5 Solución del sistema de ecuaciones. Se han encontrado cinco ecuaciones que forman un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas, que son las ecuaciones: [14.1], [14.2], [14.3], [14.4] y [14.5]. Solucionando el sistema de ecuaciones, se tiene que:

i1= 0.95 i2= 1.26 i3= 3.78 hB = 3.03 m. hC = 2.27 m.

PASO 6 Gráfico de la variación de altura total de carga en función a la distancia. La variación de la altura total de carga con respecto a la distancia, se muestra en la Tabla 4.6. y Figura 4.31. Tabla 4.6. Variación de la altura total de carga

Distancia, mAltura total

de carga, m

3.6 3.6

2.4 3.6

2.8 3.03

1.2 2.27

0.6 0

0 0


177

Figura 4.31. Variación de la altura total de carga con la profundidad.

b) Dibujar en función de la profundidad, la altura piezométrica. PASO 1 Determinación de la altura piezométrica. Las alturas piezométricas para los diferentes puntos el sistema serán: hPA = hA – hzA hPB = hB – hzB hPC = hC – hzC hPD = hD – hzD

Reemplazando los valores de: hA= 3.6 m. hZA= 2.4 m. hB= 3.03 m. hZB= 1.8 m. hC= 2.27 m. hZC= 1.2 m. hD= 0 m. hZD= 0.6 m. Se tendrá que: hpA = 3.6 – 2.4 hpB = 3.03 – 1.8 hpC = 2.27 – 1.2 hpD = 0 – 0.6

Las alturas piezométricas serán:

hpA = 1.2 m. hpB = 1.23 m. hpC = 1.07 m. hpD = – 0.6 m. PASO 2 Gráfico de la variación de la altura piezométrica en función a la distancia. Con todos los valores obtenidos de las alturas piezométricas, puede trazarse la variación de la altura piezométrica con respecto a la profundidad. Esta variación se muestra en la Tabla 4.7 y en la Figura 4.32. Considere que los valores negativos expresan succión. Tabla 4.7. Variación de la altura piezométrica

3,6

3,6

3,6

3,03

2,27

0

0 0

0,6

1,2

1,8

2,4

3

3,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

Dis

tan

cia,

m

Altura total de carga, m


178

Distancia, mAltura

piezométrica, m

3.6 0

2.4 1.2

1.8 1.23

1.2 1.07

0.6 -0.6

0 0

Figura 4.32. Variación de la altura piezométrica con la profundidad

c) Variación de la velocidad de flujo en función de la distancia. PASO 1 Determinación de la velocidad de descarga. La velocidad de descarga será:

v = k·i· La velocidad de descarga, para los diferentes suelos será:

v1 = k1·i1 v2 = k2·i2 v3 = k3·i3 Reemplazando los valores de: i1= 0.95 i2= 1.26 i3= 3.78 k1 = 1 cm/s. k2 = 0.75 cm/s. k3 = 0.5 cm/s. Se tendrá que:

v1 = 1·0.95 v2 = 0.75·1.26 v3 = 0.5·3.78 Las velocidades de descarga serán:

0

1,2

1,23

1,07

-0,6 0

-4E-15

0,6

1,2

1,8

2,4

3

3,6

-0,6 -0,4 -0,2 -1E-15 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Dis

tan

cia,

m

Altura piezométrica, m


179

v1 = 0.95 cm/s v2 = 0.95 cm/s v3 = 1.89 cm/s

PASO 2 Determinación de la velocidad de flujo. La velocidad de flujo será:

n

vvs

Las velocidades de flujo, serán:

1

11

n

vvs

2

22

n

vvs

3

33

n

vvs

Reemplazando los valores de: v1 = 0.95 cm/s. v2 = 0.95 cm/s. v3 = 1.89 cm/s. n1 = 1/2 n2 = 1/2 n3 = 1/3 Se tendrá que:

2/1

95.01 Sv

2/1

95.02 Sv

3/1

89.13 Sv

Las velocidades de flujo serán:

vS1= 1.9 cm/s. vS2 = 1.9 cm/s. vS3 = 5.67 cm/s. PASO 3 Grafico de la variación de la velocidad de descarga en función a la distancia. Teniendo los valores de la velocidad de flujo para los tres tipos de suelo, puede graficarse la variación de esta en función a la distancia. Esta variación se muestra en la Tabla 4.8. y Figura 4.33. Tabla 4.8. Variación de la altura piezométrica

Distancia, mVelocidad de

flujo, cm/s

3.6 a 2.4 0.95

2.4 a 1.2 1.9

1.2 a 0.6 5.67

0.6 a 0 1.89


180

Figura 4.33. Variación de la velocidad de flujo con la profundidad

d) Caudal del sistema en l/s: El caudal que circula por el sistema, será:

q = k1·i1·A1 Reemplazando los valores de: k1 = 1x10-2 m/s. i1 = 0.95 A1 = 0.37 m2 Se tienen que:

q = 1x10-2·0.95·0.37 El caudal, será:

q = 3.51x10-3 m3/s. Expresado en l/s, será:

q = 3.51 l/s.

Comentario: Aunque el caudal es el mismo en cualquier punto del sistema, la velocidad de flujo variará cuando el área de la sección transversal sea diferente. Un gráfico ayuda a apreciar su variación.Tanto la altura de carga con la piezométrica varía a lo largo de un mismo suelo, mientras que la velocidad de flujo se mantiene constante a lo largo de un mismo suelo.

6.11. Flujo unidimensional en suelo anisotrópico.

Los suelos en su ambiente natural son anisotrópicos, lo que significa que las propiedades físicas del suelo no son las mismas en toda la masa de suelo, por lo tanto la conductividad hidráulica varía según a la dirección del flujo. El flujo de agua en el suelo puede tomar diversas direcciones, la Figura 4.36 muestra diferentes casos en que puede variar la dirección del flujo, este puede fluir en sentido horizontal, vertical o con una inclinación con respecto al plano horizontal con una componente vertical y horizontal.

0,95

0,95 1,9

1,9

1,9 5,67

5,67 1,89

1,89

-4E-15

0,6

1,2

1,8

2,4

3

3,6

0 1 2 3 4 5 6

Dis

tan

cia,

m

Velocidad de flujo, cm/s


181

Figura 4.36.Variación de la conductividad hidráulica según a la dirección del flujo. (a) Conductividad hidráulica horizontal. (b) Conductividad hidráulica vertical. (c) Componentes de la conductividad hidráulica.

6.12. Flujo unidimensional en suelo estratificado.

Un suelo estratificado puede contener diferentes tipos de suelo con conductividades hidráulicas diferentes en todo su perfil, como se muestra en la Figura 4.37. Cada estrato tiene un espesor y una conductividad hidráulica horizontal y vertical diferente según a la dirección del flujo de agua.

Figura 4.37. Conductividad hidráulica horizontal en suelo estratificado (Das, 1998).

El perfil de suelo de la Figura 4.37, contiene nestratos de suelo y un flujo de agua en sentido horizontal, donde H es la longitud total del perfil de suelo. Se considera una sección transversal de una unidad de longitud perpendicular a la dirección del flujo. El flujo total a través de la sección transversal en una unidad de tiempo puede escribirse como:

q = v·A Donde:

q = Cantidad total de flujo que pasa a través de una sección transversal de suelo. A = Área total de la sección transversal de suelo. v = Velocidad total del flujo de agua.

Esta última ecuación expresada en términos correspondientes al caso de la Figura 4.37 será: q = v·1·H [4.38]

kH kV

kH

kV

kH

kV

kH

kV

kH

kV

a) b) c)

H1

H

H

Hn

3

2

kV1

kH1

k

k

k

k

k

k

Vn

Hn

H3

V3

V2

H2

Dir

ecci

ón d

el f

lujo

H

(a) (b) (c)


182

Esta expresión podría escribirse como:

q = v1·1·H1 + v2·1·H2 + v3·1·H3 + … + vn·1·Hn Donde:

v1,v2,v3 = Velocidades de flujo para diferentes estratos. H1 ,H2 ,H3 = Espesores de los estratos.

Si kH1, kH2,kH3 ,kHn son las conductividades hidráulicas de los estratos individuales en la

dirección horizontal, y kHeq es la conductividad hidráulica equivalente en la dirección horizontal, entonces según la ley de Darcy podría escribirse que:

v = kHeq·ieq ;v1= kH1·i1 ; v2= kH2·i2 ; v3= kH3·i3 ; ... ; vn= kHn·in

Donde: ieq, = Gradiente hidráulico equivalente. i1 ,i2 ,i3 = Gradientes hidráulicos para cada estrato identificados con un subíndice.

Por lo tanto la ecuación [4.38] podría escribirse como:

q = kHeq·ieq·H [4.39]

Por otro lado la ecuación [4.38] podría escribirse como:

q = kH1·i1·H1 + kH2·i2·H2 + kH3·i3·H3 + … + kHn·in·Hn [4.40]

Se sabe también que:

ieq = i1 = i2 = i3 = ... = in

Por lo tanto la ecuación [4.40] puede escribirse:

q = ieq·(kH1·H1 + kH2·H2 + kH3·H3 + … + kHn·Hn)

Comparando la cantidad total de flujo q de la ecuación [4.39] con el de la ecuación [4.40] se tendrá:

kHeq·ieq·H = ieq·(kH1·H1 + kH2·H2 + kH3·H3 + … + kHn·Hn)

Entonces la conductividad hidráulica horizontal equivalente, que es representativa de todos los estrados de suelo será:

nHnHHHHeq HkHkHkHkH

k ...1

332211

Escrito de manera simplificada será:

i

ii

HeqH

Hkk [4.41]

Donde: kHeq = Conductividad hidráulica horizontal equivalente. ki = Conductividad hidráulica para cada estrato. Hi = Espesor de cada estrato.

La Figura 4.38 muestra n estratos de suelo con flujo en dirección vertical. Se han instalado

piezómetros en cada estrato, de tal manera que puede conocerse el gradiente hidráulico del perfil de suelo. Para este caso la velocidad de flujo a través de todos los estratos es la misma.


183

Por lo tanto la pérdida total de carga (h) es igual a la suma de las pérdidas de carga de todos los estratos, por lo que se escribe que:

h = h1 + h2 + h3+ …+ hn [4.42]

Por tanto: v = v1 = v2 = v3= ... = vn [4.43]

Empleando la ley de Darcy, la ecuación [4.43] puede escribirse:

nVnVVVVeq ikikikikik ...332211 [4.44]

Donde: kVeq = Conductividad hidráulica vertical equivalente. i = Gradiente hidráulico total de todo el perfil de suelo. kV1, kV2, kV3, ..., kVn = Conductividad hidráulica vertical de cada estrato. i1, i2, i3, ..., in = Gradiente hidráulico para cada estrato.

Figura 4.38. Conductividad hidráulica vertical en suelo estratificado (Das, 1998).

El gradiente hidráulico total i para el caso de la Figura 4.38 puede escribirse:

H

hi

Por lo tanto la ecuación [4.46] podría escribirse:

nVnVVVVeq ikikikikH

hk

...332211 [4.45]

kH1

kV1

kV2

kH2

kV3

kH3

kVn

kHn

Dirección del flujo

H1

H2

H3

Hn

H

h

h1

h2

h3


184

Cada estrato del perfil de suelo de la Figura 4.38 tiene una altura Hi y gradiente hidráulico ii diferente, por lo que la ecuación [4.45] podría escribirse:

h = H1·i1 + H2·i2 + H3·i3 + … + Hn·in [4.46]

Si se sustituye la ecuación [4.46] en la ecuación [4.45] se tiene que:

11332211 ...

ikH

iHiHiHiHk V

nnVeq

Por lo tanto la conductividad hidráulica equivalente vertical será:

nn

VVeq

iHiHiHiH

Hikk

...332211

11 [4.47]

Para cada estrato se tiene que:

vi= kVi·ii

Por lo cual:

Vi

ii

k

vi

Entonces, si se hacen estas sustituciones la ecuación [4.47] se tendrá que:

vn

nn

vvv

Veq

k

vH

k

vH

k

vH

k

vH

Hvk

...3

33

2

22

1

11

1 [4.48]

La ecuación [4.48] puede escribirse como:

vn

n

vvv

Veq

k

H

k

H

k

H

k

H

Hk

...3

3

2

2

1

1

[4.49]

Simplificando, la conductividad hidráulica vertical equivalente será:

i

i

i

Veq

k

H

Hk [4.50]

Donde: kVeq = Conductividad hidráulica vertical equivalente. ki = Conductividad hidráulica para cada estrato. Hi = Espesor de cada estrato.

7. Flujo en dos dimensiones. Es bastante predecible el comportamiento del flujo de agua cuando su movimiento es unidimensional, sin embargo cuando el flujo de agua se mueve en dos dimensiones como ser en un plano, el comportamiento se complica.

Hace ya algunas décadas atrás los proyectos de presas y otras estructuras de retención de agua hechas con suelo, se basaban casi exclusivamente en reglas empíricas que los constructores


185

se transmitían por tradición oral, se adoptaban las secciones de obras que anteriormente habían resistido satisfactoriamente el embate del tiempo y de las aguas, todo esto independientemente de la naturaleza de los materiales constituyentes y de las características del terreno de fundación (J. Badillo, 2000).

Gracias a la mecánica de suelos ya se puede tener una idea clara del comportamiento del agua en el suelo, bajo y a través de estructuras de retención.Las ideas anteriormente expuestas para el análisis del flujo unidimensional deben ser enfocadas de otra forma para el flujo en dos dimensiones. Generalmente en el suelo el flujo en dos dimensiones se presenta como:

Flujo confinado o cerrado. Flujo no confinado o abierto.

La Figura 4.39 muestra algunos ejemplos de flujo de agua en dos dimensiones.

Figura 4.39. Ejemplos de flujo de agua en dos dimensiones. (P. L. Berry & D. Reid, 1993) (a) Presa de concreto. (b) Ataguías. (c) Presa de tierra.

El flujo confinado por lo general es el que circula por debajo de muros de contención, presas de concreto, ataguías y otras estructuras tal como se muestra en la Figura 4.39a y b donde el flujo no está expuesto a la presión atmosférica. Sin embargo el caso del flujo no confinado que se muestra en la Figura 4.39c generalmente es a través de presas de tierra y estructuras similares donde existe una línea freática expuesta a la presión atmosférica.

7.1. Ecuación de Laplace.

En general, la Ley de Darcy no puede ser solucionada directamente para flujo en dos dimensiones porque tanto i como A varían en todo el régimen de flujo. Por lo cual el análisis es más complejo y se necesita incorporar una función matemática llamada: la ecuación de Laplace. (Coduto, 1999)

Figura 4.40. Flujo de agua expresado en campo vectorial. (a)Vectores de velocidad.(b) Componentes del vector de velocidad.


Ataguia


Presa de concreto

x

zy

zy

x

Presa de tierra

x

zy

(a) (b) (c)

(b)

VVz

z

x

(a)

y

xV


186

Figura 4.41. Fracción diferencial de suelo extraído del campo vectorial (Coduto, 1999).

En los tres casos de la Figura 4.39, el flujo de agua se mueve en las dimensiones del plano XZ. Si se transforma el movimiento del flujo de agua a un campo vectorial con vectores que representan la velocidad de descarga (v) del flujo como se ve en la Figura 4.40a, todos estos vectores de velocidad tendrían componentes en la dirección X y Z como se muestra en la Figura 4.40b. La Figura 4.41 muestra un elemento diferencial de suelo extraído del campo vectorial de la Figura 4.40a donde se lo ha situado en un eje cartesiano en un plano de coordenadas X y Z. Para comenzar el análisis se hacen algunas consideraciones de la fracción diferencial de suelo, se asume que:

La ley de Darcy es válida. El suelo está completamente saturado. El tamaño de la fracción de suelo se mantiene constante. El suelo es homogéneo e isotrópico.

En la fracción de suelo de la Figura 4.41 entran y salen las componentes vectoriales x y zde la velocidad de descarga del flujo.Si la ecuación de Darcy se expresa como: v = k·i, entonces las componentes de la velocidad en las direcciones de referencia son:

x

hkv xx

· [4.51]

z

hkv zz

· [4.52]

Donde: vx y vz son las velocidades en las direcciones x y z respectivamente. kx ykz son las respectivas conductividades hidráulicas.

xh y zh son las componentes del gradiente hidráulico.

El signo negativo indica que vx, vz son positivos en la dirección del flujo, es decir en la dirección en que disminuye la altura total de carga. Las ecuaciones[4.51] y[4.52] representan la ley de Darcy generalizada para el flujo en dos dimensiones. Se sabe que: La cantidad de flujo que entra y sale del elemento por unidad de tiempo = v·A.

De la fracción diferencial de suelo,se tiene que:

Cantidad de flujo que entra = L·(vx·dz+vz·dx)

z

xv zd

dx

v +x dz

vxx

zvv +z z dz

x

z


187

Cantidad de flujo que sale =

dxdz

z

vvdzdx

x

vvL z

zx

x

Donde L es la longitud del elemento en la dirección y que es perpendicular al plano XZ.

Para flujo estacionario, la ley de la conservación de la materia exige que la cantidad total del agua que sale del elemento por unidad de tiempo sea igual a la cantidad de agua que entra en el elemento por unidad de tiempo. Por lo cual se tiene que:

L·(vx·dz+vz·dx)=

dxdz

z

vvdzdx

x

vvL z

zx

x

Simplificando la expresión, se tiene que:

0

z

v

x

v zx [4.53]

A la ecuación [4.53] se la conoce como la ecuación de continuidad en dos dimensiones. En el análisis de la fracción de suelo de la Figura 4.41 se considera un estado estacionario, por lo cual esta fracción cumple dos condiciones importantes.

La primera es la condición de continuidad que se expresa en la ecuación [4.53]. La segunda condición es de la irrotacionalidad de flujo, por lo cual se cumple que:

0

z

v

x

v zx [4.54]

Flujo irrotacional significa que no hay ningún componente de la fracción de suelo que sea rotatorio.Al sustituir lasecuaciones[4.51] y [4.52] en la ecuación [4.53], se tiene que:

0

z

hk

zx

hk

xzx

Se tiene que:

02

2

2

2

z

hk

x

hk zx [4.55]

Debido a que no se producen cambios de volumen en el elemento de suelo y la conductividad hidráulicase supone constante por ser suelo isotrópico, la conductividad hidráulica es igual en todas las direcciones, siendo kx = kz. Por lo cual, la ecuación [4.55] será:

02

2

2

2

z

h

x

h [4.56]

La ecuación [4.56] es la ecuación que gobierna el flujo estacionario de aguas subterráneas en dos dimensiones, que se la conoce como la ecuación de Laplace en dos dimensiones en el domino x, z. Esta describe la perdida de energía asociada con el flujo a través del suelo. Al utilizarse adecuadamente la ecuación de Laplace, se puede conocer el comportamiento del flujo subterráneo en dos dimensiones y también esta puede ser acomodada para resolver problemas de flujo unidimensional.

