Post on 02-Feb-2016
VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO
Dos puntos cualquiera ๐ท = ๐๐ ; ๐๐ y Q=(๐๐ ; ๐๐)de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ รณ QP. De los puntos โPโy โQโ se dice que son los extremos del segmento.
.Q
P.
Al denotar el segmento cuyos extremos son los puntos โPโ y โQโ no importa quรฉ extremo se escribe en primer lugar: se denotaindistintamente PQ รณ QP.
PQ
QP
Cada punto โMโ se identifica mediante un par
ordenado (x; y) de nรบmeros reales.
Lo que caracteriza a un par ordenado (Plis;Plas) es que (Plis;Plas)โ (Plas;Plis) siempre que Plisโ Plas
Al denotar el vector fijo asociado a un par (P;Q) ordenado de puntos, bajo un sombrero se escribe el nombre del origen โPโ seguido del
nombre del extremo โQโ.๐๐
VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO
Dos puntos cualquiera ๐ท = ๐๐ ; ๐๐ y Q=(๐๐ ; ๐๐) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ รณ QP. De los puntos โPโ y โQโ se dice que son los extremos del segmento.
.Q
P.
Al denotar el segmento cuyos extremos son los puntos โPโ y โQโ no importa quรฉ extremo se escribe en primer lugar: se denota indistintamente PQ รณ QP.A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos ๐ท๐ธ y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestiรณn (P;Q).
De โPโ se dice que es el origen de ๐ท๐ธ. De โQโ se dice que es el extremo de ๐ท๐ธ
PQ QP
Vizualizamos el vector fijo ๐ท๐ธ mediante la flechitaque va de su origen โPโ a su extremo โQโ
.QP.
๐ท๐ธ
Cada punto โMโ se identifica mediante un par
ordenado (x; y) de nรบmeros reales.
Lo que caracteriza a un par ordenado (Plis;Plas) es que (Plis;Plas)โ (Plas;Plis) siempre que Plisโ Plas
VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO
Dos puntos cualquiera ๐ท = ๐๐ ; ๐๐ y Q=(๐๐ ; ๐๐) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ รณQP. De los puntos โPโ y โQโ se dice que son los extremos del segmento.
.Q
P.
A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos ๐ท๐ธ y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestiรณn (P;Q).
De โPโ se dice que es el origen de ๐ท๐ธ. De โQโ se dice que es el extremo de ๐ท๐ธ
PQ
QP
Vizualizamos el vector fijo ๐ท๐ธ mediante la flechitaque va de su origen โPโ a su extremo โQโ
.QP.
๐ท๐ธ
Al vector fijo ๐ท๐ธ le ASOCIAMOS el par ordenado de nรบmeros reales que resulta al restar las coordenadas de su origen โPโ a las coordenadas de su extremo โQโ:
๐ท๐ธ = ๐ธ โ ๐ท
Notaciรณn simbรณlica: como โPโ y โQโ son puntos, carece de sentido escribir Q โ P, pues restar puntos carece de sentido
=(๐๐ ; ๐๐) โ ๐๐ ; ๐๐ = (๐๐ โ ๐๐; ๐๐โ ๐๐)
x0
VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO
Dos puntos cualquiera ๐ท = ๐๐ ; ๐๐ y Q=(๐๐ ; ๐๐) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ รณQP. De los puntos โPโ y โQโ se dice que son los extremos del segmento.
.Q
P.
A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos ๐ท๐ธ y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestiรณn (P;Q).
De โPโ se dice que es el origen de ๐ท๐ธ. De โQโ se dice que es el extremo de ๐ท๐ธ
PQ
QP
Vizualizamos el vector fijo ๐ท๐ธ mediante la flechitaque va de su origen โPโ a su extremo โQโ
.QP.
๐ท๐ธ
Al vector fijo ๐ท๐ธ le ASOCIAMOS el par ordenado de nรบmeros reales que resulta al restar las coordenadas de su origen โPโ a las coordenadas de su extremo โQโ:๐ท๐ธ = ๐ธ โ ๐ท=(๐๐ ; ๐๐) โ ๐๐ ; ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐; ๐๐โ ๐๐
Coordenadas del vector fijo ๐ท๐ธ๐ = ๐; ๐ ๐ฒ ๐ = ๐; ๐ ๐๐ = ๐ โ ๐ = ๐; ๐ โ ๐; ๐ = (๐; ๐) ๐๐โ ๐๐
x0
VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO
Dos puntos cualquiera ๐ท = ๐๐ ; ๐๐ y Q=(๐๐ ; ๐๐) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ รณQP. De los puntos โPโ y โQโ se dice que son los extremos del segmento.
