02 Matrices Presentacion

Transcript of 02 Matrices Presentacion

Tema 2: matrices y operaciones con matrices

Tema 2: matrices y operaciones con matricesMatematica II

20122013

Indice

1 Matrices y vectoresOperaciones basicasProducto entre una matriz y un vector

2 Operaciones con matricesProducto de matricesTranspuesta de una matriz

Matrices y vectores

Operaciones basicas

Indice



Matrices y vectores

Operaciones basicas

Que es una matriz?

Tenemos dos vectores columna u y v.Estos producen una matriz de dos columnas y tres filas A.

Matriz

A =

u v =

u1 v1u2 v2u3 v3

=a11 a12a21 a22a31 a32

= ef

g

Construimos A apilando dos vectores columna.Pero es igualmente correcto pensar en A como una pila detres vectores fila e = (u1 v1), f = (u2 v2) y g = (u3 v3).Segun el problema del algebra lineal que encontremos,utilizaremos las columnas o las filas de A indistintamente.

Matrices y vectores

Operaciones basicas

Que es una matriz?


Matriz

A =

u v =

u1 v1u2 v2u3 v3

=a11 a12a21 a22a31 a32

= ef

g


GUILLEPlaced Image

Matrices y vectores

Operaciones basicas

Que es una matriz?


Matriz

A =

u v =

u1 v1u2 v2u3 v3

=a11 a12a21 a22a31 a32

= ef

g


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Que es una matriz?


Matriz

A =

u v =

u1 v1u2 v2u3 v3

=a11 a12a21 a22a31 a32

= ef

g


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Que es una matriz?


Matriz

A =

u v =

u1 v1u2 v2u3 v3

=a11 a12a21 a22a31 a32

= ef

g


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Notacion matricial

La primera fila de una matriz de 2 2 contiene a11 y a12.La segunda fila tiene a21 y a22.El primer subndice da la fila: aij esta en la fila i .El segundo da la columna: aij esta en la columna j .Puede pensarse en A como una funcion de dos variables,que a cada i y a cada j les asigna un escalar (un numero).

A =(a11 a12a21 a22

)=

(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)

)Esta notacion A(i , j) es la utilizada generalmente por lasaplicaciones informaticas (Python, Sage, Octave, Matlab,Maple, . . . ) y por algunos libros de texto.

Matrices y vectores

Operaciones basicas

Notacion matricial


A =(a11 a12a21 a22

)=

(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Notacion matricial


A =(a11 a12a21 a22

)=

(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Notacion matricial


A =(a11 a12a21 a22

)=

(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Notacion matricial


A =(a11 a12a21 a22

)=

(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Notacion matricial


A =(a11 a12a21 a22

)=

(A(1,1) A(1,2)A(2,1) A(2,2)


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Suma de matrices

Podemos sumar dos matrices A y B.Los coeficientes nunca se mezclan.

Suma de matrices

A =(a11 a12a21 a22

)y B =

(b11 b12b21 b22

)suman A+ B =

(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22

)

La resta de matrices sigue la misma idea, los coeficientesde A B seran aij bij .

Matrices y vectores

Operaciones basicas

Suma de matrices


Suma de matrices

A =(a11 a12a21 a22

)y B =

(b11 b12b21 b22

)suman A+ B =

(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22

)


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Suma de matrices


Suma de matrices

A =(a11 a12a21 a22

)y B =

(b11 b12b21 b22

)suman A+ B =

(a11 + b11 a12 + b12a21 + b21 a22 + b22

)


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Multiplicacion por un escalar

La otra operacion basica es la multiplicacion por un escalarLas matrices pueden ser multiplicadas por 2, por 1 o porcualquier otro numero c.Hay dos maneras de duplicar una matriz: sumar A+ A o(mas facil) multiplicar cada coeficiente por 2.

Multiplicacion escalar

2A =(

2a11 2a122a21 2a22

) A =

(a11 a12a21 a22

)

Los coeficientes de cA son caij .

