Introduccion

Metodos Cuantitativos

Lic Fis Jorge Huayta Puma

iquestFISICA hellip

Ciencia Fundamental que estudia a la materia

y sus interacciones mutuas

Concepto de Fiacutesica

- Trata de ofrecer una modelizacioacuten matemaacutetica

- Se basa en la observacioacuten y la experimentacioacuten

Aporta a la Tecnologia

Medica

- Marco conceptual

- Teacutecnicas aplicaciones

y avances

FISICA

Parte de observaciones experimentales y

mediciones cuantitativas Por lo que es

necesario estar familiarizado con los

sistemas de medicioacuten y sus unidades para

poder dar a conocer correctamente los

resultados

MAGNITUD

Medir significa comparar con un patroacuten o unidad

Medicioacuten

iquestSe necesita una unidad para cada magnitud

La definicioacuten de una magnitud debe incluir coacutemo medirla

P ej en Mecaacutenica basta con

Masa kg

Longitud m

Tiempo s

SI

MAGNITUD

TODO AQUELLO QUE PUEDE

SER MEDIDO

MEDIDA DE UNA MAGNITUD

CANTIDAD + UNIDAD

UNIDADES

bull Las unidades son las referencias o patrones con respecto a la cual comparamos en la medida

bull Estaacuten establecidas por convenio

bull Debe ser constante no ha de cambiar seguacuten el individuo que haga la medida o a lo largo del tiempo

bull Debe ser universal no ha de cambiar de unos paiacuteses a otros

bull Ha de ser faacutecil de reproducir aunque esta facilidad vaya a veces en detrimento de la exactitud

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

iquestFISICA hellip

Ciencia Fundamental que estudia a la materia

y sus interacciones mutuas

Concepto de Fiacutesica

- Trata de ofrecer una modelizacioacuten matemaacutetica

- Se basa en la observacioacuten y la experimentacioacuten

Aporta a la Tecnologia

Medica

- Marco conceptual

- Teacutecnicas aplicaciones

y avances

FISICA

Parte de observaciones experimentales y

mediciones cuantitativas Por lo que es

necesario estar familiarizado con los

sistemas de medicioacuten y sus unidades para

poder dar a conocer correctamente los

resultados

MAGNITUD

Medir significa comparar con un patroacuten o unidad

Medicioacuten

iquestSe necesita una unidad para cada magnitud

La definicioacuten de una magnitud debe incluir coacutemo medirla

P ej en Mecaacutenica basta con

Masa kg

Longitud m

Tiempo s

SI

MAGNITUD

TODO AQUELLO QUE PUEDE

SER MEDIDO

MEDIDA DE UNA MAGNITUD

CANTIDAD + UNIDAD

UNIDADES

bull Las unidades son las referencias o patrones con respecto a la cual comparamos en la medida

bull Estaacuten establecidas por convenio

bull Debe ser constante no ha de cambiar seguacuten el individuo que haga la medida o a lo largo del tiempo

bull Debe ser universal no ha de cambiar de unos paiacuteses a otros

bull Ha de ser faacutecil de reproducir aunque esta facilidad vaya a veces en detrimento de la exactitud

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ciencia Fundamental que estudia a la materia

y sus interacciones mutuas

Concepto de Fiacutesica

- Trata de ofrecer una modelizacioacuten matemaacutetica

- Se basa en la observacioacuten y la experimentacioacuten

Aporta a la Tecnologia

Medica

- Marco conceptual

- Teacutecnicas aplicaciones

y avances

FISICA

Parte de observaciones experimentales y

mediciones cuantitativas Por lo que es

necesario estar familiarizado con los

sistemas de medicioacuten y sus unidades para

poder dar a conocer correctamente los

resultados

MAGNITUD

Medir significa comparar con un patroacuten o unidad

Medicioacuten

iquestSe necesita una unidad para cada magnitud

La definicioacuten de una magnitud debe incluir coacutemo medirla

P ej en Mecaacutenica basta con

Masa kg

Longitud m

Tiempo s

SI

MAGNITUD

TODO AQUELLO QUE PUEDE

SER MEDIDO

MEDIDA DE UNA MAGNITUD

CANTIDAD + UNIDAD

UNIDADES

bull Las unidades son las referencias o patrones con respecto a la cual comparamos en la medida

bull Estaacuten establecidas por convenio

bull Debe ser constante no ha de cambiar seguacuten el individuo que haga la medida o a lo largo del tiempo

bull Debe ser universal no ha de cambiar de unos paiacuteses a otros

bull Ha de ser faacutecil de reproducir aunque esta facilidad vaya a veces en detrimento de la exactitud

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

FISICA

Parte de observaciones experimentales y

mediciones cuantitativas Por lo que es

necesario estar familiarizado con los

sistemas de medicioacuten y sus unidades para

poder dar a conocer correctamente los

resultados

MAGNITUD

Medir significa comparar con un patroacuten o unidad

Medicioacuten

iquestSe necesita una unidad para cada magnitud

La definicioacuten de una magnitud debe incluir coacutemo medirla

P ej en Mecaacutenica basta con

Masa kg

Longitud m

Tiempo s

SI

MAGNITUD

TODO AQUELLO QUE PUEDE

SER MEDIDO

MEDIDA DE UNA MAGNITUD

CANTIDAD + UNIDAD

UNIDADES

bull Las unidades son las referencias o patrones con respecto a la cual comparamos en la medida

bull Estaacuten establecidas por convenio

bull Debe ser constante no ha de cambiar seguacuten el individuo que haga la medida o a lo largo del tiempo

bull Debe ser universal no ha de cambiar de unos paiacuteses a otros

bull Ha de ser faacutecil de reproducir aunque esta facilidad vaya a veces en detrimento de la exactitud

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

MAGNITUD

Medir significa comparar con un patroacuten o unidad

Medicioacuten

iquestSe necesita una unidad para cada magnitud

La definicioacuten de una magnitud debe incluir coacutemo medirla

P ej en Mecaacutenica basta con

Masa kg

Longitud m

Tiempo s

SI

MAGNITUD

TODO AQUELLO QUE PUEDE

SER MEDIDO

MEDIDA DE UNA MAGNITUD

CANTIDAD + UNIDAD

UNIDADES

bull Las unidades son las referencias o patrones con respecto a la cual comparamos en la medida

bull Estaacuten establecidas por convenio

bull Debe ser constante no ha de cambiar seguacuten el individuo que haga la medida o a lo largo del tiempo

bull Debe ser universal no ha de cambiar de unos paiacuteses a otros

bull Ha de ser faacutecil de reproducir aunque esta facilidad vaya a veces en detrimento de la exactitud

