ZENBAKI LEHENEN AMAIGABEKOHISTORIA

Javier Duoandikoetxea

UPV/EHUko Matematika saila

Euklides-en ’Elementuak’ euskaratzearen inguruko jardunaldia

Donostian, 2005eko urriaren 5ean

Zenbaki lehenak

Elementuak, VII. liburua, definizioak:

11. Zenbaki lehen bat unitate bakarrak neurtua dena da.

13. Zenbaki konposatua zenbakiren batek neurtua da.

7 eta 13 lehenak dira.

24 = 4× 6 eta 35 = 5× 7 konposatuak dira.

Zenbaki lehenak

Elementuak, VII. liburua, definizioak:

11. Zenbaki lehen bat unitate bakarrak neurtua dena da.

13. Zenbaki konposatua zenbakiren batek neurtua da.

7 eta 13 lehenak dira.

24 = 4× 6 eta 35 = 5× 7 konposatuak dira.

Aritmetikaren oinarrizko teorema (Euklides IX, 14 proposizioa,osatua).

Zenbaki bat beti da zenbaki lehenen biderkadura. Zenbaki bakoitzarendeskonposaketa bakarra da (faktoreen ordena salbu).

Zeintzuk dira? (Eratostenes-en bahea)

• Hartu lehen ehun zenbakiak, adibidez

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Zeintzuk dira? (Eratostenes-en bahea)

• Kendu 2-ren multiploak

2 3 5 7 911 13 15 17 1921 23 25 27 2931 33 35 37 3941 43 45 47 4951 53 55 57 5961 63 65 67 6971 73 75 77 7981 83 85 87 8991 93 95 97 99

Zeintzuk dira? (Eratostenes-en bahea)

• Kendu 3-ren multiploak

2 3 5 711 13 17 19

23 25 2931 35 3741 43 47 49

53 55 5961 65 6771 73 77 79

83 85 8991 95 97

Zeintzuk dira?(Eratostenes-en bahea)

• Kendu 5-en multiploak

2 3 5 711 13 17 19

23 2931 3741 43 47 49

53 5961 6771 73 77 79

83 8991 97

Zeintzuk dira?(Eratostenes-en bahea)

• Kendu 7-ren multiploak

2 3 5 711 13 17 19

23 2931 3741 43 47

53 5961 6771 73 79

83 8997

Gelditu diren guztiak lehenak dira.

Zenbat dira?

Zenbat dira?

Elementuak, IX. liburua, 20. proposizioa:

Zenbaki lehenak gehiago dira zenbaki lehenen edozein kopuru proposatubaino.Hau da, infinitu zenbaki lehen daude.

Zenbat dira?

Elementuak, IX. liburua, 20. proposizioa:

Zenbaki lehenak gehiago dira zenbaki lehenen edozein kopuru proposatubaino.Hau da, infinitu zenbaki lehen daude.

Euklidesen froga. p, q eta r lehenak proposatu badira, egin

N = pqr + 1

1. N lehena bada, ez p, ez q, ez r ez den lehen bat dugu.

2. N ez bada lehena, p ez da N -ren zatitzailea. Izan ere, zatitzaileabalitz, p-k N eta pqr zatituko lituzke, hortaz, N − pqr ere bai, bainahau ezinezkoa da, N − pqr = 1 delako. Modu berean, q eta r ez diraN -ren zatitzaileak.

Zenbat daude zenbaki baten aurretik?

Zenbat daude zenbaki baten aurretik?

Defini dezagun x bakoitzerako π(x) = x baino txikiago edo berdin direnzenbaki lehenen kopurua. Hau da,

π(x) = #{p : p lehena eta p ≤ x}.

Zenbat daude zenbaki baten aurretik?

Defini dezagun x bakoitzerako π(x) = x baino txikiago edo berdin direnzenbaki lehenen kopurua. Hau da,

π(x) = #{p : p lehena eta p ≤ x}.

x π(x)100 251000 16810000 1229100000 9592

x π(x)1000000 784981000000 66457910000000 5761455100000000 50847478

Ezin izango dugu π-rako formula zehatza eman, jakina.

Helburua: aztertu π-ren portaera asintotikoa, hau da, π(x)-ren portaerax-ren balio handietarako.

• Infinitu zenbaki lehen egotea eta

limx→∞

π(x) = ∞

izatea gauza bera da.

Helburua: aztertu π-ren portaera asintotikoa, hau da, π(x)-ren portaerax-ren balio handietarako.

• Infinitu zenbaki lehen egotea eta

limx→∞

π(x) = ∞

izatea gauza bera da.

• Portaera hobeto zehazteko honetara bideratuko dugu helburua:

limx→∞

π(x)

f (x)= 1

betetzen duen f funtzio bat aurkitu (f “ohiko” funtzioen bidez defini-turikoa nahiko genuke).