Sólo en las condiciones de borde más sencillas pueden obtenerse soluciones rápidas de la ecuación de Laplace en dos dimensiones. Sin embargo, al aumentar el grado de dificultad de las condiciones de borde del problema también se incrementará la dificultad en resolver está ecuación, por lo cual es necesario entender la teoría de las variables complejas y las técnicas del


188

análisis conforme. Con la ayuda de computadoras pueden obtenerse soluciones numéricas utilizando la técnica de elementos finitos para problemas con condiciones de borde complejas y características de permeabilidad altamente variables (J. Badillo, 2000).

Conviene obtener con rapidez soluciones relativamente exactas para los problemas de flujo en dos dimensiones. Diversos investigadores han ideado algunos métodos alternativos para conocer el comportamiento y las características del flujo en dos dimensiones.

7.2. Redes de flujo.

Forchheimer (1911) y otros investigadores, plantearon que la solución general de la ecuación de Laplace está constituida por dos grupos de funciones, que son a su vez susceptibles de una interpretación geométrica muy útil. Por lo tanto, ambos grupos de funciones pueden representarse dentro de la zona de flujo en estudio como dos familias de curvas ortogonales entre si,ajustándose a las condiciones de borde del sistema.

Si (x, z) representa a la función potencial de una de las familias y (x, z) a la función de flujo de la otra familia, entonces la velocidad puede expresarse en función a estas dos familias de curvas, por lo que se tendrá que:

xvx

,

zvz

[4.57]

xvx

,

zvz

[4.58]

Al sustituir las ecuaciones [4.57] en la ecuación [4.53] y la ecuación [4.58] en la ecuación [4.53], se tendrá que:

02

2

2

2

zx [4.59]

02

2

2

2

zx [4.60]

Las ecuaciones [4.59] y [4.60] son las ecuaciones de Laplace en función a estas dos familias

de curvas y ellas gobiernan la distribución de flujo a través de la región (x, z). Si se logra determinar las funciones (x, z) y (x, z)de tal manera que satisfagan estas ecuaciones, entonces, ambas funciones sujetas a algunas condiciones de borde son útiles para determinar la distribución de las velocidades de descarga y las alturas totales de carga en toda la región de flujo.

Una solución que satisface estas ecuaciones de Laplace son las condiciones de borde de la función potencial y de flujo que plantea el sistema ;donde a lo largo de estas condiciones de borde se cumple que: d= 0 y d= 0. De la definición de diferenciación parcial, se tiene que:

dzz

dxx

d

[4.61]

dzz

dxx

d

[4.62]

Al sustituir las ecuaciones [4.57] en la ecuación [4.61] y las ecuaciones [4.58] en la ecuación

[4.62], donde yen esta condición de borde son constantes, se tendrá que:

d = vx·dx + vz·dz = 0


189

d = – vz·dx + vx·dz = 0

Despejando, los gradientes hidráulicos de estas curvas en estas condiciones de borde serán:

z

x

v

v

dx

dz [4.63]

x

z

v

v

dx

dz [4.64]

Donde: dxdz es la pendiente de la curva equipotencial y de flujo.

La relación zx vv representa la dirección del flujo.

El producto de estos dos gradientes es – 1, lo que significa que ambas familias de curvas son

ortogonales entre si. El gradiente de la ecuación [4.63] indica que la familia de curvas de la función potencial son perpendiculares a la dirección del flujo, mientras que el gradiente de la ecuación [4.64] indica que la familia de las curvas de la función de flujo son paralelas a la dirección de flujo.

Figura 4.42. Red de flujo isotrópica. (a) En un sistema no confinado. (b) En un sistema confinado.

Estas dos familias de curvas forman entre si una red, llamada red de flujo. Teniendo en cuenta la tendencia del movimiento del agua en el suelo, puede trazarse la forma que tiene esta red de flujo. En la Figura 4.42se muestra la forma de red de flujo isotrópica tanto en flujo confinado como en no confinado, donde las líneas de trazo segmentado representan las líneas equipotenciales (), mientras que las de trazo lleno son las líneas de flujo().

La red de flujo compuesta de estas dos familias de curvas es similar a los trazos de un mapa topográfico, excepto que es trazada en una sección vertical donde ambas familias de curvas tienen una interpretación física y geométrica. (Coduto, 1999)

7.2.1. Función potencial (x, z). Al reemplazar la ecuaciones[4.51] en las ecuaciones [4.52]a y b se tendrá que:

x

hk

xx

z

hk

zz

Si h = h(x, z) es la distribución de alturas totales de carga, entonces integrando estas

expresiones y ordenándolas, se tendrá que:

(a) (b)

Líneas equipotenciales.

Líneas de flujo.


190

= – k·h + c [4.65]

La ecuación [4.65] es la función potencial de velocidades que satisface la ecuación de Laplace, donde esta ecuación representa una infinidad de funciones según sea el valor de la constante c. Geométricamente la expresión:(x, z) = cte, puede representar a una familia de curvas que se desarrollan en la región plana donde ocurre el flujo, obteniéndose una curva específica de la familia para cada valor de la constante c que se tome.

Si una curva equipotencial une los puntos donde es constante, en esos puntos también h será constante. En otras palabras, en la curva = cte todos los puntos tendrán la misma altura total de carga. Estas curvas unen a través de la región plana donde ocurre el flujo a puntos de la misma altura total de carga. Por esta razón, estas curvas reciben el nombre de líneas equipotenciales.

7.2.2. Función de flujo (x, z).

La Figura 4.43muestrauna curva que representa la trayectoria del agua que pasa por un punto P(x, z), en dicho punto el agua posee una velocidad v, que naturalmente será tangente a la trayectoria.

Figura 4.43. Curva que representa la trayectoria del agua (J. Badillo, 2000).

A lo largo de la curva se tiene que:

dx

dz

v

v

x

z θtan

Reordenando:

vz·dx – vx·dz = 0

Si se sustituyen las ecuaciones [4.58] en esta expresión, se tendrá que:

0

dz

zdx

x

Esta última expresión es precisamente la diferencial total de la función , lo que significa que

en toda la trayectoria que sigue el agua se cumple que:

d= 0

z

x

v

vx

zv

Trayectoria

del agua

P


191

Entonces:

= cte. [4.66]

La ecuación [4.66] describe la trayectoria de las líneas de flujo que satisfacen a la ecuación de Laplace; esto quiere decir que la familia de curvas = cte, está constituida precisamente por las trayectorias físicas y reales del agua a través de la región de flujo. Por esta razón las curvas = cte se denominan líneas de flujo.

7.2.3. Cantidad de flujo que pasa a través de un canal de flujo.

A la región de flujo comprendida entre dos líneas de flujo se lo llama canal de flujo, que es por donde circula el flujo de agua. A la región de flujo comprendida entre dos líneas equipotenciales se lo llama caída equipotencial. Por ejemplo, la red de flujo que se muestra en la Figura 4.42a tiene 4 canales de flujo y 8 caídas equipotenciales, mientras que la red de la Figura 4.42b tiene 5 canales de flujo y 9 caídas equipotenciales.

Figura 4.44. Cantidad de flujo entre dos líneas de flujo (Atkinson & Bransby, 1978).

El canal de flujo de la Figura 4.44 tiene las líneas de flujo: = 0 y = 0 + , donde la cantidad de flujo que circula por este canal es Δq. La cantidad de flujo dq que pasa a través del pequeño elemento triangular de la Figura 4.44, es:

dq = vx·dz – vz·dx [4.67]

Sustituyendo la ecuación [4.58] en esta expresión, se tiene que:

dzz

dxx

dq

Si se sustituye la ecuación [4.62] en esta expresión se tendrá que:

dq = d [4.68]

Si se integra la ecuación [4.68] entre las dos líneas de flujo, se tendrá que:

0

0

dq

dq

vz q

vx

0

0

z

x

dx

dzds


192

Por lo cual:

q = [4.69) La Figura 4.45 muestra un elemento de una red de flujo constituida de dos líneas de flujo y

dos líneas equipotenciales. En promedio, la distancia entre las líneas de flujo es b y la distancia entre las líneas equipotenciales es s.

Figura 4.45. Cantidad de flujo en una porción de la red (Atkinson & Bransby, 1978).

La velocidad de descarga según la ley de Darcy, se expresa:

v = k·i

Según la Figura 4.45, la velocidad de descarga y el gradiente hidráulico, pueden expresarse:

bqv shi

Si se sustituyen estas expresiones en la ley de Darcy, se tendrá que:

shkbq [4.70]

Para un canal de flujo, la ecuación [4.65] puede expresarse como:

= – k·h [4.71)

Finalmente, sustituyendo la ecuación [4.71] en la ecuación [4.70] se tendrá que:

s

bq

[4.72)

Los valores de b y sde la ecuación [4.72], son obtenidos de la simple geometría de la red

de flujo. Si se construye una red de flujo con la condición de b = s, el elemento de la red de flujo

z

x

q

q

sb


193

de la Figura 4.45 tendría la forma de un cuadrado, por lo que la ecuación [4.72] se simplificaría bastante y se cumpliría que:

q = = [4.73]

Debido a que las líneas equipotenciales y de flujo tienen forma curvilínea, los elementos de una red de flujo cuadrada son de igual longitud y ancho pero de tamaño variable, donde la intersección de sus lados siempre debe ser ortogonal. En la Figura 4.46, se muestra que para verificar si una red de flujo es cuadrada, deben poderse inscribir círculos en todos los elementos de la red.

Figura 4.46. Red de flujo cuadrada. (Atkinson & Bransby, 1978).

La Figura 4.47 muestra una red de flujo compuesta de una cantidad NF de canales de flujo y Nd caídas equipotenciales. Las líneas de flujo están separadas a una distancia y las caídas equipotenciales a una distancia .

La primera línea de flujo es 0, por lo tanto la última será: 0 + NF·. La primera línea equipotencial es 0 y la última será: 0 + Nd·. En cada línea equipotencial se ha instalado un piezómetro que registra una cierta elevación de agua, la variación de la altura total de carga (h) entre dos líneas equipotenciales adyacentes debe ser la misma que en las demás, por lo que la variación total de la altura total de carga (H) a través de toda la red de flujo cuadrada será:

H = Nd·h [4.74]

La variación de la altura total de carga se expresa como:

H = h2 – h1 [4.75] Donde:

h1 = La altura de carga inicial del sistema. h2 = La altura de carga final del sistema.

La cantidad total de flujo q que pasa a través la red de flujo por unidad de tiempo, es la suma de la cantidad de flujo que pasa por todos los canales de flujo, que será:

q = NF·q

z

x


194

Figura 4.47. Cantidad de flujo en la red de flujo cuadrada. (Atkinson & Bransby, 1978)

Según la ecuación [4.73], esta expresión puede escribirse como:

q = NF·

O también:

q = NF·

Esta última expresión puede ser escrita de la siguiente manera:

d

dF

N

NNq [4.76]

Con la misma idea, la ecuación [4.71] puede ser escrita de la siguiente manera:

Nd· = – k·h·Nd

Si se sustituye la ecuación[4.74] en esta última expresión, se tendrá que:

Nd· = – k·H

Si se sustituye la expresión: Nd· de estaecuación en la ecuación [4.76], se tendrá que:

HN

Nkq

d

F

Si se sustituye la ecuación [4.75]en estA expresión y se reordena, se tendrá que:

h

h

h

N ·hd

q = N ·qF

0

0N ·d

0

FN ·0


195

21 hhN

Nkq

d

F [4.77]

Donde: q = Caudal total de la red de flujo cuadrada. k = Conductividad hidráulica. h1 = La altura de carga inicial del sistema. h2 = La altura de carga final del sistema. NF= Cantidad total de canales de flujo. Nd= Cantidad total de caídas equipotenciales.

7.2.4. Condiciones de borde.

La forma de la red de flujo depende de la geometría y de las condiciones de borde del sistema. Los bordes permeables permiten el paso del flujo de agua y determinan las condiciones de borde para la función potencial, mientras que los bordes impermeables no permiten el paso de flujo y estos definen las condiciones de borde de la función de flujo.

La Figura 4.48a muestra las condiciones de borde de un caso común en flujo confinado de una presa de concreto, los segmentos en trazo segmentado compuestos por los puntos AB y EF son los bordes permeables por donde entra y sale respectivamente el flujo de agua, estas serán las condiciones de borde inicial y final de la función potencial. Los contornos compuestos por los puntos BCDE y GH son los bordes impermeables por donde no circula agua, estos serán las condiciones de borde inicial (BCDE) y final (EF) de la función de flujo. En la Figura 4.48b, se muestra un caso común de flujo no confinado de una presa de tierra. Las condiciones de borde inicial AB y final CD de la función potencial se muestran en trazo segmentado y estos permiten el flujo de agua, mientras que las condiciones de borde inicial BC que es la línea freática y final AD de la función de flujo no permiten el paso de flujo. Muchas veces en presas de tierra se instalan filtros que ocasionan una variación significativa de la línea freática. Al presentarse estas condiciones especiales, debe tenerse cuidado en establecer correctamente las condiciones de borde inicial y final de las dos funciones, en especial de la función potencial.

En la Figura 4.48c, se muestra un filtro de pie que ha ocasionado una variación significativa en la línea freática. Para la función potencial, las condiciones de borde inicial AB y final CD en parte del filtro de pie, se muestran en trazo segmentado y estos permiten el flujo de agua, mientras que las condiciones de borde inicial BD que es la línea freática y final AC corresponden a la función de flujo y no permiten el paso de flujo.

7.2.1. Construcción de la línea freática en presas de tierra.

La línea freática no es una sola curva, sino que está compuesta de tres diferentes partes. Casagrande (1937), sugirió que una base para dibujar la línea freática es construir una parábola básica y efectuar modificaciones a esta en los bordes de entrada y salida. Para el sistema dela Figura 4.49, se ha dibujado la línea freática en base a una parábola básica dibujada en trazo segmentado, donde se han realizado las correcciones en el borde de entrada y de salida.

La parábola básica empieza en el punto A y termina en el punto F, en el punto B es donde comienza la línea freática debido a la corrección en el tramo BB1efectuada en el borde de entrada, el tramo B1B2 coincide con la parábola básica, pero en el tramoJB2 se efectúa una corrección debido al borde de salida para así terminar la línea freática en el punto J. Se observa claramente que la línea freática dibujada en trazo lleno está compuesta por tres curvas, pero que tiene como base indispensable la parábola básica. Casagrande elaboró un método práctico para dibujar esta parábola básica, que se muestra en la Figura 4.50.


196

Figura 4.48. Condiciones de borde. (a) Presa impermeable de concreto en flujo confinado. (b) Permeable de tierra en flujo confinado. (c) Presa permeable de tierra con filtro de pie.

Figura 4.49. Línea freática de una presa de tierra (U.S. Engineers Corps, 1986).

A

B

C

D

Borde de entrada

Borde de salida

Líneafreática

(a)

(b)

Bordes impermeables

Bordes impermeables

B

(c)

entradaBorde de

A

Línea

salida

C

freática

D

Borde de

A

B

C D

EF

Presa de concreto

Borde de

entrada

Borde de

salidaBordes

impermeables

G H

2

A B

B

B

J

D F

1

Borde de

entradaBorde de

salidaSuperficie

freática


197

Figura 4.50. Construcción de la parábola básica. (a) Determinación de los valores de y0 y d. (b) Trazado de la parábola básica AF.

En la Figura 4.50a, el punto B está ubicado en la intersección de la superficie de agua con el borde de entrada de la presa, el valor de m es la distancia de la proyección del segmento BO. El primer paso es ubicar el punto A, que está a una distancia 0.3·m del punto B. Luego, se traza una recta vertical que descienda del punto A hasta la superficie del terreno. Con centro en el punto D, se traza un arco que empieza en el punto A y corta a la superficie del terreno en un punto que será E, la distancia entre el punto E y la recta vertical será conocida como y0, también se conocerá como d a la distancia de la recta vertical al punto D. Se ubica entonces el punto F que estará a una distancia y0/2 del punto D, que por el cual se trazará el segmento vertical FG que se interceptará con el segmento horizontal AG que es una proyección. En la Figura 4.50b, se observa que el segmento AG ha sido dividido en segmentos de igual magnitud, donde los puntos entre segmentos ha sido enumerados de derecha a izquierda, mientras que el segmento FG es dividido también en la misma cantidad de partes que el segmento AG y también es enumerado de forma ascendente. Entonces se trazan líneas del punto F a cada punto enumerado del segmento AG y también líneas horizontales de cada punto enumerado del segmento FG hasta que intercepten en el segmento FA. Finalmente se ubican los puntos por donde pasará la parábola básica, que son las intersecciones de estas últimas líneas trazadas de mismo número de punto. La Figura 4.50b, muestra la parábola básica AF en trazo segmentado. Sin embargo antes de dibujar la parábola básica, conviene intuir la forma de la línea freática según a las condiciones en los bordes de entrada y salida del sistema.

7.2.2. Correcciones de la parábola básica en presas de tierra. En la Figura 4.51, se muestran las tres correcciones más comunes que se hacen a la parábola básica en el borde de entrada.

Se define como el ángulo de inclinación del borde de entrada con respecto a la horizontal.

Cuando < 90º, en la Figura 4.51a se observa que se traza una recta perpendicular al borde de entrada ubicada justo en el punto superior de contacto entre el espejo de agua y el borde de entrada de la presa, denominado con la letra B. Esta recta perpendicular cortará a la parábola básica en un punto,

h

m

0.3·m

A

y0

2

F

G

h

A G1234B

1

2

3

4

y0

DE

d

O

B

b)

a)

F

0

(a)

(b)


198

la corrección se realiza trazando un arco desde el punto B hasta la intersección de la recta perpendicular con la parábola básica, de tal manera que este arco sea tangente al resto de la parábola básica. La Figura 4.51a muestra esta corrección en trazo lleno.

Cuando 90º, en la Figura 4.51b y c, se observa que generalmente esta condición se debe a la presencia de un filtro en el borde de entrada. Debido su alta permeabilidad este filtro permite el ingreso de agua sin ninguna alteración, manteniendo el nivel freático constante. Entonces debe proyectarse horizontalmente la superficie de agua hasta el punto B donde se encuentra el material más fino de la presa, luego debe trazarse un arco del punto B a la parábola básica, de tal manera que este sea tangente al resto de la parábola básica. La Figura 4.51b y c muestra esta corrección en trazo lleno.

Figura 4.51. Corrección en el borde de entrada para la parábola básica (Whitlow, 1994). (a) Para < 90º. (b) Para = 90º. (c) Para > 90º.

En la Figura 4.52, se presenta a las cuatro correcciones más comunes de la parábola básica en el borde de salida, donde se define a como al ángulo de inclinación del borde de salida con respecto a la horizontal.