.Q
P.
A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos ๐ท๐ธ y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestiรณn (P;Q).
De โPโ se dice que es el origen de ๐ท๐ธ. De โQโ se dice que es el extremo de ๐ท๐ธ
PQ
QP
Vizualizamos el vector fijo ๐ท๐ธ mediante la flechitaque va de su origen โPโ a su extremo โQโ
.QP.
๐ท๐ธ
Al vector fijo ๐ท๐ธ le ASOCIAMOS el par ordenado de nรบmeros reales que resulta al restar las coordenadas de su origen โPโ a las coordenadas de su extremo โQโ:๐ท๐ธ = ๐ธ โ ๐ท=(๐๐ ; ๐๐) โ ๐๐ ; ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐; ๐๐โ ๐๐
Coordenadas del vector fijo ๐ท๐ธEl vector fijo ๐๐ท asociado a par ordenado (Q;P) se dice opuesto al vector fijo ๐๐ asociado al par ordenado (P;Q).
๐๐โ ๐๐
๐๐ - ๐๐
x0
VECTOR FIJO ASOCIADO A UN PAR ORDENADO DE PUNTOS DEL PLANO
Dos puntos cualquiera ๐ท = ๐๐ ; ๐๐ y Q=(๐๐ ; ๐๐) de un plano determinan un segmento que se denota indistintamente PQ รณQP. De los puntos โPโ y โQโ se dice que son los extremos del segmento.
.Q
P.
A cada par ordenado (P;Q) de dos puntos del plano le ASOCIAMOS un ente que denotamos ๐ท๐ธ y llamamos vector fijo del par ordenado en cuestiรณn (P;Q).
De โPโ se dice que es el origen de ๐ท๐ธ. De โQโ se dice que es el extremo de ๐ท๐ธ
PQ
QP
Vizualizamos el vector fijo ๐ท๐ธ mediante la flechitaque va de su origen โPโ a su extremo โQโ
.QP.
๐ท๐ธ
Al vector fijo ๐ท๐ธ le ASOCIAMOS el par ordenado de nรบmeros reales que resulta al restar las coordenadas de su origen โPโ a las coordenadas de su extremo โQโ:๐ท๐ธ = ๐ธ โ ๐ท=(๐๐ ; ๐๐) โ ๐๐ ; ๐๐ = ๐๐ โ ๐๐; ๐๐โ ๐๐
Coordenadas del vector fijo ๐ท๐ธEl vector fijo ๐๐ท asociado a par ordenado (Q;P) se dice opuesto al vector fijo ๐๐ asociado al par ordenado (P;Q).
Al denotar el vector fijo asociado a un par (P;Q) ordenado de
puntos, bajo un sombrero se escribe el nombre del origen โPโ seguido del nombre del extremo โQโ.
๐๐
x0
Cuando โalgoโ no o sepas, no digas la primera chorrada que se te ocurra, pues la probabilidad de acertar es muy pequeรฑa, y el ridรญculo que puedes hacer es espantosoโฆ..eres dueรฑ@ de lo que callas y prisioner@ de lo que dices o escribes
O seaโฆ mejor estar callad@ y parecer tont@
que abrir la boca y acreditar que
eres tonto
Muy bien, cazada al vuelo!
MรDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO
Dar ejemplo no es la principal manera de influir en los demรกs; es la รบnica manera.
Albert Einstein
โข ๐ป๐ y ๐๐ se dicen equipolentes (๐ป๐= ๐๐) si tienen las mismas coordenadas
โข Llamamos vector libre ๐ข al conjunto de los infinitos vectores fijos equipolentes entre sรญ.
โข Todo vector fijo de ๐ข puede representar a ๐ข. Entre los vectores fijos de ๐ข, sรณlo uno tiene origen en el origen de coordenadas: es el representante canรณnico de ๐ข.
Vector ๐ = (๐๐; ๐๐)El mรณdulo del se denota ๐ , siendo ๐ = + ๐๐๐ + ๐๐
๐.
