CÁLCULO DIFERENCIAL

JUNIO 2004

1. Sea la función y=2e−2|x| estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas. (Solución: Es derivable en todos los puntos excepto en x =0. Creciente si x < 0. No tiene asíntotas verticales. Asíntota horizontal y = 0) 2. Demuéstrese que las gráficas de las funciones f ( x )=e x y g( x )=1

x se cortan en un punto x > 0. (1 punto)

(Solución: Aplica el teorema de Bolzano a la función

h( x )=ex − 1x en el intervalo (1/2 , 1) )

3. Calcúlese . (Solución : 0, aplicando L`Hopital dos veces a limx →0

x−sen xx senx

)4. Sea f ( x )=x3+ax2+bx+c . Determínense a, b y c de modo quef ( x ) tenga un extremo relativo en x=0 , la recta tangente a la gráfica de f ( x ) en x=1 sea paralela a la recta y−4 x=0 , y el área comprendida por la gráfica de f ( x ), el eje y las rectas

x=0 ,x=1 , sea igual a 1. ( 3 puntos )

(Solución: a = , b = 0 , c = 7/12 )½

SEPTIEMBRE 20045. Sea f la función dada por f ( x )=x2−3|x|+2 , x∈ R .a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada. ( 1 punto )b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos. ( 1,5 puntos)c) Esbócese la gráfica de f. ( 0,5 puntos)(Solución: a) No derivable en x = 0. b) Creciente en el intervalo (−3

2,0)∪( 3

2,+∞). Mínimos relativos los

puntos (−32

,−14 ) y (3

2,−1

4 ¿). Habría un máximo relativo en (0,2) aunque en este punto no es derivable. 6. Calcúlese el valor de . (Solución: 1/3 )

7. a) Dada la función definida por , determínese de entre todas las rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta. ( 2 puntos ) b) Calcúlese una función primitiva de que pase por el punto P(e, 2) . ( 1 punto)(Solución: a) x = 2 , recta tangente y = x/4 + ln2 , b) F(x) = (1+x) lnx –x +1 )

8. Calcular a para que se verifique: lim

x→+∞(√ x2+ax+1− x ) =2

(Solución: a = 4) JUNIO 2005

9. Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x )=e1−x2 , sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. (Solución: Creciente si x < 0 ; máximo relativo el punto (0 , e). Puntos de inflexión (−√22

,√e) ,(√22

,√e). Asíntota horizontal y = 0.

10. Calcúlese limx→+∞

x ln( x )ex

. (1 punto) (Solución: 0 )11. Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos,

demuéstrese que para x>0 se verifica: arctg (2 x )−arctg( x )< x1+x2 . (1 punto) (Solución: Aplica dicho teorema a la función y = arctgx en el intervalo (x, 2x))

12. Sea f ( x )=e x+ln( x ) , x∈(0 ,∞) a. Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas. b. Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo [12

,1]y esbócese la gráfica de f. (Solución: a) Creciente si x >0 . Asíntota vertical x = 0. No hay más asíntotas. B) Aplica el teorema de Bolzano a la segunda derivada en dicho intervalo. SEPTIEMBRE 2005

13. a) Estúdiese la derivabilidad de f ( x )={ln(1+x2 ) , x>0x2 , x≤0 , sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos)

b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de f ( x ) y las rectas x=−1 , x=1 , y=0 . (1,25 puntos)

(Solución: a) Es continua y derivable en R. Creciente si x > 0. Punto de inflexión (1 , ln2) b) ln 2− 53+ π

2u2

14. Calcúlense los valores de λ≠0 para los cuales limx→0

sen ( x2)cos2( λx )−1

=−1 . (1 punto) (Solución: λ=± 1)15. Sea P(a ,sen a) un punto de la gráfica de la función f ( x )=sen( x ) en el intervalo [ 0 , π ] . Sea r P la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y AP el área de la región determinada por las rectas r P , x=0 , x=π , y=0 . Calcúlese el punto P para el cual el área AP es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta r P se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y π ) (3 puntos) (Solución: P ¿ ,1)