Cuando = 180º, la Figura 4.52a muestra que generalmente se debe a un filtro al pie de la presa que se extiende horizontalmente. En este caso, debe ubicarse una nueva recta vertical y trazarse con esta la parábola básica. Esta recta vertical, está ubicada a una distancia 20y del punto K que es donde empieza el

filtro, la parábola básica es dibujada con el mismo procedimiento anteriormente descrito, entonces ya no se realizará ninguna otra corrección en el borde de salida. La corrección se muestra en trazo lleno en la Figura 4.52a.

Cuando > 90º, en la Figura 4.52b se muestra que la corrección consiste en ubicar la recta vertical a una distancia a + a del punto F, que es la punta inferior del filtro. La parábola básica se dibuja con esta nueva recta vertical, luego se modifica está en el borde de salida de tal manera que termine esta a una distancia a del punto K. La corrección se muestra con trazo lleno en la Figura 4.51b.

Cuando = 90º, la Figura 4.52c muestra que generalmente se debe a un filtro al pie con la cara de contacto vertical. La corrección consiste en ubicar la recta vertical justo en la cara vertical de contacto del filtro, entonces la parábola básica que se dibuja en base a esta recta vertical no sufre ninguna modificación en el borde de salida. La corrección se muestra con trazo lleno en la Figura 4.52c.

90º =

Proyección

Proyección

Filtro

90º>

BB

B

Línea freática

Línea freática

(b)

(c)

Perpendicular(a)

90º <

Línea freática

90º

Filtro


199

Cuando < 90º, la Figura 4.52d muestra que el flujo atraviesa la presa de tierra. La parábola básica corta el borde de salida de la presa en el punto K, a una distancia a se ubica el punto J que es donde terminará la línea freática. La idea de esta corrección, es modificar levemente el borde de salida de la parábola básica de tal manera que termine en el punto J. Al borde limitado por JF se lo conoce como la cara de descarga. La corrección se muestra con trazo lleno en la Figura 4.52d.

No es indispensable ser demasiado precisos al realizar estas correcciones en los bordes de

entrada y salida de la línea freática, en todos los casos se necesita simplemente tener el criterio correcto y realizar un trazo apropiado, que refleje que satisface las condiciones del sistema.

Figura 4.52. Corrección en el borde de salida para la parábola básica (Whitlow, 1994). (a) Para = 180º. (b) Para > 90º. (c) Para = 90º. (d) Para < 90º.

En el anexo de este capítulo se presenta el artículo original.

7.2.3. Determinación de los valores de a y apara presas de tierra.

Los valores de a y a, son obtenidos en función al valor del ángulo del borde de salida. Generalmente estos valores son obtenidos de manera gráfica.

Para 30º, Schaffernak y Van Iterson sugirieron un método grafico para determinar el valor de a, que se muestra en la Figura 4.54a. El borde de salida de la presa, debe proyectarse hasta que las proyecciones horizontal y vertical del punto A formen en esta proyección los puntos 1 y 2. Luego, se traza el semicírculo con diámetro 1-D. Con un radio 2-D y centro en D, se traza el arco 2-3 que posesiona al punto 3 sobre el semicírculo. Con centro en 1 y radio 1-3 se traza el arco 3-4, que sitúa al punto 4 sobre el borde de salida. La distancia D-4, corresponde al valor de a.

Para 30º<< 60º, Leo Casagrande propuso una solución gráfica que se muestra en la Figura 4.54b. A partir del punto conocido de A puede trazarse una horizontal que define el punto 1. Con centro en 1 y radio A-1 se traza un arco y se define el punto 2. Con diámetro D-2, se traza el semicírculo. Con centro en D y radio D-1, se traza el arco que define el punto 3 sobre el semicírculo

F

filtro de pie J

K

a

Parábolabásica a

a

filtro de pie

básicaParábola

a + a

a0

K

Recta vertical Recta vertical

Recta vertical

Recta vertical

Línea freática

Línea freática Línea freática

filtro de pie

(b)

(c) (d)

Parabola básicasin corrección

J

básicaParábola

(a)

= 180º

Línea freática

K

= 90º

J

F

a


200

mencionado. Finalmente, se traza un arco de centro en 2 y radio 2-3 donde se ubica al punto 4, donde la distancia D-4 corresponde al valor de a.

o Para 60º << 180º, Albert Casagrande desarrolló un ábaco que se muestra en la Figura 4.53de gran utilidad, para todos los casos de comprendidos entre 60º y 180º. Con un valor de , se ingresa al ábaco y se determina el valor de c, conociendo el valor de a + a que es la distancia FK en la Figura 4.52.El New England Waterworks Association, sugiere que para valores de comprendidos entre 30º y 60º, la expansión de la curva en trazo segmentado de la Figura 4.53presenta resultados con hasta un 25% de error con respecto a los dos anteriores métodos. Por lo tanto estos valores han de usarse simplemente como una buena aproximación para el valor de a.

Figura 4.53. Ábaco para determinar a (New England Waterworks Association, 1937).

Figura 4.54. Determinación gráfica del valor de a.

(a) Método de Schaffernak & Van Iterson. (b) Método de L. Casagrande.

= Inclinación del borde de salida.30º 60º 90º 120º 150º 180º

0.4

0.3

0.2

0.1

0

Car

a ver

tica

l

Pendiente obtusa

aa

+

aC

=

D

0.3·m

A

1

2

3

4

a

A

D

1

2

3

4

0.3·m

a

(a)

(b)


201


202


203


204


205


206


207

Ejemplo 4.10 La presa de tierra mostrada en la Figura 4.60 tiene un filtro de pie en el borde de entrada compuesto de un material bastante permeable. Estudios anteriores demostraron que la conductividad hidráulica de la presa de tierra es k = 1.65x10-5 cm/s.

Se pide:

a) Trazar la línea freática de la presa.

b) Determinar el caudal que circula a través de la presa de tierra.

Figura 4.60. Presa de tierra con filtro de pie

Estrategia: La línea freática es trazada de acuerdo a las instrucciones en la parte de “Construcción de la línea freática en presas de tierra” en el libro guía de fundamentos de mecánica de suelos. a) Trazar la línea freática de la presa.

PASO 1 Determinar la magnitud y0.

Figura 4.61. Determinación del valor de y0

De la Figura se tiene que:

y0 = 2.34 m

PASO 2 Trazar la parábola básica.

Figura 4.62. Trazo de la parábola básica

22

.58

55.0041.36

18

.31

35º35º

G

F

1.17

2.34

E

D

BA

26.15

7.84

22.5

8

68.89

18.3

1

35º35º

G

F

E

35º


208

PASO 3 Realizar las correcciones en los bordes de entrada y salida.

Figura 4.63. Correcciones en los bordes de entrada y salida

Para un valor de= 35º, del ábaco de la Figura 4.53 se tiene que C = 0.5, por lo tanto:

0.35a

a a

[1]

De la Figura se sabe que:

a + a = 13.09 [2]

Reemplazando la ecuación [2] en la ecuación [1] y despejando el valor de a, se tendrá que: a = 0.35·13.09 a = 4.58 m

De la ecuación [2] el valor de a será:

a = 13.09 – 4.58 a = 8.51 m

PASO 4 Dibujar la línea freática.

Figura 4.64. Trazo de la línea freática

b) Determinar el caudal que circula a través de la presa de tierra. Con un valor de: k = 1.65x10-7 m/s (transformado a m/s) se utiliza la siguiente ecuación:

q =k .a .sin2 .

Por lo tanto:

q = 1.65x10-7·8.5·sin2 35 q = 4.61x10-7 m3/s

4.58

13.09

E

35º

35º


209

Ejemplo 4.11 La presa de tierra mostrada en la Figura 4.65 tiene un filtro de pie en el borde de entrada compuesto de un material bastante permeable. Estudios anteriores demostraron que la conductividad hidráulica de la presa de tierra es k = 2.73x10-5 cm/s. Se pide:

a) Trazar la línea freática de la presa.

b) Determinar el caudal que circula a través de la presa de tierra.

Figura 4.65. Presa de tierra sin filtro de pie.

a) Trazar la línea freática de la presa. PASO 1 Determinar la magnitud y0.



y0 = 1.03 m




70.57

24.75

10.51

23°23°

O F

G

7.42

0.521.03

D

E

BA

53.24

24.75

10.51

23°23°

O F

G

D

E

A

23°23°


210



d = 53.24 m h = 10.51 m

De la ecuación [D.36] se tiene que:

2 2

2 2

53.24 10.5153.24

cos23 cos 23 sin 23a

a = 6.63 m


a + a = 12.42

Reemplazando el valor de a se tiene que:

a = 12.42 – 6.63 a = 5.78 m

De la ecuación [2] el valor de a será:

a = 13.09 – 4.58 a = 8.51 m



b) Determinar el caudal que circula a través de la presa de tierra. De la siguiente ecuación :

q = k .a .sin2 . Se tiene que:

q = 2.73x107.8.51. sin 223 q = 3.54x10-7 m3/s

6.63

12.42

O FD

E

A

23°

O FD

E

A

23°


211

Ejemplo 4.12

La presa de tierra mostrada en la Figura 4.70 tiene un filtro de pie en el borde de entrada compuesto de un material bastante permeable.


Estudios anteriores demostraron que la conductividad hidráulica de la presa de tierra es k = 2.73x10-5 cm/s. Determinar la línea freática en el cuerpo de la presa y el caudal que circula. PASO 1 Determinar la magnitud y0.



y0 = 0.57 m





70.97

9.1515.63

20.85

8.01

21°

F

G

0.290.57

D

A

B

E

6.25

40.73

20.85

8.01

21°

F

G

D

A

21°

F

A

21°


212



Determinar el caudal que circula a través de la presa de tierra (Red de flujo)

Nf = 3 Nd = 14 Δh = 8,01

𝑄 = 𝑘. ∆ℎ.𝑁𝑓

𝑁𝑑

𝑄 = 2,73𝑥10−5. 8,01.3

14= 4,68𝑥10−7 𝑚3/𝑠

Ejemplo 4.13 La presa de tierra mostrada en la Figura 4.75 tiene un filtro de pie en el borde de entrada compuesto de un material bastante permeable.


La conductividad hidráulica de la presa de tierra es k = 2.73x10-5 cm/s. PASO 1 Determinar la magnitud y0.


21°

29.0720.93 17.71

19.52

43°43°

53.02

G

F

1.743.48

E D

A B

0.03

19.52

43°43°


213


y0 = 3.48 m PASO 2 Trazar la parábola básica.




Para un valor de = 43º, del ábaco de la Figura D.13 se tiene que C = 0.26, por lo tanto:

0.26a

a a

[35.1]


a + a = 12.81 [35.2]

Reemplazando la ecuación [35.2] en la ecuación [35.1] y despejando el valor de a, se tendrá que:

a = 12.81·0.26

a = 3.33 m

De la ecuación [35.2] el valor de a será:

a = 12.81 – 3.33 = 9.47 m


G

F

A

43°43°

43°43°

12.81


214


a) Determinar el caudal que circula a través de la presa de tierra. Con un valor de: k = 2.73x10-7 m/s (transformado a m/s) se utiliza la siguiente ecuación:

q =k .a .sin2 .

Por lo tanto: q = 2.73x10-7·9.47·1

q = 2.58x10-6 m3/s

Ejemplo 4.14 La presa de tierra mostrada en la Figura 4.80 tiene un filtro de pie en el borde de entrada compuesto de un material bastante permeable. Estudios anteriores demostraron que la conductividad hidráulica de la presa de tierra es k = 2.73x10-5 cm/s.

Figura 4.80. Sistema de flujo con ataguía

PASO 1 Determinar la magnitud y0.


43°43°

23.4466.23

19.93

32°

122°

G

E

1.322.65

A D

B

A

E

9.56

31.89

67.37

19.93

32°

122°


215


y0 = 2.65 m





Para un valor de = 122º, del ábaco de la Figura D.13 se tiene que C = 0.17, por lo tanto:

0.17a

a a

[36.1]


a + a = 12.02 [36.2]

que: a = 0.17·12.02 a = 2.04 m

De la ecuación [36.2] el valor de a será:

a = 12.02 – 2.04 a = 9.97 m


G

ED

A

19.93

32°

122°

2.04

12.02

ED

A

19.93

32°


216


a) Determinar el caudal que circula a través de la presa de tierra. Para un valor de: k = 2.73x10-7 m/s (transformado a m/s) se tiene :

q = 2.73x10-7·9.97·sin2 122 q = 1.95x10-6 m3/s

7.2.4. Construcción de la red de flujo cuadrada.

Las redes de flujo son uno de los métodos más usados y aceptados para solucionar la ecuación de Laplace. Sin embargo, antes de trazar esta red deben tenerse claro ciertos detalles:

El dibujo de la sección transversal de la zona de flujo, debe estar claro y tiene que estar a una escala horizontal y vertical igual.

La superficie libre de agua y las condiciones de borde iniciales y finales para las funciones y del sistema deben estar identificadas y ser geométricamente conocidas, además de otros datos pertinentes.

El suelo ha de ser homogéneo e isotrópico. (Caso contrario, véase la sección de anisotropía en dos dimensiones de este capítulo)

En la Figura 4.55, se muestran dos sistemas de flujo en dos dimensiones en los cuales se desea dibujar la red de flujo. Las dos secciones transversales de flujo están claramente trazadas y tiene una misma escala vertical y horizontal adecuada. Las condiciones de borde inicial y final de la función potencial están identificadas con trazo segmentado, mientras que las condiciones de borde inicial y final de la función de flujo están resaltadas en trazo lleno.

Se elige un número entero del número de canales de flujo (NF), Casagrande recomienda que en muchos casos solo bastan entre 4 y 6 canales de flujo. La primera línea de flujo, será la condición de borde inicial de la función de flujo y la última línea será la condición de borde final de esta función. Entonces, se procede a dibujar líneas de flujo intermedias de tal manera que estén bien distribuidas en toda la región de flujo. En la Figura 4.56, se observa que la forma de estas líneas tiende de la condición de borde inicial a la final.

Si el número de canales de flujo toma un valor mayor al sugerido, se tiene como resultado una red de flujo más precisa, pero requiere un mayor esfuerzo ajustarla adecuadamente. Una vez dibujadas las líneas de flujo, se dibujan las líneas equipotenciales. La primera línea equipotencial, será la condición de borde inicial de la función potencial y la última será la condición final de esta función.

En la Figura 4.57, se muestran las líneas equipotenciales en trazo segmentado, se observa también que la forma de estas líneas tiende de la condición de borde inicial a la final. Las líneas equipotenciales deben cortar a las líneas de flujo en ángulos rectos y tratar de formar en lo posible elementos cuadrados.

Debido a que los valores de: b y s de la ecuación [4.72] deben ser iguales, para dar validez a la ecuación [4.77] y poder determinar el caudal que circula en la red de flujo.

122°32°


217

Figura 4.55. Construcción de la red de flujo cuadrada. Condiciones de borde. (a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie.

Figura 4.56. Construcción de la red de flujo cuadrada. Ubicación de las líneas de flujo. (a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie.

Línea freática

Filtro de pie

Presa de concreto

Ataguía

(a)

(b)

Línea freática

Filtro de pie

Presa de concreto

Ataguía

(a)

(b)


218

Figura 4.57. Construcción de la red de flujo cuadrada. Líneas equipotenciales. (a) Presa de concreto con ataguía. (b) Presa de tierra con filtro de pie.

El dibujar la red de flujo en un método de ensayo y error, en ocasiones hace falta mas de un intento dibujar una red de flujo apropiada. Debe tenerse en cuenta que es muy improbable conseguir que absolutamente todos los elementos de la red sean cuadrados, especialmente en las condiciones de borde iniciales y finales del sistema. Sin embargo, el área sobrante de un elemento compensará al área faltante de otro. Para que una red de flujo se considere como apropiada, debe cumplir ciertas reglas básicas:

Las líneas de flujo no deben interceptarse. Las líneas equipotenciales nunca deben interceptarse. Las líneas de flujo y equipotenciales deben interceptarse siempre en ángulos

rectos. Los elementos de la red de flujo en lo más posible deben ser cuadrados. Ambas familias de líneas tienen que tener una curvatura suave.

En la Figura 4.58, se muestran algunos ejemplos de redes de flujo en sistemas de flujo en dos

dimensiones.

Ejemplo 4.15 En la Figura 4.45 se muestra un sistema de flujo en dos dimensiones compuesto de un ataguía en un perfil de suelo con una conductividad hidráulica de 2.32x10-4 cm/s.

Se pide:

a) Dibujar la red de flujo cuadrada del sistema.

b) Determinar el caudal que circula por el sistema.

c) La presión de poros en los puntos A y B.

Línea freática

Filtro de pie

Presa de concreto

Ataguía

(a)

(b)


219

Figura 4.45. Sistema de flujo con ataguía

Estrategia: La red de flujo se traza en base al procedimiento y las recomendaciones de la sección “Construcción de la red de flujo cuadrada” existente en el capítulo 4 del libro guía (Fundamentos de mecánica de suelos). Teniendo definida la red de flujo, con la ecuación [D.35] se determina el caudal, finalmente con la ecuación [D.59], [D.60] y [D.61] se determina la presión de poros en los puntos A y B. a) Dibujar la red de flujo cuadrada del sistema.

PASO 1 Identificación de las condiciones de borde del sistema. En primer lugar se identifican los bordes de entrada, salida y los impermeables, mostrados en trazo lleno en la Figura 4.46.

Figura 4.46. Bordes permeables e impermeables

PASO 2 Ubicación de las líneas de flujo. Se trazan las líneas de flujo de tal forma que estén bien distribuidas en todo el perfil como muestra la Figura 4.47.

Figura 4.47. Líneas de flujo

15.5 m

Impermeable

3.7 m

8.4 m

5 m

A

B

Impermeable

Impermeable

Borde de entrada Borde de salida

Impermeable


220

Figura 4.58. Ejemplos de redes de flujo cuadradas (J. Badillo, 2000). (a) Ataguía. (b) Presa de tierra. (c) Presa de concreto con mensuras.

(a)

Impermeable

(b)

(c)


221

.PASO 3 Ubicación de las líneas equipotenciales. Se trazan las líneas equipotenciales de tal forma que corten a las líneas de flujo formando con ellas cuadrados curvilíneos como muestra la Figura 4.48.

Figura 4.48. Líneas equipotenciales y de flujo.

b) Determinar el caudal que circula por el sistema. PASO 1 Determinación de la altura total de carga del sistema.