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Medir significa comparar con un patroacuten o unidad

Medicioacuten

iquestSe necesita una unidad para cada magnitud

La definicioacuten de una magnitud debe incluir coacutemo medirla

P ej en Mecaacutenica basta con

Masa kg

Longitud m

Tiempo s

SI

MAGNITUD

TODO AQUELLO QUE PUEDE

SER MEDIDO

MEDIDA DE UNA MAGNITUD

CANTIDAD + UNIDAD

UNIDADES

bull Las unidades son las referencias o patrones con respecto a la cual comparamos en la medida

bull Estaacuten establecidas por convenio

bull Debe ser constante no ha de cambiar seguacuten el individuo que haga la medida o a lo largo del tiempo

bull Debe ser universal no ha de cambiar de unos paiacuteses a otros

bull Ha de ser faacutecil de reproducir aunque esta facilidad vaya a veces en detrimento de la exactitud

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

MAGNITUD

TODO AQUELLO QUE PUEDE

SER MEDIDO

MEDIDA DE UNA MAGNITUD

CANTIDAD + UNIDAD

UNIDADES

bull Las unidades son las referencias o patrones con respecto a la cual comparamos en la medida

bull Estaacuten establecidas por convenio

bull Debe ser constante no ha de cambiar seguacuten el individuo que haga la medida o a lo largo del tiempo

bull Debe ser universal no ha de cambiar de unos paiacuteses a otros

bull Ha de ser faacutecil de reproducir aunque esta facilidad vaya a veces en detrimento de la exactitud

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDADES

bull Las unidades son las referencias o patrones con respecto a la cual comparamos en la medida

bull Estaacuten establecidas por convenio

bull Debe ser constante no ha de cambiar seguacuten el individuo que haga la medida o a lo largo del tiempo

bull Debe ser universal no ha de cambiar de unos paiacuteses a otros

bull Ha de ser faacutecil de reproducir aunque esta facilidad vaya a veces en detrimento de la exactitud

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Unidades de medida

Las mediciones en el mundo cientiacutefico habitualmente se

expresan en el sistema meacutetrico o su sucesor modernizado

el Sistema Internacional de Medidas (SI)

Este sistema se basa en siete unidades fundamentales que

se enumeran en la tabla siguiente

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Sistema internacional de unidades SI

Sistema que se establece como oficial en

el mundo para representar las unidades

de medida

Las medidas al presentar proyectos

investigaciones patentes deben de ir

expresadas en el SI para validar su

publicacioacuten

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

TIPOS DE MAGNITUDES

FUNDAMENTALES o de base Aquellas que

se determinan directamente con un proceso de

medida

DERIVADAS Aquellas que se determinan a

partir de otras fundamentales

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDADES SI DE BASE o

FUNDAMENTALES

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Incertidumbre

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

MEDIR

ES COMPARAR FRENTE A UNA

REFERENCIA PATROacuteN A LA QUE

LLAMAMOS UNIDAD

Comparar una cantidad con su respectiva unidad con el fin de

averiguar cuantas veces la segunda estaacute contenida en la

primera

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

18

Partes de una medida

Si medimos el largo de una mesa

125634

El resultado podriacutea ser

125634 cm

125634 plusmn 17287 cm

125 plusmn 17 cm

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

19

Partes de una medida

Al medir una mesa podemos obtener

125 plusmn 17 cm

valor

plusmnincertidumbre

unidades

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

20

Error e incertidumbre

Muchas veces se cometen errores al medir

Debemos corregirlos o al menos estimarlos

xmedido

x xverdadero

x

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

21

Error e incertidumbre

xmedido

Δx xverdadero

Δx

Error = xverdadero ndash xmedido

xverdadero euro (xmedido - Δx xmedido +Δx)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Se debe alterar lo menos posible el sistema a medir

Errores en la medida

Error diferencia entre la medida y el valor verdadero

Toda medida implica cierta incertidumbre

Incertidumbre estimacioacuten del error

Error estadiacutestico fluctuacutea en una serie de medidas precisioacuten

Error sistemaacutetico fijo en una serie de medidas exactitud

desconocido

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Fluctuaciones

Error o incertidumbre de una magnitud

medida experimentalmente

Valor verdadero

i) Una medida error del instrumento

Resultado

ii) Varias medidas

insx

n

x

x

n

i

i

1

n

i

i xxn

s1

2

1

1

Error o incertidumbre n

i

i xxnnn

sx

1

2

exp)1(

1

2ins

2exp xxxxx

Estimacioacuten

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo error de una magnitud medida

experimentalmente

Se mide la masa de un objeto

Masa (g) 125 124 123 125 126 122

Precisioacuten balanza 01 g

Estimar la masa con su error absoluto y

relativo

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Exactitud y precision

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

EXACTITUD y PRECISION

bull Exactitud capacidad de un instrumento de

medicion en que un valor medido concuerda

con el valor correcto

bull Precision Grado de dispersioacuten entre medidas

individuales de mediciones repetidas de una

magnitud

Suponiendo varias mediciones no estamos midiendo el error de cada

una sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de

las mediciones (cuan calibrado esta el aparato de medicioacuten)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo de exactitud y precision

Fis JORGE HUAYTA

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

EXACTITUD y PRECISION

Una medida puede ser muy exacta y poco

precisa o precisa pero poco exacta

Ejemplos valor verdadero = 1222 mm

precisas no precisas precisas

no exactas no exactas exactas

122 1218 1222

122 1225 1221

122 1216 1222

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

SENSIBILIDAD

bull Miacutenima cantidad que podemos determinar

con el aparato

bull Sensibilidad probeta1ml

bull Sensibilidad pipeta 01 ml

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

30

Tipos de medidas

bull Medidas directas

bull Medidas indirectas

Las anoto de un instrumento

L1 L2

Provienen de aplicar

operaciones a medidas

directas

A = L1 x L2 L1

L2

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

31

Tipos de errores

Medidas directas

Medidas indirectas

bull Sistemaacuteticos

bullAleatorios o Accidentales

bull Derivados de los anteriores

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Tipo de incertidumbres

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Tipos de Errores o Incertidumbres

