Diseño, modelado y control de un robot móvil de forma esférica

Presentan: Jakob Culebro Reyes, jakob.culebro@gmail.com,

Jorge Luis Aguirre Serralde, jlas333@hotmail.com

Yukihiro Minami Koyama, yukmi9@yahoo.com.mx

RESUMEN

En esta breve ponencia se describirán a los alumnos interesados el proceso de

evaluación, diseño, fabricación, control y programación de un robot móvil. En particular,

se describe el proyecto de tesis pertinente a los autores, un robot de forma esférica que

usa un péndulo interno actuado por medio de motores con reducción, volantes de

inercia y la plataforma de comunicaciones ROS (Robot Operating System) para el

control teleoperado e inalámbrico del robot. Si bien este trabajo no es directamente

pertinente para la enseñanza de las ciencias básicas a un grupo de alumnos en un

ambiente de clase, consideramos que la muestra de proyectos como éste contribuye a

generar el interés por el aprender los conceptos de matemáticas y física que son

fundamento de las ingenierías, y por ello ésta ponencia se enfoca en su relevancia.

Palabras clave: Robot, esférico, modelado, diseño, dinámica

INTRODUCCIÓN

Un robot esférico tiene como ventajas una estructura muy simple, requerimiento

predecible de espacio, contacto limitado con el terreno, resiliencia a volcaduras, y de

requerirse, puede sellarse herméticamente para usarse en atmósferas peligrosas, o en

contacto con el agua o bajo la lluvia. Como desventajas, esta clase de robots

generalmente tienen problemas para sobrepasar obstáculos mayores del terreno, como

depresiones o escalones, y la interacción del robot con el exterior puede ser difícil, si se

quiere mantener su forma y simetría. Por ende estos sistemas con frecuencia se limitan

a tareas de exploración, reconocimiento y vigilancia.

En la facultad de ingeniería, como parte del trabajo de tesis de los autores, se evaluó,

diseñó y produjo un robot de forma esférica usando los principios de las matemáticas,

en la forma del modelado matemático (específicamente, de forma lagrangiana en tres

dimensiones) para hacer simulaciones del comportamiento del robot, estimaciones

sobre los componentes, y generar las ecuaciones que sirven para su control. En esta

presentación, se hace énfasis en los aspectos de física y matemáticas que fueron una

parte sustancial del proceso de desarrollo del robot. Se pretende mostrar también el

robot en funcionamiento para que pueda verlo el público y ayude a describir su control.

DESARROLLO DE LA PRESENTACIÓN

El proceso de desarrollo de un sistema mecatrónico de alta complejidad, como un

robot, es siempre una empresa cuasi artesanal. No parece que haya líneas precisas

sobre el cómo hacer un robot, pues cada uno generalmente presenta sus propios retos,

especificaciones y restricciones económicas o de acceso a conocimiento. Sin embargo,

esta es de todas formas una labor, por fuerza, de ingeniería, y como tal se auxilia de la

ingeniería para generar soluciones realistas, y dadas las restricciones impuestas, que

pueden considerarse como óptimas.

Todos los robots esféricos de carcasa rígida funcionan a base de tres principios

generales. El primer, conocido en inglés como IDU por Internal Drive Unit, usa un

vehiculo interno o un péndulo para cambiar la distribución de masa del robot, y por

ende el robot avanza cuando intenta alcanzar la nueva posición más estable. Éste

principio se denomina con frecuencia como de rueda de hamster. Esto es, cuando el

centro de masa del robot no está en la posición mínima, el efecto de la gravedad

genera fuerzas en el sistema que tienden a llevarlo a una posición de menor energía, y

como efecto secundario haciendo rodar a la esfera. Pero ésto mismo sigue siendo una

abstracción, pues la gravedad actúa sobre cada partícula del robot, y conceptos como

el centro de masa son herramientas que sirven para evitar manejar las matemáticas

sobre un vasto número de átomos. Si se suman los efectos sobre todas las partículas,

se observará fácilmente que el efecto neto se puede representar como si actuara sobre

un solo punto, el centro de masa, que la tierra atrae.

Otra forma de construir un robot esférico consiste en una serie de actuadores lineales

dispuestos en el interior del robot, de manera que, al moverse los actuadores, cambia

la distribución de masa de la misma forma que la descrita anteriormente. En este caso,

el robot, aunque opera bajo el mismo principio, puede mostrar un control más preciso

de sí mismo, dependiendo del número de actuadores.

Esto tiene que ver con matemáticas sutiles y profundas. Todos los movimiento

macroscópicos de los objetos en el universo pueden describirse de acuerdo con una

ley general, llamada el Lagrangiano, que es una expresión de energía. Y existen

restricciones sobre el cómo puede variar ésta energía, de acuerdo con algo conocido

como el principio de mínima acción. Si en lugar del universo, se considera un sistema

conteniendo algún conjunto de n partículas, cada una capaz de, en tres dimensiones, 6

posibles dimensiones de movimiento (x, y, z y tres giros), todas las posibilidades para

el estado del sistema se pueden describir como puntos en ese espacio de 6n

dimensiones, pero esto es claramente impráctico de usar.