H = 15.5 – 5 H = 10.5 m

PASO 2 Determinación del caudal. Con los valores de:

k = 2.32x10-6 cm/s (convertido a m/s) H = 10.5 m NF = 4 Nd = 7

Se tiene que:

6 42.32x10 10.5

7q

q = 1.39x10-5 m3/s

c) La presión de poros en los puntos A y B. PASO 1 Determinación de la pérdida de carga en cada punto. Para el punto A se tendrá que:

H = 10.5 m Nd = 7

Impermeable


222

ndA = 3.5

La pérdida de carga será:

ℎ𝑎 = 10.5

73.5

hA = 5.25 m

De igual forma para el punto B se tendrá que:

hB = 5.25 m

PASO 2 Determinación de la presión de poros en cada punto. Para el punto A se tendrá que:

h1 = 8.4 + 3.7 + 15.5 = 27.6 m hzA = 8.4 m hA = 5.25 m

La altura piezométrica en el punto A será:

hpA = 27.6 – 8.4 – 5.25 hpA = 13.95 m

La presión de poros en el punto A será:

uA = 13.95·9.81

uA = 136.84 KPa

Para el punto B se tendrá que:

h1 = 8.4 + 3.7 + 15.5 = 27.6 m hzB = 0 m hB = 5.25 m


hpA = 27.6 – 5.25

hpA = 22.35 m

La presión de poros en el punto B será:

uB = 22.35·9.81

uB = 219.25 KPa

Comentario: Los puntos A y B se encuentran en una misma línea vertical, por lo que el valor de hi es el mismo para ambos, pero tienen diferente altura potencial lo que los hace distintos.

Ejemplo 4.16 En la Figura 4.49 se muestra una obra hidráulica construida en un suelo que tiene una conductividad hidráulica de 1.07x10-6 cm/s.

Se pide:


223

a) Dibujar la red de flujo cuadrada del sistema.

b) Determinar el caudal que circula por el sistema.

c) La presión de poros en los puntos A, B y C.

Estrategia:Con la misma idea que en el problema 2 se construye la red de flujo cuadrada del sistema y se determina el caudal que circula por el sistema y la presión de poros en los puntos A, B y C.

Figura 4.49. Sistema de flujo en presa de presa de concreto

a) Dibujar la red de flujo cuadrada del sistema. PASO 1 En primer lugar se identifican los bordes de entrada, salida y los impermeables, mostrados en trazo lleno en la Figura 4.50.

Figura 4.50. Bordes de entrada y salida

Impermeable

ImpermeableA

B C

3

1

8.5 m

18.5 m

10.2 m

2.2 m

1.3 m

4.3 m

18.1 m 19.8 m1.8 m

55.5 m

Bordes

impermeables

Borde de salidaBorde de entrada

Impermeable

Impermeable


224

PASO 2. Se trazan las líneas de flujo de tal forma que estén bien distribuidas en todo el perfil como muestra la Figura 4.51.

Figura 4.51. Líneas de flujo

PASO 3. Se trazan las líneas equipotenciales de tal forma que corten a las líneas de flujo formando con ellas cuadrados curvilíneos como muestra la Figura 4.52.

Figura 4.52. Líneas equipotenciales y de flujo

b) Determinar el caudal que circula por el sistema. Para los valores de:

ΔH = 8.5 m k = 1.07x10-8 m/s (convertido a m/s) NF = 3 Nd = 12

Impermeable

Impermeable

Impermeable

Impermeable


225

El caudal será:

8 31.07x10 8.5

12q

q = 2.27x10-8 m3/s

O también: q = 1.96x10-3 m3/día

c) La presión de poros en los puntos A, B y C.

Figura 4.53. Puntos donde se pretende calcular la presión de poros

PASO 1 Determinación de la pérdida de carga en cada punto. Para el punto A se tendrá que:

H = 8.5 m Nd = 12 ndA = 0.98


hA = 8.5

12∗ 0.98m

hA = 0.69 m Para el punto B se tendrá que:

ndB = 0 La pérdida de carga será:

hB = 0 m

Para el punto C se tendrá que:

ndC = 6.4

A

CB

Impermeable

Impermeable


226


8.56.4

12Ch

hC = 4.53 m

PASO 2 Determinación de la presión de poros en cada punto. Para el punto A se tendrá que:

h1 = 27 m hzA = 7.7 m hA = 1.59 m


hpA =27-7.7-0.69 hpA = 18.61 m

La presión de poros en el punto A será:

uA = 18.61·9.81 uA = 182.56 KPa

Para el punto B se tendrá que:

h1 = 27.6 m hB = 0 m

La altura potencial será:

55.5 18.1 19.818.5

3zBh

hzB = 12.63 m

La altura piezométrica en el punto B será:

hpB = 27.6 – 12.63

hpB = 14.97 m La presión de poros en el punto B será: uB = 14.97·9.81 uB = 146.86 KPa

Para el punto C se tendrá que:

h1 = 27.6 m hC = 4.53 m

La altura potencial será:

55.5 19.8 4.3 1.318.5

3zCh


227

hzC = 8.47 m

La altura piezométrica en el punto C será:

hpC = 27 – 8.47 – 4.53

hpC = 14 m

La presión de poros en el punto B será:

uC = 14·9.81

uC = 137.34 KPa

Comentario: El nivel de referencia del sistema corresponde a la superficie inclinada impermeable, por lo que las alturas potenciales variaran para cada punto lo que significa que la presión de poros disminuirá conforme disminuya la altura potencial.

7.3. Soluciones matemáticas para presas de tierra.

Dibujar una buena red de flujo muchas veces es un trabajo moroso e incluso hasta tedioso, sobre todo si la geometría del sistema es complicada. Muchos investigadores han planteado soluciones matemáticas y métodos empíricos, que ayudan en gran manera a determinar el caudal que circula por una red de flujo, el valor de a y otros datos de interés, sin necesidad de dibujar una red de flujo.

La mayoría delas soluciones matemáticas que se presentan a continuación, son obtenidas de la geometría del procedimiento que se utiliza para trazar la parábola básica, mostrada de forma más amplia en la Figura 4.59.

Figura 4.59.Análisis analítico para la parábola básica (U.S. Engineers Corps, 1986).

7.3.1. Solución de Schaffernak y Van Iterson para < 30º. Schaffernak y Van Iterson, elaboraron una relación matemática aplicable a presas de tierra, para determinar el caudal q, esta es:

tansin akq [4.78]

Donde: 2

2

2

2

sincoscos

hdda [4.79]

J

y0

2

F

D

h

A

m

0.3·m

BParábola básica

d + h

B1

22

a

2B

a + a

a

d

x

z

0y


228

7.3.2. Solución de L. Casagrande para 90º. L. Casagrande, propuso una solución matemática válida en presas de tierrapara determinar el caudal, esta es:

2sin akq [4.80]

Donde: 2

2200

sin

hSSa [4.81]

Para 60º, el valor de S0 será: 220 hdS

Para 60º << 90º , el valor de S0 será: JDAJS 0

7.3.3. Solución de Kozeny para = 180º. Kozeny (1931) propuso una solución rigurosa para el caso de la condición de borde ilustrado de la Figura 4.52a, determino que el caudal que circula a través de la presa de tierra es:

002 ykakq [4.82]

Donde:

dhdy

a 2200

2

1

2 [4.83]

7.3.4. Solución de A. Casagrande para 30º180º. A. Casagrande determino que el caudal del flujo que circula a través de la presa se puede obtener de:

2sin akq [4.84]

Donde el valor de a, es obtenido del ábaco de la Figura 4.53.O también puede utilizar la expresión:

dhdkykq 220 [4.85]

7.3.5. Solución de Pavlovsky. Pavlovsky (1935), propuso tres expresiones matemáticas que ayudan a conocer el caudal y algunos valores de interés para determinar la geometría de la superficie freática. El análisis de Pavlovsky, se basa en la nomenclatura de la Figura 4.60.

Pavlovsky en su análisis divide la presa de tierra en tres zonas específicas, en la Figura 4.60 se muestra la división de estas en trazo segmentado. La zona I compondrá la condición de borde de entrada de la presa, la zona II compondrá la parte intermedia de la presa hasta el punto donde la línea freática intercepta con el borde de salida y la zona III compondrá la condición de borde de salida. Se asume que el flujo es laminar y continuo, de tal manera que la ley de Darcy es válida para cada uno de estos fragmentos.

En base a estas suposiciones, Pavlovsky determinó que el caudal qi que circula en cada una de las zonas será:

Para la zona I:

1

1 lncot hh

hhhkq

d

dwI

[4.86]


229

Para la zona II: cot22 00

200

21

hahb

hahkq

dII [4.87]

Figura 4.60. Nomenclatura de la solución de Pavlovsky (Harr, 1962).

Para la zona III:

Si h0> 0, se tiene que:

0

000 ln1cot a

haakqIII

[4.88a]

Si h0 = 0, se tiene que:

cot

0akqIII

[4.88b]

Se asume, que los valores de , , b, hd, hw, h0 y k son conocidos en el problema, también se sabe que por continuidad: qI = qII = qIII = q, donde q es el caudal total que circula en todo el sistema, solo los valores de: a0, h1 y q son desconocidos. Por lo tanto, las ecuaciones [4.86], [4.87] y [4.88] forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Puede resolverse este sistema, combinando sucesivamente las tres ecuaciones y obtener una solución gráfica o pueden usarse métodos numéricos con la ayuda de un computador.

7.3.6. Ecuación de Dupuit.

Dupuit (1863), empleando la ley de Darcy pudo obtener una expresión que tiene una gran aplicación práctica en los problemas de flujo a través de presas de tierra, para determinar el caudal en base a la geometría de la línea freática.Enla Figura 4.61, se muestra la nomenclatura que utiliza Dupuit.

Dupuit, considera que conociendo la altura inicial h1 de la condición de borde inicial y de la condición de borde final h2 de la línea freática y el valor de L que es la longitud de la proyección horizontal de la línea freática, puede determinarse el caudal que circula a través de la presa de tierra. La ley de Darcy se expresa como: q =k·i·A

Dupuit determinó que el gradiente hidráulico i de la línea freática será:

L

hhi 21

b

d0

a1

h1

hd

a0

h0

I II

III

dw


230

Figura 4.61. Condiciones para la solución de Dupuit (J. Badillo, 2000).

Dupuit también asumió que el área de la sección transversal que se encuentra por debajo de la línea freática será:

12

21

hh

A

Si se reemplazan estas consideraciones de Dupuit en la Ley de Darcy, se tendrá que:

L

hhkq

2·

22

21 [4.89]

Con la ecuación [4.89], puede determinarse el caudal que circula a través de una presa de

tierra conociendo la geometría de la línea freática. Adil Akyüz y Hazan Merdun (2003) investigadores del Department of Agricultural Structures

and Irrigation de la universidad de Kahramanmaras Sütçü İmam (Turquía), realizaron diversas pruebas en un modelo físico con una pequeña presa de arena, por el cual hicieron circular un fluido viscoso con el fin de determinar cuál de todas las soluciones matemáticas presentadas anteriormente proporciona los mejores resultados que se acercan a la realidad. Tras varios ensayos y variantes, concluyeron que la ecuación presentado por Dupuit proporciona resultados que se ajustan más a la realidad, seguida por la solución de Schaffernak y Van Iterson, L. Casagrande, Kozeny y finalmente la solución de Pavlovsky.

7.4. Método de los fragmentos. Harr (1962) mejoró una modificación del método de redes de flujo, llamado: método de los fragmentos, desarrollado originalmente por Pavlovsky. El método de los fragmentos se clasifica como un método analítico y semiempírico, con el cual se puede calcular del caudal y otras propiedades importantes de un sistema de flujo.

Con el tiempo, otros investigadores realizaron aportes importantes a este método, mejorándolo, hasta el punto que con este método pueden resolverse muchos de los problemas de flujo de manera sencilla, rápida y práctica. Este método se basa en las hipótesis e investigaciones realizadas en la solución de Pavlovsky, donde se divide la región de flujo del sistema en zonas o fragmentos apropiados que anteriormente se hayan determinado sus propiedades .El primer paso una vez reconocida la región de flujo es dividir esta región en fragmentos.

En la Figura 4.62, se tiene dos sistemas de flujo en dos dimensiones. Ambos sistemas han sido divididos en fragmentos por una línea en trazo segmentado. Estas líneas en trazo segmentado, representan a líneas equipotenciales que dividen en fragmentos a un único canal de flujo definido por la dirección del flujo.

h1

h2

L


231

Figura 4.62. División de la región de flujo del sistema en fragmentos. (a) Sistema de doble ataguía. (b) Presa de tierra.

Un objetivo que se persigue, es que el sistema este dividido en fragmentos reconocibles que anteriormente ya se estudiaron y se determinaron sus propiedades. Para cada fragmento, se cumple que:

La ley de Darcy es válida. El flujo es estacionario. El suelo es homogéneo e isotrópico. (Caso contrario, véase la sección de

anisotropía en dos dimensiones de este capítulo)

Pavlovsky, planteó que la cantidad de flujo que circula por un fragmento es:

i

Fi

i

hkq

[4.90]

Donde: qi = Caudal que circula por el fragmento. k = Conductividad hidráulica del suelo.

Fih = Perdida de carga del fragmento.

i = Factor de forma del fragmento.

Pavlovsky, define al factor de forma como:

F

di

N

N [4.91]

El factor de forma es adimensional, porque relaciona la cantidad total de caídas

equipotenciales y canales de flujo que contiene el fragmento. Por continuidad en el sistema, se sabe que q = q1 = q2= ... = qn. Donde q, es el caudal total de flujo que circula por todo el sistema. Si se suman todas las pérdidas de carga (hi) de cada fragmento, se tendrá la pérdida total de carga (H). Por lo cual, la cantidad total de flujo del sistema será:

n

i

i

Hkq

1

[4.92]

Donde: q = Caudal total que circula por el sistema.

I IIIII

I II III

(a) (b)


232

k = Conductividad hidráulica del suelo. H = Perdida total de carga del sistema. i = Factor de forma de cada fragmento.

7.4.1. Fragmento tipo I.

Figura 4.63. Fragmento tipo I (Harr, 1962).

Este tipo de fragmento mostrado en la Figura 4.63, representa una región flujo horizontal paralelo entre bordes impermeables.

Para este tipo de fragmento, el factor de forma será:

a

L [4.93]

El fragmento de tipo I, permite un movimiento de flujo de agua en una sola dimensión, por lo cual también es aplicable a problemas de flujo unidimensional.

7.4.2. Fragmento tipo II.

Figura 4.64. Fragmento tipo II (Harr, 1962).

Este tipo de fragmento mostrado en la Figura 4.64, representa un borde vertical impermeable incrustado una distancia S en un estrado de espesor T. Este fragmento representa la condición de entrada mostrado en la Figura 4.64a y una condición de salida mostrada en Figura 4.64b. La región de flujo mostrada en la Figura 4.62a, puede ser representada completamente por este fragmento. El factor de forma para este tipo de fragmento será:

q

hk Fi

2

1 [4.94]

Para determinar este factor de forma se utiliza el ábaco elaborado en la Figura 4.73, donde con un valor de S/T , se intercepta la curva correspondiente a b/T = 0, con lo cual se determinara

un valor para q/k·Fih que reemplazando en la ecuación [4.94] se determina el factor de

forma.Harr, posteriormente planteo una manera más exacta para determinar el factor de forma

(a) (b)


233

utilizando el módulo m que está relacionado a la forma del fragmento, que para el fragmento del tipo II será:

T

Sm

2sin

[4.95]

Una vez obtenido el valor del módulo m, se determina en la Tabla4.12 la relación K/K’, por lo que el factor de forma será:

'K

K [4.96]

Otros investigadores han estudiado este fragmento aplicando la teoría de elementos finitos y han elaborado un ábaco que se muestra en la Figura 4.74.Para utilizar este ábaco, primero se determina la relación S/T y la relación L·R/T, donde L es la distancia mostrada en la Figura 4.64 y R es un valor de transformación que para el caso de suelos isotrópicos toma un valor de:R= 1. La intersección de estos dos valores en el ábaco, corresponde al valor del factor de forma.

7.4.3. Fragmento tipo III.

Figura 4.65. Fragmento tipo III (Harr, 1962).

Este tipo de fragmento representa un elemento impermeable en forma de “L” con una longitud horizontal b y un borde vertical de profundidad S en un estrato permeable con espesor T. En la Figura 4.65a y b se muestra la condición de entrada y salida que este fragmento puede representar. El factor de forma para este tipo de fragmento será:

q

hk Fi

2

1

Se determina el factor de forma utilizando el ábaco de la Figura 4.73, donde en este tipo de

fragmento el valor de b/T no es cero. Con un valor para q/k·Fih en la ecuación [4.97] se

determina el factor de forma. También se puede utilizar la Tabla4.12 para determinar el factor de forma, por lo cual para

el fragmento del tipo III se utilizara un módulo m que será:

T

S

T

b

T

Sm

2tan

2tanh

2cos 22

[4.97]

Con un valor del módulo m se determina la relación K/K’, por lo cual el factor de forma será:

'K

K

El módulo m que se utiliza en la Tabla4.12, resume una complicada integración elíptica en

función de b/T y S/T que se realiza para obtiene este valor.Para la mayoría de los fragmentos no

(a) (b)


234

se tiene disponible un valor del módulo m, pues la resolución de dicha integral es bastante complicada.

Otra alternativa que Pavlovsky plantea, es que con un valor de m de la ecuación [4.97], puede

obtenerse directamente un valor para q/k·Fih para los casos:

Para m≤ 0.3, se tiene que: mhk

qFi

4ln

1

[4.98]

Para m2 0.9, se tiene que:

16

1ln2

2mhk

qFi

[4.99]

Polubarinova y Kochina (1962) elaboraron un ábaco, mejorando a las soluciones presentadas por Pavlovsky y Harr, lo cual permite determinar el factor de forma de manera directa, esta se muestra en la Figura 4.75.Para lo cual, se determinan las relaciones: S/T y b·R/T para encontrar el factor de forma en el ábaco, donde el valor de R es un valor de trasformación que en el caso de suelos isotrópicos toma el valor de: R = 1. Si el suelo es anisotrópico, R toma un valor distinto a uno (véase la sección de Anisotropía en dos dimensiones).

7.4.4. Fragmento tipo IV. Este tipo, es un fragmento interno con longitud de borde b, incrustado una longitud S de en un estrato permeable de espesor T. La Figura 4.66 muestra las dos posibles configuraciones de este fragmento.

El primer caso se presenta cuando: b S, que se muestra en la Figura 4.66a, el factor de forma para este caso es:

a

b1ln [4.100]

Figura 4.66. Fragmento tipo IV (Harr, 1962).

Si b >S que es el caso que se ilustra en la Figura 4.66b, por lo tanto el factor de forma será:

T

Sb

a

S

1ln [4.101]

La solución presentada por las ecuaciones [4.100] y [4.101] es aproximada, pero

proporciona resultados satisfactorios.

