TECNICO EN PROTECCIONES ELECTRICAS

1. ELECTRICIDAD Y ANALISIS DE CIRCUITOS

Celaya, Gto. Enero 2008 Centro de Capacitacin Celaya

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CONTENIDO

1.0 FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 1.1 Sistemas de unidades 11.2 Leyes fundamentales 5

1.2.1 Ley de Coulomb 51.2.1.1 Carga elctrica 51.2.1.2 Ley de Coulomb 7

1.2.2 Leyes de Faraday 91.2.2.1 Los experimentos de Faraday 91.2.2.2 Ley de induccin de Faraday 10

1.2.3 Ley de Lenz 111.2.4 Ley de Gauss 12

1.2.4.1 Flujo de campo elctrico 121.2.4.2 Aplicaciones de la Ley de Gauss 13

1.2.5 Ley de Ampere 141.2.5.1 Ley de Biot y Savart 141.2.5.2 Aplicaciones de la Ley de Biot y Savart 151.2.5.3 Las lneas de B 161.2.5.4 Ley de Ampere 171.2.5.5 Solenoides y toroides 19

1.3 Ecuaciones bsicas del electromagnetismo (La sntesis de Maxwell) 20

2.0 ELEMENTOS DE CIRCUITOS 2.1 Elemento simple 222.2 Elementos activos 222.3 Elementos pasivos 232.4 Circuito 23

2.4.1 Circuito con elementos en serie 232.4.2 Circuito con elementos en paralelo 242.4.3 Circuitos serie-paralelo 242.4.4 Circuitos con elementos que no estn conectados en serie ni en paralelo 24

3.0 INTENSIDAD DE CORRIENTE Y RESISTENCIA 3.1 Intensidad de corriente elctrica 253.2 Resistencia, resistividad y conductividad 273.3 Ley de Ohm 293.4 Resistencias en serie y paralelo 29

4.0 CAPACITANCIA 4.1 Capacitancia 314.2 Clculo de la capacitancia 324.3 Capacitores en serie y paralelo 32

iii

. . . Continua

5.0 INDUCTANCIA 5.1 Inductancia 335.2 Clculo de la inductancia 345.3 Inductores en serie y paralelo 34

6.0 ANALISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE DIRECTA 6.1 Fuerza electromotriz 356.2 Diferencia de potencial 356.3 Clculo de corriente en un circuito cerrado simple 366.4 Leyes de Kirchhoff 366.5 Divisores de potencial y corriente 376.6 Conversiones delta-estrella y estrella-delta 406.7 Anlisis de mallas 416.8 Anlisis nodal 426.9 Clculo de potencia en corriente directa 44

7.0 NUMEROS COMPLEJOS Y DIAGRAMAS FASORIALES 7.1 Nmeros complejos 447.2 Algebra de nmeros complejos 477.3 Notacin fasorial 50

8.0 ANALISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA 8.1 Corriente alterna 518.2 Magnitudes de la corriente alterna 528.3 Relacin de corriente y potencial de los elementos puros 53

8.3.1 Resistencia pura 548.3.2 Capacitancia pura 548.3.3 Intensidad pura 558.3.4 Angulo de fase 568.3.5 Admitancia 56

8.4 Leyes de Kirchhoff para corriente alterna 578.5 Divisores de voltaje y corriente 578.6 Anlisis de mallas y nodos para circuitos de c.a. 588.7 Potencia en circuitos de corriente alterna 61

8.7.1 Triangulo de potencias 648.7.2 Factor de potencia 65

9.0 PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LAS MAQUINAS ELECTRICAS 9.1 Principio de operacin del transformador 669.2 Principio de operacin del alternador 72

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CAPITULO 1

FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Los fenmenos magnticos haban permanecido durante mucho tiempo en la historia de la ciencia como independientes de los elctricos. Pero el avance de la electricidad por un lado y del magne-tismo por otro, prepar la sntesis de ambas partes de la fsica en una sola, el electromagnetismo, que rene las relaciones mutuas existentes entre los campos magnticos y las corrientes elctri-cas. James Clark Maxwell fu el cientfico que cerr ese sistema de relaciones al elaborar su teo-ra electromagntica, una de las ms bellas construcciones conceptuales de la fsica clsica.

1.0 FUNDAMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

1.1 Sistemas de unidades En primer lugar se establecer un lenguaje comn, los ingenieros no podran comunicarse entre ellos en forma provechosa si los trminos que usan no fueran claros y con significado definido. Tambin es cierto que poco es lo que se puede aprender de un libro que no define cuidadosamen-te cada nueva cantidad que usa. Si se habla con el vago lenguaje de los comerciales de televisin, como en la frase deja su ropa 40% ms blanca, y no existe la preocupacin por definir la blan-cura o por dar unidades en las cuales se pueda medir, entonces ciertamente no habr xito en in-geniera, aunque, eso s, se vendern muchos detergentes. Para indicar el valor de alguna cantidad medible debe proporcionarse tanto un nmero como una unidad, como por ejemplo 3 pulgadas. Afortunadamente todos usan el mismo sistema de nume-racin y lo conocen bien. Como esto no es vlido para las unidades, se deber emplear cierto tiempo en familiarizarse con un sistema de unidades adecuado. Debe llegarse a un acuerdo sobre una unidad estndar, cerciorarse de su permanencia y de su aceptacin general. La unidad estn-dar de longitud, por ejemplo, no debe definirse como la distancia entre dos marcas sobre una cier-ta banda elstica; sta no es permanente y adems cualquier otra persona podra usar su propio estndar. Tambin se necesita definir cada trmino tcnico al ser usado por primera vez, estableciendo la definicin en trminos de unidades y cantidades definidas con anterioridad. Estas definiciones no siempre podrn ser tan generales como lo exigiran los ms tericos. Por ejemplo, pronto ser necesario definir voltaje. Por tanto debe aceptarse una definicin muy completa y general, que por el momento no se puede apreciar ni entender, o bien adoptar una definicin ms simple y menos general, pero que ser suficientemente buena para los propsitos presentes. Cuando sea necesaria una definicin ms general, el familiarizarse con los conceptos ms simples resultar una gran ayuda.

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Tambin se har evidente que muchas cantidades estn tan estrechamente relacionadas unas con otras, que la primera cantidad definida necesitar unas cuantas definiciones adicionales para ser comprendida totalmente. Como un ejemplo, cuando se defina el elemento de un circuito, ser ms conveniente definirlo en trminos de corriente y voltaje, y cuando se definan la corriente y el vol-taje, ayudar mucho hacerlo en trminos del elemento de un circuito. Ninguna de estas tres defi-niciones se puede entender bien a menos que todas se hayan establecido. Esto significa que la primera definicin de elemento de circuito puede ser un poco inadecuada, pero luego se definir corriente y voltaje en trminos del elemento de un circuito, y finalmente, se regresar a definir con ms cuidado lo que es un elemento de circuito.

Tabla 1.1 Unidades SI para las magnitudes fsicas Seccin Magnitud Unidad SI Abreviatura

longitud metro m masa kilogramo kg tiempo segundo s corriente amper A

I

ngulo radin rad rea metro cuadrado m2

volumen metro cbico m3 velocidad lineal metro por segundo m/s aceleracin lineal metro por segundo cuadrado m/s2

velocidad angular radin por segundo rad/s

II

aceleracin angular radin por segundo cuadrado rad/s2

frecuencia hertz (1/s) Hz fuerza newton (kgm/s2) N energa joule (Nm) J potencia watt (J/s) W carga coulomb (As) C voltaje volt (W/A) V flujo elctrico coulomb (As) C capacitancia farad (C/V) F resistencia ohm (V/A) conductancia siemen (A/V) S flujo magntico weber (Vs) Wb densidad de flujo magntico tesla (Wb/m2) T inductancia Henry (Wb/A) H

III

intensidad de campo elctrico volt/metro V/m densidad de flujo elctrico coulomb/metro cuadrado C/m2

intensidad de campo magntico amper/metro A/m IV

torca newton-metro Nm reactancia ohm (V/A) impedancia ohm (V/A) suceptancia siemen (A/V) S admitancia siemen (A/V) S potencia reactiva voltamper reactivo (VA) var

V

potencia aparente voltamper (VA) VA Seccin I: Unidades bsicas Seccin IV: Unidades derivadas compuestas sin nombres especiales Seccin II: Unidades derivadas sin nombres especiales Seccin V: Cantidades especiales Seccin III: Unidades derivadas con nombres especiales

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En cuanto al sistema de unidades, hay poco de dnde elegir; el que se usar fue adoptado por el National Bureau of Standards en 1964; es el usado por todas las sociedades de ingeniera ms importantes y es el lenguaje en el cual estn escritos los libros de texto actuales. Este es el Siste-ma Internacional de Unidades (abreviado SI en todos los idiomas) adoptado por la Conferencia General de Pesas y Medidas en 1960. El SI tiene seis unidades bsicas: metro, kilogramo, segun-do, amper, kelvin y candela. Este, por supuesto, es un sistema mtrico; la mayor parte de los pases con tecnologa avanzada usan ya alguna forma de este sistema: ya es urgente que se esta-blezca su uso en Estados Unidos. A continuacin se vern las definiciones de metro, kilogramo, segundo y amper. En la Tabla 1.1 anterior, se enlistan las magnitudes, unidades y abreviaturas estandar comnmente usadas. A finales del siglo XVIII el metro se defini exactamente como una diezmillonsima parte de la distancia desde el polo terrestre hasta el ecuador. La distancia se marc por medio de dos rayas finsimas en una barra de platino e iridio que haba sido enfriada a cero grados Celsius (C, ante-riormente centgrados). A pesar de que medidas ms precisas has demostrado que dichas marcas en la barra no representan exactamente esa fraccin del meridiano terrestre, hasta 1960 se acept internacionalmente que esas marcas definieran el metro patrn. En ese ao, la Conferencia Gene-ral bas una definicin ms precisa del metro (m) en un mltiplo de la longitud de onda de la radiacin de la lnea naranja del kriptn 86. En 1983, el metro se defini an con ms precisin como la distancia a la que viaja la luz en el vaco en 1/299 792 458 de segundo (que se definir en uno o dos segundos). La unidad patrn de masa, el kilogramo (kg), se defini en 1901 como la masa de un bloque de platino guardado junto con el metro patrn en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Svres, Francia. Esta definicin fue confirmada en 1960. La masa de este bloque es de aproxima-damente 0.001 veces la masa de 1m3 de agua pura a 4 C. La tercera unidad bsica, el segundo (s), se defina antes de 1956 como 1/86 400 de un da solar medio. En ese entonces se defini como 1/31 556 925.9747 del ao trpico de 1900. Ocho aos despus, el segundo se defini ms cuidadosamente como 9 192 631 770 perodos de la frecuen-cia de transicin entre los niveles hiperfinos F = 4, mF = 0 y F = 3, mF = 0 del estado base 2S del tomo de cesio 133, sin campos perturbadores externos. Esta ltima definicin es permanente y ms reproducible que la anterior; y slo es comprensible para los estudiosos de la fsica atmica. Sin embargo, cualquiera de estas definiciones describe adecuadamente al segundo comn y co-rriente que todos conocen. La definicin de la cuarta unidad bsica, el amper (A), aparecer ms adelante, cuando el estu-diante se familiarice con las propiedades bsicas de la electricidad. Las dos unidades bsicas res-tantes, el kelvin (K) y la candela (cd), no son de uso inmediato en anlisis de circuitos. El SI usa el sistema decimal para relacionar unidades mayores y menores que la unidad patrn y prefijos estndares para identificar varias potencias de diez:

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Tabla 1.2 Potencias de diez Prefijo Smbolo Magnitud

Atto a 10-18 Femto f 10-15 Pico p 10-12 Nano n 10-9 Micro 10-6 Mili m 10-3 Centi c 10-2 Deci d 10-1 Deka da 10+1 Hecto h 10+2 Kilo k 10+3 Mega M 10+6 Giga G 10+9 Tera T 10+12 Peta P 10+15 Exa E 10+18

Los prefijos sombreados en el recuadro anterior son los que se usan con ms frecuencia en la teo-ra de circuitos elctricos. Es muy conveniente memorizar estos prefijos porque aparecern con mucha frecuencia, ya sea en este documento o en otros de carcter cientfico. As, un milisegundo (ms) es 0.001 segundo, y un kilmetro (km) es 1000 m. Ahora se ve que fue el gramo (g) lo que al inicio se defini como la unidad de masa. Y el kilogramo representaba simplemente 1000 g. En la actualidad, el kilogramo es nuestra unidad de masa, y si quisiramos enredar las cosas podra-mos decir que un gramo es un milikilogramo. Las combinaciones de varios prefijos, tales como milimicrosegundo, son inaceptables; lo que debe usarse en el trmino nanosegundo. Algo que tambin es oficialmente mal visto es el uso del trmino micra para 10-6 m; el trmino correcto es micrmetro (m). Sin embargo, el ngstrom () s se puede usar para 10-10 m. Desafortunadamente, esta relacin de potencias de 10 no est presente en el Sistema Britnico de Unidades, que es el de uso comn en Estados Unidos. Las unidades britnicas fundamentales se definen en trminos de las unidades SI como sigue: 1 pulgada es exactamente 0.0254 m, 1 libra-masa (lbm) es justo 0.453 592 37 kg, y el segundo es comn a ambos sistemas. Para finalizar el estudio de las unidades, se mencionarn las tres unidades derivadas usadas para medir fuerza, trabajo o energa, y potencia. El newton (N) es la unidad fundamental de fuerza, y es la fuerza que se requiere para imprimir una aceleracin de un metro por segundo cada segundo (1 m/s2) a una masa de 1 kg. Una fuerza de 1 N equivale a 0.22481 libras de fuerza (lbf), y un hombre promedio de 19 aos de edad y 68 kg de masa, ejerce una fuerza de 667 N sobre la bs-cula. La unidad fundamental de trabajo o energa es el joule (J), definido como un newton-metro (N-m). La aplicacin de una fuerza constante de 1 N a lo largo de una distancia de un metro requiere un gasto de energa de 1 J. La misma cantidad de energa es la que se requiere para levantar un

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libro, que pesa alrededor de 10 N, a una altura de aproximadamente 10 cm. El joule es equivalen-te a 0.737 56 libra fuerza-pie (lbf-ft). Otras unidades de energa son la calora (cal), igual a 4.1868 J; la unidad trmica Britnica (Btu), que es igual a 1055.1 J, y el kilowatt-hora (kWh), igual a 3.6 x 106 J. La ltima cantidad derivada que se definir es la potencia, la rapidez con la que se realiza un tra-bajo o con la que se gasta energa. La unidad fundamental de potencia es el watt (W), definido como 1 J/s. Un watt equivale a 0.737 56 lbf-ft/s. Tambin equivale a 1/745.7 caballos de potencia (hp), unidad que est cayendo en desuso en Ingeniera.

1.2 Leyes fundamentales A continuacin realizaremos una muy breve descripcin de las principales Leyes Fundamentales con el propsito de comprender mejor el fenmeno de la electricidad.

1.2.1 Ley de Coulomb La carga elctrica es una propiedad fundamental de la materia, y veremos que una carga elctrica ejerce una fuerza en otras cargas elctricas. Qu factores afectan la magnitud de esta fuerza? Para responder la pregunta, el fsico francs Charles Coulomb analiz las fuerzas elctricas en la dcada de 1780 con la ayuda de una balanza de torsin, que era muy similar a la que utiliz Ca-vendish cuando analiz la fuerza gravitacional. 1.2.1.1 Carga elctrica Para explicar como se origina la electricidad esttica, hemos de considerar que la materia est hecha de tomos y los tomos de partculas cargadas, estos ltimos compuestos por un ncleo formado por protones, que tienen una carga positiva, y neutrones que no tienen carga elctrica neta; rodeado de una nube de electrones que tienen una carga negativa. Normalmente, la materia es neutra, tiene el mismo nmero de cargas positivas y negativas. Algunos tomos tienen ms facilidad para perder sus electrones que otros. Si un material tiende a perder algunos de sus electrones cuando entra en contacto con otro, se dice que es ms positivo en la serie triboelctrica. Si un material tiende a capturar electrones cuando entra en contacto con otro material, dicho material es ms negativo en la serie triboelctrica. Ordenar los materiales segn esta propiedad se denomina serie triboelctrica. Estos son algunos ejemplos de materiales ordenados de ms positivo (o buenos dadores) a ms negativo (o buenos captores): Piel de cone-jo, vidrio, pelo humano, nylon, lana, seda, papel, algodn, madera, mbar, polister, poliuretano, vinilo (PVC), tefln. El vidrio frotado con seda provoca una separacin de las cargas, por que ambos materiales ocu-pan posiciones distintas en la serie triboelctrica, lo mismo se puede decir del mbar y del vidrio. Cuando dos materiales no conductores entran en contacto uno de los materiales puede capturar electrones del otro material. La cantidad de carga depende de la naturaleza de los materiales (de su separacin en la serie triboelctrica), y del rea de la superficie que entra en contacto. Otro de

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los factores que intervienen es el estado de las superficies, si son lisas o rugosas (la superficie de contacto es pequea). La humedad o impurezas que contengan las superficies proporcionan un camino para que se recombinen las cargas. La presencia de impurezas en el aire tiene el mismo efecto que la humedad. De experimentos de frotacin con distintos materiales y determinando las dos clases de carga y sus interacciones se concluye que: - La materia contiene dos tipos de cargas elctricas denominadas positivas y negativas. - Los objetos cargados con cargas del mismo signo, se repelen, los objetos cargados con cargas

de distinto signo, se atraen. - Los objetos no cargados poseen cantidades iguales de cada tipo de carga. Cuando un cuerpo se

frota la carga se transfiere de un cuerpo al otro, uno de los cuerpos adquiere un exceso de carga positiva y el otro, un exceso de carga negativa. En cualquier proceso que ocurra en un sistema aislado, la carga total o neta no cambia (se conserva).

- La carga elctrica est cuantizada, es decir, existe en mltiplos enteros de la carga del electrn, q = Ne: Carga elctrica = (nmero entero) (carga del electrn).

- La carga del electrn es de 1.610-19 C Carga elctrica en reposo La carga elctrica constituye una propiedad fundamental de la materia. Se manifiesta a travs de ciertas fuerzas, denominadas electrostticas, que son las responsables de los fenmenos elctri-cos. Su influencia en el espacio puede describirse con el auxilio de la nocin fsica de campo de fuerzas. El concepto de potencial hace posible una descripcin alternativa de dicha influencia en trminos de energas. El trmino elctrico, y todos sus derivados, tiene su origen en las experiencias realizadas por Ta-les de Mileto, un filsofo griego que vivi en el siglo VI antes de Cristo. Tales estudi el compor-tamiento de una resina fsil, el mbar -en griego elektrn-, observando que cuando era frotada con un pao de lana adquira la propiedad de atraer hacia s pequeos cuerpos ligeros; los fen-menos anlogos a los producidos por Tales con el mbar o elektrn se denominaron fenmenos elctricos y ms recientemente fenmenos electrostticos. La electrosttica es la parte de la fsica que estudia este tipo de comportamiento de la materia, se preocupa de la medida de la carga elctrica o cantidad de electricidad presente en los cuerpos y, en general, de los fenmenos asociados a las cargas elctricas en reposo. El desarrollo de la teo-ra atmica permiti aclarar el origen y la naturaleza de los fenmenos elctricos; la nocin de fluido elctrico, introducida por Benjamn Franklin (1706-1790) para explicar la electricidad, fue precisada a principios de siglo al descubrirse que la materia est compuesta ntimamente de to-mos y stos a su vez por partculas que tienen propiedades elctricas. Como sucede con otros captulos de la fsica, el inters de la electrosttica reside no slo en que describe las caractersticas de unas fuerzas fundamentales de la naturaleza, sino tambin en que facilita la comprensin de sus aplicaciones tecnolgicas. Desde el pararrayos hasta la televisin una amplia variedad de dispositivos cientficos y tcnicos estn relacionados con los fenmenos electrostticos.

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Carga elctrica en movimiento La parte de la fsica que se ocupa del estudio de este tipo de movimiento de las cargas elctricas a travs de un conductor recibe el nombre de electrocintica. Las cargas en los conductores pueden moverse con cierta libertad. La corriente elctrica constitu-ye un movimiento continuo de las cargas libres. La cantidad de carga que circula por un conduc-tor en la unidad de tiempo es la intensidad de corriente. Los responsables de mantener la corriente en un circuito elctrico son los generadores elctricos, los cuales suministran al circuito la energa precisa para ello. Dos Leyes de naturaleza experimental descubiertas por Ohm y Joule respecti-vamente aportan algunas relaciones que facilitan el estudio cientfico de la corriente elctrica. La caracterstica esencial de los conductores, sean stos slidos, lquidos o gaseosos, consiste en que disponen de partculas cargadas que pueden moverse con bastante libertad bajo la accin de campos elctricos. Cuando un conductor descargado se pone en contacto con un cuerpo cargado se produce un desplazamiento de la carga del uno a otro por efecto de las fuerzas elctricas. Si ambos estn aislados, el movimiento de las cargas libres durar unos instantes entre tanto el sis-tema de cargas encuentra una configuracin de equilibrio en la cual las fuerzas elctricas que se ejercen sobre cada una de las cargas se compensan mutuamente. Esto es lo que sucede cuando un hilo metlico se conecta por uno de sus extremos a uno solo de los bornes de una pila. Sin em-bargo, cuando se conecta el otro extremo del conductor al segundo borne, se produce un movi-miento continuo de cargas en el conductor. Se tiene en tal caso una corriente elctrica. 1.2.1.2 Ley de Coulomb Charles Agoustin Coulomb (1736-1806) fue el primero en tratar, en el aos 1785, los fenmenos elctricos desde un punto de vista cuantitativo. Coulomb midi la fuerza que una esfera cargada ejerce sobre otra esfera tambin cargada mediante una balanza de torsin y despus de numero-sas experiencias encontr que: La fuerza electrosttica de atraccin o repulsin entre dos cuerpos, es directamente proporcio-nal al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Aun cuando los fenmenos electrostticos fundamentales eran ya conocidos en la poca de Char-les Coulomb, no se conoca an la proporcin en la que esas fuerzas de atraccin y repulsin va-riaban. Fue este fsico francs quien, tras poner a punto un mtodo de medida de fuerzas sensible a pequeas magnitudes, lo aplic al estudio de las interacciones entre pequeas esferas dotadas de carga elctrica. El resultado final de esta investigacin experimental fue la Ley que lleva su nom-bre y que describe las caractersticas de las fuerzas de interaccin entre cuerpos cargados. Cuando se consideran dos cuerpos cargados (supuestos puntuales), la intensidad de las fuerzas atractivas o repulsivas que se ejercen entre s es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que las separa, dependiendo adems dicha fuerza de la naturaleza del medio que les rodea. Como fuerzas de interaccin, las fuerzas elctricas se aplican en los respectivos centros de las cargas y estn dirigidas a lo largo de la lnea que los une.

