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7/21/2019 UNIDAD II.energia de Deformacion
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UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACIN
II.1.Trabajo de una Fuerza Real.II.2. Energa de Deformacin Interna (U).II.3. Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) para
Determinar de componentes de deflexinempleando el P.T.V. y consideracin deEfectos Adicionales.
II.4. Ejemplos de Aplicacin.
II.5. Primer Teorema de Castigliano paraDeterminar de componentes de deflexin.II.6. Ejemplos de Aplicacin
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Trabajo de una Fuerza: El concepto deenerga aplicado a estructuras elsticasestables esta asociado al trabajo W realizadopor una un sistema de fuerzas que actasobre la misma cuando sus puntos deaplicacin presentan un desplazamiento.
1 rFW
F
rr
r + r
O
A
A
q
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Si el cuerpo es rgido el trabajo W viene dado por lasuma de los trabajos que realizan nicamente elsistema de fuerzas externas aplicadas, el cual debeser igual a cero si el cuerpo se encuentra enequilibrio
201
n
i
EXTWW
Si es deformable se producen esfuerzos internosasociados a un estado de deformacin que permitela disipacin de la energa, entonces el trabajo
realizado por las fuerzas internas es distinto de ceroy representa la Energa de Defo rm acin Interna de laestruc tura (U). Ahora el equilibrio se expresa como
311
n
i
INT
n
i
EXT WW
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Para determinar U estudiaremos la estructuraelstica mostrada en la Figura, la cual se encuentrasometida a una fuerza externa P que produce unadeflexin en su punto de aplicacin B y en sumisma direccin, si la fuerza P se aplica
aumentando gradualmente desde cero hasta sumximo valor (P), entonces
Estructura deformada por la fuerza P
B
B P
Grafica de Fuerza vs. Desplazamiento
x
y
rea = WEXT
P
UNIDAD II. TRABAJO DE UNA FUERZA
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La Ec. (1) permite obtener el trabajo real de la fuerzaP calculando al rea bajo la curva (P vs. ) dada porla siguiente expresin
En donde el trabajo externo real en eldesplazamiento es realizado por la fuerzapromedio (P/2). Anlogamente, el trabajo interno real
(Wint) puede determinarse en funcin de lasdeformaciones internas () producidas por losesfuerzos promedios (/2)para cada efectoconsiderado como
421
PW
n
i
EXT
5
21
n
iINT
W
UNIDAD II. TRABAJO DE UNA FUERZA
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Considerando un elemento diferencial (dx) en unaseccin de un elemento estructural que se encuentra
sometido solo a efectos axiales, entonces podemos
determinar el WINT que representa la Energa de
Deformacin Axial
62
1
2
0
2
0
L
AXIALINT
L
INT EA
dxxNUWdW
AE
dxxNxN
Elemento estructural de anlisisdx
(x )
N(x) N(x)
dx
Elemento diferencial sometido aesfuerzos axiales
UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACIN
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De forma anloga, podemos determinar la Energade Deformacin debido a Efectos de flexin, deCorte y de Torsin a partir de las siguientesexpresiones:
92
1
82
72
1
0
2
0
2
0
2
L
TORSIN
L
CORTE
L
FLEXIN
GJ
dxxTU
GA
dxxVcU
IE
dxxMU
UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACION
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Consideremos nuevamente la armadura elsticamostrada en la Figura anterior y supongamos que seaplica de forma inmediata con su mximo valor unafuerza virtual (o ficticia) externa FVIRTUALque produceel mismo desplazamiento real en su punto de
aplicacin B, que el producido por la fuerza real P,entonces
Estructura deformada por la fuerza FVITUAL
B
BFVIRTUAL
Grafica de FVIRTUAL
vs. Desplazamiento
x
y
rea = WEXT
FVIRTUAL
TRABAJO DE UNA FUERZA VIRTUAL
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El Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) aplicado acuerpos deformables establece que si unaestruc tura que se encuentra en equ i l ibr io bajo la
accin de un sis tema v ir tual de fuerzas, esta su jeta a
un desplazamiento como resultado de alguna accinadicional , el trabajo vir tual externo al ocurr i r el
desp lazam iento real ser igual al trabajo v irtu al
in terno producido por las fuerzas internas debido a
la defo rmacin real,entonces se tiene que
n
iVIRTUALINT
n
iVIRTUALEXT WW
1
)(
1
)(
UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
10REALVIRTUALREALVIRTUAL DF
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La Ec. (10) puede ser empleada para determinarcomponentes de deflexin de un punto cualesquierade una estructura elstica estable y sugiere que susdesplazamientos debido a la accin de un sistemade cargas externas real pueden obtenerse
superponiendo las estructuras que se muestran acontinuacin
=
a) Deformacin por cargas
reales
DREALB
B
P1 P2 Pn
DREALB
B
FVIRTUAL
P1 P2 Pn
+
b) Sistema Virtual c) Sistema Real
UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
n
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Tomando una FVIRTUAL = 1 (Fuerza Unitaria), el ladoizquierdo de la Ec. (10) se convierte en 1 x DREAL,mientras que la parte derecha de la ecuacindepende de los efectos internos que se considerenactuando sobre los elementos de la estructura, endonde la deformacin real (REAL) se obtiene en delSistema Real y el esfuerzo virtual (VIRTUAL) seobtiene en el Sistema Virtual debido a FVIRTUAL.
