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MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS
GEOMETRÍA Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”
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VECTORES EN EL ESPACIO
Un s i stema de c oordenadas t r id imens ional se construye t razando un eje Z, perpendicu lar en e l or igen de coordenadas a los e jes X e Y .
Cada punto v iene determinado por t res c oordenadas P(x , y , z ) . Los e jes de coordenadas determinan t res p lanos coordenados: XY, XZ e YZ . Estos p lanos coordenados d iv iden a l espac io en ocho reg iones l lamadas oc tantes , en e l pr imer octante las t res coordenadas son pos i t ivas .
1.-VECTOR EN EL ESPACIO Un vector en el espacio es cua lquier segmento orientado que t iene su origen en un punto y su extremo en e l o t ro .
2.-COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO S i l as coordenadas de A y B son: A(x 1 , y 1 , z 1) y B(x 2 , y 2 , z 2)
Las coordenadas o componentes del vecto r 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ son las
coordenadas del ext remo menos las coordenadas de l o r igen.
𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏, 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏, 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏) Ejemplo: Determinar la componentes de los vectores que se pueden t razar e l t r iángulo de vért i ces A(−3, 4 , 0) , B(3, 6 , 3) y C(−1, 2 , 1) .
3.-MÓDULO DE UN VECTOR: |𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
El módulo de un vector es la longitud de l segmento o r ientado que lo def ine.
E l módulo de un vector es un número s iempre posit ivo y so lamente e l vector nulo t i ene módulo cero .
3.1.Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo: Dados los vectores �⃗⃗� = (𝟑, 𝟏, −𝟏) y �⃗� = (𝟐, 𝟑, 𝟒) , ha l lar los módulos de �⃗⃗� y �⃗� ·
3.2.-Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
;
4.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos es igua l a l módulo del vector que t iene de ext remos d i chos puntos.
Ejemplo: Ha l lar la distancia entre los puntos A(1, 2 , 3) y B(2, 3 , −1) o e l módulo del
vector𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.
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5.-VECTOR UNITARIO
U n v e c t o r u n i t a r i o t ie n e d e m ó d u l o l a u n i d a d . L a n o r m a l i z a c i ó n d e u n ve c t o r c o n s i s t e e n a s o c i a r l e o t r o v e c t o r u n i t a r i o , d e l a m i s m a d i r e c c i ó n y s e n t i d o que e l ve c t o r d a d o , d i v i d i e n d o c a d a c o m p o n e n t e d e l v e c t o r p o r s u m ó d u l o .
6.-OPERACIONES DE VECTORES EN EL ESPACIO
a) Suma de vectores : P a r a s u m a r do s v e c t o r e s s e s u m a n s u s r e s pe c t i v a s c o m p o n e n t e s .
;
Ejemplos:
1) Dados �⃗⃗� =(2, 1 , 3) , �⃗� =(1, −1, 0) , �⃗⃗� =(1, 2 , 3) , ha l lar e l vector �⃗⃗� =2 �⃗⃗� + 3 �⃗� − �⃗⃗� . �⃗⃗� = (4, 2 , 6) + (3, −3, 0) − (1, 2 , 3) = (6, −3, 3)
2) Dados los vectores �⃗⃗� = (𝟐, 𝟒, 𝟓)y �⃗� = (𝟑, 𝟏, 𝟐), ha l lar e l módulo de l vector �⃗⃗� − �⃗� .
;
P r o p i e d a d e s d e l a s u m a d e v e c t o r e s :
A s o c i a t i v a + ( + ) = ( + ) +
C o n m u t a t i v a + = +
E l e m e n t o n e u t r o + =
E l e m e n t o o p u e s t o + ( − ) = b) Producto de un número real por un vector
E l p r o du c t o d e u n n ú m e r o r e a l k p o r u n v ec t o r �⃗⃗� e s o t r o v e c t o r : 𝐤 · 𝐮⃗⃗ ⃗⃗
D e i g u a l d i r e c c i ó n q u e e l v e c t o r �⃗⃗� y d e l m i s m o s e n t i d o q u e e l ve c t o r �⃗⃗� s i k > 0 o d e s e n t i d o c o n t r a r i o d e l ve c t o r �⃗⃗� s i k < 0 .
D e m ó d u l o l a s c o m p o n e n t e s d e l ve c t o r r e s u l t a n t e s e o b t i e n e n m u l t i p l i c a n d o p o r k l a s c o m p o n e n t e s d e l v e c t o r ( k u 1 , k u 2 , k u 3 ) .
P r o p i e d a d e s d e l p r od uc t o d e un n úm e r o p o r u n v e c t o r
A s o c i a t i v a : k · ( k ' · �⃗⃗� ) = ( k · k ' ) · �⃗⃗�
D i s t r i b u t i v a r e s p e c t o a l a s u m a d e v e c t o r e s : k · ( �⃗⃗� + �⃗� ) = k · �⃗⃗� + k · �⃗�
D i s t r i b u t i v a r e s p e c t o a l o s e s c a l a r e s : ( k + k ' ) · �⃗⃗� = k · �⃗⃗� + k ' · �⃗⃗�
E l e m e n t o n e u t r o : 1 · �⃗⃗� = �⃗⃗�
Ejemplo: Dado 𝐯 ⃗⃗⃗ =(6, 2 , 0) determinar �⃗⃗� de modo que sea 3 �⃗⃗� = �⃗� . So l : �⃗⃗� =𝟏
𝟑�⃗� = (𝟐,
𝟐
𝟑, 𝟎)
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DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL. BASES 1.-COMBINACIÓN LINEAL
U n a c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e d o s o m á s v e c t o r e s e s e l v e c t o r q u e s e o b t i e n e a l s u m a r e s o s v e c t o r e s m u l t i p l i c a d o s p o r s e n d o s e s c a l a r e s .
C u a l q u i e r v e c t o r s e p u e d e p o n e r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e
o t r o s q u e t e n g a n d i s t i n t a d i r e c c i ó n . . E s t a c o m b i n a c i ó n l i n e a l e s ú n i c a .
2.-VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES
D e f i n i c i ó n 1 : V a r i o s v e c t o r e s l i b r e s d e l p l a n o s e d i c e q u e s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i , a l m e n o s , u n o d e e l l o s s e p u e d e e x p r e s a r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e l o s d e m á s . E n c a s o c o n t r a r i o , s e d i c e q u e s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s .
D e f i n i c i ó n 2 : V a r i o s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e nd i e n t e s s i e x i s t e u n a c o m b i n a c i ó n l i ne a l d e l o s v e c t o r e s c o n a l g ú n c o e f i c i e n t e n o n u lo q u e s e a i g u a l a l v e c t o r c e r o .
