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Universidad Autónoma del estado de MéxicoCentro Universitario UAEM Ecatepec

Ingeniería en computación segundo semestre.

Ecuaciones diferenciales

Dr. en C. Rodolfo Zolá García Lozano

(2011A)

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Programa:

• Objetivo general: El alumno comprenderá los conceptos fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales y no lineales, así como los fundamentos de las ecuaciones diferenciales parciales y sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.

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Unidad 1: Introducción.

• Objetivo de la unidad: Comprenderá el concepto de ecuación diferencial, su clasificación y la forma esperada de su solución, junto con un panorama de sus aplicaciones en la ingeniería.

• Temas:

1. Definición de la ecuación diferencial.

2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales.

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Unidad 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias

• Objetivo de la unidad: Comprenderá los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (lineales y no lineales), y de las ecuaciones lineales ordinarias de orden superior, así como el de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

 • Temas:

1. Ecuaciones diferenciales de primer orden.2. Ecuaciones diferenciales lineales.3. Transformada de Laplace y sus aplicaciones en la solución de ecuaciones diferenciales.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.5. Solución de ecuaciones diferenciales por medio de series de potencias.

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Unidad 3: Series de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales • Objetivo de la unidad: Aplicará series de Fourier para la

solución de ecuaciones diferenciales parciales por el método de separación de variables.

 

Temas: 

1. Serie senoidal y cosenoidal de Fourier.

2. Ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes constantes.

3. Método de separación de variables.

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Bibliografía • Zill D. G. “Ecuaciones diferenciales con

aplicaciones de modelado”, 8va Edición, International Thomson Editores, México 2007. (libro de texto)

• Cualquier otro libro sobre ecuaciones diferenciales que encuentren en cualquier BIBLIOTECA!!!

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Evaluación de los exámenes parciales

Aspectos a evaluar en el curso Porcentaje de la calificación (%)

Examen parcial 90

Tareas diarias. Uno o dos ejercicios para entregar

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Ejercicios NADA!!!

Extras Lectura y presentación de una nota periodística, científica, cultural o de

interés para la comunidad

Reconocimiento al empeño y dedicación

(a criterio del profesor)

Total100

+extras.

Proyecto de fin de cursos

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9

Unidad 1: Introducción.

Definiciones y terminología.

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¿dónde se aplican estas ecuaciones diferenciales?

¿en problemas complejos?

¿en problemas sencillos?

Fenómenos o eventos que tienen que ver con ecuaciones diferenciales

• Dinámica poblacional• Desintegración radioactiva• Enfriamiento o calentamiento de las

cosas• Propagación de una enfermedad• Reacciones químicas• Mezclas de soluciones• Drenado de depósitos• Circuitos eléctricos en serie• Caída libre de los objetos

• Caída de los cuerpos y resistencia con el aire

• Cadenas corredizas• Cables colgantes

¿Y en el área de la informática o la electrónica?

• Difusión de la información a través de un medio

• Calentamiento y enfriamiento de un microprocesador cuando opera

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Todos aquellos fenómenos que estén relacionados con una razón de cambio.

¿Por qué es necesario que los especialistas en computación dominen los la resolución de Ecuaciones diferenciales?

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Ventaja:

Puede resolver problemas de TODO TIPO DE PERSONAS

Desventaja:

Puede resolver problemas de TODO TIPO DE PERSONAS

¿Por qué es necesario que los especialistas en computación dominen los la resolución de Ecuaciones diferenciales?

Las técnicas de resolución de Ecuaciones diferenciales son herramientas muy poderosas para la solución de problemas “convencionales” en el sector industrial,

científico, académico, e incluso en la actividad cotidiana.

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¿Por qué nadie lo usa?

¿qué es lo que ya sabemos?

• Para una función:

f(x)=x3+5x2-8x• Encontrar su derivada:

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f(x) f’(x)Derivando

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Definición de ecuación diferencial

En este curso nos enfocaremos a responder la siguiente pregunta:

“Dada la ecuación diferencial: xdxdy

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¿existe algún método por el cual podamos llegar a la función

desconocida que cumpla con la ecuación diferencial anterior?”

f(x) f’(x)¿?

Ecuación diferencial

• Es una ecuación que contiene derivadas de una o mas variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes.

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Clasificación:

Tipo

Orden

Linealidad

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Clasificación según el TIPO

• Ecuaciones diferenciales ordinarias: Contienen derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes respecto a una sola variable independiente.

• Ecuaciones en derivadas parciales: Contienen las derivadas parciales de una o mas variables dependientes, respecto a dos o mas variables independientes.