n
i
EXTWW1
L
TORSININT
L
CORTEINT
L
FLEXININT
L
AXIALINT
GJ
dxxtxTW
GA
dxxvxVcW
IEdxxmxMW
EAdxxnxNW
0
.
0
.
0
.
0
.
(11)
UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
n
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Efectos Adicionales considerados en el P.T.V.Cambios de temperatura: Cuando existen cambiosen la temperatura de los elementos estructurales seproducen esfuerzos axiales y de flexin los cuales
afectan el trabajo interno (WINT) lo cual puedeexpresarse como
n
i
EXTWW1
simL
mtTINT
sin
L
ntTINT
TTTdxh
TxmWFlexin
TTTdxTxnWAxial
0
.
0
.
:
2:
(12)
UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
n
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Desplazamiento de los apoyos: Losdesplazamientos debido a traslaciones y/orotaciones de los apoyos producen cambios en eltrabajo externo (WEXT) y viene expresado por la
siguiente expresin
n
i
EXTWW1
aVIRTUALDEXT DRW . (13)
UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
=
a) Deformacin por cargas
reales
P1 P2 Pn
+
b) Sistema Virtual c) Sistema Real
DREALB
B
P1 P2 Pn
DaDREAL
B
B
FVIRTUAL
Da
RVIRTUAL
n
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Errores de fabricacin: Cuando se realiza laconstruccin de un sistema estructuralperteneciente a una obra civil, pueden existir erroresen el proceso constructivo que en general son
difciles de estimar y pueden ser producidos porelementos mas largos o mas cortos que losproyectados originalmente, lo cual genera unadeformacin axial unitaria (e). Estos erroresproducen cambios en el trabajo interno (WINT) que
vienen dados por
n
i
EXTWW1
L
eEINT dxxnW0
. )( (14)
UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
n
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Mtodo del Trabajo Vir tu al: La metodologa generalde anlisis para determinar componentes dedeflexin (traslaciones y/o rotaciones) de unaestructura elstica estable y determinada basado enel P.T.V. requiere la aplicacin de los pasos
siguientes:
n
i
EXTWW1
UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
1.- Una vez verificada la estabilidad de la estructuradada, se establecen los Sistema real y el Sistema
Virtual aplicando una fuerza ficticia unitaria endireccin de la componente de deflexin que sedesea determinar, la cual ser una fuerza puntual sise requiere determinar traslaciones o un par demomento si se desean determinar rotaciones .
n
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2.- Se realiza el anlisis esttico para determinar losefectos (o esfuerzos internos) que actan sobre loselementos estructurales para ambos sistemas.
i
EXTWW1
UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL
3.- En caso de existir efectos adicionales sedeterminan los mismos para cada elementoestructural.
4.- Se determina la WEXTy WINT por superposicin,
aplicando las Ec. 11 para cada elemento estructural.Un signo negativo para DREAL significa que ladeflexin tiene un sentido opuesto al supuestoinicialmente, es decir, es contraria a la direccin dela fuerza virtual aplicada.
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Determinar el desplazamiento vertical del punto C de la vigade entrepiso que se modela como la estructura establemostrada en la Figura, empleando el Mtodo del T.V. a)Tomando en cuenta efectos de flexin, corte y axial. b) Si seconsidera que adicionalmente el punto A sufre undesplazamiento vertical de 0.005 m () y que el elemento ABexperimenta un gradiente de temperatura en la fibra superiorde 30 C y en la inferior de 10 C determnese el nuevo valordel desplazamiento del punto C. Usar E = 2.39x105Ton/m2yt= 1 x 10-5(C)-1.