S i t o d o s l o s c o e f i c i e n t e s ( a 1 = a 2 = … = a n = 0 ) s o n c e r o , l o s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s . L o s v e c t o r e s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , e n t r e s í , t i e n e n d i s t i n t a d i r e c c i ó n y s u s c o m p o n e n t e s no s o n p r o p or c i o n a l e s .
C o n s e c u e n c i a : T r e s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i |
𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒘𝟏 𝒘 𝒘𝟑
|= 0
T r e s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s s i : |
𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
𝒘𝟏 𝒘 𝒘𝟑
|≠ 0
2.1.-Propiedades
a ) D o s v e c t o r e s l i b r e s d e l p l a n o �⃗⃗� = ( u 1 , u 2 , u 3 ) y �⃗⃗� = ( v 1 , v 2 , v 3 ) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s s i s u s c o m p o n e n t e s s o n p r o p o r c i o n a l e s .
�⃗⃗� = 𝒌𝒗 ⃗⃗ ⃗ ⟹ ( u 1 , u 2 , u 3 ) = ( k v 1 , k v 2 , k v 3 ) ; 𝒖𝟏
𝒗𝟏=
𝒖𝟐
𝒗𝟐=
𝒖𝟑
𝒗𝟑= 𝒌;
P o r t a n t o , d o s ve c t o r e s a l i n e a d o s y / o p a r a l e l o s ( p r o p o r c i o n a l e s ) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s .
b ) D o s v e c t o r e s n o a l i n e a d o s s o n L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e s .
c ) D o s o m á s v e c t o r e s c o p l a n a r i o s ( e s t á n o p e r t e n e c e n a l m i s m o p l a n o ) s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s . S i n o s o n c o p l a n a r i o s s o n L i n e a l m e n t e I n d e p e n d i e n t e s .
Ejemplo:
1 ) D e t e r m i n a r l o s va l o r e s d e k p a r a q u e s e a n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s l o s v e c t o r e s �⃗⃗� =(𝟑, 𝐤, −𝟔), �⃗� = (−𝟐, 𝟏, 𝐤 + 𝟑) y �⃗⃗� = (𝟏, 𝐤 + 𝟐, 𝟒). 2 ) E s c r i b i r �⃗⃗� c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e �⃗⃗� y �⃗⃗� , s i e n d o k e l va l o r c a l c u l a d o . L o s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e nd i e n t e s s i e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z q u e f o r m a n e s n u l o , e s d e c i r q u e e l r a n g o d e l a m a t r i z R ( A ) < 3 .
;
;
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; Ejemplo:
1 . E s t u d i a r s i s o n l i n e a l m e n t e d e p e nd i e n t e s o i n d e p e n d i e n t e s l o s ve c t o r e s : �⃗� = ( 2 , 3 , 1 ) , 𝑣 = ( 1 , 0 , 1 ) , �⃗⃗� = ( 0 , 3 , − 1 )
a ( 2 , 3 , 1 ) + b ( 1 , 0 , 1 ) + c ( 0 , 3 , − 1 ) = ( 0 , 0 , 0 )
R ( M ) = 2 ; n = 3 S i s t e m a c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n ad o .
E l s i s t e m a t i e n e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s , p o r t a n t o l o s ve c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s .
4.-BASES
T r e s v e c t o r e s �⃗⃗� , �⃗⃗� , 𝒘 ⃗⃗⃗⃗ n o c o p l a n a r i o s , c o n d i s t i n t a d i r e c c i ó n f o r m a n u n a b a s e , s i c u a l q u i e r
v e c t o r d e l e s p a c i o v e c t o r i a l 3 s e p u e d e p o n e r c o m o c o m b i n a c i ó n l i n e a l d e e l l o s .
�⃗� = 𝐚�⃗⃗� + 𝐛�⃗� + 𝐜�⃗⃗� L a s c o o r d e n a d a s d e l v ec t o r r e s p e c t o a l a b a s e s o n : �⃗� = (𝐚, 𝐛, 𝐜)
4 . 1 . B a s e o r t o g o n a l
S i l o s v e c t o r e s d e l a b a s e s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , e n t o n c e s l a b a s e e s o r t o g o n a l .
4 . 2 . B a s e o r t o n o r m a l
U n a b a s e e s o r t o n o r m a l s i l o s v e c t o r e s d e l a b a s e s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í , y a d e m á s t i e n e n s o n v e c t o r e s u n i t a r i o s ( m ó d u l o 1 ) .
𝐵 = { �⃗� , �⃗� , 𝐤 ⃗⃗ ⃗}; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐢 = (𝟏, 𝟎, 𝟎); 𝐣 = (𝟎, 𝟏, 𝟎); 𝐤 = (𝟎, 𝟎, 𝟏); |𝐢 | = |𝐣 | = |𝐤 | = 𝟏; 𝐢 ⊥ 𝐣 ⊥ 𝐤
E s t a b a s e f o r m a d a p o r l o s v e c t o r e s {𝐢 , �⃗� , 𝐤 } s e d e n o m i n a b a s e c a n ó n i c a .
E j e m p l o :
2 . ¿ P a r a q u é va l o r e s d e a l o s v e c t o r e s �⃗⃗� = (𝟏, 𝟏, 𝟏), �⃗� = (𝟏, 𝐚, 𝟏) y �⃗⃗� = (𝟏, 𝟏, 𝐚) f o r m a n u n a b a s e ?
; a 2 + 1 + 1 - a - a - 1 ≠ 0 ; a 2 - 2 ª + 1 ≠ 0 ; ( a - 1 ) 2 ≠ 0 ; P a r a a ≠ 1 , l o s v e c t o r e s f o r m a n u n a b a s e .
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APLICACIONES DE VECTORES A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
1.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL ESPACIO L a d i s t a n c i a e n t r e d o s p u n t o s e s i g u a l a l m ó d u l o d e l
ve c t o r q u e t i e n e d e e x t r e m o s d i c h o s pu n t o s .
d(P,Q)= |𝑷𝑸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)
𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)𝟐
2.-COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Sean A (x 1 , y 1 , z 1 ) y B (x 2 , y 2 , z 2) los ext remos de un segmento, e l punto medio de l segmento v iene dado por:
; Ejemplo
D a d o s l o s p u n t o s A ( 3 , − 2 , 5 ) y B ( 3 , 1 , 7 ) , h a l l a r l a s c o o r d e n a d a s d e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o q u e d e t e r m i n a n .
3.-COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO
S e a n A ( x 1 , y 1 , z 1 ) , B ( x 2 , y 2 , z 2 ) y C ( x 3 , y 3 , z 3 ) l o s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o , l a s c o o r d e n ad a s d e l b a r i c e n t r o s o n :
E j e m p l o S e a n A = ( 2 , 1 , 0 ) , B = ( 1 , 1 , 1 ) y C = ( 4 , 1 , − 2 ) l o s vé r t i c e s d e u n t r i á n g u l o . D e t e r m i n a r l a s c o o r d e n a d a s d e l b a r i c e n t r o .