(Notazioa: Hala gertatzen denean π(x) ∼ f (x) idazten dugu.)

Euler (1707–1783)

Euler-ek hurrengo formula lortu zuen:

∞∑n=1

1

ns=

∏p lehena

(1− 1

ps

)−1

(s > 1).

Ezkerreko seriean zenbaki guztiak ageri dira; es-kuineko biderketan lehenak bakarrik. Lotura hau osogarrantzizkoa suertatu zen π(x) aztertzeko.

Euler (1707–1783)

Euler-ek hurrengo formula lortu zuen:

∞∑n=1

1

ns=

∏p lehena

(1− 1

ps

)−1

(s > 1).

Ezkerreko seriean zenbaki guztiak ageri dira; es-kuineko biderketan lehenak bakarrik. Lotura hau osogarrantzizkoa suertatu zen π(x) aztertzeko.

Infinitu zenbaki lehen daude (Euler-en froga):s = 1-erako ezkerreko seriea dibergentea da (bestela esanda, batura +∞da). Berdintzari esanahi bat eman ahal bazaio kasu horretan —eta emanahal zaio— eskuineko biderketako gai-kopurua infinitua da.

Legendre (1752–1833)

Legendre-k zenbaki lehenen taulak aztertu eta

π(x) ∼ x

ln x− 1.08366

proposatu zuen.(Portaera asintotikoaren ikuspegitik berdin izangolitzateke izendatzailean ln x idaztea.)

Gauss (1777–1855)

Gauss-ek zenbaki lehenak milakakoetan zenbatu eta1/ln x hazkundea atzeman zion. Hortik

π(x) ∼ Li (x) :=

∫ x

2

1

ln xdx.

proposatu zuen.

Asintotikoki Li (x) ∼ x

ln xda.

Txebishev (1821–1894)

1852an

0, 921x

ln x< π(x) < 1, 106

x

ln x

lortu zuen Txebishev-ek. Eta beste hau ere:

limx→∞

π(x)x

ln x

existitzen bada, 1 da.

Riemann (1826–1866)

Riemann-ek

ζ(z) =

∞∑n=1

1

nz

definitu zuen z konplexua denean eta <z > 1; on-doren, hedapen analitikoa erabiliz, plano konplexu oso-ra zabaldu zuen (Riemann-en zeta funtzioa).

ζ funtzioa −2,−4,−6, . . . puntuetan anulatu egitenda. Beste zero guztiek 0 ≤ <z ≤ 1 bandan egonbehar dute.

<z = 1 denean ez bada anulatzen, π(x) ∼ x

ln xbetetzen da.

Riemann (1826–1866)

0 1

†

12

Re z

Im z

Riemann-en hipotesia (1859). ζ(z) = 0 bada, edo z bikoiti negatiboada edo <z = 1/2 da.

Zenbaki lehenen teorema (1896)

π(x) ∼ x

ln x∼ Li(x)

Jacques Hadamard (Frantzia) eta Charles de la Vallee Poussin (Belgika)heldu ziren emaitzara, zein bere aldetik.

Zenbaki lehenak segida aritmetikoetan

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 {2n}

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 {2n + 1}

• {2n} segidak zenbaki lehen bakarra du;

• {2n + 1} segidak infinitu zenbaki lehen ditu.

Zenbaki lehenak segida aritmetikoetan

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 {3n}

4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 {3n + 1}

2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 {3n + 2}

• {3n} segidak zenbaki lehen bakarra du;

• {3n + 1} eta {3n + 2} segidek, biek dituzte infinitu zenbaki lehen alabietako batek bakarrik?

Zenbaki lehenak segida aritmetikoetan

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 {4n}

5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 {4n + 1}

2 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50 54 {4n + 2}

3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 55 {4n + 3}

• {4n} segidak ez du zenbaki lehenik; {4n + 2} segidak zenbaki lehenbakarra du;

• {4n + 1} eta {4n + 3} segidek, biek dituzte infinitu zenbaki lehen alabietako batek bakarrik?

Dirichlet (1805–1859)

(1837) Demagun a eta b elkarren arteko lehenak direla,hau da, z.k.h.(a, b) = 1. Orduan, {an + b} segidaaritmetikoan infinitu zenbaki lehen daude.

(Legendre-k baieztapen bera egin zuen urte batzuklehenago, baina ez zuen frogarik eman.)

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak

Zenbat zenbaki lehen aurki daitezke progresio aritmetikoa osatuz?

(Ez da bakarrik eskatzen segida aritmetiko batean agertzea, orain elkarrenondoan egotea ere eskatzen da.)

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak

Zenbat zenbaki lehen aurki daitezke progresio aritmetikoan?