4,00 m
AC
1,50 m
1 Ton/m
B
0.15 Ton
(I,A) (I,A)
20 cm
XX
Seccin Transversal
60 cm
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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4,00 m
AC
1,50 m
1 Ton/m
B
0.15 Ton
Sistema Real
4,00 m
A C
1,50 m
B
Fv= 1 Ton
Sistema Virtual
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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x
1 Ton/m
0 Ton A
CB
0.15 Ton
1.66 Ton 3.99 Tonx
0:0
66.1015.05.599.3:0
99.302
5.5115.05.54:0
2
Axx
AyAyy
ByByA
RF
TonRRF
TonRRM
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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20/49
1x
0 Ton A
1.66 Tonx
x/2M
N
V
x
C
0.15 Ton
1x
x/2M
N
V
0:0
66.1066.11:0
66.12
066.12
1:0
402
11
xNF
xxVxxVF
xx
xMxx
xxMM
BxAABTramo
x
y
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
0:0
15.0015.01:0
15.02
015.02
1:0
5.10
2
22
xNF
xxVxxVF
xx
xMxx
xxMM
BxCBCTramo
x
y
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x
0 Ton A
CB
1 Ton
0.375 Ton 1.375 Tonx
0:0
375.001375.1:0
375.1015.54:0
Axx
AyAyy
ByByA
RF
TonRRF
TonRRM
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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0 Ton A
0.375 Tonx
m
n
v
x
C
1 Tonm
n
v
0:0
375.00375.0:0
375.00375.0:0
40
11
xnF
xvxvF
xxmxxmM
BxAABTramo
x
y
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
0:0
101:0
01:0
5.10
22
xnF
xvxvF
xxmxxmM
BxCBCTramo
x
y
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xx 66.12
2
x375.0 66.1x 375.0 0
0xx 15.0
2
2
x 15.0x 1 0
Tramo Xinic Xfinal M(x) m(x) V(x) v(x) N(x) n(x)
A-B A = 0 B = 4
B-C C = 0 B = 1.50
0
...15.02
375.066.1
2
11
4
0
5.1
0
22
dxxx
xdxxx
x
EI
Cv
AE
dxxdxxxAG
0115.0375.066.1
20.1...
5.1
0
4
0
mFH 023.0
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
a) Considerando solo efectos de flexin, corte y axial
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...15.02375.066.121
1005.0375.0
4
0
5.1
0
22
dxxxx
dxxx
x
EICv
4
0
5
5.1
0
4
0 60.0
20101375.0
0115.0375.066.1
20.1... dxx
AEdxxdxxx
AG
mFH 025.0
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
b) Considerando los efectos Adicionales
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Calcular el desplazamiento horizontal en el nodo Fde la armadura de la Figura. Usar E = 29000 Ksi.
40 Klb
A B
E
D
20 Klb
4 in2
C
F
16 pies
4 in2
4 in2
4 in2
4 in2
3 in2
3 in2
3 in2
3 in2
12 pies
12 pies
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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60 Klb60 Klb
20 Klb
BA
D0 Klb
60 Klb
60 Klb
15 Klb75 Klb
25 Klb
E
C
F
20 Klb
0 Klb 15 Klb
60 Klb
40 Klb
Sistema Real Sistema Virtual
1 Klb
FV= 1 Klb
1.50 Klb1.50 Klb
BA
D0 Klb
1.50 Klb
1 Klb
0.75 Klb1.25 Klb
1.25 Klb
E
C
F
0 Klb
0 Klb 0.75 Klb
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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Barra L (in) A (in2) N (Klb) n (Klb) N.n.L/A
AB 192 4 60 1 2880
CD 192 3 0 0 0
EF 192 3 -20 0 0
AC 144 4 60 1.5 3340
CE 144 4 0 0 0
BD 144 4 -15 -0.75 405
DF 144 4 -15 -0.75 405
BC 240 3 -75 -1.25 7500
CF 240 3 25 1.25 2500
16930
inA
LnN
E FHFH 584.016930
29000
11
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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Determinar el desplazamiento horizontal del nodo Fde la estructura indicada utilizando el Mtodo deTrabajo Virtual a) Considerando solo efectos deflexin; b) Si el apoyo F sufre un asentamiento de0.05 m () y la barra BC sufre una variacin detemperatura como se indica en la Figura. Usar EI =1200 Ton.m2y t= 10-5(C)-1.