4.-PUNTOS ALINEADOS
T r e s p u n t o s A ( a 1 , a 2 , a 3 ) , B ( b 1 , b 2 , b 3 ) y C ( c 1 , c 2 , c 3 ) e s t á n a l i n e a d o s :
a ) s i e s t á n e n u n a m i s m a r e c t a , y p o r t a n t o e l r a n g o d e l o s v e c t or e s d e t e r m i n a d o s p o r e l l o s e s 1 .
b ) O s i l o s ve c t o r e s 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ s o n p a r a l e l o s ( o p r o p o r c i o n a l e s ) , e s d e c i r :
𝒃𝟏 − 𝒂𝟏
𝒄𝟏 − 𝒃𝟏=
𝒃𝟐 − 𝒂𝟐
𝒄𝟐 − 𝒃𝟐=
𝒃𝟑 − 𝒂𝟑
𝒄𝟑 − 𝒃𝟑
Ejemplo Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están a l ineados .
;
; Por tanto, los puntos no están a l ineados.
5.-PUNTO SIMÉTRICO
Si A’ (a’, b’, c’) es el punto simétrico de A(a, b, c) respecto del punto P(p, q, r), entonces P es el punto medio del segmento
𝐀𝐀′̅̅ ̅̅ ̅, es decir:
𝒑 =𝒂 + 𝒂′
𝟐 ; 𝒒 =
𝒃 + 𝒃′
𝟐; 𝒓 =
𝒄 + 𝒄′
𝟐
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6.-PUNTOS COPLANARIOS
D o s o m á s v e c t o r e s s o n c o p l a n a r i o s s i s o n l i n e a l m e n t e d e p e n d i e n t e s , y p o r t a n t o s u s c o m p o n en t e s s o n p r opo r c i o n a l e s y s u r a n g o e s 2 .
D o s o m á s p u n t o s s o n c o p l a n a r i o s , s i l o s v e c t o r e s d e t e r m i n a d o s p o r e l l o s t a m b i é n s o n c o p l a n a r i o s .
Ejemplo
1 . C o m p r o b a r s i l o s p u n t o s A ( 1 , 2 , 3 ) , B ( 4 , 7 , 8 ) , C ( 3 , 5 , 5 ) , D ( − 1 , − 2 , − 3 ) y E ( 2 , 2 , 2 ) s o n c o p l a n a r i o s .
L o s p u n t o s A , B , C , D y E s o n c o p l a n a r i o s s i :
; ;
;
; L o s p u n t o s A , B , C , D y E n o s o n c o p l a n a r i o s .
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PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL. APLICACIONES
1. PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar de dos vectores es un número real que resul ta al multipl icar e l producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman .
1.1. Expresión anal í t ica del producto escalar
Ejemplo:
H a l l a r e l p r o d u c t o e s ca l a r d e d o s ve c t o r e s c u y a s c o o r d e n a d a s e n u n a b a s e o r t o n o r m a l s o n : ( 1 , 1 / 2 , 3 ) y ( 4 , − 4 , 1 ) .
( 1 , 1 / 2 , 3 ) · ( 4 , − 4 , 1 ) = 1 · 4 + ( 1 / 2 ) · ( − 4 ) + 3 · 1 = 4 − 2 + 3 = 5
1.2. Expresión anal í t ica del módulo de un vector
Ejemplo: H a l l a r e l va l o r d e l m ó d u l o d e u n ve c t o r d e c o o r d e n a d a s �⃗� = ( − 3 , 2 , 5 ) e n u n a b a s e
o r t o n o r m a l . So l : |�⃗⃗� | = √(−𝟑)𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟓𝟐 = √𝟑𝟖
1.3. Expresión anal í t ica del ángulo de dos vectores
𝐜𝐨𝐬𝛂 = �⃗⃗� · �⃗�
|�⃗⃗� | · |�⃗� |=
…
…
D e t e r m i n a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s ve c t o r e s : �⃗⃗� = (1, 2 , −3) y �⃗⃗� = (−2, 4 , 1) .
;
1.4. Vectores ortogonales o perpendiculares
D o s v e c t o r e s s o n o r t o g o n a l e s - s o n p e r p e n d i c u l a r e s - s i s u p r o d u c to es c a l a r e s 0 .
�⃗⃗� · �⃗� = 𝐮𝟏𝐯𝟏 + 𝐮𝟐𝐯𝟐 + 𝐮𝟑𝐯𝟑 = 𝟎
Ejemplo: C a l c u l a r l o s va l o r e s d e x e y p a r a q u e e l ve c t o r ( x , y , 1 ) s e a o r t o g o n a l a l o s ve c t o r e s ( 3 , 2 , 0 ) y ( 2 , 1 , − 1 ) .
; ;
1.5. Propiedades del producto escalar
I . C o n m u t a t i v a : �⃗⃗� · �⃗� = �⃗� · �⃗⃗� I I . A s o c i a t i v a : k · ( �⃗⃗� · �⃗� ) = (𝐤 · �⃗⃗� ) · �⃗� I I I . D i s t r i b u t i v a : �⃗⃗� · (�⃗� + �⃗⃗� ) = �⃗⃗� · �⃗� + �⃗⃗� · �⃗⃗� I V . E l p r o d u c t o e s c a l a r d e u n v e c t or n o n u l o p o r s í m i s m o s i e m p r e e s p o s i t i v o :
�⃗⃗� ≠ 𝟎 ⟹ �⃗⃗� · �⃗⃗� > 0
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1.6. Interpretación geométrica del producto escalar
E l p r o d u c t o d e d o s ve c t o r e s n o n u l o s e s i g u a l a l m ó d u l o d e un o d e e l l o s p o r l a p r o y e c c i ó n d e l o t r o s o b r e é l .