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La interpretacin de la Ley de Coulomb La expresin matemtica de la Ley de Coulomb es: en donde q y q' corresponden a los valores de las cargas que interaccionan tomadas con su signo positivo o negativo, r representa la distancia que las separa supuestas concentradas cada una de ellas en un punto y K es la constante de proporcionalidad correspondiente que depende del medio en que se hallen dichas cargas. El hecho de que las cargas aparezcan con su signo propio en la ecuacin 1.1 anterior da lugar a la existencia de dos posibles signos para la fuerza Fe, lo cual puede ser interpretado como el reflejo de los dos tipos de fuerzas, atractivas y repulsivas, caractersticas de la interaccin electrosttica. As, cargas con signos iguales darn lugar a fuerzas (repulsivas) de signo positivo, en tanto que cargas con signos diferentes experimentarn fuerzas (atractivas) de signo negativo. Consiguien-temente el signo de la fuerza en la ecuacin 1.1 expresa su sentido atractivo o repulsivo. La constante de proporcionalidad K toma en el vaco un valor igual a esa elevada cifra indica la considerable intensidad de las fuerzas electrostticas. Pero adems se ha comprobado experimentalmente que si las cargas q y q' se sitan en un medio distinto del aire, la magnitud de las fuerzas de interaccin se ve afectada. As, por ejemplo, en el agua pura la in-tensidad de la fuerza electrosttica entre las mismas cargas, situadas a igual distancia, se reduce en un factor de 1/81 con respecto de la que experimentara en el vaco. La constante K traduce, por tanto, la influencia del medio. Finalmente, la variacin con el inverso del cuadrado de la distancia indica que pequeos aumen-tos en la distancia entre las cargas reducen considerablemente la intensidad de la fuerza, o en otros trminos, que las fuerzas electrostticas son muy sensibles a los cambios en la distancia r. Aplicacin de la Ley de Coulomb La Ley de Coulomb relaciona la magnitud de las fuerzas electrostticas con las caractersticas del medio, reflejadas en su constante K, con el valor de las cargas interactuantes y con la distancia comprendida entre sus centros. Por tal motivo es posible averiguar uno de estos elementos si se conoce el resto. Un tomo de hidrgeno est formado por un protn y un electrn que se mueve en torno a l; sabiendo que sus cargas, iguales y de signo contrario, equivalen a 1.610-19 C y que la intensidad de la fuerza atractiva que experimentan es de 8.210-18 N, determinar el valor de la distancia me-dia que los separa (radio de Bohr), ver Figura 1.1.

Figura 1.1 Atomo de hidrgeno y radio de Bohr

ecuacin 1.12

'

rqqKFe =

ecuacin 1.2K = 8.9874109 Nm2/C

2

9

De acuerdo con la Ley de Coulomb: La distancia entre dos cargas puede expresarse en funcin de la fuerza de interaccin en la forma: En este caso qe- = -1.6010-19 C, qp+ = +1.6010-19 C; la fuerza F por ser atractiva se considera negativa: F = -8.210-8 N y la constante (redondeada) K es la del vaco: K = 9109 Nm

2/C

2. Sus-

tituyendo en la ecuacin 1.4 anterior, resulta:

1.2.2 Leyes de Faraday Michael Faraday descubri en 1831 uno de los fenmenos ms interesantes del electromagnetis-mo, las corrientes elctricas producidas mediante campos magnticos, a las que llam corrientes inducidas. Desde entonces al fenmeno consistente en generar campos elctricos a partir de cam-pos magnticos variables se denomina induccin electromagntica. 1.2.2.1 Los experimentos de Faraday Los experimentos que llevaron a Faraday al descubrimiento de la induccin electromagntica pueden ser agrupadas en dos categoras: experiencias con corrientes y experiencias con imanes. En primer lugar prepar dos solenoides, uno arrollado sobre el otro, pero aislados elctricamente entre s. Uno de ellos lo conect a una pila y el otro a un galvanmetro y observ cmo cuando accionaba el interruptor del primer circuito la aguja del galvanmetro del segundo circuito se desplazaba, volviendo a cero tras unos instantes. Slo al abrir y al cerrar el interruptor el galva-nmetro detectaba el paso de una corriente que desapareca con el tiempo. Adems, la aguja se desplazaba en sentidos opuestos en uno y otro caso. Ver Figuras 1.2a y 1.2b.

( ) mr 118 38928 2199 1029.51010102.8 6.19102.8 1060.1109

===

ecuacin 1.4FqQKr =

ecuacin 1.32rqQKF =

Figura 1.2a Experimento de los solenoides

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En el segundo grupo de experiencias Faraday utiliz un imn recto y una bobina conectada a un galvanmetro. Al introducir bruscamente el imn en la bobina observ una desviacin en la agu-ja, desviacin que desapareca si el imn permaneca inmvil en el interior de la bobina. Cuando el imn era retirado la aguja del galvanmetro se desplazaba de nuevo, pero esta vez en sentido contrario. Cuando repeta todo el proceso completo la aguja oscilaba de uno a otro lado y su des-plazamiento era tanto mayor cuanto ms rpido era el movimiento del imn entrando y saliendo en el interior de la bobina. Lo mismo suceda cuando mantena quieto el imn y mova la bobina sobre l. Ver Figura 1.4 La representacin del campo magntico en forma de lneas de fuerza permiti a Faraday encon-trar una explicacin intuitiva para este tipo de fenmenos. Para que se produjera una corriente inducida en la bobina era necesario que las lneas de fuerza producidas por el imn fueran corta-das por el hilo conductor de la bobina como consecuencia del movimiento de uno u otro cuerpo. En el primer grupo de experiencias, las lneas de fuerza, al aparecer y desaparecer junto con la corriente debida a la pila, producan el mismo tipo de efectos. Las experiencias anteriores a las de Faraday, al no tener en cuenta los aspectos dinmicos, o de cambio con el tiempo, de esta clase de fenmenos, no pudieron detectar este tipo de corrientes que aparecen en un circuito elctrico sin que exista dentro del propio circuito ninguna pila que las genere. 1.2.2.2 Ley de induccin de Faraday Independientemente de Faraday, Joseph Henry, en los Estados Unidos, haba observado que un campo magntico variable produce en un circuito prximo una corriente elctrica. Los resultados

Figura 1.4 Experimento del imn y la bobina

Figura 1.2b Experimento de los solenoides

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concordantes de las experiencias de ambos fsicos pueden resumirse en un enunciado que se co-noce como Ley de Faraday-Henry: La fuerza electromotriz inducida en un circuito es proporcional a la rapidez con la que vara el flujo magntico que lo atraviesa. O en forma matemtica: siendo la fuerza electromotriz inducida y la variacin de flujo magntico que se produce en el intervalo de tiempo t. De acuerdo con esta ecuacin 1.5, la magnitud de f.e.m. inducida coin-cide con lo que vara el flujo magntico por unidad de tiempo. La presencia de la fuerza electromotriz en la Ley de Faraday-Henry en lugar de la intensidad de corriente (ambas son proporcionales entre s), resalta una caracterstica de la induccin, a saber, su capacidad para sustituir a un generador, es decir, para producir los mismos efectos que ste en un circuito elctrico. Por su parte, el signo negativo recoge el hecho, observado experimental-mente por Faraday y Henry, de que aumentos ( > 0) y disminuciones ( < 0) de flujo magn-tico producen corrientes inducidas de sentidos opuestos. Si no hay variacin con el tiempo del flujo magntico que atraviesa un circuito, el fenmeno de la induccin electromagntica no se presenta. Tal circunstancia explica los fracasos de aquellos fsi-cos contemporneos de Faraday que pretendieron conseguir corrientes inducidas en situaciones estticas, o de reposo, del circuito respecto del imn o viceversa. Cuando la Ley de Faraday-Henry se aplica a una bobina formada por N espiras iguales toma la forma: siendo /t la variacin del flujo magntico por unidad de tiempo para una sola espira en la bobina.

1.2.3 Ley de Lenz Aunque la Ley de Faraday-Henry, a travs de su signo negativo, establece una diferencia entre las corrientes inducidas por un aumento del flujo magntico y las que resultan de una disminucin de dicha magnitud, no explica este fenmeno. Lenz (1904-1965), un fsico alemn que investig el electromagnetismo en Rusia al mismo tiempo que Faraday y Henry, propuso la siguiente explica-cin del sentido de circulacin de las corrientes inducidas que se conoce como Ley de Lenz: Las corrientes que se inducen en un circuito se producen en un sentido tal que con sus efectos magnticos tienden a oponerse a la causa que las origin.

ecuacin 1.5t

=

ecuacin 1.6tN

=

12

As, cuando el polo norte de un imn se aproxima a una espira, ver Figura 1.3, la corriente indu-cida circular en un sentido tal que la cara enfrentada al polo norte del imn sea tambin norte, con lo que ejercer una accin magntica repulsiva sobre el imn, la cual es preciso vencer para que se siga manteniendo el fenmeno de la induccin. Inversamente, si el polo norte del imn se aleja de la espira, la corriente inducida ha de ser tal que genere un polo sur que se oponga a la separacin de ambos. Slo manteniendo el movimiento relativo entre espira e imn persistirn las corrientes inducidas, de modo que si se detiene el proceso de acercamiento o de separacin cesa-ran aqullas y, por tanto, la fuerza magntica entre el imn y la espira desaparecera. La Ley de Lenz, que explica el sentido de las corrientes inducidas, puede ser a su vez explicada por un principio ms general, el principio de la conservacin de la energa. La produccin de una corriente elctrica requiere un consumo de energa y la accin de una fuerza desplazando su pun-to de aplicacin supone la realizacin de un trabajo. En los fenmenos de induccin electromag-ntica es el trabajo realizado en contra de las fuerzas magnticas que aparecen entre espira e imn el que suministra la energa necesaria para mantener la corriente inducida. Si no hay desplaza-miento, el trabajo es nulo, no se transfiere energa al sistema y las corrientes inducidas no pueden aparecer. Anlogamente, si stas no se opusieran a la accin magntica del imn, no habra traba-jo exterior, ni por tanto cesin de energa al sistema.