Un punto tiene dimensión cero, una línea tiene dimensión uno, un plano tiene

dimensión dos, una esfera sólida tiene dimensión tres, pero la superficie de una esfera

tiene dimensión dos, a pesar de que es un objeto que existe en un espacio de tres

dimensiones. Revísense las ecuaciones de la superficies de la esfera, pues sólo

necesitan dos variables independientes. En el Lagrangiano, a tales variables

independientes capaces de describir la totalidad de las posibilidades se les dice

coordenadas generalizadas, y en robótica, grados de libertad, y son las dimensiones

que en realidad interesan. Algunas de estas coordenadas generalizadas, sobre las que

se tiene control, se les dice entradas.

Así pues, los grados de libertad de un sistema describen la dimensión del espacio

donde puede existir el sistema, por ejemplo, el robot esférico. Entre más grande sea

esta dimensión, mayor será la posible riqueza de movimiento del robot. Sin embargo, la

libertad con la que el sistema puede moverse dentro de tall espacio depende, a su vez,

de la dimensión de sus entradas. Un mayor número de entradas no triviales permite

elecciones concretas más complejas de los movimientos del robot. Por ejemplo, un

avión y un drone tienen ambos seis grados de libertad en el espacio, pero el drone, al

tener mayor número de actuadores independientes, es capaz de movimientos más

ricos. De la misma forma, hay drone más complejos que otros, y los más elaborados,

de ocho brazos, pueden moverse más ágilmente y de formas más complejas que los

más simples.

En el robot esférico, se usaron los principios del modelado matemático, para, en

conjunto con matrices de rotación, mecánica vectorial, matrices, formas cuadráticas y

ecuaciones diferenciales, generar un lagrangiano del sistema. Una vez obtenido el

lagrangiano, se puede aplicar un mero algoritmo para simular el sistema. Si bien ésto

se dice fácilmente, las ecuaciones generadas son de varios miles de términos y deben

de resolverse en una computadora, usando técnicas de análisis numérico, reducción de

sistemas lineales, revisión de convergencia, entre otras.

El último principio de funcionamiento hace uso del intercambio de momento angular,

dos volantes de inerica girando a alta velocidad dentro del robot son rotados en torno a

un eje perpendicular del de su rueda, para de ésta manera intercambiar momento

angular con la carcaza de la esfera, que rueda. El principio de conservación del

momento, y dentro de éste, como derivación, el del momento angular, es una

consecuencia interesante de que las leyes físicas parecen ser continuas e idénticas a

medida que el punto de análisis de mueve a través de las dimensiones espaciales. De

forma similar, la conservación de la energía es consecuencia de que las leyes físicas

no cambian a lo largo del tiempo. Tal resultado se conoce como el teorema de Noether,

derivado por la matemática Emily Noether en el siglo XIX.

En el proceso de diseño del robot, se usó una metodología de evaluación entre varias

propuestas diferentes, examinando simulaciones de los varios principios de

movimiento. Las simulaciones están disponibles en un repositorio público y se integran

en un trabajo de tesis que también estará disponible públicamente. Las simulaciones

ayudaron también a seleccionar de forma adecuada los componentes del sistema,

generando información de potencias, torques y fuerzas.

Con tales datos, se elaboraron los dibujos en una suite de CAD para ingeniería, y una

vez revisadas posibles colisiones, optimizaciones, resistencias y restricciones, se

procedió a fabricarlas en placas de aluminio, usando las instalaciones de la UNAM y en

talleres de ingeniería externos. Con las piezas terminadas, se ensambló el robot y se

colocaron los sistemas de electrónica para su control inalámbrico.

Con ayuda del modelo del robot, se generó un controlador lineal por retroalimentación

de estados para que éste pudiera moverse en línea recta sin desviarse excesivamente.

Los motores mismo se controlan por medio de bucles PID sobre su velocidad. Una

IMU, con acelerómetro y giroscopio, se usa para estimar la orientación del robot.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En este trabajo se hace énfasis en los aspectos de ciencias básicas necesarios para la

elaboración y control de un robot esférico. Se mencionan brevemente aspectos del

diseño, fabricación y detalles de ingeniería del sistema. Se intenta brindar al alumno un

ejemplo, real, del uso de los conceptos de ciencias básicas que con frecuencia

desprecian. En opinión de los autores, ésto se consigue exitosamente mostrándoles el

robot en funcionamiento.

AGRADECIMIENTOS

Investigación realizada gracias al programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104212

``Mejoramiento de la calidad educativa en Ciencias Básicas a través de la Robótica''

REFERENCIAS

● Hibbeler, R. C. Engineering Mechanics: Dynamics. 13a. edición. Prentice Hall,

2012.

● Javadi, A.; Mojabi, P. Introducing August: a Novel Strategy for an

Omnidirectional Spherical Rolling Robot. Proceedings of the 2002 IEEE

International Conference on Robotics and Automation, 2002.

● Mukherjee, R.; Minor, M.; Pukrushpan, J.; Simple Motion Planning Strategies for

Spherobot: a Spherical Mobile Robot. Proceedings of the 38th Conference on

Decision and Control, 1999;

● Schroll, G. Design of a Spherical Vehicle with Flywheel Momentum Storage for

High Torque Capabilities. Massachusetts Institute of Technology, 2008.