UNIDAD II.energia de Deformacion

7/21/2019 UNIDAD II.energia de Deformacion

1/49

UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACIN

II.1.Trabajo de una Fuerza Real.II.2. Energa de Deformacin Interna (U).II.3. Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) para

Determinar de componentes de deflexinempleando el P.T.V. y consideracin deEfectos Adicionales.

II.4. Ejemplos de Aplicacin.

II.5. Primer Teorema de Castigliano paraDeterminar de componentes de deflexin.II.6. Ejemplos de Aplicacin


2/49

Trabajo de una Fuerza: El concepto deenerga aplicado a estructuras elsticasestables esta asociado al trabajo W realizadopor una un sistema de fuerzas que actasobre la misma cuando sus puntos deaplicacin presentan un desplazamiento.

1 rFW

F

rr

r + r

O

A

A

q



3/49

Si el cuerpo es rgido el trabajo W viene dado por lasuma de los trabajos que realizan nicamente elsistema de fuerzas externas aplicadas, el cual debeser igual a cero si el cuerpo se encuentra enequilibrio

201

n

i

EXTWW

Si es deformable se producen esfuerzos internosasociados a un estado de deformacin que permitela disipacin de la energa, entonces el trabajo

realizado por las fuerzas internas es distinto de ceroy representa la Energa de Defo rm acin Interna de laestruc tura (U). Ahora el equilibrio se expresa como

311

n

i

INT

n

i

EXT WW



4/49

Para determinar U estudiaremos la estructuraelstica mostrada en la Figura, la cual se encuentrasometida a una fuerza externa P que produce unadeflexin en su punto de aplicacin B y en sumisma direccin, si la fuerza P se aplica

aumentando gradualmente desde cero hasta sumximo valor (P), entonces

Estructura deformada por la fuerza P

B

B P

Grafica de Fuerza vs. Desplazamiento

x

y

rea = WEXT

P

UNIDAD II. TRABAJO DE UNA FUERZA


5/49

La Ec. (1) permite obtener el trabajo real de la fuerzaP calculando al rea bajo la curva (P vs. ) dada porla siguiente expresin

En donde el trabajo externo real en eldesplazamiento es realizado por la fuerzapromedio (P/2). Anlogamente, el trabajo interno real

(Wint) puede determinarse en funcin de lasdeformaciones internas () producidas por losesfuerzos promedios (/2)para cada efectoconsiderado como

421

PW

n

i

EXT

5

21

n

iINT

W

UNIDAD II. TRABAJO DE UNA FUERZA


6/49

Considerando un elemento diferencial (dx) en unaseccin de un elemento estructural que se encuentra

sometido solo a efectos axiales, entonces podemos

determinar el WINT que representa la Energa de

Deformacin Axial

62

1

2

0

2

0

L

AXIALINT

L

INT EA

dxxNUWdW

AE

dxxNxN

Elemento estructural de anlisisdx

(x )

N(x) N(x)

dx

Elemento diferencial sometido aesfuerzos axiales



7/49

De forma anloga, podemos determinar la Energade Deformacin debido a Efectos de flexin, deCorte y de Torsin a partir de las siguientesexpresiones:

92

1

82

72

1

0

2

0

2

0

2

L

TORSIN

L

CORTE

L

FLEXIN

GJ

dxxTU

GA

dxxVcU

IE

dxxMU

UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACION


8/49

Consideremos nuevamente la armadura elsticamostrada en la Figura anterior y supongamos que seaplica de forma inmediata con su mximo valor unafuerza virtual (o ficticia) externa FVIRTUALque produceel mismo desplazamiento real en su punto de

aplicacin B, que el producido por la fuerza real P,entonces

Estructura deformada por la fuerza FVITUAL

B

BFVIRTUAL

Grafica de FVIRTUAL

vs. Desplazamiento

x

y

rea = WEXT

FVIRTUAL

TRABAJO DE UNA FUERZA VIRTUAL


9/49

El Principio del Trabajo Virtual (P.T.V.) aplicado acuerpos deformables establece que si unaestruc tura que se encuentra en equ i l ibr io bajo la

accin de un sis tema v ir tual de fuerzas, esta su jeta a

un desplazamiento como resultado de alguna accinadicional , el trabajo vir tual externo al ocurr i r el

desp lazam iento real ser igual al trabajo v irtu al

in terno producido por las fuerzas internas debido a

la defo rmacin real,entonces se tiene que

n

iVIRTUALINT

n

iVIRTUALEXT WW

1

)(

1

)(

UNIDAD II. PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL

10REALVIRTUALREALVIRTUAL DF


10/49

La Ec. (10) puede ser empleada para determinarcomponentes de deflexin de un punto cualesquierade una estructura elstica estable y sugiere que susdesplazamientos debido a la accin de un sistemade cargas externas real pueden obtenerse