06

10

2

2

ydx

dy

dx

yd

eydx

dy x

t

u

t

u

x

u

x

v

y

u

22

2

2

2

18

Clasificación:

Tipo

Orden

Linealidad

• Ecu. Dif. Ordinarias

• Ecu. Dif. en derivadas parciales

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Clasificación según el ORDEN

• El ORDEN de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es la derivada de mayor orden

Ejemplo:

xeydx

dy

dx

yd345

3

2

2

04)( dydxxy

20

Una ecuación diferencial ordinaria general de orden “n” se suele representar mediante los símbolos:

F(x, y, y’,...,y(n)) = 0 (1)

En las explicaciones de este curso consideraremos que se puede despejar la derivada de orden máximo “ y(n) ”, esto es:

y(n) =f(x, y, y’,...,y(n-1)) (2)

21

Clasificación:

Tipo

Orden

Linealidad

• Ecu. Dif. Ordinarias

• Ecu. Dif. en derivadas parciales

Primer ordenSegundo ordenTercer orden etc

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Clasificación según la LINEALIDAD o NO

LINEALIDAD Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(n) =f(x, y, y’,...,y(n-1)) es LINEAL cuando “f ” es una función lineal de y, y’, ...,y(n-1). Esto significa que la ecuación es lineal si se puede escribir de la siguiente forma:

)()()(...)()( 011

1

1 xgxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n

Dos propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales son: • La variable dependiente “y” y todas sus derivadas son de PRIMER GRADO (no

orden), es decir, la potencia de todo término donde aparece “y” es “1”. • Cada coeficiente solo depende de “x”, que es la variable independiente. Las

funciones de “y” como el sen y o ey no pueden aparecer en una ecuación diferencial lineal.

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Ejemplos: Ejercicio 1.1

04)( dyxdxxy

0''' yyy

xexdx

dy

dx

ydx 6

3

33

xeyyy 2´')1(

0)(2

2

ysendx

yd

024

4

ydx

yd

24

Ejercicio 1.1 (ED-Zill), pp. 10 a 12.

En los problemas del 1-8 expresar el orden de la ecuación diferencial. Determine si la ecuación es lineal o no.

25

Ejercicio 1.1 (ED-Zill), pp. 10 a 12.

En los problemas del 9 y 10 determine si la ED de primer orden es lineal en la variable dependiente indicada.

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Clasificación:

Tipo

Orden

Linealidad

• Ecu. Dif. Ordinarias

• Ecu. Dif. en derivadas parciales

Primer ordenSegundo ordenTercer orden etc

• Ecu. Dif. Lineales

• Ecu. Dif. No Lineales

Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)

• Solución de una EDO:

Es cualquier función φ, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad.

27

Solución de una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)

Comprobar que la función indicada es una solución (explicita) de la ecuación diferencial en el intervalo (-∞, ∞).

28

29

Una solución explícita de una ecuación diferencial, que es idéntica a

CERO en un intervalo I, se llama SOLUCIÓN TRIVIAL.

 

30

Ejercicio 1.1 (ED-Zill), pp. 10 a 12.

En los problemas del 11 y 14 compruebe que la función indicada es una solución explícita de la ED. Suponga un intervalo apropiado I de definición para cada solución.

31

Comprobar que la relación 0422 yx

es una solución implícita de la siguiente ecuación diferencial yx

dxdy

en el intervalo –2< x <2.

Ejemplo

Una relación G(x,y) es una solución implícita de una ecuación diferencial, en un intervalo “I” siempre y cuando exista al menos una función que satisfaga la relación y la ecuación diferencial en el intervalo “I”.

32

Ejercicio 1.1 (ED-Zill), pp. 10 a 12.

En los problemas del 19 al 20 compruebe que la función indicada es una solución implícita de la ED de primer orden. Encuentre por lo menos una solución una solución explícita para cada caso. Utilice un software de graficación para para obtener la gráfica de la solución explícita. De un intervalo I de definición para cada solución φ

Otras definiciones

• Resolver la ecuación diferencial siguiente

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Otras definiciones

• Una solución a una ecuación diferencial, con una constante arbitraria representa un conjunto G(x,y,c)=0 de soluciones y se llama:

familia monoparamétrias.

• Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama:

solución particular

34

35

Ejercicio 1.1 (ED-Zill), pp. 10 a 12.

En los problemas del 21 al 24 compruebe que la familia indicada de funciones es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo apropiado i de definición para cada solución.