Errores sistemaacuteticos son aquellos que se producen por causas que influyen siempre en la misma forma en las medidas Ej Falta de calibracioacuten mal habito del experimentador

Se pueden calcular y su efecto sobre los resultados se puede corregir numeacutericamente

Errores aleatorios o accidentales resultan de las imperfecciones humanas instrumentales y el efecto de otros elementos no moldeables o predecibles sobre las observaciones

Son pequentildeos y ocurren en iguales cantidades con signo positivo o negativo al azar sin seguir ninguna ley fiacutesica y por lo tanto deben ser tratados de acuerdo con las leyes de la probabilidad

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

34

Errores sistemaacuteticos

Limitaciones en

i Procedimiento o metodo

ii Experimentador

iii de los aparatos o equipamientos

bull Precisioacuten

bull Calibracioacuten

73 1 0 72

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

35

Errores aleatorios

Factores que perturban nuestra medida

bull Suma de muchas causas

bull Tienden a ser simeacutetricos

bull Se compensan parcialmente

bull Repetir las medidas

bull Estadiacutestica medidas

xreal

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

36

Errores aleatorios

Distribuciones

Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios

Tienden a curvas tiacutepicas

xreal

x x

x

x x x

x

x

x

x

x x

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

37

Coacutemo estimar el resultado

Frente a errores sistemaacuteticos

Frente a errores aleatorios

bullEntrenar o capacitar al experimentador

bullMejorar o cambiar procedimiento

bullMedir correctamente

bull Calibrar los aparatos

bull Se compensan repetir varias veces la medida

bull La media es el valor maacutes probable n

i

i

n

XX

1

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

38

Ejemplo

Me peso varios diacuteas seguidos en iguales condiciones

Diacutea L M X J V

Masa

(kg) 73 72 74 72 73

kgM 8725

)7372747273(

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

39

Incertidumbre

Se suele expresar como

Se suele descomponer en

1 Incertidumbre factores sistemaacuteticos ES1ES2

Destaca la de precisioacuten

2 Incertidumbre factores aleatorios EA

1 Absoluta Δx

2 Relativa

x

xEr

x

xenEr 100

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

TRATAMIENTO DE ERRORES

A) Incertidumbre o Error absoluto

Es la diferencia entre el valor verdadero (o medio)

y el valor medido expresado en valor absoluto

Ea = |Vverdadero - Vmedido|

Ejemplo

ndash Valor verdadero 1222mm

ndash Valor medido 1220mm

ndash Error absoluto 002 mm

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

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COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

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OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

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SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

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DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

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Ejercicios

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SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

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SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

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OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

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PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

TRATAMIENTO DE ERRORES

B) Incertidumbre o Error relativo

Error cometido en cada unidad de medida

a) 347 plusmn 2 cm

b) 4521 plusmn 5 cm

Er() = (Er)times100

medida

EE a

r

580473

2

(a)Er 110

2145

5

(b)Er

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

TRATAMIENTO DE ERRORES

El error relativo es indicativo de la precisioacuten de

una medida

Cuando una medida tiene menor error relativo

que otra se dice que es mas precisa

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

TRATAMIENTO DE ERRORES

El verdadero valor lo asignamos como la media

aritmeacutetica de las medidas realizadas

Y como Error absoluto la media de cada uno de

los errores absolutos de cada medida

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Valor correcto de una medida

Medidas(cm) Error absoluto

121 01

124 02

122 00

121 01

Valor medio 122 Desvestd = 01

Valor correcto 122 plusmn 01

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Cifras significativas

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Se llaman cifras significativas a las que se

consideran ciertas mas una que se considera

dudosa

Al medir con un instrumento el nuacutemero de

cifras significativas incluye todas las que

proporciona el instrumento

Es el conjunto de diacutegitos confiables o necesarios que representan el

valor de una magnitud independientemente de las unidades de

medida utilizadas

Cifras significativas

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Son los diacutegitos de una medicioacuten que se conocen con

certeza maacutes uno o dos diacutegitos inciertos

Regla 1 En nuacutemeros sin ceros todos los diacutegitos son significativos

Regla 2 Todos los ceros entre diacutegitos significativos son significativos

Regla 3 Los ceros a la izquierda no son significativos

Regla 4 Los ceros a la derecha del punto decimal son significativos

Regla 5 Los ceros a la derecha si no hay punto decimal pueden ser

significativos

Se evitan confusiones en notacioacuten cientiacutefica

Cifras significativas

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

- MEDIDA 239 g

Ciertas Dudosa

- MEDIDA 108 g

En kg 0108 kg En mg 108000 mg

3 cifras ciertas 6 cifras3 inciertas

Cifras significativas

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Uso de cifras significativas (reglas)

Regla 1 Cualquier diacutegito distinto de cero es significativo

351 mm tiene tres cifras significativas

1124 g tiene cuatro cifras significativas

Regla 2 Los ceros situados entre diacutegitos distintos de cero son significativos

301mm tiene tres cifras significativas

1004g tiene cuatro cifras significativas

Regla 3 Los ceros utilizados para posicionar la coma no son cifras significativas

000593 tres cifras significativas (en notacioacuten cientiacutefica 593 x 103 )

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Regla 4 Si un nuacutemero es mayor que la unidad todos los ceros escritos a la derecha de la coma decimal cuentan como cifras significativas

3501m tiene cuatro cifras significativas

9050g tiene cuatro cifras significativas

Regla 5 Para nuacutemeros sin coma decimal los ceros ubicados despueacutes del uacuteltimo diacutegito distinto de cero pueden ser o no cifras significativas

Asiacute 23000 cm puede tener 2 cifras significativas (23 104) 3 (230 104) oacute 4 cifras significativas (2300 104)

Seriacutea maacutes correcto indicar el error por ejemplo 23000 1 (5 cifras significativas)

Cifras significativas

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

EL NUMERO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

COINCIDE CON EL PROPORCIONADO POR

EL APARATO DE MEDIDA

NO PUEDEN APARECER NI MAS NI MENOS

CIFRAS AUNQUE CAMBIEMOS DE

UNIDAD

Cifras significativas

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Cifras significativas

LONGITUD =1O26 m

En km 01026 km (4 cifras sign)