Matrices y vectores

Operaciones basicas




2A =(

2a11 2a122a21 2a22

) A =

(a11 a12a21 a22

)


Matrices y vectores

Operaciones basicas




2A =(

2a11 2a122a21 2a22

) A =

(a11 a12a21 a22

)


Matrices y vectores

Operaciones basicas




2A =(

2a11 2a122a21 2a22

) A =

(a11 a12a21 a22

)


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Algunas observaciones

Hay que notar que la suma de A y A es la matriz cero.Esto es la matriz 0, que es distinto del numero 0!El orden de la suma no altera el resultado: A+ B es iguala B+ A.

A+ B =(

1 23 1

)+

(1 00 1

)=

(2 23 2

)B+ A =

(1 00 1

)+

(1 23 1

)=

(2 23 2

)Si la cantidad de filas m y de columnas n son iguales(m = n) se dice que A es una matriz cuadrada.Si m 6= n se dice que A es una matriz rectangular.

Matrices y vectores

Operaciones basicas



A+ B =(

1 23 1

)+

(1 00 1

)=

(2 23 2

)B+ A =

(1 00 1

)+

(1 23 1

)=

(2 23 2


Matrices y vectores

Operaciones basicas



A+ B =(

1 23 1

)+

(1 00 1

)=

(2 23 2

)B+ A =

(1 00 1

)+

(1 23 1

)=

(2 23 2


Matrices y vectores

Operaciones basicas



A+ B =(

1 23 1

)+

(1 00 1

)=

(2 23 2

)B+ A =

(1 00 1

)+

(1 23 1

)=

(2 23 2


Matrices y vectores

Operaciones basicas



A+ B =(

1 23 1

)+

(1 00 1

)=

(2 23 2

)B+ A =

(1 00 1

)+

(1 23 1

)=

(2 23 2


Matrices y vectores

Operaciones basicas

Propiedades de la suma de matrices


A+ B = B+ A ley conmutativac (A+ B) = cA+ cB ley distributiva

A+ (B+ C) = (A+ B) + C ley asociativa

Matrices y vectores

Operaciones basicas





Matrices y vectores

Operaciones basicas





Matrices y vectores

Producto entre una matriz y un vector

Indice



Matrices y vectores


Matriz multiplicando un vector columna (metodo 1)

Definicion 1 (una matriz A multiplicando un vector x)

Ax =

u v wx1x2

x3

= x1u+ x2v+ x3w = bdonde u, v y w son los vectores columna de A, y se utiliza laoperacion combinacion lineal de vectores.

El resultado sera un vector b.

Matrices y vectores




Ax =

u v wx1x2

x3

= x1u+ x2v+ x3w = bdonde u, v y w son los vectores columna de A, y se utiliza laoperacion combinacion lineal de vectores.

El resultado sera un vector b.

Matrices y vectores




Ax =

efg

x1x2x3

=e xf xg x

= bdonde e, f y g son los vectores fila de A, y se utiliza laoperacion producto punto de vectores.

El resultado sera exactamente el mismo vector b.

Matrices y vectores




Ax =

efg

x1x2x3

=e xf xg x

= bdonde e, f y g son los vectores fila de A, y se utiliza laoperacion producto punto de vectores.

El resultado sera exactamente el mismo vector b.

Matrices y vectores


Ejemplo 1

Encontrar el vector b resultante de combinar linealmente losvectores columna i = (1,0,0), j = (0,1,0) y k = (0,0,1) conlos escalares x1 = 0, x2 = 2 y x3 = 0.

Fabricando la matriz A y el vector x resulta

Ax =

1 0 00 1 00 0 1

020

= 201

0

=02

0

= bA actua sobre x y regresa un b que es identico a x!Por esto la matriz A es llamada matriz identidad I. Siemprese comprueba que Ix = x, para cualquier x.

