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MINISTERIO DE INDUSTRIAY ENERGIACOMISARIA DE LA ENERGIA Y RECURSOS MINERALES

ESTUDIO Y VALORACION DELCOMPORTAMIENTO GEOMECANICO DELMACIZO ROCOSO DEBIDO A LOS NUEVOSMETODOS DE EXPLOTACION SUBTERRANEA

EN LAS MINAS DE ALMADEN

INSTITUTO GEOLOGICO Y MINERO DE ESPAÑA

00698'

El presente estudio ha sido realizado por

GEOPRIN, S. A., en régimen de contrata -

ción con el Instituto Geológico y Minero

de Espafía.

Madrid, Diciembre de 1981

ESTUDIO Y VALORACION DEL COMPORTAMIENTO GEOMECANICO

DEL MACIZO ROCOSO DEBIDO A LOS NUEVOS METODOS DE

EXPLOTACION SUBTERRANEA EN LAS MINAS DE ALMADEN.

I N D I C E

1.- INTRODUCCION.

2.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

3.- SITUACION GEOMECANICA DE LAS GALERIAS. MODELOS GENERALES.

3.1.- GALERIAS SOMETIDAS UNICAMENTE A LA CARGA VERTICAL DEL

TERRENO DE UNA COBERTURA DE H MUESTRAS Y DE PESO ESPECI-

FICO Ton/m3 .

3.2.- GALERIA SOMETIDA A PRESIONES VERTICALES Pv Y A PRESIONES

HORIZONTALES Ph =ñ Pv.

3.3.- GALERIA CRUZANDOSE EN PLANTA PERPENDICULARMENTE CON OTRA.

4.- EFECTO DE LA INCLINACION DE LAS CAPAS SOBRE LOS PILARES Y LAS

GALERIAS.

5.- SITUACION GENERAL DEL MACIZO AL EXTRAER TODO EL MINERAL ENTRE

LAS GALERIAS B y D, y C y E.

6.- CONDICIONES GEOMECANICAS DE LOS ESTRATOS.

6.1.- CALCULO DE ACCIONES.

6.2.- CALCULO DE ESFUERZOS.

6.3.- CALCULO DE TENSIONES.

6.4.- CALCULO DE DEFORMACIONES.

7.- CONCENTRACION DE TENSIONES EN LAS INTERSECCIONES DE LAS GALE-

RIAS. ESTUDIO A MAYOR DETALLE.

8.- SEGURIDAD FRENTE A TENSIONES ULTIMAS.

9.- RESISTENCIA DE LOS TAPONES DE APOYO. CALCULO PRELIMINAR.

1

1 0 .- ESTUDIO DEL MODELO POR ELEMENTOS FINITOS.

10.1.- INTRODUCCION.

10.2.- DETALLE DEL PROYECTO.

10.3.- DATOS.

10.4.- MODELOS.

10.5.- INTERPRETACION DE LOS RESULTADOS DEL PROGRAMA DE ORDENA

DOR.

10.5.1.- Salida del programa SAP IV.

10.5.2.- Materiales.

10.5.3.- Cálculo de la densidad media.

10.5.4.- Cálculo de las fuerzas sobre el contorno.

10.5.5.- Condiciones de contorno.

11.- ANALISIS DE RESULTADOS.

11.1.- ISOTENSIONES.

11.2.- CRITERIO DE ROTURA.

11.3.- RESUMEN DEL ANALISIS DE ESFUERZOS EN LOS MODELOS GENE-

RALES.

11.4.- ANALISIS DEL MODELO DE DETALLE DE LA GALERIA DE TRANS-

PORTE.

12.- CONCLUSIONES DEL ESTUDIO.

12.1.- COMENTARIOS GENERALES.

12.2.- SECUENCIA DE EXPLOTACION.

13.- DOCUMENTACION COMPLEMENTARIA.

ANEJO 1.- EL PROGRAMA SAP IV.

2

1. INTRODUCCION.

La Dirección de la Empresa de las Minas de Almadén ( Ciudad -

Real ) solicitó la colaboración del Instituto Geológico y Minero

de España , para la ejecución del presente proyecto.

El tema surgió al plantear un cambio en el sistema de explota-

ción en las labores de los pisos inferiores a la planta 21, cambian

do el sistema tradicional Realces con Relleno ( cut-and-fill stoping)

por el método VCR/Vertical Grater Retreat).

Al proyectarse ahora la explotación por el método VCR, se ha

hecho necesario revisar la estabilidad de la explotación, teniendo

en cuenta la posible repercusión en ella de los nuevos huecos crea

dos.

El nuevo sistema de trabajo inducirá unas solicitaciones del

macizo rocoso , en cuanto al campo de tensiones , cuya repercusión

sobre la estabilidad de las galerías de cabeza, galería de transpor

te y sobre los mismos tajos, se desconoce.

El presente estudio, pretende ser una aproximación sobre el

posible comportamiento del macizo basado en modelos matemáticos

y consideraciones geotécnicas teóricas o deducidas de los datos

suministrados para este estudio.

Como antecedentes de este estudio cabe citar, el "Estudio de

la explotación de Almadén por el procedimiento de los elementos

finitos", realizado por el Centro de Informática Aplicada de la

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas (Fundación Gómez

Pardo ) en colaboración con la División de Geotécnia del Instituto

Geológico y Minero de España, en Junio de 1976 y el trabajo de D.

Jesús Ciruelos "Aplicacilón del método de explotación V.C.R. a la

mina de Almadén ( Proyecto Fín de Carrera , 1981) de la E.T.S. Ing.

de Minas.

3

El estudio de las condiciones geomecánicas del modelo de explo

tación proyectado se aborda por dos sistemas : En la primera parte

se utilizan una serie de cálculos basados en la mecánica clasica,

estudiando las tensiones a que estarán sometidas las galerías, por

su propia situación y por las relaciones espaciales con otros hue-

cos próximos , y la situación final del macizo una vez realizadas

las explotaciones proyectadas ; En la segunda parte, se acomete al

estudio de la situación por medio de programas de ordenador basado

en Elementos finitos, analizando las diversas situaciones generadas

en las sucesivas fases de explotación.

Ambos planteamientos aportan un conjunto de datos que resultan

complementarios para realizar un análisis algo más objetivo sobre

el posible comportamiento del macizo rocoso ante las solicitaciones

que la nueva explotación significa.

Los resultados alcanzados de este trabajo, convienen que sean

ponderados en sus límites de aproximación con la realidad, teniendo

en cuenta que es sobre la naturaleza , situación y comportamiento

real geomecánico del macizo donde mas incertidumbre se acumula.

4

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

El yacimiento de Almadén es de tipo estratiforme , localizado

en materiales detríticos paleozoicos, fuertemente plegados por la

orogenia hercínica , que han dispuesto las capas mineralizadas en

posición subvertical.

Las mineralizaciones en explotación se localizan en las deno-

minadas Cuarcitas de San Pedro y Cuarcitas de San Francisco.

la Zona a que se refiere este estudio es aquella que presenta

mineralizaciones en ambos niveles y que se proyectan explotar en

forma conjunta.

El nuevo método V.C .R. se aplicará para beneficiar los niveles

mineralizados por debajo de la galería 21 que está situada a una

profundidad superior a los 500 m.

La apertura de los grandes huecos que el sistema de explota-

ción V.C.R. introduce, lógicamente tienen que influir de forma con-

siderable en la situación geomecánica del macizo.

El estudio realizado trata de arrojar cierta luz sobre esta

situación, analizando los esfuerzos y deformaciones que se produci-

rán en el macizo debido únicamente a la apertura de los huecos mine

ros, admitiendo hipótesis sobre el comportamiento del macizo (ausen

sia de esfuerzos tectónicos residuales , comportamiento dentro del

campo elástico, homogeneidad de los distintos paquetes litológicos,

etc).

En las figuras adjuntas se esquematiza la situación geológica

del área explotada y los huecos mineros que se realizarán.

5

11`111 e ó ��1�1\� �1 °° ,1\ 0 11>>111 a o, 1 11 °.u X11 �1 > >

11 °;,ao0\\1 1 1 • • . o oc1�11 o ' .1�> >PLANTA 21 %\\1 \ • - •o �a 11� .. 1�> >

PLANTA 21 INFERIOR 1̀ • D �,\� 1 • • • _ _ E

11111.' - ��, 11 >

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,�\\' 111`111'; • . ►¡1 s1 2 3 4 5 • 6 T 9 0 II

LEYENDA LITOLOGICA

1.- PIZARRAS DE MURO RELLENOS2- SILL BASALTICO3- CUARCITAS DE S. PEDRO ® MACIZOS4- ZONA MINERALIZADA5- PIZARRAS INTERMEDIAS A. GALERIA DE TRANSPORTE6- CUARCITAS INTERMEDIAS 8 Y C.- GALERIAS DE BASE7- CUARCITAS DE S. FRANCISCO D Y E.- GALERIAS DE CABEZA8- BANCO INTERMEDIO ENTRE S. F Y S. N F Y G.- MASAS MINERALIZADAS A9- CUARCITAS DE S. NICOLAS EXPLOTAR POR EL METODO V.C.R.10.- PIZARRAS GRAFITOSASII-LAVAS DE TECHO IOm 0 IOm

Fig. 1 CORTE GEOLOGICO

FALLA DES. MIGUEL ; % % % ¡, •!!;, �>>

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2 3 4

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9 10 I I

Fig.Z ESQUEMA DE LA PLANTA 23, GALERIA DE

TRANSPORTE Y LOS RECORTES PARA ALCANZAR

LAS BANDAS MINERALIZADAS.

Fig. 3 HUECOS MINEROS.

3.- SITUACION GEOMECANICA DE LAS GALERIAS . MODELOS GENERALES.

3.1.- GALERIA SOMETIDA UNICAMENTE A LA CARGA VERTICAL DEL TERRENO

DE UNA COBERTURA DE H METROS Y DE PESO ESPECIFICO A -on/m3.

Por ser las más importantes nos fijaremos en las tensiones

(de compresión o de tracción) que se desarrollan en la superficie

py ó ton/m3H

---► - p„ = H 1 ton /m2(traccion)

3pv = 3Hi ton/maFig.4 1 (compresion)

del túnel excavado, tangencialmente al mismo.

En el supuesto que no hay colaboración lateral del terreno

o que el coeficiente de Poisson es nulo, las presiones verticales

son pv = H. Ven t/m2. En estas condiciones hay concentración de

tensiones que son, de compresión hasta 3 veces las verticales

pv en las paredes del túnel , o sea de (r. = 3.pv = 3.H. . En la

clave la tracción es - pv o sea rt = -H. '.

9

Así resulta, que si H=540 m;' =2,6 t/m3.

pv=540.2,6= 1.AO4 t/m2; 6 _ x. 40; = 4. 12 /m2;6t =-1.404 t/m2.

La compresión , de 421 kg/ cm2 en paredes seria aceptable (aparte

del posible pandeo por estratificación vertial ); en cambio la -

tracción , de 140 kg/cm2 sería algo fuerte.

NOTA : Esta no sería exactamente la realidad en nuestro caso, ya

que por ser el coeficiente de Poisson y= 0,25, se desarrollan -

presiones horizontales del terreno ph que son iguales a las ver

ticales multiplicadas por un factor /(que vale. ----X

0, 25 1n 1- 1-0,25 3

por tanto ph v 3 pv = 468 t/m2 cuya acción vamos a exami-

nar.

3.2.- GALERIA SOMETIDA A PRESIONES VERTICALES p Y A PRESIONES

`( v

HORIZONTALES ph--

Apv-

=-pY+3 Ph

ph=kp,

Fig. 5 3py Ph

En estas condiciones la compresión en las paredes. se alige

ra por la acción de los empujes transversales , pasando a ser:

10

T = 3PvPh=3PvÁ pv (3-�)pv

que para

= 1/3 y pV=1.404 t /m2 .

_ (3-13) 1.404 = 3.747 t/m2 a compresión. Los empujes -

laterales han reducido algo las 4.212 t/m2 que habia sin ellos.

En cambio en la clave , la tracción pv se reduce en 3ph=3,kpv

pasando a ser: pv- 3%pv=(1-3Á)pv.

Como en nuestro caso¡=3

resulta que la tracción en clave -

se anula.

En resumen , quedaría como acción principal, la compresión en

hastiales , de 375 kg/cm2.

3.3.- GALERIA CRUZANDOSE EN PLANTA PERPENDICULARMENTE CON OTRA.

Hay concentraciones importantes de tensiones en la dicha zo-

na de cruce que han sido estudiadas por elementos finitos para di-

versos valores de J. y que vamos a resumir ( véase "Computer Methods

in Tunnel Design".

Production Editor Anthony Burt. The Institution of Civil En-

gineers. London 1978, cap. de 6 . HOCKING : " Stresses around tunnel

intersecüors' SECCION M-M

M

Fig. 6DI A HITA

fq 220 30s

6 220

5 3°1

4 aao

3

2

1 roNoW0 °-

-1

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

o �C=0• .C=0,33•�C=1 Fig.7

En la figura damos para tres valores de n las tensiones de

una sección transversal vertical MM inmediata a la intersección -

de las dos galerías para pv=1. Aparecen los valores correspon -

dientes a la clave, a los extremos del diámetro horizontal y en -

puntos a 222 30'; 452 y 672 30' de la bóveda a partir de dicha -

clave.

Para nuestro caso, que es l = 3, no llega a haber tracciones

y es máxima la compresión en los extremos del diámetro horizontal

en que resulta 5,7 (Si ^ = 0 es 6,5 y si l = 1 es 4,2), es decir al

go más del doble de lo obtenido antes, para la misma), =3 pero sin

intersección, ya que era 3 -

3

= 2,7. Por tanto la compresión de

la roca será:

Q' = 5,7.pv=5,7.1404=8.002 t/m2= 800 kp/cm2 .

12

A continuación damos un cuadro con los valores de 0- .

Valores 6- de la tensión máxima de la roca en Kg/cm2., para -

presión vertical de 1404 ton/m2.

1 A LO LAR93 DE LA CA EN PROXI IIDAD DE INTERLERIA. SECCION DE GALFRIAS.

=O )x,33h=1 i J = 1 x,33 k=1

Clave -140 0 280 9B 0 238

Paredes 421 375 280 912 800 589

Los valores negativos , en clave, son tracciones, tienen lu-

gar para k= 0 es decir , cuando no existiese absolutamente ningún

empuje lateral u horizontal del terreno.

En reumen , podemos decir que en las paredes de las galerías

la compresión máxima es de unos 375 kg/cm2 , pero que se incremen-

ta en las proximidades del cruce con otra galería en que llega

esta cantidad a duplicarse, llegando a los 800 k/e cm2 .

OBSERVACIONES : Evidentemente nos hemos separado algo de la reali-

dad por dos razones.

1) Hemos hallado las compresiones y tracciones del terreno en -

las paredes de la galería ( en clave y en paredes ) como si -

fuese de sección circular. Pero ésto no nos aleja demasiado

de la situación verdadera.

2) Las secciones de las galerías que se cruzan las hemos supues

to que son aproximadamente iguales.

Estimamos que por ambos motivos, los valores no diferirán de

los reales en más del 100/1-

13

4.- EFECTO DE LA INCLINACION DE LAS CAPAS SOBRE LOS PILARES Y LAS

GALERIAS.

Al extraer el mineral entre las galerías superiores e infe-

riores, o sea , por una parte entre las galerías B y D y por otra,

entre las C y E, queda como un prisma oblicuo, BDEC cuya sección

es de base 27,60 m. y de una altura de unos 40 m., con inclina -

ción 4:1.

tomando ésto como "modelo", supondremos:

1) Que este macizo está "empotrado" en su base en los pilares.

2) Que sobre su parte superior actua la cobertura de 500 m., -

que con peso específico 2,6 t/m3 equivalen a 1.300 t/m2 y -

un total de 1.300 . 27,60 = 35.880 t por m.lineal de avan -

ce.

3) El "tapón" que se deja próximo a la galería D viene a actuar

como un "apoyo " que limitará los movimientos horizontales -

del citado prisma oblicuo que denominaremos BDEC.

En esquema este prisma sería como una viga, de gran canto, -

"empotrada" en BC (bases de pilares de la planta inferior ) y "apo-

yada" en D ( Tapón de dicha galería).

Las cargas exteriores que ha de soportar dicho prisma serán:

a) Su propio peso, que ya evidentemente es de

27,60 x 40 x 2,6 = 2.870 t/m. lineal.

14

2,6 ton/m3

p=h. a = 1300 ton/ 2 h = 500m

\3Oo2763588Oton\\ ESCALA 1:500

27,6 404

7,6x40x 2,6=2870 to

Fig. 8

IO

34m

H13,8 .1318D E35880 ton

ESCALA 1:500

40

'2870 ton387 O ton�

B K� Fig. 90

-- -10 - 11, 8 -4,0L11'8

b) Las presiones que por la cobertura de 500 m. cargan sobre su

parte superior dando una resultante que ya hemos visto es de

35.880 t.

c) La reacción horizontal H próxima a la galería D.

Para simplificar el problema procederemos del siguiente mo -

do:

En primer lugar, despreciando esta reacción horizontal H, -

calculamos el momento de empotramiento M en la base BC, producido

únicamente por las dos fuerzas verticales citadas.

Evidentemente, con respecto al punto medio 0 de BC dicho -

momento vale, de acuerdo con lá figura:

M0

= 2870 x 5 + 35.880 x 10 = 373.150 tm/p.m.l.

(La resultante de las fuerzas verticales es 2.870+35.880=38.750

t/p.m.l.).

Para obtener el valor de lo que en realidad sería este momen

to M, que será inferior al calculado M0 a causa de la reacción H -

del apoyo en el "tapón" que se deja próximo a la galería D, multi-

plicamos M0 por 0,25 que es precisamente la relación que hay entre

el momento de empotramiento de una viga " empotrada" en un extremo

y "apoyada " en el otro , y el de una viga que sólo está 'lempo -

trada" en un extremo (ambas de la misma luz con igual sobrecarga -

uniforme ). Esto nos dá:

M = 0,25x37.315 = 93.287 tm/p.m.l.

16

P

I-* M=8PI2M

P= 0,25

2I N�=2 PIMo

Fig. 10

Con este "artificio" que lo consideramos aceptable tenemos -

que la resultante de las fuerzas verticales hallada de 38.750 t/p.

m.l., no actuará sobre la base con la excentricidad

UK =m0

= 373.150 = 9,62 m.38.750 38.750

que sobrecargaría excesivamente los pilares de la base BC más pró

ximos a la galería B, sino que dicha excentricidad sería:

MOK =- 38.750 = 2,40 m ya que M = 0,25 Mo = 93.287 tm.

Veamos con ésto cual es la distribución de las cargas que -

actúan sobre la base BC

ESCALA 1200

2139 ton/m2 y F rlr� 11 E l� 11 1 E , 669 to /m2

GALERIA "A"

GALERIA "B" GALERIA"C"

B Fig. II C

17

Sería trapecial, con los valores extremos:

38.750 93287.6En B, de _. + _. = 1.404 + 735 = 2.139 t/m227,60 27,602

38.750 93287.6y en C, de2 = 1.404 - 735 = 669 t/m2.

27,6027,602

El efecto de esta excentricidad ha sido pues el cargar la -

parte próxima a la galería B en su 52,3%. Pasará pues la compr e -

sión máxima que calculamos de 375 Kg/cm2 a 571 Kg/cm2.

Las cargas en la parte próxima a la galería C se reducen a

su 47,6%.

Como el cruce de galería principal tiene lugar cerca del -centro de la base BC apenas hay incremento de presiones debidas -al prisma.

