03 metodos o tecnicas de integracion

MATEMÁTICA II. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: MÉTODOS O TÉCNICAS

DE INTEGRACIÓN.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3. Métodos o técnicas de integración.

Matemática II. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática II (Cálculo integral) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática II en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



4.1.- INTEGRACIÓN POR PARTES.

La integración por partes resulta útil cuando el integrando está conformado por el producto

de funciones inversas, logarítmicas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales.

Fórmula del método de integración por partes:

vduvudvud .)( udvvud .

vduudvvud )(

Al despejar vdu , resulta:

udvvudvdu )(

Integrando ambos miembros de la ecuación:

udvvudvdu )(

Por propiedades inversas de la diferenciación y la integración: vuvud )(

udvvuvdu

Integral original: vdu

Integral generada: udv

Como se ve, la fórmula de integración por partes expresa la integral original vdu en

términos de otra integral udv . Según sean las elecciones de u y vd , puede resultar más

fácil calcular la segunda integral que la primera. En cualquier caso, la segunda integral se

puede determinar mediante reglas básicas de integración, cambio de variable, sustitución

trigonométrica, separación en fracciones parciales, e incluso, aplicando integración por

partes.

Esquema para usar integración por partes vdu :

i.- Tómese como u aquella porción del integrando que tiene por derivada ud una función

más simple que la propia u.

ii.- Tómese como vd la porción más complicada del integrando que puede integrarse

“fácilmente”.



Sugerencias para el uso de integraciones por partes sucesivas.

i.- Tener cuidado de no conmutar las elecciones de u y v´ en sucesivas aplicaciones.

ii.- Después de cada aplicación, vigilar la aparición de un múltiplo constante de la integral

original.

Regla nemotécnica.

La elección conveniente de u (según el orden de aparición en el integrando) es:

Inversa > Logaritmica > Algebraica > Trigonométrica > Exponencial

Nota: El método de integración por partes suele conducir a integrales inmediatas, con

cambio de variables, en fracciones simples, por sustitución trigonométrica ó potencias

trigonométricas.

a) Simples.

Calcular las siguientes integrales:

1. xdx1sen 2. xdx )32(sen 1

3.

xdee xx )(sen 1

4.

xdx1cos

5. xdx2cos 1 6.

xdxx )2(cos 21

7.

xde

xx

)2sen (cos 1

8.

xde

xx2

1 )(cossen 9.

xdxx 12sen

10. xdx1tan

11.

xdx1cot

12. xdx)3(cot 1

13.

xdx

x1tan

14.

xdx

x1cot

15.

xdx

x2

1sen

16. xdxx 1sec

17.

xdxx 1tan

18. xdxx 2tan 1

19. xdxx )3(tan 12

20.

xdxx )3(cot 12 21. xdxx )(tan 213

22. xdx)(sec 1

23.

tdt )2(sec 1 24. xdx)(tan 1

25. xdx )1(tan 1

26. xdxx 1tan 213

27.

xdx1tanh

28.

2

1

1

sen

x

xdxx 29.

32

1

)1(

sen

x

xdxx

30.

x

xdx

1

sen 1

31. xdxx sen

32. xdxx 2sen

33. xdxxx cossen

34. xdxxcos 35. xdxx 2cos

36. xdxx 5cos

37. xdee xx )(cos2

38. xdx1cos

39. xdxx )(sen )2(



40. xdxx 23 cos

41. xdxxx tansec

42. xdx

xx2sen

cos

43. xdxx 2sec

44. xdx

x

2cos2

45. xdxx 2csc

46. xdxx 2tan

47. xdxx )sen1(ln sen

48. xdxx )4(cosh)4(

49. xdxln

50. xdxx )(coslnsen

51. xdx

x)(lnln

52. xdxlog

53. xdx

xln

54.

1

)1(ln

x

xdx

55. xdxx ln

56. xdx

x3

ln

57. xdxx ln

58. xdxx ln2

59. xdxx ln3

60. xdx2ln

61. xdxx )(sen lncos 2 62. xdx)1(ln 63. xdxxx 1ln1 22

64. xdx )1(ln 2

65. xdx 1ln 2

66. xdxx )1(ln 2

67.

xdx

x2

2 )1(ln 68. xdxx )2(ln 2 69. xdxx )1(ln 2

70. xdxx )1(ln 2 71.

xd

x

xx

1

1ln (SPF) 72. xdxx 3 13ln

73. 2

3

1 x

xdx

74. 2

3

1 x

xdx

75. 3

5

1 x

xdx

76. xd

x

x22

2

)1(

77. xdex x

78. xdex x3

79. xdx x3

80. xdx x2

81. xde

x

82. xdex x23

83. 2)1(x

xdex x

84. xdxx 2tansec3

85. xdx1sec (ST) 86.

xdx1csc (ST) 87. xdxx 1sen (ST)

88. xdx)2(sen 1 (ST) 89.

xdx)3(sen 1 (ST) 90. 21

ln

x

xdxx (ST)

91. 4

ln

2x

xdxx (ST) 92. xdxx )1(ln (ST)

93. 2)1(

ln

x

xdx (SFP) 94. xdxx )1(ln 3 (SFP)



b) Iteradas.


95. xdx 21 )(sen 96.

xdxx 21 )(tan 97. xdx 2)(ln

98. xdx

x2

2ln 99. xdxxm 2ln

Método tabular.

En problemas que contienen aplicaciones repetidas de la integración por partes, un método

tabular puede ayudar a organizar el trabajo. Este método funciona bien para las integrales

del tipo xdxaxn )(sen , xdxaxn )(cos y xdex xan .

Resolver.

100. xdxx )3(sen2

101. xdxx )4(sen2

102. xdxx )2(cos2

103. xdxx senh2

104. xdex x22

105. xdex x32

106. xdx x32

107.

xdexx x)32( 2

108. xdxx senh3

109. xdex x3

110. xdex x23 111.

xdex

x33

112. xdex x25

113.

xdex x25 114. xde

x3

115. xdx3sen

116. xdxx 22 )2(

c) Cíclicas.


117. xdx)ln(sen 118. xdx)2(lncos 119. xdxx )ln(cos

120. xdx)(lncos2

121. xdxbe xa )(sen 122. xdxexsen

123. xdxex 2sen

124. xdxe x )(5sen 4

125. xdxe x )3(sen2

126. xdxe xsen 127. xd

e

xx

)2(sen

128. xdxbe xa )(cos

129. xdxex cos 130.

xde x1sen

131. xdxe x cos2

132. xdxe x )2(cos3 133. xdxe x )2(cos

134. xd

e

xx

2sen

135. xdxx cos3 136. xdx3sec

137. xdx5sec

4.2.- SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS.



uduaf )( 22 : tómese senau uduaf )( 22 : tómese tanau

udauf )( 22 : tómese secau

Nota: El método de integración mediante sustitución trigonométrica suele conducir a

integrales inmediatas, con cambio de variable o de expresiones trigonométricas.

a) Integrales de la forma xdxaf )( 22.