𝐜𝐨𝐬𝜶 =𝑶𝑨′
|�⃗⃗� |; 𝑶𝑨′ = |�⃗⃗� | · 𝐜𝐨𝐬𝛂; �⃗⃗� · �⃗� = |�⃗� | · 𝐎𝐀′
OA' es la proyecc ión de l vector �⃗⃗� sobre �⃗� , que lo denotamos como:
𝐏𝐫𝐨𝐲�⃗⃗� �⃗⃗� =�⃗⃗� ·�⃗⃗�
|�⃗⃗� |
Ejemplo:
D a d o s l o s ve c t o r e s �⃗⃗� = (𝟐, −𝟑, 𝟓) 𝐲 �⃗� = (𝟔, −𝟏, 𝟎) ha l l a r :
1 . L o s m ó d u l o s d e �⃗⃗� y �⃗� : ; 2 . E l p r o d u c t o e s c a l a r d e �⃗⃗� y �⃗� e s : �⃗⃗� · �⃗� = 𝟐 · 𝟔 + (−𝟑)(−𝟏) + 𝟓 · 𝟎 = 𝟏𝟓
3 . E l á n g u l o q u e f o r m a n : 𝑪𝑶𝑺(�⃗⃗� · �⃗⃗� ̂) =𝟏𝟓
√𝟑𝟖·√𝟑𝟕= 𝟎, 𝟒; (�⃗⃗� · �⃗⃗� ̂) = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 (𝟎, 𝟒) = 𝟔𝟔, 𝟒𝟐º
4 . L a p r o y e c c i ó n d e l v e c t o r �⃗⃗� s o b r e �⃗� :
5 . L a p r o y e c c i ó n d e l v e c t o r �⃗� s o b r e �⃗⃗� : 6 . E l va l o r d e m p a r a q u e l o s v e c t o r e s 𝐮⃗⃗ ⃗ = (𝟐, −𝟑, 𝟓) y �⃗� (𝐦, 𝟐, 𝟑) s e a n o r t o g o n a l e s . S o l : 2 m - 6 + 1 5 = 0 ; m = - 9 / 2 1.7. Cosenos Directores
E n u n a b a s e o r t on o r m a l , s e l l a m a n c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l ve c t o r �⃗⃗� = ( x , y , z ) , a l o s c o s e n o s d e l o s á n g u l o s q u e f o r m a e l v e c t o r �⃗⃗� c o n l o s ve c t o r e s d e l a b a s e .
Ejemplo: Determinar los cosenos directores de l vector (1 , 2 , −3).
2. PRODUCTO VECTORIAL
E l p r o d u ct o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e s e s o t r o v e c t o r c u y a d i r e c c i ó n e s p e r p e nd i c u l a r a l o s d o s v e c t o r e s y s u s e n t i d o s e r í a i g u a l a l a va n c e d e un s a c a c o r c h o s a l g i r a r d e �⃗⃗� a �⃗⃗� . S u m ó d u l o e s i g u a l a :
|𝐮 ⃗⃗ ⃗𝐱 �⃗� | = |�⃗⃗� | · |�⃗� | · 𝐬𝐞𝐧𝛂
E l p r o du c t o v e c t or i a l s e p u e d e e x p r e s a r m e d i a n t e u n d e t er m i n a n t e :
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Ejemplos: 1) Ca lcu lar e l producto vectorial de los vectores de �⃗� =(1, 2 , 3 ) y de 𝑣 =(−1, 1 , 2) .
2) Dados los vectores �⃗⃗� = (𝟑,−𝟏, 𝐤) y �⃗� = (𝟏, 𝟏, 𝟏), ha l lar e l producto vectorial de d i chos
vectores. Comprobar que e l vector ha l lado es ortogonal a �⃗⃗� y �⃗� .
;
E l producto vector ia l de �⃗⃗⃗� x �⃗⃗� es or togonal a los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗� . 2.1.Área del PARALELOGRAMO
G e o m é t r i c a m e n t e , e l m ó d u l o d e l p r o d uc t o v e c t o r i a l d e d o s ve c t o r e s c o i n c i d e c o n e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s a e s o s ve c t o r e s .
𝐀 = |�⃗⃗� | · 𝐡 = |�⃗⃗� | · |�⃗� | · 𝐬𝐞𝐧𝛂 = |�⃗⃗� 𝐱 �⃗� | Ejemplo:
D a d o s l o s ve c t o r e s d e �⃗� = (3, 1, −1) y 𝑣 = (2, 3, 4), h a l l a r e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o q u e t i e n e p o r l a d o s l o s v e c t o r e s d e �⃗⃗� y �⃗⃗� ·
; 2.2.Área de un TRIÁNGULO
U n t r i á n g u l o e s l a m i t a d d e u n p a r a l e l o g r a m o , p o r t a n to , s u ár e a s e r á :
𝐀 =𝟏
𝟐|�⃗⃗� 𝐱 �⃗� |
Ejemplo:
D e t e r m i n a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o c u y o s vé r t i c e s s o n :
A ( 1 , 1 , 3 ) , B ( 2 , − 1 , 5 ) y C ( − 3 , 3 , 1 ) . P o r t a n t o : 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝟏, −𝟐, 𝟐) y 𝐀𝐂⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−𝟒, 𝟐, −𝟐)
; �⃗⃗� = (0,−6,−6);
;
2.3.Propiedades de l Producto Vectorial
I . A n t i - c o n m u t a t i va : �⃗⃗� x �⃗⃗� = - �⃗⃗� x �⃗⃗�
I I . H o m o g é n e a : 𝝀 ·( �⃗⃗� x �⃗⃗� ) = ( λ ·�⃗⃗� ) x �⃗⃗� = �⃗⃗� x(𝝀 · 𝒗)⃗⃗⃗⃗
I I I . D i s t r i b u t i va : �⃗⃗� x ( �⃗⃗� + �⃗⃗⃗� ) = �⃗⃗� x �⃗⃗� + �⃗⃗� x �⃗⃗⃗�
I V . E l p r o d u c to v e c t o r ia l d e d o s v e c t o r e s / / e s i g u a l a l v e c t o r n u l o . �⃗⃗� x 𝒖′⃗⃗ ⃗= 0
V . E l ve c t o r “ p r o d u c t o v e c t o r i a l ” �⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗� e s p e r p e n d ic u l a r a c a d a ve c t o r , a �⃗⃗� y a �⃗� .
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3. PRODUCTO MIXTO
E l p r o d u c to m i x t o d e lo s ve c t o r e s �⃗⃗� , 𝒗 ⃗⃗ ⃗ y �⃗⃗⃗� e s i g u a l a l n ú m e r o q u e r e s u l t a d e e f e c t u a r �⃗⃗� · (�⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗⃗� ) [ e l p r o d u c t o e s c a la r d e l p r i m e r v e c t o r p o r e l p r o d u c t o v e c to r i a l d e l o s o t r o s d o s ] .
E l p r o du c t o m i x t o s e r e p r e s e n t a p o r [ u , v , w ] .
E l p r o d u c to m i x t o d e 3 v e c t o r e s e s i g u a l a l d e t e r m i n a n t e q u e t i e n e p o r f i l a s l a s
c o o r d e n a d a s d e d i c h o s ve c t o r e s r e s p e c t o a u n a b a s e o r t o n o r m a l .
Ejemplo: C a l c u l a r e l p r o d uc t o m i x t o d e l o s ve c t o r e s :
;
3.1. Propiedades del producto mixto
a ) E l p r o d uc t o m i x t o n o va r í a s i s e p e r m u t a n c i r c u l a r m e n t e s u s f a c t o r e s , p e r o c a m b i a d e s i g n o s i é s t o s s e t r a s p o n e n .
b ) S i 3 v e c t o r e s s o n l i n e a l m e n t e d e p e nd i e n t e s , e s d e c i r , s i s o n c o p l a n a r i o s , e l p r od u c t o
m i x t o v a l e 0 .