Los pilares limitados por los recortes que van hacia B pre-sentan una sección neta ( Fig. 12).

11,80.5,5013,80.9

= 0,5525 de la base , se cargarían en el caso de

que toda la cobertura actuase verticalmente a

razón de:

540.2,60,5525

= 2.687 t/m2.

Al incrementarse en el 52,3% en la parte próxima a la gale-

ría B, llegarán a tener que soportar fatigas a compresión de

2.687x1,523 = 4.092 t /m2 = 409 Kg/cm2.

18

5,50

15,40

9,00

L --------- -----�13,80

11,80

GALERIA'W' GALERIA"A"Fig. 12

19

5.- SITUACION GENERAL DEL MACIZO AL EXTRAER TODO EL MINERAL ENTRE

LAS GALERIAS B Y D; Y C Y E.

Siendo mayor el módulo de elasticidad de la cuarcita (3,2) -que el de la pizarra (2,5) será más fácil que la rigidez de aque -lla haga que sus estratos no carguen demasiado a los de pizarra.

Así estimariamos , que la "pizarra intermedia" de 7,50 m. deespesor, junto a la "zona mineralizada ", de unos 4 m ., que quedarálibre entre las galerías B y D, tendrá que sostenerse entonces porsí misma, ya que la "cuarcita intermedia", de 18,50 m. de espesores más rígida y no la cargará.

En cambio, en el "banco intermedio " de 2 m., junto al vacia-do que se haga entre las galerías C y E, al ser de cuarcita y ade-más unido al de "cuarcita de S. Nicolás, de 7 m., no se deformarádemasiado.

En resumen diríamos que parece presentar mayor peligro el vaciado entre las galerías B y D a causa del peligro de no resistirsuficientes esfuerzos ( pandeo o más bien tracción por flexión)la -"pizarra intermedia " indicada , de 7,50 m. de espesor.

Examinemos las tensiones de un estrato de espesor e (medido

este "espesor" horizontalmente ) de 40 m . de altura , supuesto empo-

trado en su base y apoyado en su parte superior.

Determinaremos también el espesor mínimo e para que , según -

las tensiones admisibles, esté seguro.

Sometido a las cargas indicadas en la figura , en su base ha-

20

P= p.e = 1300 . e ton/m1

p = 500.2 ,6 ton/m2

G= 40. e.2,6= 104 . e ton /ml40 \

10 e Fig. 13

brá una compresión:

N P+G = 1404.e ton/ml.

y un momento

M = P.10+G.5=(1300.e)10+(1404e).5=13520.e ton.m/p.m.1.0

Tomaremos M=0,25.M0=3.380.e ton.m/p.m.l. por las mismas razo

nes que expusimos en el apartado anterior.

Resultan así las tensiones:

De compresiónN Mo.G _1404e +3380e.G = 1404 +

20280e+

2 e 2 ee e

21

De tracción G=2 - N = 20.280 _ 1404e e e

Si llamamosTcTy 6't a las tensiones máximas de compresión y

tracción respectivamente que no deben sobrepasar la roca (suele -

admitirse queTt = 10 Cc)

Se tendrá que verificar que:

1404+20280 O

yque

20280 - 1404 Gte c e

o lo que es igual que

20280 20280e

j-c-1404 y que e =rt+1404

Si se trata de una pizarra en la que suponemos

c=600 kg/cm2=6000 t/m2.

t 10 600 kg/cm2=600 t/m2.

El espesor mínimo del estrado será tal que

20280emin 6000-1404 - 4,40 m.

emin 20280 = 10,10 M.600+1404

As¡ es que el estrato de "pizarra intermedia" de 7,50 m.pue-

de parecer que no está muy seguro después del vaciado hecho entre

las galerías B y D.

En realidad, la llamada capa de "pizarra intermedia" viene a

22

funcionar como una viga continua inclinada de gran espesor, de mu-

chos tramos de luz,, de 40 m. de luz cada uno, sustentada en los ta-

pones de apoyo ( que se dejan junto a cada galería ). Sabido es que

los momentos máximos tienen lugar en dichos apoyos, que vienen a -

funcionar como empotramientos perfectos , valiendo M=12 pl2 es de -

cir que en nuestro caso sería M=6 Mo=6 13520.e=2253, e ton.m/p.m.l.

Se tendrá entonces que cumplir que

1404 + 2253.6y qUe

2253.6 _ 1404:1

que para c=6000 t/m2 y J-t=600t/m2.

exige que sea e = 2 , 95 m. y e -1- 6,75 m.

Lo cual nos indica que es suficiente el espesor de 7,50 m.

Las tensiones serían por tanto de

1404 + 2253.6 _ 3.206 t/m2 a compresión7,50 -398 t/m2 a tracción

que serían admisibles , pero con muy pequeño coeficiente de seguri-

dad de solo 600/398=1,507 con relación a la tracción.

A continuación se hace un cálculo más riguroso de la resis-

tencia de cada estrato considerándolo individualmente, llegándose

a tensiones del mismo orden de magnitud o menores de las que hemos

hallado.

Se determinan también las deformaciones y se comprueba que -

en todo caso se está muy alejado del pandeo.

23

Las concentraciones de tensiones , cuya determinación es un -

problema tridimensional, se reduce a un caso bidimensional median-

te ciertos coeficientes de mayoración , obteniéndose valores tambié

menores de los que hemos calculado anteriormente.

Por último , se comprueba que aunque teóricamente la estructu

ra es estable , los coeficientes de seguridad son algo reducidos en

algunos casos como ocurre a la "pizarra intermedia " de unos 7 m. -

de espesor que limita lo extraido entre las galerías B y D, que, -

como dijimos apenas llega a ser de 1,5.

Podrían detallarse más los cálculos , considerando por ejem-plo la deformación por compresión de los tapones de apoyo que se -dejan junto a las galerías . Pero hemos comprobado que apenas se deformarían unas décimas de milímetro y las tensiones suplementariasque ocasionan son despreciables.

24

6.- CONDICIONES GEOMECANICAS DE LOS ESTRATOS .

6.1.- CALCULO DE ACCIONES.

La única acción actuante sobre cada estrato es el peso pro-

pio. Debido a la inclinación de las diferentes lajas éste esfuer-

zo puede descomponerse.

n = A sen w388

A

.�: p= 1 A cos-<7d24

915

Fig. 14en dirección axial y normal provocando las componentes n y p (fis.

14 que darán lugar a la compresión y flexión de cada laja respec-

tivamente.

Según las indicaciones contenidas en los planos , el ángulo -

con la horizontal es de 76 ' 24 2 y por tanto

sen21 = 0,97

cos n(= 0,24

por lo que, por metro lineal de laja,

n = 0,97-A

p=0,241A

25

donde

= peso específico del material de la laja.

A = sección transversal de la laja.

Tomando un metro de anchura A es numéricamente igual al can-

to h de la laja.

6.2.- CALCULO DE ESFUERZOS.

Para el calculo de los esfuerzos se supone que cada laja ac-

tua independientemente de las demás y, debido a la excavación de -

la zona mineralizada, funciona como una viga continua de gran núme

ro de tramos apoyada en los tapones de 6 m. que se dejan sin exca-

var bajo cada galeria (Fig. l5a)

40 A B

I/2 pp40f p J0O83I2

0,042 pI21=40

B (b)(a )

Fig. 15

26

Suponemos que estos tapones no impiden el deslizamiento lon-

gitudinal de la viga y por ello se pueden sustituir por apoyos des

lizantes.

Los esfuerzos axiales se obtienen en cada tramo como

N = ::!I nL = nL = n seno- =ÓAH

donde n es la componente unitaria definida en el apartado anterior

y la suma se extiende a todos los tramos por encima del estudiado,

supuestos de longitud igual

1 = 40 m.

El efecto es el mismo que multiplicar por la Drofundidad H de la

zona por encima de la sección en estudio.

Los esfuerzos flectores y cortantes se obtienen resolviendo

la viga de varios tramos. Como es bien sabido, cuando el número de

éstos supera a 4 los valores, apenas difieren de los correspondien

tes a la viga biempotrada. Así pues,

pl 1y AH AH YAQmax2 2 A cosol seno. 2 tg c'

1 p l 1 A AH2 AH2 tA 1=Mmax 12 l 12 cos

sen2o& 12 tg!D f sen o(

En nuestro caso nos interesa la zona situada por debajo de

los 560 m., y que llega a los 600 m.

27

-560 �NAA

IIIII-600

\NeFig. 16

Así pues,

NB A 560

NB l'A 600

y

Q 40x9,5 a. A = 4,9 l'Amax 2x38,8

M_ 402 99=5 1 �,A 166 YAmax 12 38,8 0,97 = 33

Es preciso comprobar todos los estratos. Vamos a desarrollar

detalladamente el caso del banco intermedio situado entre las cuar

citas de S. NICOLAS y S. FRANCISCO (Fig. 7).

28

A

4,0 = 2,61 t/m3.

= 3,2x106 t/m2.

oC h

Z'-2 B Fig.17

h =2send.=1,94m.

NA = 560x2,61x1,94 = 2.835,5 ton.

NB = 600x2,61xl,94 = 3.038,04 ton.

Qm 4,9x2,61x1,94 = 24,81 ton.

Mmax33,66x2,61x1,94= 170,43 mt.

De la misma forma sería posible calcular los esfuerzos en to

das y cada una de las capas afectadas por la excavación de la zona

mineralizada de acuerdo con la tabla I.

29

ESFUERZOS CONSIDERANDO CADA LAJA POR SEPARADO

MATERIAL DENSIDAD AREA ESFUERZO AXIL (t) ESFUERZO CORTANTE MOMENTO FLEC(t/m3) m2 ________________ MAXIMO (t) TOR MAX.(mt)

N N Q MA B max. max

Pizarra intermedia 2,65 7,28 10.804 12.964 94,53 649,37

Cuarcita intermedia 2,61 17,95 26.236 28.110 229,56 1.576,95

Cuarcita S. FRANCISCO 2,61 3,88 5.671 6.076 49,62 340,87

Banco intermedio 2,61 1,94 2.836 3.038 24,81 170,'13

Cuarcita S. NICOLAS 2,61 6,79 9.924 10.633 86,84 596,52

TABLA 1

6.3.- CALCULO DE TENSIONES.

Como es sabido las tensiones se obtienen a partir de

_ N + 6Mmax A �2

T max = 2 h

En el caso del banco intermedio

3.088 + 6xl70 43 +Tmax 1,94

2= 1.565,9 - 271,7

1,94

Ir max= 11. 294,2 t/m2

1.837,6 t/m2

3 24 81Tmax = 2 1,94 = 19,18 t/m2.

De la misma formales posible calcular las tensiones en todas y

cada una de las capas afectadas por la excavación de la zona minera

lizada,de acuerdo con la tabla II.

31

TENSIONES CONSIDERANDO CADA LAJA POR SEPARADO

NBA

TMATERIAL A máx mm max mm

t/m2 t/m2 t/m2 t/m2 t/m2 t/m2 t/m2 t/m2

Pizarra intermedia 1.484 1.781 74 1.558 1.410 1.855 1.707 19,5

Cuarcita intermedia 1.462 1.566 29 1.491 1.433 1.595 1.537 19,2

Cuarcita de S. FRANCISCO 1.462 1.566 136 1.598 1.326 1.702 1.430 12,8

Banco intermedio 1.462 1.566 272 1.734 1.190 1.838 1.294 19

Cuarcita de 5. NICOLAS 1.462 1.566 78 1.540 1.384 1.644 1.488 19,2

TABLA II

6.4.- CALCULO DE DEFORMACIONES.

El cálculo de deformaciones es interesante, pues indica hasta que

punto unos estratos se apopyan en otros. La fecha máxima por flexión -

es, como es sabido,

plMmax 384EI

Debido al canto de ciertas lajas es interesante tener en cuenta

igualmente la deformación debida al esfuerzo cortante. Si, como hipó-

tesis, se toma la viga de Timoshenko, la flecha elemental en una reba

nada es (fig. 18).

d dxGA'

ds 2 - x GA pV2GA p

d

.dY

Fig.18

La flecha inducida en el centro del vano es

Q _ P 1 P 1 1 2) P12 x x 2max GA' (2 - x) dx = GA'

(2x2x - 2GA' 1 -(1)

Q p l2 1 _ 1 __ p 12max 2GA (2 4) 8GA'

donde Al es la sección efectiva a cortante

_ 10(1+ _ lOx1'2 12A'

12+11A

12+2'2A_

14,2A = 0,85 A

33

En nuestro caso

pl=AHtgo�

pl2= AH2 1tgd sen ot

4 AH4 YA 1p1 A cos d = AH4sena.

tgxsen3 o(

Y

12 AH4 J A 1 _ 12 AH4 YAmax- 384E h3 tgot sen3 384 tgd

sen3O Eh2

12x404x0 , 24 Ó"A = 2 ,2 x 104 1384 x 0,974 Eh2 Eh

_AH2 1 _ AH2 2(1+tr) é 1 _max8G tgasenot 0,85 8tg( sen E 0,85

402x1,2x0,24 . á ó2 E = 144,89

É4x0,97 x0,85

En el caso particular del banco intermedio

E = 3,2 x 106 t/m2

= 2,61

= 1,94

34

2,20x2 , 61max = 0 009 m320x1,94

5t _9,1mm

fQ Imax = 144,89 3 ,21 10 6 1 1 2.10

4y

Como vemos no tiene importancia la flecha de cortante y basta

comparar las de flexión.

35

FLECHAS MAXIMAS CONSIDERANDO CADA LAJA POR SEPARADO

MATERIAL (t/m3) E h(m) Eh max 22 '/Eh (mm)

Pizarra intermedia 2,65 2,6 7,28 18,93 3

Cuarcita intermedia 2,61 3,2 17,95 57,44 1

Cuarcita de S. FRANCISCO 2,61 3,2 3,88 12,42 4,6

Banco intermedio 2,61 3,2 1,94 6,21 9,3

Cuarcita de S. NICOLAS 2,61 3,2 6,79 21,73 2,6

Se observa así que la cuarcita de S. NICOLAS funciona sola mien-

tras que el banco intermedio apoya sobre la cuarcita de S. FRANCISCO.

Si ésta es extraída el banco intermedio flectará libremente. Vemos -

igualmente, como era de esperar que la cuarcita intermedia no tiene -

problemas de flexión,mientras que la pizarra intermedia flecta libre-

mente con una flecha moderada también.

La tensión máxima de compresión en la pizarra intermedia , es -

así de 186 kg/cm2 y la tangencial de 1,95 kg/ cm2, mientras que en el

banco intermedio , estos valores son 184 kg/cm2 y 1,9 kg/cm2, muy pare

cidos. Por su parte la cuarcita intermedia trabajaría con 160 kg/cm2

y 1,92 kg/cm2 respectivamente . Todos ellos son admisibles.

5.5.- PANDEO.

Como es sabido la carga de FULER de una columna biempotrada tie-

ne la forma

4 2pcrit = 4 ft 2EI

1

a la que corresponde una tensión

2<rcrit = E

Al2

En nuestro caso

4r 2sen2 Eh3 2x0 972 2 6 2

AH= H2 12 = �2 Eh = 1935x10-Eh

37

Banco intermedio

<rcrit = 1935 x 3,2 x 1,94 = 12.000 t/m2

Cuarcita intermedia

C"crit = 1935 x 3,2 x 17,95 = 111.146 t/m2

Pizarra intermedia

crit = 1935 x 2,6 x 27,28 = 36 . 625 t/m2

todas ellas muy superiores a las que se presentan.

38

7.- CONCENTRACION DE TENSIONES EN LAS INTERSECCIONES DE LAS GALERIAS.

ESTUDIO A MAYOR DETALLE.

La perforación de las galerías y la excavación de la zona minera

lizada conduce a una situación que se ha bosquejado en la fig.19 y - - �<

que corresponde

1 1

1 1l 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1 � -

� 1 1

Fig.19

a las dimensiones indicadas en la fig.20

4 '3 4 3

+3,2 ,} 11,8

Fig. 20

Como han demostrado PARISEAU y SORENSEN ( Intern. Journ. for Num.

and Analyt . Meth . en Geomech . vol 3, 145-157, 1979) el problema tridi

mensional de concentración de tensiones puede reducirse a otro bidi-

mensional si se utiliza una densidad ficticia.

w'(1+Lp

donde Wc es el ancho de la apertura y Lp la longitud del pilar resul-

tante.

Para la galería de transporte.

W = 4 mcLp = 5,5 m.

Para las galerías de recorte.

Wc = 3,5 m.

Lp = 11,8 m.

Puesto que, en nuestro caso, la única solicitación es la de peso

40

propio,la regla de PARISEAU-SORENSEN equivale a un coeficiente de ma-

yoración . Para la galería central de transporte.

KGC = 1 +5,5

= 1,734

y para ips recortes.

w 3,5KGS

= 1 +11,8

= 1,3

El análisis bidimensional puede enfocarse ahora como el cambio

de sección de una pieza con acuerdos circulares ( Fig.21).

1,64 .., ---9. ` D_1- 17d 5,5

2m

175 mQ- 17 _ .... ........: .

5,5d 11,8-1,44 ,�- 11,8 --

GALERIA CENTRAL GALERIA DE SERVICIOFig. 21

y utilizando las fórmulas presentadas por TIMOSHENKO ( Teoría de la

elasticidad . Ed. URMO pag . 169) y recogidas en la Fig.22 para valores

D/d=3 y D/ d= 1,5 que no están lejos de los que se presentan en nuestro

caso.

41

Para la galería centrald

= "575 = 0,32

Factor deconcentracion

3

RED d

Relacion R/d0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Fig. 2 2

mientras que para las galerías de recorte.

R 20,17

d - 11,8

lo que conduce según se desprende de la fig.22 a los valores

KGC = 1,65

KGS = 1,9

que combinados con los anteriores conducen finalmente a las mayoracio

42

nes

KGC = 1,65 x 1,73 = 2,85

KGS = 1,3 x 1,9 = 2,47

En conclusión, en la galería central cabe esperar una tensión má

xima de

2,85 x 1462 = 4166,7 t/m2 = 416,7 kg/cm2

(*) recuérdese que la galería está en el centro del estrato mientras

que en las galerías de recorte en la pizarra intermedia se podrian alcanzar los

2,47 x 1855 = 4581,9 t/m2 = 45 8,2 kg/cm2

y en el banco intermedio de cuarcita

2,47 x 1838 = 4539,9 t/m2 = 454 kg/cm2

43

E.- SEGURIDAD FRENTE A TENSIONES ULTIMAS.

Según V . RZHERVSKY y G. NOVIK ( The Physics of rocks. Ed MIR) la

resistencia última a compresión de los materiales que estamos estu-

dianto es

Cuarcitas ........ .u = 2.900 kg/cm2

Pizarra .......... .u = 670 kg/cm2

De esta forma los coeficientes de seguridad con los que se está

trabajando serían

COEFICIENTES DE SEGURIDAD

CUARCITA INTERMEDIA

-900

Valor medio 2146 = 19,86

Valor punta2900

= 6,97

Pizarra intermedia

Valor medio 185, 5 = 3,61

Valor punta670 = 1 ,46

458,2

Banco intermedio de cuarcita

Valor medio2900 = 15,78183,8

Valor punta 2900458,2 - 6,33

44

Podemos ver pues que la capa de pizarra intermedia es la que

se encuentra más comprometida en cuanto a tensiones . Conviene recor-

dar no obstante que en todos los cálculos se ha despreciado la -

influencia del relleno que se deja tras la excavación . En este senti

do debería considerarse la admisibilidad del coeficiente 1,46 para

situación transitoria.