16. Calcúlese limx→0ln ( x )sen ( x )

. (Solución: 0)JUNIO 2006

17. Considérense las funciones f ( x )=e x , g (x )=−e− x . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (Solución: El eje OY, x = 0)18. Calcúlese el valor de limx→0

ln( cos(2 x ))x2 . (Solución: -2)

19. Dada la función f ( x )= x−1x+1 , determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica.

(Solución: Creciente en todo su dominio R−{−1 }. No hay puntos de inflexión. Cóncava en (−∞,−1¿, convexa (−1 , ∞ ) . Asíntota vertical x=−1 , asíntotahorizontal y=1 )

20. Sea f ( x )=ax 3+bx 2+cx+d . Determínense a, b, c y d para que la recta y+1=0 sea tangente a la gráfica de f en el punto (0 ,−1), y la recta x− y−2=0 sea tangente a la gráfica de f en el punto (1 ,−1 ). (Solución: a = 1, b = -1, c = 0, d = -1 y=x3 – x2 -1)

21. Determínense los valores de a y b para los cuales limx→0

ax2+bx+1−cos ( x )sen ( x2)

=1. (Sol: a=1/2 , b=0)SEPTIEMBRE 200622. Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x) =x .e− x, sus máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para todo x se tiene que f (x)≤ 1

e . b) Pruébese que la ecuación 3x ex tiene alguna solución en (,1. (Solución: Creciente en

(−∞,−1¿,máximo (1 , 1e ) , cóncava (2 , ∞ ) , Puntode inflexión en x=2 , asíntotahorizontal y=1)

b) Teorema de Bolzano para la función f ( x ) =3x - ex )23. Calcúlese lim

x →0

ln ( cos ( x ))−1+cos xx2 (Solución: -1)

24. Sea f ( x )=¿ 4−2 x2

x Determínese el dominio de f, sus

asíntotas, simetrías y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. (Solución: Dominio R−{0 }, asíntota vertical x = 0, asíntota oblçicua y = -2x. Simetría impar. Decreciente en todo su dominio. No hay extremos. 25. Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función f ( x )= x2

x2+1 en el punto x =0. (Solución: Recta tangente y = 0 , recta normal x = 0)

JUNIO 2007

26. Sea la función f ( x )= xx2−1

.Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (Solución: Asíntotas verticales x=± 1 , asíntota horizontal y = 0, no hay extremos relativos, decreciente en R−{±1 }, punto de inflexión (0 , 0), cóncava en (−1,0 )∪(1 , ∞ ))27. Calcular lim

x →0 ( 1ln ( x+1)

−1x ) (Solución: )½

28. Demostrar que las curvas f (x) =sen x y g ( x )=1x se cortan en algún punto del

intervalo (2 π , 5π2 )

(Solución: Teorema de Bolzano aplicado en dicho intervalo a la función h ( x )=senx−1x )

29. Sea la función f ( x )=x+e− xa) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) Demostrar que existe algún número real c tal que c+e−c=4(Solución: a) Dominio = R , asíntota oblicua y = x, creciente si x>0, mínimo (0 , 1), cóncava en todo R b) Aplicar el teorema de los valores intermedios)

30. Hallar a y b para que la función f ( x )={a+ xlnx si x>ob si x=0

senπxx

si x<0 sea continua en todo R.

(Solución: a = b = π)SEPTIEMBRE 2007

31. Sea f la función dada por f ( x )=e2 x−x2 .a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f. (1,5 puntos)

b) Determinar el número de soluciones de la ecuación f ( x )=2 en el intervalo [ 0 , 1 ] . (1,5 puntos)

(Solución: Creciente si x < 1. Máximo (1, e). Asíntota horizontal y = 0 por la dcha. B) Por el teorema de Bolzano aplicado a f(x)-2 sabemos que existe una solución y por ser creciente en dicho intervalo sólo hay una.) 32. Determinar en qué puntos de la gráfica de la función y=x3−3 x2+x+1 , la recta tangente a la misma es paralela a la recta y=x+7 .