superponiendo las estructuras que se muestran acontinuacin

=

a) Deformacin por cargas

reales

DREALB

B

P1 P2 Pn

DREALB

B

FVIRTUAL

P1 P2 Pn

+

b) Sistema Virtual c) Sistema Real


n


11/49

Tomando una FVIRTUAL = 1 (Fuerza Unitaria), el ladoizquierdo de la Ec. (10) se convierte en 1 x DREAL,mientras que la parte derecha de la ecuacindepende de los efectos internos que se considerenactuando sobre los elementos de la estructura, endonde la deformacin real (REAL) se obtiene en delSistema Real y el esfuerzo virtual (VIRTUAL) seobtiene en el Sistema Virtual debido a FVIRTUAL.

n

i

EXTWW1

L

TORSININT

L

CORTEINT

L

FLEXININT

L

AXIALINT

GJ

dxxtxTW

GA

dxxvxVcW

IEdxxmxMW

EAdxxnxNW

0

.

0

.

0

.

0

.

(11)


n


12/49

Efectos Adicionales considerados en el P.T.V.Cambios de temperatura: Cuando existen cambiosen la temperatura de los elementos estructurales seproducen esfuerzos axiales y de flexin los cuales

afectan el trabajo interno (WINT) lo cual puedeexpresarse como

n

i

EXTWW1

simL

mtTINT

sin

L

ntTINT

TTTdxh

TxmWFlexin

TTTdxTxnWAxial

0

.

0

.

:

2:

(12)


n


13/49

Desplazamiento de los apoyos: Losdesplazamientos debido a traslaciones y/orotaciones de los apoyos producen cambios en eltrabajo externo (WEXT) y viene expresado por la

siguiente expresin

n

i

EXTWW1

aVIRTUALDEXT DRW . (13)


=

a) Deformacin por cargas

reales

P1 P2 Pn

+

b) Sistema Virtual c) Sistema Real

DREALB

B

P1 P2 Pn

DaDREAL

B

B

FVIRTUAL

Da

RVIRTUAL

n


14/49

Errores de fabricacin: Cuando se realiza laconstruccin de un sistema estructuralperteneciente a una obra civil, pueden existir erroresen el proceso constructivo que en general son

difciles de estimar y pueden ser producidos porelementos mas largos o mas cortos que losproyectados originalmente, lo cual genera unadeformacin axial unitaria (e). Estos erroresproducen cambios en el trabajo interno (WINT) que

vienen dados por

n

i

EXTWW1

L

eEINT dxxnW0

. )( (14)


n


15/49

Mtodo del Trabajo Vir tu al: La metodologa generalde anlisis para determinar componentes dedeflexin (traslaciones y/o rotaciones) de unaestructura elstica estable y determinada basado enel P.T.V. requiere la aplicacin de los pasos

siguientes:

n

i

EXTWW1


1.- Una vez verificada la estabilidad de la estructuradada, se establecen los Sistema real y el Sistema

Virtual aplicando una fuerza ficticia unitaria endireccin de la componente de deflexin que sedesea determinar, la cual ser una fuerza puntual sise requiere determinar traslaciones o un par demomento si se desean determinar rotaciones .

n


16/49

2.- Se realiza el anlisis esttico para determinar losefectos (o esfuerzos internos) que actan sobre loselementos estructurales para ambos sistemas.

i

EXTWW1


3.- En caso de existir efectos adicionales sedeterminan los mismos para cada elementoestructural.

4.- Se determina la WEXTy WINT por superposicin,

aplicando las Ec. 11 para cada elemento estructural.Un signo negativo para DREAL significa que ladeflexin tiene un sentido opuesto al supuestoinicialmente, es decir, es contraria a la direccin dela fuerza virtual aplicada.


17/49

Determinar el desplazamiento vertical del punto C de la vigade entrepiso que se modela como la estructura establemostrada en la Figura, empleando el Mtodo del T.V. a)Tomando en cuenta efectos de flexin, corte y axial. b) Si seconsidera que adicionalmente el punto A sufre undesplazamiento vertical de 0.005 m () y que el elemento ABexperimenta un gradiente de temperatura en la fibra superiorde 30 C y en la inferior de 10 C determnese el nuevo valordel desplazamiento del punto C. Usar E = 2.39x105Ton/m2yt= 1 x 10-5(C)-1.