Cabe señalar que los valores utilizados en el cálculo son del

orden de magnitud de los pocos análisis de que se dispone sobre las

rocas del macizo y que estos deberían realizarse en mayor número

para acotarlos con precisión.

45

9.- RESISTENCIA DE LOS TAPONES DE APOYO. CALCULO PRELIMINAR.

Según se indica en los datos que se

Fig. 23han manejado , se disponen unos tapones de apoyo de 6 m. con objeto de

resistir el empuje de los estratos.

La inclinación de estos últimos hace que sea crítica la situación

del correspondiente a la zona situada entre la pizarra intermedia y

la cuarcita de S. Pedro. Si se admite que las capas situadas más allá

de las cuarcitas de S. NICOLAS difunden su efecto1la reacción máxima

a transmitir será la suma de los cortantes contenidos en la tabla I

(puesto que se dispone otro tapón para las capas superiores)

R = 94,53+229,56+49,62+24,81+86,84=485,36 ton.

La tensión media de compresión en el tapón sería pues de

486,36 = 80,89 t/m2 = 8 kg/cm

46

que es perfectamente atmisible a compresión, pero que quizás pueda

significar un bajo constreñimiento para impedir el desprendimiento

del Macizo.

Observese también que esta compresión lateral aumentaría los coe

ficientes de concentración de tensiones, pero su valor es lo suficien

temente bajo para que se pueda despreciar.

Asímismo conviene recordar (Fig. 24) las tensiones de tracción

que se produzcan bajo

N

resion

rnTracciN'Fig. 2 4

una carga concentrada y cuyo valor total es aproximadamente (H.A. Ji-

menez Montaya. Ed. Gustavo Gil¡).

N' = 0,22 4 485,36 = 26,69 ton que producen una ten-

sión máxima

max (tracción)2: 2 26162 = 2,22t/m2 = 0,22 kg/cm2

perfectamente admisibles por la pizarra intermedia.

47

10.- ESTUDIO DEL MODELO POR ELEMENTOS FINITOS.

10.1.- INTRODUCCION.

No existe formulación matemática exacta que permita calcular

la distribución de tensiones en una geometría como la que nos ocu-

pa, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos y aún

así, conviene efectuar las simplificaciones que resulten admisi-

bles con objeto de facilitar el cálculo. En este caso se puede

suponer sin grandes errores que el medio rocoso en el que se ins-

criben los huecos es continuo y elástico pues son condiciones que

se consideran razonables para los materiales existentes. Igualmen-

te es admisible efectuar el cálculo en dos dimensiones , pues las

condiciones geométricas se mantienen en suficiente distancia a

ambos lados del perfil, para que los resultados no sean excesiva-

mente conservadores.

Se ha elegido un modelo de elementos finitos por ser el más

adecuado al tipo de cálculo que se pretende realizar y se ha utili

zado el programa SAP IV de la Universidad de Berkeley (California,

EE.UU=).

10.2.- DETALLE DEL PROYECTO.

El estudio trata de conocer las tensiones que se producen al

explotar los macizos designados con las letras F y G de la figura

1.

las galerías B, C, D y E de esta misma figura se supondrán

ya existentes , así como la galería A.

Los macizos F y G se explotan hacia arriba.

Se ha utilizado un modelo bidimensional de deformación plana

ya que se supone que las deformaciones en el sentido perpendicular

al modelo son nulas . El modelo empleado es lineal.

El elementos finitos utilizado es el elemento cuadrilateral

del SAP - IV que puede verse en la figura y que ha sido utilizado

con éxito en otros estudios relacionados con este tema.

En el modelo no se ha dejado ningún macizo sin explotar encima

de la galerías B y C.

En un primer modelo los cuarteles F y G de la figura 1 se han

considerado rellenos con cuarcita mineralizada y posteriormente

se han realizado tres modelos con distintos vacíos ascendentes

hasta llegar a las galerías D y E (que están recubiertas de hormi-

gón) así como combinaciones posibles entre los vacios de los cuar-

teles F y G (se hace constar que estos cuarteles podrían quedar

rellenos del material ya volado , pero este caso no se ha considera

do).

En los modelos se ha dejado un macizo sin explotar de 6 metros

debajo de las galerías D y E.

49

z�u

K

L

I

Y , v

Fig. 25

Galerías D 6 E

6 m.

Fig.26

1 t ; Í

Galerías B 6 C

I II III iV

Los modelos ascendentes aparecen en la figura que representalos cuarteles F o G. Al hacer combinaciones entre ellos surgen16 posibilidades distintas que son las pasadas de ordenador a rea-lizar.

Se ha hecho un mallado más fino alrededor de las galerías A,

B, C, D y E.

Encima de las galerías D y E se ha considerado una zona sinexplotar y que está sometida al apresión de un relleno superior.

En la sección a estudiar se ha supuesto la influencia de lasgalerías de recorte que cominacan B con A y C.

51

La prolongación por debajo del modelo se ha hecho suponiendo pro

longadas las capas que aparecen en la figura 1, 20 metros por encima

de las galerías D y E y 20 metros por debajo de las galerías B, A y

C. Además de A hacia la izquierda 40 metros y de A la derecha lo mis

mo, no teniendo que refinarse el modelo en estas zonas.

La forma de aplicación de las cargas sobre el modelo aparece en

la figura 27, habiéndose realizado las variaciones necesarias para

ajustar el modelo.

En la realización del modelo se ha tenido en cuenta la dísposi-

ción y buzamiento de las capas.

Los materiales se han supuesto is6tropos o anis6tropos y sin dis

continuidades (fallas, huecos que no serán galerías o los de explota

ción de los macizos, etc.).

En los resultados se han obtenido salidas gráficas, tanto prepro

ceso como postproceso, de todos los modelos y se pueden relacionar -

con el modelo las tensiones horizontales, verticales y de cortadura.

Los nodos inferiores han restringido adecuadamente en el sentido

vertical y horizontal para modelizar las condiciones de contorno.

Conociendo dimensiones y posición exacta de las galerías dentro

de las capas, el modelo general se recoge en el siguiente apartado -

Modelos.

En todas las subidas, el primer elemento empezando por abajo se

ha tomado de 1 metro de altura.

52

Fig . 27 FUERZAS SOBRE EL CONTORNO

Esta zona está descomprimida y tiene distinto módulo de elast icidad que el resto del material.

No se ha tenido en cuenta la influencia de las variacionesde temperatura en este estudio.

Una vez determinadas las 16 pasadas del modelo general (ver

apartado siguientes "Modelos") se ha realizado un modelo de deta-

lle de la galería A y que puede verse en el apartado siguiente.

En este modelo se pueden tener en cuenta el efecto del sostenimien

to que no se ha podido meter en el modelo general.

Para pasar del modelo genral al de detalle hay que tener encuenta que en el modelo general aparece detallada con un malladomás grosero la misma zona , en la que luego se va a realizar elmodelo de detalle con un mallado más fino.

Por lo tanto lo único que hay que hacer es dar al modelo de

detalle unos desplazamiento en el contorno idénticos a los que

tenía en esos puntos el modelo general. Como el mallado de detalle

es más fino habrá puntos de su contorno que no figuren en el mode-

lo general; en estos puntos habrá que interpolar desplazamientos.

Refiriéndonos otra vez al modelo de detalle hay que destacar

como modelo más importante el de la galería A que es el único que

se ha hecho, sirviendo un modelo único para todas las 16 pasadas

del modelo general. En estas pasadas se puede saber cual es la

más crítica para esa zona y entonces aplicar el modelo de detalle

de la galería en cuestión. En este modelo de detalle solo varía

(de una pasada a otra del modelo general) el conjunto de los des-

plazamientos en us contorno, por lo que surgen pasadas distintas,

aunque cada pasada de ordenador puede llevar distintos casos de

carga para simular el sostenimiento.

54

10.3.- DATOS.

1. Geometrís, posición de capas y dimensionado según plano ini-cial.

2. Geometría de galerías según plano adjunto.

3. Densidades: Mineral 2,85

Cuarcita 2,7 Tm/m3

Pizarra 2,7 Tm/m3

Relleno 1,95 Tm/m3

4. Módulos de elasticidad

Mineral : Vertical 4,72

Horizontal 2,90x 106 T/m2

1 metro de zona descomprimida 0,11

Cuarcita 3,2x 106 T/m2

Pizarra 2,6

5. Coeficientes Poisson: Mineral 0,25

Cuarcita 0,22

Pizarra 0,20

Relleno 0,4

Zona descomprimida 0,36

6. Profundidad de Galerías D y E = 560 m.

A,B y C = 600 m. Desde la superficie.

7. La densidad desde la superficie es 2,7 Tm/m3

8. Dejar 6 m. debajo de galerías D y E. Determinando las car-

gas laterales sobre el mineral.

55

9. Zona entre B, A y C14 dividir por dos el módulo de elastici-

dad para tener en cuenta la no presencia del 50% del material por

efecto de las galerías de recorte.

10. Para el modelo de detalle de la galería A se supondran mas

cargas uniformes del sostenimiento que varian entre 0-2 Kg/cm2.

56

10.4.- MODELOS.

En el presente apartado se da el modelo general empleado

con indicación de nodos, elementos y materiales, así como los

cinco modelos de galerías que forman parte de modelo general y

de los cuales se obtendrán las salidas gráficas correspondientes.

También se da el modelo de detalle empleado en la galería

A.

10

98f O$fi$L OILIIZ 9$ ¡U *si11Lib

692 ¿82 292 282 82 082 zz ¿

zI ¿6f tu \

*tL2 ¿ $12___________________

__________________________ çllib L ______

1-012Lb

¿92_____________________ z

31 Iii01$a

892 SU' -¿ w

822 922 22Z 122 022 •17 82 ¿$29 912a z

6 01¿01 ZGLLZLZQL £2 Of 1$ $95 ¿1 $2 ti)261 0

99$ *'61 611 06$ 691 881 ¿9$ 98$ SI 28$z

02 ¡ *91 295 U *2 23•04_____________________________90$ °h$ o.i w92622 ¿03 5 ¿$1 ZL ¿921

*91 gi 99$ ¿2 991 991 $ 1 9 2 6*1 Z2¿2 992 *23 902 0 $91 121 IL 3 ubOb ft$ pf I 08' b21 l - LES£04 • ¿9 999 ¿ LL9Z 1 III 991 021 5 ¿ 03'u221 £ 02$ 62$ 8? 3 921

¡04 ¿ IZ9 *21 03* W $9 U22$ 1!) £21 22$ 131 [i) 611

tlOt, $ Uf 3 02 ¿ 99$ £911 $ II 01 69 9 LI

004¿ £bf\O?d \o92 $91 02 9*1 ¡9$ £31 $ ¡ U

9$ 6 9 ¿ 2 2 $

662$ l ¡31 96 29 12 91

£12 *12$4'002 102

¿U $13

Z02IQ 66 ¿9Z 69Z

aez94.1•z •13 003

112 96Z 98Z £02_________________ _____

912033 V 6*1 Sl

012 L6Z £9Z 16Z____________ 96$______

633 7Z $13 le, ¡LI963 *9Z 383 183£83

SI2 LI ¿61 OS602263 *63 263 363 £12

933 313 $61 $ZI

802 .L02 902

113 G6I Idi

41 76 lOT 15$ 171

282 263 26 265 286 267 268

so e 77 90 106 157 149 57

242 243 24 245 46 247280 261 is 1 109 is se 258 269

, 265 231 232 33 34 248 °

SI IT!42 11092 6 39

254 241 235 249 257279 260 " B 120 40 270253 240 236 250

94 12152 Ci 41 15$

43 73

259 252 239 238 237 281 268

278 27155 II 62 iii 14! 152 110

216 213277 275 214 272

44 63 112 143 174

243 273 304 633 354 379

346 348 345 350 351347

253 274 207 305 334 355 365

364 329 330 331 332 334333

254 275 200 309 lO 35 343 352

356363 342 318 319 320 321 335

244 300258 274 30

e, si562 341 328 32 386 544245 256______ 290 33?

361 340 327 323 331248 257 270 291 318 36?

330381

325360 339 326 324 338 345 354

258 279 308 339 350 346

355 358 357 356 355

24? 290 309 340 359 302

32 63 96 123 II!

50 53 54 5651 52 5546 4 64 65 97 124 14553

31 32 33 34 35 36 576830 3715 SS 96 114 125

33 47 _____ 15$49 19 20 21 22 38

6$ 2$47' 48 29 23 39 4067

_____ 58lIS 27

D4628 41 '55

46 2416434 68 121

45 44 26 43 4227 25 59

66 , es oo *9 14S 15$

64 6165 63 62 60

35 70 101 130 165

234 260 293 320 343 370

$00 $02 $03 $04 $05246 261 202 294 321 344

361

83 84 85 86 88Ile loe87 97262 203 295 311 322

235 371362345

25096 72 737475 89263

04 31 32382 76

264 205 313 24 90 98 lOTIleE 346

94 81 7 9$363

265 286 314 37236 325

93 79 92 9980 78 108

114252 266 97 326 347 364

$13 112 III 110 $09

257 267 298 327 348 373

DE LA GALERIA DE

TRANSPORTE A

\\\\

MODELO DE DETALLE

- •1- - ______________

_____________________________ - GALERIA A - ______________________

10.4.3.- Cáculo de la densidad media.

Se halló como media ponderada de las densidades de cada material

en relación a su importancia CUANTITATIVA dentro de la formación. Es

decir llamando al al espesor de la capa i y di a la densidad del ma-

terial que forma la capa i, se hizo:

11

D = densidad media = i_11áldl

11

i=1

Con lo que resulta:

36.5 x 27.000 + 2 x 27.000 + 5 x 27.000 + 4,50 x 28.500 +D = -------------------------------------------------------

(36,5 + 2 + 5 + 4,5 + 7,5 + 21 + 4,5 + 2,5 + 7 + 2

+ 7,5 x 27.000 + 21 x 27.000 + 4,5 x 28.500 + 2,5 x 27.000 +-----------------------------------------------------------

+ 33,75)

+ 7 x 27.000 + 2 x 27.000 + 33,75 x 27.000 3422250----------------------------------------

126,25

27053,359 (NW/m3)

10.4.4.- Cáculo de las fuerzas sobre el contorno.

Con la densidad media, así hallada , se toma como presión sobre -

el lado superior:

P = presión = D. h, siendo h la profundidad de la --

frontera superior . Resultó:

65

P = D.h = 27053,359 x (560-21,6) _

= 14565,528 (NW/m2)

Para determinar la presión lateral se consideró que estas se--guian una distribución lineal. De esta forma se calculó el valor -en el extremo superior (P1) y luego en el extremo inferior (P2).

Se consideró

P1=P- --(14)

Con lo que:

Pz P1 = 14565528 . v--(14)

Como módulo de Poisson se tomó uno medio ponderado con lo que:

= 0,2148514 _ 0,215 (como módulo de las zonas mineralizadas se -tom6 el de la cuarcita mineralizada, es decir 0,25 y no el del re-lleno que sería 0,40).

0,215Con esto resultó P1 = 14565528 x --------- = 5989.284,7

(1-0,215)

La presión a la profundidad mayor de la zona estudiada será:

P' = h' . D = 630,4 . 27053,359 = 17054437

Con lo que haciendo el cálculo de P2 = P' .9 --

66

Resulta: P2 = k6.70.960,5

(Aunque estos cálculos se han realizado en NW y metros, todas

las unidades empleadas en las pasadas de ordenador han sido Kg y

metros).

10.4.5.- Condiciones de contorno.

En el modelo adjunto, aparece los nodos restringidos en senti-

do Z. (vertical) que son los siguientes : 15, 30, 45, 84, 113, 144,

175, 222, 248, 281, 320, 341, 360, 383, 398 y 413.

Igualmente éü s1-'moáero los nodos en los que no se permi

te el movimiento en el sentido Y (horizontal) que son: 175, 222 y

248.

67

1 4 31 62 96 122 161 185 201 233 269 282 319 342 369 384 399

1 3 Z045 6 7 8 9 10 11 2 I3 14 16

p 2 23 162 le6 20 234 \2O\345 3 365 400

17 69 70 TI 1 118

33 63 97 20 Y 371 6

119'ffi

121 122 123 Q 1254 I 34 164 e 20 236 37 7 402

126 2 128 129 130 3 13219 130 $65 188 20 2 2612 327 346 37 396. 4036

p T

6 YI 71 131' 186 206 230 266 37 404

149 5 151 154 155 56 157 158 161 162 1887 LL 3

7

72 32 I8T 1 26 4069 375190

724

38 73 133 168 WL 20 TO406

181 1

77181

188 187 188 189 190 1 19 194 196193

S 9 134 189 193 20 27 331 352 377 392 40715 25 T 36 19- 210 24 27

30

3 370 86 44005

2a 215 217 ?J8 219 722 222 X 25 226 228

II2 41 7 $0 36 71 211 Y4 27 379 94 409

229 366IL 27 42 3t 389 410

367 L 3 Q Q QC 370.13 3 411

371 3741 29 44 e 112 143 74 221 2471 200 369 38 397 412

375 377 3 380 381 382 383 387 389

nn

10.5.- INTERPRETACION DE LAS SALIDAS DEL PROGRAMA.

10.5.1.- Salida de programa Sap IV.

El primer listado con que nos encontramos recoge una informa-ción de control en la que figuran:

- Número de;nodos del modelo.

- Número de tipos de elementos usados en el modelo.

- Número de casos de carga que se consideran en el modelo.

- Número de frecuencias de la solución (en nuestro caso

es cero pues estamos en análisis estático).

- Código del tipo de análisis a realizar ( en nuestro caso

también es siempre cero pues siempre se realiza análisis

estático).

0 chequeo- Código del modo de solución

1 Ejecuci ón del programa

- Número total de vectores a utilizar en la solución SUBES

PACE ITERATION ( en nuestro caso es cero y de este modo

lo calcula automáticamente el ordenador).

- Número de ecuaciones por bloque ( se iguala a cero y lo

calcula automáticamente el programa).

- Variable N 10 SV

69

- Código de plottes. En nuestro caso siempre 3 para que

dibuje tanto preproceso como postproceso ( es decir es-

tructura sin deformar y estractura :deformada).

- Número de terremotos ( en nuestro caso 0).

Acabada esta información de control aparece el título: PLOT

IDETIFICATION CODE y a continuación el día y hora en que se grabó

la cinta de plotter que contiene los datos de dibujo.

Tras ella aparece, PARA CADA NODO, doce (12) columnas en las

que:

- La primera indica el número de nodo que se le asignó

en el modelo.

- La segunda indica si el nodo se puede desplazar (en caso de

aparecer un cero ) o no (en caso de aparecer un uno) en

la dirección tomada en el modelo como eje X.

- La tercera indica lo mismo pero según el eje Y.

- La cuarta indica lo mismo según el eje Z.

- La quinta indica si el nodo puede girar ( en caso de apa-

recer un cero ) o no (en caso de aparecer un uno ) tenien-

do como eje de giro la dirección que se tomó como -

eje X.

- La sexta indica lo mismo pero para el eje Y.

- La septima indica lo mismo para el eje Z.

70

- La octava nos da la coordenada X del nodo.

- La novena nos dice cual es su coordenada Y.

- La décima nos indica la coordenada Z del nodo.

- La onceava columna es un parámetro utilizado para gene-

rar automáticamente los nodos. En nuestro caso siempre

es cero y se prefiere dar los datos de cada nodo.

- La duodécima es la temperatura del nodo. Como en nuestro

caso siempre se considera la misma temperatura aparecerá

siempre el número 0.0.