Segรบn Pitรกgoras, el mรณdulo del vector ๐ =(๐๐;๐๐) viene a ser la longitud de la flechita que representa al vector.
Segรบn Pitรกgoras, el mรณdulo del vector ๐ = (๐๐;๐๐)viene a ser la distancia entre el origen y el extremo del vector.
MรDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO
Dar ejemplo no es la principal manera de influir en los demรกs; es la รบnica manera.
Albert Einstein
Vector ๐ = (๐๐; ๐๐)El mรณdulo del se denota ๐ , siendo ๐ = + ๐๐๐ + ๐๐
๐.
Segรบn Pitรกgoras, el mรณdulo del vector ๐ =(๐๐;๐๐) viene a ser la longitud de la flechita que representa al vector.
Segรบn Pitรกgoras, el mรณdulo del vector ๐ = (๐๐;๐๐)viene a ser la distancia entre el origen y el extremo del vector.
โข ๐บ๐ ๐ = ๐;๐ ๐ = + ๐๐ + โ๐ ๐ = + ๐๐.
โข Si ๐จ = ๐;๐ ๐ ๐ฉ = ๐;๐ ๐จ๐ฉ = + (โ๐)๐ +๐ = + ๐.
๐จ๐ฉ = ๐ฉ โ ๐จ = ๐;๐ โ ๐; ๐ = (โ๐; ๐)
El teorema de Pitรกgoras no es
de Pitรกgoras: los sumerios lo empleaban
mucho antes de nacer รฉste.
MรDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO
Dar ejemplo no es la principal manera de influir en los demรกs; es la รบnica manera.
Albert Einstein
Vector ๐ = (๐๐; ๐๐)El mรณdulo del se denota ๐ , siendo ๐ = + ๐๐๐ + ๐๐
๐.
Segรบn Pitรกgoras, el mรณdulo del vector ๐ =(๐๐;๐๐) viene a ser la longitud de la flechita que representa al vector.
โข ๐บ๐ ๐ = ๐;๐ ๐ = + ๐๐ + โ๐ ๐ = + ๐๐.
โข Si ๐จ = ๐;๐ ๐ ๐ฉ = ๐;๐ ๐จ๐ฉ = + (โ๐)๐ +๐ = + ๐.
๐จ๐ฉ = ๐ฉ โ ๐จ ๐;๐ โ ๐; ๐ = โ๐; ๐
โข Si ๐ = (๐/๐; 4/๐) ๐ = +๐
๐๐ +
๐
๐๐ = + ๐๐/๐๐ = ๐ ๐ es unitario
โข Los vectores unitarios mรกs famosos son ๐๐ = (๐; ๐) y ๐๐ = (๐; ๐).
El teorema de Pitรกgoras no es de
Pitรกgoras: los sumerios lo
empleaban mucho antes de nacer รฉste.
Si ๐ = ๐ ๐ se dice unitario
MรDULO DE UN VECTOR. VECTOR UNITARIO
Dar ejemplo no es la principal manera de influir en los demรกs; es la รบnica manera.
Albert Einstein
Vector ๐ = (๐๐; ๐๐)El mรณdulo del se denota ๐ , siendo ๐ = + ๐๐๐ + ๐๐
๐.
Segรบn Pitรกgoras, el mรณdulo del vector ๐ =(๐๐;๐๐) viene a ser la longitud de la flechita que representa al vector.
โข ๐บ๐ ๐ = ๐;๐ ๐ = + ๐๐ + โ๐ ๐ = + ๐๐.
โข Si ๐จ = ๐;๐ ๐ ๐ฉ = ๐;๐ ๐จ๐ฉ = + (โ๐)๐ +๐๐ = + ๐.
๐จ๐ฉ = ๐ฉ โ ๐จ ๐;๐ โ ๐; ๐ = โ๐; ๐
El teorema de Pitรกgoras no es de
Pitรกgoras: los sumerios lo
empleaban mucho antes de nacer รฉste.
Si ๐ = ๐ ๐ se dice unitario
โข ๐ป๐ y ๐๐ se dicen equipolentes (๐ป๐= ๐๐) si tienen las mismas coordenadas
โข Llamamos vector libre ๐ข al conjunto de los infinitos vectores fijos equipolentes entre sรญ.