(1 punto)(Solución: x = 0 y x = 2, es decir P(0 , 1) y Q(2 , -1))33. Sea la función f ( x )= x

x2+4 . Se pide hallar:a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas x=−2 , x=2 (1 punto)(Solución: a) Asíntota horizontal y = 0, creciente en (-2 , 2), máximo (2 , ) , mínimo ¼(-2 , -1/4)

b) ln2 )

34. Discutir si la ecuación x+sen x=2 tiene alguna solución real.(Solución: Aplicar teorema de Bolzano a la función f ( x )=x+sen x−2 en el intervalo [0 , π

2 ]35. Calcular, si existe, el valor de limx→0

(ex−e− x)2

x2 . (Solución: 4)JUNIO 2008

36. Sea f ( x )= lnxx2 con x∈ (o ,+∞)Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica.(Solución: Asíntota vertical x = 0 , asíntota horizontal y = o, creciente en (0 , e1/2¿, decreciente ( e 1

2 ,, ∞¿, máximo ( e 1

2 ,, 1/2 e ¿

37. Calcular limx →0

sen2 2 xx3+x2 (Solución: 4)

38. Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función f ( x )=x3+ax en el punto x =0 sea perpendicular a la recta y + x = - 3. (Solución: a = 1)39. Dada f ( x )={ sen x2

xsi x>0

x2−2 x si x ≤0 estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f

(x).(Solución: f(x) es continua para todos los valores de x, pero no es derivable en x = 0)

40. Calcular las asíntotas de la función f(x)= (2 x−1)2

4 x2+1(Solución: Sólo tiene una asíntota horizontal y = 1)41. Demostrar que la ecuación x3+ x−5=0 tiene al menos una solución en el intervalo (1,2) . (1 punto)(Solución: Aplicar el teorema de Bolzano a la función f ( x )=x3+x−5 en dicho intervalo)SEPTIEMBRE 200842. Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación y=x2−1, los que se encuentran a distancia mínima del punto A(−2,−1

2)

(Solución: P(-1 , 0))43. Estudiar la continuidad en R de la función f(x)= {1−cosx

xsi x ≠ 0

0 si x=0(Solución: f(x) es continua en R)44. Sea f ( x )=2−x+ ln x con x(0, ).Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas de f .Esbozar la gráfica de f .Probar que existe un punto c∈[ 1

e2 , 1] tal que f (c) =0 .(Solución: a) No tiene asíntotas, creciente en (0 ,1), decreciente si x(1,+), máximo relativo P(1, 1), convexa en (0, ).

45. Calcular los valores del número real a sabiendo que limx →0

eax−1−axx2 =8(Solución: a=± 4)

JUNIO 2009

46. Sea la función f ( x )=|x2−x−2|

a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad y esbozar su gráfica. b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (Solución: a) Creciente x∈(−1 , 1

2 )∪ (2 ,+∞), decreciente x∈ (−∞ ,−1 )∪( 1

2, 2). Cóncavax∈ (−∞ ,1 )∪ (2 ,+∞ ), convexa (-1 , 2))

47. Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consiste en un rectángulo y semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. (Solución: Diámetro 200

πm ,longitud 100 m)

48. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x )= ln xx en su dominio de definición(Solución: Dominio (0 , +∞). Creciente en el intervalo (0 , e), decreciente en (e , +∞))

SEPTIEMBRE 200949. Sea la función f ( x )= x3

x2+1 Hallar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica.(Solución: Asíntota oblícua y = x , creciente en R, Cóncava

x∈ (−∞ ,−√3 )∪ (0 ,√3 ), puntos de inflexión (0 ,0 ) ,(−√3 ,−√27

4 )(√3 , √274

))50. Calcular el límite lim

x →0

ln2senx

ex−1 (Solución: ln 2)