3.2. Volumen del PARALELEPÍPEDO
E l | va l o r a b s o l u t o | d e l p r o d u c to m i x t o r e p r e s e n t a e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e d o c uy a s a r i s t a s s o n 3 ve c t o r e s q u e c o n c u r r e n e n u n m i s m o vé r t i c e .
E j e m p l o : H a l l a r e l v o l u m e n d e l p a r a l e l e p í p e do f o r m a d o p o r l o s ve c t o r e s :
;
3.3. Volumen de un TETRAEDRO
E l v o l u m e n d e un t e t r ae d r o e s i g u a l a 𝟏
𝟔 d e l p r od u c t o m i x t o , e n va l o r ab s o l u t o .
Ejemplo: O b t e n e r e l v o l u m e n d e l t e t r a e d r o c u y o s vé r t i c e s s o n l o s p u n t o s : A ( 3 , 2 , 1 ) , B ( 1 , 2 , 4 ) , C ( 4 , 0 , 3 ) y D ( 1 , 1 , 7 ) .
;
;
;
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LA RECTA EN EL ESPACIO
1.- ECUACIONES DE LA RECTA
S e a P ( x 0 , y 0 , z 0 ) e s u n p u n t o d e l a r e c t a “ r ” y �⃗⃗� = ( a ,
b , c ) s u v e c t o r d i r e c t o r , e l v e c t o r 𝐏𝐗⃗⃗⃗⃗ ⃗ t i e n e i g u a l d i r e c c i ó n q u e �⃗⃗� , l u e g o e s i g u a l a �⃗⃗� m u l t i p l i c a d o p o r u n e s c a l a r :
𝐏𝐗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝛌 · �⃗⃗� (𝐱 − 𝐱𝟎, 𝐲 − 𝐲𝟎, 𝐳 − 𝐳𝟎) = 𝛌 · (𝐚, 𝐛, 𝐜)
O b s e r va n d o l a f i g u r a , u n a r e c t a e n e l e s p a c i o q u e d a d e t e r m i n a d a p o r u n p u n t o d e e l l a P ( x 0 , y 0 , z 0 ) y u n ve c t o r d i r e c t o r �⃗⃗� = (𝐚, 𝐛, 𝐜).
T a m b i é n q u e d a r á d e t e r m i n a d a p o r d o s p u n t os A y B , d o nd e u n pu n t o s e r á e l A o e l B y e l ve c t o r d i r e c t o r
p o d r á s e r �⃗⃗� = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗
EC U A C I Ó N D E L A R EC T A : L o s d i s t i n t o s t i p o s d e e c u a c i o n e s q u e p o d e m o s e s t a b l e c e r a p a r t i r d e s u c a r á c t e r ve c t o r i a l :
I) Ecuación VECTORIAL :
(x,y,z)= (x0 , y0 , z0)+𝝀 · (𝒂, 𝒃, 𝒄)
I I) Ecuaciones PARAMÉTRICAS: 𝐫 ≡ {
𝐱 = 𝐱𝟎 + 𝛌𝐚𝐲 = 𝐲𝟎 + 𝛌𝐛𝐳 = 𝐳𝟎 + 𝛌𝐜
; ∀𝜆 ∈ ℜ
I I I) Ecuación CONTINUA: 𝐫 ≡𝐱−𝐱𝟎
𝐚=
𝐲−𝐲𝟎
𝐛=
𝐳−𝐳𝟎
𝐜
IV) Ecuación GENERAL o IMPLÍCITA : L o h a c e m o s a p a r t i r d e l a E c u ac i ó n C o n t i n u a , r e s o l v i e n d o d o s i g u a l d a d e s y o r d e n a n d o l a s v a r i a b l e s , q u e d a n d o :
{𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂𝐳 + 𝐃 = 𝟎
𝐀′𝐱 + 𝐁′𝐲 + 𝐂′𝐱 + 𝐃′ = 𝟎
c o m o i n t e r s e c c i ó n d e d o s p l a n o s , d o n d e 𝐧𝟏⃗⃗ ⃗⃗ = (𝐀, 𝐁, 𝐂) y 𝐧𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = (𝐀′, 𝐁′, 𝐂′) s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s n o r m a l e s d e l o s p l a n o s .
Notas a tener en cuenta en relación a la ecuación General de la recta
a ) O b t e n c i ó n d e l v e c t or d i r e c t or d e un a r e c t a a p a r t i r d e l a e c u a c i ón g e n e r a l :
E l ve c t o r d i r e c t o r e s p e r p e n d i c u l a r a l o s v e c t o r e s n o r m a l e s d e l o s p l a n o s , l o c a l c u l a m o s a p a r t i r d e l p r o d u c t o ve c t o r i a l :
|𝐢 𝐣 𝐤
𝐀 𝐁 𝐂𝐀′ 𝐁′ 𝐂′
| = (𝐚, 𝐛, 𝐜) = �⃗⃗� (𝐯𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐝𝐢𝐫𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐜𝐭𝐚)
b ) P a s a r d e l a e c u a c i ó n G e n e r a l a l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s : B a s t a c o n r e s o l ve r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s f o r m a d o e n l a e c u a c i ó n g e n e r a l , o r d e n a n d o l a s s o l u c i o n e s , p u e s t o q u e e s u n s i s t e m a c o m p a t i b l e i n d et e r m i n a d o .
c ) O b t e n e r u n p u n t o de l a r e c t a : F i j a m o s e l va l o r d e u n a d e l a s i n c ó g n i t a s , p . e . z = 0 , y r e s o l ve m o s e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s r e s u l t a n t e o b t e n i e n d o , p . e . , e l va l o r d e l a s o t r a s d o s i n c ó g n i t a s , x e y .
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Ejemplo:
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3 . H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s , e n f o r m a c o n t i n u a e i m p l í c i t a d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o A = ( − 1 , 2 , 1 ) y c u y o ve c t o r d i r e c t o r e s �⃗� = ( 4 , 5 , - 1 ) .
; ; ; ;
4. H a l l a r l a s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s , e n f o r m a c o n t i n u a e i m p l í c i t a d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s A ( 1 , 0 , 1 ) y B ( 0 , 1 , 1 ) .
C a l c u l a m o s s u v e c t o r d i r e c t o r : 𝐀𝐁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (𝟎 − 𝟏, 𝟏 − 𝟎, 𝟏 − 𝟏) = (−𝟏, 𝟏, 𝟎)
; ; ;
5. Sea r l a recta de ecuac ión:𝐫 ≡𝐱−𝟏
𝟏=
𝐲
𝟐=
𝐳−𝟏
𝟑
¿Pertenecen a r los puntos A(0,−2,−2) y B(3, 2 , 6)?