1. 24 x

xdx 2.

21

)16( 2x

xdx 3.

222 xax

xd

4. 22 4 xx

xd 5.

225 xx

xd 6.

2

21

x

xdx

7.

2

24

x

xdx 8.

xd

e

ex

x216 9.

32 )6( x

xd

10. 2

3

)tan4(

sec2

2

x

xdx 11.

23

)ln4( 2 xx

xd 12.

32

2

)91( x

xdx

13. 2

3

)21( 2

2

x

xdx

14. 2

3

)2( 2

2

x

xdx

15. 24 xx

xd

16. 267 xx

xdx

17.

xdxx

x

)sen 6(sen

2sen

18.

22

)53(

x

xdx

19.

xd

xx

x

32 )45(

3

20. 2

2

9 x

xdx

21. 2

2

91 x

xdx

22. 2

2

23 x

xdx 23. xdxa 22

24. xdx21

25. xdx29 26. xdx249

27. xdx2916

28. xdxx )21()21( 29.

xdx

x1

30.

xdx

x4

31. xdxx 22 1

32. 2

2

2 xx

xdx 33.

2

2

421 xx

xdx

34. 2

3

4 x

xdx

35. 2

3

9 x

xdx

36. 2

3

2 x

xdx



37. 42

3

)1( x

xdx

b) Integrales de la forma xdaxf )( 22.

38. 92x

xdx 39.

922 xx

xd 40.

23

)4( 2x

xd

41. 32 )25(x

xd 42.

24 x

xd 43.

236 x

xd

44. x

x

e

xde4

2

4

45. 2

1

)54( 2 xx

xd 46.

21

)52( 2 xx

xd

47. 1722 xx

xd

48. 258 24

2

xx

x

ee

xde

49. 12xx

xd

50. 42xx

xd 51.

92xx

xd

52. 1625 2xx

xd

53.

xd

xx

x

134

422

54.

xdx

x4

2 94

55. 222 )( ax

xd

56. 22 )4( x

xd

57. 22 )94( x

xd 58.

xdx

x22

2

)4(

59. xd

x 32 )1(

1

60. 42

3

)16( x

xdx 61.

92

3

x

xdx

62. 499 2

3

x

xdx

63. xdxx 23 9

64. xdxx 23 49

65. xdxx 241

66. xdxxx 22)1( 2 67.

23

)4( 2

2

x

xdx

68. 52

2

)1(x

xdx

69. 24 16 xx

xd 70.

x

xdx 12

71. xdxa 22

72.

62

2

x

xdx 73.

3

24

x

xdx

74. 21 xx

xd



c) Integrales de la forma xdaxf )( 22.

75. 2522 xx

xd 76.

722 xx

xd 77.

22 ax

xd

78. 254 2x

xd 79.

722 xx

xd 80.

762 xx

xd

81. xx

xd

32

82. 142 xx

x

ee

xde

83. xe

xd

1

84. 5

22xx

xd

85. 34 2xx

xd 86.

xd

x

x

162

2

87. xdax 22

88. xdxx 92

89. xdxx 52

90) xdxxx 86)3( 2

91.

423 xx

xd

92. 2523 xx

xd

93. 324 xx

xd 94.

23

)1( 2x

xd

95. 2

3

)14( 2x

xd

96. 2

3

)94( 2x

xd 97.

32 )4( xx

xd

98. 2

3

)6( 2 xx

xd

99. 2

3

)78( 2 xx

x

ee

xde

100.

2

2 21

)4(

x

xdx 101.

x

xdx 42

102.

x

xdx 92

103.

x

xdx 32

104. xdex 1

105.

x

xdx 23

)169( 2

106.

42

3

x

xdx

107. 163 2

3

x

xdx

108. 4ln

ln2

3

xx

xdx

109. xdxx 423

4.3.- FUNCIONES RACIONALES (FRACCIONES SIMPLES O FRACCIONES

PARCIALES).

La integración por fracciones simples resulta útil cuando el integrando está conformado por

el cociente de polinomios.

Descomposición de )(

)(

xD

xN en fracciones simples.



i. Si )(

)(

xD

xN es una fracción racional impropia [esto es, si el grado de )(xD no es mayor que

el de )(xN ], dividir )(xN por )(xD para obtener )(

)()(

)(

)( 1

xD

xNxC

xD

xN y aplicar las

reglas 1, 2, 3 y 4.

ii. Descomponer (factorizar) completamente )(xD en factores de la forma nqxp )( ,

nax )( 22 y nabx ])[( 22 . El mecanismo de factorización puede ser mediante factor

común, mediante las raíces de la ecuación de segundo o tercer grado ó mediante el método

de Ruffini.

Esquema para resolver la ecuación fundamental.

Factores lineales.

i.- Sustituir en x las raíces de los distintos factores lineales que aparecen en la ecuación

fundamental.

ii.- Si hay factores lineales repetidos, usar los coeficientes ya determinados en la parte i

para reescribir la ecuación fundamental. A continuación sustituir en x otros valores.

Factores cuadráticos.

i.- Desarrollar la ecuación fundamental.

ii.- Agrupar términos según las potencias de x.

iii.- Igualar los coeficientes de las potencias correspondientes de x, obteniendo así un

sistema de ecuaciones lineales (Aplicación del Método de los Coeficientes

Indeterminados).

a) Factores lineales no repetidos.

Por cada factor de la forma ii qxp la descomposición en fracciones simples ha de incluir

la siguiente suma de n fracciones:

nn

n

nn qxp

A

qxp

A

qxp

A

qxpqxpqxp

xN

22

2

11

1

2211

1

)()()(

)(

Integral útil: Cqxppqxp

xd

)(ln1

11

111




1. )2()1( xx

xdx 2. )()( bxax

xd

3. 42x

xd

4.

4

)25(2x

xdx

5.

472

)114(2 xx

xdx 6.

xd

xx

x

372

22

7. 22 ua

ud

8. )3()2()1( xxx

xd 9.

)3()2(

)1137(2 xxx

xdx

10.

xd

xx

xx3

2 14

11.

xd

xx

xx3

2

4

126 12. 39 xx

xd

13.

xxx

xdxx

32

)9134(23

2

14.

xxx

xdxx

2

)434(23

2

15.

xxx

xdxx

32

)(23

2

16.

xxx

xdx

2

)24(23

17.

45

)74(24

3

xx

xdxx 18.

xdxx

x

sen sen

cos3

19. 6sensen

cos2

d 20.

xdee

exx

x

232 21. 22 xx ee

xd

22. 34 24 xx ee

xd

23. xx ee

xd

2 24.

xd

ee

eexx

xx

2

2

25. ud

ubau )(

1

Expresiones racionales impropias.