51. Sea la función f (x) = sen(x) + cos(x) , definida en el intervalo [ 0,2 π ].Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. Esbozar su gráfica

(Solución: Creciente (0 , π4 )∪ (5 π

4,2π ), decreciente ( π

4, 5 π

4), máximo ¿) , mínimo ¿))

52. Probar que la ecuación x2009−ex+2=0 tiene alguna solución(Solución: Teorema de Bolzano para f(x)= x2009−ex+2en el intervalo [−2,0 ] JUNIO 2010

53. a) Si el término independiente de un polinomio p(x) es -5 y el valor que toma p(x) para 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo [0 , 3]? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen. (1,5 puntos)(Solución: Aplica teorema de los valores intermedios , p(0)=-5, el término independiente es el valor del polinomio para x =0)54. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5€/cm2 y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo.(Solución: base cuadrada de 6 cm de lado , altura 7,5 cm)55. Hallar el valor de a para que se verifique que lim

x→+∞ ( 2 x+a2 x−1 )

x +5

=limx→ 0

x2−x3

sen2 x (Sol: a

= -1)56. Dada la función f ( x )= x+1

x−1 se pide: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, y las asíntotas. (Solución: Asíntota vertical x = 1, asíntota horizontal y =1 , decreciente en todo su dominio, convexa en (−∞, 1 ))57. Calcular b y c sabiendo que la función f ( x )={x

2+bx+c si x ≤ 0ln(x+1)

xsi x>0 es derivable en el

punto x = 0. (Solución: b = -1/2 , c = 1)SEPTIEMBRE 201058. Se divide un alambre de 100m de longitud en dos segmentos de longitud x y 100-x. Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para qué valor de x dicha suma es

mínima? (Solución: x= 9004 √3+9 )

59. Sea la función f ( x )=x √4−x2 Determinar el dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. Esbozar su gráfica (Solución: Dominio [-2 , 2], creciente en el intervalo (−√2 ,√2 ), decreciente (−2 ,−√2 )∪ (√2 ,2 ), mínimo el punto (−√2 ,√2 ), máximo el punto (√2 ,2 )

60. Dada la función f ( x )= ( x+3 )2

ex se pide determinar: a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. c) La gráfica de f. (Solución: Dominio R, corta a los ejes en (-3 , 0), (0 , 9), no tiene asíntotas, creciente en (-3 , -1), mínimo (-3 , 0), máximo (-1 , 4e)

61. a) Sean f ( x )= x−|x|2 , g(x)= {3 xsi x≤ 0

x2 si x>0 Hallar g(f(x)) . (1 punto) (Solución: g ¿)

JUNIO 2011

62. Estudiar si la función f: [ 0,2 ] → R dada por f ( x )={ √x si 0≤ x ≤1−32

x2+72

x−1 si 1<x≤ 2 verifica las hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema.(Solución: Si las cumple)

63. Calcular limx →0

cos2 x−e− x−xx senx

(Solución: -5/2 )64. Sea f ( x )= x2−3 x+3

x−1

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas. b)Esbozar su gráfica.

(Solución: Dominio R−{1 }, asíntota vertical x = 1, asíntota oblícua y = x-2, creciente en (−∞, 0 )∪ (2 ,+∞ ), máximo (0 , -3) , mínimo (2 , 1), cóncava en (1 ,+∞ ))65. Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función f(x)= {sen x−ax

x2 si x>0

x2+b si x ≤ 0 es continua en R. (1,5 puntos) (Solución: a = 1, b = 0)

SEPTIEMBRE 201166. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y determina en el primer cuadrante con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área.

