Impedancias

configuración en SerieClase 7

17-Marzo-2015

Impedancia y Admitancia

De una manera mas amplia, desde las cantidades complejas, tenemos

que la oposición que presenta un elemento al paso de la corriente debido

a una función de excitación senoidal, se le conoce con el nombre de

impedancia y se simboliza. Por la letra 𝒁.

Dicho de otra forma, cuando se tienen funciones de excitación y

respuestas forzadas complejas, a la constante de proporcionalidad entre

el voltaje y la corriente complejos en un elemento de circuito se le conoce

como impedancia del elemento, y es una función de la frecuencia de la

señal en consideración.

Impedancia y Admitancia

La impedancia, entonces se expresa de la siguiente manera:

La componente real de la expresión anterior corresponde a unaresistencia, y la parte imaginaria esta dada por una reactancia. Ambas seexpresan en ohms Ω , por lo tanto la impedancia también se expresa enohms. Así, entonces, 𝑅 = 𝑅𝑒 𝒁 ; 𝑋 = 𝐼𝑚 𝒁

De lo anterior resulta que existe una impedancia en un resistor, así como uninductor o un capacitor, cuando son alimentados por una función deexcitación compleja; ya que de alguna manera estos elementos seoponen al paso de la corriente eléctrica a través de ellos.

𝒁 = 𝑅 + 𝑗𝑋 Ω

Impedancia y Admitancia

La impedancia que posee una resistencia es 𝑍𝑅 = 𝑅 + 𝑗0 𝑜ℎ𝑚𝑠. Esto indica

que en una resistencia su impedancia tiene solo una parte real

𝑅 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 Ω) y no cuenta con una reactancia, que seria su parte

imaginaria.

En una inductancia la impedancia inductiva es 𝑍𝐿 = 0 + 𝑗𝑋𝐿; en la que se

ve que la parte real o resistencia es cero, y su parte imaginaria,

denominada reactancia inductiva, medida en ohms esta dada por:

𝑿𝑳 = 𝜔𝐿 Ω

Impedancia y Admitancia

Donde 𝜔 es la frecuencia de la señal eléctrica (en rad/seg) y L es la

inductancia del inductor (en henrys). De lo anterior se obtiene que la

impedancia inductiva es 𝑍𝐿 = 0 + 𝑗𝜔𝐿 ohms; cuyas componentes son cero

la parte real y 𝜔𝐿 para la parte imaginaria.

La impedancia capacitiva esta dada por 𝑍𝐶 = 0 − 𝑗𝑋𝐶. Al igual que en laimpedancia inductiva, esta no tiene parte real, y su parte imaginaria,

llamada reactancia capacitiva, también medida en ohms, se expresa

como

𝑿𝑪 =1

𝜔𝐶Ω

Impedancia y Admitancia

Donde 𝜔 es la frecuencia de la señal eléctrica (en rad/seg) y 𝐶 es la

capacitancia del capacitor (en farads). De lo anterior se obtiene que la

impedancia inductiva es 𝑍𝐿 = 0 +1

𝑗𝜔𝐶ohms; cuyas componentes son cero

la parte real y1

𝜔𝐶para la parte imaginaria.

Dado que la impedancia es una cantidad compleja, se puede definir

como una relación de voltaje fasorial a la corriente fasorial en un

elemento, o sea que:

𝑍(Ω) =𝑉(𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠)

𝐼(𝐴𝑚𝑝)

Impedancia y Admitancia

Pero esto no significa que la impedancia sea un fasor, aun cuando se

pueda representar como tal. De lo anterior se deriva que un inductor se

representa en el dominio del tiempo por su inductancia 𝐿, o bien en el

dominio de la frecuencia por su impedancia

𝑍𝐿 = 𝑗𝜔𝐿

Impedancia y Admitancia

De la misma manera que un capacitor puede representarse en el dominio

del tiempo por su capacitancia 𝐶 o en el dominio de la frecuencia por su

impedancia

En resumen, la impedancia es un concepto que forma parte del dominio

de la frecuencia y no del dominio del tiempo.

𝑍𝐶 =1

𝑗𝜔𝐶

Impedancia y Admitancia

Así entonces, cuando una señal en estado senoidal permanente actúa

sobre algún inductor (o un capacitor), la oposición que este presente al

paso de la corriente será dependiente tanto de su inductancia ( o

capacitancia) como de la frecuencia de la señal en consideración.

Que en el caso de la resistencia, la oposición al paso de la corriente es

independiente de la frecuencia y solo depende del valor óhmico (𝑅) del

elemento mismo.

Diagrama de Impedancia

Ahora que un ángulo se encuentra asociado con la Resistencia, la

reactancia inductiva y la reactancia capacitiva, cada uno podrá

colocarse en el diagrama en el plano complejo, como se muestra en la

siguiente figura 0

Diagrama de Impedancia

Diagrama de Impedancia

El resultado será un diagrama de impedancia que puede reflejar los niveles

de impedancia individuales y totales de una red de ca.

