Post on 01-Oct-2015
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Introduccin a la Teora de GrficasBernardo Llano
Departamento de MatemticasUniversidad Autnoma Metropolitana
Iztapalapa
Mxico D. F.
IV ESCUELA DE MATEMTICAS DEL CARIBE
Universidad de Cartagena de Indias19 al 21 de octubre de 2015
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Los puentes de Knigsberg Knigsberg (actualmente Kaliningrado) es una
ciudad de Rusia a orillas del ro Pragel.
(Mapa de 1613, Google)
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Los puentes de Knigsberg Knigsberg (actualmente Kaliningrado) es una
ciudad de Rusia a orillas del ro Pragel. Dos islas en el ro forman parte de la ciudad. Problema:
Puede un habitante salir de su casa, cruzar cada puente exactamente una vez y regresar a su casa?
Z
X
YW
4
Un modelo del problema
Un vrtice : una regin
Una arista : un camino (puente) entre dos regiones
a1a2
a3a4
a6
a5
a7
Z
Y
X
W
X
Y
Z
W
5
Un modelo general
Un vrtice : un objeto
Una arista : una relacin entre dos objetos
Rectngulo Rombo
Cuadriltero
6
Qu es una grfica?
Una grfica G es una terna: un conjunto de vrtices V(G), un conjunto de aristas E(G) y una relacin entre una arista y un par de
vrtices.
Y
a1a2
a3a4
a6
a5
a7
Z
X
W
7
Lazos y aristas mltiples
Lazo: Una arista que comienza y termina en el mismo vrtice.
Aristas mltiples: Varias aristas entre el mismo par de vrtices.
lazo
aristasmltiples
8
Grficas simples
Grfica simple: Es una grfica sin lazos ni aristas mltiples.
No es una grfica simple
aristasmltiples
lazo
Una grfica simple
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Vrtices adyacentes (vecinos) Dos vrtices son adyacentes (o vecinos) si
son los vrtices que definen una arista. Ejemplo:
u v
w x y
z
u y v son adyacentes,x y z no son adyacentes.
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Grficas finitas y grficas nulas
Grfica finita: Una grfica con conjuntos finitos de vrtices y aristas.
Grfica nula: Una grfica con el conjunto de aristas igual al conjunto vaco.
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Complemento de una grfica
Complemento of G: El complemento G de una grfica simple G se define como:
una grfica simple tal que V(G) = V(G) E(G) = { uv | uv E(G) }
G
u
wx
Gvy
u
y v
x w
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Clanes
Un clan en G : Un conjunto maximal de vrtices en el cual todos los pares de vrtices son adyacentes.
Ejemplos:
Gu v
w x y
z
- {u,v,w,x} y {v,y,z} sonclanes de G,- {u,w,x} no es clan deG (no es maximal).
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Conjuntos independientes
Un conjunto independiente en G : Un conjunto de vrtices en el cual todos los pares de vrtices no son adyacentes.
Ejemplos:
Gu v
w x y
z
- {u,z} y {w,y} son conj.indep. de G,- {u,y,z} no lo es.
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Grficas bipartitas
Una grfica G es bipartita si V(G) es la unin dos conjuntos independientes llamados las partes de G.
Equivalentemente, V(G) se puede particionar en dos conjuntos independientes.
Ejemplo:
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Grficas bipartitas
Ejemplos:
Hombres
Mujeres
Problema deacoplamiento
Trabajadores
Tareas
Problema de asignacin(acoplamientos perfectos)
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Nmero cromtico
El nmero cromtico de una grfica G, denotado por X(G) es el mnimo nmero de colores necesarios para etiquetar los vrtices tal que vrtices adyacentes reciben colores distintos.
Gu v
w x y
z
X(G) = 4
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Mapas y coloraciones
Un mapa es una particin del plano en regiones conexas.
Podemos colorear las regiones de cualquier mapa usando a lo ms cuatro colores tal que regiones vecinas reciben distinto color?
Colorear un mapa colorear una grfica Una regin Un vrtice Adyacencia Una arista
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Mapas y coloraciones
19
Mapas y coloraciones
20
Mapas y coloraciones
5
3 8
4 7
6
1
2
9
10
21
Horarios y coloraciones de grficas
Ejemplo. Salones de clase y asignacin de materias para las clases: dos materias no pueden asignarse al mismo saln de clases en el mismo horario.
Geometralgebra
Saln 1
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Horarios y coloraciones de grficas Modelo:
Cada materia se representa con un vrtice.
Una arista entre dos vrtices si las materias comparten saln de clase.
Dos vrtices adyacentes no pueden recibir el mismo color (distingue horarios).
