03_Aplicaciones_1_GL.pdf

Universidad Federico Santa María

Departamento de Obras Civiles

Dinámica de Estructuras (CIV–235)

H. Jensen & M. Valdebenito

Aplicaciones Asociadas a

Sistemas de 1 Grado de Libertad

Introducción

• En la unidad anterior, se estudio la solución de la ecuación de

movimiento para sistemas de 1 grado de libertad para situaciones

particulares

– Caso de vibraciones libres

Solución depende de factor de amortiguamiento 𝑐

Se pueden identificar 4 casos

Sin amortiguamiento

Subamortiguado

Amortiguamiento crítico

Sobreamortiguado

USM – Dinámica de Estructuras (CIV–235) 2

Recordatorio

Solución de la ecuación de

movimiento es oscilatoria

Introducción

• En la unidad anterior, se estudio la solución de la ecuación de

movimiento para sistemas de 1 grado de libertad para dos situaciones

particulares

– Caso de vibraciones forzadas (fuerza externa de tipo armónica)

La solución de la ecuación de movimiento es la suma de la

solución homogénea 𝑥𝐻(𝑡) y la solución particular 𝑥𝑃(𝑡)

Para razones de amortiguamiento 𝑑 ≠ 0, solución homogénea

se desvanece en el tiempo


Recordatorio

Introducción

• En la unidad anterior, se estudio la

solución de la ecuación de

movimiento para sistemas de 1

grado de libertad para dos

situaciones particulares

– Caso de vibraciones forzadas

(fuerza externa de tipo

armónica)

Amplitud de la solución

particular es estudiada en

detalle a través del

concepto de Factor de

Amplificación Dinámica

(FAD)


Recordatorio

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8 Factor de Amplificación Dinámica

F

AD

Amplif. Dinámica

d=0%

d=5%

d=10%

d=40%

d=100%

Introducción

• Utilizando las soluciones de la ecuación de movimiento determinadas

en la unidad anterior (en particular, la solución estacionaria), se busca

analizar una serie de aplicaciones prácticas

1. Determinación de la razón de amortiguamiento 𝑑 (método de

potencia media)

2. Movimiento armónico basal

3. Fuerzas transmitidas a la fundación

4. Fuerzas armónicas debido a excentricidades

5. Instrumentos de Medición


Objetivo

Determinación de 𝑑 (método potencia media)

• Considere un sistema estructural caracterizado mediante un grado de

libertad que es solicitado por una fuerza del tipo armónica

• Se asume que razón de amortiguamiento de la estructura es pequeña,

es decir, 𝑑 < 10%

• Se supone que mediante experimentación, se ha determinado la curva

que describe la amplitud de la respuesta estacionaria en función de la

frecuencia de la fuerza armónica que solicita la estructura


Formulación

k

c

m


• Amplitud de la respuesta estacionaria como función de la frecuencia de

la fuerza armónica


Formulación

Respuesta Estacionaria v/s Frecuencia de Excitación

Frecuencia de la

excitación 𝜔

Amplitud

estacionaria de

la respuesta Resonancia

Definición: puntos

de potencia media

Note que para

𝑑 ≪ 1, 𝜔𝑚𝑎𝑥 ≈ 𝜔𝑛

El objetivo es

determinar 𝑑 en

base a la curva

experimental que

describe la relación

entre frecuencia y

amplitud


• Anteriormente se demostró que la amplitud máxima como función de la

frecuencia de excitación externa es la siguiente

• Luego, la amplitud asociada al punto de potencia media 𝑥𝑃/2 es:


Análisis

para


• Note que la amplitud asociada al punto de potencia media 𝑥𝑃/2 puede

ser calculada alternativamente utilizando la fórmula asociada al factor

de amplificación dinámico

• Al igualar las expresiones anteriores, es posible determinar los valores

que asume la razón de frecuencias 𝑅 asociados al punto de potencia

media 𝑥𝑃/2


Análisis

Esta ecuación se

verifica para los puntos

de potencia media 𝑥𝑃/2


• Bajo el supuesto que 𝑑 ≪ 1

• Al despreciar términos de 2º orden, las soluciones buscadas de la

razón de frecuencias 𝑅 es:


Análisis

Término de 2º orden

Término de 2º orden Aproximación por medio

de serie de Taylor


• En resumen, las dos soluciones de 𝑅 permiten identificar las 2

frecuencias 𝜔1 y 𝜔2 de la carga armónica asociadas al punto de

potencia media 𝑥𝑃/2

• En vista que la curva de amplitud de la respuesta estacionaria en

función de la frecuencia de la fuerza armónica es prácticamente

simétrica (cerca del máximo), es posible introducir la siguiente

aproximación


Análisis

Movimiento Armónico Basal


Formulación


libertad

• La base de este sistema experimenta un desplazamiento descrito

mediante una función armónica

• Para este sistema, la ecuación de movimiento es:

• El objetivo es caracterizar la transmisión de movimiento desde la base

a la estructura en términos de desplazamiento y fuerza

k

c

m • 𝑥(𝑡): desplazamiento total del

sistema estructural

• 𝑦(𝑡): desplazamiento de la base



Análisis Respecto de Desplazamientos

• En vista de que el movimiento basal es caracterizado por medio de la

función 𝑦 𝑡 = 𝑦0 sin(𝜔𝑡), es posible expresar la ecuación de

movimiento como:

• Donde

• Finalmente, la ecuación de movimiento es expresada de manera

normalizada




• Interesa analizar respuesta estacionaria del sistema

– Asociada a solución particular de la ecuación diferencial de

movimiento

– Dicha solución ya fue deducida en el capítulo anterior

– La solución estacionaria de 𝑥(𝑡) es:

• Es posible demostrar que la razón entre la solución estacionaria 𝑥 𝑡 y

la amplitud del movimiento basal 𝑦0 es:




• La razón entre la amplitud de la solución estacionaria de la estructura y

la amplitud de excitación basal se define como el coeficiente de

transmisibilidad 𝑇𝑅

• El coeficiente de transmisibilidad caracteriza la transmisión de

movimiento desde la base a la estructura en términos de

desplazamiento




• En el gráfico, se

ilustra una serie

de curvas

asociadas al

coeficiente de

transmisibilidad

𝑇𝑅

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8 Coeficiente de Transmisibilidad

Amplificación

No deseable en diseñoAislación

d=0%

d=5%

d=10%

d=40%

d=100%

Amplificación Aislación



Ejemplo 1

• Descripción

– Tres

estructuras de

propiedades

idénticas

excepto por

longitud de

columnas

– Sometidas a

movimiento

basal de

amplitud

constante y

frecuencia

variable


• Descripción

– Considere un modelo (muy) simplificado de un automóvil y su

sistema de suspensión por medio de una estructura de 1 grado de

libertad

– Automóvil enfrenta una zona de baches caracterizada a través de

una función del tipo sinusoidal


Ejemplo 2

k c

m

6 [m]

0,02 [m]

• Objetivo:

determinar

amplitud de

vibración de la

respuesta

estacionaria


• Datos

• Formulación: se supone que automóvil no se desplaza y que baches

generan un movimiento basal


Ejemplo 2

k c

m

6 [m]

0,02 [m]

• 𝑘=4x105 [N/m]

• 𝑚=1007 [kg] (modelo

pequeño); 1585 [kg]

(modelo mediano)

• 𝑐: 20x103 [Ns/m]

• 𝑣: {20,80,100,150} [km/hr]

“Movimiento”

de la base

Unidades [km/hr] Unidad [s]


• Resultados

– Caso 1: modelo de automóvil pequeño

– Caso 2: modelo de automóvil mediano


Ejemplo 2


• Además de caracterizar la transmisión de desplazamiento, es de interés

cuantificar la fuerza transmitida 𝐹𝑇(𝑡) al sistema estructural en sí (es

decir, la fuerza transmitida a la masa)

• Considerando la solución estacionaria de 𝑥(𝑡), la fuerza transmitida

queda expresada como:

• La amplitud de esta fuerza es la siguiente (considerando 𝜔 = 𝑘/𝑚 y

𝑅 = 𝜔/𝜔𝑛)


Análisis Respecto de Fuerza


• Note que la magnitud 𝑘𝑦0 representa la fuerza “estática” que actúa

sobre la masa (es decir, la fuerza que se originaría dado un

desplazamiento estático 𝑦0 de la base y un desplazamiento nulo de la

estructura)