(Solución: y = -2x +4 , área 4 u2)67. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f ( x )=|x−1| en el intervalo [-2, 2]. Calcular la función derivada de f ( x )en ese intervalo. (Solución: Continua en dicho intervalo, no derivable en x = 1)68. Dada la función y= ln x

x determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y puntos de inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica. (2,5 puntos) (Solución: Dominio (0 ,+∞), asíntota vertical x =0, asíntota horizontal y = 0, decreciente en (e ,+∞ ), máximo (e , 1/e) , convexa en (0 ,√e3 ), punto de inflexión ¿, 3/2√e3 )JUNIO 2012

69. Dada la función f ( x )=a e2x

1+ x, se pide:

a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0 valga 2.b) Para a =1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. c) Para a =1, hallar sus asíntotas

(Solución: a) a = 2 , b) creciente en (−12

,+∞), decreciente en (−∞,−12 )−{−1 },

mínimo el punto (−12

, 2e ) c) A.V. x = -1, A.H. y = 0)

70. Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función f ( x )=a x3+2 x2+3 en los puntos de abscisas x =1 y x = -1 sean perpendiculares.(Solución: ± √15

3)

71. Se considera la función f (x) = ex + ln( x) , x∈ (0 , ∞ ) donde ln denota el logaritmo neperiano.a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f (x). b) Demostrar que la ecuación x 2 e x -1 = 0 tiene una única solución c en el intervalo [0,1].c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la gráfica de f(Solución: a) A. V. x = 0, creciente en todo su dominio. B) La existencia se demuestra aplicando el teorema de Bolzano para la función g(x) = x 2 e x -1, y la unicidad aplicando el teorema de Rolle o viendo que en dicho intervalo la función es creciente (por tanto sólo puede haber un punto de corte) c) Si hallamos la segunda derivada de f(x) obtenemos g(x) por lo que el punto de inflexión es el punto c del apartado b))

SEPTIEMBRE 201272. Sea la función f ( x )=( 2 x2+3 ) ex

a) Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión. b) Esbozar su gráfica(Solución: A.H y = 0 cuando x →−∞, siempre creciente , convexa en (−2−√2

2,−2+ √2

2 ), puntos de inflexión en x =−2−√22

y en x = −2+ √2

2

73. Calcular limx →0

ln (1+x)− ln(1−x )x senx (Solución: -1)

74. Determinar en qué puntos de la grafica de la función f ( x )=x3−6 x2+4 x+8 la recta tangente a la misma es paralela a la recta y=4 x+7. (Solución: x = 0 , x = 4)75. A) Determinar los extremos absolutos de la función f ( x )=x2−4 x+4 en el intervalo [1,4].

B) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por f ( x )={x−x2 si 0 ≤ x ≤1

ln2 xx−1

si1<x ≤2 en el punto x = 1 , donde ln denota el logaritmo neperiano.(Solución: A) Los extremos absolutos pueden estar entre los extremos relativos o en los extremos del intervalo; en nuestro caso el máximo absoluto es el punto (4 , 4) y el mínimo absoluto es el punto (2 , 0). B) La función es continua en [0 ,2] , no es derivable en x = 1)

JUNIO 2013

76. Sea la función f ( x )={a√x+bx si 0≤ x≤ 1c ln x si1<x Hallar a, b y c sabiendo que f (x) es continua en (0,

) , la recta tangente a f (x) en el punto de abscisa x = 1/16 es paralela a la recta y 4x 3,

y se cumple que ∫1

e

f ( x )dx=2. (Solución: a=-4/3 , b=4/3 , c=2)77. a) Estudiar el crecimiento de la función f ( x )=x3+3 x2−3. (1 punto) (Solución: Decreciente si x∈ (−2,0 ))

b) Probar que la ecuación x3+3x2−3=0 tiene exactamente tres soluciones reales. (1,5 puntos) (Solución: Probar la existencia con el teorema de Bolzano y la unicidad utilizando el teorema de Rolle)78. Sea la función f ( x )= x−2

x+2 .

a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento. (1 punto) (Solución: A.V. x = -2, A.H. y=1)b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta y=1, la gráfica de la función , el eje OY y la recta x=2;

calcular el área de dicho recinto. (1,5 puntos)

79. Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima. (2,5 puntos) (Solución: Triángulo equilátero de lado 2 m)SEPTIEMBRE 2013