26.

xx

xdx

2

)2(2

2

27. 62

2

xx

xdx 28.

xd

xx

x2

3 1

29.

xxx

xdx

23

)2(23

3

b) Factores lineales repetidos.

Por cada factor de la forma nqxp )( la descomposición en fracciones simples ha de

incluir la siguiente suma de n fracciones:

n

n

n qxp

A

qxp

A

qxp

A

qxp

xN

)()()(

)(2

311

Integral útil: 1)()1(

1

)(

nn qxpnpqxp

xd

Calcular las siguientes integrales.



30. 2)1(x

xdx 31. 2)1(x

xdx 32.

2)1(

)2(

xx

xdx

33.

)1(

)1(2 xx

xdx 34. 22 )2()1( xx

xd 35.

3

23

)2()1(

)429183(

xx

xdxxx

36.

3)1(

)3(

xx

xdx 37. 22 )2()4( xx

xd 38.

22

3

)4(

)1(

x

xdx

39.

xd

x

xxx22

23

)9(

6333 40.

12

)32(24

2

xx

xdx 41.

xd

xx

xxx

8118

81615424

23

42. 23 3xx

xd 43.

23

2

4

)4122(

xx

xdxx 44.

45

4

2

)122(

xx

xdxx

45.

)23(

)33(22

23

xxx

xdxx 46.

234 32

)2(

xxx

xdx 47.

xd

xxx

x23

2

2

32

48.

xxx

xdx23

2

2

)1( 49.

254

)3(23

2

xxx

xdx 50. 32

4

)1( t

t

e

tde

51. xx

xdx23

2

tantan

sec 52. )(2 ubau

ud 53. 2)( uba

ud


54. 2

3

)1(x

xdx 55.

xd

xxx

xxx

8126

323

23

c) Factores cuadráticos no repetidos.

Por cada factor de la forma 22

iax y 22)( ii abx la descomposición en fracciones

simples ha de incluir la suma de las siguientes fracciones:

222

2

2

22

2

1

2

11

222

2

22

1

2

1

)()()(

)(

n

nn

n ax

CxB

ax

CxB

ax

CxB

axaxax

xN

222

2

2

2

222

2

1

2

1

111

222

2

2

2

2

1

2

1

1

)(

)(

)(

)(

)(

)(

])[(])[(])[(

)(

nn

nnn

nn abx

CbxB

abx

CbxB

abx

CbxB

abxabxabx

xN

Integrales útiles: Ca

x

aax

xd

1

22tan

1 Cax

ax

xdx

)(ln2

1 22

22


56. )1()1( 2xx

xdx 57.

xd

xx

x

)4(

42

58.

xx

xdx

4

)4(3



59. xx

xd3

60. xx

xd32

61. 14

2

x

xdx

62. 116 4x

xd 63. 116

34x

xdx 64.

22

)5(23

2

xxx

xdx

65.

xd

xxx

xx

1

323

2

66.

482

)212(23

2

xxx

xdxx 67.

842

)44(23

2

xxx

xdxx

68.

86

)6(24

3

xx

xdx 69.

xd

e

ex

x

1

12

2

70.

xd

x

xx3

22

tan1

sec)tan2(


71.

xx

xdxx

4

)4133(3

3

72. xd

x

x

14

4

73.

xd

xxx

xxxx

32

33223

234

d) Factores cuadráticos repetidos.

Por cada factor de la forma nax )( 22 y nabx ])[( 22 la descomposición en fracciones

simples ha de incluir la suma de las siguientes fracciones:

n

nn

n ax

CxB

ax

CxB

ax

CxB

ax

xN

)()()(

)(22222

22

22

11

22

1

n

nn

n abx

CbxB

abx

CbxB

abx

CbxB

abx

xN

])[(

)(

])[(

)(

)(

)(

])[(

)(22222

22

22

11

22

1


74.

22

2

)1(

)1(

x

xdx 75.

22

2

)1(

)2(

x

xdx 76.

222

2

)2(

)22(

xx

xdxx

77. 32 )1(x

xd 78.

96

)3(24

2

xx

xdxx 79. 24

3

)1(x

xdx

80. 22

5

)1( x

x

e

xde 81.

23

24

)8(

)164(

x

xdxx 82.

xdxxx

x22 )1()1(


83. xd

xx

x

12 24

4

84. xd

x

x22

4

)1(

3

4.4.- EXPRESIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO.



Para integrales de la forma xdxxf )cos,sen ( donde f es una función racional, hágase

)(tan2

1 xz , con lo cual: 2

2

1

1cos

z

zx

,

21

2sen

z

zx

,

21

2

z

zdxd

.

Para integrales de la forma xdxxf )cos,sen ( donde f es una función racional y

)cos,sen ()cos,sen ( xxfxxf , hágase xz cos .


)cos,sen ()cos,sen ( xxfxxf , hágase xz sen .


)cos,sen ()cos,sen ( xxfxxf ó )(tan)cos,sen ( xfxxf , hágase xz tan , con lo

cual: 2

2

1

1cos

zx

,

2

22

1sen

z

zx

,

21 z

zdxd

,

21cossen

z

zxx

Nota: El método de integración de funciones racionales de seno y coseno suele conducir a

integrales inmediatas, con cambio de variables ó en fracciones parciales.

a) Cambio de variables.


1. xx

xdx23 sensen

cos 2. 3sen2sen

cos2 xx

xdx 3. 5sen 6sen

cos2 xx

xdx

4. 3)cos1(

sen

x

xdx 5. x

xdx2sen1

2sen

b) z = tan (½ x).


Inmediatas.

6.

cos1

d

7. x

xd

cos22 8. 2)cos1( x

xd

9. x

xd

sen 10. xx

xd

tansen 11. x

xdx

cos1

cot

12. xx

xd

sen tan 13. xx

xd

cossen 1 14. 1sen cos xx

xd



15.

cos45

d

16. x

xd

cos3 17. x

xdx

cos1

cos

18.

cos1

)cos2sen ( d

Inmediatas con completación de cuadrados.

19. xx

xd

cossen 23 20. 3sen 2cos xx

xd

21. 2cossen

d

22. 3cossen 2 xx

xd

23. 5cossen 2 xx

xd

24. x

xd

sen 4

Cambio de variable.

25. xx

xd

csccot 26.

2cos1

sen d

Separación en fracciones parciales.

Factores lineales no repetidos.

