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M. en C. Carolina Yolanda Castañeda Roldán
24 Septiembre 2014
Algebra Lineal ACF-0903
2.4 Transformaciones elementales por renglón
Escalonamiento de una matriz Rango de una matriz.
Índice
2
2.1 Definición de matriz, notación y orden.
2.2 Operaciones con matrices.
2.3 Clasificación de las matrices.
2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.
2.5 Cálculo de la inversa de una matriz.
2.6 Definición de determinante de una matriz.
2.7 Propiedades de los determinantes.
2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.
2.9 Aplicación de matrices y determinantes.
2.4 Antecedentes
Se dice que 2 SEL son equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo 1:-2x = -2 2x - 2y = -2 x - y = -1 y = 2
Solución:
x =1 2x-2(2) = -21-y=-1y=2 2x=4-2 x =1 Sol. (1,2) Sol. (1,2)
Como: SEL y el SEL tienen las mismas soluciones
SEL1 SEL2
Son equivalentes
1 2
2.4.1 Transformaciones elementales por renglón
Las operaciones elementales de renglón nos permiten resolver un SEL y son:1) Intercambiar renglones2) Multiplicar un renglón por una constante (convertir números a 1)3) Sumar a un renglón el múltiplo de otro (convertir a
ceros)
Notación :1) significa sustituir el renglón "i" por el mismo renglón, multiplicándolo por una constante "c"2) significa sustituir el renglón "j" por la suma del mismo con el producto del renglón "i" por
la constante "c"3) significa sustituir el renglón "j" por el renglón "i" y viceversa
4) o A B significa que la matriz B es equivalente a la matriz A
R i cRi
ijj cR+RR
R j R i
A B
2.4.1 Transformaciones elementales por renglón
Ejemplos:1) Intercambio de renglones
4|73
5|12
5|12
4|7321 RR
5|123
4|3
71
5|12
4|73 11 R3
1R
2) Convertir a 1 el elemento a11 de la matriz
2.4.1 Transformaciones elementales por renglón
4) Sustituir el renglón "1" por el mismo renglón, multiplicando por una constante "2", dicho de otra manera substituir el renglón "1" por el duplo del mismo renglón, o sea el duplo del mismo renglón.
5|12
8|142
5|12
4|7111 2R R
3) Convertir en cero un elemento de la matriz (el elemento a21)
13|150
4|71
5|12
4|71212 R2R R
2.4.2 Escalonamiento de una matrizMatriz Escalonada(E) y Matriz Escalonada-Reducida(ER)
1) Todos los renglones que contengan solo ceros (si los hay) deberán ir en la parte inferior de la matriz
2) El primer número distinto de cero (elemento delantero) en cualquier renglón que no contenga sólo ceros debe ser uno
3) En dos renglones sucesivos que no contengan sólo ceros, el primer uno del renglón inferior deberá aparecer más a la derecha que el primer uno del superior
4) Cualquier columna que contenga el primer uno de un renglón cualquiera deberá tener ceros en las posiciones de arriba y abajo en caso de que la matriz tenga espacio.
Para que sea matriz escalonada (E) debe cumplirse del inciso (1) al (3), y si es matriz escalonada reducida (ER) debe cumplirse del inciso (1) al (4).
Una matriz está en la forma escalonada y reducida si:
2.4.2 Escalonamiento de una matrizMatriz Escalonada(E) y Matriz Escalonada-Reducida(ER)
E = Escalonada = forma de renglón escalón = forma de escalónER = Escalonada reducida = forma reducida de renglón escalón o forma de escalón reducida.
Algunas notas importantes son :
1) El renglón cero de una matriz sólo incluye ceros.
2) Un renglón no cero tiene cuando menos un elemento distinto de cero. Lo mismo se puede hablar de columna cero y no cero.
3) El elemento delantero es el primer elemento no cero de un renglón no cero, o elemento capital. Si sucede que el elemento delantero es 1, se le llama 1 delantero.
4) Una matriz ER siempre está es la forma R.