โข Todo vector fijo de ๐ข puede representar a ๐ข. Entre los vectores fijos de ๐ข, sรณlo uno tiene origen en el origen de coordenadas: es el representante canรณnico de ๐ข.
se denota ๐ , siendo ๐ = + ๐๐๐ + ๐๐
๐.
SUMA DE VECTORES O COMPOSICIรN DE TRASLACIONES
SUMAR VECTORES GEOMรTRICAMENTEโข ๐๐ y ๐๐ se dicen equipolentes (๐๐= ๐๐)
si tienen las misma coordenadas.โข Llamamos vector libre al conjunto de los infinitos
vectores fijos equipolentes entre sรญ.โข Cualquiera de los infinitos vectores fijos que forman un vector libre ๐ข puede elegirse
como representante de ๐ข. Entre los vectores fijos que forman ๐ข, sรณlo hay uno que tiene su origen en el origen de coordenadas: es el representante canรณnico de ๐ข .
Dados un vector libre ๐ข y un punto A, sรณlo existe un punto Aโ (trasladado de A segรบn la traslaciรณn de vector ๐ข) tal que ๐ด๐ดโฒ = ๐ข.
REGLA DEL PARALELOGRAMO: Para sumar dos vectores se traza por el extremo del primero un vector equipolente al segundo, asรญ, el vector suma es la flechita que va
del origen del primero al extremo del equipolente trazado.
Axioma de Caronte: El viaje mรกs largo se inicia con un solo paso.
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Se llama escalar a todo elemento de un cuerpo conmutativo.Como el conjunto ๐ฝ es un cuerpo conmutativo escalar โก nรบmero real.
Se dice que โ es un cuerpo conmutativo para expresar de modo rรกpido y eficiente que la suma y el producto de nรบmeros reales satisfacen las siguientes propiedades:
Asociativa: ๐ + ๐ + ๐ = ๐ + ๐ + ๐, โ ๐, ๐, ๐ โ ๐ฝConmutativa: ๐ + ๐ = ๐ + ๐, โ ๐, ๐, โ ๐ฝElemento neutro: ๐ + ๐ = ๐ + ๐ = ๐, โ ๐ โ ๐ฝSimรฉtrico: ๐ + โ๐ = โ๐ + ๐ = ๐, โ ๐ โ ๐ฝ
Asociativa: ๐. ๐. ๐ = ๐. ๐ . ๐, โ ๐, ๐, ๐ โ ๐ฝConmutativa: ๐. ๐ = ๐. ๐, โ ๐, ๐, โ ๐ฝElemento neutro: ๐. ๐ = ๐. ๐ = ๐, โ ๐ โ ๐ฝ
Simรฉtrico: ๐.๐
๐=
๐
๐. ๐ = ๐,
Distributiva respecto deโ+โ: ๐. ๐ + ๐ = ๐. ๐ + ๐. ๐, โ ๐, ๐, ๐ โ ๐ฝ
SUMA
PRODUCTO!Si divides por 0 serรกs fusilad@ de inmediato!โ ๐ โ ๐ฝ
๐ . ๐ = ๐๐. ๐๐+ ๐๐. ๐๐ โ ๐ฝ
Si ๐ = ๐; ๐ ๐ ๐ = ๐;โ๐ ๐ . ๐ = ๐. ๐ + ๐. โ๐ = ๐ โ ๐๐ = โ๐๐
Los vectores ๐ ๐ ๐ se dicen ortogonales si ๐ . ๐ = ๐
Si ๐ = ๐;โ๐ ๐ ๐ = ๐; ๐ ๐ . ๐ = ๐. ๐ + โ๐ . ๐ = ๐ ๐ . ๐ son ortogonales
El producto escalar de los vectores ๐ = ๐๐; ๐๐ y ๐ = ๐๐; ๐๐ se denota ๐ . ๐, siendo:
Los vectores ๐ y ๐ se dicen ortonormales si son ortogonales y ๐ = ๐ = ๐
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
๐ . ๐ = ๐๐. ๐๐+ ๐๐. ๐๐ โ ๐ฝ
Si ๐ = ๐; ๐ ๐ ๐ = ๐;โ๐ ๐ . ๐ = ๐. ๐ + ๐. โ๐ = ๐ โ ๐๐ = โ๐๐
Los vectores ๐ ๐ ๐ se dicen ortogonales si ๐ . ๐ = ๐
El producto escalar de los vectores ๐ = ๐๐; ๐๐ y ๐ = ๐๐; ๐๐ se denota ๐ . ๐, siendo:
Los vectores ๐ y ๐ se dicen ortonormales si son ortogonales y ๐ = ๐ = ๐
Los vectores y son la mรกs famosa pareja de vectores otonormales.