;
6. Dada la recta: 𝑟 ≡ {2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 0
. Ha l la r l as ecuaciones de la recta en fo rma cont inua y
paramétr ica .
C a l c u l a m o s e l ve c t o r d i r e c t o r d e l a r e c t a : |𝑖 𝑗 𝑘2 1 11 −1 −2
|=(1,-5,3); u=(1, -5,3)
Ca lcu lamos un punto de la recta r: z=0, y=0, x=0, e l punto A(0,0,0)
Ecuac ión cont inua: ;Ecuac iones paramétr i cas:
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EL PLANO EN EL ESPACIO
1.- ECUACIÓN DE UN PLANO EN EL ESPACIO
Un plano queda determinado por un punto
P y dos vectores (o 3 puntos, o 2 puntos y un vector) con distinta dirección.
Para que el punto P pertenezca al plano el
vector 𝑷𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tiene que ser coplanario con �⃗⃗� y �⃗⃗� .
𝑷𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝝀�⃗⃗� + 𝝁�⃗⃗�
ECUACIONES DEL PLANO: 1.1. Ecuación vectorial: sustituyendo en la expresión vectorial por las coordenadas correspondientes:
(x-x0,y-y0,z-z0)= ·(u1,u2,u3)+·(v1,v2,v3)
(x,y,z)=(x0,y0,z0)+ ·(u1,u2,u3)+·(v1,v2,v3)
1.2.Ecuaciones paramétricas del plano: Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:
(x,y,z)=(x0+u1++v1 ,y0+u2+v2 ,z0+u3+v3) Esta igualdad se verifica si:
{
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝝀𝒖𝟏 + 𝝁𝒗𝟏
𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝝀𝒖𝟐 + 𝝁𝒗𝟐
𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝝀𝒖𝟑 + 𝝁𝒗𝟑
1.3.Ecuación general o implícita del plano: Un punto está en el plano π si t iene solución el sistema:
{
𝒙 − 𝒙𝟎 = 𝝀𝒖𝟏 + 𝝁𝒗𝟏
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝝀𝒖𝟐 + 𝝁𝒗𝟐
𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝝀𝒖𝟑 + 𝝁𝒗𝟑
Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas y · Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.
|
𝒙 − 𝒙𝟎 𝒖𝟏 𝒗𝟏
𝒚 − 𝒚𝟎 𝒖𝟐 𝒗𝟐
𝒛 − 𝒛𝟎 𝒖𝟐 𝒗𝟑
| = 𝟎
Desarrollamos el determinante y obtenemos la ecuación general de plano :
Ax+By+Cz+D=0
2. Vector normal El vector �⃗⃗� = (𝑨, 𝑩, 𝑪) es un vector normal al plano, es
decir, perpendicular al plano . Por tanto, el vector normal y un vector, cualquiera, del plano siempre son perpendiculares y su producto escalar será nulo.
Si P(x0 , y0, z0) es un punto del plano, el vector 𝑷𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝐱 −𝒙𝟎, 𝐲 − 𝒚𝟎, 𝐳 − 𝒛𝟎) es perpendicular al vector �⃗⃗� y, por tanto, el
producto escalar 𝑷𝑿⃗⃗⃗⃗⃗⃗ · �⃗⃗� = 𝟎: De este modo también podemos determinar la ecuación general del plano , a partir de un punto y un vector normal .
(𝐱 − 𝒙𝟎, 𝐲 − 𝒚𝟎, 𝐳 − 𝒛𝟎) · (𝑨,𝑩, 𝑪) = 𝟎 𝑨(𝐱 − 𝒙𝟎) + 𝐁(𝐲 − 𝒚𝟎) + 𝐂(𝐳 − 𝒛𝟎) = 𝟎
Ax+By+Cz+D=0
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1.5. Ecuación canónica o segmentaria del
plano Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c),
la ecuación canónica viene dada por:
𝒙
𝒂+
𝒚
𝒃+
𝒛
𝒄= 𝟏
Donde 𝒂 =−𝑫
𝑨 , 𝒃 =
−𝑫
𝑩 , 𝒄 =
−𝑫
𝑪
Ejemplos
1) Ha l lar las ecuaciones paramétricas e impl íc i tas de l p lano que pasa por e l punto A(1, 1, 1) y t iene como vectores d i rectores a �⃗� = (1,−1,1) y 𝑣 = (2,3,−1).
{
𝑥 = 1 + 𝜆 + 2𝜇𝑦 = 1 − 𝜆 + 3𝜇𝑧 = 1 + 𝜆 − 𝜇
; |𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧 − 1
1 −1 12 3 −1
| = 0 ; -2x+3y+5z-6=0
2) Ha l lar las ecuaciones paramétricas e impl íc i tas de l p lano que pasa por los puntos A(−1, 2 , 3) y B(3, 1 , 4) y cont iene a l vector �⃗� =(0,0,1) .
{𝑥 = −1 + 4𝜆𝑦 = 2 − 𝜆
𝑧 = 3 + 𝜆 + 𝜇; |
𝑥 + 1 𝑦 − 2 𝑧 − 34 −1 10 0 1
| = 0; x+4y-7=0
3) Ha l lar las ecuaciones paramétricas e impl íc i tas de l p lano que pasa por los puntos A(−1, 1 , −1), B(0, 1 , 1) y C(4, −3, 2) .
;
{𝑥 = −1 + 𝜆 + 5𝜇
𝑦 = 1 − 4𝜇𝑧 = −1 + 2𝜆 + 3𝜇
; |𝑥 + 1 𝑦 − 1 𝑧 + 1
1 0 25 −4 3
| = 0;8x+7y-4z-3=0
4) Sea e l p lano de ecuaciones paramétricas : {
𝑥 = 1 + 𝜆 + 𝜇𝑦 = 1 − 𝜆 + 2𝜇𝑧 = 4𝜆 − 3𝜇
. Se p ide comprobar s i
l os puntos A (2, 1 , 9 /2) y B(0, 9 , −1) pertenecen a l p lano.
Ha l lamos la ecuac ión de l p lano: |𝑥 − 1 𝑦 − 2 𝑧
1 −1 41 2 −3
| = 0; -5x+7y+3z-9=0
-5 ·2+7·1+3·9/2 -9≠0 A; -5 ·0+7·9+3(-1)-9≠0B;
5) Ha l lar la ecuación segmentaria de l p lano que pasa por los puntos A(1, 1 , 0) ,
B(1, 0 , 1) y C(0, 1 , 1) .
;
|𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧
0 −1 1−1 0 1
| = 0 ; -x-y-z+2=0
Div id iendo por −2 obtenemos la ecuación segmentaria : 𝒙
𝟐+
𝒚
𝟐+
𝒛
𝟐= 𝟏
6. Hal lar la ecuac ión de la recta r , que pasa por e l punto (1, 0 , 0) y es perpend icu lar a l p lano x – y – z + 2 = 0 .