Tras este listado en el que simplemente se nos informa de lo

que se ha metido como datos nodales aparece un nuevo listado de

los puntos nodales con las mismas columnas en las que se nos infor-

ma de los datos tomados por el programa (en nuestro caso este lista

do no sirve aunque es útil en los casos de coordenads muy próximas

para evitar posibles errores de redondeo).

Tras este segundo listado de puntos nodales nos aparece un

listado de los números de ecuaciones tomados por el programa con

información concerniente a la marcha del programa y que de nada

sirve en la interpretación de los resultados que aquí interesan.

Tras él aparece el listado de materiales y elementos. También

encabeza estos listados unas líneas en las que se recogen:

- Número de elementos que se consideran en el modelo.

- Número de materiales que se consideran en el modelo.

71

- Máximo número de temperaturas a las que se va a ver some

tido algún material.

- Código de análisis.

- Código para la inclusión de modeflexiún (en nuestro caso

no se incluyen).

Tras él se nos dan las características dadas a cada mate-

rial en el orden siguiente:

- Material número.

- Número de temperaturas que se consideran para cada mate-

rial.

- Peso específico.

- Masa específica.

- Angulo Beta formado entre un eje N y nuestro eje glo-

bal Y. (Para material anisótropo).

- Temperatura a la que se dan las propiedades del elemento.

- Módulo de elasticidad según la dirección N.

- Módulo de elasticidad según la dirección S.

- Módulo de elasticidad según la dirección T.

- Módulo de Poisson según NS.

72

- Módule de Pcisson según NT.

- Módulo de Poisson según ST.

- Módulo de torsion (G).

- Coeficiente de expansión térmica según N.

- Coeficiente de expansión térmica según S.

- Coeficiente de expansión térmica según T.

Al finalizar el listado de los materiales aparecen para cuatro

hipótesis de carga, A , B, C y D, cinco columnas en las que se reco-

gen los valores de la temperatura, la presión , la fracción de grave

dad según el eje X, la fracción de gravedad según el eje Y y la

fracción de gravedad según Z que se quiere asignar a cada hipótesis

de carga.

Y tras este listado aparece otro en el que se recogen para

cada elemento del modelo:

- En la primera columna el número de elemento.

- En la segunda columna el número del nodo I (un nodo de

los que compone el elemento, siendo los nodos J, K, L

los otros nodos que aparecen siguiendo el sentido contra

rio a las agujas de reloj).

- En la tercera el nodo J del elemento.

- En la cuarta columna el nodo K del elemento.

73

- En la quinta columna el nodo L del elemento.

- En la secta el material de que está compuesto el

elemento en cuestión.

- En la séptima columna a que temperatura se halla.

- En la octava la presilón superficial sobre la cara

I-J.

- En la novena columna la occión según queremos que nos

escriba las tensiones en ciertos puntos del elemlento.

En nuestro caso sólo se le pide el valor de la tensión

en el centro del elemento.

- En la décima el parámetro para generación automática

de elementos (que lo hacemos igual a la unidad y optamos

por introducir elemento a elemento).

- En la onceava el espesor considerado para el elemento

( en sentido normal al plano en que se trabaja).

Tras ello el programa nos informa del número total de ecuacio-

nes consideradas, del ancho de banda de las matrices que forman

en el transcurso del mismo del número de ecuaciones por bloque y

el número de bloques en los que agrupa estas ecuaciones. Esta infor

mación no afecta a efectos de resultados prácticos del programa.

Tras ella aparece un nuevo listado que nos dará los esfuerzos

aplicados en:

- Primera columna : n° de nodo en el que se introduce algún

esfuerzo.

74

- Segunda columna : caso de carga al que pertenece el es-

esfuerzo a introducir.

- Tercera columna : Fuerza introducida según el eje X.

- Cuarta columna : Fuerza introducida según el eje Y.

- Quinta columna : Fuerza introducida según el eje Z.

- Sexta columna : Momento introducido con eje de giro el

eje x.

- Séptima columna : Lo mismo pero para el eje Y.

- Octava columna: Lo mismo pero para el eje Z.

Tras este aparece la información sobre el modo de combinar

para cada caso de carga considerando las diferentes hipótesis de

carga A, B, C y D.

Hasta aquí la salida de resultado ha repetido todos los datos

que se le habían metido y que ya aparecen descritos en la acción

( Descripción de la entrada de datos) del programa.

El resto de listado es propiamente la salida de resultado empe

zando con la tabla de desplazamientos y rotaciones de los nodos:

( Nodo desplacements rotations).

- En la primera columna figura el n4 del nodo.

- En la segunda columna el caso de carga.

- En la 38 columna el desplazamiento en X.

En la 4 2 columna el desplazamiento en Y.

75

- En la Si columna el desplazamiento en Z.

- En la 6á columna el giro en X en radianes.

- En la 7º columna el giro en Y en radianes.

- En la Si columna el giro en Z en radianes.

En la siguiente tabla se dan las tensiones en cada uno de los

elementos del dominio de acuerdo con la nomenclatura descrita en

el apartado : - Descripción de la salida de resultados-. del SAP IV.

Respecto a la salida de plotter hay que destacar que se ha

multiplicado por 4 la escala de deformaciones sobre la que aparece

normalmente en el plotter de la deformada al tomar el programa los

valores por defecto , según se especifica en el apartado - Descrip

ción de la entrada de datos - en el cual aparecen citados todos los

variables que se necesitan.

A continuación se detalla la forma en que se componen las fuer

zas en el contorno , así como la lista de materiales empleados y

su variación de una pasada a otra.

También se da un modelo general indicando las condiciones de

contorno exactos que se han empleado.

10.5.2.- MATERIALES.

Los materiales empleados son 22 que sirven para diferenciar

las distintas capas que aparecen en elmodelo.

Mineral: corresponde a los materiales 6, 7 8 y 10 a 22.

Cuarcita: corresponde a los materiales 1, 3 y 4.

Pizarra : corresponde a los materiales 2 y 5.

Relleno: corresponde al material 9.

76

El banco intermedio S. Francisco - s. Nicolás así comola pizarras ,. muro y las lavas de techo se ha tomado con las mismascaracterísticas de la cuarcita.

A continuación se da una tabla indicando lo que representacada uno de los materiales empleados.

TABLA DE MATERIALES

1. Lavas de techo y cuarcita S. Pedro y cuarcitas intermedias.

2. Pizarra muro y pizarra intermedia.

3. Banco intermedio San Francisco y San Nicolás.

4. Galería de unión de B,A,C = 1.


6. Zona mineralizada y cuarcita S. Francisco.


8. Macizo de cuarcita que sostiene el relleno.

9. Relleno.

10. Depende de la pasada.

11. " "

12. "

13. "

14. " "

15. " "

16. " "

17. " "

18. n n

19. " "

20. " "

21. " "

22. " "

Se han realizado 16 pasadas del modelo general y que vienen

identificadas en la parte izquierda de la tabla siguiente ,lentro

de uno de los cuarteles se denomina vacio pequeño , medio y grande,

77

según se va avanzando en la explotación hacia arriba.

De una pasada a otra del modelo general solo varía la primera

ficha con el nombre de la pasada y las fichas del material.

Los materiales que varían aparecen a la derecha de la tabla y

lo que se hace es dividir por 106 los módulos de elasticidad E y

de cortante G y por 25 los módulos de Poisson, suponiendo además

una densidad prácticamente nula de 10 kg/m3.

En el modelo por tanto no se deben tener en cuenta las tensio

nes en estos elementos ya que serán totalmente ficticias, así co-

mo las deformaciones de los puntos sin material.

Sin embargo de esta forma se modeliza adecuadamente la falta

de ese material sin tener que recurrir a cambiar el modelo en ca-

da pasada.

TABLA

Vacío pequeño 7 y 14Vacío medio en F y blanco en G 7,14,13 y 12Vacío grandes 7,14,13,12,11 y 10

Vacío pequeño 7 y 14 22,19Vacio medio en F y pequeño en G 7,14,13 y 12 22,19Vacío grande 7,14,13,12,11 y 10 22,19

Vacio pequeño 7,14 22,19,18,17Vacío medio En F y medio en G 4 7,14,13 y 12 22,19,18,17Vacío grande J L7,14,13,12,11 y 10 22,19,18,17

Vacío pequeño 7,14 22,19,18,17,16,15Vacío medio En F y grande en G 7,14,13,12 22,19,18,17,16,15Vacío grande 7,14,13,12,11 y 10 22,19,18,17,16,15

Vacío pequeño en G 22,19Lleno en F y Vacío medio en G 22,19,18,17

IVacío grande en G 22,19,18,17,16,15

78

2 II 2 1 1 1 I93 1

2 1 88 1 1 1 88z

2 1 I'( 2 1 1 iE 3 $2az 2 1 66 1 1 1 66V 2 1 1 211 2 Ip

2 1 1 lO lO 2 1 1 1 $ $5 $5 3-IP1 1 1 liii 2: J Jib 3

2 1 $ 2 $2 2 $ 1 $ 1 IT 1 3rTiu,

1 1 ll 2 1 lIS 3

2 $ 1 4 4 2 $ 1 1 1 $9 $9 3 U 2a

2 $ $414 2 u 1 1 $919m1 2 i 5 4 $iTt ___

ni 2 $ 66 2 $ 1 166 $zo

2 $ 1 6\ 2 $ 1 1 3 $

F G

11.- ANALISIS DE RESULTADOS.

11.1.- ISOTENSIONES.

Dada la complejidad que significa el manejar los datos aporta-dos por el programa de ordenador desarrolladó, se procedió a la el aboración de unos mapas de isolíneas que sirvieran para visualizarlos resultados.

Se han dibujado los mapas de isotensiones para los dos casosprincipales, donde las tensiones desarrolladas son de mayor catego-ría:

- Vacio grande en F y lleno en G.

- Vacio grande en F y grande en G.

Cuyos resultados se muestran en las figuras adjuntas.

Estas representaciones permiten identificar los puntos donde

hay mayor concentración de esfuerzos, considerados como puntos crí-

ticos.

Hay que tener en cuenta que el análisis de estos gráficos hay

que hacerlo conjuntamente con el de valores reales de las tensiones,

para entender en términos absolutos lo que significan las concentra

ciones manifestadas.

80

11.2.- Criterio de rotura.

Una vez conocidas las tensiones a que está sometido cada ele-

mento considerado en el programa, se procedió a un análisis teóri-

co de las condiciones geomecánicas en que se encuentran.

Utilizando como partida el estudio de J. M. Ciruelos (1981)

se aplicó el mismo criterio de rotura, basado en la tabla sugerida

por Hoek denominada "Ecuaciones aproximadas de las relaciones entre

las tensiones principales y envolventes de Mohr para rocas intactas

y macizos rocosos con juntas".

Según este criterio, las relaciones entre las tensiones princi

pales son de la forma:

1n=V3n+ md_3n+S

donde m y S son constantes que dependen de las propiedades de la ro

ca y del desarrollo de fracturas anteriores a la aplicación de las

tensionesrl y�3.

01~3n son las tensiones normalizadas principales5-�i/a-c y'in y

'37;.

Para aplicar correctamente el criterio de Hoek sobre el análi-

sis de rotura de rocas, es preciso conocer lo mejor posible los

materiales rocosos y la calidad del macizo.

En el trabajo anteriormente citado se hizo un estudio de la

calidad del macizo utilizando los criterios de las clasificaciones

geotécnicas de Bieniawski y Barton, que como conclusión llegó a

la asignación siguiente:

97

- Cuarcitas Calidad media .

- Pizarras Calidad mala.

Según esta clasificación y entrando con ella en el cuadro deHoek, le correspondían los siguientes criterios de rotura:

a) Cuarcitas:

5'1'n =U3n + 0,30Cf3n + 0,0001

T*n = 0,280 (Ún + 0,0003) 0,688

b) Pizarras:

TIn =q 3n + 0,05?3n + 0,00001

IrTi = 0,129 (qñ + 0,0002)0,655

Al aplicar este criterio al modelo general estudiado en nues-

tro caso, se estimó, que era demasiado conservador asignando una

calidad a los macizos que, especialmente en el caso de las cuarci-

tas, resulta demasiado baja según nuestro criterio.

En este estudio se asigna una calidad superior a todo el maci-

zo considerandolo de buena calidad, correspondiendole en la Tabla

de Hoek los siguientes criterios de rotura:

I) Cuarcitas:

O-in = V 3n + 115Cr3n + 0,004

^Cn = 0,501 (Gn + 0,003) 0,683

II) Pizarras:

Tin = V 3n + 1,0 3n + 0,004

n = 0,427 Cñ + 0,004)0'683

98

Expresión en las salidas gráficas.

Se ha aplicado el criterio de rotura a los 16 casos del modelogeneral y a los modelos de detalle de la galeria principal con las9 hipótesis de sostenimiento con las siguientes condiciones:

- Se expresan en color rojo todos aquellos elementos que estánsometidos a unos esfuerzos que superan el criterio de rotura.

- Siempre que aparecen esfuerzos de tracción en un elemento -también se ha dibujado en color rojo.

El resultado de esta aplicación en cada caso se puede ver en -

los planos de la documentación complementaria.

99

APPROXIMATE EQUATIONS FOR PRINCIPAL STRESS RELATIONSHIPS AIID M011R ENVELOPES. FOR INTACT ROCK ANO JOINTEO ROCK MASSES

(ARBONATE ROCKS VIT11 ARINACEOUS ROCKS W1TN S1,RONG FINE GRAINIO POLYMINERALLIC COARSE GRAINED POLYMINERALLICWELL DEVILOPIO CRYS ( AL LITNIFIED ARGILLACEOUS ROCKS CRYSIALS Af10 P00RLY OCVELOPEO IGNEOUS. (RYSIALLINE ROCKS IGNEOUS ANO METAMORPHICLLEAVAGE CRYSEAL CLEAVAGE CRYSTALLINE ROCKS

.o,i ..n.. ailrsd.ne , slwle a,LJeJite. dolerits,d i.",íte, lí.nss Wn.r aoj :or. l ulule (n,,n t to sarrGitorre un.: y:ru• taite and rhyoti ts Jryrhib0: ite, jabbra, ynsias,in3r óla clsmragdl ;/rnrits, nurite ana gr,art:-

.lI.rri

INTACT ROCK SAnPLES

La6.3rttory si:. ,,-,!k spacinena aln- ,,. flu ,,+1.0 s).-os.,+T&. ,;, 1.0 0l.•o,,,...1501,!1 . 0 01.-01.• 11770 7.• 1 . 0 oln-03n • . 250),. 1.5frme,fro. stt•e.at,a,t de¡'eate

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11.3.- Resumen del anális i s de esfuerzos en los modelos generales.

Calculados por el programa SAP III los esfuerzos en cada ele-mento y aplicando el programa que relacciona los elementos segúnel criterio de rotura se efectuó el análisis de los 16 casos devaciado de las bandas F y G, mostrando el resultado de cada casoen los planos adjuntos.

Como resumen de los planos más detallados, en los gráficos,

adjuntos se han señalado los esfuerzos mas importantes en aquellas

zonas donde aparecen elementos que nó superan el criterio de rotura

Esto puede dar una idea del orden de magnitud de las tensiones

principales que pueden presentarse en el macizo, y sobre todo en

las proximidades de las galerías y tajos.

- En los gráficos adjuntos se expresan dos valores dentro de

cada paréntesis (16) que representan los esfuerzos máximo

y mínimo en Kg/cm2 , sin aproximar las unidades.

- Cuando hay varios elementos en una zona que nó superan el

criterio de rotura (en rojo en los planos detallados) se

ha tomado el valor mas extremo.

- Cuando aparece un signo - quiere decir que se trata de un

esfuerzo de tracción.

- En el centro de modelo se han puesto algunos datos para dar

una idea del orden de magnitud de las tensiones en esa zona

aunque en todos los casos superan el criterio de rotura.

- Los valores 0 significan que los esfuerzos son inferiores a -

10 Kg/cm2.

ESQUEMA DE LOS ESFUERZOS DE MAYOR INCIDENCIA

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Medio en F y pequeño en G

117

11.4.- EL MODELO DE DETALLE DE LA GALERIA DE TRANSPORTE A.

Una vez estudiada las condiciones generales del macizo con

los 16 casos de explotación1como se ha dicho anteriormente se proce

dió a un estudio mas detallado de la galeria de transporte.

El modelo por elementos finitos es el que figura en el aparta-

do Modelos ( 10.4.), compuestos por una malla mas densa que en el

caso general.

Las condiciones de contorno aplicadas a este modelo son las

deducidas del modelo general en el caso "VACIO GRANDE EN F y GRANDE

EN G", por ser las condiciones mas extremas y la situación general

que nos puede interesar.

También en este modelo de detalle se pretendia introducir el

efecto de la entibación sobre la distribución de efectos. Para simu

lar este efecto se han tanteado 9 casos de antibación , aplicando

tensiones radiales en los nodos , suponiendo una entibación que

transmitiera al terreno una presión uniforme entre 0 - 2 Kg/cm2,

son intervalos de 0,25 Kg.

A este modelo de detalle de la galería A se le ha aplicado

el mismo criterio de rotura que para el modelo general , pero consi-

derando que toda ella está situada dentro del paquete de cuarcitas

intermedias.

En los planos correspondientes se puede ver el resultado del

análisis según el criterio de rotura según el caso:

Caso de Entibación n° 1 ---- Sostenimiento 0 Kg/cm2.

Caso de Entibación n° 2 ---- Sostenimiento = 0,25 Kg/cm2.

Caso de Entibación n° 3 ---- Sostenimiento = 0,50 Kg/cm2.

118

Caso de Entibación n2 4 ---- Sostenimiento = 0,75 Kg/cm2

Caso de Entibación n° 5 ---- Sostenimiento = 1 Kg/cm2.



Caso de Entibación n9 8 ---- Sostenimiento = 1,75 Kg/cm2.

Caso de Entibación n9 9 ---- Sostenimiento = 2 Kg/cm2.

119

12.- CONCLUSIONES DEL ESTUDIO.

Como se señalaba al inicio de la memoria, el mayor gradode incertidumbre radica en el comportamiento geomecánico realdel macizo , ante las solicitaciones que estará sometido alrealizar las labores subterráneas proyectadas.

Para poder evaluar ese comportamiento con mayor seguridad

serian necesarios un buen número de ensayos sobre las rocas

implicadas ( compresiones , triaxiales, cortes, etc) junto con

una ajustada clasificación geomecánica del macizo , y todo ello

contando con la definición de los efectos registrados en galerías

y tajos antiguos.

Para el nivel de aproximación a la realidad que se ha supuesto

en este trabajo , consideramos que los modelos e hipótesis utiliza-

dos son adecuados , consiguiendo resultados coherentes . Como cual-

quier modelo aproximativo teórico pueda perfeccionarse en muchos

de sus puntos , pero el esfuerzo sería desmedido si no se equipara

con una mayor definición de los fenómenos que entrarán en juego.

Con todo ello , creemos que los resultados obtenidos pueden

estar muy cerca de la realidad, considerandolos en sus ordenes de

magnitud , en cuanto a los esfuerzos que se generarán en torno a

las labores mineras, por el efecto de ellas en relación con la natu

raleza y disposición del yacimiento en que se localizan.

La validez de los resultados obtenidos parecen confirmarse

al comparar los valores medios calculados por los métodos clásicos

en el cálculo de túneles y los resultados del estudio por elemen -

tos finitos. Lógicamente el programa de ordenador por elementos

finitos puntualiza con mayor detalle las condiciones que se generan

en cada zona del modelo., combinando las tensiones que se producen

con la naturaleza y disposición modelizada de los materiales.