80. Sea f ( x )=(x+1)e− x . Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos) (Solución: Creciente si x∈ (−∞ ,0 ), Máximo (0,1), Cóncavidad x∈ (1 ,+∞ ) ,P . I (1 , 2

e)))

81. a) Hallar limx→+∞

x ln(x+1)x2+1

. (1,25 puntos) (Solución: )¼

82. a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. (1 punto)

b) Estudiar la continuidad de la función

f ( x )={ e1x si x<0

k si x=01−cosx

senxsi x>0

en el intervalo (−π2

, π2 ), según los valores de k. (1,5 puntos)

(Solución: f(x) continua si k = 0)83. a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función f ( x )= 1

x2−x−2. (1 punto) (Solución: A.V. x=-1 y x = 2, A.H. y = 0)

JUNIO 2014

84. Hallar la función polinómica de grado 3 sabiendo que su gráfica pasa por el punto P(1 , 0), que tiene por tangente en el punto de abscisa x = 0 la recta de ecuación y = 2x + 1, y que su integral entre 0 y 1 vale 3. (2,5 puntos)(Solución: f ( x )=−24 x3+21 x2+2x+1)

85. Sea la función f ( x )=e−x2

. Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)(Solución: f(x) creciente en

(−∞, o ) , decreciente en (0 ,+∞ ) , máximo el punto (0,1 ); cóncavaen(−∞,−√22 )∪(√2

2,+∞) , P . I (−√2

2, 1√e ) , P . I (√2

2, 1√e ))

86. Sea la función f ( x )=+2√ xa. Hallar su dominio y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (0,5 puntos)b. Calcular el punto de la gráfica de f ( x ) más cercano al punto (4 , 0) (2 puntos)(Solución: Dominio [ 0 ,+∞¿,f(x) creciente si x>0, b) P(2,2√2))

87. Sea la función f ( x )= ex

(1+ex)2

a. Calcular un punto de su gráfica tal que la recta tangente en dicho punto sea paralela al eje OX. Escribe la ecuación de la recta tangente. (1 punto)

b. Calcular el área limitada por la gráfica de la función, el eje OX y la rectas x = 0 y x = ln5. (1,5 puntos)(Solución: a¿ P(o , 14 ) , R .T . y=1

4b¿ A=1

3u2)

SEPTIEMBRE 2014

88. Sea la función f ( x )=x2 e−x . Determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos) (Solución: f ( x ) creciente en (0,2 ) , decreciente en (−∞ , 0 )∪ (2 ,+∞ ) , máximo relativo el punto (2,4 e−2 ) , mínimo relativo (0,0 ) ;cóncavaen (−∞,2−√2 )∪ (2+√2,+∞ ) ,P . I (2−√2 , (6−4 √2 ) e−(2−√2 )) , P . I (2+√2 , ( 6+4 √2 ) e−( 2+√2) ) , A .H y=0cuando x→ ∞)

89. a) Hallar el punto en el que la recta tangente a la gráfica de la función f ( x )=x2−x+4 es paralela a la recta de ecuación y=5 x−7(1 punto) b) Calcular el área delimitada por la parábola de ecuación y=2x2 y la recta y=2 x+4 (1,5 puntos)(Solución: a) Punto (3,10) b) A = 9 u2)

90. E3.- Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de 32.000 litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción? (2,5 puntos)(Solución: x = 4 m , y= 2 m)91. E4.- a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. (1 punto)

b) Hallar la primitiva de f ( x )=x2 lnx cuya gráfica pasa por el punto (1 , 2) (1,5 puntos)

(Solución: b) F ( x )= x3lnx3

− x3

9+ 19

9)

JUNIO 2015

92. E3.- Determinar los vértices del rectángulo de área máxima que tiene lados paralelos a los ejes de coordenadas y vértices en el borde del recinto delimitado por las gráficas de las funciones f ( x )=x2 y g ( x )=2−x2 (2,5 puntos)