Tarea

• Estudiar los ejemplos referentes a las soluciones definidas por partes y a los sistemas de ecuaciones diferenciales. P.p. 8 y 9 del ED-Zill 8ª edición.

• Para entregar ejercicio 28 y 34.

• Resolver el resto de los ejercicios del 1.1.

36

37

Problemas de valor inicial

En la práctica, es necesario resolver ecuaciones diferenciales que están sujetas a condiciones preestablecidas. Estas son condiciones que se ponen a y(x) y/o a sus derivadas. A estos problemas se le conocen como de valor inicial o con condiciones iniciales. Esto es :

Resolver : ),...,',,( )1( nn

n

yyyxfdx

yd

Sujeto a las siguientes condiciones de frontera:  

;)(

...

;)('

;)(

10)1(

10

00

nn yxy

yxy

yxy

38

Ejemplo 1. Encontrar la solución particular de la ecuación y’=y considerando que y=cex es una familia monoparamétrica de soluciones. Considerar la siguiente condición inicial y(0)=3.

Encontrar la solución particular si ahora la condición inicial es y(1)=-2.

39

Ejemplo 2:  es una solución biparamétrica de la ecuación diferencial Determinar una solución particular de la ecuación anterior con condiciones iniciales:

tsenctcx 44cos 21 016'' xx

,22

x1

2'

x

40

2/1xydx

dy

Ejemplo 3. Un problema de valores iniciales puede tener varias soluciones.Se tiene la siguiente ecuación diferencial:

comprobar que las funciones y son soluciones y ambas cumplen con la condición inicial y(0)=0.

0y16

4xy

41

Ejercicio 1.2

En los problemas del 3 al 6, y=1/(x2+c) es una familia uniparamétrica de soluciones de la ED y’+2xy2=0. Encuentre una solución del problema de valor inicial (PVI) de primer orden que consiste en la ecuación diferencial y la condición inicial proporcionada. Dé el intervalo más grande de I en el cual se define la solución.3. y(2)=1/34. y(-2)=1/25. y(0)=16. y(1/2)=-4

42

Ejercicio 1.2

En los problemas del 7 al 10, x=c1 cos t + c2 sen t es una familia biparamétrica de soluciones de la ED x’’ + x= 0. Encuentre una solución del problema de valor inicial (PVI) de segundo orden que consiste en la ecuación diferencial y las condiciones iniciales que se proporcionan.

43

EXISTENCIA Y UNICIDAD

El teorema 1.1 define las condiciones suficientes para garantizar la existencia y la unicidad de la solución de un problema con valores iniciales de primer orden para ecuaciones que tengan la siguiente forma:  Ecuación diferencial de primer orden de la forma: Con la condición inicial:

),( yxfdx

dy

00 )( yxy

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Teorema 1.1

Sea una región rectangular R del plano xy, definida por a y d,

que contiene al punto (x0, y0). Si f(x) y son continuas en R,

entonces existe un intervalo I, centrado en x0, y una función

única, y(x) definida en I, que satisface el problema del valor

inicial expresado por las ecuaciones anteriores.

y

f

Definir la región donde la función y la derivada de la función sean continuas y que además se encuentre el punto (x0, y0)

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Ejemplo:

Para la ecuación diferencial siguiente, aplicar el teorema 1.1 para determinar si existe una solución única para la condición de valores iniciales y(2)=1

2/1xydx

dy

46

Ejercicio 1.2

Determine, en los problemas 17 al 24, una región del plano xy para el cual la ecuación diferencial que se proporciona tendría una solución única cuya gráfica pasa por el punto (x0, y0) en la región:

Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

¿Qué es un modelo matemático?

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Es un conjunto de expresiones matemáticas que definen el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real, ya sea físico, sociológico o incluso económico en términos matemáticos.

¿para que se construyen los modelos matemáticos?

Para:

• Entender ciertos mecanismos de algún ecosistema a estudiar, por ejemplo al estudiar el crecimiento de poblaciones animales.

• Fechar fósiles al analizar la desintegración de una sustancia radioactiva.

• Predecir situaciones con base en modelos matemáticos desarrollados para ciertos fenómenos

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Dinámica Poblacional

¿De qué depende el crecimiento de la población de una

“colonia”?

¿de un país?

¿del mundo?

Dinámica Poblacional

Crecimiento poblacional

Thomas Malthus (1798).

La rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento P(t).

¿Cómo lo podríamos expresar de forma matemática?

Desintegración radioactiva

• El núcleo de un átomo consiste en una combinación de protones y neutrones.