(a) (b)


235

7.4.5. Fragmento tipo V. Este tipo de fragmento, tiene dos bordes verticales de igual incrustación S en un estrato permeable de espesor T, como se muestra en la Figura 4.67.

a

S

L

T

Figura 4.67. Fragmento tipo V (Harr, 1962).

El factor de forma para este tipo de fragmento, obedece a dos casos que se presentan:

Cuando: L2·S, entonces:

a

L

21ln2 [4.102]

Cuando: L>2·S, entonces: T

SL

a

S

21ln2 [4.103]

Sin embargo, el factor de forma obtenido de las ecuaciones [4.102] y [4.103] es aproximado,

Harr presento un ábaco que proporciona valores exactos del factor de forma para fragmentos del tipo V y VI, este se presenta en la Figura 4.76. Los valores de C1 y C2 están en función a la geometría del fragmento, estos valores son:

T

S

T

SC

''1

'11 [4.104]

T

SSRLC

'''2

[4.105]

Donde R, es un valor de transformación que en suelos isotrópicos será R =1.

El punto de intersección de los valores de:C1 y C2 en el ábaco corresponderá al factor de forma. Harr plantea que una buena aproximación de este factor con los valores de C1 y C2:

Para: C2 0, entonces:

12 ln CC [4.106]

Para: C2< 0, entonces:

1

22

4

2ln

C

C [4.107]

7.4.6. Fragmento tipo VI. Este tipo de fragmento (Figura 4.68) es una variación del fragmento del tipo V.


236

Figura 4.68. Fragmento tipo VI (Harr, 1962).

Para el factor de forma en este tipo de fragmento, se presentan dos casos:

Cuando: L> (S’ + S’’), el factor de forma será:

T

SSL

a

S

a

S '''

''

''1

'

'1

[4.108]

Cuando: L (S’ + S’’), el factor de forma será:

''

''1

'

'1ln

a

b

a

b [4.109]

Donde:

2

)'''('

SSLb

[4.110]

2

)'''(''

SSLb

[4.111]

El factor de forma obtenido de las ecuaciones [4.108] y [4.109] es aproximado, puede usarse

el ábaco de la Figura 4.76 para valores más exactos del factor de forma, donde el punto de intersección de los valores de:C1 y C2 en el ábaco, corresponderá al factor de forma. También puede determinarse este factor de manera directa, a partir de los valores de:C1 y C2 con las ecuaciones [4.104] y [4.105].

7.4.7. Fragmento tipo VII.

Figura 4.69. Fragmento tipo VII (Harr, 1962).

(a) (b)


237

Los fragmentos del tipo VII al IX, son aplicables a problemas de flujo no confinado, únicamente en el caso del flujo a través de presas de tierra.

El fragmento del tipo VII, representa la condición de flujo no confinado a través de una presa de tierra. Este flujo es caracterizado por tener un borde en el dominio de flujo como libre, que en la Figura 4.69 se presenta como la línea freática. Esta línea o nivel freático, separa la región saturada de la región donde no circula flujo de agua. El factor de forma para este tipo de fragmento será:

21

2

hh

L

[4.112]

Este fragmento representa la parte central de una presa de tierra, lo cual no incluye los

bordes de entrada y salida. Esta parte central de la presa es la más importante,debido a que en está se desarrolla el flujo.

7.4.8. Fragmento tipo VIII. Este tipo de fragmento representa la condición del borde de entrada en una presa de tierra de altura hd,que se muestra en la Figura 4.70. Ya que este fragmento representa una condición de entrada, no tendría sentido hablar de un factor de forma.

Sin embargo, se pueden conocer algunas características de esta condición de entrada. El gradiente hidráulico será:

yh

ai

d

cot

1 [4.113]

Figura 4.70.Fragmento tipo VIII (Harr, 1962).

Donde “y” representa a la coordenada vertical en un eje, que generalmente se ubica en el límite del fragmento VII y VIII. El caudal que ingresa por este borde de entrada de la presa será:

hh

hhhkq

d

dlncot

1

[4.114)

7.4.9. Fragmento tipo IX. Este tipo de fragmento que se muestra en la Figura 4.71, representa la condición de salida de una presa de tierra.


238

Este fragmento tampoco tiene factor de forma.Para este caso, Pavlovsky asumió que el flujo es horizontal, por lo cual determinó que el caudal de salida q para este tipo de fragmento será:

2

222 ln1cot a

haakq

[4.115]

En la Tabla 4.11, se muestra un resumen de los diferentes tipos de los fragmentos y sus

propiedades. En la Figura 4.72, se ha dividido los dos sistemas de flujo mostrados en la Figura 4.62 en

fragmentos reconocibles de acuerdo a los fragmentos de la Tabla 4.11. Por lo general, se requieren entre uno a tres fragmentos para dividir adecuadamente la región de flujo de un sistema. El procedimiento usado en el método de los fragmentos, puede ser utilizado como una herramienta donde varios factores pueden variar para evaluar características del flujo en el suelo o se utilizado, como una herramienta analítica para encontrar rápidamente resultados con una buena aproximación en problemas de flujo.

Figura 4.71. Fragmento tipo VIII (Harr, 1962).

La región de flujo que considera este método, se base generalmente en bordes horizontales y no bordes inclinados ni curvilíneos. Por lo general, al aumentar la cantidad de fragmentos en un sistema se incrementara el grado de error de los resultados.

Figura 4.72. Sistemas divididos en fragmentos reconocibles. (a) Sistema de doble ataguía. (b) Presa de tierra.

Fragmento TIPO VIII

Fragmento TIPO VII

Fragmento TIPO IXFragmento

TIPO II

(a) (b)


239

Tabla4.11. Tipos de fragmentos (Harr, 1962). FLUJO CONFINADO

Tabla4.11. Tipos de fragmentos (continuación).

h

T

iF

1

2

hk

q

Fi

T

IV

III

S

sin2

2

1 q

k

L

a

VI

V

a'

S'

T

L

S''

a''

a'

S'

T

S

a

La''

S''

L a

S

ln 2 1

L

'

' a

Donde:

Lb '

2

S( S ''

(Figura 4.76)

Para:

Para:

Para:

ln

S ( L

'') + S'

1

'b

1

'a

S '

S

2·S

L > (

L

+ S'

'')

a' '

S

(Figura 4.76)

)b' '

2

L '(S )''

T

S

T

1

''b

1

' 'a

'S '

L

2

12 ln

a

S

a

L

'' 'S

2 S

Para: 2·SL

a

b

T

s

a

b

T

b

S

T

b

S

II

I

fragmentoTipo de

T

S S

T

L

a

Ilustración

K '

ln

ln

tanh

(Figura 4.75)

(Figura 4.73)

S b Para:

Para:

m

S b

cos

2

S

T

1

S

a

b

T

S

(Tabla 4.12)

1b

a

2

b

2 Ttan

2

'K

S

T

2

K

(Figura 4.74)

(Tabla 4.12)

(Figura 4.73)

fragmentoParámetros del

m

S

T

K


240

FLUJO NO CONFINADO

a1 ln

h2

a2

2

h

lnh

1

dh y

hd

h

L

2h

h - h1 2

h1

2

2

Línea freática

Línea freática

2

VIII

IX

2h

1

hdh

a 2

h

1a

hVII1

Línea freática

L

a

h

qcot

k 2a

q

i

h

cotk

1

cot

d


241

Figura 4.73. Ábaco para los fragmentos del tipo II y III (Harr, 1962).

S

T

·

k·

h=

q1

0.5

0.3

0.2

0.10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.4 0.5 0.6 0.7

0.8

0.6

0.7

0.9

1.0

1.1

1.00.8 0.9

1.3

1.2

1.4

1.5

T

S

b

T

b

0=

bT0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

iF


242

Tabla4.12. Tabla para los fragmentos del tipo II y III (Harr, 1962).

m2 K K'

m2 K K'

0,000 1,571 0,000 0,51 1,863 1,846 1,009

0,001 1,571 4,841 0,325 0,52 1,871 1,837 1,019

0,002 1,572 4,495 0,350 0,53 1,880 1,829 1,028

0,003 1,572 4,293 0,366 0,54 1,890 1,822 1,037

0,004 1,572 4,150 0,379 0,55 1,899 1,814 1,047

0,005 1,573 4,039 0,389 0,56 1,909 1,806 1,057

0,006 1,573 3,949 0,398 0,57 1,918 1,799 1,066

0,007 1,574 3,872 0,407 0,58 1,929 1,792 1,076

0,008 1,574 3,806 0,414 0,59 1,939 1,785 1,086

0,009 1,574 3,748 0,420 0,60 1,950 1,778 1,097

0,01 1,575 3,696 0,426 0,61 1,961 1,771 1,107

0,02 1,579 3,354 0,471 0,62 1,972 1,764 1,118

0,03 1,583 3,156 0,502 0,63 1,983 1,757 1,129

0,04 1,587 3,016 0,526 0,64 1,995 1,751 1,139

0,05 1,591 2,908 0,547 0,65 2,008 1,744 1,151

0,06 1,595 2,821 0,565 0,66 2,020 1,738 1,162

0,07 1,599 2,747 0,582 0,67 2,033 1,732 1,174

0,08 1,604 2,684 0,598 0,68 2,047 1,726 1,186

0,09 1,608 2,628 0,612 0,69 2,061 1,720 1,198

0,10 1,612 2,578 0,625 0,70 2,075 1,714 1,211

0,11 1,617 2,533 0,638 0,71 2,090 1,708 1,224

0,12 1,621 2,493 0,650 0,72 2,106 1,702 1,237

0,13 1,626 2,455 0,662 0,73 2,122 1,697 1,250

0,14 1,631 2,421 0,674 0,74 2,139 1,691 1,265

0,15 1,635 2,389 0,684 0,75 2,157 1,686 1,279

0,16 1,640 2,359 0,695 0,76 2,175 1,680 1,295

0,17 1,645 2,331 0,706 0,77 2,194 1,675 1,310

0,18 1,650 2,305 0,716 0,78 2,214 1,670 1,326

0,19 1,655 2,281 0,726 0,79 2,235 1,665 1,342

0,20 1,660 2,257 0,735 0,80 2,257 1,660 1,360

0,21 1,665 2,235 0,745 0,81 2,281 1,655 1,378

0,22 1,670 2,214 0,754 0,82 2,305 1,650 1,397

0,23 1,675 2,194 0,763 0,83 2,331 1,645 1,417

0,24 1,680 2,175 0,772 0,84 2,359 1,640 1,438

0,25 1,686 2,157 0,782 0,85 2,389 1,635 1,461

0,26 1,691 2,139 0,791 0,86 2,421 1,631 1,484

0,27 1,697 2,122 0,800 0,87 2,455 1,626 1,510

0,28 1,702 2,106 0,808 0,88 2,493 1,621 1,538

0,29 1,708 2,090 0,817 0,89 2,533 1,617 1,566

0,30 1,714 2,075 0,826 0,90 2,578 1,612 1,599

0,31 1,720 2,061 0,835 0,91 2,628 1,608 1,634

0,32 1,726 2,047 0,843 0,92 2,684 1,604 1,673

0,33 1,732 2,033 0,852 0,93 2,747 1,599 1,718

0,34 1,738 2,020 0,860 0,94 2,821 1,595 1,769

0,35 1,744 2,008 0,869 0,95 2,908 1,591 1,828

0,36 1,751 1,995 0,878 0,96 3,016 1,587 1,900

0,37 1,757 1,983 0,886 0,97 3,156 1,583 1,994

0,38 1,764 1,972 0,895 0,98 3,354 1,579 2,124

0,39 1,771 1,961 0,903 0,99 3,696 1,575 2,347

0,40 1,778 1,950 0,912 0,991 3,748 1,574 2,381

0,41 1,785 1,939 0,921 0,992 3,806 1,574 2,418

0,42 1,792 1,929 0,929 0,993 3,872 1,574 2,460

0,43 1,799 1,918 0,938 0,994 3,949 1,573 2,510

0,44 1,806 1,909 0,946 0,995 4,039 1,573 2,568

0,45 1,814 1,899 0,955 0,996 4,150 1,572 2,640

0,46 1,822 1,890 0,964 0,997 4,293 1,572 2,731

0,47 1,829 1,880 0,973 0,998 4,495 1,572 2,859

0,48 1,837 1,871 0,982 0,999 4,841 1,571 3,081

0,49 1,846 1,863 0,991 1,000 1,571 0,000

0,50 1,854 1,854 1,000

'K

K

'K

K


243

Figura 4.74. Ábaco para el fragmentos del tipo II (Griffiths, 1984).

S S

T

0.40.2

S/T

0.6 0.8

T

81.0

0.5

0.6

0.4

0.35

0.3

0.1L·R

T 0.150.2

0.25

0.5

0

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0.8


244

Figura 4.75. Ábaco para los fragmentos del tipo II y III (Polubarinova & Kochina, 1962).

T

S S

b b

T

1.4

0

0.2

S/T

0.4 0.6 0.8

1.0

0.4

0.5

0.2

0.0

1.5

0.8

0.6

1.2

1.0

1.0

2.0

2.5

1.6T

b·R

3.0


245

Figura 4.76. Ábaco para el fragmento del tipo V (Harr, 1962).

2.6

0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.8

-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4

0.2C

0.4 0.6

-0.2-0.4

0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

1.0

1.2

1.4

1.6

2.0

2.4

1.8

2.2

4.5

3.0

3.5

4.0

5.0

2.8

C

S'

a'

T

a''L

S''

2

1

T

S

T

SC

''1

'11

T

SSRLC

'''2


246

7.5. Analogías y modelos físicos para resolver problemas de flujo. Muchas veces la geometría de la región de flujo es complicada o tiene algunas variantes especiales, de manera que algunos métodos convencionales quedan limitados para realizar un correcto análisis del comportamiento del flujo de agua en una estructura. Por lo cual, se emplean modelos físicos que ayudan a conocer el comportamiento del flujo en estas estructuras. Los modelos físicos más usados para este fin son:

Modelo de la analogía eléctrica con papel conductor. Modelos en tanque de arena Modelos con fluidos viscosos.

7.5.1. Modelo de la analogía eléctrica con papel conductor.

La ecuación de Laplace no solo gobierna el flujo establecido del agua a través del suelo, sino que satisface el comportamiento de muchos fenómenos importantes de la física aplicada; entre ellos se cuentan el flujo eléctrico a través de un conductor, el desplazamiento de una membrana elástica en dirección normal a su plano original y varios problemas de la elasticidad, como la teoría de la torsión y de la flexión en ciertas circunstancias. La causa de estas correspondencias se ve clara cuando se considera que las leyes físicas que gobiernan esos fenómenos son en el fondo de la misma naturaleza; así, la ley de Darcy es análoga a la ley de Fourier en calor, a la ley de Hooke en el problema elástico, etc (J. Badillo, 2000).

Se puede recurrir a la analogía de uno de los problemas y compararlos con otras analogías para resolver una situación concreta, estudiando otra analogía planteada en el fenómeno análogo que puede ser más fácil de resolver. La idea básica, es plantear un modelo en el que se estudie un cierto fenómeno análogo al flujo de agua, reproduciendo en ese modelo las circunstancias equivalentes al problema de flujo, de manera que midiendo los conceptos correspondientes en el modelo, se conozca el valor de los conceptos que interesen en el problema de flujo. A diferencia de los modelos en campos calóricos y magnéticos, el campo eléctrico ha permitido desarrollar técnicas de modelos que sirven para representar de un modo relativamente sencillo y expedito muchas regiones de flujo en condiciones variadas de flujo de agua. La correspondencia directa que hay entre un flujo establecido de agua a través de un medio poroso y el flujo establecido de una corriente eléctrica a través de un conductor queda claramente planteada en la Tabla 4.13 (J. Badillo, 2000).

La solución de un problema de flujo en dos dimensiones con este método, exige la construcción de una región de flujo eléctrico geométricamente similar al problema, formada con una lámina delgada de un material conductor apropiado. El campo eléctrico y la región de flujo deben ser enteramente similares geométricamente hablando, ya que la analogía entre ambas situaciones físicas es perfecta, según a lo observado en la Tabla 4.13. Tabla 4.13. Correspondencia entre el flujo de agua y la corriente eléctrica (J. Badillo, 2000).

Ley de Darcy Ley de Ohm

q = Caudal del flujo de agua. i = Corriente (cantidad del flujo de electricidad)

k = Conductividad hidráulica K' = Coeficiente de conductividad.

A = Área de la sección transversal A' = Área de la sección transversal

H = Carga producida por el flujo V = Voltage producido por la corriente

L = Longitud de la trayectoria de percolación L' = Longitud de la trayectoria de corriente

v= Velocidad de descarga I = Intensidad de la corriente

Líneas de flujo Líneas de corriente

Líneas equipotenciales, h = ctte. Líneas potenciales, V = ctte.

Bordes impermeables

Bordes aislantes

Ecuación de Laplace 02 Ñ V

02 Ñ h


247

Ecuación de Laplace

Entre las bordes equipotenciales del modelo debe aplicarse una diferencia de potencial que

representará a la diferencia de carga hidráulica existente entre los bordes equipotenciales del prototipo. Por lo general, en estos modelos se usan diferencias de potencial entre los bordes equipotenciales de 6 a 10 voltios y es frecuente usar un ritmo entre las equipotenciales de 1/10 de la caída potencial total, con lo que se obtendrán 9 equipotenciales en el modelo. El problema se resuelve entonces, para un caso de flujo en una región homogénea e isotrópica, midiendo el potencial en voltios existente en cada punto de la superficie del material que constituye el modelo, supuesto que éste es homogéneo e isotrópico en lo que se refiere a su conductividad. La medida se hace con una aguja fina conductora ligada a un voltímetro, ubicándola al azar de tal manera que se tengan suficiente número de puntos de mismo potencial, para así poder trazar las líneas equipotenciales.

Figura 4.77. Modelo de la analogía eléctrica con papel conductor (Wiley, 1982). (a) Electrodos en los bordes permeables. (b) Electrodos en los bordes impermeables.

En la Figura 4.77 se representa esquemáticamente un modelo para el flujo bajo una presa. Una vez conocido el potencial en un número suficiente de puntos en la superficie conductora, es posible trazar líneas de igual potencial eléctrico que representarán directamente a equipotenciales de la región de flujo; si las equipotenciales eléctricas se han trazado con un ritmo de caída constante, se harán obtenido directamente las equipotenciales que interesan en la región de flujo, la Figura 4.77a muestra estas líneas.

El procedimiento más sencillo para trazar la red de flujo, una ves obtenidas las líneas equipotenciales, es simplemente dibujar la familia de líneas de flujo que sean ortogonales, constituyendo de esta manera una red de flujo con elementos cuadrados.