121

Estudiando los valores suministrados por los modelos y conside

las diferencias de competencia de cada material parece confirmarse

que los puntos mas comprometidos de la explotación serán:

a) Galería de Transporte.

b) Pilares entre los recortes de A a B.

c) Galería de base B.

d) Macizos de protección bajo las galerías de cabeza.

e) Galerías de Cabeza.

Al analizar las distintas secuencias de explotación modeliza-

.das se puede apreciar muchas cuestiones interesantes a este respec-

to, algunas de ellas pueden ser:

- Las tensiones máximas en los hastiales de la galería de trans-

porte, siempre de Compresión, oscilan entre los 500-700 Kg/cm2

según las fases de explotación , sin que en cuanto a esto sea

mas claramente favorable la explotación anticipada de una masa

mineralizada u otra (F o G).

- Aparecen esfuerzos de tracción en la clave de la galería de

transporte en cuanto se inicia la explotacilón de las Cuarci-

tas de S. Francisco ( G), independientemente de la situación

en la banda mineralizada de las Cuarcitas de S. Pedro (F).

Estos esfuerzos de todas maneras no llegan a ser importantes

y su incidencia dependerá fundamentalmente de los juegos de

litoclasas.

- Los pilares entre los recortes que conducen de la galería

de transporte (A) a la mineralización en las cuarcitas de San

Pedro ( B) pueden llegar a estar sometidas a unos esfuerzos

compresivos medios de mas de 500 Kg/cm 2 acentuandose estos

si se explota por delante la masa mineralizada de las cuarci-

tas de S. Pedro (F).

122

Especial atención merece la zona inferior derecha de la gale-

ría de base B, donde se manifiestan unas concentraciones de

tensiones de compresión que llegan a extremos de 1.700 Kg/cm2.

Esto puede indicar, sobre todo porque es en pizarras, que en

ese punto se puedan producir roturas importantes afectando

a los pilares y recortes.

En este punto si se aprecia una importante influencia de la

secuencia de explotación . Las tensiones en este punto disminu-

yen sensiblemente si se adelanta la explotación de la mineral¡

zación en las c. S. Francisco ( G) a las de S. Pedro (F).

De cualquier manera en la situación final ( al terminar la ex-

plotación en F y G ) parece ser que en este punto se concentra-

rán esfuerzos compresivos de hasta 900 Kg/cm2.

En las paredes de las galerías de cabeza ( D y E) se presentan

compresiones de hasta 600 Kg/cm 2, en los elementos mas exter-

nos del modelo , pero que parecen ir disminuyendo a medida que

se desarrollan las labores.

En cuanto a los macizos de protección inferiores a las gale-

rías de cabeza , no parecen que sufran concentraciones de es-

fuerzos comprometedores , pero merecen ciertas observaciones:

Por lo cálculos realizados en la primera parte del estudio

efectivamente se confirma que no estarán en situación comprome

tida por esfuerzos compresivos, pero que, por el contrario,

lo que estarán es muy poco constreñidos (8 Kg/cm2).

El programa de elementos finitos aparece manifestar que las

presiones laterales sobre estos macizos son sensiblemente mayo

res, estimandose como suficientes para aguantar el desprendi-

miento grabitacional de estas masas.

123

La observación de labores anteriores podría aclarar esta situa

ción. De cualquier forma este punto conviene que sea vigilado

durante el desarrollo de la explotación.

En las paredes de caja de las masas mineralizadas según avanza

la explotación se manifiestan algunos esfuerzos de tracción,

que parecen ser muy pequeños en general . Estos significa que

posiblemente pueden producirse pequeños desprendimientos de

lajas aislados, sobre todo en los niveles de pizarras interme-

dias y si hay diaclasas muy desfavorables que faciliten el

despegue.

- En cuanto a la incidencia de la entibación de la galería de

transporte ( modelo de detalle) podemos afirmar que no influye

para nada en la distribución de esfuerzos general , limitandose

a los efectos que se producen en la masa descomprimida que

rodea a dicha galería. Habrá que estudiar si el sostenimiento

admitido resulta apropiado para aguantar los empujes que se

producen.

Considerando las distintas condiciones que se producen al plan

tera las las alternativas de explotación de las masas mineralizadas

(F y G), todo parece indicar que la secuencia de explotación

mas adecuada debe plantearse llevando la explotación de la

masa mineralizada de las cuarcitas de San Francisco (G) por

delante de la de las cuarcitas de San Pedro (F). Incluso, pare

ce que lo mas conveniente sería explotar en cada cuartel toda

la banda G antes de comenzar con F.

ANEJO

EL PROGRAMA SAP IV

EL PROGRAMA SAP IV

1. IMPLEMENTACION DE UN PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS SOBRE OR

DENADOR.

1.1. Introducción

El desarrollo de un programa de ordenador eficaz para análi-

sis estructural exige el conocimiento de tres disciplinas cientí-

ficas: la mecánica estructural, el análisis numérico y la informá

tica. La creación de elementos estructurales precisos y eficien-

tes requiere un conocimiento moderno de la mecánica estructural.

La efectividad de un programa depende esencialmente de dos -

factores:

1. Utilización de los elementos finitos adecuados al ca

so en consideración.

2. Métodos de programación adecuados.

A todo ello, debe unirse necesariamente el uso de técnicas -

de cálculo numérico adecuadas, que reduzcan el volumen total de

operaciones; como ejemplo podemos decir que si se escoge un algo-

ritmo inadecuado para el cálculo de las frecuencias de vibración

de un sistema , en un análisis dinámico , el costo puede incremen-

tarse en varias veces y lo que aún sería peor, la solución sería

errónea en el caso de utilización de un algoritmo inestable. Todo

ello nos lleva a concluir que la fiabilidad de un resultado,depen

de en gran medida del grado de aproximación de las técnicas numé-

ricas puestas en curso.

A - 1

Uno de los aspectos más importantes de un programa de ordena-

dor de amplios propósitos es, sin embargo, la facilidad con que és

te pueda ser modificado, ampliado y puesto al día. En caso contra-

rio, bien pudiese ser que el programa quede en desuso a los pocos

años de su terminación, debido a que se desarrollan nuevos elemen-

tos estructurales, se dispone de mejores métodos numéricos de cál-

culo o se dispone de nuevos ordenadores que requieren nuevas técní

cas de codificación.

Un programa de elementos finitos debe tener la capacidad de

analizar sistemas tridimensionales muy extensos sin perder, no obs

tante, eficiencia en la solución de problemas más pequeños.

Los sistemas estructurales a analizar pueden estar formados -

por combinación de un número de diferentes elementos estructurales.

Utilizaremos como base para exponer algunos de los pasos fun-

damentales en el desarrollo de un programa de ordenador el SAP IV.

Actualmente el programa SAP IV contiene los siguientes tipos

de elementos:

a) Barras.

b) Vigas.

c) Esfuerzo y deformación planos.

d) Sólido axisimétrico bídimensional.

e) Sólido tridimensional.

f) Placa gruesa con número variable de nodos y sólidos -

tridímensionales.

g) Placas delgadas y cáscaras.

h) Elemento de contorno

A - 2

i) Tubería ( recta y codo).

Estos elementos estructurales pueden utilizarse en un aálísis

estadístico o dinámico . La capacidad del programa depende princi-

palmente del número total de nodos en el sistema , del número de au

tovalores requeridos en el análisis dinámico y del ordenador utili

zado. Prácticamente no hay limitación en el número de elementos -

usados , número de casos de carga o tamaño de la matriz de rigidez.

Cada nodo en el sistema, tiene de cero a seis grados de libertad. -

Los elementos de las matrices de rigidez y de masa se agrupan de -

forma condensada , por lo tanto , el programa es eficaz en el análi-

sis de sistemas unidimensíonales o tridimensionales.

La formación de las matrices estructurales se lleva a cabo -

de igual manera en un análisis estático que en uno dinámico. El

análisis estático se continua con la solución de las ecuaciones -

de equilibrio seguido del cálculo de las cargas mecánicas. En un

análisis dinámico existen las siguientes posibilidades:

1. Cálculo de frecuencias exclusivamente.

2. Cálculo de frecuencias seguido del análisis de res-

puestas , en función del tiempo.

3. Cálculo de frecuencias seguido del análisis del es-

pectro de respuestas.

4. Respuestas en función del tiempo, mediante integra-

ción directa.

Para obtener las frecuencias y características de vibración

se utilizan rutinas que calculan los autovalores directamente sin

transformar a una forma reducida las matrices estructurales de ri

gidez y de masa.

A - 3

En la integración directa se utiliza un esquema de integra-

ción estable incondicionalmente el cual trabaja, también , con las

matrices estructurales de rigidez y de masa originales.

De esta manera la operación del programa y los datos de en-

trada necesarios para el análisis dinámico , son simplemente una -

continuaci6n de los pasos que se requieren para el análisis está-

tico.

El propósito de este capítulo, es exponer brevemente la orga-

nización general del programa , los elementos estructurales dispo-

nibles, y las técnicas numéricas utilizadas.

Se describen las diferentes opciones disponibles para los -

análisis estáticos y dinámicos y se proporcionan los tiempos típi

cos de ejecución . En la presentación se hace hincapié en los as-

pectos prácticos del programa. Para mayor información sobre el de

sarrollo de los elementos estructurales y técnicas numéricas uti-

lizadas,se proporcionan al lector las referencias adecuadas.

2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN SISTEMAS ESTRUCTURALES COMPLE-

JOS.

2.1. Del elemento a las matrices estructurales

Las ecuaciones de equilibrio de un punto nodal perteneciente

a un sistema lineal formado por elementos estructurales, se pueden

derivar mediante varios métodos ( 1), (2), (8), (14), (22), (31) .

Todos ellos proporcionan un conjunto de ecuaciones lineales de la

forma siguiente:

A - 4

Mü+Cii+Ku=R (1)

en donde M es la matriz de masa, C es la matriz de amortiguación y

K es la matriz de rigidez del elemento. Los vectores u, ii, ü y R -

representan los desplazamientos nodales, velocidades, aceleracio-

nes y cargas generalizadas respectivamente. Las matrices estructu-

rales se forman mediante la adición directa de las matrices parcia

les, por ejemplo:

K Km (2)

en que Km es la matriz de rigidez del mésimo elemento. Aunque Km

es inicialmente del mismo orden que K, sólo aquellos términos en

Km que pertenecen a los elementos correspondientes a los grados de

libertad son distintos de cero. Por lo tanto, la suma de las matri

ces parciales se puede realizar utilizando dichas matrices de for-

ma compacta junto a otros de identificación que relacionan el ele-

mento con los grados de libertad de la estructura. En el apartado

3.3. se describe el algoritmo utilizado por el programa SAP IV.

En el programa se agrupan la matriz de rigidez y una matriz -

diagonal de masa . De esta forma, se supone un análisis de masa -

agrupado , en donde la masa total es la suma de las matrices de ma-

sa individuales junto a masas adicionales asociadas con determina-

dos grados de libertad. La amortiguación se supone que es propor-

cional y se especifica mediante un factor modal de amortiguación .

Las suposiciones hechas en el análisis de masas concentradas y el

empleo de una amortiguación proporcional han sido discutidas en mu

chas oportunidades (9) (11) (17) (33).

A - 5

2.2. Condiciones de Contorno

Sí una componente del desplazamiento es cero ,la ecuación co-

rrespondiente no está contenida en las ecuaciones estructurales -

de equilibrio, Ec. (1), y no se consideran las matrices de rigi-

dez ni los términos de masas correspondientes. Si se desea especi

ficar un desplazamiento distinto de cero, con grado de libertad y

es decir U. = x, la ecuación

k = Kxui

se suma a la Ec. (1), en donde K» Kií. Por lo tanto la solución

de la Ec. (1) debe dar ui = x. Físicamente se puede interpretar -

esto ,como la adición de un muelle de gran rigidez K a los grados

de libertad í, así como la aplicación de una carga que, debido a

la relativa flexibilidad estructural según este grado de libertad

produce el desplazamiento x requerido.

3. ORGANIZACION DEL PROGRAMA PARA EL CALCULO DE LAS MATRICES -

ESTRUCTURALES DE RIGIDEZ Y DE MASA.

El cálculo de las matrices estructurales de rigidez y de ma-

sa se hace en tres fases distintas:

1. Los datos de entrada del punto nodal son leidos y ge

nerados por el programa . En esta fase se numeran las

ecuaciones que corresponden a los grados de libertad

activos en cada punto nodal.

2. Las matrices de rigidez y de masa son calculadas con

sus matrices de conexión, siendo almacenadas secuen-

A - 6

cialmente en una cinta magnética ( o de otro tipo de

baja velocidad) .

3. Se forman las matrices estructurales de rigidez y -

de masa mediante la suma de las matrices parciales

que son almacenadas en forma de bloque en una cinta

magnética.

Se debe de hacer notar que estos pasos básicos son indepen-

dientes del elemento estructural empleado y son los mismos, tan-

to para un análisis estático como para uno dinámico.

3.1. Datos de entrada del punto nodal y grados de libertad .

La capacidad del programa está determinada por el número de

puntos nodales del sistema. Para cada punto nodal se requieren,-

seis condiciones de contorno ( almacenados en la matriz ID), tres

coordenadas ( almacenadas en la matriz X,Y,Z) y las temperaturas

de los puntos nodales ( contenidas en la matriz T). Todos los da-

tos de los puntos nodales se retienen en registros de alta velo-

cidad durante la formación de las matrices de rigidez y de masa.

Ya que el registro de alta velocidad que se requiere para las -

subrutinas es relativamente pequeño , la capacidad mínima de re-

gistro que se necesita para un problema dado , es un poco mayor -

que diez veces el número de puntos nodales en el sistema.

Es necesario hacer notar que el usuario sólo debe permitir

aquellos grados de libertad que son compatibles con los elemen-

tos conectados a un punto nodal. El programa maneja siempre seis

posibles grados de libertad en cada punto nodal y todos los gra-

dos de libertad inactivos deben de ser suprimidos para, de esta

A - 7

forma, disminuir el orden de las matrices estructurales. Concreta-

mente, un "1" en la matriz ID señala que no se asociará ninguna -

ecuaci6n con ese grado de libertad; en cambio, un "0" señala que -

este es un grado de libertad activo. La Figura 1 muestra la matriz

ID para la estructura simple de barras tal como fue leida y/o gene

rada por el programa. Una vez que se han obtenido las matrices ID,

así como las X, Y, Z, se asocian a todos los grados de libertad ac

tívos los números de las ecuaciones correspondientes, decir, los

"ceros" en la matriz ID son reemplazados por los números de las -

ecuaciones correspondientes y cada "uno" es reemplazado por un ce-

ro tal como se muestra en la Figura 2 para el ejemplo de barras -

simple.

3.2. Cálculo de las matrices de rigidez y de masa de los elemen

tos.

Habiendo establecido las coordenadas de todos los puntos noda

les y los números de las ecuaciones correspondientes a los grados

de libertad,se calculan las matrices de rigidez de masa y tensión-

desplazamiento de cada uno de los elementos estructurales en el -

sistema. Como se señaló anteriormente no se necesita una gran cap!

cidad adicional de registro de alta velocidad para esta fase, ya -

que estas matrices se forman y colocan en una cinta magnética de

registro al mismo tiempo que se leen las propiedades de los elemen

tos. Junto con las matrices pertenecientes al elemento se registra

en cinta magnética la correspondiente matriz de conexión del ele-

mento: el vector LM. El vector LM se establece a partir de la ma-

triz ID y de los puntos nodales de la estructura en cuestión perte

necientes al elemento. En la Fig. 3 se muestra la matriz de cone-

xión de un elemento típico.

A - 8

xA,

y y EN LA FIGURA 3

2 4 6í

3 7

DISTRIBUCION DE NODOS PARA "BARRA"

1 2 3 4 5 6 .ti-AGRADOS. DE.LIBERTAD

1 1 1 1 1 I t

2 1 1 1 1 1 1

3 1 0 0 1 1 1

10 = 4 1 0 0 1 1 1

5 1 0 0 1 1 1

6 t, 0 0 1 1 1

7 1 0 0 1 1

NUMERO DELNODO

FIGURA 1: DISTRIBUCION DE NODOS PARA EL CASO"BARRA" Y MATRIZ ID TAL COMO ESLEIDA Y/O GENERADA

A - 9

o 0 0 O 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1 2 0 0 0

ID 0 3 4 0 0 0

0 5 6 0 0. 0

0 7 8 0 0 0

0 9 IO 0 0 0

FIGURA 2: MATRIZ ID PARA EL CASO BARRA DESPUES DELA ASIGNACION DE NUME ROS A LAS ECUACIONESCORRESPONDIENTES A LOS GRADOS ACTIVOS DELIBERTAD

04 PUNTOS NODALES

-4

LM0

FIGURA 3: ' VECTOR L14 PARA' EL CASO "BARRA' DEL EJEMPLO

A - 10. . . . . . . . . . . .

Las matrices de un elemento se calculan por grupos, es de-

cir, primero se agrupan todos los elementos de un tipo y después

se llama a la subrutina correspondiente una sola vez para cada -

grupo. Después de que se han calculado todas las matrices de un

elemento no son ya necesarias las matrices ID y X, Y, Z y la co-

rrespondíente zona de registro se utiliza para la formación de

las matrices estructurales, y más tarde, para la resolución de

las ecuaciones de equilibrio.

2.3.3. Formación de las matrices de rigidez y masa de la estruc-

tura.

Veamos el siguiente ejemplo:

60 cm 60 cmi 6 t l2

3 6 _ 5 9 1

' �z 4 Nfullero de elemento40 cm - E . 2 x 106 kp/cm=

E 106 kp/cm� 4 v • 0.20 4 10\ 2v�0.15 5

I3

8 9

40 cm y E - 106 kp/cm? 2 E - 2 x 105 kp/cm2

lv�0.15 r-0.20 i84 -� 1 7 7

\v Jt

. z /

X

Dado Grado de libertad

Fig. 4: Formación de la matriz de rigidez de la estructura.

Se trata de un conjunto de barras que forman una estructura

plana, para la que queremos definir la matriz ID.

Los grados activos de libertad están definidos ID(I,J) 0

A - 11

y los no activos ID(I,J) = 1. Por ser un problema (tal como se

plantea) plano sólo existirán grados de libertad según los ejes X

e Y. Obtendríamos, al observar la figura, la siguiente matriz ID.

1 2 3 4 5 6 Grados de libertad.

1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1

3 1 1 1 1 1 1

4 0 0 1 1 1 1ID = 5 0 0 1 1 1 1

6 0 0 1 1 1 1

7 0 0 1 1 1 1

8 0 0 1 1 1 1

9 0 0 1 1 1 1

L

Número de modo

Una vez identificados con ceros los grados activos de liber-

tad se procede a asignar a cada cero un número . El procedimiento -

para ello consiste en recorrer fila a fila e ir reemplazando cada

cero por un número correlativo al cero anterior y cualquier uno -

por un cero.