๐ = ๐. ๐ y ๐ = (๐; ๐)
๐ = + ๐๐ + ๐๐ = ๐; ๐ = + ๐๐ + ๐๐ = ๐
0
1
๐
๐
1
Vector unitario del eje de abcisas
Vector unitario del eje de ordenadas
๐ = ๐; ๐ ๐ = ๐; ๐
Debe recitarse permanentemente a modo de mantra hasta haber aprobado todas las asignaturas hueso de los dos primeros cursos de la Carrera.
Inteligencia, dime el nombre exacto de las cosas.Astucia, dime quรฉ errores no debo cometer.Sabidurรญa, resista yo la dulce tentaciรณn de lo fรกcilLucidez, asรญsteme en los momentos de pรกnico.Estrategia, dime quรฉ batallas no han de preocuparme.Supervivencia, identifique yo al mortal enemigo.Estupidez, no dรฉ yo valor a lo que nada vale.Fortaleza, dame sombra en el desierto.Inmadurez, no te poses en mi hombro.Desaliento, no serรกs mi confidente.Miedo, sรณlo a ti temerรฉ.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
๐ = ๐; ๐ ๐ ๐ = ๐;โ๐ ๐ . ๐ = ๐. ๐ + ๐. โ๐ = ๐ โ ๐๐ = โ๐๐ โ ๐
Los vectores ๐ ๐ ๐ se dicen ortogonales si ๐ . ๐ = ๐
El producto escalar de los vectores ๐ = ๐๐; ๐๐ y ๐ = ๐๐; ๐๐ es ๐ . ๐ = ๐๐; ๐๐+ ๐๐; ๐๐ โ ๐ฝ
Los vectores ๐ y ๐ se dicen ortonormales si son ortogonales y ๐ = ๐ = ๐ ๐ = (๐; ๐) y ๐ = (๐; ๐) son la mas famosa pareja de vectores ortonormales.
1) Conmutativa ๐ . ๐ = ๐ . ๐(๐๐; ๐๐)
๐
. (๐๐; ๐๐) ๐
= ๐๐ . ๐๐ +๐๐ .๐๐ = ๐๐ .
๐๐ + ๐๐ .๐๐ = (๐๐; ๐๐)
๐
. (๐๐; ๐๐) ๐
2) Asociativa mixta: ๐ฝ . ๐ . ๐ = ๐ฝ. ( ๐ . ๐)(๐ฝ. ๐๐; ๐ฝ. ๐๐)
๐ฝ . ๐
. (๐๐; ๐๐) ๐
= (๐ฝ. ๐๐) . ๐๐ +(๐ฝ. ๐๐ ) .๐๐ = ๐ฝ(๐๐. ๐๐+ ๐๐. ๐๐)
๐ฝ.( ๐. ๐)
(๐๐; ๐๐) ๐
. (๐๐+ ๐๐; ๐๐+ ๐๐) ๐+ ๐
= ๐๐ . ๐๐+ ๐๐ + ๐๐ . ๐๐+ ๐๐ =
๐๐ . ๐๐+ ๐๐ . ๐๐ ๐. ๐
+ (๐๐. ๐๐+ ๐๐. ๐๐) ๐. ๐
4) Es ๐. ๐ = ๐๐ ;๐๐ . ๐๐ ;
๐๐ = ๐๐๐ + ๐๐
๐ = ๐
3) Distributiva respecto de la suma: ๐ . ๐ + ๐ = ( ๐ . ๐) + ( ๐. ๐)
Ejemplos:
รNGULO DE DOS VECTORES