(Solución: Vértices: (−√33

, 13 ) ,(√3

3, 13 ) ,(−√3

3, 53 ),(√3

3, 53 ))

93. E4.- a) Sea g(x) una función continua y derivable en toda la recta real tal que g(0)= 0 y g(2)=2 . Probar que existe algún punto c del intervalo (0,2) tal que g'(c)= 1. (1 punto)

b) Hallar la función f (x) que cumple f ' ( x )=xln(x2+1) y f (0) =1. (1,5 puntos)

(Solución: a) Aplicar teorema de Lagrange, b) f ( x )=(x¿¿2+1) ln ( x2+1 )−x2

2+1 ¿)

94. E3.- Dada la función f ( x )= xlnx , determinar su

dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica. (2,5 puntos)(Solución: Dominio (0 ,+∞)−{1 }, asíntota vertical x =1, creciente en (e ,+∞ ), decreciente (0, e)-{1 } , mínimo(e , e) )

95. E4.- a) Calcular limx →0 ( 1

x− 1

ln (1+x)) (1punto)

b) Calcular el área del recinto delimitado por las gráficas de las funciones

f ( x )=1x

, g ( x )= 1x2 y la recta x = e . (1,5 puntos)

(Solución: a) -1/2 , b) A= 1/e u2)SEPTIEMBRE 201596. E3.- Consideremos la función f ( x )= x2−1

x2+1. Calcular dominio, asíntotas, intervalos de

crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión. (2,5 puntos) (Solución: Dominio R, asíntota horizontal y = 1, creciente en (0 ,+∞), mínimo (0 , -1) , cóncava en (−√3/3 ,√3/3 ), puntos de inflexión ¿, -1/2 ) y ¿, -1/2 )97. E4.- a) Enunciar e interpretar geométricamente el Teorema de Rolle. (1 punto)

b) Hallar la primitiva de la función f ( x )=x2 lnxcuya gráfica pasa por el punto (1,0). (1,5 puntos)

(Solución: b) F ( x )=3 x3 lnx−x3+19

)98. E3.- Consideremos la función definida a trozos f ( x )={x2+bx+c si x ≤ 2

ln ( x−1 ) si x>2 Hallar los valores de a,

b y c para que sea continua en toda la recta real y tenga un extremo relativo en el punto (1,-1). (2,5 puntos) (Solución: a = 1 , b = -2, c = 0)

99. E4.- a) Calcular limx →0

(cosx )1x2

. (1 punto)

b) Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones cos x y senx y las rectas x= 0 y x = π/2 (1,5 puntos) (Solución: a) -1/2 , b) A=2√2−2u2)

JUNIO 2016

100. a) Calcular a, b y c para que la función f ( x )=x3+a x2+bx+c tenga pendiente nula en el punto (1,1) de su gráfica y, sin embargo, no tenga un extremo relativo en dicho punto. (1,25 puntos) b) Probar que la ecuación x5+ x−1=0tiene una única solución real positiva. (1,25 puntos)(Solución: a) a = -3 , b = 3, c = 0; b) Teoremas de Bolzano y Rolle)

101. a) Calcular limx→ 0+¿( 1

x −1

e x−1 ) ¿¿ (1 punto)

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f ( x )=1−x2 y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisa x=1 y x=−1 (1,5 puntos) (Solución: a) ; b) A=2/3 u½ 2)

102. Tenemos un cartón cuadrado de 6 cm de lado y queremos construir con él una caja sin tapa. Para ello recortamos un cuadrado de x cm de lado en cada vértice del cartón. Calcular x para que el volumen de la caja sea máximo. (2,5 puntos)(Solución: x=1)103. a) Calcular lim

x→ 0+¿ (1+x2)1 /x¿

¿ . (1 punto) b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f ( x )=lnx , el eje OX y la recta x=3 . (1,5 puntos) (Solución: a) 1 , b) A= 3 ln3 - 2 u2) SEPTIEMBRE 2016