1.2.4 Ley de Gauss La Ley de Gauss es una relacin elegante entre la carga elctrica y el campo elctrico. Es mas general que la Ley de Coulomb. La Ley de Gauss involucra una integral del campo elctrico E en cada punto de una superficie cerrada. La superficie es imaginaria, llamada superficie Gaussia-na, pero su forma y localizacin se eligen para poder visualizar la integral. Antes de analizar esta Ley, primero veremos el concepto de flujo elctrico. 1.2.4.1 Flujo de campo elctrico Es una medida del nmero de lneas de campo elctrico que atraviesan una superficie, en general se define como:

Figura 1.3 Aproximacin del polo Norte de un imn a una espira

=erficie

dAEsup

ecuacin 1.7

13

Siendo dA el vector perpendicular a la superficie. El flujo elctrico se mide en Nm2/C en el SI. Ver Figura 1.4.

Cuando el campo elctrico E es uniforme tanto en magnitud como en direccin, las lneas de campo elctrico que penetran perpendicularmente a una superficie de rea A, es proporcional al producto de EA, es decir, el flujo elctrico se obtiene de: Si la superficie que se est considerando no es perpendicular al campo de manera que forma un ngulo con la normal a la superficie del rea A, el flujo elctrico a travs de la superficie se obtiene de: Estas dos ltimas expresiones se resumen si el flujo elctrico se define como el producto escalar de E y A, es decir: 1.2.4.2 Aplicaciones de la Ley de Gauss La electrosttica es el estudio de los efectos de las cargas elctricas en reposo y de los campos elctricos que no cambian con el tiempo. Aunque es la ms simple de las situaciones del electro-magnetismo, es fundamental para comprender los modelos electromagnticos ms complicados. La explicacin de muchos fenmenos naturales como los relmpagos y los principios de varias aplicaciones industriales, telecomunicaciones tales como los osciloscopios, copiadoras, las im-presoras de chorro de tinta, etc., se basan en la electrosttica.

Figura 1.4 Un campo uniforme E (representado por las lneas de campo paralelas) que pasa a travs de una superficie cuya rea es: a) perpendicular a E, b) no perpendicular a E. La superficie punteada cuya rea es

A en b) es la proyeccin de A perpendicular al campo E.

a) b)

A

A

E

A

A

E

ecuacin 1.8 = EA

ecuacin 1.9 = EA cos

ecuacin 1.10 = EA

14

Figura 1.5 el campo magntico dB en el punto P debido a un elemento de corriente ds est dado por la Ley de Biot-Savart

dB (hacia el extrerior)P

I

ds

r

r

I

Ejemplo 1.1: Con base a la Figura 1.4, considerar una superficie plana de rea de 1.25 m2, se rota en un campo elctrico uniforme de magnitud E = 8.9105 N/C. Calcule el flujo elctrico a travs de la superficie cuando el campo elctrico esta: a) perpendicular a la superficie b) paralelo a la superficie c) haciendo un ngulo de 35 con el plano de superficie A = 1.25 m2 E = 8.9105 N/C = 35 Solucin: Sustituyendo directamente los valores, se tiene a) = E A = (8.9105 N/C)( 1.25 m2) = 11.12105 Nm2/C b) = E A cos , = 90 = 0 c) = E A cos = (8.9105 N/C)( 1.25 m2)(cos 35) = 9.11105 Nm2/C

1.2.5 Ley de Ampere Llamada as en honor de quin, en 1825, creo los fundamentos tericos del electromagnetismo, implica la descripcin bsica de la relacin existente entre la electricidad y el magnetismo, des-arrollada a travs de afirmaciones cuantitativas sobre la relacin de un campo magntico con la corriente elctrica o las variaciones de los campos elctricos que lo producen. 1.2.5.1 Ley de Biot y Savart Poco tiempo despus del descubrimiento de Oersted en 1819, donde la aguja de la brjula se des-viaba a causa de la presencia de un conductor portador de corriente, Jean Baptiste Biot y Flix Savart informaron que un conductor de corriente estable produce fuerzas sobre un imn. De sus resultados experimentales, Biot y Savart fueron capaces de llegar a una expresin de la que se obtiene el campo magntico en un punto dado del espacio en trminos de la corriente que produ-ce el campo.

15

La Ley de Biot-Savart establece que si un alambre conduce una corriente constante I, el campo magntico dB en un punto P debido a un elemento ds, Figura 1.5, tiene las siguientes propieda-des: 1. El vector dB es perpendicular tanto a ds (el cual tiene la direccin de la corriente) como al vec-

tor unitario de desplazamiento dirigido desde el elemento hasta el punto P. 2. La magnitud dB es inversamente proporcional a r, donde r es la distancia desde el elemento

hasta el punto P. 3. La magnitud de dB es proporcional a la corriente y la longitud ds del elemento. 4. La magnitud de dB es proporcional a sen , donde es el ngulo entre el vector ds y . La Ley de Biot-Savart puede ser resumida en la siguiente frmula:

donde km es una constante que en SI de unidades es exactamente 10-7 Wb/Am. La constante km es por lo general escrita como 0/4, donde 0 es otra constante, llamada permeabilidad del espacio libre. Es decir, Por lo que la Ley de Biot-Savart, tambin puede escribirse como:

Es importante hacer notar que la Ley de Biot-Savart proporciona el campo magntico en un punto dado para un pequeo elemento del conductor. Para encontrar el campo magntico total B en al-gn punto debido a un conductor para tamao finito, se deben sumar las contribuciones de todos los elementos de corriente que constituyen el conductor. Esto es, debe evaluarse B por la integra-cin de la ecuacin 1.13 anterior:

donde la integral se evala sobre todo el conductor, Esta expresin debe ser manejada con espe-cial cuidado desde el momento que el integrando es una cantidad vectorial. 1.2.5.2 Aplicaciones de la Ley de Biot y Savart Ejemplo 1.2: Un alambre de cobre desnudo del #10 puede conducir una intensidad de corriente de 50 A sin sobrecalentarse. Si se hace circular una intensidad de corriente de esta magnitud por

2

rrIdskdB m

= ecuacin 1.11

ecuacin 1.1320

4 rrIdsdB =

ecuacin 1.14 = 20 4 r rdsIB

ecuacin 1.120 = 4km = 410-7 Wb/Am

16

una seccin larga y recta de alambre del #10. Ver Figura 1.6. A que distancia del eje del alambre la magnitud del campo magntico resultante es igual a 10-3 T? Solucin: I = 50 A, B = 10-3 T La magnitud del campo magntico debido a un alambre infinito a una distancia a, esta dado por:

aIB

2

0= despejando a y sustituyendo valores, se tiene

mBIa 01.0

10250104

2 37

0 ===

1.2.5.3 Las lneas de B El hecho de que las fuerzas magnticas sean fuerzas de accin a distancia permite recurrir a la idea fsica de campo para describir la influencia de un imn o de un conjunto de imanes sobre el espacio que les rodea. Al igual que en el caso del campo elctrico, se recurre a la nocin de lneas de fuerza (B) para representar la estructura del campo. En cada punto las lneas de fuerza del campo magntico indican la direccin en la que se orientar una pequea brjula (considerada como un elemento de prueba) situada en tal punto. As las limaduras de hierro espolvoreadas so-bre un imn se orientan a lo largo de las lneas de fuerza del campo magntico correspondiente y el espectro magntico resultante proporciona una representacin espacial del campo. Por conve-nio se admite que las lneas de fuerza salen del polo Norte y se dirigen al polo Sur. Flujo magntico La representacin de la influencia magntica de un imn o de una corriente elctrica en el espacio que les rodea mediante lneas de fuerza fue ideada por Faraday y aplicada en la interpretacin de la mayor parte de sus experimentos sobre electromagnetismo. Mediante este tipo de imgenes

Figura 1.9 Limaduras de hierro espolvoreadas sobre un imn se orientan a lo largo de las lneas de fuerza del campo magntico

a

B

I

P

Figura 1.6 Ejemplo 1.2, aplicacin Ley de Biot-Savart

17

Faraday compensaba su escasa preparacin matemtica, apoyndose as su enorme habilidad gr-fica y su no inferior intuicin cientfica. La nocin de flujo magntico recoge esa tradicin inicia-da por Faraday de representar los campos mediante lneas de fuerza, pero aade, adems, un sig-nificado matemtico. Cuando se observa, con la ayuda de limaduras de hierro, el campo magntico creado por un imn recto, se aprecia que, en los polos, las lneas de fuerza estn ms prximas y que se separan al alejarse de ellos. Dado que la intensidad del campo magntico B disminuye con la distancia a los polos, parece razonable relacionar ambos hechos y establecer por convenio una proporcionalidad directa entre la intensidad del campo B y la cantidad de lneas de fuerza que atraviesan una super-ficie de referencia unidad. Cuanto ms apretadas estn las lneas en una regin, tanto ms intenso es el campo en dicha regin. El nmero de lneas de fuerza del campo B que atraviesa una superficie unidad depende de cmo est orientada tal superficie con respect a la direccin de aqullas. As, para un conjunto de l-neas de fuerza dado, el nmero de puntos de interseccin o de corte con la superficie unidad ser mximo para una orientacin perpendicular y nulo para una orientacin paralela. El nmero de lneas de fuerza del campo B que atraviesa perpendicularmente una superficie constituye enton-ces una forma de expresar el valor de la intensidad de dicho campo. Se define el flujo del campo magntico B a travs de una superficie, y se representa por la letra griega , como el nmero total de lneas de fuerza que atraviesan tal superficie. En trminos ma-temticos, para un campo magntico constante y una superficie plana de rea S, el flujo magnti-co se expresa en la forma: siendo el ngulo que forman las lneas de fuerza (el vector B) con la perpendicular a la superfi-cie. Dicha ecuacin 1.15 recoge, mediante el cos , el hecho de que el flujo vare con la orienta-cin de la superficie respecto del campo B y tambin que su valor dependa del rea S de la super-ficie atravesada. Para = 0 (interseccin perpendicular) el flujo es mximo e igual a BS; para = 90 (interseccin paralela) el flujo es nulo. La idea de flujo se corresponde entonces con la de cantidad de campo magntico que atraviesa una superficie determinada. En el Sistema Internacional se expresa en wber (Wb). Un wber es el flujo magntico que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en 1 segundo por crecimiento uniforme. 1.2.5.4 Ley de Ampere Un experimento simple realizado por primera vez por Oersted en 1820 demostr claramente el hecho de que un conductor que lleva una corriente produce un campo magntico. En este experi-mento, varias brjulas se colocan en un plano horizontal cercanas a un alambre largo vertical. Cuando no existe corriente en el alambre, todas las brjulas apuntan en la misma direccin (mis-ma del campo terrestre) como se esperara. Sin embargo, cuando el alambre lleva una gran co-rriente estable, las brjulas necesariamente se desviarn en la direccin tangente a un crculo.

ecuacin 1.15 = BS cos

18

Estas observaciones demuestran que la direccin B es congruente con la regla de la mano dere-cha. "Si se toma el alambre con la mano derecha, de tal forma que el dedo pulgar apunte en la direc-cin de la corriente, los dedos curvados definirn la direccin de B". Cuando la corriente se invierte, necesariamente las brjulas se invertirn tambin. Puesto que las brjulas apuntan en la direccin de B, se concluye que las lneas de B forman crculos alrededor del alambre. Por simetra, la magnitud de B es la misma en cualquier lugar sobre una trayectoria circular que est centrada en el alambre y que se encuentre en un plano perpendicular al alambre. Si se vara la corriente y la distancia al alambre, se encuentra que B es proporcional a la corriente e inversamente proporcional a la distancia al alambre. Ahora se evaluar el producto Bds y se sumarn estos productos sobre una trayectoria circular centrada en el alambre. A lo largo de esta trayectoria, los vectores ds y B son paralelos en cada punto, as que Bds = Bds. Adems, B es constante en magnitud sobre este crculo. Por lo tanto la suma de los productos Bds sobre la trayectoria cerrada, la cual es equivalente a la integral de Bds est dada por:

donde es la circunferencia del crculo. Este resultado, conocido como Ley de Ampere, fue encontrado para el caso especial de una tra-yectoria circular alrededor del alambre. Sin embargo, el resultado puede aplicarse en el caso ge-neral en el que una trayectoria cerrada sea atravesada por una corriente estable, es decir, la Ley de Ampere establece que la integral de lnea de Bds alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual 0I, donde I es la corriente estable total que pasa a travs de cualquier superficie limita-da por la trayectoria cerrada.

