+

3v

2v

b

a4 6

5

2

2

+ RL

+

Rth

Vth

RL

a

b

Calcular el equivalente Thevenin

3v

4

2vb

c6

52

Vth

a+

+

d

Para calcular el equivalente Thevenin “abrimos” entre los puntos a y bCalcularemos así la tensión en circuito abierto Vth

3v

4

2vb

c6

5

2

2Vth

I2I1

a+

+

d

335

,2)(540

2)(22

2

211222

211

cththc VVVIV

IIIIII

IIIMallas

Asignamos intensidades de mallas. Sumamos tensiones a lo largo de los recorridos

De las ecuaciones obtenemos el valor I2 y como no circula intensidad por la

resistencia de 6 la tensión buscada es Vab =-3+Vc:

El resultado obtenido es Vth=-2.5V

Para calcular La resistencia equivalente cortocircuitamos ambas fuentes de tensión:

4

a

6

5

2

2 Rth

5.86)5//5(

65//42//2

th

th

R

R

- +

8,5Ώ

RL

a

b

2,5 V

Recordando que las relaciones fasoriales para los elementos R, L y C están dadas por:

Impedancia y Impedancia y admitanciaadmitancia

ElementoElemento Dominio del TiempoDominio del Tiempo Dominio de la FrecuenciaDominio de la Frecuencia

Resistor

CjI

V

Inductor

Capacitordtdv

Ci

dtdi

Lv

iRv IRV

ILjV

En una resistencia, condensador o inductor, En una resistencia, condensador o inductor, la corrientela corriente y y el voltaje fasorialel voltaje fasorial, , en el dominio de la frecuenciaen el dominio de la frecuencia, , están relacionados como la ley de Ohm para las están relacionados como la ley de Ohm para las resistenciasresistencias

IntroducciónIntroducción

I

VZ “Ley de Ohm fasorial ”

m

m

m

m

m

m IVZ

I

V

I

V

I

VZ

mm IIVV eTeniendo en cuenta que , se tiene:

La impedancia no tiene un significado en el dominio del tiempo.

Z

Se define la impedanciaimpedancia de un elemento como la razón entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial, y se denota como .

IntroducciónIntroducción

donde donde RR es la parte real de la impedancia (componente es la parte real de la impedancia (componente resistivaresistiva) y ) y XX la parte compleja (componente la parte compleja (componente reactivareactiva).).

NotaciónNotación

polar forma ZZ

Puede notarse que se debe cumplir:

La impedancia puede expresarse como:

lexponencia forma jeZrrectangula forma jXR

R

X

XRZ

1

22

tan

gráficamenteZ

X (Reactancia)

R (Resistencia)

Im

Re

El recíproco de la impedancia se llama El recíproco de la impedancia se llama admitanciaadmitancia y se denota por la letra y se denota por la letra YY, es decir:, es decir:

NotaciónNotación

RZ IRV :aResistenci

Tanto R, L y C tienen su impedancia correspondiente. Así:

YZZ

Y11

LXjLjZ ILjV :aInductanci

CXjC

jCj

Z Cj

IV

11

:rCondensado

reactanciareactanciainductivainductiva

reactanciareactanciacapacitivacapacitiva

La parte real de la admitancia, La parte real de la admitancia, GG, se denomina , se denomina conductanciaconductancia y la parte imaginaria, y la parte imaginaria, BB, , susceptanciasusceptancia (notar que (notar que no sonno son recíprocos de recíprocos de R R y y XX, , respectivamente). La unidad de respectivamente). La unidad de GG y y BB es es siemenssiemens..