104. Dada la función f ( x )=2e−2|x| , estudiar: derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, extremos relativos y asíntotas. (2,5 puntos) (Solución: No es derivable en x =0, Creciente(−∞, 0 ) , decreciente (0 ,+∞ ), Máximo relativo en x =0, , A . H y=0 )

105. a) Calcular limx→ 0+¿ x (e

1x ¿−1)¿¿

¿. (1 punto) (Solución: +∞)b) Consideremos la función f ( x )=x3+m x2+1con m ≥0 . Calcular el valor de m para que el área del recinto limitado por la gráfica de la función f ( x ), el eje OX y las rectas x=0y x=2sea 10. (1,5 puntos) (Solución: m=3 /2)

106. E3.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,1) y forma con los ejes coordenados un triángulo de área mínima en el primer cuadrante. (2,5 puntos) (Solución: x+ y−2=0)107. E4.- Se considera la parábola y=−x2+2 x . a) Calcular las rectas tangentes a dicha parábola en sus puntos de intersección con el eje OX. (0,75 puntos) (Solución: 2 x− y=0, 2 x+ y−4=0)

b) Calcular el área delimitada por la gráfica de dicha parábola y las rectas tangentes obtenidas en el apartado a). (1,75 puntos) (Solución: 2

3u2)

JUNIO 2017

108. a) Enunciar el teorema de Bolzano e interpretarlo geométricamente. (1 punto) b) Encontrar un intervalo en el que P ( x )=x6+ x4−1 tenga al menos una raíz. (1,25 puntos) (Solución: Intervalo [0, 1])

109. a) Calcular la recta tangente a la curva f ( x )=4 e x−1en el punto (1 , f (1 )) . (1 punto) (Solución: 𝑦 = 4x)b) Calcular el área de la región delimitada en el primer cuadrante por la gráfica de la función f ( x )=x3 y la recta y=4 x . (1,25 puntos) (Solución: 𝐴 = 4 u2)

110. E3.- a) Dado el polinomio P ( x )= x3

3−3 x2

2+2x+C , hallar C para que el valor de P(x) en su mínimo relativo sea 1. (1,25 puntos) (Solución: 𝐶 = 1/ 3)b) Calcular lim

x→ 0+¿ x lnx ¿¿ . (1 punto) (Solución: 0)

111. E4.- Sea f ( x )={(x−1)2 si x≤ 1a+lnx si x>1

a) Encontrar a para que la función sea continua. (1 punto) (Solución: 𝑎

= 0)b) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de f(x) y las rectas x=1 , y=1. (1,25 puntos) (Solución: 𝐴 = 2 /3 u2)

SEPTIEMBRE 2017112.E3.- a) Dada la función f ( x )={ x si x<0

x2+ax si x≥ 0 , calcular 𝑎 para que 𝑓 sea derivable en 𝑥 = 0. (1 punto) (Solución: 𝑎 = 1)

b) Hallar 𝑎, 𝑏 y 𝑐 para que la función f ( x )=a x2+bsenx+c verifique (0) = 0, 𝑓′(0) = 1 y 𝑓′′(0) = 2. (1,25 puntos) (Solución: a) a = 1 , b = 1, c = 0 )

113.E4.- a) Calcular limx →0

e x−e(x2)

x . (1 punto) (Solución: 1)

b) Hallar el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones f ( x )=−x2 , g (x )= x2−2. (1,25 puntos) (Solución: 𝐴 = 8 /3 u2)

114.Consideremos la función f ( x )= x2+1x2+2

. Calcular el dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos. Esbozar su gráfica. (2,25 puntos) (Solución: Dominio R,asíntota horizontal y = 1, creciente en (0 ,+∞), mínimo (0 , 1/2) )

115.E4.- a) Calcular limx →0

xex−senxx2 (1,25 puntos) (Solución: 1)

b) Calcular ∫ lnx dx. (1 punto) (Solución: F(x)= x (lnx -1) +k )