Figura 1.7 Regla de la mano derecha para un conductor rectilneo, en la determinacin de la direccin del campo magntico

( ) === IrrIdsBdsB 00 22

ecuacin 1.16 = rds 2

ecuacin 1.17 = IdsB 0

19

ecuaciones 1.18

Donde: B = H que es la densidad de flujo magntico, su unidad es Weber/metro2, Tessla (T) H: Intensidad de campo magntico: que representa el esfuerzo que ejerce la corriente para esta-

blecer un campo magntico. Su unidad es (ampervuelta) / metro (AV/m) : Permeabilidad magntica del material: que representa el esfuerzo que realiza la corriente para

establecer un campo magntico en un material dado. Su unidad es Henrio/metro (H/m). Don-de: 0: Permeabilidad del espacio libre = 0 = 4107. La permeabilidad de cualquier otro material comparada con la permeabilidad del espacio libre, recibe el nombre de permeabili-dad relativa y es = r = / 0

La Ley de Ampere es vlida slo para corrientes estables. Se utiliza slo para el clculo de cam-pos magnticos de configuraciones de corriente con un alto grado de simetra. Ejemplo 1.3: Un cable recto en una casa, lleva corriente alterna la cual tiene un mximo de 20 amperes. Calcule la induccin magntica mxima a una distancia de 1m del alambre. Solucin (completar): Esto es una aplicacin de la Ley de Ampere, la induccin magntica a una distancia R de un alambre que lleva una corriente i, se calcula usando la expresin integral que se indica, en la cual el camino c es una curva cerrada. Conocemos el valor de 0 (0 = 4107) y con-sideraremos a c como un crculo de radio R y con centro en el alambre, lo cual permite reducir a:

== C C

BdldlBildBC

0 cos a Ampere deLey la deexpresin la Esto pues los vectores B y dl son colineales y = 0, ver Figura 1.7. Adems el vector de campo B es constante ha lo largo del camino c, de modo que finalmente:

Ri

B 2

0= Reemplazando los datos encontramos que la intensidad de la induccin magntica a 1m del alambre es: B =______ Weber/m2?, valor que es un orden de magnitud ______ que la intensidad del campo magntico de la Tierra, el cual tiene una intensidad del orden de 510-5 Weber/m2

Nota: (complete el clculo del valor de |B| y la frase que compara las intensidades del campo del alambre con el de la Tierra). 1.2.5.5 Solenoides y Toroides Un solenoide es, en esencia, un conjunto de espiras iguales y paralelas de hilo conductor dispues-tas a lo largo de una determinada longitud, ms grande comparada con su dimetro, que son reco-rridas por la misma intensidad de corriente. Si tomamos un solenoide, lo curvamos y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide.

20

En la Figura 1.8 vemos un solenoide recto cilndrico a) y un solenoide recto prismtico b). Hay tambin solenoides de estructura toroidal, no en forma recta sino cerrado sobre s mismos, de seccin cilndrica o rectangular. El espectro magntico del campo creado por un solenoide se parece ms an al de un imn recto que el debido a una sola espira. La regla que permite relacionar la polaridad magntica del sole-noide como imn con el sentido convencional de la corriente que circula por l es la misma que la aplicada en el caso de una sola espira. En un toroide, con un dimetro grande en relacin al dimetro de las espiras, pueden obtenerse campos muy intensos, totalmente confinados dentro del dispositivo. Estos campos magnticos, creados por la circulacin de corriente, son indistinguibles de los que se observan alrededor de un imn natural o artificial. Se trata del mismo fenmeno. Esto se utiliza extensamente para construir electro-imanes, dispositivos que se comportan como imanes, slo cuando se les hace circular una corriente elctrica. Si la direccin y sentido de una corriente coinciden con el avance de un tornillo, (de rosca de-recha), la direccin del campo magntico coincide con el sentido de giro del mismo.

1.3 Ecuaciones bsicas del electromagnetismo (La sntesis de Maxwell) El escocs James Clerk Maxwell, alumno de Faraday, fue posiblemente el ms imaginativo de los fsicos del siglo XIX. En 1873 public la monumental obra Tratado de electricidad y magnetis-mo, en la que present una sntesis de los conocimientos de este tema. Maxwell formul matem-ticamente la Ley de Faraday. La sntesis fue hecha en trminos de un conjunto de ecuaciones, conocidas como las ecuaciones de Maxwell, que contenan como fondo fsico los descubrimien-tos de Oersted, Ampere, Faraday y otros cientficos. El gran fsico viens Ludwig Boltzmann exclam al leer las ecuaciones de Maxwell: "Fue un Dios quien traz estos signos?". El experimento de Oersted (1820) haba demostrado la existencia de efectos magnticos debidos a cargas en movimiento. Los descubrimientos de Faraday (1831) haban puesto de manifiesto que campos magnticos variables con el tiempo dan lugar a un movimiento de cargas elctricas en los

a) b)

Figura 1.8 Solenoide recto cilndrico y un solenoide recto prismtico

21

conductores. Adems, la explicacin de Faraday de estos fenmenos llamados de induccin haba introducido por primera vez en la historia de la fsica la nocin de campo magntico representado por un conjunto de lneas de fuerza. Medio siglo antes, Charles Coulomb (1785) haba descrito en forma de Ley el modo en que las cargas elctricas se atraen entre s. Estos cuatro elementos fun-damentales sirvieron de base a Maxwell para iniciar la sntesis de los fenmenos elctricos y de los fenmenos magnticos entonces conocidos y su explicacin dentro de una amplia teora co-nocida como teora del electromagnetismo. Apoyado en una enorme habilidad matemtica, Maxwell empez dando forma de ecuaciones a las observaciones de Faraday y a su nocin de campo magntico. Las fuerzas entre cargas en re-poso se beneficiaran pronto de una representacin semejante en forma de campos elctricos o electrostticos. Este proceso de elaboracin terica le permiti finalmente describir lo esencial de los fenmenos electromagnticos en cuatro ecuaciones, que se denominan ecuaciones de Max-well. La primera describe cmo es el campo elctrico debido a cargas en reposo; la segunda tra-duce en forma matemtica la imposibilidad de separar los polos magnticos de un imn; la tercera expresa en trminos de campos magnticos y corrientes elctricas el descubrimiento de Oersted y la cuarta recoge la aportacin de Faraday. La virtud de tales ecuaciones es que en ellas aparecen a primera vista los campos elctricos E y magntico B y su forma simple y rica a la vez permite relacionarlas entre s para obtener nuevos resultados y predecir nuevas consecuencias. Adems de resumir en un solo cuerpo de conocimientos la electricidad y el magnetismo, la teora de Maxwell abri nuevos caminos al conocimiento de la naturaleza y a sus aplicaciones. Las on-das electromagnticas, que son la base de las actuales telecomunicaciones, como la radio o la televisin, constituyeron la prediccin ms interesante de esta sntesis de Maxwell.

Forma Diferencial Forma integral Comentario

tBEX

=

=

C S

sdBdtdtdE

Ley de Faraday-Lenz generalizada relaciona el flujo del campo magntico con el campo elctrico. La integral de circulacin del campo elctrico es la variacin del flujo magntico

tDJHX

+=

+=

C S

sdDdtdIIdH

Ley circuital de Ampere generalizada: expresa como las lneas de campo magntico rodean una superficie por la que circula una corriente o hay una variacin del flujo elctrico. La integral de circulacin del campo elctrico es proporcional a la corriente y la variacin del flujo elctrico

vD =

= S

rQsdD Ley de Gauss: el flujo a travs de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada

0= B = S

sdB 0

Ley de Gauss para el magnetismo: implica la no existen-cia de monopolos magnticos, ya que en una superficie cerrada el nmero de lneas de campo que entran equivale al nmero de lneas que salen.

22

Las ondas electromagnticas De las ecuaciones de Maxwell se deduce que el campo magntico y el campo elctrico pueden estar interactuando permanentemente si uno de ellos vara con el tiempo. As, el movimiento ace-lerado de un sistema de cargas produce un campo magntico variable, el cual a su vez genera campos elctricos. Pero si stos se producen tuvieron que partir de cero; tal variacin del campo elctrico produce a su vez un campo magntico y as repetidamente. Esta sucesin oscilante de campos elctricos y magnticos viajando por el espacio se denomina onda electromagntica. A partir de sus ecuaciones, Maxwell anticip que las ondas electromagnticas deberan propagar-se en el vaco a una velocidad igual a la velocidad de la luz. Las predicciones de Maxwell fueron confirmadas experimentalmente por Hertz, quien gener y detect este tipo de ondas, observando que su comportamiento era idntico al de las ondas luminosas de la Optica. Desde las ondas de radio hasta los rayos gamma, pasando por las ondas luminosas, una amplia gama de ondas electromagnticas constituyen el llamado espectro electromagntico hoy conoci-do. Todas ellas tienen la misma naturaleza y slo se diferencian en su frecuencia, es decir, en el nmero de oscilaciones que se producen en cada segundo en estos campos viajeros. La energa de las ondas electromagnticas es tanto mayor cuanto mayor es su frecuencia. La luz con sus colores constituye simplemente la porcin limitada del espectro electromagntico, al cual el ojo humano es sensible.

2.0 ELEMENTOS DE CIRCUITOS Es importante establecer la diferencia entre un dispositivo fsico en s y el modelo matemtico que lo representa y que se usar para analizar su comportamiento en un circuito. A partir de este momento debe entenderse que la expresin elemento de circuito se refiere al modelo matemtico. La eleccin de un modelo en particular para cualquier dispositivo real debe basarse en datos ex-perimentales, o en la experiencia; en general se supondr que esta eleccin ya ha sido hecha.