• Muchos de estos átomos son inestables, es decir se desintegran o transmutan a otros átomos.

• Normalmente, la velocidad con que transmutan o se desintegran estos átomos es proporcional al número de átomos (o núcleos).

51

52

Crecimiento demográfico Desintegración de elementos radioactivos

¿Cómo será el valor de k para cada uno de los casos?

Enfriamiento o calentamiento

53

¿En que lugar se enfriará mas rápido mi sopita?¿Por qué?

Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton

La rapidez a la que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente circundante (temp. ambiente).

54

Drenado de un depósito

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Aw

Ah

h

La ley de Torricelli establece que la velocidad v del flujo de salida de agua por un agujero terminado en punta en el fondo de un depósito lleno hasta una profundidad h es la misma que la velocidad que adquiriría un cuerpo (en este caso una caída de agua) al caer libremente desde una altura h.

Drenado de un depósito

56

La velocidad de caída de un cuerpo que se encuentra a una altura h la tendríamos que encontrar igualando su energía potencial cuando esta a la altura h, con su energía cinética cuando esta en h=0, por lo tanto.

La energía potencial a la altura h

La energía cinética en h=0

Drenado de un depósito

57

El volumen del agua que sale del depósito será igual a la velocidad de salida por el área del orificio de salida, esto es:Aw

Ah

h

Es decir, el cambio del volumen de agua del deposito respecto al tiempo estará dado por:

El signo negativo indica que el volumen disminuye

Drenado de un depósito

58

¿Esta ecuación diferencial esta expresada en los términos correctos?

Aw

Ah

h

No! Porque en el primer miembro de la ecuación esta la variable volumen (V) mientras que en el segundo esta h.

Necesitamos encontrar la equivalencia entre el Volumen y la altura, esto es:

Drenado de un depósito

59

Sustituyendo:

Aw

Ah

h

En la ecuación diferencial:

Quedará la ecuación diferencial:

La ED anterior es válida incluso cuando Aw no es constante.

MezclasSupóngase que un gran tanque de mezclado contiene inicialmente 300 galones de salmuera (agua en la que se ha disuelto cierta cantidad de libras de sal). Otra solución de salmuera se bombea hacia el tanque a una rapidez de 3 galones por minuto; la concentración de la sal en este flujo de entrada es de 2 libras por galón. Cuando la solución en el tanque esta bien agitada se bombea a la misma rapidez de la solución del tanque.

60

Mezclas

61

Si A(t) denota la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque en el momento t, entonces la rapidez con que A(t) cambia esta dada por:

Tasa de salidade sal

Tasa de entrada de sal

Mezclas

Si se bombea hacia afuera del depósito a una rapidez menor, por ejemplo de 2 galones/min, entonces:

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rsal-rent=3 gal/min -2 gal/min

rsal-rent= 1 gal/min

esto es, después de1 minutos se acumulan (t min)(1 gal/min)=t gal.

Por lo tanto el depósito contendrá 300 + t galones. Con este dato se puede realizar el procedimiento del ejemplo anterior.

Circuito en serie

• El voltaje en los diferentes dispositivos esta dado por:

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Inductor Resistencia Capacitor

Propagación de una enfermedad• Una enfermedad contagiosa de disemina por medio de la gente que

entra en contacto con otras personas.

• Sea x(t) el número de personas contagiadas en una comunidad.

• Sea y(t) el número de personas que no se han enfermado.

• Una aproximación del número de interacciones entre las personas infectadas y las no infectadas podría ser el producto xy.

• Podemos considerar que la velocidad con que crece el contagio de personas es proporcional al número de interacciones, esto es:

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Propagación de una enfermedad

• Supongan ahora que la comunidad es pequeña, con una cantidad fija de personas igual a “n”

• Ahora consideremos que se introduce un una persona infectada a esta comunidad.

• Entonces podríamos argumentar que x y y se relacionan mediante.

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Despejando “y” y sustituyéndola en la ecuación diferencial obtendríamos:

¿Cuál será la condición inicial de este modelo? x(0)= ?

Trabajo por equipoExponer la deducción de las ecuaciones diferenciales de los modelos matemáticos de los siguientes fenómenos:

• Reacciones químicas.

• Mezclas de dos soluciones.

• Drenado de un depósito.

• Circuitos en serie.

• Caída libre.

• Caída de los cuerpos y resistencia al aire.

• Cadena corrediza.

• Cables colgantes.

Proponer un experimento que nos permita comprobar la funcionalidad del modelo.

66

Soluciones de los

ejercicios capítulo 1

67