4,00 m

AC

1,50 m

1 Ton/m

B

0.15 Ton

(I,A) (I,A)

20 cm

XX

Seccin Transversal

60 cm

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN M.T.V.


18/49

4,00 m

AC

1,50 m

1 Ton/m

B

0.15 Ton

Sistema Real

4,00 m

A C

1,50 m

B

Fv= 1 Ton

Sistema Virtual



19/49

x

1 Ton/m

0 Ton A

CB

0.15 Ton

1.66 Ton 3.99 Tonx

0:0

66.1015.05.599.3:0

99.302

5.5115.05.54:0

2

Axx

AyAyy

ByByA

RF

TonRRF

TonRRM



20/49

1x

0 Ton A

1.66 Tonx

x/2M

N

V

x

C

0.15 Ton

1x

x/2M

N

V

0:0

66.1066.11:0

66.12

066.12

1:0

402

11

xNF

xxVxxVF

xx

xMxx

xxMM

BxAABTramo

x

y


0:0

15.0015.01:0

15.02

015.02

1:0

5.10

2

22

xNF

xxVxxVF

xx

xMxx

xxMM

BxCBCTramo

x

y


21/49

x

0 Ton A

CB

1 Ton

0.375 Ton 1.375 Tonx

0:0

375.001375.1:0

375.1015.54:0

Axx

AyAyy

ByByA

RF

TonRRF

TonRRM



22/49

0 Ton A

0.375 Tonx

m

n

v

x

C

1 Tonm

n

v

0:0

375.00375.0:0

375.00375.0:0

40

11

xnF

xvxvF

xxmxxmM

BxAABTramo

x

y


0:0

101:0

01:0

5.10

22

xnF

xvxvF

xxmxxmM

BxCBCTramo

x

y


23/49

xx 66.12

2

x375.0 66.1x 375.0 0

0xx 15.0

2

2

x 15.0x 1 0

Tramo Xinic Xfinal M(x) m(x) V(x) v(x) N(x) n(x)

A-B A = 0 B = 4

B-C C = 0 B = 1.50

0

...15.02

375.066.1

2

11

4

0

5.1

0

22

dxxx

xdxxx

x

EI

Cv

AE

dxxdxxxAG

0115.0375.066.1

20.1...

5.1

0

4

0

mFH 023.0


a) Considerando solo efectos de flexin, corte y axial


24/49

...15.02375.066.121

1005.0375.0

4

0

5.1

0

22

dxxxx

dxxx

x

EICv

4

0

5

5.1

0

4

0 60.0

20101375.0

0115.0375.066.1

20.1... dxx

AEdxxdxxx

AG

mFH 025.0


b) Considerando los efectos Adicionales


25/49

Calcular el desplazamiento horizontal en el nodo Fde la armadura de la Figura. Usar E = 29000 Ksi.

40 Klb

A B

E

D

20 Klb

4 in2

C

F

16 pies

4 in2

4 in2

4 in2

4 in2

3 in2

3 in2

3 in2

3 in2

12 pies

12 pies



26/49

60 Klb60 Klb

20 Klb

BA

D0 Klb

60 Klb

60 Klb

15 Klb75 Klb

25 Klb

E

C

F

20 Klb

0 Klb 15 Klb

60 Klb

40 Klb

Sistema Real Sistema Virtual

1 Klb

FV= 1 Klb

1.50 Klb1.50 Klb

BA

D0 Klb

1.50 Klb

1 Klb

0.75 Klb1.25 Klb

1.25 Klb

E

C

F

0 Klb

0 Klb 0.75 Klb



27/49

Barra L (in) A (in2) N (Klb) n (Klb) N.n.L/A

AB 192 4 60 1 2880

CD 192 3 0 0 0

EF 192 3 -20 0 0

AC 144 4 60 1.5 3340

CE 144 4 0 0 0

BD 144 4 -15 -0.75 405

DF 144 4 -15 -0.75 405

BC 240 3 -75 -1.25 7500

CF 240 3 25 1.25 2500

16930

inA

LnN

E FHFH 584.016930

29000

11



28/49

Determinar el desplazamiento horizontal del nodo Fde la estructura indicada utilizando el Mtodo deTrabajo Virtual a) Considerando solo efectos deflexin; b) Si el apoyo F sufre un asentamiento de0.05 m () y la barra BC sufre una variacin detemperatura como se indica en la Figura. Usar EI =1200 Ton.m2y t= 10-5(C)-1.