Geometralgebra
Saln 1
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Horarios y coloraciones de grficas
El problema de asignar salones de clases es equivalente al problema de colorear una grfica.
lgebra
Geometra
Anlisis
Saln 1 Saln 1
Saln 1
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Trayectorias y ciclos Trayectoria : Una sucesin de vrtices
distintos tal que dos vrtices consecutivos son adyacentes.
Ciclo: Una trayectoria cerrada. Ejemplo:
- (u,v,x,y,z,w) y (z,v,w,x,y) son trayectorias de G.- (u,v,x,y,z,w,u) y (z,v,w,x,y,z) son ciclos de G.- (u,v,x,u) y (v,y,z,v) son tringulos de G.
u v
w x y
z
G
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Subgrficas
Una subgrfica de una grfica G es una grfica H tal que:
V(H) V(G) y E(H) E(G), adems la asignacin de los vrtices terminales a
las aristas de H es la misma que la asignacin en G.
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Subgrficas Ejemplos: H1, H2 y H3 son subgrficas de G.
u v
w x y
z
G
v
w
H1
u v
w x y
z
H2
v
x y
z
u
w
H3
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Conexidad Una grfica G es conexa si existe una
trayectoria entre cualquier par de vrtices. Se dice que G es disconexa en otro caso.
Ejemplos:
v
w
u v
w x y
z
v
x y
z
u
w
conexa
conexadisconexa
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Adyacencia, incidencia y grado
Supongamos que e = {u,v } es una arista con vrtices terminales u y v en una grfica G.
Los vrtices u y v son adyacentes. La arista e es incidente a los vrtices u y v. El grado de un vrtice u es el nmero de
vrtices adyacentes a u. Se denota por d(u).
u ve
u v
w x y
z
Gd(v) = 5
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Primer teorema de la Teora de Grficas
Teorema (Euler, 1736). La suma de todos los grados de los vrtices de una grfica G = (V,E) es igual al doble del nmero de aristas.
Demostracin. Al sumar los grados de los vrtices de G, contamos dos veces cada arista, una vez por cada uno de los dos vrtices incidentes a cada arista. #
Corolario. Toda grfica tiene un nmero par de vrtices de grado impar.
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Matriz de adyacencia
Sean G = (V, E), |V| = n y |E| = m.
La matriz de adyacencia de G, denotada por A(G), es una matriz de n x n, donde la entrada ai,j es el nmero de aristas en G con vrtices terminales {vi, vj}.
w x y z 0 1 1 0 1 0 2 0 1 2 0 1 0 0 1 1
wxyz
w
y
zx
A(G)G
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Matriz de incidencia
Sean G = (V, E), |V| = n y |E| = m.
La matriz de incidencia M(G) de G es la matriz de n x m, donde la entrada mi,j es 1 si ei es incidente al vrtice vj y 0 en otro caso.
a b c d e 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1
wxyz
w
y z
x
ab
c
de
GM(G)
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Isomorfismo de grficas Un isomorfismo entre grfica simples G y H
es una biyeccin f : V(G) V(H) such that {u,v} E(G) ssi {f(u),f(v)} E(H).
Se dice que G es isomorfo a H y se denota por G H. Ejemplo:
1
2
3
45
a
b c
d
e
6 7
8
910
f
gh
i
j
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La grfica completa
Grfica completa: Una grfica simple tal que todos sus pares de vrtices son adyacentes.
K 1 K 2K 4
K 5
K 3
K 6
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Grficas bipartitas completas (biclanes) Una grfica bipartita completa (biclan) es una
grfica bipartita simple tal que cualquier par de vrtices son adyacentes si y solo si estn en partes distintas.
Ejemplos:
K 1,4 K 2,3 K 3,3
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La grfica de Petersen La grfica de Petersen es la grfica simple
cuyos vrtices son todos los subconjuntos de cardinalidad 2 de un conjunto de cardinalidad 5 y existe una arista entre dos subconjuntos A y B de cardinalidad 2 si A y B son disjuntos.
S = {1,2,3,4,5}
{1,2}
{3,4}
{1,5}{2,3}
{4,5}{3,5}
{2,5}
{2,4}
{1,4}
{1,3}
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Dibujos de la grfica de Petersen
(tomado de Wolgram MathWorld)
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Cuello y circuferencia de una grfica Cuello g (G ) de G : la longitud del ciclo ms
corto. Circunferencia c (G ) de G : la longitud del
ciclo ms largo. Si G acclica, g (G ) y c (G ) son infinitos. Ejemplos:
- El cuello y la circunferencia de la grfica de Petersen es igual a 5.
- El cuello de la grfica completa con n vrtices es igual a 3 y la circuferencia es igual a n.
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Caminos y paseos
Un camino en G : Es una sucesin alternate de vrtices y aristas v0, e1, v1, ., ek, vk tales que para i = 1,2,k, la arista ei tiene como vrtices terminales vi-1 y vi (vrtices y aristas pueden repetirse).