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Por ser la recta perpend icu lar a l p lano, e l vector normal de l p lano, �⃗⃗� = (𝟏, −𝟏,−𝟏), será
e l vector d i rector de la recta que pasa por e l punto (1, 0 , 0) .
7. Hal lar la ecuación del plano que pasa por e l punto A(2, 0 , 1) y cont iene a la recta de ecuac ión:
De la ecuac ión de la recta obtenemos e l punto B y e l vector �⃗⃗� .
;
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POSICIONES RELATIVAS
1. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1.1. Rectas definidas por sus ecuaciones implícitas
Si: r(A) = rango de la matriz de los coeficientes .
r'(A’)= rango de la matriz ampliada.
Las posiciones relativas de dos rectas vienen dadas por la siguiente tabla:
Posición r(A) r'(A’)
Cruzadas 3 4
Secantes 3 3
Paralelos 2 3
Coincidentes 2 2
1.2. Rectas definidas por un punto y un vector
Si la recta r viene determinada por A(x1 , y1 , z1) y �⃗⃗� =(u1,u2,u3) y la recta s por
B(x2 ,y2,z2) y �⃗⃗� =(v1,v2,v3), la posición relativa de r y s viene dada por la posición
de 𝑨𝑩,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ �⃗⃗� y �⃗⃗� .
a) Si 𝒖𝟏
𝒗𝟏=
𝒖𝟐
𝒗𝟐=
𝒖𝟑
𝒗𝟑 hay dos posibilidades:
a.1. Rectas coincidentes si
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒖𝟏=
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒖𝟐=
𝒛𝟐−𝒛𝟏
𝒖𝟑 .
a.2. Rectas paralelas si
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒖𝟏≠
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒖𝟐 𝒐
𝒙𝟐−𝒙𝟏
𝒖𝟏≠
𝒛𝟐−𝒛𝟏
𝒖𝟑
b) Si 𝒖𝟏
𝒗𝟏≠
𝒖𝟐
𝒗𝟐≠
𝒖𝟑
𝒗𝟑 hay otras dos posibilidades:
b.1. Rectas secantes si
|
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏
𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
| = 𝟎
b.2.Rectas que se cruzan si
|
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏
𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑
𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑
| ≠ 𝟎.
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Ejemplos
Hallar la posición relativa de las rectas r y s.
1.
En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.
Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.
Determinamos el rango de la matriz ampliada.
Comparamos los rangos
Las dos rectas se cruzan.
2.
;
Las dos rectas son secantes .
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2. POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO
1. La recta viene definida por dos planos secantes
Sean la recta:𝒓 ≡ {𝑨𝟏𝒙 + 𝑩𝟏𝒚 + 𝑪𝟏𝒛 + 𝑫𝟏 = 𝟎𝑨𝟐𝒙 + 𝑩𝟐𝒚 + 𝑪𝟐𝒛 + 𝑫𝟐 = 𝟎
y el plano 𝝅 ≡ 𝑨𝟑𝒙 + 𝑩𝟑𝒚 + 𝑪𝟑𝒛 + 𝑫𝟑 = 𝟎.
Para estudiar la posición relativa de la recta y el plano discutimos el sistema:
Si: r(A) = rango de la matriz de los coeficientes A.
r(A’)= rango de la matriz ampliada A’.
Las posiciones relativas de la recta y el plano vienen dadas por la siguiente tabla:
Posición r(A) r(A’)
Recta contenida en el plano 2 2
Recta y plano paralelos 2 3
Recta y plano secantes 3 3
2. La recta viene definida por un punto y un vector
Sea una recta definida por el punto A y el vector �⃗⃗� y un plano cuyo rector normal es �⃗⃗� . Las posiciones relativas de la recta y el plano son:
Posición �⃗⃗� · �⃗⃗� A
Recta contenida en el plano = 0
Recta y plano paralelos = 0
Recta y plano secantes ≠ 0
Recta contenida en el plano Recta y plano paralelos
Recta y plano secantes
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Ejemplos
Hallar la posición relativa de la recta y el plano:
1.
En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.
Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.
Determinamos el rango de la matriz ampliada.
Comparamos los rangos
Sol: La recta y el plano se cortan en un punto .
2.
Sol: La recta está contenida en el plano.
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3. POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Dados los planos:
{𝝅𝟏 ≡ 𝐀𝐱 + 𝐁𝐲 + 𝐂𝐳 + 𝐃 = 𝟎
𝝅𝟐 ≡ 𝐀′𝐱 + 𝐁′𝐲 + 𝐂′𝐱 + 𝐃′ = 𝟎 .
Y sean: r(A) = rango de la matriz de los coeficientes A. r(A’)= rango de la matriz ampliada A’.
Las posiciones relativas de dos planos vienen dadas por la siguiente tabla:
Posición r(A) r(A’)
Secantes 2 2
Paralelos 1 2
Coincidentes 1 1
Ejemplos
1. Estudiar la posición de los siguientes planos:
; ; |1 13 −1
| ≠ 0; 𝑟(𝐴) = 2; 𝑟′(𝐴′) = 2
Como él sistema es compatible indeterminado, los dos planos son secantes , es
decir, se cortan en la recta:
; ;
2. Estudiar la posición de los siguientes planos:
;
Sol: Los dos planos son paralelos .
3. Estudiar la posición de los siguientes planos:
;
Sol: Los dos planos son coincidentes .
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4. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Dados los planos:{
𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2𝑧 + 𝐷2 = 0𝐴3𝑥 + 𝐵3𝑦 + 𝐶3𝑧 + 𝐷3 = 0
Y sean:
r(A)=r rango de la matriz de los coeficientes A.
r(A’)=r’ rango de la matriz ampliada A’.
Las posiciones relativas de los tres planos vienen dadas por la siguiente tabla:
POSICIÓN DE LOS PLANOS R(A) R(A’) RELACIÓN DE LOS
COEFICIENTES
1. Planos secantes en un punto 3 3
2.1 Planos secantes dos a dos.
2.2 Dos planos paralelos y el tercero secante 2 3
3.1 Planos secantes y distintos
3.2 Dos planos coincidentes y uno secante 2 2
4.1 Planos paralelos y distintos dos a dos
4.2 Planos paralelos y dos coincidentes 1 2
5. Planos coincidentes. 1 1
1. Planos secantes en un punto
r=3, r'=3
2.1 Planos secantes dos a dos.
r = 2, r' = 3
Los tres planos forman una
superficie prismática.
2.2 Dos planos paralelos y el
tercero secante
r = 2, r' = 3
Dos filas de la matriz de los
coeficientes son proporcionales.
3.1 Planos secantes y distintos
r = 2, r' = 2
3.2 Dos planos coincidentes y uno
secante
r = 2, r' = 2
Dos filas de la matriz ampliada son
proporcionales.