27. x

xd

cos 28. x

xd

cos53 29. x

xd

cos54

30. xx

xd

cossen 1 31. xx

xd

cos7sen 48

32. xx

xd

cos4sen 3

33. xx

xd

cos3sen 4 34. x

xdx

tan34

sec

35.

cos178

d

36. 2cos3 x

xd

37. xx

xd

sen cos 38. x

xd

sen 21

39.

sen 3cos21

d

40. 4sen 3cos5 xx

xd

41. xx

xd

cos3sen 2

Factores lineales repetidos.

42.

sen 1

tan d

Factores cuadráticos no repetidos.

43. xxx

xd

cossen sen 2 44. xx

xd

sen )cos2(

45. xx

xd

tansec



46.

cos21

)cos(sen d

47. x

xdx

sen 1

sen

48. x

xdx

sen 1

sen

49.

xd

x

x

sen 1

cos1

50. x

xdx

cos35

cos

51. x

xdx

cos2

cos

52.

cos2

)cos3( d

Factores cuadráticos de la forma 22)( ii abx .

53. )1sen ()4sen ( xx

xd

54.

2sensen 13

d

55. x

xdx

sen 2

sen

56.

xd

x

x

cot1

cot1

57.

sen 41

sec2 d

Factores cuadráticos repetidos.

58. xx

xdx

cos2sen

sen2

c) z = tan x.


59. x

xd

tan53 60.

xd

x

x

tan1

tan1 61.

d

cossen

cossen

62. xd

xx

x

cos3sen

sen

63.

xd

xx

xx

cos2sen

cossen 64.

xd

xx

xx

cos3sen 2

cos2sen 3

65. xx

xd22 tansen

66. x

xd2sen1

67. x

xd2cos31

68. x

xdx2

2

sen1

sen 69. x

xdx2

2

cos1

sen 70. xx

xd22 cos5sen 3

71. xbxa

xd2222 cossen

75. xxx

xd

cossen 5sen2

76. xxxx

xd22 coscossen 3sen

77. 2)cossen ( xbxa

xd

78. 21 xx

xd (Sugerencia: Aplicar sustitución trigonométrica y luego otra sustitución

apropiada).

4.5.- EXPRESIONES BINOMIAS.



Una expresión de la forma pnm xbax )( siendo a y b constantes cualesquiera y los

exponentes m, n, p números racionales, se llama una expresión binomia. Toda expresión

binomia puede reducirse a la forma s

rnm xbax )( .

Caso 1.- Cuando cero o entero númeroUn 1

n

m, se efectúa la sustitución sn zxba .

Caso 2.- Cuando cero o entero númeroUn 1

s

r

n

m, se efectúa la sustitución

nsn xzxba

a) enteroUn 1

n

m.


1. xdxx 23 1 2. 2

3

1 x

xdx 3.

22

3

xa

xdx

4. 22

3

xa

xdx 5.

xdxx 2

3

)21( 23 6.

23

)( 2

3

xba

xdx

7.

xdxx 31

)4( 23 8. xdxx 35 1 9. xdxx 35 1

10. 2

5

1 x

xdx 11.

3

5

1 x

xdx 12.

3

5

xba

xdx

13. 2

3

)( 3

5

xba

xdx 14. xdxx 3 235 )1(

15. xdxx 2

3

)8( 35

16. xdxax 23

)( 335 17. xdx4 3)1( 31

18. xdxx 23 2

19.

3 2

31

x

xdx 20.

xd

x

x

3

32 21.

xd

x

x3 41

22. 3 21 x

xdx 23.

23

)1(

)2(3

25

x

xdxx 24. 5 13 1 xx

xd

25.

23

)1(

)2(3

15

x

xdxx

26.

23

)1(

)2(3

6

xx

xdx



b) enteroUn 1

s

r

n

m.


27. 2

3

)1( 2x

xd 28.

32

)1( 32 xx

xd 29.

122 xx

xd

30. 3

1

)1( 33 xx

xd 31.

nnn xx

xd1

)1( 32.

43

)1( 42 xx

xd

33. 322 )1( xx

xd 34.

34

)1( 33 xx

xd 35.

35

)2( 32 xx

xd

36. 24 1 xx

xd 37.

224 xax

xd 38.

224 xax

xd

39.

3

412

x

xdx 40.

25

)94( 2x

xd

41. 52

2

)21( x

xdx

42. 4 41 x

xd 43. xdxx 43

4.6.- EXPRESIONES IRRACIONALES.

Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de x puede transformarse en

forma racional mediante la sustitución nzx siendo n el mínimo común múltiplo de los

exponentes fraccionarios de x.

Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de bxa

xdbxaf n m ])([ puede transformarse en forma racional mediante la sustitución

nzbxa siendo n el mínimo común múltiplo de los exponentes fraccionarios de

bxa .

Integrales del tipo

xd

dxc

bxa

dxc

bxaxf

q

p

q

p

,...,,2

2

1

1

se hallan valiéndose de la

sustitución nt

dxc

bxa

, donde n es el mínimo común múltiplo de los números 1q , 2q , …..



Integrales del tipo cxbxax

xd

n 2)( se reducen al tipo de integrales

CtBtA

tdtP2

)( valiéndose de la sustitución

axt

1,

2

1

txd

a) Integrales de la forma xdbxaxf nm

])(,[


1. 2

3

)( xba

xdx 2. 3 bxa

xdx 3.

2

5

)14(

2

x

xdx

4.

x

xdx 4 5.

x

xdx3 1 6.

31 ax

xd

7. xx

xd

1)2( 8. 2x

xdx 9.

1

32

x

xdx

10.

xd

e

eex

xx

2

2 11. xx

xd

2 12.

xdx

x

1

3

13. xd

x

x

3

2

12 14. 231 x

xd 15. xd

x

x

11

)11(

16. 3)1(1 xx

xd 17.

3)3(3 xx

xd 18.

xd

xx

x

1)1(

212

19. 44 3)13( xx

xd 20.

21

23

)1()1( xx

xd 21.

xd

xx

x

11

21

22.

xd

xx

x

1)1(

212

23.

xd

xx

x

32

33

24.

xd

xx

x

2

3

)9(

95

25.

xdxx 1)1( 32

32

26. xx

xd

1)5( 27.

xd

x

x2

28. xde x21 29. xdx1 30. xdx11

31. )1(3 xx

xd 32.

3

4

xx

xd



b) Integrales de la forma

xdbxabxaxf n

m

n

m

,...)(,)(, 2

2

1

1


33. 88 5 xx

xd 34. 3 xx

xd 35.

xd

x

x

1

1 4

36. 14 3x

xdx 37.

31 x

xdx 38.

xd

x

x

1

1

3

39.

xd

x

xx

13

6

40. xdx

xx

4

33

6

)( 41. 23 )1( x

xdx

42. 14 5x

xdx 43.

xd

x

x

3 11

11

44. 4 1212 xx

xd

45. xd

xx

x

1

c) Integrales de la forma

xd

dxc

bxa

dxc

bxaxf

n

m

n

m

,...,,2

2

1

1


46.

xd

x

x

1

1 47.

x

xd

x

x

1

1 48.