3.00 m

A

C

F

E

D

(I)

(I)

(I)

(I)

(I)

2 Ton/m

B

4.00 m 4.00 m4.00 m

1.50 m

8 Ton

F. int. +20 C

F. ext. +60 C

Seccin Transversal

40 cm



29/49

4 Ton

A

C

F

E

D

C

2 Ton/m

B

10.50 Ton 4 Ton9.50 Ton

4 Ton

8 Ton

x

x

xx

Sistema Real

A

C

F

E

D

C

B

9/8 Ton 3/4 Ton3/8 Ton

0 Ton

x

x

x

x

1 Ton FV= 1 Ton

Sistema Virtual



30/49

...2

3

8

3105.1

10

3

5

26

25

1611

5

0

4

0

22

dxxxxdxxxxEI

FH

dxxxx 4

34...

4

0

2

m

EI

FHFH 053.079

xx 5/2625/16 2 x10/3

1050.12 xx 2/38/3 x

xx 42 x4/3

0 3x

Tramo Xinic. Xfinal M(x) m(x)A - B A = 0 B = 5

B - C B = 0 C = 4

C - E C = 0 E = 4

E - F E = 0 F = 3


a) Considerando solo efectos de flexin


31/49

...2

3

8

3105.1

10

3

5

26

25

161105.0

4

3 5

0

4

0

22

dxxxxdxxxx

EIFH

dxxdxxxx 54

0

4

0

2 1040.0

6020

2

3

8

3

4

34...

mEI

FHFH 025.0103790375.0 3


b) Considerando efectos Adicionales


32/49

Calcular la rotacin de la barra DF respecto a F en laestructura mostrada en la Figura empleando el Mtododel Trabajo Virtual. Considerar en AB y DF solo efectosde flexin y en los dems miembros solo efectosaxiales. Usar EI = 1500 Ton.m2y EA = 500 Ton.


F

2 Ton/m

3.00 m

3.00 m

AB

EC

D

3.00 m 3.00 m

(I)

(I)

(A)

(A)

(A)

(A) (A)


33/49

Sistema Real


F

2 Ton/m

3.00 m

3.00 m

AB

EC

D

3.00 m 3.00 m

1 Ton.m

F

3.00 m

3.00 m

AB

EC

D

3.00 m 3.00 m

Sistema Virtual


34/49

Se realiza el anlisis esttico para determinar losefectos internos.


2 Ton/m

A B

EC

D

F

x

x

0 Ton 0 Ton0 Ton

6 Ton

0 Ton

9 Ton.m

6 Ton

3 Ton

9 Ton

6 Ton

A B

EC

D

F

x

x 0 Ton 0 Ton0 Ton

1/3 Ton

0 Ton

0 Ton.m

1/3 Ton

0 Ton

0 Ton

1/3 Ton

1 Ton.m

Sistema Real

Sistema Virtual


35/49


Considerando efectos de flexin y axial

rad

radEA

dxxxxEI

F

F

014.0

014.0500

6

1500

12.36124.012.25.0

1 23

0

2

q

q

93 x 0xx 12.25.0 2 124.0 x

Efectos de flexin

Tramo Xi Xf M(x) m(x)

A - B A = 0 B = 3

D - F F = 0 D = 32

Efectos axiales

Barra L (m) EA (Ton.m2) N n NnL/AE

BD 3 EA -6 1/3 -6

-6AE


36/49

1ER Teorema de Cast igl iano: La componente dedeflexin de un punto de la estructura es igual a laprimera derivada parcial de la Energa deDeformacin Interna Total (UTOTAL) respecto a unafuerza que acta en dicho punto y en la misma

direccin de la deflexin que se requiere determinar.

Estructura deformada por las fuerzas P

Dii

i P

UNIDAD II. TEOREMA DE CASTIGLIANO

P1 P2

P3

+ dP

n

iINT

n

iEXT WW

11

i

i

INTn

iINTINT

n

iINT dP

P

WWdWW

11

PPPfU ,...,,21

i

INT

iP

WD


37/49

Si consideramos solo efectos axiales entoncesdebemos derivar las Ecuaciones anterior respecto aP; observndose que las fuerzas axiales internassern una funcin de xy de P, entonces por la Regla

de la Cadena se obtiene lo siguiente

UNIDAD II. TEOREMA DE CASTIGLIANO

242

1

00

2

LL

i

INTiEA

dx

P

xNxNEA

dxxN

PP

WD

L

AXIALEA

dxxNU

0

2

2

1


38/49

De forma anloga, puede demostrarse que para losefectos de flexin, corte y torsin la componente dedeflexin requerida (Di) a partir de las siguientesexpresiones:

28

27

26

0

0

0

L

i

L

i

L

i

GJ

dx

P

xTxTD

GA

dx

P

xVxVcD

IE

dx

P

xM

xMD

UNIDAD II. ENERGIA DE DEFORMACION

n

i

EXTWW1


39/49

Mtodo de Cast ig liano: La metodologa general deanlisis para determinar componentes de deflexin(traslaciones y/o rotaciones) de una estructuraelstica estable y determinada basado en elTeorema de Castigliano requiere la aplicacin de los

pasos siguientes:

i 1

UNIDAD II. METODO DE CASTIGLIANO

1.- Una vez verificada la estabilidad de la estructuradada, se determina si existen cargas realesaplicadas en direccin de la componente dedeflexin que se desea determinar, P si se requieredeterminar traslaciones o M si se desean determinarrotaciones.

n

i

EXTWW1


40/49

2.- En caso de que no exista dicha carga se colocauna carga ficticia (P o M) que actu en direccin dela componente de deflexin a determinar.

i 1

UNIDAD II. METODO DE CASTIGLIANO

3.- Se realiza el anlisis esttico para determinar los

efectos (o esfuerzos internos) que actan sobre loselementos estructurales los cuales sern unafuncin de P o M.

4.- Se aplican las Ecuaciones anteriores para cada

elemento estructural, determinndose lacomponente de deflexin deseada (Di) igualando P oM al valor de la accin aplicada en el puntoconsiderado (ser igual a cero en el caso de que se

aplique la carga ficticia).


41/49

Determinar la componente de deflexin en direccin dela Fuerza de 1 KN que acta en el extremo D de la vigamostrada en la Figura empleando el Mtodo deCastigliano. Tomar en cuenta solo efectos de flexin.Usar EI = 9800 KN.m2

UNIDAD II. EJEMPLOS DE APLICACIN CASTIGLIANO

AC (I)(I)

6 KN

B

1 KN

2 KN.m

1.50 m 1.50 m1.50 m

D(I)


42/49


C (I)(I)

6 KN

B

P

2 KN.m

1.50 m 1.50 m1.50 m

D(I)

D.C.L. de la estructura con la fuerza P actuando endireccin de Dv.

RAy

A

C

6 KN

B

P

2 KN.m

D

RAx

RCy

1.50 m 1.50 m1.50 m

D.C.L. para calcular las reacciones en apoyos.


43/49


D.C.L. de los cortes de la estructura.

2.33 0.5P

0 KN A

xM

N

V

2.33 0.5P 3.67 + 1.5P

0 KN A

C

6 KN

B

P

2 KN.m

D

x

x

x


44/49


M

N

V2.33 0.5P

0 KN A

6 KN

B

x

M

N

V

P

2 KN.m

D

x

D.C.L. de los cortes de la estructura.


45/49


Pxx 5.033.2

x5.0

x83.1

95.067.3 Pxx

x5.0

917.4

x2Px x 2x

Tramo Xi Xf M M/P M(P = 1)AB A = 0 B = 1.5

B C B = 1.5 C = 3

C - D D = 0 C = 1.5

Se construye la Tabla con los efectos internos

5.1

0

3

5.1

5.1

025.0917.45.083.1

1dxxxdxxxdxxx

EIDv

m

mEI

Dv

Dv

4

4

1053.3

1053.3459.3


46/49

Calcular la rotacin de la barra DF respecto a F en laestructura mostrada en la Figura empleando el Mtodode Castigliano. Considerar en AB y DF solo efectos deflexin y en los dems miembros solo efectos axiales.Usar EI = 1500 Ton.m2y EA = 500 Ton.


F

2 Ton/m

3.00 m

3.00 m

AB

EC

D

3.00 m 3.00 m

(I)

(I)

(A)

(A)

(A)

(A) (A)


47/49

Una vez verificada la estabilidad de la estructura seprocede a aplicar la Fuerza P o el Par M, segn sea elcaso en direccin de la componente de deflexindeseada.


M

F

2 Ton/m

3.00 m

3.00 m

AB

EC

D

3.00 m 3.00 m

(I)

(I)

(A)

(A)

(A)

(A) (A)


48/49

Se realiza el anlisis esttico para determinar losefectos internos.


2 Ton/m

A B

EC

D

F

x

x 0 Ton 0 Ton0 Ton

6 M/3

0 Ton

9 Ton.m

6 M/3

3 Ton

9 Ton

6 M/3

M


49/49

Se determina Di por superposicin de todos losefectos que se consideren para cada elementoestructural.


rad

rad

EA

dxxxx

EI

F

F

014.0

014.0

500

6

1500

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UNIDAD II.energia de Deformacion

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