En mm 1026bull103 mm (4 cifras sign)

No se consideran cifras significativas en

- Expresiones en potencias de diez

- Ceros a la izquierda

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Caacutelculos con las cifras significativas

En la multiplicacioacuten y divisioacuten el nuacutemero resultante tendra un numero de cifras significativas igual al numero con menor numero de cifras significativas usadas en la operacioacuten

Ejemplo

iquestCuaacutel es el aacuterea de un rectaacutengulo de 123 cm de ancho por 1234 cm de largo

Solucion

La calculadora nos da 151783 cm2

Pero como el ancho soacutelo tiene tres cifras significativas entonces como respuesta escribiremos 152 cm2

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Adicion y Sustraccion

En la adicioacuten y sustraccioacuten el uacuteltimo diacutegito retenido

en la suma o diferencia estaacute determinado por la

posicioacuten del uacuteltimo diacutegito dudoso

El resultado se redondea hasta que posea el mismo

numero de cifras decimales que el sumando que

menor tenga

Ejemplo 3724 cm + 202cm = 574 cm

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Redondeo (reglas)

1 Si el nuacutemero que se elimina es menor que 5 la cifra

precedente no cambia

Por ej 734 se redondea a 73

2 Cuando es mayor que 5 la cifra precedente se

incrementa en 1

Por ej 737 se redondea a 74

3 Cuando el nuacutemero que se elimina es 5 la cifra

precedente se sustituye por la cifra par maacutes proacutexima

Por ej 745 se redondea a 74 y 735 a 74)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplos

Los nuacutemeros naturales obtenidos por definicioacuten o al contar varios objetos pueden considerarse formados por un nuacutemero infinito de cifras significativas

Asiacute si un sobre pesa 0525 gramos 8 sobres pesaraacuten 0525 x 8 = 420 gramos

porque por definicioacuten el nuacutemero 8 es 80000000hellip

De la misma manera si 4 tomos de una enciclopedia pesan 8350 g el peso promedio de un tomo seraacute

8350 4 = 2087 g

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Conversion de unidades

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Conversion de unidades

bull Uno de los procedimientos se denomina meacutetodo del factor unitario o de anaacutelisis dimensional

Esta teacutecnica se basa en la relacioacuten que existe entre diferentes unidades que expresan la misma cantidad fiacutesica

bull Ejemplo

La unidad monetaria ldquosolrdquo es diferente de la unidad ldquoceacutentimordquo Sin embargo un sol es equivalente a 100 ceacutentimos porque ambos representan la misma cantidad de dinero

Esta equivalencia se puede expresar asiacute 1 sol = 100 ceacutentimos

Dado que un sol es igual a 100 ceacutentimos se infiere que su relacioacuten es igual a 1 esto es

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo Conversion de unidades

bull Esta fraccioacuten es tambieacuten un factor unitario es decir el reciacuteproco de cualquier factor unitario es tambieacuten un factor unitario La utilidad de los factores unitarios es que permiten efectuar conversiones entre diferentes unidades que miden la misma cantidad

bull Supoacutengase que se desea convertir 246 soles a ceacutentimos Este problema se puede expresar como

iquestceacutentimos = 246 soles

bull Dado que eacutesta es una conversioacuten de soles a ceacutentimos elegimos el factor unitario que tiene la unidad ldquosolrdquo en el denominador (para cancelar los ldquosol srdquo en 246 soles) y se escribe

bull El factor unitario tiene nuacutemeros exactos de modo que no se ve afectado el nuacutemero de cifras significativas en el resultado final

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo

bull La densidad de la plata es 105 gcm3 Convieacutertase la

densidad a unidades de kgm3

bull El problema puede enunciarse como

Kgm3 = 105 gcm3

bull Por tanto se necesitan dos factores unitarios uno para

convertir g a Kg y el otro para convertir cm3 a m3 Se sabe que

1kg = 1000g y que 1cm= 1 x 10-2 m por tanto se pueden

generar los siguientes factores unitarios

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Analisis Dimensional

El anaacutelisis dimensional permite verificar la validez de una

foacutermula o ecuacioacuten

Las dimensiones fundamentales son longitud (L) masa (M)

tiempo (T) etc

La dimensioacuten de una cantidad se designa encerraacutendola entre

corchetes por ejemplo

Ejemplo Si v es velocidad siendo v = xt

[v] = [xt] = [x][t] = L T

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo Ecuacion de dimensiones

1 Un alumno duda entre dos expresiones para la fuerza

centriacutefuga

iquestCuaacutel es dimensionalmente incorrecta

2 Demostrar que a todas estas formas de expresar una energiacutea les

corresponde la misma ecuacioacuten dimensional

RmFR

vmF 2

2

2

2

1vmEc

Energiacutea potencial gravitatoria

Energiacutea cineacutetica

Trabajo termodinaacutemico

hgmE p

VpW

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

PROPAGACION DE

INCERTIDUMBRES

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

Sean dos mediciones A = x x B = y y

Si x ltlt x y ltlt y Luego

A B Z=A+B Z=A-B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y) (x- x) (y- y) (x- x)(y+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)+( x+ y) (x+ x) (y+ x) (x+ x)(y- x)

A B Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Min x- x y- y (x+y)-( x+ y) (x-y)-( x+ y)

Max x+ x y+ y (x+y)+( x+ y) (x-y)-( x+ y)

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

)()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Propagacion de incertidumbres

MAXIMALES

bull Resumiendohellip

OBSERVACIONES

bull Se han determinado los valores minimo y maximo entre las cuales debe

encontrarse el valor verdadero

bull Las incertidumbres maximales no son las mas interesantes por no ser las

mas probables

bull Las incertidumbres mas probables se determinan por metodos estadisticos

Z=A+B Z=A - B Z=A B Z=A B

Z=z z (x+y) ( x+ y) (x-y) ( x+ y) )()(y

y

x

xxyxy )()(

y

y

x

x

y

x

y

x

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Propagacion de incertidumbres