Si la impedancia total tiene un ángulo de 0𝑜, se dice que es de naturaleza

resistiva. Si se encuentra más cercana a 900, será de naturaleza inductiva y

si esta cercana a −90𝑜, tendrá una naturaleza capacitiva.

Configuración en Serie

Las propiedades generales de los circuitos de ca en

serie (figura 1) son las mismas que para los circuitos de

cd. Por ejemplo, la impedancia total de un sistema es la

suma de las impedancias individuales:

𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 + 𝑍3 +⋯+ 𝑍𝑁

Configuración en Serie

𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒

Configuración en Serie

𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒

Configuración en Serie

Para la configuración un circuito de ca en serie

representativa, que aparece en la figura anterior, tiene

dos impedancias, la corriente es la misma a través de

cada elemento (como lo fue en el caso de los circuitos

de cd en serie) y esta determinada por la ley de Ohm:

𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2

𝐼 =𝐸

𝑍𝑇

Configuración en Serie

El voltaje en cada elemento se puede encontrar mediante otra aplicación

de la ley de ohm:

La ley de voltaje de Kirchhoff puede aplicarse entonces en la misma forma

que se utilizo para circuitos de cd. Sin embargo, tenga presente que ahora

estamos tratando con la manipulación algebraica de cantidades que

tienen tanto magnitud como dirección.

𝑉1 = 𝐼𝑍1 𝑉2 = 𝐼𝑍2

Configuración en Serie

O bien

La potencia al circuito se puede determinar mediante:

Donde 𝜃𝑇 es el ángulo de fase entre E e I

𝐸 − 𝑉1 − 𝑉2 = 0

𝐸 = 𝑉1 + 𝑉2

𝑃 = 𝐸𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝑇

Ejemplo 1

Trace el diagrama de impedancia para el circuito de la

figura 2 y encuentre la impedancia total.

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2

Solución

Como se indica la figura 3, la impedancia de entrada

puede encontrarse de forma grafica a partir del

diagrama de impedancia mediante la escala

adecuada de los ejes real e imaginario y encontrado la

longitud del vector resultante 𝑍𝑇 y el ángulo 𝜃𝑇 . O

mediante el algebra de vectores, se obtiene:

1 2

00 90

4 8

8.944 63.43

T

o

L

L

o

T

Z Z Z

R X

R jX j

Z

Solución

Ejemplo 2

Determine la impedancia de entrada para la red en

serie de la figura 4. Trace el diagrama de impedancia.

𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 4

Solución

1 2 3

00 90 90

6 10 12 6 2

6.325 18.43

T

o o

L C

L C

L C

o

T

Z Z Z Z

R X X

R jX jX

R j X X j j

Z

Solución

El diagrama de impedancia aparece en la figura 5. Observe que en este

ejemplo, las reactancias inductivas y capacitivas en serie están en oposición

directa. Para el circuito de la figura 6 si la reactancia inductiva fuera igual a la

reactancia capacitiva, la impedancia de entrada seria puramente resistiva.

Solución

Circuitos de CA en SERIE

Ahora que se ha presentado el método general, se analizará con todo detalle

la más simple de las configuraciones para enfatizar las similitudes con el

análisis de circuitos de cd. En muchos de los circuitos que serán considerados,

a menudo utilizaran 3 + 𝑗4 = 5∠53.13𝑜 𝑦 4 + 𝑗3 = 5∠36.87𝑜 para asegurar que el

enfoque es lo mas claro posible y que no se pierda en complejidades

matemáticas.

R-L

R-L

Notación fasorial

𝑒 = 141.4𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 ⟹ 𝐸 = 100𝑉∠0𝑜

Como se denota en el siguiente circuito equivalente

R-L

𝑍𝑇 = 𝑍1 + 𝑍2 = 3Ω∠0𝑜 + 4Ω∠90𝑜 = 3Ω + 𝑗4Ω

𝑍𝑇 = 5Ω∠53.13𝑜

Diagrama de impedancia: Véase la siguiente figura

R-L

R-L

𝐼 =𝐸

𝑍𝑇=100𝑉∠0𝑜

5Ω∠53.13𝑜= 20𝐴∠ − 53.13𝑜

𝑉𝑅 𝑦 𝑉𝐿

Ley de Ohm:

𝑉𝑅 = 𝐼𝑍𝑅 = 20𝐴∠ − 53.13𝑜 3Ω∠0𝑜

= 60𝑉∠ − 53.13𝑜

𝑉𝐿 = 𝐼𝑍𝐿 = 20𝐴∠ − 53.13𝑜 4Ω∠90𝑜

= 60𝑉∠36.87𝑜

R-L

Ley de voltaje de Kirchhoff:

↷

𝑉 = 𝐸 − 𝑉𝑅 − 𝑉𝐿 = 0

O bien

𝐸 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿

En forma rectangular

𝑉𝑅 = 60𝑉∠ − 53.13𝑜 = 36𝑉 − 𝑗48𝑉

𝑉𝐿 = 80𝑉∠ + 36.87𝑜 = 64𝑉 − 𝑗48𝑉

R-L

Y

𝐸 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 = 36𝑉 − 𝑗48𝑉 + 64𝑉 + 𝑗48𝑉 = 100𝑉 + 𝑗0

= 100𝑉∠0𝑜

Diagrama fasorial: Observe que para el diagrama fasorial de la figura

siguiente 𝐼 está en fase con el voltaje del resistor y se encuentra

atrasada con respecto al voltaje en el inductor por 𝟗𝟎𝒐

R-L

R-L

Potencia: La potencia total en watts entregada por el circuito es:

𝑃𝑇 = 𝐸𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝑇 = 100𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠53.13𝑜 = 2000𝑊 0.6

= 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑾

Donde 𝐸 e I son valores efectivos y 𝜃𝑇 es el ángulo de fase entre 𝐸 𝑒 𝐼, 𝑜:

𝑃𝑇 = 𝐼2𝑅 = 20𝐴 2 3Ω = 400 3 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑾

Donde 𝐼 es el valor efectivo, o por ultimo

𝑃𝑇 = 𝑃𝑅 + 𝑃𝐿 = 𝑉𝑅𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝑅 + 𝑉𝐿𝐼𝑐𝑜𝑠𝜃𝐿

= 60𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠0𝑜 + 80𝑉 20𝐴 𝑐𝑜𝑠90𝑜

= 1200𝑊 + 0

= 𝟏𝟐𝟎𝟎𝑾

R-L

Donde 𝜽𝑹 es el ángulo de fase entre 𝑽𝑹 𝒆 𝑰, 𝒚 𝜽𝑳 es el ángulo de fase entre

𝑽𝑳 𝒆 𝑰.

Factor de Potencia. El factor de potencia 𝑭𝒑 del circuito es 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝟑. 𝟏𝟑𝒐 =

𝟎. 𝟔 𝒂𝒕𝒓𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐, donde 𝟓𝟑. 𝟏𝟑𝒐 es el ángulo de fase entre 𝑬 e 𝑰

Si escribimos la ecuación de potencia básica 𝑷 = 𝑬𝑰𝒄𝒐𝒔𝜽 de la siguiente

forma:

𝒄𝒐𝒔𝜽 =𝑷

𝑬𝑰

Donde 𝑬 𝒆 𝑰 son las cantidades de entrada y 𝑷 es la potencia entregada a la

red, y luego realizamos las siguientes situaciones a partir del circuito básico de

ca en serie:

R-L

𝒄𝒐𝒔𝜽 =𝑷

𝑬𝑰=𝑰𝟐𝑹

𝑬𝑰=𝑰𝑹

𝑬=𝑹

𝑬/𝑰=𝑹

𝒁𝑻

Encontramos que

𝑭𝑷 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝑻 =𝑹

𝒁𝑻

Para el presente caso tenemos que:

𝑭𝑷 = 𝒄𝒐𝒔𝜽𝑻 =𝑹

𝒁𝑻=𝟑𝛀

𝟓𝛀= 𝟎. 𝟔 𝒂𝒕𝒓𝒂𝒔𝒂𝒅𝒐

Como se encontró antes

Regla del Divisor de Voltaje

En circuitos de CA, el formato básico para la regla de divisor de

voltaje es exactamente el mismo que para circuitos de cd

𝑉𝑋 =𝑍𝑋𝐸

𝑍𝑇

Donde 𝑉𝑋 es el voltaje en uno o mas elementos en serie que tienen

impedancia total de 𝑍𝑋, 𝐸 es el voltaje total que se presenta en el

circuito en serie, y 𝑍𝑇 es la impedancia total del circuito en serie.

Problema

Utilizando la regla del divisor de voltaje, encuentre el voltaje en

cada elemento del circuito mostrado en la siguiente figura

Solución

𝑉𝐶 =𝑍𝐶𝐸

𝑍𝐶 + 𝑍𝑅=4Ω∠ − 90𝑜 100𝑉∠00

4Ω∠ − 90𝑜 + 3Ω∠00=400∠ −90𝑜

3 − 4𝑗

𝑉𝐶 =400∠ −90𝑜

5∠ − 53.13𝑜= 80𝑉∠ − 36.87𝑜

𝑉𝐶 =𝑍𝑅𝐸

𝑍𝐶 + 𝑍𝑅=3Ω∠0𝑜 100𝑉∠00

5Ω∠ − 53.130=300∠0𝑜

5Ω∠ − 53.130

𝑉𝐶 =300∠0𝑜

5Ω∠ − 53.130= 60𝑉∠ + 53.13𝑜