3.00 m
A
C
F
E
D
(I)
(I)
(I)
(I)
(I)
2 Ton/m
B
4.00 m 4.00 m4.00 m
1.50 m
8 Ton
F. int. +20 C
F. ext. +60 C
Seccin Transversal
40 cm
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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4 Ton
A
C
F
E
D
C
2 Ton/m
B
10.50 Ton 4 Ton9.50 Ton
4 Ton
8 Ton
x
x
xx
Sistema Real
A
C
F
E
D
C
B
9/8 Ton 3/4 Ton3/8 Ton
0 Ton
x
x
x
x
1 Ton FV= 1 Ton
Sistema Virtual
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
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30/49
...2
3
8
3105.1
10
3
5
26
25
1611
5
0
4
0
22
dxxxxdxxxxEI
FH
dxxxx 4
34...
4
0
2
m
EI
FHFH 053.079
xx 5/2625/16 2 x10/3
1050.12 xx 2/38/3 x
xx 42 x4/3
0 3x
Tramo Xinic. Xfinal M(x) m(x)A - B A = 0 B = 5
B - C B = 0 C = 4
C - E C = 0 E = 4
E - F E = 0 F = 3
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
a) Considerando solo efectos de flexin
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31/49
...2
3
8
3105.1
10
3
5
26
25
161105.0
4
3 5
0
4
0
22
dxxxxdxxxx
EIFH
dxxdxxxx 54
0
4
0
2 1040.0
6020
2
3
8
3
4
34...
mEI
FHFH 025.0103790375.0 3
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
b) Considerando efectos Adicionales
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Calcular la rotacin de la barra DF respecto a F en laestructura mostrada en la Figura empleando el Mtododel Trabajo Virtual. Considerar en AB y DF solo efectosde flexin y en los dems miembros solo efectosaxiales. Usar EI = 1500 Ton.m2y EA = 500 Ton.
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
F
2 Ton/m
3.00 m
3.00 m
AB
EC
D
3.00 m 3.00 m
(I)
(I)
(A)
(A)
(A)
(A) (A)
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Sistema Real
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
F
2 Ton/m
3.00 m
3.00 m
AB
EC
D
3.00 m 3.00 m
1 Ton.m
F
3.00 m
3.00 m
AB
EC
D
3.00 m 3.00 m
Sistema Virtual
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Se realiza el anlisis esttico para determinar losefectos internos.
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
2 Ton/m
A B
EC
D
F
x
x
0 Ton 0 Ton0 Ton
6 Ton
0 Ton
9 Ton.m
6 Ton
3 Ton
9 Ton
6 Ton
A B
EC
D
F
x
x 0 Ton 0 Ton0 Ton
1/3 Ton
0 Ton
0 Ton.m
1/3 Ton
0 Ton
0 Ton
1/3 Ton
1 Ton.m
Sistema Real
Sistema Virtual
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UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.
Considerando efectos de flexin y axial
rad
radEA
dxxxxEI
F
F
014.0
014.0500
6
1500
12.36124.012.25.0
1 23
0
2
q
q
93 x 0xx 12.25.0 2 124.0 x
Efectos de flexin
Tramo Xi Xf M(x) m(x)
A - B A = 0 B = 3
D - F F = 0 D = 32
Efectos axiales
Barra L (m) EA (Ton.m2) N n NnL/AE
BD 3 EA -6 1/3 -6
-6AE
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1ER Teorema de Cast igl iano: La componente dedeflexin de un punto de la estructura es igual a laprimera derivada parcial de la Energa deDeformacin Interna Total (UTOTAL) respecto a unafuerza que acta en dicho punto y en la misma
direccin de la deflexin que se requiere determinar.
Estructura deformada por las fuerzas P
Dii
i P
UNIDAD II. TEOREMA DE CASTIGLIANO
P1 P2
P3
+ dP
n
iINT
n
iEXT WW
11
i
i
INTn
iINTINT
n
iINT dP
P
WWdWW
11
PPPfU ,...,,21
i
INT
iP
WD
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Si consideramos solo efectos axiales entoncesdebemos derivar las Ecuaciones anterior respecto aP; observndose que las fuerzas axiales internassern una funcin de xy de P, entonces por la Regla
de la Cadena se obtiene lo siguiente
UNIDAD II. TEOREMA DE CASTIGLIANO
242
1
00
2
LL
i
INTiEA
dx
P
xNxNEA
dxxN
PP
WD
L
AXIALEA
dxxNU
0
2
2
1
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De forma anloga, puede demostrarse que para losefectos de flexin, corte y torsin la componente dedeflexin requerida (Di) a partir de las siguientesexpresiones:
28
27
26
0
0
0
L
i
L
i
L
i
GJ
dx
P
xTxTD
GA
dx
P
xVxVcD
IE
dx
P
xM
xMD
UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACION
n
i
EXTWW1
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Mtodo de Cast ig liano: La metodologa general deanlisis para determinar componentes de deflexin(traslaciones y/o rotaciones) de una estructuraelstica estable y determinada basado en elTeorema de Castigliano requiere la aplicacin de los
pasos siguientes:
i 1
UNIDAD II. METODO DE CASTIGLIANO
1.- Una vez verificada la estabilidad de la estructuradada, se determina si existen cargas realesaplicadas en direccin de la componente dedeflexin que se desea determinar, P si se requieredeterminar traslaciones o M si se desean determinarrotaciones.