NotaciónNotación

Si la parte imaginaria de una impedancia es positiva, se dice que la impedancia es inductiva. En cambio, si es negativa, se dice que la impedancia es capacitiva. En el caso particular en que X=0, la impedancia es resistiva pura.

jBGXR

Xj

XR

R

XR

jXR

jXRY

222222

1

jXRZ Como:

Considerando que las fuentes de tensión Considerando que las fuentes de tensión externas externas tienen la misma frecuenciatienen la misma frecuencia (aunque no (aunque no necesariamente en fase), se verifica que:necesariamente en fase), se verifica que:

Leyes de Kirchhoff fasorialesLeyes de Kirchhoff fasoriales

Por lo tanto, se cumple la ley de tensiones de Kirchhoff en una malla para tensiones fasoriales. Del mismo modo puede comprobarse la ley de Kirchhoff para corrientes fasoriales en un nodo, es decir:

021 nVVV

021 nIII

Por lo tanto:Por lo tanto:

Interconexiones de impedanciasInterconexiones de impedanciasImpedancias conectadas en serie

Sea el siguiente circuito

nn ZZIVVVV 221

Z1 Z2

ZnV

I

IComo la corriente fasorial circula por cada impedancia, se tendrá:

neqeq ZZZZIV 2

Para el caso de Para el caso de dos admitanciasdos admitanciasen paralelo:en paralelo:

Interconexiones de impedanciasInterconexiones de impedanciasAdmitancias conectadas en paralelo

Sea el siguiente circuito

VI

ii YVI Teniendo en cuenta que , aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes fasoriales se puede demostrar que:

neq YYYY 21

YnY1 Y2

21

21

21

21

11

ZZ

ZZ

YYYZYYY

eq

eqeq

Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo “Aplicando la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo “AA”:”:

Interconexiones de impedanciasInterconexiones de impedancias

Ejemplo

Determinar el voltaje del nodo AA (en estado estable) del siguiente circuito:

VYYYI 3211

I110 cos 1000tR1

10ohm

R2

10ohm

L110mH

C1

100uF

A

Reemplazando:Reemplazando:

Ejemplo (cont.)

AA VjVjj 05,015,01,0)1(05,01,010

Finalmente:

º0101 I

1,010

11

1

1 Z

Y

)1(05,01010

11

2

2 jjZ

Y

1,01

3

3 jZ

Y

º4,183,63º4,18158,0

º010

AV

Interconexiones de impedanciasInterconexiones de impedancias

Resolviendo paraA

Resonancia en paraleloResonancia en paralelo

Existen aplicaciones que requieren sólo dejar pasar Existen aplicaciones que requieren sólo dejar pasar señales en una banda estrecha de frecuencias y señales en una banda estrecha de frecuencias y eliminar las señales sinusoidales cuya frecuencia eliminar las señales sinusoidales cuya frecuencia estén fuera de dicha banda.estén fuera de dicha banda.

RCIent L Isal

la ganancia de corriente será:

)(

1

LCRent

sal

YYYRI

IH

Sea un circuito RLC paralelo como el indicado:

El “ancho de banda” de un circuito selectivo de frecuencias se define como el intervalo de frecuencias que se encuentra entre las dos frecuencias donde la magnitud de la ganancia cae 3dB del valor máximo.

Por lo tanto:Por lo tanto:

Observando la expresión anterior, puede notarse que habrá una frecuencia para la cual el término imaginario se hace cero (para C = 1 / C = 1 / L L). Esa frecuencia se conoce como “frecuencia de resonanciafrecuencia de resonancia”, rr , y en un circuito paralelo se determina cuando la admitancia YY es no reactiva.

LCj

RLjCj

RYYYY LCR

1111

Sustituyendo en la ecuación de la ganancia, se tiene:

RLCjH

11

1

Resonancia en paraleloResonancia en paralelo

Puede notarse que en condición de resonancia, al ser Puede notarse que en condición de resonancia, al ser la admitancia puramente resistiva, la corriente la admitancia puramente resistiva, la corriente aplicada y el voltaje a la salida aplicada y el voltaje a la salida estarán en faseestarán en fase..

Un circuito resonante es una combinación de elementos sen-sibles a la frecuencia, conectados de tal forma que sea capaz de proporcionar una respuesta selectora de frecuenciasproporcionar una respuesta selectora de frecuencias.

