Apuntes Metodos Numericos Integracion y Diferenciacion

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Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera MNAISECA

Mtodos Numricos Aplicados a la Ingeniera

INTEGRACIN YDIFERENCIACIN NUMRICA2.2.1. COMENTARIOS

2.2.2. MTODOS DE NEWTON COTES2.2.3. ERRORES DE TRUNCAMIENTO 2.2.3. INTEGRACIN DE ROMBERG

2.2.4. CUADRATURA GAUSSIANA

2.2.5. CUADRATURA ADAPTABLE

2.2.6. INTEGRALES MLTIPLES

2.2.7. INTEGRALES IMPROPIAS

2.2.8. DIFERENCIACIN NUMRICA 2.2.8.1. FORMULAS DE ALTA EXACTITUD2.2.8.3. APLICACIONES.

2.2. INTEGRACIN Y DIFERENCIACIN NUMRICA

2.2.1. COMENTARIOS En materias anteriores se han estudiado una diversidad de tcnicas para evaluar las integrales de manera exacta, sin embargo debemos destacar que estas tcnicas no pueden resolver muchos problemas que aparecen en el mundo real fsico consensual; para esto necesitamos mtodos de aproximacin de integrales se le llaman mtodos de cuadratura porqu cuadratura pues se trata de la palabra clsica para denominar el clculo de reas.

Debemos decir que la principal herramienta para evaluar integrales definidas es la Regla de Barrow, la que para su aplicacin requiere la determinacin de una primitiva de la funcin cuya integral queremos evaluar el cual en general no es un proceso constructivo, lo que induce a la necesidad de disponer tcnicas para obtener aproximaciones precisas.

La integracin es el proceso inverso de la diferenciacin, en donde la integracin es juntar partes en un todo, matemticamente se representa por , que representa la integral de f(x) con respecto a la variable x.

La integracin numrica es utilizada para funciones analticas o tabulaciones dadas.

En el caso de las funciones tabulares dados se ha determinado un polinomio de aproximacin Pn (x) en un intervalo de inters, que aproxima la curva que representa a la funcin f(x), pero su diferenciacin e integracin presentan discrepancias

1. El proceso de integracin esta dado por el rea bajo la curva de f (x)

2. La integral aproximada est dado por el rea bajo la curva Pn (x),

SHAPE \* MERGEFORMAT

3. Los errores que se cometen al integrar los diferentes segmentos, tienden a cancelarse entre si o reducirlo lo que permite afirmar que el error total al integrar Pn (x) desde x0 a xn puede ser muy pequeo; aun cuando Pn (x) no sea una buena aproximacin de f (x).

4. Por otro lado que proporciona la pendiente de la recta tangente a Pn (x) en un punto; puede variar en magnitud respecto a en el mismo punto aunque Pn (x) sea una buena aproximacin

Los mtodos de integracin usadas pueden clasificarse en dos grupos:

i) Frmulas de Newton Cotes: Los que usan valores dados de la funcin f (x) en abscisas equidistantes.

ii) Frmulas de Cuadratura Gaussiana: Los que usan valores de f (x) en abscisas desigualmente espaciadas determinadas por ciertas propiedades de familias de polinomio ortogonales.

2.2.2. MTODO DE NEWTON COTES

Son los tipos de integracin numrica mas comunes, su estrategia es remplazar a la funcin complicada o de datos tabulados por un polinomio de aproximacin que es fcil de integrar. Es decir supongamos que nos interesa determinar ; entonces, tenemos:

,

En donde pn(x) es el polinomio aproximacin,

,

Donde n es el grado del polinomio el mtodo en estudio lo realiza en general en dos pasos.

Observemos que cuando el polinomio de aproximacin es lineal se trata de una lnea recta como observamos en el caso (a) y cuando se trata de un polinomio de segundo orden tenemos el caso (b)

Figura N0 caso (a) Caso (b) En otros trminos:

Primero: Dividir el intervalo [a, b] en n intervalos de igual magnitud en donde sus valores extremos son:, siendo , (1)

SHAPE \* MERGEFORMAT

Segundo: Se aproxima f (x) por un polinomio de grado n, Pn (x) y se integra para obtener la aproximacin de f(x).2.2.2.1. MTODO TRAPEZOIDAL

1. Este mtodo de integracin numrica se fundamenta en la integracin de la frmula de interpolacin lineal.

2. Que ocurre con (*) si n = 1, i.e., x0 = a , x1 = b, entonces la aproximacin polinomial de f (x) es una lnea recta, i.e., P1 (x)

3. La aproximacin a la integral es el rea del trapezoide bajo la lnea recta.

rea del trapecio con vrtices

4. Para realizar la integracin , se requiere usar una de las representaciones del polinomio P1 (x).

5. Pero f (x) est dado para valores equidistantes de x con distancia h, la relacin lgica es una de las frmulas en diferencias divididas finitas (hacia delante, hacia atrs)

6. Supongamos que elegimos las diferencias divididas finita hacia delante tendremos.

En nuestro caso:

, luego

Tenemos la integral

(2)La integral de lado derecho debe estar en funcin de s, i.e.,

Para los lmites de integracin x0 y x1:

Luego:

Luego tenemos:

, (3)

Algoritmo del Mtodo Trapezoidal

Ejemplo: Usar el mtodo trapezoidal

a) Aproximar el rea A1 bajo la curva de la funcin dada por la tabla siguiente, en el intervalo a = 500, b = 1800

Puntos 0 1 2 3 4 5

f (x) 9 13 18 25 25 27

x 5009001400180020002200

b) Aproximar: ; c) Aproximar:

d) Aproximar:; e) Aproximar:

Solucin:

a) h = 1800 500 = 1300 ; x0 = 500 , x1 = 1800

b) h = 6 0 = 6 ; x0 = 0 , x1 = 6

c) h = 4 - (-2) = 6 ; x0 = -2 , x1 = 4 : f (x) = 2 + 3x + 4x2

d)

e)

2.2.2.2. MTODO DE SIMPSON

Supongamos que el intervalo de integracin es dividido en n subintervalos con longitudes iguales, i.e.,

Supongamos que n=2 es decir al intervalo [a,b] se le divide en dos subintervalos en tonces tendremos:

,

, Se aproxima f(x) por una parbola

,

Usemos la formula de Newton en diferencias finitas hacia delante

En consecuencia

,

;

;Considerando la primera y segunda diferencia hacia delante tenemos ;,

Considerando estas relaciones en la relacin , tenemos ,.........(4)

Ejemplos usando los datos anteriores aplicar el algoritmo de Simpson

f(X1) se encuentra interpolando

(2) Aproximar

(3) Aproximar

Generalizando

Consideremos el intervalo [a,b] dividido en n subintervalos proporcionando n+1 puntos equidistantes en donde x0=a; xn=b, en esta oportunidad el polinomio de interpolacin es de n-esimo grado, luego la aproximacin de la integral

Entonces la aproximacin de la integral estar dado por:

Que ocurre si integramos los cinco primeros trminos

Que ocurre si n = 1

Trapezoidal Pues:

Que ocurre para n = 2

Pero:

Simpson 1/3Si n = 3

Simpson 3/8

2.2.2.3. MTODOS COMPUESTOS DE INTEGRACIN

En ocasiones el intervalo de integracin tiene una longitud grande, entonces resulta conveniente dividirlo en subintervalos y aproximar cada una por medio de un polinomio.

2.2.2.3.1. Mtodo Trapezoidal Compuesto

Figura. Representacin del Mtodo de Trapecio Compuesto

En vez de aproximar la integral de f(x) en [a,b] por una recta. Conviene dividir [a, b] en n subintervalos y aproximar la integral de f(x) en cada subintervalo por un polinomio de primer grado como muestra la figura.Aplicamos la frmula Trapezoidal a cada subintervalo y se obtiene el rea del trapezoide de tal manera que la curva de todos ellos nos proporciona el rea aproximada bajo la curva f(x).

Donde:

Pi(x): es un polinomio de primer orden, i.e., la recta que pasa por (Xi-1, f(Xi-1)), (Xi, f(Xi)).

Aplicando el mtodo del trapezoide en cada subintervalo:

Que ocurre si todos los intervalos tienen la misma longitud h, i.e., Xi+1 - Xi = hi; i=0, 1,2,,(n-1).

(5) EJERCICIOS RESULTOS

1) Usar el mtodo trapezoidal compuesto para aproximar el rea bajo la curva de la funcin dada por tabulacin en x = -1 y x = 4

Solucin

Observacin:

Se aplic cinco veces el mtodo del trapezoide. h=1

2) Aplicar el mtodo en anlisis si f(x)=x4 2x2 + x + 10; x0= -1 ( xn =4; h = 1

2.2.2.3.2. Mtodo Compuesto de Simpson

Recordemos que para aplicar el mtodo de Simpson se necesita dos subintervalos y como queremos aplicarlo n-veces entonces se debe dividir el intervalo [a, b] en un nmero de subintervalos igual a 2n.

Veamos grficamente esto:

Figura. Representacin del Mtodo de Simpson Compuesto

Observamos que cada par de subintervalos sucesivos aproximamos f(x) por medio de un polinomio de segundo orden (parbola) y se integra usando el mtodo de Simpson de tal manera que la suma de las reas parciales proporcione el rea total, es decir:

Donde Pi; i=1,2,; es el polinomio de grado dos que pasa por tres puntos consecutivos usando el mtodo del Trapezoide.

Donde:

Si h1= h2== hn, entonces tenemos:

Luego:

(6)Ejemplos: 3) Usando el mtodo de Simpson compuesto, aproximar el rea bajo la curva considerando los datos anteriores

Aplicamos Simpson cuando i=0, 1, 2, 3, 4

*) Aplico el mtodo trapezoidal X4, X5

Luego:

4) Hallar la integral aproximada de entre -1 y 1

Usar el mtodo trapezoidal compuesto compare el resultado con 0.682 obtenido de tablas.

Solucin:

Con n = 1

El error relativo considerando el valor de la tabla 29%

Si n = 2 (

5.87%

Si n = 4

1.47%

5) Usar el mtodo de Simpson varias veces y comparar el resultado con 0.682 valor obtenido por tabla considerando el ejercicio anterior.

Solucin:

Si n=2

1.62%

Si n =4 (

0.15%2.2.3. ERRORES DE TRUNCAMIENTO EN LA APROXIMACIN TRAPEZOIDALEn esta oportunidad analizamos el error en una integracin trapezoidal compuesta iniciemos por tener en cuenta el iesimo trapezoide, consideremos los puntos xi-1 y xi con una distancia de h=(b-a)/n, adems supongamos que F(x) es la primitiva del integrando f(x) luego entonces podemos integrar f(x) en el intervalo [xi-1, xi ] es decir:

, (7)Por otro lado la aproximacin numrica de la integral usando el mtodo del Trapezoide es:

, (8)

Suponiendo que no existe errores en el clculo entonces se puede suponer que:

, (9)Aplicamos la serie de Taylor alrededor de x= xi en f(x) de tal manera que obtenemos f(xi-1).,

Como h=xi-xi-1.

, (10)

,

, (11)

De manera anloga tenemos para F(xi-1 ) , (11)

Entonces consideramos en (7) se tiene,

,

Pero se tiene que , (12)

Considerando (12) y (11) en (10) se tiene,

,

,

Considerando que h