Otra posibilidad de resolver el problema es invertir el modelo eléctrico, convirtiendo los bordes equipotenciales en bordes aislantes y recíprocamente; las líneas equipotenciales obtenidas en este segundo modelo son las líneas de flujo del primero (Figura 4.77(b). Este segundo procedimiento es más complicado que el primero y tiene el inconveniente adicional de no proporcionar un red de cuadrados. En este caso se obtiene una red de rectángulos de misma

Electrodo

Electrodo

Papel conductor

Líneas de flujo

b)

Electrodo

Líneas equipotenciales

Electrodo

Papel conductor

a)

(a)


248

proporción largo y ancho, por otra parte trazando apropiadamente las líneas equipotenciales será fácil obtener la red de flujo cuadrada.

Como se ve, enel caso de modelos de flujo confinado, es importante conocer bien las condiciones de borde de la región de flujo para obtener buenos resultados. Sin embargo, en el caso de flujo no confinado el problema se complica algo, ya que no hay ningún concepto en el flujo eléctrico análogo al comportamiento del flujo no confinado. En el caso de flujo no confinado, es esencial conocer la geometría de la línea freática. En la práctica lo que se hace es suponerla de acuerdo al criterio y experiencia del proyectista (el método propuesto por A. Casagrande es de gran ayuda para determinar esta geometría).

Una línea freática correcta, debe cumplir que las diferencias de altura entre puntos de igual caída de potencial hidráulico del prototipo sean iguales y en el modelo que las diferencias de potencial eléctrico entre los puntos correspondientes sean también iguales; en otras palabras, en un modelo que tenga una línea freática correcta debe existir una ley lineal entre las elevaciones de los puntos en que las equipotenciales cortan a la línea y los potenciales eléctricos de esos puntos. Al encontrar la línea freática correcta, se recorta el papel conductor según a la forma de esta. Luego, se traza la red de flujo igual que el caso de flujo confinado, con modificaciones en el borde de salida.

7.5.2. Modelos en tanque de arena. Los modelos en tanque de arena llamados también modelos hidráulicos, consisten en fabricar un prototipo del problema de flujo de agua a pequeña escala de tal manera que se asemeje lo mas posible a la realidad.En la Figura 4.78, se muestran algunos tipos de modelos.

Estos tanques que se utilizan tienen una pared de vidrio que permite tener una vista transversal del sistema, generalmente se utiliza arena fina u otro material que pueda asemejar las condiciones en campo del suelo. Se tiene especial cuidado en la geometría misma del sistema, en especial la región de flujo que sea todo a escala. Al ser un modelo pequeño, se deben corregir los efectos de ascenso capilar y la velocidad del ingreso del flujo de agua.

Pueden estudiarse casos, como el flujo de agua hacia un pozo como se muestra en la Figura 4.79a, el flujo de agua en condiciones muy variables y especiales como se ve en la Figura 4.78b. En la Figura 4.78c, se muestra que para observar mejor como el flujo de agua se comporta se utiliza un trazador, que es un tinte de color que tiñe el agua y así se puede observar como esta se mueve en la región de flujo.

Generalmente estos modelos son utilizados para estudiar sistemas anisotrópicos o estratificados, investigar el drenaje del agua en una obra hidráulica o una presa de tierra, donde se tendrá un comportamiento complicado e impredecible.


249

Figura 4.78. Modelos en tanque de arena (U.S. Engineers Corps, 1986). (a)Flujo de canal a pozo. (b)Flujo de laguna a canal.(c) Tinte trazador en una presa.

7.5.3. Modelos con fluido viscoso. Los modelos con fluido viscoso, son llamados también modelos Helle–Shaw o modelos de plato paralelo, son elaborados con la misma idea que los modelos en tanque de arena aunque estos son más cuidadosos. La Figura 4.79 muestra la forma de este tipo de modelos.

Figura 4.79. Modelos con fluido viscoso (U.S. Engineers Corps, 1986).

(a) (b)

(c)

Tinte trazador

A

Superficie

freática

FrontalIntermedio

posterior

Espacio A - A

Placa

frontal

Mod

elo

de are

na

Placa

posterior

A


250

El modelo consiste en dos placas de vidrio grueso paralelas y próximas, entre las que se coloca formada de plástico, la sección completa de la estructura que se desea estudiar. Debido a que se utiliza un fluido viscoso que no se filtra lateralmente, debe tenerse cuidado con la temperatura puesto que puede afectar significativamente la densidad de este fluido, por lo general se utiliza glicerina. Se coloca en el modelo, de manera que reproduzca a escala el tirante que genera el flujo en el prototipo y se permite que se establezca la circulación correspondiente, se usa tinte trazador para seguir la forma de las líneas de flujo. Este tipo de modelos se usa generalmente en laboratorio para hacer comparaciones pues se puede controlar la densidad de líquido con la temperatura, lo que permite hacer una serie de variantes en la investigación.

7.6. Gradiente hidráulico de salida (ie). El gradiente hidráulico de salida, es conocido como la cantidad de disipación de altura de carga por unidad de longitud, medido a lo largo de la cara de la estructura donde el flujo de agua sale del medio poroso (U.S. Engineers Corps, 1986).

Figura 4.80. Cara de la estructura donde se mide el gradiente hidráulico de salida. (a) Presa de concreto. (b) Sistema de doble ataguía.

Cara donde se mide el

gradiente hidráulico de

salida.

Cara donde se mide el

gradiente hidráulico de

salida.

(a)

(b)


251

Esta característica del flujo, es aplicable únicamente a sistemas de flujo confinado. En la Figura 4.80, se muestra la parte de la cara de la estructura donde es medido el gradiente hidráulico de salida.

Figura 4.81. Longitud de la cara de la estructura en el borde de salida.

En la Figura 4.81, se muestra la cara de la estructura en el borde de salida donde se mide este gradiente. La parte de la cara que se toma en cuenta, es la que está en contacto con el suelo que tendrá una longitud L como se muestra en la Figura. El gradiente hidráulico de salida se determina con la expresión:

L

hie

[4.116]

Donde: ie = Gradiente hidráulico de salida. h = Pérdida de carga a lo largo de la cara. L = Longitud de la cara.

Para poder calcular el valor de este gradiente, debe determinarse la pérdida de carga a lo

largo de la cara de la estructura en el borde de salida.

7.6.1. Calculo del gradiente hidráulico de salida mediante redes de flujo.

En el caso de utilizarse redes de flujo, la longitud de la cara donde es medido este gradiente forma parte de la primera línea de flujo. La pérdida de carga entre líneas equipotenciales según la ecuación [4.77], será:

dN

Hh

[4.117]

Donde: h = Pérdida de carga entre líneas equipotenciales. H = Pérdida de carga total del sistema.

Nd = Número total de caídas equipotenciales.

7.6.2. Cálculo del gradiente hidráulico de salida con el método de los fragmentos.

También se puede determinar el gradiente hidráulico de salida utilizando el método de los fragmentos, Pavlovsky construyó el ábaco que se muestra en la Figura 4.82 que es aplicable solo a los fragmentos que representan una condición de salida, como ser los fragmento del tipo II y III

L

Superficie del terreno


252

(Tabla 4.11). Si H es la pérdida de carga total del sistema, entonces la pérdida de carga para cada fragmento es determinada con la expresión:

n

i

i

iFi

Hh

1

[4.118]

Donde: Fih = Perdida de carga del fragmento.

H = Perdida de carga total del sistema. = Factor de forma del fragmento.

Determinada la pérdida de carga del fragmento donde ocurre la salida del flujo del medio

poroso, con la relación S/T se ingresa al ábaco y se determina un valor para la relación: ie·S/ hi, con la que se determina el gradiente hidráulico de salida.

Figura 4.82. Ábaco para determinar el gradiente hidráulico de salida (Harr, 1962).

h

i ·s

T

b

S S

b

T

e

iF

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

T

S


253

Harr propuso una manera más exacta para hallar el gradiente hidráulico de salida utilizando los valores de la Tabla 4.12. Propuso que el gradiente hidráulico de salida puede ser determinado de la expresión:

mTK

hi

Fi

e

2

[4.119]

Donde: ie = Gradiente hidráulico de salida.

Fih = Perdida de carga del fragmento.

K = Constante que está en función al módulo m (Tabla 4.12). T = Espesor del fragmento. m = Módulo para los fragmento del tipo II y III (ecuación [4.95] y [4.97]).

Luego de calcular el valor de m2, en la Tabla 4.12 se determina el valor de K y finalmente el

valor de Fih es determinado con la ecuación [4.118].

Ejemplo 4.17 Para la figura, utilizando el método de fragmentos, se pide:

a) Determinar el caudal que circula, expresado en cm3/s por cm de ancho

b) Determinar la presión de poros en el punto A

c) Determinar el gradiente de egreso

Solución:

Coeficiente de forma, I

Fragmento 1 (Tipo II)

S/T=6/8=0.75 I1=1.532 (Gra fica 4.74)

LR

T=8*1

8=1

Fragmento 2 (Tipo VI)

S'+S''=5+3=8m L=7m → L<S'+S''


254

b'= L+(S'-S'')

2=7+(5-3)

2=4.5

b''= L-(S'-S'')

2=7-(5-3)

2=2.5

I2= ln [(1+b'

a') (1+

b''

a'')] =ln [(1+

4.5

2)(1+

2.5

4)]

I2=1.664

Fragmento 3 (Tipo V)

L=7m S=2m → L>2S

I3=2* ln (1+s

a)+

L-2S

T=2 ln (1+

2

4) +

7-2*2

6

I3=1.311

Fragmento 4 (Tipo III)

S/T = 4/8 = 0.5

S/T = 3/8 = 0.375

m=cos (π*S

2*T) *√tanh2 (

π*b

2*T) +tan2(

π*S

2*T)

m=cos (π*4

2*8) *√tanh2 (

π*3

2*8) +tan2(

π*4

2*8)

m=0.529 → m2=0.28 → K=1.702

I4=0,808

∑ I =1.532+1.664+1.311+0.808=5.315

a) Caudal


255

Q=k*∆h

∑ I=2.3*10-3

cm

s*400cm

5.315

Q=0.173cm3

s

b) Presión de poros en A

hA= h1-∆h1-∆h2-l'

l∆h3

h1= 13 m

∆h1=I1

∑ I*∆h=

1.532

5.315*4=1.152 m

∆h2=I2

∑ I*∆h=

1.664

5.315*4=1.252 m

∆h3=I3

∑ I*∆h=

1.311

5.315*4=0.987 m

l'

l=7

11

hA= 13-1.152-1.252-7

11*0.987=9.967 m

hpA= hA-hzA=9.967-6.00=3.967 m

uA= γw*hpA=9.81*3.967=38.916

uA=38.92 KPa

c) Gradiente de egreso

ie=∆hi*π

2*K*T*m

∆h4=I4

∑ I*∆h=

0.808

5.315*4=0.608m

T=8m ; m=0.529 ; m2=0.28 ; k=1.702

ie=0.608*π

2*1.702*8*0.28

ie=0.25

7.7. Presión ascendente de flujo. En sistemas de flujo confinado, el agua circula por debajo de las estructuras impermeables donde el suelo se encuentra saturado de agua, anteriormente se había comentado acerca de la presión de poros que ocasiona el ascenso del agua en un piezómetro, pero cuando la presión de poros actúa por debajo de una estructura esta es como una barrera impermeable, esta presión tiende a levantar la estructura.


256

La determinación de esta presión ascendente contribuyeal análisis de la estabilidad de una estructura hidráulica. La cara de la estructura que está en contacto con el suelo donde actúa la presión de poros, se la llamará: cara de contacto. Según la ecuación [4.9], la presión de poros en cualquier punto de la cara de contacto que se escribe:

ui = w·hpi [4.122]

Por lo tanto para determinar la presión de poros en un punto de la cara de contacto de la estructura, se debe determinar primero la altura piezométrica(hpi) de ese punto. Según la ecuación [4.7], esta altura se expresa como:

hpi = h1 – hzi–hi [4.120]Donde:

hpi = Altura piezométrica para un punto de contacto de la estructura. h1 = Altura total de carga en el borde de entrada. hzi = Altura potencial para el punto de contacto. hi = Perdida de carga para el punto de contacto.

La pérdida de carga (hi) es lineal a lo largo de la cara de contacto, entonces para determinar

la altura piezométrica, ha de determinarse la perdida de carga para el punto de contacto.

7.7.1. Determinación de la presión ascendente mediante redes de flujo.

En el caso de utilizarse una red de flujo debe identificarse todas las líneas y las caídas equipotenciales como se muestra en la Figura4.124.

La pérdida de carga para cualquier punto del plano de contacto puede expresarse con la expresión:

di

d

i nN

Hh

[4.121]

Donde: hi = Perdida de carga para un punto de contacto. H = Pérdida de carga total del sistema. Nd = Número total de caídas equipotenciales. ndi = Ubicación del punto según a las líneas equipotenciales.

Figura 4.83. Determinación del diagrama de presiones mediante redes de flujo.

E

3

1

2

4 5 6 79 10

8

BA C D 17

1311 12

14

15

16

F G H I J

H

hE'

0

1


257

En la Figura 4.83, se muestra un sistema de flujo confinado donde se desea determinar la presión ascendente en la cara de contacto, que está definida por los puntos B a J.

Luego de dibujar la red de flujo cuadrada, debe identificarse a todas las líneas equipotenciales de la manera como se ve en la Figura 4.84. Si se desea conocer la pérdida de carga para el punto A, el valor de ndi será 1, lo que significa que este punto está ubicado a una línea equipotencial completa. Para el punto B el valor de ndi será 8, mientras que para el punto E’ el valor de ndi será 11.5, pues está ubicado a 11 líneas equipotenciales completas y una mitad.

Figura 4.84. Diagrama de la presión ascendente en la cara de contacto de la estructura.

Luego de determinar la pérdida de carga para cada punto de la cara de contacto, se

determinan la altura potencial y luego la altura piezométrica para cada punto de contacto con la ecuación [4.120] y finalmente con la con la ecuación [4.119] se determina la presión de poros. En la Figura 4.84, se muestra el diagrama de presiones ascendentes en la cara de contacto.

7.7.2. Determinación de la presión ascendente mediante el método de los fragmentos.

También puede emplearse el método de los fragmentos para determinar el diagrama de presiones ascendentes que actúa en la cara de contacto de la estructura. En este método, el sistema es dividido en fragmentos separados por líneas equipotenciales.

El sistema de flujo confinado que se muestra en la Figura 4.85, ha sido dividido en fragmentos reconocibles con líneas equipotenciales, donde se desea determinar el diagrama de presiones ascendentes en la cara de contacto.

La pérdida de carga para cada fragmento (Fih ) es determinada con la ecuación [4.118], por

lo tanto la pérdida de carga para cualquier punto del sistema es determinado con la expresión:

1

iF

i i i

i

h h h

[4.122]

Donde: hi = Pérdida de carga para un punto de contacto.

Fih = Pérdida de carga para cada fragmento.

hi' = Pérdida de carga del punto respecto al fragmento en cuestión.

La pérdida de carga para un punto de contacto es acumulativa, para el punto E' el valor de hi corresponderá a la pérdida de carga del fragmento II más el valores de hi' correspondiente al punto E'. En el caso del punto F el valor de hi corresponderá a la pérdida de carga del fragmento II y V más el valor de hi' correspondiente al punto F.

EBA C D F G H I J


258

La Pérdida de carga del punto respecto al fragmento en cuestión es determinada con la expresión:

F

ii i

hh l

L

[4.123]

Donde: h'i = Pérdida de carga del punto respecto al fragmento en cuestión.

Fih = Pérdida de carga del fragmento en cuestión.

L = Longitud total del fragmento. li = Distancia del punto de contacto de acuerdo a la longitud total del sistema.

Figura 4.85. Determinación de diagrama de presiones con el método de los fragmentos.

Si se deseara determinar el valor de h'i del punto E’ el valor deli será medido según a la dirección del flujo, por lo que será la distancia del fragmento II más una parte del fragmento IV,

hasta donde se encuentra este punto, el valor de Fih para este punto corresponderá al del

fragmento IV, en cambio para el punto F será el del fragmento II.Teniendo las pérdidas de carga para cualquier punto de la cara de contacto, se determina la altura piezométrica para estos puntos con la ecuación [4.120] y finalmente con la ecuación [4.121] se determina la presión de poros para el plano de contacto. Conociendo la presión de poros para varios puntos de contacto, se tendrá el diagrama de presión ascendente.

7.7.3. Método de Lane para la presión ascendente de flujo.

E. W. Lane, investigador reconocido en la mecánica de suelos, desarrolló un método práctico en base a los conceptos fundamentales de la hidráulica en tuberías y las líneas de flujo, para determinar el diagrama de presiones ascendentes que actúan en la cara de contacto de una estructura utilizando la geometría de esta. Lane propuso que la pérdida de carga hi para un punto de contacto puede calcularse con la expresión:

HL

Lh i

i '

[4.124]

Donde: hi = Pérdida de carga para un punto de contacto. Li = Longitud de contacto del punto en cuestión. H = Perdida total de carga del sistema. L’ = Longitud total de contacto.

L

E'

H

h1

Fragmento

tipo II

Fragmento

tipo IV

Fragmento

tipo II·F


259

Lane considera la superficie de contacto a la primera línea de flujo, que será la condición inicial de borde de la función de flujo. En el sistema de flujo confinado de la Figura 4.86, se desea determinar el diagrama de presiones ascendentes que actúa en la cara de contacto de la estructura. El primer paso consiste en ubicar puntos de tal manera que puedan reconocerse distancias horizontales y verticales en la estructura, como se muestra en la Figura 4.86. En el caso que se tenga un elemento inclinado deberá usarse las componentes verticales y horizontales del elemento. Lane propuso que una partícula de suelo le es más fácil circular horizontalmente que verticalmente, por lo tanto determino que la distancia de contacto L’ será la suma de las longitudes verticales más el tercio de las longitudes horizontales, lo que significa:

HV LLL3

1' [4.125]

Donde: L’= Longitud total de contacto. LV = Longitud vertical de contacto. LH = Longitud horizontal de contacto.

2

31

4

5

C'

H

Figura 4.86. Determinación de diagrama de presiones con el método de Lane.

Las distancias verticales de contacto LV en la Figura 4.86, serán los segmentos 1-2, 2-3 y 4-5. Mientras que la única distancia vertical de contacto será el segmento 3-4.La longitud de contacto para un punto, es la distancia que se encuentra el punto sobre la superficie de contacto. Para el punto 2 la longitud de contacto li será únicamente la distancia vertical de contacto del segmento 1-2. Mientras que para el punto C, la longitud de contacto será la distancia vertical de contacto de los segmentos 1-2 y 2-3 más la tercia parte de la longitud horizontal de contacto del segmento 3-C’. Siguiendo este procedimiento pueden determinarse las pérdidas de carga para cada punto de la superficie de contacto y luego las alturas de presión con la ecuación [4.120] y finalmente la presión de poros con la ecuación [4.121]teniendo así el diagrama de presiones ascendentes.