Matrices y vectores


Ejemplo 1



Ax =

1 0 00 1 00 0 1

020

= 201

0

=02

0


Matrices y vectores


Ejemplo 1



Ax =

1 0 00 1 00 0 1

020

= 201

0

=02

0


Matrices y vectores


Ejemplo 1



Ax =

1 0 00 1 00 0 1

020

= 201

0

=02

0


Matrices y vectores


Ejemplo 2

Dados la matriz A =(

1 02 3

)y el vector columna x =

(21

),

calcular Ax = b:1 como combinacion lineal de las columnas de A.2 como productos punto de las filas de A.

1 La combinacion lineal de columnas de A resulta

Ax =(

1 02 3

)(21

)= 2

(12

)+ 1

(03

)=

(27

)= b

2 Los productos punto con las filas de A resultan

Ax =(

1 02 3

)(21

)=

((1 0) (2,1)(2 3) (2,1)

)=

(27

)= b

Matrices y vectores


Ejemplo 2


1 02 3


(21

),



Ax =(

1 02 3

)(21

)= 2

(12

)+ 1

(03

)=

(27

)= b


Ax =(

1 02 3

)(21

)=

((1 0) (2,1)(2 3) (2,1)

)=

(27

)= b

Matrices y vectores


Ejemplo 2


1 02 3


(21

),



Ax =(

1 02 3

)(21

)= 2

(12

)+ 1

(03

)=

(27

)= b


Ax =(

1 02 3

)(21

)=

((1 0) (2,1)(2 3) (2,1)

)=

(27

)= b

Matrices y vectores


Repaso de ideas clave

1 Una matriz A de m filas y n columnas tiene mncoeficientes (se dice que A Rmn)

2 Las operaciones basicas son

A+ B =

a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33

cA =

ca11 ca12 ca13ca21 ca22 ca23ca31 ca32 ca33

3 Ax = b es una combinacion lineal de las columnas de A.4 Ax = b es tambien el producto punto con las filas de A.

Matrices y vectores





A+ B =


cA =



Matrices y vectores





A+ B =


cA =



Matrices y vectores





A+ B =


cA =



Operaciones con matrices

Producto de matrices

Indice





Como pueden multiplicarse dos matrices?

Definicion 3 (la matriz A multiplicando a la matriz B)

(a11 a12a21 a22

)(b11 b12b21 b22

)=

(a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

)

Definicion 4 (utilizando el producto punto)

(ab)ij = (fila i de A) (columna j de B)



Condicion necesaria para multiplicar dos matrices

Dadas matrices A de m n y B de p q, puedenmultiplicarse como AB solamente si n = p.O sea, solamente si el numero de columnas de A es igualal numero de filas de B.Si n 6= p no puede calcularse el producto!



Ejemplo 3

Matrices cuadradas pueden multiplicarse solamente si tienen elmismo tamano (

1 12 1

)(2 23 4

)=

(5 61 0

)

El primer producto punto es (1)(2)+(1)(3)=5, los otros tresproductos punto dan 6, 1 y 0.Si A y B son de n n, tambien AB es de n n .AB contiene n2 productos punto, y cada producto puntorequiere n multiplicaciones.El computo de AB requiere n3 multiplicaciones.Si n = 100 hay que multiplicar 1000000 de veces.Si n = 2, solo 8 veces.



Ejemplo 3


1 12 1

)(2 23 4

)=

(5 61 0

)




Ejemplo 3


1 12 1

)(2 23 4

)=

(5 61 0

)




Ejemplo 3


1 12 1

)(2 23 4

)=

(5 61 0

)




Ejemplo 3


1 12 1

)(2 23 4

)=

(5 61 0

)




Propiedades del producto de matrices


AB 6= BA ley conmutativa no funcionaC(A+ B) = CA+ CB ley distributiva a izquierda(A+ B)C = AC+ BC ley distributiva a derecha

A(BC) = (AB)C ley asociativa



Ejemplo 4

Sea A una matriz fila de 13 y sea B una matriz columna de31. Entonces AB sera una matriz de 11, mientras que BAsera una matriz de 33.