2.4.2 Escalonamiento de una matrizMatriz Escalonada(E) y Matriz Escalonada-Reducida(ER)
Ejemplo 1:
0000
4100
2161
A
00000
00000
43010
21021
A
0000
4300
2101
A
2000
4100
2161
A
E M
M
M
00000
00000
43050
21022
A
E
20
02A
10
01A ERM
Clasifique las siguientes matrices en escalonadas (E), escalonada reducida (ER) y matriz (M)
2.4.3 Matrices Equivalentes A BDos matrices son equivalentes (de renglón) si una puede obtenerse de la otra mediante una sucesión finita de operaciones elementales de renglón.
BA BntadaMatrizAumeAu sRenglónOperacione
Ejemplo 1:
00
80
31
93
31
80
BA
Solución:Aplicando operaciones de renglón tenemos:
BA
00
80
31
By
93
31
80
A:donde
00
80
31
93
80
31
93
31
80
3132 R3RRRR
2.4.3 Matrices Equivalentes A B
Dos matrices son equivalentes A B (operaciones de renglón) si una puede obtenerse de la otra mediante una sucesión finita de operaciones elementales de renglón.
Teorema:
Se dice que una matriz se convierte o se reduce a la forma escalonada E o escalonada reducida ER, si es equivalente a una matriz E o ER.
Si A E o A ER
A se reduce a E o ER
2.4.4 Rango de una matrizSi A E o A ER r(A) = r(E) = número de entradas principales de E o
número de filas no nulas de E.
entradas principales = 2
0000
1310
4751
E
Elemento delantero
número de filas no nulas de E = 2
Por lo tanto, r(A) = r(E) = 2
Ejemplo 1:
Vector fila nulo
2.4.4 Rango de una matriz
00
10
31
4-0
10
31
4-0
20
31
10-2-
20
31
012
82
51
012
51
82
32322
31321221
RR4RR
2
1R
R2RRR2RRRR
Ejemplo 2:
¿Cuál es el rango de la matriz ?
012
51
82
A
Solución:
Elemento delantero
filas no nulas de E = 2
Por lo tanto, r(A) = r(E) = 2
Tarea
?10
0119)?
1000
0300
0001
18)?
0000
0000
0001
17)?
1000
0000
0001
16)
?
0000
0001
0010
15)?
53
00
21
14)?
0000
4510
2731
13)?01
1012)
?1000
075111)?
3100
205110)?
1000
83719)?
410
7318)
?4100
12317)?
1010
0000
0001
6)?0010
23215)?
00
004)
?
1000
0010
0001
4)?
0100
3210
3121
3)?
1000
0100
0001
2)?
100
010
001
1)
Clasifique las siguientes matrices en escalonadas (E), escalonada reducida (ER) y matriz (M)
Ejercicio 1:
Tarea
?3101
205110)?
166142
83719)?
410
7318)
?4161
12317)?
1010
0002
0001
6)?0012
2322-5)?
21
424)
?
1111
2222
0001
4)?
0121
3210
0100
3)?
1001
2122
0308
2)?
604
010
302
1)
Encuentre la matriz escalonadas (E) o escalonada reducida (ER)
Ejercicio 2:
Tarea
Ejercicio 3:Calcular el rango de cada una de las matrices A siguientes:
?10
0119)?
1000
0300
0001
18)?
0000
0000
0001
17)?
1000
0000
0001
16)
?
0000
0001
0010
15)?
53
00
21
14)?
0000
4510
2731
13)?01
1012)
?1000
075111)?
3100
205110)?
1000
83719)?
410
7318)
?4100
12317)?
1010
0000
0001
6)?0010
23215)?
00
004)
?
1000
0010
0001
4)?
0100
3210
3121
3)?
1000
0100
0001
2)?
100
010
001
1)
Tarea
Ejercicio 3 (continuación):
242
221)22
11021
10612
13401
03211
)21
848062
15010500
342562
020231
)20 AAA
242
242)25
15863
04642
00121
01221
)24
800002
101100
300000
001021
)23 AAA
Tarea
848062
15010500
342562
020231
)20 A
Ejercicio 3 (continuación):
Nota 2: La entrega es en forma impresa, deben realizar los trabajos en word.
Nota 3: La entrega de su portafolio de evidencias es en forma digital.
Nota 1: Para todos los ejercicios, checar los resultados usando Matlab, anexar el resultado de Matlab después de la solución manual.