2.1 Elemento simple Un elemento simple de un circuito es el modelo matemtico de un dispositivo elctrico de dos terminales, y que se puede caracterizar completamente por su relacin voltaje-corriente pero no puede subdividirse en otros dispositivos de dos terminales.

2.2 Elementos activos Se dice que un elemento es activo, si es capaz de entregar o generar potencia a algn dispositivo externo, tal es el caso de las fuentes de voltaje y corriente, las cuales a su vez se pueden clasificar en fuentes independientes, porque lo que pasa en el resto del circuito no afecta los valores asigna-dos a dichas fuentes; esto no ocurre con la otra clase de fuente, la fuente controlada o dependien-te, en la que el valor esta determinado por un voltaje o una corriente presente en algn otro lugar del sistema elctrico en consideracin. Dentro de las fuentes ms conocidas de energa se encuen-

23

tran las bateras y los generadores. Matemticamente un elemento activo debe cumplir la siguien-te relacin:

Independientes Fuentes de voltaje { Dependientes

Independientes Elementos activos {

Fuentes de corriente { Dependientes

2.3 Elementos pasivos Se considera que un elemento es pasivo si slo es capaz de recibir o absorber potencia, el mejor ejemplo es la resistencia, sin embargo existen algunos elementos pasivos que son capaces de al-macenar cantidades finitas de energa y luego devolverlas a algn elemento externo. Matemti-camente un elemento pasivo debe cumplir con la siguiente relacin:

Resistencia

Inductancia (bobina ideal) Elementos pasivos{ Condensador

2.4 Circuito A la interconexin de dos o ms elementos simples de un circuito se le llama red elctrica. Si la red elctrica contiene por lo menos una trayectoria cerrada, entonces es un circuito elctrico. Todo circuito es una red, pero no toda red es un circuito.

2.4.1 Circuito con elementos en serie Si dos o ms elementos de un circuito se conectan de tal modo que cada elemento tenga la misma corriente que fluya por l, estarn en serie. En la Figura 2.1, los elementos se conectan extremo a extremo, en forma de cadena. Esta configuracin representa slo una trayectoria para la corriente que fluye por el circuito.

ecuacin 2.1

>=t

idtW 0

ecuacin 2.2

=t

idtW 0

24

2.4.2 Circuito con elementos en paralelo Si se conectan los elementos de modo que se presente el mismo voltaje en las terminales de ellos, se dice que los elementos estn conectados en paralelo. Figura 2.2.

2.4.3 Circuitos serie-paralelo En estos circuitos, se encuentran elementos conectados en serie y/o paralelo dentro de la red total del circuito; en los cuales para calcular los valores equivalentes, se reducen los elementos en serie o paralelo dependiendo de la complejidad del arreglo del circuito, Figura 2.3.

2.4.4 Circuitos con elementos que no estn conectados en serie ni en paralelo En el circuito siguiente Figura 2.4 se puede observar que ningn elemento esta conectado en serie o paralelo con algn otro, en este caso para obtener los valores equivalentes, se recurre a la trans-formacin de configuraciones delta-estrella estrella-delta.

Figura 2.3 Circuito con elementos en serie-paralelo

10

9

86

5

74

V

+

-

1

2 3

Figura 2.1 Elementos conectados en serie.

V

-

+

I

n

4

321

Figura 2.2 Circuitos con elementos en paralelo

1

n2 3

I

I I

n321

I

-

+

25

3.0 INTENSIDAD DE CORRIENTE Y RESISTENCIA

3.1 Intensidad de corriente elctrica En forma general la intensidad instantnea de corriente es igual a:

Como convencin se ha tomado como sentido positivo de la corriente, el sentido de las cargas positivas. Esto se debe a que al principio de las investigaciones sobre electricidad se pensaba que la corriente viajaba de lo positivo hacia lo negativo, ahora sabemos que en los conductores met-licos la corriente es el movimiento de los electrones que son atrados fuera de sus orbitas, contra-rio a lo que se haba establecido, pero se opto por esta convencin por ser la aceptada en los tex-tos de anlisis de circuitos. Para entender mejor estos conceptos podemos observar la Figura 3.1 donde se muestran dos corrientes equivalentes: En la parte a) tenemos una corriente que tiene sentido contrario al de nuestra convencin ya que las cargas tienen un movimiento que parte de un terminal negativo a uno positivo, esta es la for-ma en que se mueven los electrones, por lo tanto esta corriente tiene un valor negativo, por otro lado en la parte b) se tiene una corriente que va de un terminal positivo a uno negativo por lo tan-to esta corriente cumple con nuestra convencin y tiene un valor positivo. Cuando una corriente elctrica pasa por un elemento elctrico, la corriente se representa por una letra i o I dependiendo de si es una corriente variable o constante en el tiempo, adems es necesario trazar una flecha que identifique el sentido que esta tenga, as como se muestra en la siguiente Figura 3.2.

Figura 2.4 Circuitos con elementos que no estn conectados en serie ni en paralelo

-

+

V 54

32

1

_

+i-i

Terminal B

+

_

Terminal A

a) b)

Figura 3.1 Dos maneras de representar la misma corriente

ecuacin 3.1dtdqti =)(

26

En la definicin de corriente elctrica dada en la ecuacin 3.1 se puede observar que esta definida como una funcin en el tiempo, por lo tanto existen muchos tipos de corriente elctrica, los de uso comn son los siguientes: Corriente Elctrica Constante (DC): Esta es la corriente elctrica utilizada en la mayora de los circuitos electrnicos, ver Figura 3.3. Corriente Elctrica Alterna (AC): Es la corriente domestica utilizada en la mayora de los lugares del mundo, ver Figura 3.4. Corriente Exponencial y Subamorituagada: Se encuentran muy a menudo, aunque en la mayora de los casos no son deseadas, estas corrientes son producidas principalmente cuando se opera un interruptor para cerrar un circuito que se encuentra energizado, ver Figuras 1.23 y 1.24.

Elementoelctrico

Terminal BTerminal A

i

Figura 3.2 Representacin de la corriente

Figura 3.4 Corriente a.c. Figura 3.3 Corriente c.d.

Figura 3.6 Subamortiguada Figura 3.5 Corriente Exponencial

27

3.2 Resistencia, resistividad y conductividad Cuando fluye una carga elctrica por un material dado, experimenta una oposicin al flujo de elec-trones. Esa oposicin se denomina resistencia elctrica. La resistencia que opone todo conductor al paso de una corriente elctrica es una propiedad que depende de la longitud, rea seccin transversal, material del conductor y la temperatura en la que opera. A una temperatura constante la resistencia de un material es: En donde R es la resistencia en ohms (), es la resistividad del material en ohmsmm2/m, l es la longitud en metros o centmetros y A es el rea de corte transversal del conductor en metros cuadrados centmetros cuadrados.

Tabla 3.1 Resistividad y Conductividad de conductores a 20 C Material mm2/m

1= Material mm2/m 1=

Acero dulce Aluminio Antimonio Cadmio Carbn Cobre Constantan Cromo-Ni-Fe Estao Hierro fundido Hierro (puro) Grafito Latn Ms 58

0.1300 0.0278 0.4170 0.0760 40.0000 0.0175 0.4800 0.1000 0.1200 1.0000 0.1000 8.0000 0.0590

7.7 36 2.4 13.1 0.025

57 2.08 10 8.3 1 10

0.125 17

Latn Ms 63 Magnesio Manganina Mercurio Nquel Niquelina Oro Plata Plata alemana Platino Plomo Tungsteno Zinc

0.7100 0.0435 0.4230 0.9410 0.0870 0.5000 0.0222 0.0160 0.3690 0.1110 0.2080 0.0590 0.0610

14.00 23.00 2.37 1.063 11.50 2.00 45.00 62.50 2.71 9.00 4.80 17.00 16.50

Oposicin al flujode los electrones

Movimientode los electrones

Figura 3.7 Resistencia elctrica

ecuacin 3.2Al

R =

28

Tabla 3.2 Resistividad de Aislantes Material cm Material cm

Aceite de parafina Agua de mar Agua destilada Ambar comprimido Baquelita Caucho (hule) duro Mrmol

1018 106 107 1018 1014 1016 1010

Mica Parafina (pura) Plexigls Polistireno Porcelana Tierra hmeda Vidrio

1017 1018 1015 1018 1014 108 1015

El trmino conductancia se usa para describir el grado de eficacia con que un material permite el flujo de la corriente. Cuanto ms alta sea la clasificacin de conductancia de un material, mayor cantidad de corriente conducir. La unidad de medida es el siemen (anteriormente mho), que se abrevia S. Matemticamente la conductancia es definida como la inversa (recproca) de la resistencia y se designa por la letra G: Ejemplo 3.1: Hallar la resistencia que tiene un conductor de cobre de calibre 8 AWG de rea circular igual a 8.37 x 10-6 m2 y 50 metros de longitud. Datos: Area = 8.37 x 10-6 m2 Longitud = 50 m = 0.0175 -mm2/m Solucin: La formula que usaremos, de acuerdo a los datos que tenemos es:

Figura 3.8 Grficas de Resistencia vs. Area transversal, Longitud de un conductor

Resistencia Resistencia

Area transversal del conductor Longitud del conductor

Al

R =

ecuacin 3.31R

R1G ==

29

En primer lugar debemos convertir el rea del conductor a mm2,

1 m = 1000 mm 1 m2 = 1 x 106 mm2

Ahora sustituimos todos los datos en la formula de R

3.3 Ley de Ohm En un conductor el movimiento de cargas elctricas es consecuencia de la existencia de una dife-rencia de potencial entre sus extremos. Por ello la intensidad de corriente que circula por el con-ductor y el voltaje o diferencia de potencial deben estar relacionadas. Otros fenmenos de la fsi-ca presentan una cierta semejanza con la conduccin elctrica; as el flujo de calor entre dos pun-tos depende de la diferencia de temperaturas entre ellos y la velocidad de cada de un cuerpo por un plano inclinado es funcin de la diferencia de alturas. Ese tipo de analogas, y en particular la relativa a la conduccin del calor, sirvi de punto de par-tida al fsico alemn Georg Simon Ohm (1787-1854) para investigar la conduccin elctrica en los metales. En 1826 lleg a establecer que en los conductores metlicos el cociente entre la diferencia de potencial entre sus extremos y la intensidad de corriente que lo atraviesa es una cantidad constante, o en otros trminos, que ambas magnitudes son directamente proporciona-les. Esta relacin de proporcionalidad directa entre voltaje e intensidad de corriente recibe el nombre de Ley de Ohm. Representando, como es habitual en electrocintica, el voltaje por V y no por V, la Ley de Ohm se puede escribir en la forma: donde G es una constante caracterstica de cada conductor que recibe el nombre de conductancia.

3.4 Resistencias en serie y paralelo Existen dos modos fundamentales de conectar o asociar las resistencias entre s, en serie y en paralelo o derivacin. Se denomina resistencia equivalente de una asociacin de resistencias a aquella resistencia nica por la que podra sustituirse la asociacin sin alterar la intensidad que circula por el circuito.