21

1

x

xd

x

x

49.

xd

x

x

1

1 50.

xd

x

xx

1

1 51.

xd

x

x3

1

1

52.

xd

x

x

3

32

RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

4.1.- INTEGRACIÓN POR PARTES.

a) Simples.

1. Cxxx 21 1sen 2. Cxxx 2

211

23 )32(1)32(sen)(

3. Ceee xxx 21 1)(sen

4. Cxxx 21 1cos

5. Cxxx 2

211 412cos

6. Cxxx 4

41212

21 41)2(cos

7. Cexe xx 2)2sen (cos 1 8. Cexe xx 2

4112

21 )(cossen

9. Cxxxx 32

912

3113

31 )1(1sen 10. Cxxx )1(lntan 2

211



11. Cxxx )1(lncot 2

211

12. Cxxx )91(ln)3(cot 2

611

13. Cxxx )1(lntan2 1

14. Cxxx )1(lncot2 1

15. Cxx

x

1

1

sechsen

16. Cxxx 1sec 2

2112

21

17. Cxxx

2112

21 tan)1(

18. Cxxx

4112

81 )2(tan)14(

19. Cxxxx )19(ln3tan 2

16212

18113

31

20. Cxxxx )19ln()3(cot 2

16212

18113

31

21. Cxxx 2

41214

41 )(tan)1(

22. Cxxx 1sec 1

23. Cttt 122sec211 24. Cxxx 1tan)1(

25. Cxxx 11tan)2( 1

26. Cxxxxx 111tan 2

6122

121214

41

27. Cxxx )1(lntanh 2

211

28. Cxxx 12 sen1

29. C

x

x

x

x

1

1ln

1

sen21

2

1

30. Cxxx 2sen12 1

31. Cxxx sencos 32. Cxxx 2sen 2cos41

21

33. Cxxx 2sen 2cos

81

41

34. Cxxx sen cos

35. Cxxx 2cos2sen 41

21

36. Cxxx 5cos5sen

251

51

37. Ceee xxx )(cos)(sen 38. Cxxx 1cos21sen 12

39. Cxxx sencos)2( 40. Cxxx 2

2122

21 cossen

41. Cxxxx )tansec(lnsec 42. Cxxxx )cot(csclncsc 43. Cxxx )(seclntan 44. Cxxx )]2([secln)2(tan

41

21

45. Cxxx )(sen lncot 46. Cxxxx 2

21

41

21 )(seclntan

47. Cxxxx cos)sen 1(lncos 48. Cxxx 4cosh4senh)4(

161

41

49. Cxxx ln 50. Cxx )cosln1(cos 51. Cxx ]1)(ln[lnln 52. Cxxx 10ln

1log

53. Cxx )2(ln2 21

54. Cxx ]2)1([ln)1(2 21

55. Cxx )(ln32

32 2

3

56. Cxx )(ln 2

12

21

57. Cxx )(ln

212

21

58. Cxx )(ln 3

13

31

59. Cxx )(ln 4

14

41

60. Cxxxxx 2ln2ln2

61. Cxxxxx )(sen 2)(sen ln)(sen 2)(sen ln)(sen 2

62. Cxxxx ])1([ln)1(]1)1[ln()1(2

212

63. Cxx ])1[ln()1(3122

31 2

1

2

3

64. Cxxxx 12 tan22)1(ln



65. Cxxxx 12

21 tan)1(ln

66. Cxxx )1()1(ln)1( 2

2122

21

67. Cxx

x

1

2

tan2)1(ln

68. Cxxxxx )2(ln22)2(ln 2

69. Cxxxx 21

)1()1(ln 22

70. Cxxxx 2

1

)1()1(ln 22

71. Cxx

xx

1

1ln)1( 2

21

72. Cxxxx 1812

121

5412

61 )13(ln)(

73. Cxxx 23

)1(1 2

3222

74. Cxxx 2

3

)1(1 2

3222

75. Cxxx 23

)1(1 3

9433

32

76. Cx

x

x

1

21

2

21

tan1

77. Cxex )1( 78. Cxe x )(91

313

79. Cx xx 33

3ln

13ln

12

80. Cx xx 22

2ln

12ln

12

81. Cxex

)1(2

82. Cxe x )1( 2

21

2

83. Cx

ex

1

84. Cxx

)tan(3 3ln1tan

3ln2

85. Cxxx 11 coshsec 86. Cxxx 11 coshcsc

87. Cxxxx 2

411

212

21 1sen)(

88. xxxx 212)2(sen)14( 4

11

41

89. Cxxxx 313)3(sen)16( 611

61

90. Cx

xxxx

2

22 11ln1ln1

91. Cxxxx )(sec24ln421122

92. Cxxxx 2

211

21 )(senh)(

93. Cx

xxx

1lnln)1( 1

94. Cx

xxxxx

3

12tan])[(ln)1(ln)1(ln 1

2

3

432

21

41

212

4332

21

b) Iteradas.

95. Cxxxxx 2sen12)sen( 1221

96. Cxxxxx )1(lntan))(tan1( 2

211212

21 97. Cxxx ]2ln2)[(ln 2

98. Cxxx ]2ln2)[(ln 21 99. Cxxx

mm

m

m

]ln)[(ln 2)1(

2)1(

221

11

Método tabular.

100. Cxxxx )3(sen )3(cos)(92

2722

31 101. Cxxxx )4(sen )4(cos)( 8

13212

41

102. Cxx

xx

)2(sen 4

12)2(cos

2

21 103. Cxxxxx )(cosh2)(senh2)(cosh2



104. Cxxe x )122( 22

41 105. Cxxe x )269( 23

27

1

106.

3ln

2

3ln

2

3ln3

32

2 xxx

107.

xex )3( 2

108. Cxxxxx senh )2(3cosh)6( 22 109. Cxxxe x )663( 23

110. Cxxxe x )3664( 232

81 111. Cxxxe

x

)162549(3 233

112. Cxxex )1( 24

21

2

113. Cxxe x )1( 24

2

12

114. Cexx x 31

31

32

)22(3 115. Cxxxx 3

1

3

2

3

1

3

1

cos)2(3sen6

116. Cxxxx

x

5

5

122

3

112 ]22ln22ln[

2ln

22

2ln

1

c) Cíclicas.