Este método propuesto por Lane tiene como ventaja su facilidad para resolver problemas de flujo ascendente y proporciona buenas aproximaciones, puesto que se hace suposiciones sobre la facilidad que tiene el agua en moverse en el interior del suelo en sentido vertical como horizontal.Todo el diagrama de presión ascendente que actúa bajo la estructura puede ser representado como una fuerza puntual resultante que actúa en un punto por debajo por debajo la estructura.


260

7.8. Flujo en dos dimensiones en suelo anisotrópico. Debido a su modo de formación y deposición, muchos suelos sedimentarios tienen una conductividad hidráulica superior en la dirección horizontal a la correspondiente en la dirección vertical o en algunos casos aislados lo contrario. Anteriormente, se había definido suelo anisotrópico como un suelo que no mantiene sus propiedades en toda su masa. Debido a estas circunstancias de los suelos, se introducen algunas variables en los métodos anteriormente vistos para que puedan ser aplicables a este tipo de suelos.

7.8.1. Red de flujo en suelo anisotrópico.

Para el caso de suelo anisotrópico, se sabe que: kx=kz. Por lo cual, la ecuación que gobierna la región de flujo en suelo anisotrópico [4.55], será:

02

2

2

2

z

hk

x

hk zx

Esta expresión no es la ecuación de Laplace y no puede ser utilizada para obtener soluciones a los problemas de flujo en dos dimensiones, ni dibujar la red de flujo cuadrada. Sin embargo, puede cambiarse la geometría del problema para que la ecuación [4.55], tome la forma de la ecuación de Laplace. A este recurso se lo llama: la teoría de la sección transformada. Si el suelo es más permeable horizontalmente (kx>kz), el efecto que tiene la transformación geométrica en la región de flujo, es una reducción de las dimensiones en la dirección x, mientras que las dimensiones en la dirección z quedan intactas. Para lo cual, se realiza un cambio de variable en las coordenadas x y z a las coordenadas x’ y z’, que serán:

xk

kx

x

z ' z' = z [4.128]

La ecuación [4.55], puede escribirse como:

02

2

2

2

z

h

k

k

x

h

x

z [4.129]

Teniendo en cuenta los cambios de variable de la ecuación [4.128], por otra parte, puede

escribirse:

x

z

x

z

k

k

x

xx

x

h

k

k

x

x

x

h

x

h

'

'

'

'

Lo que resulta:

0'2

2

2

2

x

h

k

k

x

h

x

z

Por otra parte: 0'2

2

2

2

z

h

z

h

Si estas relaciones se sustituyen en la ecuación [4.129], se tendrá que:

0'2

2

2

2

z

h

k

k

x

h

k

k

x

z

x

z


261

Simplificando, se tendrá que:

0'' 2

2

2

2

z

h

x

h [4.130]

La transformación de coordenadas mediante la teoría de la sección transformada, ha

permitido reducir la ecuación [4.55] a la forma que se muestra en la ecuación [4.130], que es la ecuación de Laplace correspondiente al caso isotrópico.

Figura 4.88. Elemento de la red de flujo en suelo anisotrópico (Atkinson & Bransby, 1978). (a) Elemento en dimensiones reales. (b) Elemento en dimensiones reales.

Si el suelo es más permeable verticalmente (kz>kx), el efecto que tiene la transformación geométrica en la región de flujo, es una reducción de las dimensiones en la dirección z, mientras que las dimensiones en la dirección x quedan intactas. El cambio de variable para este caso será:

zk

kz

z

x ' x' = x [4.131]

De manera similar, se determina la ecuación de Laplace. Claro esta, que la transformación de coordenadas no ha de hacerse sólo en las ecuaciones, sino también física y realmente en la región de flujo en estudio. En la Figura 4.88a, se muestra el flujo a través de un elemento rectangular de una red de flujo anisotrópica en tamaño real, donde:kx>kz. En la Figura 4.88b, se muestra el flujo a través del elemento en escala transformada de acuerdo a los cambios de variable que corresponden al caso según la ecuación [4.128], es decir que todas las dimensiones en la

dirección x han sido multiplicadas por el factor: xz kk .

x

z

q k

(a)

x

z'

k'

(b)

x

s

b

k > k x z

qb

xz kks


262

Figura 4.89. Redes de flujo construidas en suelo anisotrópico (Cedergren, 1972). (a) Red de flujo anisotrópica en dimensiones reales kz>kx. (b) Red de flujo anisotrópica en dimensiones reales kx>kz. (c) Red de flujo construida en la sección transformada.

Cuando la red de flujo es construida en las dimensiones reales del suelo anisotrópico, las

líneas equipotenciales y de flujo no se interceptan en ángulos rectos. Sin embargo, cuando se aplican los cambios de variable correspondientes a cada caso, la región de flujo cambia de escala, ha esta nueva región de flujo se la denomina: sección transformada. La red de flujo cuadrada será construida de la misma manera que en el caso isotrópico en la sección transformada. En la Figura 4.89, se muestra dos ejemplos al respecto.

En la Figura 4.89a, se muestra la red de flujo en un sistema anisotrópico en dimensiones reales, donde kz>kx, al ser el suelo más permeable en la dirección z la red es alargada en esa dirección. En la Figura 4.89b, se muestra otro sistema anisotrópico en dimensiones reales, donde kx>kz, que está alargada en la dirección x. Al aplicar los cambios de variable de la ecuación [4.134] en la Figura 4.89a y de igual forma los cambios de variable de la ecuación [4.128] en la Figura 4.89b, en ambos casos, la región de flujo queda transformada a un sistema isotrópico, como se ve en la Figura 4.89c. Por lo tanto análogamente que el caso isotrópico, la ecuación [4.133] pueden escribirse de acuerdo a la función potencial y de flujo, que será:

0'' 2

2

2

2

zx 0

'' 2

2

2

2

zx

1234 1 2 3 4

a Números de referencia

123 12·a

Ataguía

k =4·kx z

k =4·kz x

1234 1 2 3 4 5

2·b

(a)

(b)

(c)

b

b

a


263

Estas dos ecuaciones, son las ecuaciones de Laplace en función a las dos familias de curvas que gobiernan la distribución de flujo a través de la región (x’, z’).

Entonces, puede trazarse la red de flujo cuadrada de la misma manera que el caso isotrópico, donde todas las propiedades de la red de flujo son válidas para la sección transformada. Por lo cual, el caudal que circula por la red de flujo en la sección transformada será:

21' hhN

Nkq

d

F [4.132]

Donde k’ es la conductividad hidráulica equivalente de la sección transformada. La caída

equipotencial que cruza el elemento de flujo en la Figura 4.89, hpara cada elemento. La conductividad hidráulica equivalente k q es el mismo para cada elemento.

Entonces, se dice que:

xz

xkks

bhk

s

bhkq

'

Simplificando, se tendrá que:

zx kkk ' [4.133]

Según a la ecuación [4.133], se concluye que en la sección transformada deberá usarse un

valor de la conductividad hidráulica igual a la media geométrica de las conductividades reales, de esta manera podrá determinarse sin dificultad el caudal y otras propiedades en la sección transformada. En esencia la teoría de la sección transformada, es un simple artificio de cálculo que se logra por una sencilla transformación de coordenadas y que se modifica sobre el papel las dimensiones de la región de flujo en estudio, de manera que la nueva región obtenida se suponga que es isotrópica (J. Badillo, 2000).

7.8.2. Método de los fragmentos en suelo anisotrópico. Originalmente el método de los fragmentos fue desarrollado para suelos isotrópicos, sin embargo varios investigadores hicieron aportes a este método, de tal manera que ahora puede ser utilizado en suelos anisotrópicos. Los ábacos que se muestran en las Figuras4.77 a 4.79, están elaborados para utilizarse en suelos anisotrópicos, donde se incluye el valor de transformación R, que será:

x

z

k

kR [4.134]

El valor de transformación para el caso de suelos anisotrópicos, será distinto a 1. Tomando

en cuenta este valor, puede determinarse el caudal y todas las propiedades de la región de flujo.

7.8.3. Flujo en dos dimensiones en suelo estratificado. Cuando las condiciones de la región de flujo incluyen estratos de suelo de diferentes conductividades, estas condiciones afectan significativamente el comportamiento del flujo en el sistema. Por lo cual, para analizar esta situación y emplear los métodos anteriormente descritos deben seguirse ciertos procedimientos.


264

7.8.4. Red de flujo en suelo estratificado. La Figura 4.90, muestra las condiciones de flujo por un borde entre dos suelos que son homogéneos e isotrópicos, pero con diferente conductividad hidráulica.

Figura 4.90. Deflexión de las líneas equipotenciales y de flujo en el borde de suelos con distinta conductividad hidráulica (Atkinson & Bransby, 1978).

La red de flujo del suelo 1 del borde a la izquierda, a, mientras, que el suelo 2 del borde a la derecha, debido a que es de diferente conductividad los elementos de la red son rectángulos con lados s y b. No obstante, como se ve en la Figura 4.91, las líneas de flujo y equipotenciales son contínuas al pasar el borde aunque sus pendientes cambien.

La cantidad de flujo entre dos líneas de flujo adyacentes debe ser la misma en todas partes, al igual que la pérdida de carga entre dos líneas equipotenciales adyacentes. La cantidad de flujo entre dos líneas de flujo adyacentes según la ecuación [4.72], será:

21 abbaq [4.135]

Donde los subíndices 1 y 2 se refieren a los suelos 1 y 2. De la ecuación [4.71], se tiene que:

1 = – k1·Dh1 2 = – k2·Dh2 [4.136]

Debido a que las líneas equipotenciales son continuas al pasar el borde, entonces se conoce que: h1 = h2. De esta manera, según a las ecuaciones [4.135] y [4.136], se tendrá que:

2

1

k

k

s

b

[4.137]

De la geometría en la Figura 4.91, se tiene que:

q

a

a

a

b

q

C

B

D

Suelo 1

k

Suelo 2

k

1

2

1

2


265

21 coscos baAB ; 21 sinsin saCD

Dividiendo estas dos ecuaciones CDAB , se tendrá que:

2

1

tan

tan

s

b [4.138]

Según a la ecuación [4.137], se tendrá que:

2

1

2

1

tan

tan

k

k [4.139]

La ecuación [4.149], define la deflexión que tendrán las líneas de flujo cuando cruzan en

borde y la ecuación [4.137] define las dimensiones de la red de flujo en un lado del borde, cuando en el otro lado la red de flujo es cuadrada.

7.8.5. Abatimiento de la línea freática en presas con secciones compuestas.

La Figura 4.91, muestra dos ejemplos comunes de secciones compuestas en presas de tierra.

La sección compuesta en una presa de tierra, por lo general tiene entre 2 o 3 tipos de conductividades hidráulicas que no son muy diferentes entre si. Las conductividades en secciones compuestas, no han de superar ser 1000 veces mayor o menor que la otra conductividad. Las diferentes conductividades de la sección compuesta de la presa de tierra, producen una variación en la trayectoria de la línea freática, al atravesar cada borde que separa distintas conductividades la línea freática se abate cambiando así su pendiente.

Figura 4.91. Presa con sección compuesta. (a) Sección con dos conductividades (b) Sección con núcleo de distinta permeabilidad.

La línea freática, por ser una línea de flujo, deberá de cumplir las condiciones generales de transferencia de tales líneas, es decir que si es el ángulo agudo con que la línea llega al borde y el ángulo agudo con que sale de la misma, después de ser desviada al modo de un rayo de luz que pasa de un medio a otro de diferente velocidad de propagación. Por lo que se llegará a cumplirque:

2

1

tan

tan

k

k

k1 2k

1k 2k k1

(a)

(b)


266

La línea freática ha de cumplir también la condición de igualdad de las pérdidas de carga (h), por ser línea equipresión, a diferencia de una línea de flujo común, por lo cual las condiciones de transferencia son distintas al caso de las líneas de flujo. Las condiciones de transferencia de la línea freática, se muestran en la Figura 4.92. Antes de aplicar las condiciones de transferencia de la línea freática, debe conocerse los sentidos que toman los ángulos y .

Figura 4.92. Condiciones de transferencia para la línea freática (J. Badillo, 2000). (a) Para k1>k2 y w< 90. (b) Para k1<k2 y w< 90. (c) Para k1<k2 y w> 90 (caso poco común). (d) Para k1<<k2 y w> 90 (k2 muy permeable). (e) Para k1>k2 y w> 90.

7.8.6. Método de los fragmentos en suelo estratificado. El análisis de suelos estratificados es otra limitación que tiene el método de los fragmentos. Un procedimiento aproximado para determinar las características del flujo de un sistema estratificado ha sido propuesto por Polubarinova-Kochina. Harr ha mejorado aquel método, donde los coeficientes de conductividad hidráulica de ambos estratos son relacionados con un parámetro adimensional que se expresa:

Borde

Borde

Bor

de

Bor

de

k1 k 2 k1 k 2

k1

k1 k1

k 2

k 2k 2

k1 k 2>

k1 k 2

>

k1 k 2

>

k1 k 2

>

k1 k 2>

w

==w ==0

=270--w

=270--w

w

w

w w

(a) (b)

(c)

(d) (e)

Muy

permeable

Borde


267

1

2tank

k [4.140]

Donde: k1 = Conductividad hidráulica del estrato superior. k2 = Conductividad hidráulica del estrato inferior.

La relación de las conductividades hidráulicas puede variar de 0 hasta infinito. El rango que varía es de 0 a ½. El método consiste en determinar el factor de forma , para obtener la relación q/k de la ecuación [4.90], para los tres casos especiales de que son:

CASO 1. Para = 0 entonces k2 = 0. El problema queda reducido a un problema de un solo estrato con una región de flujo de espesor igual al del estrato superior.

CASO 2. Para = ¼ entonces k1 = k2. El problema queda reducido a un problema de un solo estrato, con una región de flujo de espesor de ambos estratos.

CASO 3. Para = ½ entonces k2 es infinito. Este caso representa un flujo de agua que no tiene resistencia al circular en el estrato inferior. Por lo cual

F

ihkq 1 la inversa de esta expresión es igual a cero.

El procedimiento consiste en determinar el valor de del sistema con la ecuación [4.140], luego se interpola el valor de la relación q/k del sistema con respecto al valor de calculado del sistema, con los valores de de cada fragmento. Utilizando este procedimiento, puede determinarse todas las propiedades de la región de flujo.

Para determinar la presión de poros a lo largo de la superficie de contacto, se sigue el mismo principio de las ecuaciones [4.119] y [4.120]. Se determina la pérdida de carga y la altura total de carga para los tres casos de para cada punto de contacto deseado Finalmente se interpola los valores que corresponden al del sistema. Para determinar el gradiente hidráulico de salida ie, se utiliza la misma idea. Se determinar el gradiente hidráulico de salida con el ábaco de la Figura 4.83 para los tres casos de , luego se interpola el valor de que corresponde al sistema.

En el caso de un sistema de tres estratos o más, se usan dos o más valores de . Donde el primer valor de representará los primeros estratos superiores, mientras que el segundo valor será los últimos estratos, de tal manera que existan simplemente dos grupos, luego ha de analizarse los estratos en cuestión y así sucesivamente para un número mayor de estratos en un sistema.


268


269


270


271


272

8. Flujo de agua en tres dimensiones

El movimiento real del flujo de agua en el suelo corresponde al de un sistema en tres dimensiones. Anteriormente se consideraron casos donde puede analizarse el flujo de agua en una y dos dimensiones. Sin embargo, el presenciar el comportamiento del flujo en tres dimensiones tiene ventajas singulares pues de esa forma se conoce el verdadero comportamiento del agua en el suelo.

El flujo del agua hacia un pozo puede idealizarse como un flujo tridimensional con simetría axial (siendo el eje del pozo el eje de simetría) de un flujo homogéneo a través de un medio poroso.

La utilización de pozos de bombeo con fines de abastecimiento de agua era ya familiar en las civilizaciones antiguas. Sin embargo, de los avances técnicos empíricos serios en la materia que datan de hace aproximadamente un siglo; existen en la actualidad modelos tridimensionales en ordenadores que se valen de la teoría de elementos finitos para resolver problemas de flujo en tres dimensiones y también modelos eléctricos como se muestra en la Figura 4.93. En base a las investigaciones realizadas por Darcy y Dupuit.

Figura 4.93. Modelo eléctrico para flujo tridimensional (Duncan, 1963).

8.1. Uso de Pozos.

Los pozos pueden utilizarse de una gran variedad de maneras, especialmente para controlar el flujo de agua en el suelo. Estos pueden estar localizados en los acuíferos al lado de estructuras de retención de agua para disminuir la presión al límite más bajo en los estratos impenetrables. Los pozos también son usados para mantener condiciones secas en excavaciones durante la construcción, también las pruebas de bombeo en pozos sirven como un medio exacto para determinar la conductividad hidráulica del suelo. La técnica gráfica de redes de flujo descrita en la sección de flujo en dos dimensiones y los métodos aproximados puede usarse en el análisis de problemas de pozos. Sin embargo, las fórmulas elaboradas para obtener soluciones analíticas a los problemas de pozos es la técnica más aceptada.


273

8.1.1. Redes de flujo. Un ejemplo de una red de flujo para un simple problema se muestra en la Figura 4.95. El caudal entre las líneas de flujo está dado por la ecuación propuesta por Taylor (1948) que es:

2r b

q k hl

[4.141]

Donde: k = Conductividad hidráulica. ∆h = Perdida de carga total entre líneas equipotenciales. r = Distancia del pozo. b =Dimensión del elemento en la dirección Z. l = Dimensión de elemento en la dirección r.

(a)

(b)

q

Pozo de

bombeo

Nivel freático inicial

Abatimiento del

nivel freático

Estrato impermeable

h

Abat

imie

nto

2 z


274

(c)

Figura 4.94. Salida del flujo radial simple (Taylor, 1968). (a) Flujo horizontal del pozo. (b) Red de flujo vista en planta. (c) Red de flujo vista en perfil.

Como en una red de flujo en planta, ∆q y ∆h deben ser iguales para todos los elementos dentro de la red de flujo. Así r b l es una constante. Cuando se traza la vista en planta (Figura

4.94b) la red de flujo consiste de elementos cuadrados como en el caso de un plano descrito en el flujo en dos dimensiones.

Cuando se traza el perfil (Figura 4.94c) los elementos de aspecto con la relación (b/R) es proporcional a la distancia radial r y por consiguiente no son cuadrados.

Por lo tanto, la construcción gráfica de las redes de flujo para los problemas de flujo radial generalmente no es práctico excepto los casos donde la presión del agua es constante y sólo se requiere la vista en planta de la red de flujo.

8.1.2. Soluciones aproximadas. Los métodos numéricos y analógicos pueden ser usados para problemas que involucran condiciones de borde complicadas. Los métodos analógicos eléctricos son especialmente ventajosos para problemas de pozos más complicados que no pueden idealizarse en dos dimensiones.