(Ez da bakarrik eskatzen segida aritmetiko batean agertzea, orain elkarrenondoan egotea ere eskatzen da.)

Hiru: 3 – 5 – 7 edo 3 – 7 – 11 edo 3 – 13 – 23.

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak

Zenbat zenbaki lehen aurki daitezke progresio aritmetikoan?

(Ez da bakarrik eskatzen segida aritmetiko batean agertzea, orain elkarrenondoan egotea ere eskatzen da.)

Hiru: 3 – 5 – 7 edo 3 – 7 – 11 edo 3 – 13 – 23.

Lau: 7 – 19 – 31 – 43 edo 61 – 67 – 73 – 79.

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak

Zenbat zenbaki lehen aurki daitezke progresio aritmetikoan?

(Ez da bakarrik eskatzen segida aritmetiko batean agertzea, orain elkarrenondoan egotea ere eskatzen da.)

Hiru: 3 – 5 – 7 edo 3 – 7 – 11 edo 3 – 13 – 23.

Lau: 7 – 19 – 31 – 43 edo 61 – 67 – 73 – 79.

Bost: 5 – 11 – 17 – 23 – 29.

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak

Zenbat zenbaki lehen aurki daitezke progresio aritmetikoan?

(Ez da bakarrik eskatzen segida aritmetiko batean agertzea, orain elkarrenondoan egotea ere eskatzen da.)

Hiru: 3 – 5 – 7 edo 3 – 7 – 11 edo 3 – 13 – 23.

Lau: 7 – 19 – 31 – 43 edo 61 – 67 – 73 – 79.

Bost: 5 – 11 – 17 – 23 – 29.

Sei: 7 – 37 – 67 – 97 – 127 – 157.

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak

Zenbat zenbaki lehen aurki daitezke progresio aritmetikoan?

(Ez da bakarrik eskatzen segida aritmetiko batean agertzea, orain elkarrenondoan egotea ere eskatzen da.)

Hiru: 3 – 5 – 7 edo 3 – 7 – 11 edo 3 – 13 – 23.

Lau: 7 – 19 – 31 – 43 edo 61 – 67 – 73 – 79.

Bost: 5 – 11 – 17 – 23 – 29.

Sei: 7 – 37 – 67 – 97 – 127 – 157.

Hamar: 199 – 409 – 619 – 829 – 1039 – 1249 – 1459 – 1669 – 1879 –2089.

Noraino luza daitezke kateak?

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak

k zenbakia emanda,

• aurki daitezke k zenbaki lehen progresio aritmetikoan?;

• baiezkoan, k luzerako kateak kopuru finituan daude ala infinituan?;

• infinitu badira, zer esan daiteke x-ren azpiko k luzerako kateen kopuruaematen duen funtzioaren portaera asintotikoaz?

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak

k zenbakia emanda,

• aurki daitezke k zenbaki lehen progresio aritmetikoan?;

• baiezkoan, k luzerako kateak kopuru finituan daude ala infinituan?;

• infinitu badira, zer esan daiteke x-ren azpiko k luzerako kateen kopuruaematen duen funtzioaren portaera asintotikoaz?

(Van der Corput, 1939): hiru zenbaki lehenen infinitu progresio aritmetikodaude.

Ben Green eta Terry Tao

(2004ko emaitza, 2006an argitaratzeko Annals of Mathematics-en)

k edozein izanda, zenbaki lehenen artean k luzerako infinitu progresio arit-metiko daude.

Ben Green eta Terry Tao

(2004ko emaitza, 2006an argitaratzeko Annals of Mathematics-en)k edozein izanda, zenbaki lehenen artean k luzerako infinitu progresio arit-metiko daude.

Bitxikeria bat: Gaur egun zehazki ezagutzen den progresiorik luzeenak 23gai ditu eta 2004an aurkitu zen; hau da:

56211383760397 + 44546738095860k, k = 0, 1, . . . , 22.

Eta bihar?

Golbach-en aierua, 1742; X.-renteorema, 20?? Zenbaki bikoiti guztiak(4-tik aurrera) bi zenbaki lehenen baturamodura idatz daitezke.

Vinogradov-X.-ren teorema, 20??Zenbaki bakoiti guztiak (7-tik aurrera)hiru zenbaki lehenen batura modura idatzdaitezke.

Eta bihar?

Y.-ren teorema, 20??

Infinitu zenbaki lehen biki daude.

3 – 5, 5 – 7, 11 – 13, 17 – 19, 29 – 31, 41 – 43, 59 – 61, 71 – 73, . . .

Eta bihar?

Z.-ren teorema, 20??

n2 eta (n + 1)2-ren artean beti dago zenbaki lehen bat.