117. Cxxxx )(lncos)ln(sen 21

21 118. Cxxx )]2(lncos)2ln(sen [2

1

119. Cxxxx )(lnsen )(lncos 2

512

52 120. Cxxxxx )]ln(2sen )ln2(cos

51

101

21

121. Cxbbxbaba

e xa

])(cos)(sen [22

122. Cxxex )cos(sen21

123. Cxxex )]2(cos2)2(sen[51 124. Cxxe x ])5(cos5)5(sen4[4

411

125. Cxxe x ])3(cos3)3(sen 2[2

131

126. Cxxe x )cos(sen

2

1

127. Cxxe x )2cos22sen (51

128. Cxbaxbb

ba

e xa

])(cos)(sen [22

129. Cxxex )cossen(21

130. Cxxe x

)1( 2sen

21

1

131. Cxxe x )cos2(sen2

5

1

132. Cxxe x ])2(cos3)2(sen 2[3

131

133. Cxxe x ])2(cos)2(sen 2[51

134. Cxxe x )1sen 2cos(

52

51

21

135. Cxxx

3ln1

)3lncossen (32

136. Cxxxx )tan(seclntansec

21

21

137. Cxxxxxx )tan(seclntansectansec 83

833

41

4.2.- SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

a) Integrales de la forma xdxaf )( 22.

1. Cx 24 2. Cx 216

3. Cxa

xa

2

22

4. C

x

x

4

4 2

5. Cx

x

2

51

255ln 6. Cx

x

x

1

2

sen1



7. Cx

x

x

2sen

4 1

2

8. Ce

e

e x

x

x

4sen

16 1

2

9. Cx

x

266

10. Cx

x

2tan44

tan

11. Cx

x

2ln44

ln 12. Cx

x

x

)3(sin919

1

271

2

13. Cxx

x

)2(sin2212

1

41

2 14. Cx

x

x

)2(sin2

211

2

15. Cx

2

2sen 1

16. Cx

x

4

3sen3)3(16 12

17. Cx

x

3

3sen sen6)3sen (92 12

18. Cxx )(sen5232

112

19. C

x

x

2)2(99

)15(

20. Cxxx 2

21

311

29 9)(sen

21. Cxxx 2

611

181 91)3(sen

22. Cxxx 2

41

3

21

24

3 23)(sen

23. Cxaxa

xa

22

2112

21 sen

24. Cxxx 2

211

21 1sen

25. Cxxx 2

21

311

29 9)(sen

26. Cxxx 2

21

321

49 49)(sen 27. Cxxx 2

21

431

38 916)(sen

28. Cxxx 2

211

41 41)2(sen 29. Cxxx )12(sen1 1

21

30. Cxxx 2

211 4)(sen4

31. Cxxxx )21(1sen 22

811

81

32. Cxxxx 22

211

23 )1(1)1(1)1(sen

33. Cxxxx

22

211-

233 )2(253)2(25

5

2sen

34. Cxx 32

312 )4(44 35. Cxx 32

312 )9(99

36. Cxx 32

312 )2(22

37. C

xx

2232 )1(4

1

)1(6

1

b) Integrales de la forma xdaxf )( 22.

38. Cx 92 39. C

x

x

9

92



40. Cx

x

244

41. Cx

x

2525 2

42. Cxx )4(ln 2 43. Cxx )36(ln 2

44. Cee xx )4(ln 24

21 45. Cxx ]21)2([ln 2

46. Cxx ]14)1([ln 2

47. Cxx ]116)1([ln 2

48. Cee xx ]49)4([ln 222

21 49. C

x

x

11ln

2

50. Cx

x

24ln

2

21 51. C

x

x

39ln

2

31

52. Cx

x

41625ln

2

41

53. Cx ]9)2[(ln 2

54. 3

2

27

)94( 23

x

x 55. C

axa

x

a

x

a

)(2tan

2

1222

1

3

56. Cx

xx

)4(8)(tan

2211

161

57. Cx

xx

943

2tan

21811

1081

58. Cx

xx

)4(2)(tan

2211

41

59. Cx

xx

x

xx

22

2

2

1

83

)(18

)1(

)1(2tan

60. Cxx

)16(ln16

8 2

21

2

61. Cxx 99)9( 232

31

62. Cxx 499)499( 2

814932

2431

63. Cxx 3252

51 )9(3)9(

64. Cxx 32

8352

401 )49()49(

65. Cx 32

121 )41(

66. Cx 32

31 ]1)1[(

67. C

x

xxx

4)4(ln

2

2

68. C

x

x

32

3

)1(3

69. Cx

x

x

x

256

16

768

)16( 2

3

32

70. Cx

xx

11ln1

2

2

71. Cxxaaxax )(ln 222

2122

21

72. Cxxxx )6(ln36 22

21 73. C

x

x

x

x

24ln

2

4 2

41

2

2

74. Cxxxxx )1(ln1 2

212

212

21



c) Integrales de la forma xdaxf )( 22.

75. Cx

x

25

252

76. Cx

x

7

72

77. Caxx )(ln 22

78. Cxx )2542(ln 2

21

79. Cxx ]8)1(1[ln 2

80. Cxx ]16)3(3[ln 2

81. Cxx ])([ln412

25

25

82. Cee xx ]3)2(2[ln 2

83. Cee xx )1(ln2 2

1

84. Cx )(sec

5

11

5

2

85. Cx )(sec3

21

3

1

86. Cxxxx )16(ln816 22

2

1

87. Caxxaaxx )(ln 222

2122

21

88. Cx 32

31 )9(

89. Cx 32

31 )5(

90. Cxx 32

3

1 )86(

91. 2

2

411

161

8

4)(sec

x

xx

92. 2

2

511

2501

50

25)(sec

x

xx

93. Cx

x

x

x

3

322

27

)3(

9

3

94. Cx

x

12

95. Cx

x

14 2

96. Cx

x

949 2

97. Cx

x

4)2(4

22

98. Cx

x

9)3(9

32

99. 9)4(9

42

x

x

e

e 100. C

x

xxx

4)4(ln

2

2

101. Cxx )(sec242112

102. Cxx )(sec39 3

112

103. Cx

x

3sec33 12 104. Cee

xx )(sec212 2

11

105. Cxxx )(sec64)169(16)169(43122

31 2

123

106. Cxxx 32

3222 )4(4

107. Cxxx 32

27222

31 )163(163

108. Cxxx 22

3822

31 )4(ln4lnln 109. Cxx 32

3452

51 )4()4(

4.3.- FUNCIONES RACIONALES (FRACCIONES SIMPLES O FRACCIONES

PARCIALES).

a) Factores lineales no repetidos.