2mm 8.372m 1

2mm610x12m6-10x8.37 =

0.10452mm 8.37(50m)/m)2mm- (0.0175R ==

I = G V

30

Asociacin de resistencias en serie En la asociacin en serie las resistencias se conectan una tras otra de modo que por todas ellas pasa la misma intensidad de corriente. Como el de la Figura 3.9, en el cual la resistencia total o equivalente Req ante la fuente es igual a la suma de los valores de las resistencias individuales.

Siendo Req = Resistencia equivalente del conjunto serie constituido por las resistencias R1, R2, R3, Rn Diferencia de potencial La diferencia de potencial total en bornes de un conjunto serie de resistencias es igual a la suma de las cadas de potencial individuales en bornes de cada una de ellas. Intensidad de corriente La corriente que circula es la misma para todos los elementos. Asociacin de resistencias en paralelo En la asociacin en paralelo la conexin se efecta uniendo los dos extremos de cada una de ellas a un mismo par de puntos. En el circuito en paralelo, Figura 3.10, la resistencia equivalente es igual a la inversa de la suma de las recprocas de los valores de las resistencias individuales. Se puede obtener por cualquiera de las siguientes frmulas:

Siendo Req = resistencia equivalente del conjunto paralelo constituido por las resistencias R1, R2, R3, Rn. La resistencia equivalente en paralelo siempre ser de un valor menor que el de la resis-tencia del valor ms bajo del conjunto.

Para el caso de dos resistencias:

Para el caso de tres resistencias ms:

Figura 3.9 Asociacin de resistencias en serie y su resistencia equivalente

Rn

R3

R2

Req

R1

+

-V

-V

+

ecuacin 3.5Req = R1 + R2 + R3 +. . . .+ Rn

ecuaciones 3.6

nR1...

3R1

2R1

1R1

1eqR

nR1...

3R1

2R1

1R1

eqR1

++++=

++++=

2R1R

)2)(R1(ReqR +=

31

Diferencia de potencial La diferencia de potencial en bornes de asociacin en paralelo es igual a la diferencia de potencial en bornes de uno cualquiera de sus elementos. Todas las ramas de una asociacin en paralelo se hallan al mismo voltaje o diferencia de potencial Intensidad de corriente La suma de las intensidades de corriente que circulan por cada rama es igual a la intensidad total de la corriente en la lnea. La intensidad en cada rama es inversamente proporcional a su resisten-cia.

4.0 CAPACITANCIA

4.1 Capacitancia La capacitancia es la propiedad de almacenar energa en forma de carga o campo elctrico, es proporcional a la constante dielctrica del material entre las placas y al rea transversal del mate-rial conductor que conforman el capacitor, e inversamente proporcional a la distancia que separa las partes conductoras. Los capacitores se clasifican por su forma (geomtrica) en: planos, cilndricos, esfricos. Y por el dielctrico utilizado de: cermica, mica, papel, polister, poliestireno, polietileno, electrolticos, de tantalio, etc.

Figura 4.1 Elemento almacenador de energa: El Capacitor

Figura 3.10 Asociacin de resistencias en paralelo y su resistencia equivalente

-V

+

-

+

ReqVR2R1 R3 Rn

32

4.2 Clculo de la capacitancia Para esta configuracin la capacitancia se puede definir como:

donde: es conocida como permitividad absoluta, en F/m, y es a su vez igual al producto de: 0 permitividad del vaci (8.854 x 10-12 F/m) y K la constante dielctrica relativa, asociada a cada material A es el rea transversal del material conductor, en m2 d la distancia que separa las partes conductoras, en m; segn su definicin se establece, que la capacitancia depende de aspectos fsicos del elemento. La batera, en la Figura 4.1, le entrega la energa al capacitor, mediante la aplicacin de un voltaje en sus terminales, esta energa se almacena en forma de carga y por lo tanto existe una carga positi-va por cada carga negativa, as la carga almacenada es directamente proporcional al voltaje apli-cado, dando como resultado la siguiente relacin: donde C es la capacitancia, expresada en coulombs por volts y se conoce como Faradio (F). 4.3 Capacitores en serie y paralelo Como en las resistencias, existen los mismos arreglos de conexiones para los capacitores. Asociacin de capacitores en serie: Obsrvese la siguiente Figura 4.2 de un grupo de capacitores conectados en serie y a continua-cin la formulacin de su circuito equivalente.

Para el caso particular de dos capacitores en serie:

Para n capacitores en serie

Figura 4.2 Capacitores en serie

ecuaciones 4.3

21)2)(1(

CCCCCeq += Cn

1...C31

C21

C11

1Ceq+++

=

ecuacin 4.1d

AC =

ecuacin 4.2Q = C v

33

Asociacin de capacitores en paralelo: Basndose en la siguiente Figura 4.3, capacitores conectados en paralelo, la capacitancia equiva-lente Ceq es: Para n capacitores en serie

5.0 INDUCTANCIA

5.1 Inductancia Es la caracterstica de un material de almacenar energa, en el campo magntico generado por la variacin de corriente que lo atraviesa. Junto al capacitor, otro elemento que almacena energa es el inductor, bsicamente todos los in-ductores se hacen devanando una longitud del conductor alrededor de un ncleo. El conductor suele ser alambre slido de cobre revestido con aislamiento esmaltado; y su ncleo est formado, ya sea de material magntico, por ejemplo hierro pulverizado, bien de material aislante. Cuando se devana un inductor alrededor de un ncleo aislante, ste funciona slo como soporte, ya que no tiene propiedades magnticas. Si se usa un alambre grueso y pesado en la fabricacin del in-ductor, generalmente no se necesita un ncleo, las espiras rgidas del alambre se mantienen por s solas. Cuando no se usa ncleo magntico, se dice que el inductor tiene ncleo de aire. Ver Figu-ra 5.1. Los inductores con valores de inductancia fijos que no se pueden cambiar, reciben el nombre de inductores fijos. Los inductores cuya inductancia se puede variar en cierta escala, se llaman in-ductores variables. Generalmente, los inductores variables estn hechos de manera que el ncleo determina el valor de la inductancia.

A estos inductores se les llama tambin frecuentemente Chokes o bobinas. Estos tres trminos significan lo mismo. La propiedad de un inductor para oponerse a un cambio de la corriente que pasa por l, determina su autoinductancia L. El capacitor e inductor, los cuales son diferentes del resistor en su construccin, funcionamiento y finalidad. A diferencia de las resistencias estos elementos solo presentan sus caractersticas, cuando vara el voltaje o la corriente del circuito al que se encuentran conectados, adems estos

Figura 4.3 Capacitores en paralelo

CnCCC ...321Ceq ++= ecuacin 4.4

34

dos elementos almacenan energa en una forma que pueda ser regresada al circuito cuando lo requiera el diseo de este.

5.2 Clculo de la inductancia Para la Figura 4.3 se puede calcular la inductancia L como: En donde: N = numero de vueltas. A = rea de la seccin transversal. l = longitud del ncleo. = permeabilidad del ncleo en H/m, depende del material.

5.3 Inductores en serie y paralelo Asociacin de inductores en serie: Basndose en la siguiente Figura 5.2, inductores conectados en serie (sin acoplamiento magntico entre ellos), la inductancia equivalente Leq es: Para n inductores en serie:

Figura 5.2 Inductores en serie

Figura 5.1 Ejemplos de inductores

ecuacin 5.1Henry) H,(lANL

2

=

LnLLL ...321Leq ++= ecuacin 5.2

35

Asociacin de inductores en paralelo: Basndose en la siguiente Figura 5.3, para inductores conectados en paralelo, la inductancia equi-valente Leq es: Para el caso particular de dos inductores en paralelo:

Para n inductores en paralelo:

6.0 ANALISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE DIRECTA

6.1 Fuerza electromotriz Para que exista corriente en un circuito elctrico se necesita un dispositivo similar a una batera o un generador elctrico que transforme una clase de energa (qumica, mecnica, luminosa y de-ms) en energa elctrica. Este dispositivo se conoce con el nombre de fuente de fuerza electro-motriz o f.e.m. (el termino fuerza electromotriz es un nombre inapropiado porque no se refiere a ninguna fuerza que se mide en Newtons. En consecuencia, para evitar confusiones es preferible el uso de la abreviatura f.e.m.). De esta manera, la f.e.m., E, al ser una energa es el trabajo reali-zado por la fuente de fuerza electromotriz para transportar la unidad de carga elctrica desde un punto de menor potencial hasta el de mayor potencial

6.2 Diferencia de potencial La diferencia de potencial en las terminales de una batera (cuando no fluye corriente hacia un circuito externo) se conoce como f.e.m. de la fuente. El smbolo E se utiliza normalmente para indicar la f.e.m. (que no se debe confundir con la E de campo elctrico). Usted habr notado por experiencia propia que cuando se toma corriente de una batera, el voltaje entre las terminales disminuye cierta cantidad con relacin a la f.e.m. que est especificada. Por ejemplo, si enciende un automvil cuando los faros estn conectados, notar que la luz disminu-ye. Esto sucede porque al arranque se toma una cantidad considerable de corriente, y en conse-cuencia el voltaje de la batera disminuye. La cada de voltaje aparece porque las reacciones qu-

Figura 5.3 Inductores en paralelo

ecuaciones 5.3

21)2)(1(

LLLLLeq +=

Ln1...