A =(1 2 3

)B =

012

AB =(1 2 3

)012

BA =01

2

(1 2 3)

=(8)

=

0 0 01 2 32 4 6



Ejemplo 4

Sea A una matriz fila de 13 y sea B una matriz columna de31. Entonces AB sera una matriz de 11, mientras que BAsera una matriz de 33.

A =(1 2 3

)B =

012

AB =(1 2 3

)012

BA =01

2

(1 2 3)

=(8)

=

0 0 01 2 32 4 6


Transpuesta de una matriz

Indice





Convirtiendo las columnas en filas y viceversa

Definimos una matriz AT llamada transpuesta de A.Las columnas de A son las filas de AT .Si A es de m n, la transpuesta es de n m.

Definicion 5 (traspuesta de una matriz)

El coeficiente de la fila i y la columna j de AT corresponde alde la fila j y la columna i de A(

aT)ij= aji

A =(

1 2 30 0 0

)AT =

1 02 03 0







aT)ij= aji

A =(

1 2 30 0 0

)AT =

1 02 03 0







aT)ij= aji

A =(

1 2 30 0 0

)AT =

1 02 03 0







aT)ij= aji

A =(

1 2 30 0 0

)AT =

1 02 03 0



Transponiendo vectores columna y vectores fila

Un vector columna v se transpone en uno fila vT .Un vector fila w se transpone en uno columna wT .

Transpuesta de un vector

v =

1020

vT = (1 0 2 0)

w =(pi pi2

)wT =

(pipi2

)



Propiedades de la transposicion


Suma: la transpuesta de A+ B es AT + BT .Producto: la transpuesta de AB es (AB)T = BTAT .





Suma: la transpuesta de A+ B es AT + BT .Producto: la transpuesta de AB es (AB)T = BTAT .




1 El (ab)ij de AB es (fila i de A) (columna j de B).2 El producto AB solo puede calcularse si el numero de

columnas n de A es igual el numero de filas p de B.3 La transpuesta pone las filas de A en las columnas de AT .

Ejemplos con Sage

Operaciones con matrices de Rmn

Indice

3 Ejemplos con SageOperaciones con matrices de Rmn

Ejemplos con Sage


Hacer combinaciones lineales de matrices

# crear una matriz A R22, con filas (1,2) y (3,1)A = matrix([(1,2),(3,1)])# crear una matriz B R22, con filas (1,0) y (0,1)B = matrix([(1,0),(0,1)])# calcular la suma y la restaC = A + BD = A - Bprint Cprint D# calcular la combinacion lineal E = 2A+ 0,5BE = 2*A + 1/2*Bprint E

Ejemplos con Sage



# crear una matriz A R22, con filas (1,0) y (2,3)A = matrix([(1,0),(2,3)])# crear un vector x = (2,1) R2x = vector((2,1))# calcular el producto b = Axb = A*xprint b

Ejemplos con Sage


Producto entre dos matrices

# crear una matriz A R32,# con filas (2,2), (0,1) y (7,9)A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)])# crear una matriz B R23,# con filas (1,2,3) y (4,0,1)B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)])# calcular el producto ABprint A*B# calcular el producto BAprint B*A# comprobar que AB 6= BAprint (B*A)!=(A*B) # el resultado sera "True"

Ejemplos con Sage



# crear una matriz A R32A = matrix([(2,2),(0,1),(7,9)])# crear una matriz B R23B = matrix([(1,2,3),(4,0,1)])# calcular la transpuesta del producto (AB)T

C = (A*B).transpose()print C# calcular el producto BTAT

D = B.transpose()*A.transpose()print D# comprobar que (AB)T == BTAT

print C == D # el resultado sera "True"

Matrices y vectoresOperaciones bsicasProducto entre una matriz y un vector

Operaciones con matricesProducto de matricesTranspuesta de una matriz

ApndiceEjemplos con SageOperaciones con matrices de Rmn

02 Matrices Presentacion

Documents

Transcript of 02 Matrices Presentacion