De esta forma tendremos el número total de ecuaciones a resol

ver y el número de ecuación que corresponde a cada grado de liber-

tad. En nuestro caso sería:

A - 12

o o o o o o0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 2 0 0 0 0

3 4 0 0 0 0ID = 5 6 0 0 0 0

7 8 0 0 0 0

9 10 0 0 0 0

L11 12 0 0 0 0

Consideremos el elemento 1 de nuestro ejemplo. Para él los no

dos que le corresponden en el conjunto son los 5, 2, 1 y 4 corres-

pondientes,a los 1, 2, 3 y 4 del elemento. Por medio de la matriz

ID los números correspondientes a los nodos , 5, 2, 1 y 4 del con-

junto son conocidos , con lo que la relación entre los números de

la matriz local y global es la siguiente:

Matriz local 1 2 3 4 5 6 7 8

Kl 3 4 0 0 0 0 1 2

Por tanto el vector LM que nos da los grados de libertad en -

el ensamblado es:

LMT [3 4 0 0 0 0 1 2

teniendo presente que un cero significa que la correspondiente fi-

la y columna de la matriz local es ignorada y no entra a formar -

parte de la matriz global.

A - 13

Para el resto de los elementos obtendríamos:

Elemento:

2 -- .LMT = £5 6 0 0 0 0 3 4]

3 --sLMT = [9 10 3 4 1 2 7 8)

4 __..LMT = [11 12 5 6 3 4 9 10)

Como se ve la matriz LM, para cada elemento , queda determina

da por los puntos nodales a los que el elemento está conectado y

por los números asignados, en ID, a esos puntos nodales . Una vez

definida LM, la matriz del elemento puede añadirse a la global K,

siempre que se tenga en cuenta el esquema específico de almacena-

miento usado con K.

Un esquema muy efectivo de almacenamiento , es aquel que permi

te almacenar todos los elementos de K, por debajo de la línea de

techo (Skylíne) en una matriz fila A. Tendríamos que definir, en

este caso, un procedimiento para situar los elementos de K en A;

por tanto ,antes de proceder a ensamblar las matrices de los ele-

mentos, es preciso establecer el procedimiento de dirección K en

A.

Sea K la matriz de la Figura 5.

En la Figura 3 se representa una típica matriz de rígidez.Va

mos a establecer el esquema de almacenamiento así como el procedí

miento de dirección que usaremos. Primeramente advertimos que por

la simetría de K basta trabajar con la parte superior de K ade-

más de la diagonal , lo mismo observamos que los elementos (i,j) -

de K son cero para j > i + 1. Este valor mk se conoce como semies

A - 14

.... ......... ..

1f K Ti-12 0 K14 0 0 0 0

2 2 K23 0 0 0 0 0

K33 K34 0 K36 0 0 m6 = 3

K =K44 K45 K46 0 0 Skyline

SIMETRIA K55 K56 0 K58

K66 K67 0

K77 K78

K88

A(1) A(3) A(9)

A(2) A(S) A(8) A(15)

A(4) A(7 ) A(11) A(14)

A = A(6) A ( 10) A(13 ) A(21) MAX

A(12) A ( 17) A(20)

A(16) A(19)

A(18)

FIGURA 5

A - 15

pesor de banda (half band-width) de la matriz; si llaaai m.i al -

número de la fila para el cual aparece el primer elemento distinto

de cero en la columna i, las variables Mi, i = 1,2 ...n, definen -

la línea de techo de la matriz- y las variables i-mi serán iguales a

la altura o tamaño de la columna; es más el valor de mK = Max -

(¡-mi) (i = 1,2 ... n).

En muchos análisis los tamaños de las columnas son bastante di-

ferentes y es muy importante que todos los elementos nulos situa-

dos fuera de la línea de techo no estén incluidos a la hora de re-

solver el problema. Con los ceros dentro de la línea de techo, se

procede a almacenarlos,ya que se convertirán en valores distintos

de cero, durante el proceso operativo.

Las alturas de columna las determinamos mediante las matrices -

LM, evaluando mi con lo que calculamos i-mi de la siguiente manera:

Consideremos, como ejemplo, que queremos conocer m10 de

la matriz de rigidez correspondiente a la Figura 4. Las matrices -

LM han sido calculadas anteriormente y en ellas notamos que sólo -

los elementos 3 y 4 contienen el grado de libertad 10 y que además

el más pequeño número de grado de libertad que aparece en las ma-

trices LM de estos elementos es 1; será por tanto m10 = 1 y la al-

tura de la columna 10 será 9.

Con las alturas de columna de la matriz ya conocidas, podremos

almacenar todos los elementos situados por debajo de la Skyline de

K en una matriz unidimensional A, según se indica en Figura S. Ade

más de A debemos de definir una matriz MAXA que define la posición

de los elementos de la diagonal de K en A, es decir el elemento K..en A es A(i).

A - 16

Observando la figura 3 se advierte que MAXA ( i) es igual a lasuma de las alturas de columna hasta la ( i-1) más i, por lo tantoel número de elementos distintos de cero en la columna i-ésima deK es igual a MAXA (i+1) - MAXA ( i) y las direcciones de los ele-

mentos de la diagonal serán MAXA (i), MAXA (i) + 1, MAXA (i) + 2...

MAXA (i+1)-1.

En la discusión de los algoritmos para la solución de las -ecuaciones K U = R, se demuestra que el procedimiento usado con -más frecuencia requiere 1 n m2 operaciones, siendo n el orden de

2la matriz , lo cual resalta la importancia de minimizar mK con vistas a disminuir el número de operaciones ( tiempo de ordenador) yespacio de almacenamiento.

Las matrices de rigidez y masa de la estructura se forman enbloques tal como se muestra en la Fig. 6 para el ejemplo de ba-rras. El número de ecuaciones por bloque, depende de la disponibi-

lidad de registro de alta velocidad y se calcula en el programa -tal como se indica en la Fig. 7. Cabe hacer notar que en ordenado

res de un tamaño razonable se pueden analizar , desde el punto devista estático y dinámico , sistemas muy extensos. Una vez conocí-

do el número de ecuaciones por bloque , las matrices de rigidez y

de masa se agrupan de dos en dos , mediante la adición directa de

las matrices del elemento. En este proceso es necesario pasar a -

través de las matrices del elemento que están guardadas en cinta.

Con el objeto de minimizar el tiempo de lectura en cada paso, lasmatrices del elemento que pertenecen a varios bloques siguientesse registran en otra cinta . De esta forma el tiempo de lectura necesarlo para la formación de éstos bloques se reduce apreciable-

mente.

A - 17

O = ELEMENTO CEROx x o o x CEROS x X = ELEMENTO NO CEROxoxoo x rxxxxx x 1 1 r 11 1 I 1X X X O O x BLOQUE 1 i1 1 lxi

xxoOx x 1 U 11 1 1 1xox00 x 1 1 U1 1 1 Ux x x x x BLOQUE 211 1 1SIMETRICO x x x x i 1

1 -1 lxx x 1 1 11 1 lxi

x x BLOQUE3 i xxx xxx0 x

BLOQUE4 Lx J 1 X101

CO L°JMATRIZ MATRIZ

MATRIZ DE RIGIDEZ MATRIZ DE RIGIDEZBASICA BASICA

MATRICES DE LA ESTRUCTURA ALMACENAMIENTO EN BLOQUE DE LAS MATRICESDE LA ESTRUCTURA

FIG. 6: ALMACENAMIENTO DE LAS MATRICES EN RIGIDEZ Y DE MASA, EN CINTA.

uruzict LE ALTA VELOCIDAD PAM fd1WiWMI1N1O

CALCULO TAMAÑO MAX. BLOQUE FORMACION DE RIGIDEZ Y_MAS]-

SOLUCION ESTÁTICA KU = R CALCULO DE FREC. Y CONF. MODAL K4=M INTEGRACION DIRECTA EC. MOVIMIENTO_____2

____ ___

CALCULO TAMAÑO MAX. SI LAS ECUACION CABEN EN MEMORIA, CALCULO TAMAÑO IIAX. BLOQUE¿ES POSIBLE SOLUCION "BUSQUEDA DEL PARA DESCOMP. MATRIZ RIGI-BLOQUE PARA SOLUC IONDETERMINANTE? DEZ ___________

SI NO

CALCULO TAMAÑO MAX CALCULO TAMAÑO MAX. BLOQUEBLOQUE PARA SOLUCION PARA INTEGRAC ION EN EL

UN SOLO BLOQUE " ITERACION SUBESPACIAL" TIEMPO.MININO DE 1 y 2 ES

EL TAMAÑO DEL BLOQUEMININO DE 1 y 4 ES EL TA- MINIMO DE 1 5 y 6 ES EL

MAÑO DEL BLOQUE TAMAÑO DEL BLOQUE

FIGURA 7: ORGANIGRAMA PARA EL CALCULO DEL NUMERO DEECUACIONES POR BLOQUE

COMIENZO

CREAR Y GENERAR DA

TOS DE LOS NODOS Y

NUMERAR LAS ECUA-

CIONES

ALMACENAMIENTO DEBAJA VELOCIDAD

MATRICES

LLAMAR SUBRUTINAS ESFUERZO - DEFORMACION

DE LOS ELEMENTOS D17ATRIC

ESEL

DE RIGIDEZ DEL

CpEEXIONMATRICESDE MASA

FORMACION DE LAS MA

TRICES DE RIGIDEZ -

DE LA ESTRUCTURA,DE

MASA Y DE CARGA.

ETRICES DERIGIDEZ

TRpCTURA DE LA

CONTINUAR EL ANALISIS

DE MASA Y DE CARGA

ESTATICO 0 DINÁMICO

FIGURA 8: FLUJO PARA EL CALCULO DE LAS MATRICES

DE RIGIDEZ Y DE MASA.

A - 20

En la Fig. 8 se muestra un diagrama del flujo de la organización

del programa para el cálculo de las matrices de rigidez y de masa. -

Con las matrices registradas en forma de bloques se puede llevar a -

cabo el análisis estático o en análisis dinámico.

4. LA BIBLIOTECA

La biblioteca del programa consiste en ocho elementos estructura

les diferentes . Estos elementos pueden ser empleados tanto en el aná

lisis estático como en el análisis dinámico. Se muestran en la Fig.

9 y a continuación se describen brevemente.

4.1. Barra

El cálculo de la rigidez del elemento se hace en la referencia -

(32). El elemento puede estar sometido a un cambio uniforme de tempe

rat ura .

4.2. Viga tridimensional

El elemento viga incluido en el programa puede ser sometido a -

torsión, giro respecto a dos ejes , deformaciones axiales y deforma-

ciones por cortadura. El elemento es prismático. El desarrollo de -

sus propiedades de rigidez es standard y se da en Ref. ( 22). Los ca

sos de carga pueden ser: de inercia en las tres direcciones y fuer-

zas concentradas en los extremos. Las fuerzas (axial y cortadura) y

momentos (giro y torsión) se calculan en el sistema local de coorde-

nadas en la viga.

En la Fig. 9 se muestra un elemento de viga típico. El plano que

define los ejes principales de flexión de la viga es el i, j, k. S6-

lo es necesaria la geometría del punto nodal k, por lo tanto, no se

A - 21

aZ k

my

xjw/a) ELEMENTO BARRA . b) VIGA TRIDIMENSIONAL

c) ESFUERZO Y DEFORMACION PLANOS Y ELEMENTOS AXIMETRICC

`-d) SOLIDO e) NUMERO VARIABLE DE NODOS,'TRIDIMENSIONAL PLACA GRUESA Y ELEMENTO

TRIDIMENSIONAL

k K

LL 9Ir�n=áxb

f) - CASCARAS Y ELEMENTO DE "CONTORNO ce. -

y

y .Tx •

i z

TANGENTE CODO

g) ELEMENTO DE TUBERIA

FIGURA LIBR.ERIA DE ELEMENTOS

A-22

utilizan en el programa grados de libertad adicionales. Una opción

particular para el caso de viga, es que los extremos de esta pue

dan estar condicionados geométricamente a un nodo maestro. Los gra

dos de libertad cautivos en el extremo de la viga se eliminan en -

la formulación y son reemplazados por los grados de libertad trans

formados del nodo maestro (17). Esta técnica disminuye el número -

total de ecuaciones de equilibrio en el sistema.

4.3. Deformación plana, esfuerzo plano y elementos axisimétri-

cos.

Se dispone de un elemento estructural rectangular (o triangu-

lar) con propiedades ortotrópicas del material. Cada elemento es-

tructural puede tener diferente espesor así como estar localizado

en un plano arbitrario con respecto al sistema tridimensional de -

coordenadas. Los elementos estructurales para deformación plana y

axisimétricos se limitan al plano y-z. Pueden considerarse las car

gas de gravedad, inercia y temperatura. Los esfuerzos se pueden -

calcular en el centro del elemento y en el centro de cada lado. El

elemento está basado en una formulación isoparamétrica (18) y (31)

Se pueden incluir modos de desplazamientos incompatibles con el ob

jeto de mejorar las propiedades de flexión del elemento (25) (29).

4.4. Sólido tridímensíonal

Se puede emplear un elemento estructural general "tipo ladri-

llo" con tres grados de libertad translacionales por punto nodal ,

Fig. 9. Se supone un material de propiedades ísotrópicas y las car

gas pueden ser de temperatura , presión e inerciales en tres direc-

ciones. Pueden calcularse esfuerzos (seis componentes) en el cen-

tro del elemento y en el centro de cada cara. El elemento estructu

ral utiliza modos incompatibles que pueden resultar muy efectivos

A-23

si se emplean elementos rectangulares.

4.5. Placa gruesa con número variable de nodos y elemento tridi-

mensional.

Para el análisis se puede utilizar un elemento est ru ctural gene-

ral tridimensional isoparamétrico o subparamétrico que puede tener -

de 8 a 21 nodos, Fig. 9 ( 7). Se pueden asignar al elemento las pro-

piedades generales de un material ortotr6pico . Las cargas pueden es-

tar constituidas por presiones , cargas hidrostáticas , cargas inercia

les en tres direcciones y cargas térmicas . Se obtienen los valores -

de fuerzas y momentos en hasta siete puntos del interior del elemen-

to.

4.6. Placa delgada y cáscara

El elemento estructural disponible para placa delgada en el pro-

grama es un caudrilátero de geometría arbitaria formado a partir de

cuatro triángulos compatibles . Las propiedades de flexión y mecánicas

del elemento se describen en las referentes (11) y (13). El elemento

estructural para cáscara utiliza el triángulo de deformación constan

te y el elemento LCCT9•para representar las características de fle-

xión y membrana , respectivamente . El nodo central se localiza en el

punto medio de las coordenadas de los nodos correspondientes a las -

cuatro esquinas. El elemento tiene seis grados de libertad interio-

res que son eliminados del elemento con anterioridad al montaje; por

lo tanto, el elemento cuadrilateral resultante tiene veinticuatro -

grados de libertad, es decir, seis grados de libertad por nodo en el

sistema global de coordenadas.

En el análisis de placas planas ,no está definida la rigidez aso-

ciada con la rotación normal a la placa , por lo tanto el grado de lí

A-24

bertad de la rotación normal no se debe incluir en el análisis. Para

el caso de placas curvas es necesario incluir la rotación normal co-

mo un grado de libertad más. En caso de que la curvatura sea muy pe-

queña, el grado de libertad se debe considerar mediante la adición de

un "elemento de contorno", con rigidez rotacional normal pequeña, es

decir alrededor del 10% de la de flexión.

4.7. Elemento de contorno

El elemento de contorno que se muestra en la figura 9, puede ser

empleado en los siguientes casos:

1. En la idealización de un apoyo elástico externo en nodo;

2. En la idealización de un apoyo deslizante inclinado;

3. Para especificar un desplazamiento.

4. Para eliminar la dificultad numérica asociada al "sexto"

grado de libertad en el análisis de cáscaras cuasi-pla-

nas.

El elemento es unidímensional con rigidez axial o torsional. Los

coeficientes de rigidez del elemento se suman directamente al total

de la matriz de rigidez (ver apartado 2.2.).

4.8. Elemento estructural de tubería

El elemento estructural de tubería (Fig. 9) puede representar un

segmento recto ( tangente) o un segmento curvo circular (codo); ambos

elementos requieren una sección y unas propiedades del material uni-

A-25

formes. Los elementos pueden estar orientados arbitrariamente en elespacio. Se tienen en cuenta las matrices de rigidez correspondien-tes a flexión , torsión y de deformación axial y de cortadura. Ade-más se considera el efecto de presión interna en la rigidez de ele-

mentos de tubería curvos.

Los tipos de cargas estructurales aceptadas por los elementos -de tubería incluyen cargas de gravedad en las direcciones globales

y cargas debidas a distorsiones térmicas y deformaciones inducidaspor la presión interna. Las fuerzas y momentos que actúan en los extremos del elemento ( i j) y en el centro de cada codo se calculansegún un sistema de coordenadas locales.

La matriz de rigidez del elemento de tubería se forma evaluandoprimero la matriz de flexibilidad correspondiente a los seis gradosde libertad en el extremo j según ha sido dado por Poley ( 21). Paraformar la matriz de rigidez completa del elemento se emplean, junto

con la matriz de rigidez correspondiente, las transformaciones de -equilibrio apuntadas por Hall "et al" (15 ). Las distorsiones debi-

das a cargas elementales son premultiplicadas por la matriz de rigidez para calcular las fuerzas nodales debidas a cargas de gravedad,

de presión o térmicas.

5. ANÁLISIS ESTÁTICO.

Un análisis estático comprende la solución de las ecuaciones deequilibrio

K u = R (4)

seguida por el cálculo de los esfuerzos mecánicos.

A-26

5.1. Solución de las ecuaciones de equilibrio

Los vectores de carga R se han agrupado al mismo tiempo que sehan formado las matrices estructurales de rigidez y de masa. La so-lución de las ecuaciones de equilibrio se obtiene empleando el pro-grama de gran capacidad para resolver ecuaciones lineales SESOL (28)Esta subrutina utiliza el método de solución de Gauss para el sistema de ecuaciones con simetría positiva . El algoritmo realiza un nú-mero mínimo de operaciones , es decir, no hay operaciones con elementos cero. En el programa se utiliza la descomposición L DLT de K, -así la Ec . ( 14) se puede escribir como:

Lv=R (5)

yv = DL,Tu (6)

Donde L es un matriz de la forma:

1

121 1

L = 131 132 1

141 142 143 1

1 ........................... ln,n-1 1

y D una matriz diagonal , con elementos d...

Para resolver la ecuación [K) [U) = [R)se procede de la siguiente

manera

A-27

LV = R

DLT U = V

LT U = D 1 v

Los elementos de las matrices L y D se calculan mediante el conjunto de ecuaciones siguientes:

gmJ,J KmJ,J

i -1gi = Ki - Lr_

1ri gr i= m .+l.....j-1j iJ J r=mm

g..iJ d. J

ií

j -l

d.. = Kjj - 1r rr=m. J gJJ

siendo mm = max (mi, m )

La solución de v en la Ec . ( 5) se obtiene por reducción de losvectores de carga; los vectores desplazamiento se calculan medianteuna substitución posterior.

En la solución se reducen los vectores de carga al mismo tiempoque se descompone K. En las operaciones es necesario tener en todomomento en registro de alta velocidad los elementos matriciales re-queridos . En la reducción , se tienen dos bloques en registro de al-ta velocidad (como en el caso de la formación de la matriz de rigi-dez y la matriz de masa): el bloque " líder" , el cual finalmente -guarda los elementos de L y D, y sucesivamente aquellos bloques que

A - 28

son afectados por la descomposición del bloque "líder". La Tabla 1

muestra algunos tiempos de solución típicos.

5.2. Cálculo de los esfuerzos

Una vez obtenidos los desplazamientos U podemos calcular facil

mente los esfuerzos en cada elemento (esfuerzos, fuerzas, etc.) -

partiendo de la matriz local de cada elemento y extrayendo los des

plazamientos correspondientes a cada elemento mediante la matriz

LM.

A continuación calcularíamos

[K.) CUJ = R

siendo el primer miembro conocido, con lo cual obtenemos inmediata

mente el segundo.