L31

L21

L11

1Leq+++

=

36

micas de la batera no pueden proporcionar carga con la rapidez suficiente para mantener el nivel completo de f.e.m. La carga debe fluir (a travs del electrolito) entre los electrodos de la batera y siempre existir cierta dificultad para obtener el flujo completamente libre de la carga. En conse-cuencia, la batera en s tiene cierta resistencia, la que se conoce como resistencia interna y se designa normalmente como r. Una batera real se puede representar como si fuera una f.e.m. ideal (E) en serie con el resistor r, como se muestra en la Figura 6.1. Como sta resistencia r est en el interior de la batera, nunca se podr separar de ella. Los puntos a y b en el diagrama representan las dos terminales de la batera. La cantidad que se mide es el voltaje en las terminales Vab = Va Vb. Cuando no se toma corriente de la batera, el voltaje en las terminales es igual a la f.e.m., este hecho est determinado por las reacciones qumicas que ocurren en el interior de la batera: Vab = E. Sin embargo, cuando fluye una corriente I que se toma de la batera, existir una cada interna de voltaje igual a Ir. En consecuencia el voltaje en las terminales (o el voltaje real que entrega la batera) se define como:

6.3 Clculo de corriente en un circuito cerrado simple La intensidad de corriente elctrica en un circuito elctrico de corriente directa es igual al cocien-te entre la suma de las fuerzas electromotrices y la resistencia total

6.4 Leyes de Kirchhoff No todos los circuitos elctricos pueden ser reducidos a combinaciones de series y paralelos. Para resolver casos ms complejos, donde por ejemplo intervienen redes, son tiles las dos sencillas reglas establecidas por Gustav Kirchhoff. Se dividen en Ley para Corrientes (LCK) y Ley de Voltajes (LVK), a la Ley para Corrientes se le llama tambin Primera Ley de Kirchhoff y a la de Voltaje, Segunda Ley de Kirchhoff. Primera Ley de Kirchhoff o Ley para corrientes (LCK) La suma de las intensidades de corriente que llegan a un nodo de un circuito es igual a la suma de las intensidades que salen de l. Si se consideran positivas, por ejemplo, las intensidades que llegan al nodo y negativas las que salen de l, la Primera Ley establece que la suma algebraica de todas las intensidades de corriente en cualquier punto de un circuito es nula. La expresin matemtica ser:

Figura 6.1 Diagrama de una celda elctrica o batera

0= iI ecuacin 6.3

ecuacin 6.1Vab = E Ir

ecuacin 6.2TR

I = E

37

Segunda Ley de Kirchhoff o Ley para voltajes (LVK) En un circuito cerrado o malla, la suma de las elevaciones de potencial voltaje es igual a la suma de las cadas de voltaje a lo largo de l. Dicho con otras palabras, la suma algebraica de las diferen-cias de potencial en todo circuito cerrado es cero. Esto es una consecuencia del principio de con-servacin de la energa. Una malla es un circuito cerrado elemental. O sea:

6.5 Divisores de potencial y corriente Principio del divisor de potencial Con frecuencia se desea conocer el valor del voltaje en las terminales de un resistor individual en un circuito en serie, ver Figura 6.2, el voltaje Vn en las terminales de cualquier resistencia Rn es igual al producto del voltaje aplicado Vtot por Rn, dividido por la suma de las resistencias Req, en el circuito en serie: A partir de la ecuacin 6.5 anterior, se puede ver que Vn es directamente proporcional a Rn. El principio del divisor de voltaje se aplica slo a un circuito, como el circuito en serie, donde la co-rriente es la misma en cada elemento. Ejemplo 6.1: Para alimentar un relevador, de 6 ohms de resistencia, disponemos de una fuente de 24 volts, sin embargo el manual del fabricante recomienda un voltaje de alimentacin no mayor de 15 volts; calcular el valor de la resistencia que se debe conectar al circuito para que el voltaje en el relevador sea de 15 volts. Datos: V total = 24 V R relevador (Ra) = 6 V relevador (Va) = 15 V Rb = ? Vb = ?

Figura 6.2 Principio del divisor de potencial

V1

3

2

V

V

nVnR

R2

3R

1R

Vtot+

-

Figura 6.3 Circuito del Ejemplo 6.1 para el divisor de voltaje

Rb

24 v Va = 15 vRa = 6

-+

= 0ii IRfem ecuacin 6.4

ecuacin 6.5q.

RnVtot VnRe

=

38

Solucin: Como necesitamos reducir el voltaje en el relevador de 24 a 15 V, debemos dividir el voltaje, por tanto, necesitamos conectar la resistencia en serie y aplicar el principio del divisor de voltaje. Para obtener el valor de Vb, simplemente restamos: Vb = Vtot Va = 24 15 = 9 V Sustituyendo datos en formula: De aqu, despejamos Rb 9 ( Rb + 6 ) = 24 Rb 9 Rb + 54 = 24 Rb 54 = 24 Rb 9 Rb 54 = 15 Rb

3.61554Rb ==

La resistencia a conectar en serie con el relevador debe ser de 3.6 . Principio del divisor de corriente En un circuito que contenga n ramas en paralelo, Figura 6.4, con frecuencia se desea conocer, el valor de la corriente en una rama dada. La corriente In en la rama Rn es igual al producto de la co-rriente aplicada Itot por la resistencia equivalente Req del circuito en paralelo, dividida por Rn. El principio del divisor de corriente se aplica slo a un circuito, como el circuito en paralelo, donde el voltaje en cada elemento es el mismo.

Figura 6.4 Principio del divisor de corriente

I to t

nI3I2I1I

nR3R2R1R

+

-V to t

+= RaRb

RbVtotVb

6Rb24Rb9

6RbRb249

+=

+=

ecuacin 6.6Rn

qItot.In Re=

39

En donde hay dos resistencias Ra y Rb en paralelo, la corriente Ia en Ra es: La corriente Ib en Rb es: La corriente de rama es inversamente proporcional a la resistencia de la rama. La rama que contie-ne la resistencia mayor recibe la corriente menor y viceversa. Ejemplo 6.2: Para el circuito del relevador del Ejemplo 6.1 anterior, los datos tcnicos del relevador nos indican que l mismo se activar con una corriente de 0.8 A; por tanto, debemos calcular la corriente que circula por l, y en caso de que la misma no est acorde a los datos tcnicos, calcular el valor de las resistencias que se debe aadir al circuito para obtener la corriente adecuada al relevador. Datos: I relevador (Ia) = 0.8 A R relevador (Ra) = 6 V relevador (Va) = 15 V Solucin: Sabemos que el relevador se est alimentando con 15 V, y tiene una resistencia de 6 , entonces de acuerdo a la Ley de Ohm, por l circula una corriente de: Esta corriente es mayor de la que recomienda al manual (0.8A), entonces para reducirla, necesita-mos conectar una resistencia en paralelo al relevador para que la I = 2.5 se divida y para calcular el valor de la resistencia a conectar, aplicamos el principio del divisor de corriente.

ecuacin 6.8RbRaRaItot Ib +=

ecuacin 6.7RbRaRbItot Ia +=

Figura 6.5 Circuitos del Ejemplo 6.2 para el divisor de corriente

Itot = 2.5 A

Ra

Ia Ib

3.6

+-24 v

Rb

Ia = 2.5 A

3.6

24 v15 V

Ra = 6 -+ Raa

2.5A6

15RVI ===

+= RaRb

RaItotIb

40

6.6 Conversiones delta-estrella y estrella-delta En relacin a la Figura 6.6, las formulas de conversin son:

Figura 6.6 Conversin delta-estrella y estrella delta

RbRa

Rc

R3

R2R1

RbRa

Rc

R3

R2R1

ESTRELLADELTA

ecuaciones 6.9

RcRbRaRaRbR

RcRbRaRcRbR

RcRbRaRcRaR

++=

++=

++=

3

2

1

Estrella a Delta

3323121

1323121

2323121

Delta a Estrella

RRRRRRRRc

RRRRRRRRb

RRRRRRRRa

++=

++=

++=

41

6.7 Anlisis de mallas Una malla es una trayectoria cerrada, sin otras trayectorias cerradas en su interior. Un lazo es tam-bin una trayectoria cerrada, pero puede tener otras en su interior. Por consiguiente, todas las ma-llas son lazos; pero no todos los lazos son mallas. Si el diagrama esquemtico de un circuito est trazado limpiamente, se podr ver el circuito como un marco de ventana, con las mallas como ventanas. Para resolver un circuito, utilizando el anlisis de mallas: 1. Supngase corrientes de malla en cualquier direccin. 2. Insrtense flechas de sentido del voltaje en cada elemento, debido a la corriente de malla. Los

sentidos de los voltajes se fijan en las fuentes de voltaje. Si un elemento tiene ms de una fle-cha de direccin, debido a dos corrientes de malla, marcarlas por separado dentro de las mallas respectivas.

3. Escrbase la LVK en torno a cada malla, en cualquier direccin. Es conveniente utilizar la misma

direccin que la de la corriente de malla. 4. Vulvanse a escribir las ecuaciones resultantes en forma de bloques. Ejemplo 6.3: Resuelva el siguiente circuito aplicando el anlisis de mallas. Estableciendo las ecuaciones de mallas tendremos: MALLA I 12 = 5I1 + 6I1 + 8I1 6I2 12 = 19I1 6I2 19I1 6I2 = 12 MALLA II 15 = 9I2 + 6I2 + 7I2 6I1 15 = 22I2 6I1 -6I1 + 22I2 = 15

Figura 6.7 Circuito del Ejemplo 6.3 para anlisis de mallas

+

-

9 8

7

6 -+15 v

5

12 v

ecuacin 2a

ecuacin 1a

42

Ahora slo se deben resolver simultneamente las ecuaciones 1a y 2a, por cualquier mtodo cono-cido; en este ejemplo usaremos el mtodo de Cramer (solucin por determinantes). Donde los resultados obtenidos de:

6.8 Anlisis nodal Otro mtodo de anlisis de circuitos es el anlisis nodal. Este mtodo es til para encontrar voltajes desconocidos, cuando se conocen los valores de las corrientes nodales de un circuito dado. Para resolver un circuito mediante el anlisis nodal: 1. Desgnense todos los nodos mediante una letra o nmero. 2. Escjanse uno de los nodos como referencia (cero volts a tierra). 3. Supnganse que todos los otros nodos estn a un potencial ms alto que el nodo de referencia. 4. Dirjanse las corrientes a travs de cada elemento, saliendo del nodo que se analiza hacia el de

referencia. Supnganse corrientes entre nodos, ninguno de los cuales es el de referencia, en una direccin dada. El sentido del voltaje se acomoda a la direccin supuesta de la corriente. 5. Aplquese la LCK a cada nodo, con excepcin al de referencia. La mayora de la veces para simplificar la determinacin de las ecuaciones por este mtodo, se prefiere convertir lo valores de las resistencias en conductancias.

357722851561219

A

354902642215

612A

38236418226

619A

2

1

=+==

=+==

===

amp. 0.9345382357

AAI

amp. 0.9267382354

AAI

22

11

===

===

43

Ejemplo 6.4: Resuelva el siguiente circuito aplicando el anlisis de nodos adecuadamente. Estableciendo las ecuaciones de nodos tendremos: Resolviendo simultneamente las ecuaciones 6c y 6d, por el mtodo de sustitucin. Despejando V2 de la ecuacin 6d:

1.20.2V2V 12

+= Sustituyendo este valor en la ecuacin 6c:

Figura 6.8 Circuito del Ejemplo 6.4 para anlisis nodal

1

5

2 -2 A3 A

30.2V0.7V0.2V0.7V3

0.2V0.2V0.5V35

V5

V2

V3

1 NODO

21

21

211

211

==

+=+=

ecuacin 6c

21.2V0.2V0.2V1.2V2

0.2V0.2VV25

V5

V1

2)(

2 NODO

21

12

122

122

=+=

+=+= V

ecuacin 6d

5Volts0.66663.333V

0.33330.666V30.0333V0.3330.7V

31.20.2V20.2.7V0

1

1

11

11

==+=

==

+

44

Ahora sustituyendo este valor de V1 en V2 despejando:

2.5Volts1.20.2(5)2V2 =+=

6.9 Clculo de potencia en corriente directa La potencia P se define como la rapidez de cambio de energa o trabajo elctrico con respecto al tiempo, y con relacin al voltaje y a la corriente, la potencia es igual a su producto. Si en la ecuacin anterior, sustituimos la ecuacin para el voltaje de la Ley de Ohm I=V/R, obten-dremos la potencia disipada en una resistencia R en trminos de la corriente I: De forma similar, en funcin del voltaje:

7.0 NUMER