PROBABLES (o Desviacioacuten estandar)

bull Son de caraacutecter estadistico

bull Se basan en la desviacioacuten estandar dado por

donde Z = f(xy hellip ) A = x x B = y y

2

2

2

2

)()( yyxfy

xyxfx

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

Z=z z 22)( yxyx22

)(y

y

x

xxyxy

22

)(y

y

x

x

y

x

y

x ))(()(x

xnkxkx nn

Z=A B Z=A B Z=A B Z=kAn

z 22 yx22

y

y

x

xz

22

y

y

x

xz )(

x

xnz

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

67

Medidas indirectas V

21 XXfY

2

2

2

2

1

1

XX

YX

X

YY

Derivada parcial de Y respecto a X1

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

68

Derivadas parciales

1X

YComo variacutea Y si variacutea soacutelo X1

21 XXfY

EJEMPLOS

zxy 43

32 zxy

V

M

hrV 2

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo

Hallar la incertidumbre por propagacion de errores de Z= A+B

Sabiendo que Z = f(xy hellip ) = x + y

A = x x B = y y

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Solucion

Donde debemos expresar como Z = z z

Considerando Z = f(xyhellip) = x+y

Entonces la incertidumbre esta dado por

finalmente

222222

2

2

2

)()1())(1()()( yxyxyyxy

xyxx

z

22)( yxyxZ

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ajuste por metodo de minimos

cuadrados bull Recta de minimo cuadrada que ajusta al conjunto de puntos

bull Tiene por ecuacion y = mx +b

bull Donde b y m son constantes

bull Se consigue que

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo

Realizar el ajuste de recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) y (129)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Solucion

x y xy x2

1 2 2 1

2 3 6 4

5 5 25 25

6 5 30 36

7 6 42 49

8 7 56 64

12 9 108 144

Σ 41 37 269 323

El ajuste de minimos cuadrados en este caso es obtener la recta y = mx + b

Es util hacer un cuadro

Reemplazando en las ecs respectivas obtenemos m= 0631 y b= 159

Lo que significa que la ecuacion de la recta es y = 0631x + 159

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Fis JORGE HUAYTA

VECTORES

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

Definicioacuten

1Moacutedulo

2Direccioacuten

3Sentido

ej velocidad

fuerza

VECTOR

La magnitud del vector se escribe | A | = A

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

P

O

x

y

z

x

y

z

( )x y z

yOz zOy xOy son los planos coordenados

Oxyz es un sistema de referencia derecha

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

a a2a

2

1

a

a

a2

3Todos los vectores multiplos de a son paralelos

) 321 aaa(a

)(a 321 aaa

Resultado un vector que mantiene la direccioacuten y sentido pero cuya magnitud

es el vector multiplicado por la constante escalar

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

r

14

1

14

3

14

2u

14132r

)132(r

222

Ejemplo

VECTORES UNITARIOS

La longitud de u es unitaria

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

x

y O

i j

k

VECTORES UNITARIOS

versores cartesianos

)001(ˆ i

)010(j

)100(k

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

COMPONENTES DE UN VECTOR

yx aaa

jaiaa yx

jaseniaa

)()cos(

Proyecioacuten de un vector sobre cada uno de los ejes cartesianos

asenaaa xx cos

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

a

x

o

X

Y

Z

En la figura

OX = ax i

OY = ay j

OZ = az k

De modo que a puede

ser representado como

a = ax i + ay j + az k

En 3D

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Modulo de un vector

Sean un vector a = ax i + ay j + az k

El moacutedulo de a se representa como |a| y se calcula

aplicando el teorema de Pitaacutegoras

____________

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2

Ejemplo En el vector anterior c = a + b = 5i ndash j

Luego el modulo es

____________ ____________ ___

|a| = radic ax2 + ay

2 + az2 = radic 52 + (ndash1)2 + 02 = radic 26

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

I

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

SUMA DE DOS VECTORES

Suma Dados dos vectores A y B puede construirse un vector C tal como se indica a

continuacioacuten

B

A

A+B

Esta operacioacuten se denomina suma A + B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE DOS VECTORES Paralelogramo

cos222 ABBABA

En la suma de A y B se puede calcular su magnitud

por

(Ley de cosenos)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

SUMA DE DOS VECTORES por componentes

Sean los vectores

kbjbibB

kajaiaA

zyx

zyx

kbajbaibaBA zzyxyx

)()()(

La suma de los dos vectores puede reescribirse como

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Sean los vectores a = 3 i + 2 j y b = 2 i ndash 3 j

Hallar la suma a+b

Solucion

Luego la suma a + b sera

a + b = (3+2) i + (2 ndash3) j

a + b = 5i ndash j

Y

X

5

SUMA DE DOS VECTORES Ejemplo

a

b

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

DIFERENCIA SUMA DE DOS VECTORES

D = A + (- B)

kbajbaibaBA

)()()( 332211

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

DIFERENCIA O RESTA DE VECTORES

Dados los vectores A y B la resta se define como se grafica

B

A

C

En este caso escribiremos A - B = C

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

Ejercicios

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES

Geometricamente se obtiene primero sumando dos de ellos luego

adicionando el 3ro a tal suma y asi sucesivamente La suma ira de la cola

del 1er vector a la cabeza del ultimo

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

SUMA DE VARIOS VECTORES (algebraicamente)

Sumar varios vectores V1 V2 V3 hellip usando el meacutetodo de componentes

Consideremos los vectores en un plano)

Entonces

Por consiguiente

Donde i es el angulo de Vi con +X esto es

Asimismo el modulo de la suma estara dado por

V2 = (ΣVix)2 + (ΣViy)

2 = Vx2 + Vy

2

y el angulo del vector suma con +X es

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejercicio

El abductor de la cadera que conecta la cabeza al feacutemur consta

de tres musculos independientes que actuan a diferentes

angulos La Fig 3 muestra los resultados de medidas de la

fuerza ejercida por separado de cada muacutesculo Hallar la fuerza

total ejercida por los tres musculos juntos

Fig 3

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Solucion

Descomponiendo y sabiendo que

R2 = (ΣFx)2 + (ΣFy)

2 = Rx2 + Ry

2 hellip (1)