El producto escalar de los vectores ๐ = ๐๐; ๐๐ ๐ ๐ = (๐๐; ๐๐) se denota ๐ . ๐, siendo: ๐ . ๐ = ๐๐; ๐๐+ ๐๐; ๐๐ โ ๐ฝ
Si ๐ = ๐; ๐ y ๐ = (๐; ๐) y ๐ = ๐;โ๐ ๐ . ๐ = ๐. ๐ + ๐. โ๐ = ๐ โ ๐๐ = โ๐๐
Los vectores ๐ ๐ ๐ se dicen ortogonales si ๐ . ๐ = ๐ ,Los vectores ๐ ๐ ๐ se dicen ortonormales si son ortogonales y ๐ = ๐ = ๐
๐ถ๐๐ ๐ผ =๐๐ ๐
; ๐ ๐๐ ๐ผ =๐๐ ๐
๐ถ๐๐ ๐ฝ =๐๐ ๐
; ๐ ๐๐ ๐ฝ =๐๐ ๐
๐๐ = ๐ . ๐๐๐ ๐ถ; ๐๐ = ๐ . ๐ฌ๐๐ง ๐ถ ; ๐๐ = ๐ . ๐๐๐ ๐ท; ๐๐ = ๐ . ๐๐๐ ๐ท
รNGULO DE DOS VECTORESEl producto escalar de los vectores ๐ = ๐๐; ๐๐ ๐ ๐ = (๐๐; ๐๐) se denota ๐ . ๐, siendo:
๐ . ๐ = ๐๐; ๐๐+ ๐๐; ๐๐ โ ๐ฝSi ๐ = ๐; ๐ y ๐ = ๐;โ๐ ๐ . ๐ = ๐. ๐ + ๐. โ๐ = ๐ โ ๐๐ = โ๐๐
Los vectores ๐ ๐ ๐ se dicen ortogonales si ๐ . ๐ = ๐ ,Los vectores ๐ ๐ ๐ se dicen ortonormales si son ortogonales y ๐ = ๐ = ๐
๐ . ๐ = ๐๐. ๐๐+ ๐๐. ๐๐==( ๐ . ๐๐๐ ๐ถ). ( ๐ .cos ๐ท) + ๐ . ๐๐๐ ๐ถ . ๐ . ๐๐๐๐ท =
= ๐ . ๐ . ๐๐๐ ๐ถ. ๐๐๐ ๐ท + ๐๐๐ ๐ถ . ๐๐๐ ๐ท == ๐ . ๐ . ๐๐๐ ๐ถ โ ๐ท = ๐ . ๐ . ๐๐๐ ๐ด
๐๐โ ๐ . ๐๐๐ ๐ถ; ๐๐โ ๐ . ๐ฌ๐๐ง ๐ถ ; ๐๐โ ๐ . ๐๐๐ ๐ท ; ๐๐โ ๐ . ๐๐๐ ๐ท
cos ฮฉ = ๐ . ๐
๐ . ๐= 0 ฮฉ =
ฮ
2
Si ๐ . ๐ = ๐ ๐ โฅ . ๐
Si ๐ = ๐;โ๐ y ๐ = (๐; ๐) ๐ . ๐ = ๐. ๐ + โ๐ . ๐ = ๐ ๐ ๐ ๐ son ortogonales
๐ โฅ . ๐
COMBINACIรN LINEAL DE VECTORES
Se dice que le vector ๐ โ ๐ es combinaciรณn lineal (CL) de ๐๐, ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐Si es posible encontrar โKโ nรบmeros reales ๐ถ๐, ๐ถ๐, โฆ . . ๐ถ๐ tales que :
Observa: el vector ๐ถ๐. ๐๐ es PROPORCIONAL al vector ๐๐
๐ = ๐ถ๐. ๐๐ + ๐ถ๐. ๐๐+โฆโฆ..+ ๐ถ๐. ๐๐
โ๐
A EFECTOS PRรCTICOSPara averiguar si el vector ๐ฅ โ 0 es CL de ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ , exigiremosque ๐ = ๐ถ๐. ๐๐+โฆโฆ..+ ๐ถ๐. ๐๐ , lo que SIEMPRE nos conducirรก a un SLNH con โkโ incรณgnitas ๐ถ๐ ,โฆโฆ.., ๐ถ๐ cuya matriz A/B es:
๐จ/๐ฉ=
. .
. ..
.
.
.
.
.
โฆ . .โฆ . .โฆ .โฆ .โฆ .
.
.
.
.
..
.
.