CLr

1

Resonancia en paraleloResonancia en paralelo

Teniendo en cuenta que la resonancia ocurre cuando rrC=1/C=1/rrLL, entonces la frecuencia de resonancia puede determinarse como:

Considerando el siguiente circuito, lConsiderando el siguiente circuito, la relación de voltajes es:a relación de voltajes es:

R

C L

VentVsal

CRRLj

CjLjR

R

V

VH

ent

sal

11

1

1

Tal como sucedió en el circuito con los elementos en paralelo, puede notarse que el término imaginario se anula para la frecuencia de resonancia rr , tal que rrC=1/C=1/rrLL, la que queda definida por:

CLr

1

Resonancia en serieResonancia en serie

Redibujando el circuito visto en la clase anterior como:Redibujando el circuito visto en la clase anterior como:

Puede notarse que la tensión de salida es una fracción de la tensión de entrada, definida por el divisor de impedancias:

)(1

1)(

1

1)( tV

RCstV

RCsR

RCstV ententsal

Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.

Se llega a la misma Función de TransferenciaFunción de Transferencia anterior:

sRCsV

sVsG

ent

sal

1

1

)(

)()(

Vent

R

1/sC Vsal

Por lo tanto, puede inferirse que:

Análisis de circuitos y Análisis de circuitos y Función Función deTransferenciadeTransferencia

Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.Análisis de circuitos en el dominio de la T.L.

Es decir:

ElementoElemento Dominio del TiempoDominio del Tiempo Dominio de LaplaceDominio de Laplace

Resistor

)()( sICs1sV

Inductor

Capacitordt

dvCi

dtdiLv

iRv )()( sIRsV

)()( sILssV

RZ :aResistenciLsXZ L :aInductanci

CsXZ C1 :Capacitor

Función de Transferencia y Ecuaciones de EstadoFunción de Transferencia y Ecuaciones de Estado

Dada una EDO de orden “n”:

aplicando TL con condiciones iniciales nulas, resulta:

)()()()()( 011

1 sUsXasXasXsasXs nn

n

)()()()()(

011

1

1 tutyadt

tyda

dt

tyda

dt

tydn

n

nn

n

o bien:01

11

1

)(

)()(

aasassU

sYsG

nn

n

La expresión:

se conoce como “Función de Transferencia” del sistema.

nulas)]([

)]([)(

CItu

tysG L

L

Para encontrar la relación entre la formulación de un sistemadada por su función de transferencia (FT) y la dada por lasecuaciones de estado (ED), puede partirse de (#), es decir:

udxcy

ubxAxT

Aplicando TL a la primera ecuación, resulta:

y despejando, se tiene finalmente:

)()()0()( sUbsXAxsXs

)()()0()()( 11 sUbAIsxAIssX

(#)

Función de Transferencia y Ecuaciones de EstadoFunción de Transferencia y Ecuaciones de Estado

Aplicando TL a la segunda ecuación de (#), se tiene:

Reemplazando (a) en (b) y despejando, resulta finalmente:

)()()( sUdsXcsY T

)()()( 1 sUbAIssX

Para encontrar la FT, debe considerarse condiciones iniciales(CI) nulas, es decir: . Por lo tanto:0)0( x

(a)

(b)

dbAIscsGsU

sY T 1)()()(

)((##)

Así, conociendo “A”, “b”, “c” y “d”, aplicando (##) puedeobtenerse la FT de un sistema.

Función de Transferencia y Ecuaciones de EstadoFunción de Transferencia y Ecuaciones de Estado

xTz

donde T es cualquier matriz cuadrada que tenga inversa (esdecir, existe existe TT-1-1). Por lo tanto, si se reemplaza en el expresión global de ecuación de estado:

La formulación en EE no es únicano es única. Para comprobar que existeninfinitas representaciones en espacio de estado de un sistema, puede elegirse un vector que cumpla con:z

udzTcy

ubzTAzTxT

1

11

udzcy

ubzAzT ~~

~~

ddTccbTbTATA TT ~y~;

~;

~ 11con:

Función de Transferencia y Ecuaciones de EstadoFunción de Transferencia y Ecuaciones de Estado

FINFIN