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4.1 Planos paralelos y distintos
dos a dos
r = 1, r' = 2
4.2 Planos paralelos y dos
coincidentes
r = 1, r' = 2
Dos filas de la matriz ampliada son
proporcionales.
5. Planos coincidentes
r = 1, r' = 1
Ejemplos
Hallar la posición relativa de los planos:
1.
;
Sol: Los tres planos son secantes dos a dos y forman una superficie
prismática.
2.
;
Sol: Los tres planos se cortan en un punto.
3.
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;
;
Sol: El segundo y tercer plano son coincidentes y el primero es secante a
ellos, por tanto los tres planos se cortan en una recta.
4.
;
;
Sol: El primer y segundo plano son coincidentes y el tercero es paralelo a
ellos.
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Ejemplos
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HAZ DE PLANOS
1. HAZ DE PLANOS PARALELOS
Dos planos son paralelos si los coeficientes A, B y C (de
x, y, z respectivamente) de sus ecuaciones son
proporcionales; pero no lo son sus términos independientes.
Todos los planos paralelos a uno dado admiten una
ecuación de la forma:
Ax+By+Cz+k=0, k
Ejemplo
Hallar el plano que pasa por el punto (3,−1,2) y es paralelo a x+2y-3z-5=0.
2. HAZ DE PLANOS SECANTES DE EJE “r”
Se llama haz de planos secantes de eje r al conjunto de todos los planos que contienen a la recta r .
Si r viene definida por sus ecuaciones implícitas:
La ecuación del haz de planos de eje r viene dada por la igualdad:
(Ax+By+Cz+D)+k·(A’x+B’y+C’z+D’)=0
La expresión del haz de planos secantes nos permite hallar la ecuación de un plano que pasa por un punto y por la intersección de otros dos.
Ejemplo
Hallar en la ecuación del plano que pasa por el punto P(3, 2,−3) y pertenece al haz
de planos de eje en la recta:
Solución:
Hacemos que el punto P
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Ejemplos
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ÁNGULO ENTRE RECTAS Y PLANOS
1.ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS El ángulo que forman dos rectas es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores
de las rectas. Teniendo en cuenta el producto escalar: �⃗� · 𝑣 = |�⃗� | · |𝑣 | · cos 𝛼
Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales , es decir: r s �⃗⃗� · �⃗⃗� =
𝟎 u1·v1+u2·v2+u3·v3=0
Ejemplos
Hallar el ángulo que forman las rectas:
1.
;
2.
;
;
3.
;
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2. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS El ángulo formado por dos planos es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales
de dichos planos. Siendo los vectores normales: 𝒏𝟏⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑨𝟏, 𝑩𝟏, 𝑪𝟏) 𝑦 𝒏𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = (𝑨𝟐, 𝑩𝟐, 𝑪𝟐)
Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales , es decir:
1 2 𝒏𝟏⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ · 𝒏𝟐⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟎 A1·A2+B1·B2+C1·C2=0
Ejemplo: Hallar el ángulo que forman los planos :
;
3. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO
El ángulo que forman una rectar , y un plano , es el
ángulo formado por r con su proyección r ' ortogonal sobre . El ángulo que forman una recta y un plano es igual al
complementario del ángulo agudo que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano.
Si la recta r y el plano son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del
plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes s on proporcionales.
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Ejemplos
1. Determinar el ángulo que forman la recta y el plano x+y-1=0.
;
2. Hallar el ángulo que forman la recta y el plano2x-y+3z+1=0.
;
;
3. Obtener el ángulo formado por el plano y la recta siguientes:
;
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DISTANCIA ENTRE RECTAS Y PLANOS
1. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA La distancia de un punto , P, a una recta , r , es la menor de la
distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta. Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el
punto hasta la recta .
𝒅(𝑷, 𝒓) =|𝒖𝒓⃗⃗ ⃗⃗ 𝒙 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|𝒖𝒓⃗⃗ ⃗⃗ |
Ejemplos
1. Hallar la distancia desde el punto P(1,3,−2) a la recta .
;
2. Hallar la distancia desde el punto P(1,2,3) a la recta .
;
2. DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS La distancia de una rectar , a otra paralelas, es la
distancia desde un punto A cualquiera de r a s .
𝒅(𝒓, 𝒔) = 𝒅(𝑨, 𝒔) =|�⃗⃗� 𝒙 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|�⃗⃗� |
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3. DISTANCIA ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN
La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre la perpendicular común .
Sean (A, �⃗⃗� ) y (B, �⃗⃗� ) [punto, vector director] las determinaciones lineales de las rectas r y s.
Los vectores 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� 𝑦 𝒗⃗⃗ ⃗ determinan un paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas r y s .
El volumen de un paralelepípedo es V=Ab·h .
Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos puntos es igual a:
𝒅(𝒓, 𝒔) = 𝒉 =𝑽
𝑨𝒃=
|[𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� , �⃗⃗� ]|
|�⃗⃗� 𝒙 �⃗⃗� |
Ejemplo: Hallar la mínima distancia entre las rectas :
A(-8,10,6), �⃗� =(2,3,1); B(1,1,1), 𝑣 =(-1,2,4) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗=(9,-9,-5)
;
;
4. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
La distancia de un punto , P, a un plano, es la menor de la distancia (mínima) desde el punto a los infinitos puntos del plano.
Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano .
Sean P(x0,y0,z0) y Ax+By+Cz+D=0
𝐝(𝐏, 𝛑) =|𝐀𝐱𝟎 + 𝐁𝐲𝟎 + 𝐂𝐳𝟎 + 𝐃|
√𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 + 𝐂𝟐
Ejemplo
1. Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los planos 12x+y-z+1=0 y 22y-3=0 .
;
2. Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al
plano .
;
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5. DISTANCIA ENTRE PLANOS PARALELOS 1) Para calcular la distancia entre dos planos paralelos , se halla la distancia de un punto cualquiera
de uno de ellos al otro.
2) También se puede calcular de esta otra forma: 1 Ax+By+Cz+D1=0; 2 Ax+By+Cz+D2=0
𝒅(𝝅𝟏, 𝝅𝟐) =|𝑫𝟏 − 𝑫𝟐|
√𝐀𝟐 + 𝐁𝟐 + 𝐂𝟐
Ejemplo: Calcular la distancia entre los planos 12x-y-2z+5=0 y 24x-2y-4z+15=0 .
Los dos planos son paralelos. Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos tengan el mismo vector
normal.
;
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ÁREAS Y VOLÚMENES
1.-ÁREAS DE PARALELOGRAMOS Y TRIÁNGULOS
Ejemplos
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En esta actividad puedes calcular el área de un triángulo y el volumen de un tetraedro.
2.-VOLUMEN DE PARALELEPÍPEDOS Y TETRAEDROS
Ejemplos
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2.1.1. Rectas cruzadas. Calcular la perpendicular común