6. VERIFICACION DE LOS DATOS DE ENTRADA

En el análisis de grandes estructuras es importante tener la -

capacidad de verificar los datos de entrada leidos y generados por

el programa. Con este propósito se da una opción en la que el pro-

grama simplemente lee y genera todos los datos de entrada. Los im-

prime y también registra los datos completos en registro de baja

velocidad. Al completar la lectura y generación de los datos, la -

informaci6n del registro de baja velocidad se puede copiar en una

cinta magnética. Esta cinta se podría utilizar para dibujar la ma-

lla del elemento finito.

A - 29

TABLA 1. SOLUCION DE ECUACIONES UTILIZANDO LA SUBRUTINA SESOL

NUMERO DE SEMIESPESOR C.P.U.ECUACIONES DE BANDA SEG ORDENADOR

8036 544 1786 CDC 6600

2696 488 1260 CDC 6600

4214 205 31 CDC 7600

7. PROCESADORES GRAFICOS

7.1. Introducción

Los continuos desarrollos y avances del método de los elementos

finitos junto al desarrollo de los ordenadores, en cuanto a rapidez

y capacidad de memoria , ha hecho posible que se puedan realizar cál

culos de sistemas más complejos y con mayor precisión.

Sin embargo , con la gran cantidad de datos necesarios , el volu-

men de resultados y la generación automática de mallas , es imposi-

ble chequear e interpretar estos datos sin representaciones gráfi-

cas.

7.2. Preproceso

Preproceso es el chequeo de los datos de entrada.

Los errores en un estudio de un problema de elementos finitos -

son, básicamente , de dos tipos.

Primero, ¿cual es la aproximación del modelo matemático / condi-

ciones de contorno, hipótesis de carga , propiedades de los materia-

les, etc. al problema real?.

Segundo , ¿hay errores numéricos de codificación o perforación -

o mal interpretación de las instrucciones en la preparación de da-

tos?.

En el segundo tipo , los errores más comunes se producen en los

datos de la geometría y conectividad de elementos.

A - 31

Con la representación gráfica del modelo de elementos finitos

los errores de geometría y elementos se detectan fácilmente.

Cuando hay opciones de numeración de nudos y elementos, el dibu-jo ayuda a la interpretación de los resultados.

7.3. Postproceso .

Aunque no tan importante como el preproceso, el postproceso es

de gran ayuda en la interpretación de resultados.

Mediante el postproceso se pueden representar desplazamientos y

tensiones.

Dos métodos de postproceso de desplazamientos son el dibujo delmodelo deformado o representar los desplazamientos por vectores enlos nodos . En casos en que los desplazamientos son pequeños (como -suele ocurrir normalmente ) la representación de los mismos se multi

plica por un factor de aumento adecuado.

7.4. Sistema de representación gráfica

La representación de un modelo de elementos finitos puede hacer

se sobre una pantalla de rayos catódicos o sobre un plotter.

La primera solución tiene la ventaja, de poder modificar la pro-

yección o la geometría del sistema interactivamente, e incluso, me-

diante programas adecuados , generar la geometría de un modelo.

En la representación de los modelos sobre una superficie bidi-

mensional (papel del plotter) la proyección más usada es la ortográ

fíca.

A - 32

Para definir esta proyección se consideran dos sistemas de coordenadas, el del modelo (x,y,z) y el del plotter (R,S,T).

El sistema de referencia del plotter se considera fijo . mientrasque el correspondiente al modelo , es móvil respecto al del plotter.Su posición respecto a éste se define mediante las rotaciones PSI -(t�) , THETA (8) y PHI ( 1) (véase figura 10).

T

R

Figura 10 Sistema de coordenadas del z,lotter.

Los dos sistemas de referencia coinciden para ip=8=I=0°. El orden

en que se efectuan estas rotaciones es importante y se han escogido

arbitrariamente como 0, rotación alrededor del eje T, 8, rotación al

rededor del eje S y 1 rotación alrededor del eje R (véase figura 11).

Una vez posicionado el modelo respecto al sistema del plotter.el

plano de proyección se define mediante las variables KHORZ (eje ho-

rizontal del plano de proyección ) y KVERT ( eje vertical del plano de

proyección).

A - 33

La proyección ortográfica se obtiene calculando la abcisa y or

denada de cada punto de coordenadas espaciales X, Y y Z en el pla-

no de proyección ( por ejemplo el R y S para KHORZ = 1 y KVERT = 2)

mediante la transformación

R X

S

TL

[AJ[A4� CAe) Y

Z

donde

Een

ose -sena 0

[AJ = cos:

0

cose 0 senaAe = 0 1 0

sena 0 cose

y1 0

:en(A.� = [10 cos 4)1.0 sen4) cosip

La figura 12 muestra las sucesivas posiciones de un paralelepí-

pedo rectangular mediante los giros ti,e y 1 en los planos de proyec-

ción

S - R, S - T y R - T del plotter.

Otros sistemas utilizados en la representación del modelo de -

elementos finitos son la perspectiva e incluso la proyección esteros

A-34

i ,.. 1-

Y

R

(a) Rotación alrededor del eje 'r

4 T

z

Y

iií�

R eS

-

(

x

(b) Rotación e alrededor del eje S

T y

S

R

(c) itotaci6n • alrededor del eje q

Figura 11 Orientación del sistema de coordenadas d-t

modelo respecto al sistema del plotter.

A - 35

R X k

T Z Z T T Z Z JT

1

Y X X Y yS R S R

(a) Posici6n inicial { b) p = 30-

y yS S

X

Ir Z.

RT íR

TZ ZT

T

�, -�� Y

IR,

z

X 5 S R X

(c) ip = 30 °, 0 = 300 (d) 30 °, 0= 30 °, 1) = 30°

Figura 12 Proyecciones del modelo respecto alos planos S-R, S-T y R-T del plo-

tter.

A- 36

c6pica mediante la generación de dos dibujos aptos para ser obser-

vados con visores especiales, en tres dimensiones.

Existen alogaritmos para eliminar las partes ocultas así como

para dibujar únicamente los contornos del modelo.

7.5. Sistema integrado por programa de elementos finitos y salí

das gráficas .

Para el diseño de un sistema integrado de programa de cálculo

por elementos finitos con procesadores gráficos , se deben de tener

en cuenta los siguientes criterios:

Primero : Mínima modificación del programa de elementos fi-

nitos.

Los procesadores gráficos pueden incorporarse en un programa

de elementos finitos (en el modo de chequeo de datos en el caso de

preprocesadores ). Sin embargo , modificar un programa voluminoso y

complejo es peligroso.

Segundo : Posibilidad de repetir dibujos con diferentes es-

pecificaciones

En modelos de gran tamaño o con geometría compleja ,una buena -

representaci6n gráfica normalmente requiere efectuar varias proyec

ciones, aumentar algunas zonas del modelo realizando dibujos par-

cíales, dibujar deformadas distintas de las previstas inicialmente

etc.

Se debe de procurar algún sistema de registro eficiente y fia-

ble de los datos y resultados necesarios para la realización de los

A - 37

dibujos. Esto es particularmente inportante en el postproceso,pues

la realízacíón de un dibujo no previsto nos obligaría a efectuar -

un nuevo cálculo , lo cual no es económico , o a grabar manualmente

(fichas perforadas o cualquier otro soporte ) los resultados del -

programa de cálculo con la posibilidad de errores humanos que supo

ne.

Tercero : Compatibilidad y facilidad de modificación y mejo

ra.

Los programas de dibujo tienen una gran dependencia de compati

bilidad por utilizar el software particular del dispositivo de di-

bujo ( diferentes marcas de plotters , tubos de rayos catódicos,etc).

Los sistemas de registro de la información necesaria para el -

proceso de dibujo, es también dependiendo de cada instalación debi-

do a la diferencia de los programas de utilidad de cada tipo de or

denador y de la diferente configuración de unidades de entrada-sa-

lida; por ejemplo, en una determinada instalación con una unidad -

de salida de fichas perforadas se podría utilizar ésta para regis-

trar los desplazamientos o tensiones necesarias para el postproce-

so, pero evidentemente esta solución no sería viable en una insta-

lación que careciese de ella.

Si la concepción del sistema es modular las modificaciones -

afectarán a sólo determinados módulos si el paquete de programas -

se quiere llevar a otra instalación . Por otra parte las actualiza-

ciones y mejoras serán más fáciles y menos complejas.

Cuarto : Sencillez para el usuario

Las operaciones manuales deben de suprímirse en lo posible por

A-38

los errores que pueden ocasionar . Las modificaciones del paquete dedatos para el programa de elementos finitos deben de ser mínimas.

La solución que se adoptó en el Centro de Cálculo de la Escuelade Minas, teniendo en cuenta los anteriores criterios, fue la de -crear una base de datos en la que cada vez que se realiza algún cálculo con el programa de elementos finitos en el que se solicitan salidas gráficas se almacenan los datos que pueden ser necesarios pa-ra realizar algún dibujo.

Dentro de la base estos datos están identificados mediante unaclave. Esta clave es de la forma DD-MMAA HH.MM.SS. donde el primercampo es la fecl-.a y-eLL segFj ;. la hora en que se pasó el programa quesuministró dichos datos.

De esta manera cada vez que se quieren realizar unas salidas -gráficas sólo es necesario dar la clave y las especificaciones quedefinen los dibujos (proyecciones, escalas, tamaño de papel, defor-mada, etc.)

Con esta solución el sistema de programa de elementos finitos-salidas gráficas está dividido en tres grandes bloques.

El primero es el formado por el programa de cálculo que suele -estar escrito en un lenguaje de alto nivel (FORTRAN, ALGOL, PL/1, -

etc.) y por lo tanto compatible con la mayoría de las instalaciones.

El segundo bloque está formado por un paquete de programas de -

manejo de ficheros que suelen formar parte del software suministra-

do por el fabricante del ordenador y por lo tanto depende de cada -

marca e incluso de cada modelo.

A - 39

Finalmente , el tercer bloque está formado por los programas de

dibujo, que suelen estar escritos en lenguajes de alto nivel pero -

que utilizan subrutínas propias del software del dispositivo de di

bujo

A-40

PROCEDIMIENTO TPONE

FIGKas I+ECTE

MAESTRO

MCCTECCOFICHAS

PROCESADOR

FICHAS

MECTE

M E C T E TRA8Ad0

MCCTE A IO

O. k TOS

POSPROCESADO.

MECTE%.DO

MAESTROFig. 13.

rROCCSA04

A - 41

P^CCEDi:dIE:iTO TPC::CDIB

uAES1R0

PROCESADOR

10.h71FiCACION

DEL DIBUJO A MECTESEL

SELECCIONAR

DA T05 FICHAS

POSPhOCESzofi ME C T E

FIC!IASPROMEC

TRABAJO

PRUC E 5 A JOR PROtE5Ap^R

C 1 N 1 A

Pr.OTE S

A-42

PROCEDI.tiMI.1-'NJTO TPALLDIB

M A E5TR0

FICHAS .. ..

PROCESADOR

KECTECRE

Fig. 15.

A-43

DESCRIPCION DE LA ENTRADA DE DATOS

1. FICHA DE ENCABEZAMIENTO (12A6)

Observaciones columnas variable Datos de entrada

(1) 1-72 HED ( 12) Colocar la información

de encabezamiento que

se desea imprimir con

la respuesta

2. FICHA MAESTRA DE CONTROL (815, 39X, Al)


(1) 1-5 NUMNP Número total de puntos

nodales en el modelo

(2) 6-10 NELTYP Número de grupos de -

elementos

(3) 11-15 LL Número de casos de car

gas estructurales

GE.1; análisis estáti-

co

EQ.O; análisis dinámico

(4) 16-20 NF Número de frecuencias

a encontrar en la solu

ci6n de autovalores

EQ.O; análisis estático

GE.1; análisis dinámico

A-44


(5) 21-25 NDYN C6dido del tipo de aná

lísis.

EQ.O;análísis estático

EQ.1;soluci6n autova-

lor/vector.

EQ.2;respuesta dínámí-

ca forzada por su

perposición modal.

EQ.3;análisís espectral

EQ.4;integraci5n paso a

paso directa.

(6) 26-30 MODEX Modo de ejecución del

programa

EQ.O;soluci6n del pro-

blema.

EQ.1;Comprueba datos so

lamente.

(7) 31-35 NAD Número total de vectores

a utilizar en la solu-

ción SUBESPACE INTERA-

TION para autovalores/vec

tores

EQ.O;por defecto se uti-

liza

MIN 2* NF, NF+8

A-45


(8) 36-40 KEQB Número de grado de líber

tad (ecuaciones) por blo

ques de registro:

EQ.O;calculado automáti-

camente por el pro-

grama.

46-50 IDIB Salidas gráficas:

EQ.O;No se desean salidas

gráficas.

EQ.1;Se desean salidas -

gráficas y cálculo -

(MODEX.EQ.O) o che-

queo (MODEX.EQ.1).

EQ.2;Unícamente salidas -

gráficas (solo pre-

procesado).

EQ.3;Postproceso y prepro

ceso.51-55 NRSC Número de análisis espec-

trales a realizar (única-

mente cuando NDYN EQ.3).

EQ.O;solo un análisis es-

pectral.

GT.O;número de análisis -

espectrales a reali-

zar.

(9) 80 Y700 Opción de entrada de da-

tos para los nodos de un

elemento curvo de tubería

A-46


(véase también III. DA-

TOS DE LOS PUNTOS NODA-

LES y IV.9.6. Fichas de

elementos de tubería).

EQ (blanco); las coorde-

nadas de los extremos

I y J de un codo son

datos de entrada.

EQ.Y;se calcula automáti

camente por el pro-

grama.

3. DATOS DE LOS PUNTOS NODALES (Al, 14, Al, 14, S15, 3F10.0, 15,

F10.0).

a) Síganse las siguientes intrucciones si se ha dejado en blan-

co la columna 80 de la FICHA MAESTRA DE CONTROL . Si se ha perforado

"Y" utilice las del apartado b).


(1) 1 CT Símbolo que describe el

sistema de coordenadas pa

ra este nodo;

EQ (blanco) cartesiano

(x,y,Z)

EQ.C;cilíndrico (R,Y,O)

(2) 2-5 N Número del nodo

6 IPR Variable de impresión (s6

lo en la primera tarjeta

de datos nodales)

A-47


EQ.(blanco ) impresión

normal.

EQ.A;suprime la segun-

da impresión de -

nodos.

EQ.B;suprime la impre-

sión de la matriz

ID.

EQ.C;A y B.

(3) 7-10 IX (N,1 ) Código de contorno en

la dirección X.

11-15 IX (N,2) Código de contorno en

la dirección Y

16-20 IX ( N,3) Código de contorno en

la dirección Z

21-25 IX (N,4) Código de contorno pa

ra giro según eje X

26-30 IX ( N,5) Código de contorno pa-

ra giro según eje Y.

31-35 IX ( N,6) Código de contorno pa-

ra giro según eje Z.

EQ.O;libre ( cargas per

mitidas).

EQ.1;fíjo (no admite -

cargas).

GT.1;número del nodo -

maestro ( nodos de

viga solamente).

A-48


(4) 36-45 X (N) Ordenada X o R

46-55 Y (N) Ordenada Y

56-65 Z (N) Ordenada Z(o 0)(grados)

(5) 66-70 KN Incremento del número

de nodo

( 6) 71-80 T ( N) Temperatura nodal.

4. TIPO 7. ELEMENTOS DE CONTORNO.

Este elemento se utiliza para condicionar los desplazamientos -

nodales a valores predeterminados para calcular las reacciones de -

los apoyos y para proveer soportes lineales elásticos a los nodos .

Si el código de contorno para un grado de libertad particular se es

pecifica como 1 , en las fichas de entrada de la estructura de los -

puntos nodales , el desplazamiento correspondiente a ese grado de li

bertad es cero y no se obtienen reacciones de apoyo en la respuesta

impresa. Alternativamente , se puede utilizar un elemento de contor-

no para conseguir el mismo efecto pero además se obtienen las reac-

ciones en el apoyo ya que ellas son iguales a las fuerzas en los ex

tremos del miembro de elementos de contorno que se imprimen. Además

el elemento de contorno puede ser utilizado para especificar despla

zamientos nodales distintos de cero en cualquier dirección, lo que

no es posible empleando las fichas de entrada de los puntos nodales.

El elemento de contorno se define por un'salo eje dirigido a -

través de un punto nodal específico, por una rigidez de extensión -

lineal a lo largo del eje, o por una rigidez de rotación lineal al-

rededor del eje. El elemento de contorno es esencialmente un muelle

A-49

que puede tener rigidez de desplazamiento axial o rigidez de ro-

tación axial . No hay límite al número de elementos de contorno -

que se pueden aplicar a cualquier unión para producir los efec-

tos deseados . Los elementos de contorno no afectan al tama:io de

la matriz de rigidez.

A. Ficha de Control (215)

Columnas 1 - 5 El número 7

6 - 10 Número total de elementos de contorno

B. Multiplicadores de carga ( 4F10.0)

Columnas 1 - 10 Multiplicador para el caso de carga A

11 - 20 Multiplicador para el caso de carga B

21 - 30 Multiplicador para el caso de carga C

31 - 40 Multiplicador para el caso de carga D

C. Fichas del elemento ( 815, 3F10.0)

Una ficha por elemento ( en orden nodal ascendente), excepto

cuando se emplee la generación automática de elementos.

Columnas 1 - 5 Nodo N, en el cual se coloca el elemen

to.

6 - 10 Nodo I

11 - 15 Nodo J Dejar las columnas 11-25 en

16 - 20 Nodo K blanco, si sólo es necesario

21 - 25 Nodo L el nodo I

26 - 30 Código para el desplazamiento

31 - 35 Código para la rotación

A - 50

36 - 40 Generador de datos Kn41 - 50 Desplazamiento específico a lo largo del

eje del elemento

51 - 60 Rotación específica alrededor del eje -

del elemento

61 - 70 Constante de rigidez ( se utiliza 1010 si

se deja en blanco) para la extensión y -

la rotación.

5. TIPO 4. ELEMENTOS FINITOS BIDIMENSIONALES

Los elementos cuadrilaterales (y triangulares ) se pueden usar

como:

(í) Elementos con simetría axial alrededor del eje Z. La

dirección radial está especificada como eje Y. Debe

tenerse cuidado al combinar este elemento con otros

tipos de elementos.

(ii) Elementos en deformación plana de espesor unitario -

en el plano Y-Z.

(iii) Elementos en tensí6n plana ( con un espesor fijo) en

el plano Y-Z.

Todos los elementos tienen material ortotr6píco dependiente

de la temperatura.

Un elemento cuadrilateral general es:

A - 51

Z,u K

L

J

I

Y,v ,�. 6

A. Ficha de control (615)

Columnas 1 - 5 El número 4

6 - 10 Número total de elementos

11 - 15 Número de materiales diferentes

16 - 20 Número máximo de fichas de temperatura

para cualquier material (ver Sección B)

0 para análisis de simetría axial

25 1 para análisis de deformación plana

2 para análisis de tensión plana

30 Cualquier número distinto de cero para

suprimir la introducción de nodos de -

desplazamientos incompatibles. Los no-

A-52

dos incompatibles no pueder. usarse para

elementos triangulares y son suprimidos

automáticamente ( Sólo se usan en análi-

sis de placas y cáscaras)

B. Propiedades del material

Ortotrópico , son posibles propiedades del material dependien

tes de la temperatura . Para cada material diferente se debe sumi-

nistrar el siguiente grupo de fichas.