• Resulta conveniente normalizar la fuerza transmitida a la masa 𝐹𝑇 por

la fuerza estática 𝑘𝑦0




• Resulta conveniente

normalizar la fuerza

transmitida a la masa

𝐹𝑇 por la fuerza

estática 𝑘𝑦0



0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8 Fuerza Transmitida

d=0%

d=5%

d=10%

d=40%

d=100%

Fuerza transmitida respecto de fuerza estática

Note que en origen la

fuerza es cero

debido a que 𝜔 = 0 y

por tanto 𝑅 = 0




• Para el caso en

que 𝑑 > 0, curva

que modela fuerza

transmitida

respecto de fuerza

estática tiene una

sección creciente

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8 Fuerza Transmitida

d=0%

d=5%

d=10%

d=40%

d=100%

Fuerza transmitida respecto de fuerza estática


• Un molino rotatorio induce una oscilación armónica en el piso de una

cierta instalación industrial. En dicho piso se encuentra ubicado un

instrumento de precisión. En la base en donde se encuentra instalado

el instrumento se mide una oscilación 𝑦 𝑡 = 0.1 sin(𝜔𝑡) [𝑐𝑚]. Calcular

la fuerza 𝐹𝑇(𝑡) transmitida al instrumento en condición de resonancia si

este se encuentra instalado en un sistema de gomas con parámetros

equivalentes 𝑘 = 40000𝑁

𝑚, 𝑐 = 900

𝑁𝑠

𝑚 y 𝑚 = 3000 𝑘𝑔 .


Ejemplo

R:

Fuerzas Transmitidas a la Fundación


libertad que es solicitado por una fuerza del tipo armónica

• El objetivo es determinar la fuerza 𝐹𝑇(𝑡) que el sistema estructural

transmite al suelo debido a la fuerza armónica

• Solo se considera la respuesta estacionaria

• Este caso es de relevancia en instalaciones industriales


Formulación

k

c

m


• La ecuación de movimiento para este sistema ha sido estudiada con

anterioridad

• De la misma manera, la solución estacionaria (particular) ha sido

caracterizada previamente

• En consecuencia, la fuerza transmitida 𝐹𝑇(𝑡) puede ser calculada

tomando en cuenta el efecto de las fuerzas de restitución y disipación


Análisis y Determinación de la Fuerza Transmitida


• Se puede demostrar que la fuerza buscada 𝐹𝑇(𝑡) es igual a:

• Se define como coeficiente de transmisibilidad la razón entre la

amplitud de la fuerza transmitida a la fundación 𝐹𝑇(𝑡) y la amplitud de la

fuerza armónica aplicada a la estructura 𝐹0

• Este coeficiente de transmisibilidad es análogo al coeficiente de

transmisibilidad asociado al desplazamiento( 𝑥 𝑡 /𝑦0) deducido para el

caso de movimiento armónico basal


Análisis y Determinación de la Fuerza Transmitida

Fuerzas Armónicas Debido a Excentricidades

• Considere un sistema estructural de

masa total 𝑀en el cual hay dos masas

𝑚/2 de excentricidad 𝑙 que giran a una

velocidad angular constante 𝜔

• Se asume que solo ocurren vibraciones

verticales

• La coordenada 𝑥(𝑡) mide los

desplazamientos a partir de la posición

de equilibrio estático

• Objetivo: plantear la ecuación de

movimiento y determinar su solución

estacionaria


Formulación



Solución

• La ecuación de movimiento de este sistema es:

• Note que la forma de esta ecuación es similar a la de un sistema

excitado por una fuerza armónica (en este caso, la amplitud de la

fuerza es igual a 𝑚𝑙𝜔2)

• Por lo tanto, la solución estacionaria buscada puede ser determinada

utilizando las fórmulas deducidas en el capítulo anterior

• Se puede demostrar que la amplitud de la solución estacionaria es:



Solución

• Note que esta curva

puede ser generada de

manera experimental

– Sobre una estructura

existente, se instala

un motor con masas

excéntricas

– Se hace un barrido de

frecuencias y se mide

amplitud de la

oscilación

• Note además que para

𝑅 ≫ 1 (𝑅 > 3) la curva

es independiente de 𝑑 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8 Masas Desbalanceadas

d=0%

d=5%

d=10%

d=40%

d=100%

• Representación gráfica de la amplitud de la solución estacionaria

Instrumentos de Medición

• Una aplicación relevante de sistemas de 1 grado de libertad consiste en

la medición de fenómenos (ejemplo: eventos sísmicos)

• Objetivo: discutir idea básica de funcionamiento de un sismógrafo y un

acelerógrafo (no se busca presentar descripción detallada de estos

instrumentos)