En el eje X

en el 1er vector 20middotcos48 = 200669 = 1338 N

en el 2do vector 40middotcos76 = 4002419 = 968 N

en el 3er vector 10middotcos86 = 1000698 = 070 N

En el eje Y

en el 1er vector 10middotsen86 = 1009976 = 998 N

en el 2do vector 40middotsen76 = 4009703 = 3881 N

en el 3er vector 20middotsen48 = 2007431 = 1486 N

y considerando los signos segun direccion que apunte el vector componente

Rx = ΣFx = -(1338) ndash (968) + 070 = ndash 2236 N

Ry = ΣFy =-(998) + -(3881) ndash(1486) = -6365 N

Finalmente reemplazando en la ec (1) R2 = 455129

Luego

R = 6746 N

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

OPERACIONES

CON VECTORES

II

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

PRODUCTO ESCALAR

Dados dos vectores A y

B se define como

producto escalar

AB = | A | | B | cos

donde es el aacutengulo que

forman los dos vectores

De la definicioacuten

A

B

332211 bababaBA

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNMSM Lic Jorge Huayta

PRODUCTO ESCALAR

cos BABA

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

Y por lo demaacutes si dos vectores son perpendiculares entonces

su producto escalar es nulo

imiddoti = jmiddotj = kmiddotk = 1

imiddotj = jmiddotk = kmiddoti = 0

AA = A2 ya que el angulo es cero

AB = 0 si A es perpendicular a B ( θ = 90)

PRODUCTO ESCALAR Propiedades

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo

Encontrar el angulo entre los vectores

A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Solucion

Por definicioacuten A B = AB cos

Luego cos = A B AB ()

Pero A B = (1)(2) + (3)(-1)+(-2)(-3) = 5

AB = = 14

Reemplazando en () cos = 5 14

asi = cos-1(514) = 69ordm

))3()1(2)()2(31( 222222

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Producto VECTORIAL

Se define como producto vectorial

de los vectores A y B al vector V

tal que

V = A B = [A B]

es perpendicular a A y B a la vez

Su magnitud se define como

| V | = | A || B | sen

La magnitud del vector V es igual

al aacuterea definida por A y B

Observe el sentido de la rotacioacuten

A

B

V

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Si este tornillo lo giramos a la

derecha el tornillo ldquobajardquo

Si el vector a lo giramos hacia b

entonces obtenemos el movimiento

indicado con la flecha azul

Por el contrario si giramos el vector

b hacia a obtenemos el movimiento

indicado con la flecha verde

0

PRODUCTO VECTORIAL y el tornillo

La operacioacuten ldquovirtualrdquo de girar a hacia b

la denotaremos por a b

Y vamos a exigir que el vector resultante sea

ˆsena b = a b n

Donde es el vector unitario en la

direccioacuten del vector azul

n

a

b

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

ˆsen b a = b a n

Si definimos b a entonces

Donde esta vez es el vector

unitario obtenido en la direccioacuten

del vector verde

n

De tal forma que este producto no es

conmutativo y ademaacutes

a b b a

0

a

b

PRODUCTO VECTORIAL Prop anticonmutativa

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

i j

k

En un sistema de orientacioacuten positiva trivialmente se cumple lo siguiente

ˆˆ ˆj k iˆˆ ˆi j k ˆ ˆ ˆk i j

Y por lo demaacutes si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz es

el vector nulo

Y es claro que a a 0

iexclcuidado es el vector nulo no el cero real

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades

0kkjjii

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNA INTERPRETACIOacuteN GEOMEacuteTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL (Producto cruz)

O

B

A

C

a b

a

b

El aacuterea del paralelogramo es

sena b a b

El producto cruz

corresponde a un vector

normal al paralelogramo

formado por a y b y de

magnitud igual al aacuterea de

dicho paralelogramo

a b

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Ejemplo

Si A = i + 3j - 2k y B = 2i - j - 3k A y B son

vectores de dos lados del triangulo Hallar el area

del triangulo

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Solucion

El area es S = (12)bh (1)

En el triangulo h = A sen

Reemplazando en (1) S = (12) BA sen

que es igual a S = (12) A x B ---- (2)

= -11i ndashj ndash7k

A x B = = 131

Reemplazando en (2) S = 654

)2)(3()1)(1[(

)3)(1()2)(2[(

)1)(2()3(3[

312

231

k

j

ikji

BxA

222 )7()1()11(

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

TORQUE O MOMENTO Interpretacion fisica

del producto vectorial F

O

r

l

Si F es una fuerza y r es el vector desde

un punto fijo a cualquier punto sobre F

entonces

puede ser interpretado como el

torque o momento de la fuerza F

alrededor del punto O

Puesto que la magnitud del torque es consistente

Y ademaacutes la direccioacuten del torque estaacute en una liacutenea perpendicular a r

y F y esta direccioacuten es precisamente la direccioacuten de orientacioacuten positiva

(seguacuten la regla del famoso tornillo)

sen lr F = r F F

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

El producto vectorial puede obtenerse mediante el determinante

kbabajbabaibaba

bbb

aaa

kji

BA

)()()( 122113312332

321

321

PRODUCTO VECTORIAL Calculo

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

hellip preguntas

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

GRACIAShellip

DAFNAM

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Sean x + Δx e y +Δy resultados de mediciones de distintas magnitudes Si P = xy determinar

usando maximales

2 Los lados de un campo de trabajo miden 1530 plusmn005 cm y 1280 plusmn005 cm Determinar el area de

dicho campo y su incertidumbre utilizando maximales

3 Una medicioacuten de peso se expresa como 156 kg plusmn 2 determinar la incertidumbre de la medida y

expresar con cifras que sean realmente significativas

4 Un conteo en laboratorio cifraba una poblacioacuten de 627 776 bacterias Este numero puede diferir en

un 2 de la poblacioacuten verdadera en ese instante Dar la poblacioacuten de modo que se indique el numero

correcto de cifras significativas

Considerar las magnitudes longitud l masa m y tiempo t a no ser que se sugieran otras