1. Cx

x

1

)2(ln

2

2. Cbx

ax

ab

ln

1



3. Cx

x

2

2ln4

1

4. Cxx ])2()2[(ln 23

5. Cx

x

21

3)4(ln 6. C

x

x

21

2

21

)3(ln

7. Cua

uaa

ln2

1

8. Cx

xx

22

1

)2(

)3()1(ln

9. Cx

xx

5

4

)2(

)3()1(ln

10. Cx

xx

2

2

)1(

)1(ln

11. Cx

xx

21

6

214

41

)(ln 12. C

x

x

2

2

181

9ln

13. Cx

xx

9

116

21

)1(

)3(ln

14. Cx

xx

1

)2(ln

32

15. Cx )3(ln 16. Cx

xx

2)1(

)2(ln

17. Cxx ])4()1[(ln 322

21

18. C

x

x

2

2

21

sen

1senln

19. C

2sen

3sen ln

51

20. Ce

ex

x

2

1ln

21. Ce

eex

xx

3

2

61

)2()1(ln

22. Ce

eex

xx

32

24

61

)1(

)3(ln

23. Ce

ex

x

2

2ln

22

1 24. Cxex )1(ln2

25. Cuba

ua

ln1


26. Cx

xx

3)2(ln 27. C

x

xx

9

4

51

)3(

)2(ln

28. Cx

xxx

22

21

)1(ln

29. Cx

xxx

3

5

)1(

)2(ln

b) Factores lineales repetidos.

30. Cx

x

1

1)1(ln 31. C

xx

1

1)1(ln



32. Cxx

x

1

11ln2 33. C

xx

x

1

1ln2

34. Cxxx

x

2

1

1

1

2

1ln2

35. Cxx

xx

2

379

9253

2771

2710

)2(2)2(ln)1(ln

36. Cxxx

x

2)1(

1

1

3

1ln3 37. C

xxx

x

2

81

161

641

)2(22

2ln

38. Cx

xx

x

2

)2(ln2

)2(ln 169

321516

7

3217

39. Cx

xx

x

3

)3(ln3

)3(ln 27

612

3

65

40. Cx

x

x

x

11

1ln

225

41

41. Cxx

x

3

1

3

4)3(ln4

42. Cxx

x

3

13ln

91

43. Cxx

x )4(ln1

ln43

411

44. Cx

x 33

1)12(ln 45. Cxx

xx )2(ln)1(ln5

2

3ln

423

49

46. Cxxx

x )1(ln)3(ln3

2ln

43

361

97

47. Cx

xx

1

5)1(lnln3

48. C

xx

1

2ln

49. Cx

x

1

2)2(ln

50. C

ee tt

22

41

2

21

)1(1

51. Cxx )cot1(lncot 52. Cu

uba

a

b

ua

ln

12

53. Cubab

)(

1


54. Cx

xxx

1

1)1(ln2

232

21

55. C

xxxx

2)2(2

17

2

17)2(ln7

c) Factores cuadráticos no repetidos.

56. Cxx

x

1

21

2

2

41 tan

)1(

1ln

57. Cxx

x

)(tan4

ln211

21

2

2

21



58. Cxx

x

)(tan4

ln211

21

2

2

21 59. C

x

x

1ln

2

2

2

1

60. Cx

x

2

2

21

12ln 61. Cx

x

x

1

21

41 tan

1

1ln

62. Cxx

x

)2(tan12

12ln 1

81

41 63. C

x

x

14

14ln

2

2

163

64. Cxx

x

)(tan2

)1(ln

2

11

2

12

2

21 65. Cx

x

x

12

tan1

1ln

66. Cxxx )(tan)4(ln)12(ln211

3492

1726

3487

67. Cx

x

2

4ln

2

68. Cxxx

x

)(tan)(tan2

)4(ln

2

11

2

3211

23

2

22

21

69. Cxe x )1(ln 2 70. C

xx

3

1tan2tan

3

2)1(tanln 1


71. Cxx

xx

)(tan

4ln3

211

21

2

2

21 72. Cx

x

xx

1

21

41 tan

1

1ln

73. Cx

x

2)1(ln

2

2

21

d) Factores cuadráticos repetidos.

74. Cx

x

1

1tan

2

1

75. C

x

xx

)1(2tan

2

1

23

76. Cx

xxx

x

2tan

22

1

)2(2

1

2

1

2ln 1

22

2

41

77. Cx

xx

x

xx

32

2

2

1

83

)1(8

)1(

)1(2tan 78. C

xx

)3(2

1)(tan

23

11

3

1

79. Cx

)1(4

14

80. Ce

ee

x

xx

)1(2)(tan

2

1

21


83. Cx

xxx

)1(2tan

2

1

23 84. C

x

xxx

)1(2

3tan3

2

1

29

4.4.- EXPRESIONES RACIONALES DE SENO Y COSENO.



a) Cambio de variables.

1. Cxx csc)csc1(ln 2. Cx

x

1sen

3senln

4

1

3. Cx

x

1sen

5sen ln

41

4. Cx 2

21 )cos1(

5. Cx )sen1(ln 2

b) z = tan (½ x).

6. C)(tan 21

7. Cx )(tan

21

21

8. Cxx )(tan)(tan 2

13

61

21

21

9. Cx )]([tanln 2

1

10. Cxx )(tan)]([tanln

212

41

21

21

11. Cxx )(tan)(tan

213

61

21

21

12. Cxx

)]([tanln)(tan4

121

21

212

13. Cx ]1)([tanln21

14. Cx )](tan1[ln21

15. C

3

)(tantan 2

11

32

16. Cx

2

)(tantan 2

11

2

1

17. Cxx )(tan 21

18. C )][sec(ln2)(tan221

21

19. C

x

x

1)(tan

2)(tanln

21

21

20. Cx )](tan1[tan 211

21. C

x

2

1)(tantan2 2

11

22. Cx ]1)(tan2[tan211

23. Cx

5

1)(tan3tan 2

11

5

1

24. Cx

15

1)(tan4tan 2

11

15

2

25. Cx ]1)([tanln 2

12

26. Cx )]([tantan2121

27. Cx

x

1)(tan

1)(tanln

21

21

28. Cx

x

2)(tan

2)(tanln

21

21

41

29. Cx

x

3)(tan

3)(tanln

21

21

31

30. Cx

x

1)(tan

)(tanln

21

21

31. Cx

x

3)(tan

5)(tanln

21

21

32. Cx

x

523)(tan4

523)(tan4ln

21

21

52

1

33. Cx

x

9)(tan3

1)(tan3ln

21

21

51



34. Cx

x

1)(tan2

2)(tanln

21

21

51

35. C

5)(tan3

5)(tan3ln

21

21

151

36. Cx

x

5)(tan

5)(tanln

21

21

5

1

37. Cx

x

21)(tan

21)(tanln

21

21

2

1

38. Cx

x

32)(tan

32)(tanln

21

21

3

1

39. C

123)(tan

123)(tanln

21

21

12

1

40. Cx

x

183)(tan

183)(tanln

21

21

18

1

41. Cx

x

132)(tan3

132)(tan3ln

21

21

13

1

42. Cxxx

x

2

21

21

21

21

21

]1)([tan

1

1)(tan

1

1)(tan

1)(tanln

43. Cxx )]}(tan3[)({tanln212

21

31

44. Cxx )]}(tan3[)({tanln212

21

31

45. Cxx ]1)([tanln2)]([secln221

21 46.