8.1.3. Fórmulas analíticas. El análisis de flujo a un solo pozo puede ser resuelto a menudo por métodos analíticos. También, el análisis de flujo de pozos múltiples y muchos problemas que involucran condiciones de borde complicadas puede ser resuelto bien por soluciones de superposición para problemas de pozos singulares. Pueden obtenerse soluciones analíticas para problemas de flujo no estacionario.

8.1.4. Ecuaciones básicas del pozo para flujo en estado estacionario.

8.1.4.1. Flujo estacionario. Las condiciones de flujo estacionario existen cuando el caudal de flujo del pozo y la superficie piezométrica no cambian con el tiempo. Si la región de la superficie piezométrica no fluctúa, las condiciones de estado estacionario son alcanzadas por bombeo de un pozo de un caudal constante durante un largo periodo de tiempo. En otras palabras, al construir un pozo y comenzar a bombear agua de el con un caudal constante, el nivel de agua se empieza a abatir y se produce un flujo de la masa de agua que rodea al pozo hacia este; conforme pasa el tiempo el nivel sigue bajando y el flujo hacia el pozo se modifica. Eventualmente puede llegarse a una estabilización del nivel del agua en el pozo y de flujo de agua hacia el mismo en la zona circunvecina; cuando esto se ha logrado se tendrá unflujo estacionario, que hasta ese momento era no estacionario o transitorio. El diseño de pozos para el control del flujo de agua es a menudo basado en cálculos que asumen condiciones de estado estacionario.

8.1.4.2. Flujo estacionario radial en pozos con penetración total.

Zr l

b


275

8.1.4.2.1. En acuíferos artesianos.

Considerase el caso de un pozoconstruido en un acuífero artesiano de espesor D constante, según se muestra en la Figura 4.95.

Se construye el pozo de manera que se penetre totalmente en el acuífero artesiano; en el pozo se efectúa un bombeo, extrayendo un caudal constante q.

Cuando el flujo de agua hacia el pozo sea estacionario, el nivel del agua en el pozo permanece constante y la superficie piezométrica original se abate en la forma mostrada en la Figura 4.96. Se ha formado así el llamado cono de depresión de la superficie piezométrica.

Interesa encontrar una relación que ligue el caudal que se bombea del pozo con el abatimiento que se produce en la superficie piezométrica. El flujo hacia el pozo es horizontal en todo punto del acuífero, mientras que el gradiente hidráulico en todo punto del acuífero está dado por la tangente de la superficie piezométrica en la sección vertical que se considere y vale i=dh/dr.

Figura 4.95. Flujo radial estacionario con penetración total (J. Badillo, 2000).

Usando coordenadas polares, con el eje de pozo como origen, el caudal extraído a través de un cilindro de radio r vale:

Drdr

dhkAikq 2 [4.142]

De donde

r

dr

Dk

qdh

2

Integrando

CrDk

qh

ln

2 [4.143]

Donde C es la constante de integración que puede valuarse considerando la condición de

borde, según la que:

Para Rr ; Hh

hh0

D

r

2r0

Superficie del terrenoq

H

Nivel freáticoAbatimiento del nivel freático

de iniciar el bombeoNivel freático antes

Impermeable R

muy poco permeable

Acuífero


276

Así

CnRDk

qH

1

2

y

r

R

Dk

qHC ln

2

[4.144]

Llevando este valor de C a la ecuación [4.143] se obtiene:

rRDk

qHR

Dk

qHr

Dk

qh lnln

2ln

2ln

2

r

R

Dk

qHh ln

2

[4.145]

La ecuación [4.145] permite calcular la depresión de la superficie piezométrica en cualquier

punto en torno al pozo y, en especial, el nivel del agua en el pozo mismo, 0h (para 0rr ).De la

ecuación [4.145] particularizada para el nivel del pozo, puede despejarse el valor de q:

0

0

2ln

H hq k D

R r

[4.146]

La expresión [4.146], debida a G.Thiem (1870), es conocida con el nombre de ecuación de

equilibrio y permite calcular el caudal que puede extraerse de un pozo para un abatimiento dado

0hH , siempre y cuando se conozcan D, R, 0r y k. En un caso como el mostrado en la Figura

4.96 la única incógnita es k, coeficiente de conductividad hidráulica del acuífero, valor que puede tenerse por aplicación de la misma expresión de Thiem, extrayendo del pozo un caudal conocido. En efecto, para ello basta despejar k de la ecuación [4.146] obteniéndose:

00

ln2 r

R

hHD

qk

[4.147]

En realidad el caso presentado en la Figura 4.96, al cual se han venido refiriendo todas las fórmulas anteriores, es esquemático y poco frecuente en los problemas reales, pero la herramienta matemática que permite introducir es susceptible de extensión a casos de mayor interés práctico. Los casos reales más frecuentes son aquellos en los que el estrato artesiano es lo suficientemente extenso en todas las direcciones horizontales a partir del eje del pozo, como para que la zona de depresión pueda considerarse como una de flujo radial hacía el pozo. Si se

tienen dos pozos de observación llevados hasta el acuífero artesiano, a las distancias 1r y 2r a

partir del eje del pozo de bombeo y el nivel del agua en esos pozos es 1h y 2h respectivamente,

como se puede ver en la Figura 4.97 la aplicación de la ecuación [4.145] produce:

11 ln

2 r

R

Dk

qHh

[4.148]

y

22 ln

2 r

R

Dk

qHh

[4.149]

Restando


277

2

121 ln

2 r

r

Dk

qHhh

[4.150]

La expresión [4.150] no contiene los términos R y H, lo cual la hace aplicable a casos con simetría radial, al cual se refirió la Figura 4.97. Matemáticamente hablando la ecuación [4.150] es equivalente a la [4.146], suponiendo en todos loscasos que r1es mayor a r2.

De la expresión se puede despejar el valor de k y entonces proporcionar un método de campo para obtener dicho valor en casos de flujo estacionario en acuíferos artesianos, conocido el valor de k, la propia ecuación [4.150] permite fácilmente el cálculo del caudal que es posible extraer de un acuífero artesiano, en condiciones de flujo estacionario utilizando dos pozos de observación. El nivel del agua en el pozo puede obtenerse también con ecuación [4.150]

haciendo en ella 2r = 0r y usando un solo pozo de observación.

Respecto a las distancias que deben fijarse entre los pozos de observación y el de bombeo (

1r y 2r ). Conviene indicar que cuanto mayores sean será necesario una prueba más larga, para

dar tiempo a que se establezca el flujo, al menos en forma práctica, en la zona cubierta por los

pozos; por otra parte, si 1r y

2r se seleccionan muy pequeñas pueden jugar un papel importante

las anomalías de carácter local en torno al pozo que distorsionen los resultados, dificultando su interpretación.

Figura 4.96. Flujo radial estacionario con penetración total (J. Badillo, 2000).

Debe notarse que las ecuaciones anteriores se han desarrollado suponiendo que la carga en

el pozo 0h , corresponde exactamente al nivel del agua en el mismo; esto es cierto solamente

cuando no se toman en cuenta por ser pequeñas las pérdidas de carga hidráulica, que el agua sufre al pasar a través del filtro y la malla que protege la base del pozo para entrar a este. Si estas

pérdidas se quieren tomar en cuenta, el valor de 0h para los cálculos será el nivel del agua en el

pozo, más el valor de las pérdidas estimadas. La ecuación [4.146] de Thiem se refiere a un pozo en posición central dentro de su zona de

influencia; Muskat (1937) extendió su campo de aplicaciones a pozos que tienen una excentricidad, e, dentro de la zona influenciada por su presencia o cuando la carga en la periferia

q

freático

rEstrato impermeable

h1h2 D

Acuífero

poco permeableEstrato muy

r2

r1

Pozos de observación

del nivel

Abatimiento

inicialfreáticoNivel

bombeoPozo de


278

de un círculo que tenga en su centro al pozo no tenga un valor constante H. Para el primer caso Muskat obtuvo la siguiente expresión para el flujo radial hacia un pozo artesiano:

0

22

0

ln

2

rR

eR

hHDkq

De la ecuación anterior se deduce que para valores de e = 0 se llega a la ecuación [4.146] y

para e < 0.7·R el valor del caudal q difiere en menos del 10% del dado por la ecuación [4.146]; por lo tanto, la excentricidad del pozo respecto a su zona de influencia puede despreciarse, a no ser que sea muy importante.

Muskat también encontró para el segundo caso, que la ecuación [4.146] es valida cuando la carga H varía en la periferia de un círculo con el pozo al centro, siempre y cuando se use en ella el valor medio de H en todo el contorno.

8.1.4.2.2. En acuíferos libres o no confinados

Se trata el caso de un pozo de bombeo que penetra totalmente un acuífero libre o no confinado, dentro del cual se define un nivel freático. Nuevamente se considera al suelo que forma el acuífero homogéneo, isótropo y con una borde inferior impermeable y horizontal.

Si se bombea un caudal q constante del pozo hasta llegar a una condición de equilibrio (flujo

estacionario), puede obtenerse una ecuación que relacione el caudal extraído con el abatimiento del agua en el pozo con base en las hipótesis de Dupuit, ya comentadas anteriormente. Aplicando

la ley de Darcy a un cilindro de radio r y altura h , puede escribirse:

hrdr

dhkAikq 2

Figura4.97. Flujo radial estacionario con penetración total (J. Badillo, 2000).

De donde se tiene la ecuación diferencial

dhhq

k

r

dr

2 [4.151]

Integrando esteecuación y teniendo en cuenta (Figura4.98) que

Hh para Rr

y que

Superficiepiezométrica final

Acuifero ho

Nivel freatico original


Nivel freatico final

2·ro

r

h

qR

Nivel del agua

H

Impermeable


279

0hh para 0rr [4.152]

Se tiene:

H

h

R

r

h

q

kr

0

0 2

2ln

2

De donde:

0

20

2

lnr

R

hHkq

[4.153]

La ecuación [4.153] proporciona el caudal de bombeo en función de la permeabilidad del

acuífero, el radio del pozo, el radio de influencia del pozo del nivel freático respecto al plano y borde impermeable y la altura del agua en el pozo en relación al mismo plano de referencia. A la ecuación [4.153] suele llamársela la ecuación de Dupuit-Thiem.También en este caso es frecuente aprovechar las fórmulas para cuantificar el coeficiente de permeabilidad, k, del acuífero; para ello es preciso contar cuando menos con un pozo de observación a una distancia razonable del pozo de bombeo. Deberá resolverse la ecuación [4.151] con la segunda de las condiciones de borde en la ecuación [4.152], obteniéndose:

0

20

2 lnr

r

k

qhh

[4.154]

La ecuación [4.154] aplicada a una prueba de bombeo en que se puedan medir h y r en un

pozo de observación y 0h y 0r en el pozo de bombeo, permitirá valuar k. La prueba deberá

interpretarse a partir de datos obtenidos con flujo ya estacionario.Es también frecuente valuar k de los resultados obtenidos de dos pozos de observación durante una prueba de bombeo cuando

el flujo prácticamente sea estacionario. En este caso si 1h y 2h son los niveles de agua en los

pozos de observación situados a distancias 1r y 2r ( 21 rr ) del eje del pozo de bombeo, el

ecuación diferencial [4.151] conduce a la ecuación:

1

221

22 ln

r

r

k

qhh

[4.155]

Similar a la ecuación [4.154] obtenida para el caso de un pozo en un acuífero artesiano.La solución que se ha presentado en esta sección para el caso de flujo estacionario radial con penetración total en acuíferos libres no es rigurosa y su grado de validez en la práctica será tanto más aproximado cuanto menos se aparte el flujo de las hipótesis de Dupuit; es decir cuando la superficie piezométrica sea más horizontal, lo cual ocurre cuando el abatimiento del agua en el pozo de bombeo es pequeño.La experiencia permite afirmar que la ecuación de Dupuit-Thiem proporciona una buena aproximación para la superficie piezométrica correspondiente a la borde inferior impermeable del acuífero libre.


280

Figura4.98. Superficie libre y superficie piezométrica (J. Badillo, 2000).

En el nivel freático o línea de corriente superior, la aproximación es también aceptable para puntos no muy cerca del pozo de bombeo, pues alrededor de este se tiene una superficie libre de descarga, como se ilustra esquemáticamente en la Figura 4.98.En resumen, puede decirse que la solución dada en esta sección da buenos resultados para el nivel del agua en el pozo y en puntos que no estén localizados para el nivel del agua en el pozo y en puntos que no estén localizados en su inmediata vecindad. Por otra parte la solución presentada da muy buenos resultados para estimar el caudal de extracción del pozo para un abatimiento dado del agua en el mismo.

8.1.4.3. Flujo estacionario radial en pozos con penetración parcial.

8.1.4.3.1. En acuíferos artesianos

Cuando la rejilla del pozo, por la cual el agua entra, no cubre todo el espesor del estrato artesiano se tiene un pozo denominado de penetración parcial.

La Figura4.100 ilustra esquemáticamente el caso.Ahora el flujo radial ya no es horizontal, como se supuso en el caso de pozos con penetración total, sino que la trayectoria del agua en la vecindad del pozo es como se ilustra esquemáticamente en la Figura4.100. Si el abatimiento del agua en el pozo es el mismo, obviamente se tendrá un menor caudal en el pozo de penetración parcial que en el de penetración total. Asimismo, si el caudal que se extrae es el mismo en ambos pozos, el abatimiento del agua en el pozo de penetración parcial será mayor que el abatimiento que ocurrirá en el mismo pozo si su penetración fuera total.

Figura4.99. Flujo radial estacionario con penetración parcial (J. Badillo, 2000).

Superficie freática parapara el borde poco permeable

Acuifero

Superficie librePozo

Impermeable

R

2r0

qp

h0d

H h2D2D

D

Superficie piezométrica final

Superficie piezométrica original



281

Si se llama pq al caudal que se extrae del pozo de penetración parcial y q sigue siendo el

caudal que proporciona el pozo de penetración total, por la discusión anterior se tiene que pq /

q 1 para un abatimiento dado en el agua del pozo igual en ambos casos. Tanto teórica como

experimentalmente se ha encontrado que a una distancia Dr 2 a partir del eje del pozo, el efecto de la penetración parcial es despreciable, tanto en las condiciones de flujo en el estrato acuífero como en el abatimiento de la superficie piezométrica.El problema de los pozos parcialmente penetrantes ha sido estudiado por diversos investigadores, entre ellos, Forchheimer, Kozeny, deGlee y Muskat. Las soluciones mas generales las han obtenido los dos últimos haciendo uso de las funciones de Green, técnica matemática que permite resolver las ecuaciones diferenciales del flujo del agua cumpliendo con las condiciones de borde del problema.La solución que se presenta es la debida a G.J.de Glee (1930). Para un pozo que penetra únicamente una longitud d en la parte superior de un acuífero artesiano, la diferencia de niveles piezométricos entre el pozo y un punto situado a distancia 2D de su eje, es una vez establecido el flujo estacionario.

Dr

d

dk

qhh

pD

20.0

2ln

2

4 0

02

[4.156]

El sentido de las letras puede verse en la Figura 4.99. Como todas las fórmulas sobre el tema incluidas en este capítulo, la expresión [4.156] puede manejarse con cualquier sistema de unidades homogéneo, ya que las constantes que en ella Figuran son adimensionales.La ecuación [4.156] es válida cuando se cumplen las condiciones de que:

75.0/ Dd y 52/ 0 rd

De la distancia 2D hacia la lejanía del pozo, el nivel piezométrico se abate ya lo mismo que si

el pozo fuera de penetración total, como ya se dijo; lo anterior es válido, desde luego para un mismo caudal de extracción, qp, en ambos casos. De lo anterior, puede calcularse el abatimiento total se sufre el agua en el pozo respecto al nivel piezométrico original H. En efecto, este abatimiento total será el dado por la expresión [4.151], más el abatimiento que se tenga a la distancia 2D del pozo, calculado ya este último con las fórmulas del pozo de penetración total puede escribirse:

0220 hhhHhH DD [4.157]

De la ecuación [4.145]

D

R

Dk

qhH

p

D

2

ln2

2

[4.158]

Sustituyendo las ecuaciones. [4.158] y [4.156] en la [4.157] se obtiene:

Dr

d

dD

R

Dk

qhH

p 10.0

2ln

1

2ln

1

2 00

[4.159]

Donde H es el nivel piezométrico a la distancia R del eje del pozo siendo R el radio de influencia del mismo.

Despejando qpde la ecuación [4.159] y q de la [4.146] es posible encontrar la relación que

existe entre los caudales de dos pozos, uno de penetración parcial y otro de penetración total, suponiendo que ambos producen el mismo abatimiento piezométrico.Dicha relación es:

10.02

ln2

ln

ln

0

0

r

d

d

D

D

R

r

R

q

qp

[4.160]


282

Figura 4.100. Relación de caudales en penetración parcial y total (J. Badillo, 2000).

La ecuación [4.160] tiene valor práctico, pues permite calcular el caudal que se obtiene de un pozo parcialmente penetrante en función del que se puede extraer del pozo de penetración total que tiene el mismo nivel de agua. En la Figura4.101 se presenta una gráfica de los resultados de la ecuación [4.160] en función de la relación d/D y para d/2·ro igual a 5, 20 y 100, donde siempre debe cumplirse que R/ro = 1000. Es importante notar que la ecuación [4.160] es también aplicable al caso en que la rejilla del pozo este abierta en la parte inferior del acuífero y cerrada en la parte superior (es decir que solo entra el flujo al pozo en la longitud d en vez del caso inverso, que es el que se ha dibujado en la Figura 4.98

8.1.4.3.2. En acuíferos libres o no confinados. Para el caso de penetración parcial en acuíferos libres el mismo de Glee da una expresión que permite calcular el abatimiento del agua en el pozo, cuando es pequeño respecto a la altura H, correspondiente al nivel freático inicial:

Hr

d

dk

qhh

pH

20.0

2ln

2

4 002

[4.161]

En donde h2H es ahora la altura del nivel freático en un punto que dista de 2H del eje del

pozo. La similitud de la Ecuación[4.156] con la [4.161], relativa a pozos parcialmente penetrados en acuíferos artesianos, permite determinar la relación qp/q usando la ecuación [4.160] y la gráfica de la Figura4.100, sustituyendo únicamente el espesor D del acuífero artesiano por H, altura del nivel freático en el acuífero libre.

El efecto de la penetración parcial se hace despreciable lejos del pozo y los abatimientos en el nivel freático pueden estimarse con las fórmulas de perpetración total, utilizando en ellas el gasto de bombeo que realmente se tenga en el pozo.

8.2. Uso de software Puede usarse el programa SEEP/W.

= 1000Rro

2·ro

100

205

1.00.90.80.70.60.50.40.30.20.1

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0

0.1

0

Valores de

q

qP

Dd

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