5 La ecuacioacuten de la elongacion en funcion del tiempo de un oscilador armonico se expresa como

donde A es la amplitud del movimiento oscilatorio y t el tiempo Determinar las dimensiones de de

las magnitudes y

6 Determine si la siguiente expresion es dimensionalmente homogenea

siendo F el modulo de una fuerza x el modulo del desplazamiento v la rapidez a el modulo de una

aceleracion y t es tiempo

mvavdt

dmFdy

dt

d y2

0 2

1

)( tsenAx

P

P

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

1 Cuantas cifras significativas tiene

a) 00323 g b) 125000 m c) 1030 ms d) 140 ml e) 93x107 s

2 Sumar las cantidades

a) 380 + 00041 + 000001 b) 320 + 12321 + 0012 c) 703 + 7 + 066

3 Restar

a) 726mdash02 b) 5624 ndash 168 c) 34 ndash 02

4 Multiplicar

a)221 x 03 b) 724 x 0084 c) 202 x 4113 d) 10788 x 0610

5 Dividir

a) 9752254 b) 14280714 c) 00320004 d) 9893

6-Determinar la incertidumbre del volumen de un cono recto de radio r = 20

01 cm y altura h = 123 02 cm

7 Sea A= 2460 007 cm y B= 73 02 cm Hallar las incertidumbres de

a) A+B b) A-B c) AmiddotB d) AB

8 Ajuste una recta minimo cuadratica a los siguientes datos

(12) (23) (55) (65) (76) (87) (129)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

9 iquestQueacute vector debe sumarse al vector |F| = 30 N y que hace 60ordm con el eje X positivo

para dar como resultante el vector cero

10 Si F = A + B en la Fig 1 Hallar el valor de α para que la norma de B sea la minima

Fig 1 Fig2

11 Encontrar el modulo de la suma de los siguientes vectores AO AB OC y CG de la

Fig 2 sabiendo que el cubo es de lado L

12 Se tienen las siguientes fuerzas 200 N a lo largo del eje X hacia la derecha 300 N y

60ordm por encima del eje X hacia la derecha 100 N y 45ordm por encima del eje X hacia la

izquierda 200 N verticalmente hacia abajo Hallar la magnitud y direccioacuten de la

resultante (respecto al angulo que forma con el eje X positivo)

13 Cual de los vectores expresados a continuacioacuten es paralelo al vector i ndash 2j + 3k y

tiene el doble de magnitud y sentido opuesto

a) b) 2i ndash 4j - 6k c) -2i + 4j - 6k d) - i + 4j - 9k e) N A

14 Sean los vectores coplanares a = 3i - 2j y b = i - 2j Hallar su producto vectorial

15 Dado los vectores A = Xi + 3j - 2k y B = -i - 3j + k Determinar el valor de X para

que el vector (A ndash B) sea perpendicular a B

16 Dado los vectores A = 2i - j + k B = i + 3j - 2k C = -2i + j - 3k y D = 3i + 2j + 5k

Hallar los valores de los escalares m n y p de manera que D = mA + nB ndash pC

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Fis JORGE HUAYTA

PRACTICA No 1 Incertidumbre analisis dimensional vectores

17 Encontrar el angulo que forman los vectores A = 8ai + 15aj y B = 15mi ndash 36mj

18 En la Fig3 se muestra la forma del tendoacuten del cuadriceps al pasar por la rotula Si las

tensioacutenes T1 y T2 son iguales y vale 1400 N cada uno Hallar a) La magnitud y b) la

direccioacuten de la fuerza de contacto Fc ejercida por el feacutemur sobre la rotula ( = 80ordm =

37ordm)

Fig 3 Fig 4 Fig5

19 En la Fig 4 se muestra la traccion aplicada a la pierna de un paciente iquestQueacute fuerza

horizontal se ejerce sobre la pierna Asumir W = 30 N

20 El muacutesculo deltoides levanta el brazo hasta la posicioacuten horizontal ver Fig 5 El

muacutesculo esta fijado a una distancia b = 15 cm de la articulacioacuten y forma un angulo α =

18ordm con el humero Suponiendo que el peso del brazo es W = 40 N y que se puede

aplicar todo eacutel en el centro de masas situado a una distancia a = 35 cm de la

articulacioacuten Hallar a) la tension T ejercida por el muacutesculo b) las componentes Rx y Ry

de la fuerza ejercida por la articulacioacuten del hombro c) el angulo que R forma con el

humero horizontal

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

ANEXO

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES

SI

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

HISTORIA

bull En 1790 a finales de la Revolucioacuten Francesa la Academia de Ciencias de Pariacutes por encargo de la Asamblea Nacional Francesa presenta la proposicioacuten para crear un sistema uacutenico de medidas

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

bull El 20 de mayo de

1875 se adoptoacute

universalmente el

Sistema Meacutetrico

Decimal mediante el

tratado denominado la

Convencioacuten del Metro

EL SISTEMA METRICO DECIMAL

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

ANTECEDENTES

bull En 1875 se crea la Conferencia General de Pesas y Medidas el Comiteacute y la Oficina de Pesas y Medidas

bull En un principio existieron varios sistemas CGS MKS MKSA MTS

bull En 1948 se selecciona el MKS para estudio y en 1954 se establece como sistema de medicioacuten

bull En 1960 denomina Sistema Internacional de Unidades a este sistema

bull La Conferencia General de Pesas y Medidas es la maacutexima autoridad de la metrologia cientiacutefica y es la que apruebe la nuevas definiciones del SI y recomienda a los paiacuteses que lo integren a sus legislaciones

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

ALGUNOS ANTECEDENTES EN EL

PERU

bull El Sistema Internacional fue aprobado y oficializado en nuestro pais por el Instituto de Investigacion Tecnologica Industrial y de Normas Tecnicas ITINTEC en 1972

bull Desde 1984 mediante el DS No 064-84 ITIIND

tiene caraacutecter de Ley por lo que su empleo es

obligatorio en todo el Peru

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

SISTEMA INTERNACIONAL DE

UNIDADES SI

El sistema internacional de unidades (SI) es el sistema coherente de unidades adoptado y recomendado por la Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

EL LENGUAJE UNIVERSAL DE LAS

MEDICIONES ES EL SISTEMA

INTERNACIONAL DE UNIDADES

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

DEFINICIONES

bull Magnitud baacutesica Cada una de las magnitudes

que en un sistema de magnitudes se aceptan por

convencioacuten como funcionalmente independiente

una respecto de otra de otra

bull Magnitud derivada En un sistema de

magnitudes es cada una de las magnitudes

definidas en funcioacuten de las magnitudes baacutesicas de

ese sistema

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDAD DE MEDIDA

Magnitud particular definida y adoptada por

convencioacuten con la cual se comparan las otras

magnitudes de la misma naturaleza para

expresar cuantitativamente su relacioacuten con

esta magnitud

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

CLASES DE UNIDADES QUE

CONFORMAN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

bull UNIDADES DE BASE O

FUNDAMENTALES

bull UNIDADES DERIVADAS

bull UNIDADES SUPLEMENTARIAS

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDADES SI DE BASE

Magnitud Unidad Siacutembolo

longitud metro m

masa kilogramo kg

tiempo segundo s

corriente eleacutectrica amperio A

temperatura

termodinaacutemica kelvin K

intensidad luminosa candela cd

cantidad de sustancia mol mol

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDADES SI SUPLEMENTARIAS

Cantidad Nombre unidad

SI Siacutembolo

Angulo plano radian rad

Angulo solido estereoradian sr

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDADES SI DERIVADAS

(EJEMPLOS)