47. Cxx

1)(tan

2

21

48. Cxx

1)(tan

2

21

49. Cx

x

x

2

21

212

21 )1)((tan

)(secln

1)(tan

2

50. Cxx )](tan2[tan 211

65

31

51. Cx

x

3

)(tantan 2

11

3

4

52. C )](tan3[tan

211

3

10

53. 54.

55. Cx

x

3

1)(tan2tan 2

11

3

4 56.

57.

58. Cxxx

)]([tanln)cossen 2( 22tan

21

55

451

1

c) z = tan x.

59. Cxxx )cos3sen 5(ln345

343 60. Cxx )sen (cosln

61. C )sen(cosln 62. Cxxx )cos3sen (ln103

101

63. Cxxx )cos2sen (ln5

351

64. Cxxx )cos3sen 2(ln13

51312

65. Cx

x

2

tantan

22

1

tan2

1 1

66. Cx )tan2(tan 1

2

1

67. Cx )tan(tan211

21

68.

69.

70.

Cxx )tan2(tan 1

2

1

Cxx

2

tantan2 1

Cx

5

tan3tan

15

1 1



71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

4.5.- EXPRESIONES BINOMIAS.

a) .

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. Cxx 32

35

)4(3)4( 22

103 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. Cxxx 47

31

411

31

415

31

)1()1()1(7

121124

54

18.

Cxxx 23

25

27

)2(4)2()2( 3 23 2

5123 2

73

19. Cx 23

31

)1(2 20. Cxx 25

31

23

31

)2()2(456

21. 22.

24.

b) .

27. Cx

x

12 28.

29.

30.

Cb

xa

ba

tantan

1 1 Cx

2

2tantan

2

1 1

Cx

x

2sen 2

2sen 2ln

22

1C

x

x

5tan

tanln5

1

Cx

x

tan

5tanln5

1 Cx

x

133tan2

133tan2ln

13

1

)cossen (

cos

xbxaa

x

Cxxx 1

212

21 sen)1(ln

enteroUn 1

n

m

Cxx 23

25

)1()1( 2

312

51 Cxx 2

123

)1()1( 22

31

Cxaaxa 21

23

)()( 22222

31 Cxaaxa 2

123

)()( 22222

31

Cxx

21

21

)21()21( 2

412

41 Cxbaxba

b

a

b

21

221

2 )()( 221

Cxx 23

25

)1()1( 3

923

152

Cxx 25

23

)1()1( 3

1523

92 Cxxx 2

523

21

)1()1()1( 2

512

322

Cxx 21

23

)1()1( 3

323

92 Cxbaxba

b

a

b 2

1

223

2 )()( 3

3

23

9

2

Cxbaxbab

a

b

21

221

2 )()( 3

3

23

3

2 Cxx 35

38

)1()1( 3

513

81

Cxx 35

37

)8()8( 3

15163

212 Cxaxa 3

537

)()( 33

151633

212

Cxx 34

41

37

41

)1(3)1(712 Cxxx 2

132

23

32

25

32

)1(3)1(2)1(53

Cxxz 59

54

)1()1( 1

951

45

enteroUn 1

s

r

n

m

Cx

x

31

)1( 3

Cx

x

21

)1( 2

Cx

x

2

3

2

)1( 32



31. 32.

33. Cx

x

x

x

2

2

1

1 34.

35. 36.

37. 38.

39. 40.

41. Cx

x

23

)21(3 2

3

42. , con

43.

4.6.- EXPRESIONES IRRACIONALES.

a) Integrales de la forma

1. 2.

3. 4.

5.

6.

7.

8. 12.

15. 16.

20.

22.

Cxn

xn

n nn

1)1(

)1(1

Cx

x

41

)1( 4

Cxxx

x

313

2

)1(2

)1( 3

2

3

Cxx

x

32

)2(

343

3

81 C

x

x

x

x

21

23

)1(

3

)1( 2

3

2

Cxa

xa

xa

xa

4

22

34

22 21

23

)(

3

)(C

xa

xa

xa

xa

4

22

34

22 21

23

)(

3

)(

Cx

xxx

2

4

42 1)1(ln C

x

x

x

x

21

23

)94(81)94(243

422

3

Czz

z

1

21

41 tan

1

1ln

x

xz

4 41

Cxxxxxxx )1(ln)21()( 812

8132

31

xdbxaxf nm

])(,[

Cxba

xba

b

222

Cbxabbxaa

])(5)(2[ 3 53 5

10

32

Cx

xx

2

3

)14(12

)166( 2

Cx

xx

2)4(

2)4(ln2)4(2

21

21

21

Cx

x

xxx

3

1)1(2tan3

1)1(

1)1()1(ln)1(3

31

31

31

32

31

1

Caxaxax ]1)[(ln3)(3)( 31

31

32

23

Cx 1tan2 1

Cxx

211tan222 Cxxxx ])1()1([12 2

533

71

Cxxx ]1)1[(ln4)1(4 21

21

Cx 1tan2 1

Cx ])1[(tan2 21

1

Cx

xx

x

3

112tan

12

)11(ln 1

3

2

2



23. 24.

25. 32.

b) Integrales de la forma

33. 34.

35.

36. 37.

38.

40. Cxx 213

49

132

272 41.

44.

45.

c) Integrales de la forma

47. 51.

52. donde

53.

Cx

x

32C

x

xx

3

3ln22

21

21

21

Cx 31tan3 Cx

x

1ln3

31

31

xdbxabxaxf n

m

n

m

,...)(,)(, 2

2

1

1

Cx

xxx

1

1ln)(tan

81

81

81

83

411

21

38 Cxxxx )1(ln6236 636

Cxxxx )(tan4)1(ln22 43

21

21

43

1

34

Cxx )1(ln 43

43

34

34 Cxxxxx )(tan662 6

161

21

65

67

1

56

76

Cxxxxxxxxx )(tan6)1(ln3632 613633 2

236 5

566

76

Cxx

xxxx

6

1

31

61

61

21

65

1

56 tan21

1

3184

Cxx 2424 )112(ln)121( Cx

xx

3

12tan

3

42 1

xd

dxc

bxa

dxc

bxaxf

n

m

n

m

,...,,2

2

1

1

Cx

x

x

x

x

1

11

1

11

1

ln Cxxxx )1(ln)2(1 2

212

21

Cz

zz

z

zz

1

2

3

12tan

)1(

1ln

3

1

3

22

2

31 3

1

1

x

xz

Cx

x

x

x

x

22

3

33

32

33

32

ln6

311



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03 metodos o tecnicas de integracion

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