๐๐ ๐๐ โฆโฆ ๐๐ ๐
Asรญ, ๐ = ๐ es CL de ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ si el SLNH tiene soluciรณn, lo que ocurre si ๐ซ๐ ๐ = ๐๐(๐ฉ). Si ๐ซ๐ (๐) โ ๐๐(๐ฉ), el SLNH carece de soluciรณn, por lo que ๐ โ ๐ no es CL de ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐
COMBINACIรN LINEAL DE VECTORES
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
๐ฝ๐
W ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐
SI ๐ = { ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐} โ ๐ฝ๐, se dice que ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ son LINEALMENTE INDEPENDIENTES o que โWโ es LIBRE, si la ecuaciรณn vectorial ๐ถ๐. ๐๐+โฆโฆ..+ ๐ถ๐. ๐๐ = ๐ admite sรณlo la soluciรณn trivial. En caso contrario se dice que ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ son LINEALMENTE DEPENDIENTES o que โWโ es LIGADO.
A EFECTOS PRรCTICOSPara averiguar si el vectores ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ , son Ll รณ LD, exigiremosque ๐ถ๐. ๐๐ +โฆโฆ..+ ๐ถ๐. ๐๐ = ๐ , lo que SIEMPRE nos conducirรก a un SLH con โkโ incรณgnitas ๐ถ๐ ,โฆโฆ.., ๐ถ๐ cuya matriz de coeficientes โAโ tiene por columnas ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ . Asรญ, ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ son Ll si el SLH tiene sรณlo la ST, y sucede eso si ๐๐ ๐จ = ๐. Si ๐๐ ๐จ < ๐, el SLH no tiene sรณlo la ST, por lo que ๐๐,โฆโฆโฆ., ๐๐ son LD.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES
Si ๐๐=
. .
. .
. .
โฆ . .โฆ . .โฆ . . .
๐๐ ๐๐ โฆโฆ ๐๐
= ๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ฟ๐
< ๐ ๐ฃ๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐ฟ๐ท
!NO LO OLVIDES!
DIMENSIรN DE UN ESPACIO VECTORIAL .BASE
Se llama dimensiรณn de un espacio vectorial al nรบmero mรกximo de vectores LINEALMENTE INDEPENDIENTES
que pueden encontrarse en รฉl
Al decir que dim.(V)=25, se dice que 25 es el nรบmero mรกximo de vectores Ll que pueden encontrarse en โVโ; por tanto, en โVโ es imposible encontrar mรกs de 25 vectores que sean Ll.
LA PREGUNTA DEL MILLรN
ยฟdim.(๐ฝ๐)?
DIMENSIรN DE UN ESPACIO VECTORIAL .BASE
Se llama dimensiรณn de un espacio vectorial al nรบmero mรกximo de vectores LINEALMENTE INDEPENDIENTES
que pueden encontrarse en รฉl
dim.(๐ฝ๐)=nEl nยฐ mรกximo de vectores Ll que se pueden encontrar entre unos
vectores de ๐ฝ๐ coincide con el rango de la matriz โAโ cuyas columnas son esos vectores โฆ.. y como โAโ tiene โnโ filas, es ๐๐(๐จ) โค ๐; por tanto, โnโ es el nยฐ mรกximo de vectores Ll que
pueden encontrarse en ๐ฝ๐.
dim.(๐ฝ๐)=n
Se llama dimensiรณn de un espacio vectorial al nรบmero mรกximo de vectores LINEALMENTE INDEPENDIANTES que
pueden encontrarse en รฉl
Se llama BASE de ๐ฝ๐ a todo subconjunto de ๐ฝ๐ formado por โnโ vectores Ll; o sea, a todo subconjunto ๐๐, ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ de ๐ฝ๐ tal que
๐ซ๐ =
โ โโ โ๐๐โ
๐๐โ
โโโ โโฆ . โ
โโโ๐๐โ
= ๐
REQUETEOVBIOSi ๐ฉ = ๐๐, ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ es una BASE de ๐ฝ๐ , todo vector de ๐ฝ๐ es CL de ๐๐, ๐๐,โฆโฆโฆ. ๐๐ , pues sea cual sea ๐ โ ๐ฝ๐, la ecuaciรณn vectorial
๐= ๐ถ๐. ๐๐ + ๐ถ๐. ๐๐โฆโฆ..+ ๐ถ๐. ๐๐ tiene soluciรณn รบnica, ya que
๐ซ๐ =
โ โโ โ๐๐โ
๐๐โ
โโโ โโฆ . โ
โโโ๐๐โ
= ๐
DIMENSIรN DE UN ESPACIO VECTORIAL .BASE
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Se llama escalar a todo elemento de un cuerpo conmutativo .