• Para presentar las ideas asociadas, se considera solo la solución

estacionaria (particular) de la ecuación de movimiento


Formulación


• Considere el siguiente modelo de 1 grado de libertad

• El desplazamiento relativo 𝑧 𝑡 es la diferencia entre el desplazamiento

de la masa y el suelo

• El objetivo es determinar el desplazamiento 𝑦(𝑡) y la aceleración 𝑦 (𝑡) (problema inverso)


Formulación

• 𝑥(𝑡): desplazamiento total de la

masa 𝑚

• 𝑦(𝑡): desplazamiento de la base

(desconocido)

• 𝑧(𝑡): desplazamiento relativo

entre la base y el suelo


• Para el análisis, se supone que excitación basal es del tipo

• Es posible demostrar que la ecuación de movimiento de este sistema

es:


Solución de la Ecuación de Movimiento


• La solución estacionaria para este problema ha sido determinada

previamente


Solución de la Ecuación de Movimiento


• Suponga que la frecuencia natural del oscilador es mucho menor que

la frecuencia de la excitación

• Bajo este supuesto, la amplitud de la solución estacionaria puede

aproximarse como igual a 𝑦0


Medición del Desplazamiento


• Suponga que la frecuencia natural del oscilador es mucho menor que

la frecuencia de la excitación

• Bajo este supuesto, el ángulo de fase 𝜓 de la solución estacionaria

tiende a ser igual a 𝜋




• El supuesto que 𝜔𝑛 ≪ 𝜔 implica que:

• En resumen, el desplazamiento a medir puede ser aproximado como

𝑦 𝑡 ≈ −𝑧(𝑡)




• El instrumento que mide desplazamientos se denomina sismógrafo

– Propiedades: 𝜔𝑛 pequeño implica que la rigidez 𝑘 debe ser pequeña

y la masa 𝑚 muy grande

– En aplicaciones prácticas, una razón 𝜔

𝜔𝑛> 3 ó 4 permite una

aproximación apropiada

– Habitualmente, la frecuencia natural de un sismógrafo 𝑓𝑛 ≈2.5 [hz]

permite medir señales en el rango 10~500 [hz]




• A diferencia del caso de la medición de desplazamiento, suponga que

la frecuencia natural del oscilador es mucho mayor que la frecuencia

de la excitación

• Las consecuencias de dicho supuesto sobre la amplitud y ángulo de

fase de la respuesta son las siguientes


Medición de la Aceleración


• Luego, es posible determinar la siguiente relación entre el

desplazamiento relativo y la aceración basal

• En otras palabras, el desplazamiento 𝑧(𝑡) es proporcional a la

aceleración basal 𝑦 𝑡




• El instrumento que mide

aceleración se

denomina acelerógrafo

– Propiedades: 𝜔𝑛

grande implica que

la rigidez 𝑘 debe ser

grande y la masa 𝑚

muy pequeña

– En aplicaciones

prácticas, una razón

0<𝜔

𝜔𝑛<0.4 (ó

0< 𝜔 < 0.4𝜔𝑛)

permite una

aproximación

apropiada



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2 ACELERÓGRAFO

F

AD

d=0%

d=5%

d=10%

d=40%

d=70%

d=100%

FA

D


• Un acelerógrafo posee una razón de amortiguamiento alto (𝑑 =

1 √2 ≈0.7)

• Valores típicos de frecuencia natural son:

– Intrumento Mecánico 𝑓𝑛 = 100[𝐻𝑧]

– Instrumento Electrónico 𝑓𝑛 = 105[𝐻𝑧] . En este caso, el rango útil del

instrumento es 0< 𝑓 <40000 [hz]




• Note que en el caso general, una excitación basal del tipo sísmico

involucra más de una frecuencia relevante. Por ejemplo:

• En este caso, la solución estacionaria es:

• Los ángulos de fase 𝜓1 y 𝜓2 son pequeños pero distintos. Se

introduce la suposición adicional que 𝜓1 = 𝛼𝜔1 y 𝜓2 = 𝛼𝜔2. De

acuerdo a este supuesto:




• La condición de que el

ángulo de fase se

relacione linealmente

con la frecuencia de la

excitación basal

(𝜓 = 𝛼𝜔) es razonable

para una razón de

amortiguamiento

crítico 𝑑 igual al 70%

• Recordar que el

ángulo de fase es

igual a:



0 0.5 1 1.5 2

d=0%

d=5%

d=10%

d=40%

d=70%

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