n
i
EXTWW1
7/21/2019 UNIDAD II.energia de Deformacion
40/49
2.- En caso de que no exista dicha carga se colocauna carga ficticia (P o M) que actu en direccin dela componente de deflexin a determinar.
i 1
UNIDAD II. METODO DE CASTIGLIANO
3.- Se realiza el anlisis esttico para determinar los
efectos (o esfuerzos internos) que actan sobre loselementos estructurales los cuales sern unafuncin de P o M.
4.- Se aplican las Ecuaciones anteriores para cada
elemento estructural, determinndose lacomponente de deflexin deseada (Di) igualando P oM al valor de la accin aplicada en el puntoconsiderado (ser igual a cero en el caso de que se
aplique la carga ficticia).
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Determinar la componente de deflexin en direccin dela Fuerza de 1 KN que acta en el extremo D de la vigamostrada en la Figura empleando el Mtodo deCastigliano. Tomar en cuenta solo efectos de flexin.Usar EI = 9800 KN.m2
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
AC (I)(I)
6 KN
B
1 KN
2 KN.m
1.50 m 1.50 m1.50 m
D(I)
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UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
C (I)(I)
6 KN
B
P
2 KN.m
1.50 m 1.50 m1.50 m
D(I)
D.C.L. de la estructura con la fuerza P actuando endireccin de Dv.
RAy
A
C
6 KN
B
P
2 KN.m
D
RAx
RCy
1.50 m 1.50 m1.50 m
D.C.L. para calcular las reacciones en apoyos.
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UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
D.C.L. de los cortes de la estructura.
2.33 0.5P
0 KN A
xM
N
V
2.33 0.5P 3.67 + 1.5P
0 KN A
C
6 KN
B
P
2 KN.m
D
x
x
x
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UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
M
N
V2.33 0.5P
0 KN A
6 KN
B
x
M
N
V
P
2 KN.m
D
x
D.C.L. de los cortes de la estructura.
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UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
Pxx 5.033.2
x5.0
x83.1
95.067.3 Pxx
x5.0
917.4
x2Px x 2x
Tramo Xi Xf M M/P M(P = 1)AB A = 0 B = 1.5
B C B = 1.5 C = 3
C - D D = 0 C = 1.5
Se construye la Tabla con los efectos internos
5.1
0
3
5.1
5.1
025.0917.45.083.1
1dxxxdxxxdxxx
EIDv
m
mEI
Dv
Dv
4
4
1053.3
1053.3459.3
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Calcular la rotacin de la barra DF respecto a F en laestructura mostrada en la Figura empleando el Mtodode Castigliano. Considerar en AB y DF solo efectos deflexin y en los dems miembros solo efectos axiales.Usar EI = 1500 Ton.m2y EA = 500 Ton.
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
F
2 Ton/m
3.00 m
3.00 m
AB
EC
D
3.00 m 3.00 m
(I)
(I)
(A)
(A)
(A)
(A) (A)
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Una vez verificada la estabilidad de la estructura seprocede a aplicar la Fuerza P o el Par M, segn sea elcaso en direccin de la componente de deflexindeseada.
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
M
F
2 Ton/m
3.00 m
3.00 m
AB
EC
D
3.00 m 3.00 m
(I)
(I)
(A)
(A)
(A)
(A) (A)
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Se realiza el anlisis esttico para determinar losefectos internos.
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
2 Ton/m
A B
EC
D
F
x
x 0 Ton 0 Ton0 Ton
6 M/3
0 Ton
9 Ton.m
6 M/3
3 Ton
9 Ton
6 M/3
M
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Se determina Di por superposicin de todos losefectos que se consideren para cada elementoestructural.
UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO
rad
rad
EA
dxxxx
EI
F
F
014.0
014.0
500
6
1500
12.36124.012.25.0
1 23
0
2
q
q