Magnitud Nombre unidad

SI Siacutembolo

superficie metro cuadrado m2

volumen metro cuacutebico m3

volumen

especiacutefico

metro cuacutebico por

kilogramo m3kg

iacutendice de

refraccioacuten (el numero) uno 1

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDAD SI DERIVADA EJEMPLO DE CONSTRUCCIOacuteN

m kg s

m3

kgmiddotms2 ms

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

UNIDADES QUE NO PERTENECEN

AL SI PERO QUE SE ACEPTAN PARA

UTILIZARSE CON EL MISMO (EJEMPLOS)

Nombre Siacutembolo Valor en unidades SI

minuto min 1 min = 60 s

hora h 1 h = 3 600 s

diacutea d 1 d = 86 400 s

litro L l 1 L = 1000 cm3 = 10-3 m3

tonelada t 1 t = 1000 kg

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Potencia Prefijo Abrev Potencia Prefijo Abrev

10-24 yocto y 101 Deca da

10-21 septo z 103 kilo k

10-18 ato a 106 mega M

10-15 femto f 109 giga G

10-12 pico p 1012 tera T

10-9 nano n 1015 peta P

10-6 micro 1018 exa E

10-3 mili m 1021 zeta Z

10-2 centi c 1024 yota Y

10-1 deci d

Prefijos para las unidades del sistema SI

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

REGLAS DE ESCRITURA DE

LOS SIMBOLOS DE LAS UNIDADES Y

LOS PREFIJOS

bull Todo lenguaje contiene reglas para su escritura que evitan confusiones y facilitan la comunicacioacuten

bull El Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene sus propias reglas de escritura que permiten una comunicacioacuten uniacutevoca

bull Cambiar las reglas puede causar ambiguumledades

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Escribir en caracteres

romanos rectos

m

Pa

m

Pa

El siacutembolo se escribe con

minuacutescula a excepcioacuten de los

derivados de nombres

propios

kg

Hz

K

Kg

hz

k

Se debe dejar espacio entre

el valor de la magnitud y el

siacutembolo

50 oC

60o

50oC

60 o

Si el valor numeacuterico se

expresa en letras no se utiliza

siacutembolo diez segundos diez s

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

s Seg o seg

g GR grs grm

Lmin LPM

cm3 cc cmc c m3

50 gramos o 50 g 50 gramo 50 gs

ml o mL mltr ML

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

REGLAS (EJEMPLOS)

Correcto Incorrecto

10 m x 20 m x 50 m 10 x 20 x 50 m

de 10 g a 500 g de 10 a 500 g

(305 001) m

305 m 001 m

305 001 m

305 m 001

123 nA 0001 23 mA

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

El signo decimal debe

ser una coma sobre la

liacutenea

12335

0876

125

12335

876

114

Los nuacutemeros en

grupos de tres

(preferiblemente) a

derecha e izquierda

del signo decimal

345 899234

6458 706

345899234

6458706

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

REGLAS (EJEMPLOS)

Descripcioacuten Correcto Incorrecto

Para la multiplicacioacuten de

unidades se recomienda

un punto o un espacio

Newton metro o

Newton-metro

m N

mmiddotN

Nmiddotm

mN

Para el cociente se

intercala la palabra ldquoporrdquo

Newton por metro

cuadrado

Nm2 Ncedilm2

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

REGLAS (EJEMPLO)

Descripcioacuten Correcto incorrecto

Se utilizan dos o

cuatro caracteres para

el antildeo dos para el mes

y dos para el diacutea en

ese orden

2000-08-30

o

00-08-30

08-30-2000

30-08-2000

Se utiliza el sistema de

24 horas 20 h 00

09 h 45 min 00

8 PM

930 hrs

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Paraacutemetro Longitud m Paraacutemetro Longitud m

Protoacuten 10-15 Diaacutemetro del sistema solar 1013

Aumltomo de H 10-10 Distancia a la estrella maacutes

cercana

1017

Virus de la gripa 10-7

Gota de lluvia 10-3 Diaacutemetro de nuestra

galaxia (Viacutea Laacutectea)

1021

Altura de una persona 100

Un kiloacutemetro 103 Distancia a la galaxia

maacutes cercana (Androacutemeda)

1022

Diaacutemetro de la Tierra 107

Distancia Tierra- Luna 109 Distancia al confiacuten del

universo observable

1026

Distancia Tierra-Sol 1011

Longitudes de diversos cuerpos

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

El Universo 1 x 1052

La Viacutea Laacutectea 7 x 1041

El Sol 2 x 1030

La Tierra 6 x 1024

La Luna 7 x 1022

Un caballo 1 x 103

Un humano 7 x 101

Una rana 1 x 10-1

Un mosquito 1 x 10-5

Una Bacteria 1 x 10-15

Un aacutetomo de hidroacutegeno 1 x 10-27

El electroacuten 911 x 10-31

Masa (kg)

Masa de diversos cuerpos

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)

Edad del Universo 5 x 1017

Edad de la Tierra 13 x 1017

Edad promedio de un estudiante universitario 63 x 108

Un antildeo 32 x 107

Un diacutea 86 x 104

Tiemo entre latidos del corazoacuten normales 8 x 10-1

Periodo de ondas sonoras audibles 1 x 10-3

Periodo de ondas de radio comunes 1 x 10-6

Periodo de vibracioacuten de un aacutetomo en un soacutelido 1 x 10-13

Periodo de ondas luminosas visibles 2 x 10-15

Duracioacuten de un choque nuclear 1 x 10-22

Tiempo que tarda la luz en atravesar un protoacuten 33 x 10-24

Valores aproximados de algunos intervalos de tiempo

Intervalo (s)