Un paseo de G : Es un camino sin aristas repetidas (los vrtices s pueden repetirse).
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Caminos y paseos Ejemplos:
G
Caminos: (u,a,v,d,w,e,z,f,v,a,u,c,x,l,y,j,s) (t,n,z,n,t,h,v,k,s,j,y,l,x,g,v,k,s,j,y,m,z)Paseos: (u,a,v,d,w,b,u,c,x,l,y,j,s,k,v,g,x) (z,e,w,d,v,a,u,c,x,g,v,k,s,j,y)Trayectorias: (u,a,v,k,s,j,y,m,z,n,t) (v,g,x,l,y,m,z,e,w)
u v
w x y
zt
sa
bc
d
ef
g h i j
k
l
m
n
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Trayectorias Un {u,v}-camino o un {u,v}-paseo tiene como
vrtice inicial u y vrtice final v (los que llamamos vrtices terminales).
Una {u,v}-trayectoria es un {u,v}-paseo sin vrtices repetidos.
La longitud de un camino, paseo, trayectoria o ciclo es su nmero de sus aristas.
La distancia d(u,v) entre u y v de G es la longitud de la {u,v}-trayectoria ms corta.
Un camino o paseo es cerrado si sus vrtices inicial y final coinciden.
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Teorema. Todo {u,v}-camino contiene una {u,v}-trayectoria.
Demostracin. Induccin por la longitud l de un {u,v}-camino,
denotado por W. Paso base: l = 0. Como no hay aristas, W
consiste de un solo vrtice (u=v). Este vrtice es una {u,v}-trayectoria de longitud 0.
Paso inductivo : l 1. Supongamos que el teorema es vlido para camino de longitud menor que l. Si W no tiene vrtices ni aristas repetidos, entonces W es una {u,v}-trayectoria.
42
Teorema. Todo {u,v}-camino contiene una {u,v}-trayectoria.
Demostracin (continuacin). (Paso inductivo : l 1.) Si W tiene un vrtice
repetido w, entonces borramos las aristas y vrtices (distintos de w) entre w y su siguiente aparicin en la sucesin de W. As obtenemos un {u,v}-camino W ms corto y contenido W.
Por hiptesis de induccin, W contiene una {u,v}-trayectoria P que adems est contenida en W. #
Corolario. Todo {u,v}-camino cerrado contiene un ciclo.
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Grficas bipartitas y ciclos paresTeorema. Una grfica simple conexa G es bipartita si y
solo si todos los ciclos de G son de longitud par.
1 2
1
2
3
3
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
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Grficas bipartitas y ciclos pares
Teorema. Una grfica simple conexa G es bipartita si y solo si todos los ciclos de G son de longitud par.
Demostracin. Si todos los ciclos de G son pares, entonces G
es bipartita. Es inmediato (los ciclos alternan entre las partes de G).
Supongamos s.p.g. que G es conexa y todos los ciclos de G son pares. Sea v un vrtice de G. Sean X el conjunto de vrtices que estn a distancia par de v e Y el conjunto de vrtices que estn a distancia impar de v.
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Teorema. Una grfica simple conexa G es bipartita si y solo si todos los ciclos de G son de longitud par.
Demostracin (continuacin). Si dos vrtices w y z de X (o de Y) son
adyacentes, entonces d(v,w) + d(v,z) + 1 es la longitud impar de un camino cerrado que va de v a w arista a z y regresa a v. Probamos que todo camino cerrado impar contiene un ciclo impar y as llegamos a una contradiccin (todos los ciclos son pares!).
Sea un camino cerrado impar de longitud l > 2. Induccin sobre l. Base: l = 3, trivial. Hiptesis: la afirmacin se cumple para toda l. Probamos para l + 2 impar. Buscamos el primero repetido. Partimos e hiptesis de induccin. #
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Componentes conexas Las componentes conexas de una grfica G
son sus subgrficas conexas maximales.
Una componente conexa es trivial si es isomorfa a la grfica nula, en otro caso es no trivial.
Un vrtice est aislado si su grado es 0.
G
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Componentes conexas Rec. Una grfica G es conexa si existe una
trayectoria entre cualquier par de vrtices.
Definimos una relacin binaria en V(G) : decimos que u ~ v si y solo si existe una {u,v}-trayectoria. Entonces la relacin ~ es de equivalencia. Las clases de equivalencia del cociente V(G) / ~ corresponden a las componentes conexas de G.
G
Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24Slide 25Slide 26Slide 27Slide 28Slide 29Slide 30Slide 31Slide 32Slide 33Slide 34Slide 35Slide 36Slide 37Slide 38Slide 39Slide 40Slide 41Slide 42Slide 43Slide 44Slide 45Slide 46Slide 47