U n i v e r s i d a d T é c n i c a F e d e r i c o S a n t a M a r í a P r o f e s o r : P a t r i c i o V i d e l a J . I n g e n i e r í a C i v i l I n d u s t r i a l A y u d a n t e s : J o r g e O s o r i o B . L i l i a n a M a d a r i a g a V .

Tercer Certamen de Probabilidad y Estadística Industrial 12.11.04

1. (30 ptos.) Sea nXXX ,...,, 21 una m.a. ( )n de una población la cual se supone tiene función de densidad de probabilidad dada por:

( ) ( ) ] [ ( ) 0 ,1, 1,0 >⋅+= θθθ θ xIxxf .

a) Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de ( ) ( ) 11 −+= θθh . Justifique. b) Estudie insesgamiento y consistencia del estimador encontrado en a).

c) Si 10=n y 510

1

108.6 −

=

×=∏i

ix , obtenga la estimación máximo verosímil de ( )xXP ≤ , para

3.0=x . 2. (20 ptos.) Se sabe que la duración, en horas de un foco de 75 watts tiene una distribución

aproximadamente normal, con una varianza de 625 horas2. Se toma una muestra aleatoria de 20 focos, obteniéndose una duración promedio de 1014 horas.

a) Con qué confianza se puede afirmar que la duración media de los focos es mayor a 1001

horas. b) Supóngase que se desea tener una confianza del 95% en que el error en la estimación de la

duración promedio sea menor que 5 horas. ¿Qué tamaño de muestra debe utilizarse? c) Supóngase que se desea que el ancho total del intervalo de confianza bilateral sea de 6 horas,

con una confianza del 90%. ¿Qué tamaño de muestra debe emplearse para este fin? 3. (30 ptos.) Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 16.0

onzas. La distribución de los volúmenes de llenado pueden suponerse normales, con desviaciones estándar 0.020 y 0.025 onzas, para la máquina 1 y la máquina 2 respectivamente. Un miembro del grupo de ingeniería de calidad sospecha que el volumen neto de llenado de ambas máquinas es el mismo, sin importar si éste es o no de 16 onzas. De cada máquina se toma una muestra aleatoria de 10 botellas

Máquina 1 Máquina 2

16.03 16.01 16.02 16.03 16.04 15.96 15.97 16.04 16.05 15.98 15.96 16.02 16.05 16.02 16.01 16.01 16.02 15.99 15.99 16.00

a) ¿Se encuentra el ingeniero en lo correcto? Utilice 05.0=α . b) ¿Cuál es el valor p de la prueba? Interprete. c) Si se supone que el tamaño de las muestras es el mismo, ¿qué tamaño de muestra debe

utilizarse para asegurar que 05.0=β si la diferencia verdadera entre las medias es 0.08? Suponga 05.0=α .

d) ¿Cuál es la potencia de la prueba del inciso a) si la diferencia verdadera entre las medias es 0.08?

4. (20 ptos.) La siguiente tabla entrega, para una muestra aleatoria de 12 sujetos, el tiempo en

minutos requeridos para completar una tarea y el número de minutos gastados en aprender esa tarea.

Tiempo en hacer tarea 40 35 20 38 17 26 28 22 12 12 5 12 Tiempo de aprender 30 30 40 40 50 50 60 60 60 70 70 70

La ecuación de la línea de regresión para predecir el tiempo en aprender a partir del tiempo utilizado en hacer la tarea está dada por:

.12,...,2,1 , 091.1778.76ˆ =−= ixy ii

De aquí se obtuvo que ( ) 5.1688ˆ1

2∑=

=−n

ii yy

a) Interprete las estimaciones de los parámetros del modelo. b) Pruebe la hipótesis que el tiempo en hacer la tarea disminuye el tiempo en aprender la

misma. Comente. c) Determine e interprete el coeficiente de determinación.