1. Ficha de propiedades del material (215, 3F10.0)

Columnas 1 - 5 Número de identificación del material

6 - 10 Número de temperaturas diferentes para

las cuales se dan las propiedades. Si

este campo se deja en blanco, el núme-

ro tomado es 1.

11 - 20 Peso específico del material ( usado pá

ra calcular cargas de gravedad).

21 - 30 Densidad ( usada para calcular la ma-

triz de masa).

31 - 40 Angulo S en grados , medido en sentido

contrario a las agujas del reloj, des-

de el eje y al eje n

Los ejes n-s son los ejes principales para el material orto

trópico. El peso específico se necesita solo si se consideran -

las cargas de gravedad e inercia.

Ln

Y,v

Fig. 17.-Ejes principales del material.

A - 53

2. Dos fichas para cada temperatura

Ficha 1: ( 8F10.0)

Columnas 1 - 10 Temperatura

11 - 20 Módulo de elasticidad - En21 - 30 Módulo de elasticidad - ES31 - 40 Módulo de elasticidad - E t41 - 50 Relación de Poisson - v

ns51 - 60 Relación de Poísson - vnt61 - 70 Relación de Poisson - vst71 - 80 Módulo cortante - Gns

Ficha 2 (3F10.0)

Columnas 1 - 10 Coeficiente de expansión térmica an

11 - 20 Coeficiente de expansión térmica as

21 - 30 Coeficiente de expansión térmica at

Todas las constantes del material deben especificarse siem-

pre. En tensión plana , el programa modifica las relaciones cons-

titutivas para satisfacer la condición de que la tensión normal

Gt sea igual a cero.

C. Factores de carga de los elementos

Se han de usar 4 fichas para definir los casos de carga A,

B, C y D del elemento , como fracción de las cargas térmicas, pre

sión y cargas debidas a aceleraciones

Primera ficha , caso de carga A; Segunda ficha, caso de car-

A - 54

ga B; etc.

Columnas 1 - 10 Fracción de carga térmica.

11 - 20 Fracción de carga de presión

21 - 30 Fracción de gravedad en dirección x

31 - 40 Fracción de gravedad en dirección y

41 - 50 Fracción de gravedad en dirección z

D. Fichas de elementos (615, 2F10.0, 2I5, F10.0)

Debe ser suministrada una ficha por elemento con la siguien-te información:

Columnas 1 - 5 Número de elemento

6 - 10 Nodo I

11 - 15 Nodo J

16 - 20 Nodo K

21 - 25 Nodo L (el Nodo L debe ser igual al Nodo

K para elementos triangulares)

26 - 30 Número de identificación del material.

31 - 40 Temperatura de referencia para tensio-

nes nulas dentro del elemento.

41 - 50 Presión normal en el lado I-J del elemen

to.

51 - 55 Evaluación de tensiones . Opción "n".

56 - 60 Generación de datos del elemento "k"

61 - 70 Espesor del elemento (para deformación -

plana, el programa toma 1.0).

NOTAS

(1) Generación de datos del elemento. Las fichas del elemento

A - 55

deben estar en secuencia según el número de elemento. Si son omi-

tidas fichas, serán generados los datos del elemento omítído. Los

números nodales serán generados con respecto a la primera ficha -

de la serie de la manera siguiente:

1n = In-1 + K

Jn = Jn-1 + K

K n-1+K

Ln = Ln-1 + K

La información de los restantes elementos se colocará igual

a la información de la última ficha leída . El parámetro K de gene

ración de datos está dado en aquella ficha.

. 6. FUERZAS CONCENTRADAS /MASA (215, 6F10.4)


( 1) 1 - 5 N Número del punto nodal.

(2) 6-10 L Número del caso de carga

estructural;

GE.1;análisis estático

EQ.O;análisis dinámico.

11-20 FX (N,L) Fuerza en la dirección x

(o coeficiente traslacio

nal de masa)

21-30 FY(N.L) Fuerza en la dirección y

(o coeficiente traslacío

nal de masa)

A - 56


31-40 FZ(N.L) Fuerza en la dirección z

(o coeficiente traslacio

nal de masa)

41-50 NX(N,L) Momento según el eje x

(o inercia rotacional)

51-60 MY(N,L) Momento según el eje y

(o inercia rotacional)

61-70 MZ(N,L) Momento según el eje z

(o inercíal rotacional)

7. MULTIPLICADORES DE CARGA DEL ELEMENTO (4F10.0)


(1,2) 1-10 EM(1) Multiplicador para el caso

A

11-20 EM(2) Multiplicador para el caso

B

21-30 EM (3) Multiplicador para el caso

C

31-40 EM(4) Multiplicador para el caso

D.

8. SALIDAS GRÁFICAS

Esta sección será aplicable si en la sección II (ficha maestra

de control) se han solicitado salidas gráficas ( IDIB. NE.O).

Comiéncese esta sección con una ficha que tenga los caracteres

/* en la columna 1 y 2 respectivamente.

A - 57

Las características de cada dibujo se definen mediante una a

tres tarjetas, siendo la mayoría de las veces necesaria solamente

una, mientras que las otras dos son opcionales.

Todas las variables que controlan el proceso de dibujo tienen

valores por defecto que se indican en la descripción del mismo -

más adelante.

Se pueden rellenar tantos grupos (de una a tres tarjetas) co-

mo dibujos se deseen.

Cuando se realizan varios dibujos los valores por defecto só-

lo son aplicables al primer dibujo. Los valores por defecto corres

pondientes a las variables de las fichas opcionales así como los

factores de aumento de rotaciones, desplazamiento y de conversión

de unidades de las dimensiones del modelo a pulgadas; si no se es

pecifican, son los correspondientes a los del dibujo anterior.

Proyección ortográfica

Para representar los modelos sobre una superficie bidimensío-

nal se usa la proyección ortográfica.

A) Ficha principal (1412, 1X, GI1, 3F5.2, 12, F8.0, 12, F8.0,

F1O.0)

Observaciones columnas variable-defecto Datos de entrada

1-2 IPLOT-0 Fichas necesarias para de

fínir este dibujo

EQ.O Sólo esta ficha es -

necesaria

A - 58

Observaciones columnas variable Datos de entradadefecto

EQ.1. Es necesaria también la

primera ficha opcional.

EQ.2. Son necesarias las dos fi-

chas opcionales

3-4 KHORZ - 1 Eje horizontal del plano de -

proyecci6n

EQ.1. Eje R

EQ.2. Eje S

EQ.3. Eje T

5-6 KVERT-2 Eje vertical del plano de pro

yección;

EQ.1. Eje R

EQ.2. Eje S

EQ.3. Eje T

7-8 ISCALE-O Código de definición de escala;

EQ.O. Se especifica tamaño del

papel normalizado única-

mente ( se calcula escala

y origen automáticamente)

EQ.1. Escala igual a la del di-

bujo anterior con el mis-

mo tamaño de papel si es

posible (se calcula ori-

gen automáticamente y ta-

maño de papel si es nece-

sario)

A - 59


EQ.2. Se especifica escala en

la ficha B ( se calcula

tamaño de papel normal¡

zado y origen automáti-

camente).

EQ.3. Se específica tamaño de

papel cm19uiera en la -

ficha B (se calcula es-

cala y origen automáti-

camente).

EQ.4. Se especifica tamaño de

papel cualquier y esca-

la en la ficha B (se -

calcula origen automáti

camente).

EQ.5. Se especifica tamaño de

papel cualquiera, escala

y origen en la ficha B.

(1) 9-10 IDIN-O Tamaño de papel normalizado -

( solo necesario para ISCALE.

EQ.0). Se pueden especificar

tamaños de DIN A-0 a DIN A-7.

11-12 ILA-0 Posición del papel

EQ.O Posicionado automático

EQ.1. Horizontal ( el lado ma-

yor)

EQ.2. Vertical ( el lado mayor)

A-60


13-14 KDISP-0 Tipo de dibujo

EQ.O. Dibujo del modelo sin

deformar.

EQ.1. Dibujo del modelo de-

formado

EQ.2. Dibujo expandido

EQ.3. Desplazamientos repre

sentados por vectores

EQ.4. Dibujo de la deforma-

da y sin deformar su-

perpuestos y en distin

to color

15-16 KODE-0 Control después de realiza-

do este dibujo.

EQ.O. Ultimo dibujo, termi-

na.

EQ.1. Realiza otro dibujo.

17-18 NOTAT-0 Código de numeración

EQ.O. No numera ni nodos ni

elementos.

EQ.1. Numera nodos.

EQ.2. Numera elementos

EQ.3. Numera nodos y elemen

tos.

(2) 19-20 NORM-0 Normalización de escalas.

EQ.O. No se realiza normali

zación.

A - 61


EQ.1. Se realiza normaliza-

ción.

20-22 SKYMXY-0 Simetría respecto plano X-Y

22-24 KSYMXZ -0 Simetría respecto plano X-Z

24-26 KSYMYZ-O Simetría respecto plano Y-Z

EQ.O.No simétrico

EQ.1.Simét rico

27-28 NFOLC-O Número de caso de carga (es

tático) o deformada modal

(dinámico) a representar.So

lo postproceso (KDISP=1, 3

ó 4) .

(3) 30 IDOF( 1)-O Desplazamiento en dirección

X.

31 IDOF (2)-O Desplazamiento en dirección

Y.

32 IDOF( 3)-0 Desplazamiento en dirección

Z.

33 IDOF( 4)-O Rotación alrededor eje X.

34 IDOF( 5)-0 Rotación alrededor eje Y.

35 IDOF( 6)-0 Rotación alrededor eje Z.

EQ.O. Se considera esta de-

formación

EQ.1. No se considera esta

deformación

36-40 PHI-00 Rotación del modelo alrede-

dor del eje R en grados --

(realizada en tercer lugar)

A-62


41-45 THETA-0° Rotación del modelo alrededor

del eje S en grados (realiza-

da en segundo lugar)

46-50 PSI-0 ° Rotación del modelo alrededor

del eje T en grados (realiza-

da en primer lugar)

51-52 IDMAG-2 Código de aumento de desplaza

mientos.

EQ.1. Multiplicación de des-

plazamientos por DMAGS.

EQ.2. Máximo desplazamiento -

de valor DMAGS ( en uni-

dades del modelo)

53-60 DMAGS-2.54 Factor de aumento de desplaza-

miento

61-62 IRMAG-2 Código de aumento de rotacio-

nes.

EQ.1. Multiplicación de rota-

ciones por RMAGS.

EQ.2. Máxima rotación de va-

lor RMAGS.

63-70 RMAGS -20° Factor de aumento de rotacio-

nes.

71-80 FACT- 1 Factor de conversión de las -

unidades de dimensión del mo-

delo a pulgadas.

OBSERVACIONES

(1) El tamaño DIN A-0 debido a limitaciones del ancho de pa

A-63

pel del plotter solo es posible con el lado mayor en po

sición horizontal.

Especifíquese ILA = 1.

(2) La normalización de escalas se efectua sólo para los ca

sos ISCALE = 0 6 3 cuando se indica.

Se consideran valores normalizados de escala 1/1, 1/2,

1/2.5, 1/5 y sus submúltiplos de 10, así como 1/1, 2/1

2.5/1, 5/1 y sus múltiplos de 10

(3) Sólo es aplicable en postproceso.

Normalmente se considerarán únicamente los tres despla-

zamientos pero en casos especiales puede interesar ob-

servar el desplazamiento en sólo una dirección para lo

cual se deben anular los restantes poniendo un 1 en la

columna correspondiente.

En modelos unídimensionales o bidimensionales no es ne-

cesario anular los desplazamientos no considerados, se

realiza automáticamente.

Sólo se pueden considerar rotaciones en aquellos elemen

tos que tienen grados de libertad de rotación (viga, -

placa y tubería). La consideración de las rotaciones in-

crementa sensiblemente el tiempo de ordenador.

b) Primera ficha opcional (415, 2F5.2, F10.0, 6F5.2)

Esta ficha solo es necesaria si IPLOT=1 ó 2 en la ficha principal

A - 64


1-5 NDMIN=O Mínimo nodo dibujado.

6-10 NDMAX-99999 Máximo nodo dibujado.

11-15 NELMIN=0 Mínimo elemento dibujado

16-20 NELMAX-99999 Máximo elemento dibujado

21-25 XORGN-0 Coordenada X del origen

del dibujo respecto a la

esquina inferior izquier

da del papel , en cm. (só

lo si ISCALE = 5).

26=30 YORGN-0 Coordenada Y del origen del

dibujo respecto a la esquí-

na inferior izquierda del -

papel, en cm . ( sólo sí ISCA

LE = 5)

31-40 PSCALE- 1 Escala ( sólo si ISCALE=2,4

5).

(1) 41-45 DX-21 . 0 Dimensión horizontal del pá

pel, en cm (sólo si ISCALE

= 2, 3, 4,5).

(1) 46-50 DY-29.7 Dimensión vertical del pa-

pel, en cm ( sólo si ISCALE

= 2,3,4,5)

( 2) 51-55 SPACE-1.3 Margen, en cm.

(3) 56-60 XLHT -0.25 Tamaño ( altura) de los núme

ros de nodo, en cm.

A-65


(4) 61-65 PX-120.0 Máxima dimensión horizontal

del papel permitida, en cm.

(4) 66-70 PY-84.5 Máxima dimensión vertical -

del papel permitida, en cm.

OBSERVACIONES

(1) No se pueden especificar dimensiones mayores que las máxí

mas permitidas PX y PY.

(2) Es la distancia entre el bordel del papel y el recuadro

así como la mínima distancia permitida entre los nodos y

el recuadro.

(3) El tamaño (altura) de los números de elemento es 5*XLHT/7

con el fin de diferenciarlos del número de nodo en el ca-

so NOTAT = 3.

(4) Estas dimensiones están limitadas por el tipo de plotter -

y dependen de cada instalación. En el Centro de Cálculo de

la Escuela de Minas el ancho de papel (PY) está limitado a

84.5, el largo es en la práctica, ilimitado por ser plotter

de rodillos.

En todos los casos se comprueba que estas dimensiones no -

se sobrepasan y cuando esto ocurre se produce un mensaje -

de error y el dibujo se reduce a tamaño DIN A4 automática-

mente.

A - 66

C. Segunda ficha opcional (6E10.0)

Esta ficha solo es necesaria si IPLOT = 2 en la ficha princi-

pal y tiene como misión poder realizar dibujos parciales del mode

lo. La parte del modelo a dibujar es la limitada por las coordena

das mínimas y máximas que se especifican más abajo.

Observaciones columnas variable Datos entradadefecto

(1) 1-10 XXMIN-0.0 Mínima coordenada X repre-

sentada.

11-20 XXMAX-0.0 Máxima coordenada X repre-

sentada.

21-30 YYMIN-0.0 Mínima coordenada Y repre-

sentada

31-40 YYMAX-0.0 Máxima coordenada Y repre-

sentada.

41-50 ZZMIN-0.0 Mínima coordenada Z repre-

sentada.

51-60 ZZMAX-0.0 Máxima coordenada Z repre-

sentada.

OBSERVACIONES

(1) Estas coordenadas son en el sistema de ejes X, Y Z del

modelo y en unidades del modelo.

A-67

TRABAJO: fIcjn? ______. ,.. D IIJGENIEROS DE MINAS DE MADRID . '---- _______ .- -- . -.- Perforado por VeriI' yCcnt:o de CicuIo

INSTRUCCIONES PAHA PERF•1lAÇIQ1lGNO

HOJA DE PERFORACION PERFORACIONES -

¡ 112113 'ua :5 ic 1711911920 23 25k621 ; ; i. 445 4947 4f0 ;1

-tillE _iil = lE :11:1 1 II 1 -Trt-il i

2- -- -- - - - .. a•- 1 1---.l-ÇIDQ.E._UU1uEiA SJ_S RS_ .'FflCT

. c;c . u 1 1 1j 1_ 3/.41 L' 1 Li -1

. j -.----i

1 1 1

1E'» HHH6 7 05 C 1h12113114j15 16 I7I5 19 O2I222426272O293O3I 32333435363736394041 42434 45464746695051 25536 T"GO •6.16757 2 73747,

1 1 1

Ilk 1il - - -- --_-___ - -lii .1'L .LP.J .L: .L _i dJ P1S1C1 DI _____ P:x1 ij=j-___ LLLL

V:__

'iTrs 6 Ir e 'u 11112:131411s116117 8 92O 21 2123 2425 26121262930 31 3233 3435 36375639 4C 41142434 454647464915031 525315455

5957j59591Q 62 63T646566 61I693 C ¡172 fli74j51-I.--

._ _____ - __________ - __________ -.-.

______________________

DESCRIPCION DE LA SALIDA DE RESULTADOS

1. OPCION PARA IMPRIMIR TENSIONES

La siguiente descripción da la opción para imprimir tensiones

al elemento triangular y cuadrilateral. El valor de la opción "n"

para imprimir tensiones puede ser dado como 1, 0, 8, 16 6 20.

tt

L K=L

4K 2 9s

00

I2

s

33 J I

FIG. 18

0: origen natural de las coordenadas s-t.

Los puntos 1, 2, 3 y 4 son los puntos medíos de los lados. Los

puntos en los cuales obtenemos salidas de tensiones dependen del -

valor N descrito en la siguiente tabla:

n salida de tensiones

1 ninguna

0 0

8 0, 1

16 0, 1, 2, 3

20 0 1 2 3, 4

A-69

Las tensiones en 0 son impresas en un sistema de coordenadas locales y-z. Para el elemento tipo 4 los ejes locales y-z son parale-los a los ejes globales y-z.

L K

S22

12

S i l

Z J

I

Y FIG. 19

TENSIONES EN 0 PARA EL ELEMENTO TIPO 4

Para el elemento tipo 4 las tensiones en cada punto medio del -

lado salen en un sistema de coordenadas rectangulares n-p definido

por la normal al lado ( eje n) y el lado ( eje p). El eje p positivo

para los puntos 1, 2, 3y4va desde Lal , J a K, 1 aJyKaL -

respectivamente ( la dirección positiva va en contra de las agujas -

del reloj alrededor del elemento).

Las tensiones para un elemento salen bajo los siguientes títu-los: S11, S22 , S12, S33, S-MAX, S-MIN, ANGLE. Las tensiones norma-les S11 y S22 y la tensión cortante S12 están así descritas anteriormente. S-MAX y S-MIN son tensiones principales en el plano del ele-mento y S33 es la tercera tensión principal actuando en el plano -del elemento.

A - 70

n

p K4

aP

- + - ' nI

ny I

P13

n

FIG. 20

SISTEMAS DE COORDENADAS PARA SALIDA DE TENSIONESLATERALES

p6C

y \ nS22\ S12

�S11

FIG. 21

ESTADO POSITIVO DE TENSIONES EN EL PUNTO MEDIO DE UN LADO

A - 71

ANGLE es el ángulo en grados ( desde ( 1) el eje local "y" en el

punto o, o (2) desde el eje n que está en el punto medio de un la-

do al eje de la tensión principal que sea mayor algebraicamente.

Para elementos triangulares la opción a imprimir tensiones es

como la arriba descrita , a excepción que n = 20 no es válida. Sí -

n = 20 está introducida , n será puesto a 16 por el programa.

La salida de resultados proporciona además de las tensiones en

el centro de cada elemento finito , los desplazamientos de cada uno

de los nodos del modelo.

Igualmente se obtiene el dibujo de la deformada en rojo super-

puesto a la estructura sin deformar en negro en cada una de las pa

sadas, así como los detalles ampliados que se necesiten dependien-

do del modelo.

En este estudio todas las unidades utilizadas son metros y ki-

logramos.

A-72

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